4.1.1圆的一般方程

论 对曲线的形状的影响.
这是课本 P124 B 组第 3 题的一般化: 1
已知一曲线是与两个定点 O(0, 0) , A(3, 0) 距离的比为 2 的
点的轨迹，求此曲线的方程，并画出曲线.
一、复习 1．求曲线方程的一般步骤为：建系设点→写条件（可省）→
列方程→化简→挖补
2．圆的标准方程：(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)，其中 r 为圆的半
新疆 王新敞
学案
（2）求与圆有关的点的轨迹。（如转移代入法，几何法）
⑷二元二次方程 Ax 2 Bxy Cy 2 Dx Ey F 0 表示圆的等 价条件是 A=C≠0，B=0 ，D2+E2-4AF>0。
⑸半圆方程： y r 2 x a2 b, y c bx x2 d 等；
三、讲解范例
例 1.判断下列二元二次方程表示什么图形？如是圆的 方程请求出圆的圆心及半径.
的圆的方程，并求这个圆的半径和圆心坐标
注意：
1.使用待定系数法的一般步骤：
⑴根据题意，选择标准方程或一般方程；
⑵根据条件列出关于a、b、r或D、E、F的方程组；
⑶
解
出
a
、
b、r或 新疆 王新敞 学案
D、
E
、
F
，
代
入
标
准
方
程
或
一
般
方
程
。
2．关于何时设圆的标准方程：
何时设圆的一般方程：一般说来，如果由已知条件容
AB的中点M的轨迹方程（与求轨迹区别）.
方法说明：转移化入法。
变式:已知定点 A(2，0)，点 Q 是圆 x2 y 2 1 上的动点，
∠AOQ 的平分线交 AQ 于 M，当 Q 点在圆上移动时，求动点 M
的轨迹方程 新疆 王新敞 学案 说明：注意三角形内角平分线性质的应用.
例 5、已知一曲线是与两个定点 A 、 B 距离的比为 ( 0)
的点的轨迹，求此轨迹。
方法说明：求曲线方程步骤为：建系设点→
写条件（可省）→列方程→化简→挖补 。
提示：以直线 AB 为 x 轴，线段 AB 的中
垂线为 y 轴，建立直角坐标系，设
AB 2aa 0 ，则可得：
1 2 x2 1 2 y2 2a1 2 x a2 1 2 0 要 注 意 讨
二、讲解新课
将圆的标准方程( x a)2 ( y b)2 r 2的展开式为：
x2 y2 2ax 2by (a2 b2 r 2 ) 0
取 D 2a, E 2b, F a2 b2 r 2 得
x2 y2 Dx Ey F 0
①
再将上方程配方，得
(x D )2 ( y E )2 D2 E2 4F ②
易求圆心的坐标、半径或需要用圆心的坐标、半径列
方程的问题，往往设圆的标准方程；如果已知条件和
圆心坐标或半径都无直接关系，往往设圆的一般方程
变式：圆 C 过点 A(1,2)、B(3,4)，且在 x 轴上截得的弦长为 6，
求圆 C 的方程．
[解析] 设所求圆的方程为 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0
∴D＋2E＋F＝－5，
圆心在原点O的圆方程： x2 y2 r 2
过原点O的圆方程： x a2 y b2 a2 b2
与X轴相切的圆方程：
x a2 y b2 b2 r b
与y轴相切的圆方程：
；
x a2 y b2 a2 r a
半圆方程：
y 3 x 22 1; x 3 y 22 1;
指出： ⑴圆的一般方程的特点： ①x2 和 y2 的系数相同，不等于 0； ②没有 xy 这样的二次项．
⑵圆的一般方程中有三个特定的系数 D,E,F，因之只要求 出这三个系数，圆的方程就确定了．标准方程是 a,b,r.
⑶与圆的标准方程相比较，它是一种特殊的二元二次方 程，代数特征明显，圆的标准方程则指出了圆心坐标与 半径大小，几何特征较明显。
∴所求圆的方程为 x2＋y2＋12x－22y＋27＝0 或 x2＋y2－
8x－2y＋7＝0.
例3、求圆 ( x 4)2 ( y 3)2 25
内长恒为6的动弦的中点轨迹。
方法说明：与圆有关的题有时候几何法挺有用的。
例4、已知线段AB的端点B的坐标是（4，3），
端点A在圆 x 12 y2 4 上运动，求线段
4.1.2圆的一般方程
一、复习 1．求曲线方程步骤为：建系设点→写条件（可省）→列方程→化 简→挖补 2．圆的标准方程：(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)，其中 r 为圆的半径，
(a，b)为圆心； r 0时半径为 r
求法：①待定系数法（三个独立条件） ②数形结合法（圆中尤其平面几何方法）
3．参数式：r
为圆的半径，(a，b)为圆心；则
x
y
a b
r r
cos sin
,为参数，，
角的几何意义？？
4.点与圆的位置关系
设圆 C∶(x-a)2+(y-b)2=r2，点 M(x0，y0)到圆心的距离为 d，则有： (1)d＞r 点 M 在圆外 (x0-a)2+(y0-b)2>r2 (2)d=r 点 M 在圆上 (x0-a)2+(y0-b)2=r2； (3)d＜r 点 M 在圆内 (x0-a)2+(y0-b)2<r2．
径，(a，b)为圆心；
(x a)2 ( y b)2 r 2 r 0其中 (a, b) 为圆心， r 为半径.
3 ． 参 数 式 ： r 为 圆 的 半 径 ， (a ， b) 为 圆 心 ； 则
x
y
a b
r r
cos sin
,为参数，角的几何意义？
4．圆的一般方程：x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)，其中圆心
1 4x2 4 y2 4x 12 y 9 0 2 4x2 4 y2 4x 12 y 11 0
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（3） x 2 y 2 0 ;
（4） x2 y 2 2ax b2 0
（5） x 2 y 2 2ax 2 3ay 3a 2 0
例2、求过三点O(0,0), M(1,1), N(4,2)

①
3D＋4E＋F＝－25，
②
令 y＝0，得 x2＋Dx＋F＝0
设圆 C 与 x 轴的两个交点的横坐标分别为 x1，x2，则 x1
＋x2＝－D，x1x2＝F.
∵|x1－x2|＝6，∴(x1＋x2)2－4x1x2＝36，
即 D2－4F＝36
③
由①、②、③式解得 D＝12，E＝－22，F＝27
或 D＝－8，E＝－2，F＝7
为(-
D 2
，-
E 2
)，半径为
1 2
D2 E 2 4F
5．半圆方程： y r 2 x a2 b, y c bx x2 d 等；
6．二元二次方程 Ax 2 Bxy Cy 2 Dx Ey F 0表示圆的当 且仅当 A=C≠0，B=0 ，D2+E2-4AF>0。
7.点与圆的位置关系 设圆 C∶(x-a)2+(y-b)2=r2，点 M(x0，y0)到圆心的距离为 d， (1)d＞r 点 M 在圆外 (x0-a)2+(y0-b)2>r2 (2)d=r 点 M 在圆上 (x0-a)2+(y0-b)2=r2； (3)d＜r 点 M 在圆内 (x0-a)2+(y0-b)2<r2． 8．思想： （1）用待定系数法求圆的方程 （两者如何选）
（3）当 D2 E2 4F 0 时，方程没有实数解，
因而它不表示任何图形
综上所述，方程 x2 y2 Dx Ey F 0
表示的曲线不一定是圆
只有当 D2 E2 4F 0时，它表示的曲线才是圆，
我们把此条件下形如 x2 y2 Dx Ey F 0
的表示圆的方程称为圆的一般方程
2
2
4
不难看出，此方程与圆的标准方程的关系
（1）当 D2 E 2 4F 0 时，表示以( D , E )
为圆心, 1 D2 E 2 4F 为半径的圆； 2 2 2
（2）当 D2 E2 4F 0 时，方程只有实数解
x D, 2
y E 即只表示一个点 2
( D , E ) 22