最新重庆大学研究生数理统计期末考试题

涉及到的有关分位数：

()()()()()()()()()()()()2

0.950.950.950.9750.9750.9752222220.9750.0250.0250.9750.950.97520.95 1.645,16 1.746,15 1.753,16 2.12,15 2.131,1628.851527.49,16 6.91,15 6.26,1 5.02,1 3.84,27.382 5.99

u t t t t χχχχχχχχ=============

一、设123,,X X X 是来自总体~(0,3)X N 的样本。记()2

332

i 11

11,32i i i X X S X X

====-∑∑,

试确定下列统计量的分布：

（1）3113i i X =∑；（2）2

3119i i X =⎛⎫

⎪⎝⎭∑；（3）()

2

31

13i i X X

=-∑；（4

X

解：（1）由抽样分布定理，3

1

1~(0,1)3i i X X N ==∑

(2)因311~(0,1)3i i X N =∑，故2

2

332

1111~(1)39i i i i X X χ==⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

∑∑

（3）由抽样分布定理，

()()

()

2

2

23

3

21

1

31211~(2)3

323i i i i S X X X X χ==-=⋅-=-∑∑

（4）因()222~(0,1),

~23

X N S χ，X 与2S

()~2X t 。 二、在某个电视节目的收视率调查中，随机调查了1000人，有633人收看了该节目，试根

据调查结果，解答下列问题：

（1）用矩估计法给出该节目收视率的估计量；

（2）求出该节目收视率的最大似然估计量，并求出估计值； （3）判断该节目收视率的最大似然估计是否是无偏估计； （4）判断该节目收视率的最大似然估计是否是有效估计。

解：总体X 为调查任一人时是否收看，记为~(1,)X B p ，其中p 为收视率 （1）因EX p =,而^

E X X =，故收视率的矩估计量为^

X p =

（2）总体X 的概率分布为()

1()1,0,1x

x

f x p p x -=-=

11

11

()(1)(1)

(1)ln ()ln (1)ln(1)ln ()(1)

01n

n

i

i

i i i i n

x n x x x n X n n X

i L p p p p p p p L p nX p n X p d L p nX n X dp p p

==-

--=∑∑=-=-=-=+---=-=-∏

解得收视率p 的最大似然估计量为

^

X p =

现有一参量为1000的样本121000,,X X X ……，, 且1000

1

633i

i X

==∑

则633

0.6331000

X =

=,故收视率的极大似然估计值为0.633. （3）因E X p =，故^

X p =是无偏估计

（4）因

()

ln ()(1)1(1)

d L p nX n X n

X p dp p p p p -=-=---， 又E X p =

故 收视率的最大似然估计X 是p 的有效估计。

三、甲制药厂进行有关麻疹疫苗效果的研究，用X 表示一个人用这种疫苗注射后的抗体强

度，假定X 服从正态分布。另一家与之竞争的乙制药厂生产的同种疫苗的平均抗体强度是1.9。现甲厂声称其产品有更高的平均抗体强度，为证实这一点，检测了16个志愿者注射甲

厂疫苗后的抗体强度，得样本均值 2.225X =，样本方差为2

0.2687S =。请回答下列问题：

（1）提出该问题的原假设与备择假设；

（2）写出犯第一类错误的概率表达式，并说明犯第一类错误的实际后果；

（3）根据样本数据，在显著性水平0.05α=时，检验你的假设，验证甲厂疫苗是否有更高的平均抗体强度；

（4）求甲厂疫苗抗体强度方差的置信度为0.95的置信区间。 解：设2

2

~(,).,X N μσμσ未知

（1）0010: 1.9;: 1.9H H μμμμ==>=

(2)犯第一类错误的概率为：{}

00P H H 拒绝成立

犯第一类错误误认为甲厂疫苗有更高的平均抗体强度，其实际后果是可能对人的生命健康安全造成威胁。

（3）由于2

σ未知，n 16=，

0H 的拒绝域为：0010.95( 1.9K X t n X t αμ-⎧⎧=->-=->⎨⎨⎩⎩ 又

0.950.51841.9 2.225 1.90.325, 1.7530.2274X t -=-==⨯=

因0.3250.227>，故拒绝0H ,接受1H 。即在0.05α=时可以认为甲厂疫苗有更高

的平均抗体强度。

（4）因2

~(,).X N μσμ未知，

()()222

0.9750.02510.95,16,0.2687,1527.49,15 6.26n S αχχ-=====

()()()()()()

0.975

0.025

22212

2

222

1150.2687150.26870.14711527.491150.2687150.26870.644115 6.26n S n n S n ααχχχχ-

-⨯⨯===--⨯⨯===-

故方差2

σ的置信度为0.95的置信区间为()0.147,0.644。

试判断慢性支气管炎与吸烟量是否有关系。（取0.05α=） 解：此为独立性检验

0H ：慢性支气管炎与吸烟量无关，1H ：慢性支气管炎与吸烟量有关

拒绝域：(){}2

2011K αχ

χ-=

>

()22

2

112221120.951212

() 1.3211 3.84n n n n n n n n n χχ⋅⋅⋅⋅-==<=

故接受0H ,认为慢性气管炎与吸烟量无关。

五、为了决定在老鼠中血糖的减少量和注射胰岛素A 的剂量间的关系，将同样条件下繁殖通过计算得知0.343,43.714,x y ==