《常微分方程》第三次作业

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常微分方程第一、二、三次作业参考答案

1、给定一阶微分方程2dyx dx=：（1）求出它的通解；解：由原式变形得：2dy xdx =.两边同时积分得2y x C =+.（2）求通过点（2，3）的特解；解：将点（2,3）代入题（1）所求的得通解可得：1C =-即通过点（2,3）的特解为：21y x =-.（3）求出与直线23y x =+相切的解；解：依题意联立方程组：223y x Cy x ⎧=+⎨=+⎩故有：2230x x C --+=。

由相切的条件可知：0∆=，即2(2)4(3)0C --⨯-+=解得4C =故24y x =+为所求。

（4）求出满足条件33ydx =⎰的解。

解：将 2y x C =+代入330dy =⎰，可得2C =-故22y x =-为所求。

2、求下列方程的解。

１）3x y dydx-= 2）233331dy x y dx x y -+=--解：依题意联立方程组：23303310x y x y -+=⎧⎨-+=⎩ 解得：2x =，73y =。

则令2X x =-，73Y y =-。

故原式可变成：2333dY x ydX x y-=-. 令Yu X =，则dy Xdu udx =+，即有 233263u dxdu u u x-=-+.两边同时积分，可得122(263)||u u C X --+= .将732y u x -=-，2X x =-代入上式可得： 12227()614323|2|2(2)y y C x x x -⎛⎫- ⎪--+=- ⎪-- ⎪⎝⎭.即上式为所求。

3、求解下列方程:1)24dyxy x dx+=. 解：由原式变形得：22dyxdx y=-. 两边同时积分得：12ln |2|y x C --=+. 即上式为原方程的解。

2)()x dyx y e dx-=. 解：先求其对应的齐次方程的通解： ()0dyx y dx -=. 进一步变形得：1dy dx y=.两边同时积分得：x y ce =.利用常数变异法，令()x y c x e =是原方程的通解。

常微分方程第三版习题答案

常微分方程第三版习题答案常微分方程是数学中的一个重要分支，它研究的是描述自然界中变化规律的方程。

在学习常微分方程的过程中，习题是非常重要的一部分，通过解习题可以加深对理论知识的理解和应用能力的培养。

本文将为大家提供《常微分方程第三版》习题的部分答案，希望能对大家的学习有所帮助。

1. 习题一1.1 解：首先，我们根据题意列出方程：$\frac{dy}{dt} = 2y + t^2$这是一个一阶线性常微分方程，我们可以使用常数变易法来求解。

令$y = u(t)e^{2t}$，则$\frac{dy}{dt} = \frac{du}{dt}e^{2t} + 2ue^{2t}$将上述结果代入原方程，得到：$\frac{du}{dt}e^{2t} + 2ue^{2t} = 2(u(t)e^{2t}) + t^2$化简得到：$\frac{du}{dt}e^{2t} = t^2$两边同时除以$e^{2t}$，得到：$\frac{du}{dt} = t^2e^{-2t}$对上式两边同时积分，得到：$u = -\frac{1}{4}t^2e^{-2t} + C$将$u$代入$y = u(t)e^{2t}$，得到最终的解：$y = (-\frac{1}{4}t^2e^{-2t} + C)e^{2t}$1.2 解：首先，我们根据题意列出方程：$\frac{dy}{dt} = \frac{t}{y}$这是一个一阶可分离变量的常微分方程，我们可以通过分离变量来求解。

将方程变形，得到：$ydy = tdt$对上式两边同时积分，得到：$\frac{1}{2}y^2 = \frac{1}{2}t^2 + C$解得：$y^2 = t^2 + C$由于题目中给出了初始条件$y(0) = 1$，将初始条件代入上式，得到：$1 = 0 + C$解得：$C = 1$将$C$代入$y^2 = t^2 + C$，得到最终的解：$y^2 = t^2 + 1$2. 习题二2.1 解：首先，我们根据题意列出方程：$\frac{dy}{dt} = 2ty + t^2$这是一个一阶线性常微分方程，我们可以使用常数变易法来求解。

常微分方程计算题及答案

计算题（每题10分）1、求解微分方程2'22x y xy xe -+=。

2、试用逐次逼近法求方程2y x dxdy+=通过点(0,0)的第三次近似解. 3、求解方程'2x y y y e -''+-=的通解4、求方程组dx dt ydydtx y ==+⎧⎨⎪⎩⎪2的通解5、求解微分方程'24y xy x +=6、试用逐次逼近法求方程2y x dxdy-=通过点(1,0)的第二次近似解。

7、求解方程''+-=-y y y e x '22的通解8、求方程组dxdt x ydydtx y =+=+⎧⎨⎪⎩⎪234的通解9、求解微分方程xy y x '-2=24 10、试用逐次逼近法求方程2y x dxdy-=通过(0,0)的第三次近似解. 11、求解方程''+-=-y y y e x '24的通解12、求方程组dxdtx y dydtx y =+=+⎧⎨⎪⎩⎪2332的通解13、求解微分方程x y y e x (')-=14、试用逐次逼近法求方程22x y dxdy+=通过点(0,0)的第三次逼近解. 15、求解方程''+-=--y y y e x '22的通解16、求解方程x e y y y -=-+''32 的通解17、求方程组⎪⎩⎪⎨⎧-+=-+=yx dt dydtdx x y dt dy dt dx243452的通解 18、解微分方程22(1)(1)0x y dx y x dy -+-= 19、试用逐次逼近法求方程2dyx y dx=-满足初始条件(0)0y =的近似解：0123(),(),(),()x x x x ϕϕϕϕ.20、利用逐次逼近法，求方程22dyy x dx=-适合初值条件(0)1y =的近似解：012(),(),()x x x ϕϕϕ。

电大《常微分方程》形成想考核作业参考答案.资料讲解

常微分方程第一、二、三次作业参考答案1、给定一阶微分方程2dyx dx=：（1）求出它的通解；解：由原式变形得：2dy xdx =.两边同时积分得2y x C =+.（2）求通过点（2，3）的特解；解：将点（2,3）代入题（1）所求的得通解可得：1C =-即通过点（2,3）的特解为：21y x =-.（3）求出与直线23y x =+相切的解；解：依题意联立方程组：223y x Cy x ⎧=+⎨=+⎩故有：2230x x C --+=。

由相切的条件可知：0∆=，即2(2)4(3)0C --⨯-+=解得4C =故24y x =+为所求。

（4）求出满足条件33ydx =⎰的解。

解：将2y x C =+代入330dy =⎰，可得2C =-故22y x =-为所求。

2、求下列方程的解。

１）3x y dydx-= 2）233331dy x y dx x y -+=-- 解：依题意联立方程组：23303310x y x y -+=⎧⎨-+=⎩解得：2x =，73y =。

则令2X x =-，73Y y =-。

故原式可变成：2333dY x y dX x y-=-. 令Yu X =，则dy Xdu udx =+，即有 233263u dxdu u u x-=-+. 两边同时积分，可得122(263)||u u C X --+= .将732y u x -=-，2X x =-代入上式可得： 12227()614323|2|2(2)y y C x x x -⎛⎫- ⎪--+=- ⎪-- ⎪⎝⎭.即上式为所求。

3、求解下列方程:1)24dyxy x dx+=. 解：由原式变形得：22dyxdx y=-. 两边同时积分得：12ln |2|y x C --=+. 即上式为原方程的解。

2)()x dyx y e dx-=. 解：先求其对应的齐次方程的通解：()0dyx y dx -=. 进一步变形得：1dy dx y=. 两边同时积分得：x y ce =.利用常数变异法，令()xy c x e =是原方程的通解。

常微分方程第三版课后习题答案

习题1.21．dxdy=2xy,并满足初始条件：x=0,y=1的特解。

解：ydy=2xdx 两边积分有：ln|y|=x 2+c y=e2x +e c =cex 2另外y=0也是原方程的解，c=0时，y=0原方程的通解为y= cex 2,x=0 y=1时 c=1 特解为y= e 2x .2. y 2dx+(x+1)dy=0 并求满足初始条件：x=0,y=1的特解。

解：y 2dx=-(x+1)dy2y dy dy=-11+x dx两边积分: -y1=-ln|x+1|+ln|c| y=|)1(|ln 1+x c另外y=0,x=-1也是原方程的解 x=0,y=1时 c=e 特解：y=|)1(|ln 1+x c3．dx dy =yx xy y 321++解：原方程为：dxdy =y y 21+31x x + y y 21+dy=31x x +dx 两边积分：x(1+x 2)(1+y 2)=cx 24. (1+x)ydx+(1-y)xdy=0 解：原方程为：y y -1dy=-xx 1+dx两边积分：ln|xy|+x-y=c另外 x=0,y=0也是原方程的解。

5．（y+x ）dy+(x-y)dx=0解：原方程为：dx dy =-yx y x +-令xy=u 则dx dy =u+x dx du 代入有：-112++u u du=x 1dxln(u 2+1)x 2=c-2arctgu 即 ln(y 2+x 2)=c-2arctg 2xy. 6. xdxdy-y+22y x -=0 解：原方程为：dx dy =x y +xx ||-2)(1x y -则令xy=u dx dy =u+ x dx du211u - du=sgnxx1dx arcsinxy=sgnx ln|x|+c 7. tgydx-ctgxdy=0 解:原方程为：tgy dy =ctgxdx 两边积分：ln|siny|=-ln|cosx|-ln|c| siny=x c cos 1=xccos 另外y=0也是原方程的解，而c=0时，y=0.所以原方程的通解为sinycosx=c.8 dx dy +ye x y 32+=0 解：原方程为：dx dy =ye y 2e x 32 ex3-3e2y -=c.9.x(lnx-lny)dy-ydx=0 解：原方程为：dx dy =x y ln xy令x y=u ,则dx dy =u+ x dx duu+ xdxdu=ulnu ln(lnu-1)=-ln|cx| 1+lnxy=cy. 10.dxdy =e yx - 解：原方程为：dxdy =e x e y- e y=ce x11dxdy =(x+y)2解：令x+y=u,则dx dy =dxdu -1 dx du -1=u 2211u +du=dx arctgu=x+c arctg(x+y)=x+c12.dx dy =2)(1y x + 解：令x+y=u,则dx dy =dxdu -1dx du -1=21uu-arctgu=x+c y-arctg(x+y)=c. 13.dx dy =1212+-+-y x y x 解: 原方程为：（x-2y+1）dy=(2x-y+1)dx xdy+ydx-(2y-1)dy-(2x+1)dx=0 dxy-d(y 2-y)-dx 2+x=cxy-y 2+y-x 2-x=c14:dx dy =25--+-y x y x 解：原方程为：（x-y-2）dy=(x-y+5)dx xdy+ydx-(y+2)dy-(x+5)dx=0dxy-d(21y 2+2y)-d(21x 2+5x)=0 y 2+4y+x 2+10x-2xy=c.15: dxdy=(x+1) 2+(4y+1) 2+8xy 1+ 解：原方程为：dxdy=（x+4y ）2+3令x+4y=u 则dx dy =41dx du -4141dx du -41=u 2+3 dx du=4 u 2+13 u=23tg(6x+c)-1 tg(6x+c)=32(x+4y+1).16:证明方程y x dxdy=f(xy),经变换xy=u 可化为变量分离方程，并由此求下列方程： 1） y(1+x 2y 2)dx=xdy2） y x dx dy =2222x -2 y x 2y+ 证明：令xy=u,则x dx dy +y=dxdu 则dx dy =x 1dx du -2x u，有：u x dxdu=f(u)+1)1)((1+u f u du=x1dx所以原方程可化为变量分离方程。

国家开放大学电大本科《常微分方程》网络课形考任务6试题及答案

国家开放大学电大本科《常微分方程》网络课形考任务6试题及答案形考任务6常微分方程学习活动6第三章一阶线性方程组、第四章n 阶线性方程的综合练习本课程形成性考核综合练习共3次，内容主要分别是第一章初等积分法的综合练习、第二章基本定理的综合练习、第三章和第四章的综合练习，目的是通过综合性练习作业，同学们可以检验自己的学习成果，找出掌握的薄弱知识点，重点复习，争取尽快掌握．要求：首先请同学们下载作业附件文档并进行填写，文档填写完成后请在本次作业页面中点击“去完成”按钮进入相应网页界面完成任务，然后请将所做完的作业文档以附件的形式上传到课程上，随后老师会在课程中进行评分。

一、填空题1．若A (x )在(-∞,+∞)上连续，那么线性齐次方程组Y A Y )(d d x x =，n R Y ∈的任一非零解在1+n R 空间不能与x 轴相交．2．方程组n x x xR Y R Y F Y ∈∈=,),,(d d 的任何一个解的图象是n + 1维空间中的一条积分曲线． 3．向量函数组Y 1(x ), Y 2(x ),…,Y n (x )线性相关的必要条件是它们的朗斯期行列式W (x )=0． 4．线性齐次微分方程组n x x x R Y R Y A Y ∈∈=,,)(d d ，的一个基本解组的个数不能多于n + 1 个． 5．若函数组)()(21x x ϕϕ，在区间),(b a 上线性相关，则它们的朗斯基行列式)(x W 在区间),(b a 上恒等于零．6．函数组⎩⎨⎧==x y x y cos sin 21的朗斯基行列式)(x W 是 x x x x x W sin cos cos sin )(-=． 7．二阶方程02=+'+''y x y x y 的等价方程组是⎪⎩⎪⎨⎧--='='y x xy y y y 2111． 8．若)(1x y ϕ=和)(2x y ϕ=是二阶线性齐次方程的基本解组，则它们没有共同零点．9．二阶线性齐次微分方程的两个解)(1x y ϕ=,)(2x y ϕ=成为其基本解组的充要条件是线性无关（或：它们的朗斯基行列式不等于零）．10．n 阶线性齐次微分方程线性无关解的个数最多为N 个．11．在方程y″+ p (x )y′+q (x )y = 0中，p (x ), q (x )在(-∞,+∞)上连续，则它的任一非零解在xOy 平面上可以与x 轴横截相交．12．二阶线性方程20y y y '''++=的基本解组是e ,e x x x --．13．线性方程0y y ''+=的基本解组是 cos ,sin x x ．14．方程02=+'+''y x y x y 的所有解构成一个 2 维线性空间．15．n 阶线性齐次微分方程的所有解构成一个 n 维线性空间．二、计算题1．将下列方程式化为一阶方程组（1）0)()(=++x g x x f x &&&（2）0)()()(321=+'+''+'''y x a y x a y x a y。

2020年智慧树知道网课《常微分方程(湖南理工学院)》课后章节测试满分答案

对
10
【判断题】(1分)
A.
对
B.
错
第五章测试
1
【判断题】(1分)
矩阵乘积的导数等于矩阵导数的乘积。
A.
错
B.
对
2
【判断题】(1分)
非齐线性微分方程组解的线性组合也是它的解。
A.
对
B.
错
3
【判断题】(1分)
一个解矩阵是基解矩阵的充要条件是解矩阵的行列式不为0。
A.
对
B.
错
4
【判断题】(1分)
若向量函数在区间上线性相关，则它们的朗斯基行列式不为0。
若方程的解的朗斯基行列式不为0，则方程的解线性无关。
A.
错
B.
对
4
【多选题】(1分)
下列说法正确的是（）。
A.
齐线性方程的通解等于对应齐次方程的通解与自身的一个特解之和
B.
非齐线性方程的通解等于对应齐次方程的通解与自身的一个特解之和
C.
方程的基本解组线性相关
5
【多选题】(1分)
下列说法正确的是（）。
A.
常系数齐次线性方程的求解方法(单根情形)：待定系数法
B.
常系数非齐次线性方程的通解为本身的特解与对应齐次方程的通解之和
C.
常系数线性齐次方程的求解问题归结为求一个基本解组
6
【判断题】(1分)
A.
对
B.
错
7
【判断题】(1分)
A.
错
B.
对
8
【判断题】(1分)
A.
错
B.
对
9
【判断题】(1分)
A.
错
B.

国家开放大学电大本科《常微分方程》网络课形考任务3试题及答案

国家开放大学电大本科《常微分方程》网络课形考任务3试题及答案一、填空题1．微分方程是二阶微分方程．2．初值问题的解所满足的积分方程是．3．微分方程是一阶线性非齐次微分方程．（就方程可积类型而言）4．微分方程是全微分方程．（就方程可积类型而言）5．微分方程是恰当倒数方程．（就方程可积类型而言）6．微分方程的所有常数解是．7．微分方程的常数解是．8．微分方程的通解为．9．微分方程的通解是.10．一阶微分方程的一个特解的图像是二维空间上的一条曲线．二、计算题1．指出下列方程的阶数，是否是线性方程：（1）答：一阶，非线性（2）答：四阶，线性（3）答：三阶，非线性2．用分离变量法求解下列方程：（1）（2）（3）2．（1）解通积分为（2）解当时，分离变量，两端取积分得即通积分为另外，是常数解，注:在方程求解时，求出显式通解或隐式通解（通积分）即可，常数解可以不求。

（3）解当时,方程可变为，通积分为或,上式代入初值条件.得.于是初值问题解为.3．解下列齐次线性微分方程（1）（2）（1）解显然是方程的解.当时,原方程可化为.令,则原方程可化为,即易于看出,是上面方程的解,从而是原方程的解.当时,分离变量得,.两端积分得(C)将换成,便得到原方程的解,(C).故原方程的通解为（为任意常数）及.（2）解显然是方程的解.当时,原方程可化为.令,则原方程可化为,即易于看出,是上式的解,从而是原方程的解.当时,分离变量得,.两端积分得(C).将换成,便得到原方程的解(C).故原方程的通解为.4．解下列一阶线性微分方程：（1）（2）（1）解先解齐次方程.其通解为.用常数变易法,令非齐次方程通解为.代入原方程,化简后可得.积分得到.代回后即得原方程通解为.（2）解先解齐次方程.其通解为.用常数变易法,令非齐次方程通解为.代入原方程,化简后可得.积分得到.代回后即得原方程通解为.5．解下列伯努利方程（1）（2）（1）解显然是方程解.当时,两端同除,得.令,代入有它的解为于是原方程的解为，及（2）解显然是方程解.当时,两端同除,得.令,代入有它的解为，于是原方程的解，及6．解下列全微分方程：（1）（2）（1）解因为,所以这方程是全微分方程,及在整个平面都连续可微,不妨选取.故方程的通积分为,即.（2）解因为,所以这方程是全微分方程,及在整个平面都连续可微,不妨选取.故方程的通积分为,即.7．求下列方程的积分因子和积分：（1）（2）（1）解因为,与y无关,故原方程存在只含x的积分因子.由公式（1.58）得积分因子，即于是方程为全微分方程.取.于是方程的通积分为.即.（2）解因为,与y无关,故原方程存在只含x的积分因子.解方程由公式（1.58）得积分因子，即于是方程为全微分方程.取.于是通积分为.即.8．求解下列一阶隐式微分方程（1）（2）（1）解将方程改写为即或解得通积分为：,又是常数解.（2）解显然是方程的解.当时,方程可变为,令,则上面的式子可变为.解出u得,.即.对上式两端积分得到方程的通解为9．求解下列方程（1）（2）（1）解令,则.代入原式得.解出得.这是克莱洛方程，通解为.即.解之得（为任意常数）.（2）解化简得，即求积分得..三、证明题1．设函数，在上连续，且，（a,b为常数）．求证：方程的一切解在上有界．2．设在上连续，且，求证：方程的一切解，均有．1．证明设y=y(x)是方程任一解，且满足y(x0)=y0,则由于，所以对任意ε＞0,存在＞x0,使得x＞时有令，则于是得到又在[x0，x1]上y(x)有界设为M2，现取，则2．证明设是方程任一解，满足，该解的表达式为取极限=四、应用题1．按牛顿冷却定律：物体在空气中冷却的速度与物体温度和空气温度之差成正比,已知空气温度为,而物体在15分钟内由冷却到,求物体冷却到所需的时间.2．重为100kg的物体，在与水平面成30°的斜面上由静止状态下滑，如果不计磨擦，试求：（1）物体运动的微分方程；（2）求5s后物体下滑的距离，以及此时的速度和加速度．1．解设物体在时刻t的温度为，由题意满足初值问题其中为常数．解得设物体冷却到40℃所需时间为，于是由得解得52分钟.2．解取初始下滑点为原点，轴正向垂直向下，设时刻速度为,距离为,由题意满足初值问题解得再由解得于是得到5秒后，，,．。

王高雄版《常微分方程》习题解答3.1

习题3.11 求方程dxdy =x+y 2通过点(0,0)的第三次近似解；解：取0)(0=x ϕ 200200121)()(x xdx dx y x y x xx ==++=⎰⎰ϕ 522200210220121])21([])([)(x x dx x x dx x x y x x x +=+=++=⎰⎰ϕϕ dx x x x y x x ])20121([)(252003+++=⎰ϕ = 1185244001160120121x x x x +++2 求方程dx dy =x-y 2通过点(1,0)的第三次近似解；解：令0)(0=x ϕ则 200200121)()(x xdx dx y x y x xx ==-+=⎰⎰ϕ 522200210220121])21([])([)(x x dx x x dx x x y x x x -=-=-+=⎰⎰ϕϕ dx x x x y x x ])20121([)(252003--+=⎰ϕ =1185244001160120121x x x x -+- 3 题求初值问题：⎪⎩⎪⎨⎧=-=0)1(2y x dx dy R ：1+x ≤1，y ≤1 的解的存在区间，并求解第二次近似解，给出在解的存在空间的误差估计；解：因为 M=max{22y x -}=4 则h=min(a,M b )=41 则解的存在区间为0x x -=)1(--x =1+x ≤41 令 )(0X ψ=0 ;)(1x ψ=y 0+⎰-xx x 0)0(2dx=31x 3+31;)(2x ψ =y 0+])3131([2132⎰-+-xx x dx=31x 3-9x -184x -637x +4211 又 yy x f ∂∂),(2≤=L 则：误差估计为：)()(2x x ψ-ψ≤322)12(*h L M +=24114 题讨论方程：3123y dx dy =在怎样的区域中满足解的存在唯一性定理的条件，并求通过点（0，0）的一切解；解：因为y y x f ∂∂),(=3221-y 在y 0≠上存在且连续；而3123y 在y 0 σ≥上连续由 3123y dx dy =有：y =（x+c ）23又因为y(0)=0 所以：y =x 23另外 y=0也是方程的解；故方程的解为：y =⎪⎩⎪⎨⎧≥00023 x x x或 y=0;6题证明格朗瓦耳不等式：设K 为非负整数，f(t)和g(t)为区间βα≤≤t 上的连续非负函数，且满足不等式：f(t)≤k+⎰tds s g s f α)()(,βα≤≤t则有：f(t)≤kexp(⎰tds s g α)(),βα≤≤t证明：令R （t ）=⎰tds s g s f α)()(,则R '(T)=f(R '(T)-R(t)g(t)= f(t)g(t)- R(t)g(t) ≤kg(t)R '(T)- R(t)g(t)≤kg(t);两边同乘以exp(-⎰tds s g α)() 则有：R '(T) exp(-⎰tds s g α)()-R(t)g(t) exp(-⎰t ds s g α)()≤ kg(t) exp(-⎰tds s g α)()两边从α到t 积分：R(t) exp(-⎰t ds s g α)()≤-⎰t ds s kg α)(exp(-⎰tdr r g α)()ds即 R(t) ≤⎰t ds s kg α)( exp(-⎰tsdr r g )()ds又 f(t) ≤1≤k+R(t) ≤k+k ⎰t s g α)(exp(-⎰tsdr r g )()ds≤k(1-1+ exp(-⎰t s dr r g )()=k exp(⎰stdr r g )()即 f(t) ≤k ⎰tdr r g α)(;7题假设函数f(x,y)于（x 0,y 0）的领域内是y 的不增函数，试证方程dxdy = f(x,y)满足条件y(x 0)= y 0的解于x ≥ x 0一侧最多只有一个解；证明：假设满足条件y(x 0)= y 0的解于x ≥ x 0一侧有两个ψ(x),ϕ(x)则满足：ϕ(x)= y 0+⎰xx x x f 0))(,(ϕdxψ(x)= y 0+⎰xx x x f 0))(,(ψdx不妨假设ϕ(x) ψ(x)，则ϕ(x)- ψ(x)≥0而ϕ(x)- ψ(x)= ⎰x x x x f 0))(,(ϕdx-⎰xx x x f 0))(,(ψdx=⎰-xx x x f x x f 0))(,())(,([ψϕdx又因为 f(x,y)在（x 0,y 0）的领域内是y 的增函数，则： f(x, ϕ(x))-f(x, ψ(x))≤0则ϕ(x)- ψ(x)= ⎰-xx x x f x x f 0))(,())(,([ψϕdx ≤0则ϕ(x)- ψ(x)≤0所以 ϕ(x)- ψ(x)=0，即 ϕ(x)= ψ(x) 则原命题方程满足条件y(x 0)= y 0的解于x ≥ x 0一侧最多只有一个解；。

《常微分方程》练习题库参考答案

华中师范大学网络教育学院《常微分方程》练习测试题库参考答案一、判断说明题1、在线性齐次方程通解公式中C 是任意常数而在常数变易法中C （x ）是x 的可微函数。

将任意常数C 变成可微函数C （x ），期望它解决线性非齐次方程求解问题，这一方法成功了，称为常数变易法。

2、因p(x)连续，y(x)= y 0exp(-dx x⎰0x p(x))在p(x)连续的区间有意义，而exp(-dx x⎰x p(x))＞0。

如果y 0＝0，推出y(x)=0,如果y(x)≠0,故零解y(x)=0唯一。

3、（1）它是常微分方程，因为含有未知函数的导数，f,g 为已知函数，y 为一元函数，所建立的等式是已知关系式。

（2）它是常微分方程，理由同上。

（3）它不是常微分方程，因y 是未知函数，y(y(y(x)))也是未知的，所建立的等式不是已知关系式。

4、微分方程求解时，都与一定的积分运算相联系。

因此，把求解一个微分方程的过程称为一个微分方程。

微分方程的解又称为（一个）积分。

5、把微分方程的通解用初等函数或通过它们的积分来表达的方法。

注意如果通解能归结为初等函数的积分表达，但这个积分如果不能用初等函数表示出来，我们也认为求解了这个微分方程，因为这个式子里没有未知函数的导数或微分。

6、 y `＝f(x,y)主要特征是f(x,y)能分解为两个因式的乘积，其中一个因式仅含有x,另一因式仅含y ，而方程p(x,y)dx+q(x,y)dy=0是可分离变量方程的主要特征，就像f(x,y)一样，p,q 分别都能分解成两个因式和乘积。

7、二元函数f(x,y)满足f(rx,ry)=r mf(x,y),r.>0,则称f(x,y)为m 次齐次函数。

m=0则称它为0次齐次函数。

8、如果f(x,y)是0次齐次函数，则y `＝f(x,y)称为齐次方程。

如果p(x,y)和q(x,y)同为m 次齐次函数，则pdx+qdy=0为齐次方程。

常微分方程第三次作业的习题解答

Y
=
c1e−x
+
c2
e−
1 2
x
,
其中
c1, c2
为
任意常数. 为求出原方程的一个特解, 有解的叠加原理知我们只需考虑下述两个方程的特
解: 2y + 3y + y = 4 和 2y + 3y + y = −ex , 对于第一个方程, y = 4 显然是它的一
个特解, 对于第二个方程, 由于 1 不是特征方程的根, 所以可设其特解为: y∗ = Aex . 于是
e−
1 x
d(−
1 x
))
,
即
y
=
x(c1
+
c2
e−
1 x
)
,
其中
c1, c2
为任意常数.
58. 原方程对应的齐次方程为: y − 2y + y = 0 . 其对应的特征方程为 λ2 − 2λ + 1 = 0 ,
解之得: λ = 1 (二重根). 于是该齐次方程的通解为 Y = c1ex + c2xex , 其中 c1, c2 为任意常数.
y∗
=
−
1 4
x
).
26.
解:
原方程对应的齐次方程为:
d2x dt2
+x
=
0
,
其对应的特征方程为
λ2
+1
=
0
,
解之
得: λ1 = i, λ2 = −i , 于是该齐次方程的通解为: X = c1 cos t + c2 sin t , 其中 c1, c2 为任意常数.
又原方程对应的复指数形式的方程为

王高雄等常微分方程》第三版习题解答详细

17. dy = 2x3 + 3xy + x
dx 3x2 y + 2 y3 − y
解：原方程化为 dy = x(2x2 + 3y 2 + 1) ;;;;; dy 2 = 2x2 + 3y 2 + 1
dx y(3x 2 + 2 y 2 −1) dx 2 3x 2 + 2 y 2 −1
令 y 2 = u,;;;;; x2 = v;;;;;;;则 du = 2v + 3u + 1.......(1)
令x = X − 1 , y = Y + 1 ,则有 dY = 2X − Y '
3
3
dX X − 2Y
令 Y = U，则方程可化为：X dU = 2 − 2U + 2U 2
X
dX
1 − 2U
变量分离
14, dy = x − y + 5 dx x − y − 2
解：令x − y = 5 = t,则 dy = 1 − dt , dx dx
4u
x
x4
x
19. 已知 f(x) ∫ f (x)dt = 1, x ≠ 0,试求函数f (x)的一般表达式 . 0
解：设 f(x)=y,
则原方程化为
x
∫
0
f
( x)dt
=
1 y
两边求导得
y
=
−
1 y2
y'
−
y3
=
dy ;;;;;;;;;; dx dx
=
−
y
1 3 dy
;
;
;
;
;
;
;
;

常微分方程课后练习题含答案

常微分方程课后练习题含答案练习1：考虑动力学方程组：$$ \\begin{align} \\frac{dx}{dt}&=x(1-y)\\\\ \\frac{dy}{dt}&=y(1-x)\\end{align} $$a)画出相图b)确定方程组的固定点及其稳定性c)求出轨道在极限$\\lim\\limits_{t\\to\\infty}$时的行为答案1：a)相图如下所示：image-1b)如果(x,y)是方程组的一个固定点，则：$$ \\begin{aligned} \\frac{dx}{dt}&=0 \\\\ \\frac{dy}{dt}&=0\\end{aligned} $$由$\\frac{dx}{dt}=x(1-y)$得，固定点必须是x=0或y=1•当x=0时，$\\frac{dy}{dt}=y$，因此固定点为(0,0)，是不稳定的。

•当y=1时，$\\frac{dx}{dt}=0$，因此固定点为(1,1)，是稳定的。

综上，方程组的固定点为(0,0)和(1,1)，其中(1,1)是稳定的。

c)当$t\\to\\infty$时，我们需要检查轨道的极限行为。

假设(x(t),y(t))是由方程组确定的轨迹，x0=x(0)和y0=y(0)是轨迹的起点。

轨迹的限制曲线由y(1−x)=x(1−y)确定，展开可得y=x或xy=0.5。

将方程组改写为$$ \\frac{dy}{dx}=\\frac{y(1-x)}{x(1-y)} $$则在y=x处，$$ \\frac{dy}{dx}=1 $$这意味着沿着这个轨道移动的速度是恒定的，因此轨迹沿着一条直线移动。

由$\\frac{dy}{dx}=\\frac{y(1-x)}{x(1-y)}$可知，在非负轴上，当y>1−x时$\\frac{dy}{dx}>0$，当y<1−x时$\\frac{dy}{dx}<0$。

常微分方程计算题(3)13页

常微分方程习题集（3）（三）、计算题1. 解方程：0)(22=-++xydy dx x y x ；2. 解方程：024=++xy xy dxdy； 3. 解方程：0)(22=+++xydy dx x y x ； 4. 解方程：y x '=y y x +-22； 5. 解方程：；6. 解方程： xy x y y x tan =-'； 7. 解方程：；8. 解方程：yy x e y '='；9. 解方程：xyx y y x dx dy 3225423++-=；10. 解方程：yx y y xy dx dy 22++-=；11. 解方程：0)1()(=+++--dy e dx e e y y y x ； 12. 解方程：243y x y x +='；13. 解方程：0)()13(22=-++-dy x xy dx xy y ； 14. 解方程：xx x y x y x x dx dy cos sin cos sin +-= ； 15. 解方程：3432842yxy x yy x x dx dy ++++-= ； 16. 解方程：02=+'-'y y x y ； 17. 解方程：；18. 解方程：04)4(=+x x ；19. 解方程：y e y y '-'=)1(； 20. 解方程：122='+y x ； 21. 解方程：；22. 解方程：6244x y y x =+' ；23. 解方程：033=-'+''-'''y y y y ；24. 解方程：；25. 解方程：0212122=++'x y y ； 26. 解方程：04)3()5(=-x x ；27. 解方程：0)2()32(22=+++dy y x x dx xy y ； 28. 解方程：0485=-'+''-'''x x x x ； 29. 解方程：02)3()5()7(=+-x x x ； 30. 求方程2y x dxdy+=经过（0，0）的第三次近似解. （三）、计算题参考答案1、0)(22=-++xydy dx x y x 解：原方程可化为：yx y y x dx dy 1++= 令ux y =整理得：dx xxudu )11(2+=，积分：C xx u +-=1ln 212，将ux y =代入，原方程的通解为： x Cx x x y 22ln 2222-+=，,0=x 是原方程的常数解.2、024=++xy xy dxdy解：0=y 是方程的特解，0≠y 时，令3-=y z 得x xz dxdz36=-，解之得2123-=x Ce z ，故原方程的通解为：21233-=-x Ce y .3、0)(22=+++xydy dx x y x解：因为y x N y y M =∂∂=∂∂,2 ，xN xNy M 1=∂∂-∂∂，所以x =μ为积分因子，两边乘以x 得：02223=+++ydy x dx x xdx y dx x ，所以 0)312141(3224=++x x y x d ，故原方程的通解为：C y x x x =++2234643.4、y x '=y y x +-22 解：原方程可化为：x yxy y +-='221，令ux y =整理得：xdxu du =-21，积分得：Cx u ln arcsin =，将ux y =代入，原方程的通解为：)sin(ln Cx x y =.5. 解方程：解一：令ux y =，则xdu udx dy +=，原方程可化为：xdxu du =+1，积分得：cx u =+1.将ux y =代回得原方程的通解为：x cx y -=2.解二：因为1,2-=∂∂=∂∂x N y M ，xN xNy M 3-=∂∂-∂∂，所以3-=x μ为积分因子，两边乘以3-x 得：02232=-+---dy x dx yx dx x ，所以 0)(21=+---yx x d ，故原方程的通解为：x Cx y -=2.6. xy x y y x tan =-' 解：原方程可化为：xy xyy +='tan ，令ux y =整理得：xdxu du =tan ，积分得：Cx u =sin ，将ux y =代入，原方程的通解为：7.解：令1-=y z ，原方程可化为：x x z dxdzcos sin -=-，由一阶线性方程的通解公式⎰⎰+⎰=-),)(()()(dx e x f C e z dxx p dx x p 得： ⎰⎰-+⎰=---))cos (sin (11dx e x x C e z dx dx )cos sin (⎰⎰---+=xdx e xdx e C e x x xx Ce x +-=sin ，原方程的通解为： 8. yy x e y '='解：原方程可化为：1)(ln -''=y y x y ，令p y ='得1)(ln -=p xp y ，两边对x 求导，并以p 代替y '，整理得0)ln )(ln 1(=--p p dxdpxp . 从0ln 1=-p 得e p =，代如1)(ln -=p xp y 可得原方程的一个特解：ex y =，从0ln =-p p dxdpx解的Cx e p =，代如1)(ln -=p xp y 可得原方程的通解： Cx e Cy 1=.9. xyx y y x dx dy 3225423++-= 解：原方程可化为：0)32()25(423=+++dy xy x dx y y x因为y x xNy x y M 38,4533+=∂∂+=∂∂ ，xy Mx Ny x Ny M 1=-∂∂-∂∂，所以xy =μ为积分因子，两边乘以xy 得：03225225324=+++dy y x ydy x dx xy dx y x ，从而有:0)(3225=+y x y x d ，故原方程的通解为：C y x y x =+3225 .10. yx y y xy dx dy 22++-= 解：原方程可化为：0)2()(2=++--dy y x dx y xy y因为1,21=∂∂--=∂∂x N y x y M ，1-=∂∂-∂∂NxNy M ，所以x e -=μ为积分因子，两边乘以x e -得：022=++-------dy ye dy xe dx e y dx xye ydx e x x x x x ，所以:0)()(2=+++----dy xe xde dx e y e y d x x x x ，0)(2=+--x x xye e y d ,故原方程的通解为：x Ce xy y =+2.11. 0)1()(=+++--dy e dx e e y y y x解：因为0,1=∂∂+=∂∂x Ne y M y ，1=∂∂-∂∂Nx Ny M ，所以x e =μ为积分因子，两边乘以x e 得：0=+++-dy e e dy e dx e e dx ydx e x y x x y x ，所以:0)(=++-y x x y x de e de e dx ye d ，0)(=+-+y x x e x ye d ,故原方程的通解为：C e x e y y x x =+-+.12. 243y x y x +='解：由分析可知 2x y =是该方程的一个解，作变换z x y +=2，原方程可化为322xz z x dx dz +=，解之得； )ln (21x C x z -=--，故原方程的通解为：)ln 11(2xC x y -+=. 13. 0)()13(22=-++-dy x xy dx xy y解：因为x y x Nx y y M 2,32-=∂∂-=∂∂ ，xN x Ny M 1=∂∂-∂∂，所以x =μ为积分因子，两边乘以x 得：033222=-++-dy x ydy x xdx ydx x dx xy ，所以:0)()21()21(3222=-+y x d x d y x d ，0)2121(2322=+-x y x y x d , 故原方程的通解为：C x y x y x =+-23222121. 14.xx x y xy x x dx dy cos sin cos sin +-= 解：原方程可化为：0)cos sin ()cos sin (=+++-dy x x x y dx x y x x因为x x x x y x Nx y M sin cos cos ,cos -+=∂∂=∂∂，1-=-∂∂-∂∂Mx Ny M ，所以y e -=μ为积分因子，两边乘以y e -得：0)cos sin ()cos sin (=+++---dy x x x y e dx x y x x e y y ，取000==y x 有:dx x x x y e y x U xy ⎰-=-0)sin cos (),(，)sin cos sin (x x x x y e y -+=-,故原方程的通解为：C x x x x y e y =-+-)sin cos sin (.15. 3432842yxy x y y x x dx dy ++++-= 解：原方程可化为：0)84()2(3432=+++++dy y xy x dx y y x x因为4341,1y xNx y M +=∂∂+=∂∂ ，xy Mx Ny x Ny M +=-∂∂-∂∂21，所以xy +=2μ为积分因子，两边乘以xy +2得：0)84)(2()2)(2(3432=+++++++dy y xy x xy dx y y x x xy ，取000==y x 有:⎰⎰+++++=yxdy y dx y xy y x y x x y x U 0302243216)244(),(，422254342215134y xy y x y x y x x +++++=, 故原方程的通解为：C y xy y x y x y x x =+++++422254342215134. 16. 02=+'-'y y x y 解：原方程可化为：2y y x y '-'=，令p y ='得2p xp y -=，两边对x 求导，并以p 代替y '，整理得0)2(=-dxdpp x . 从02=-p x 得x p 21=，代入2p xp y -=可得原方程的一个特解：241x y =，从0=dxdp解的C p =，代如2p xp y -=可得原方程的通解： 2C Cx y -=.17.解：原方程可化为：3278y y '=，令p y ='得3278p y =，两边对x 求导，并以p 代替y '，整理得01982=-dxdp p . 解之得：)(23C x p +=，代如3278p y =可得原方程的通解： 3)(C x y +=.18. 04)4(=+x x . 解：其特征方程为：044=+λ，特征根为： .1.1,1,1i i i i --+--+ 所以其实基本解组为：,cos t e t ,sin t e t ,cos t e t -,sin t e t - 原方程的通解为：21cos C t e C x t +=3sin C t e t +4cos C t e t +-t e t sin -.19. y e y y '-'=)1( 解：令p y ='得p e p y )1(-=，两边对x 求导，并以p 代替y '，整理得0)1(=-dxdpe p p.可得：0=p ，与 01=-dxdpe p 解之得:0=p ,与 c x p +=ln代入p e p y )1(-=得: 1-=y 为常数解,与通解：)1(ln -++=c x c x y . 20. 122='+y x解：令t y cos ='，则t x sin =，利用dx y dy '=得： tdt dy 2cos =，积分得： C t t y ++=2s i n 4121，将x t arcsin =代入得原方程的通解：C x x x y +-+=)1(arcsin 212.21.解：原方程可化为：0))((221=+-'--'x x ye y y ye y y ，由02=--'x ye y y 得：22x e x Ce y +=，由02=+-'x ye y y 得：22x e x Cey -=，故原方程的通解为：22x ex Cey ±=.22. 6244x y y x =+'解：由分析可知 3x y =是该方程的一个解，作变换z x y +=3，原方程可化为422xz z x dx dz --=，解之得； 35521515)51(x Cx x C x z -=-=-，故原方程的通解为：)1551(53-+=Cx x y .23. 033=-'+''-'''y y y y解：其特征方程为：0)1(133323=-=-+-λλλλ，特征根1=λ为3重根，所以其基本解组为： x x x x e x e x xe e 32,,,，原方程的通解为： x x x x e x C e x C xe C e C y 342321+++=.24.解：显然0=y 是方程的解，当0≠y 时，两边乘以21y 原方程可化为 022='-'-''y y y y y ，从而有： 0)(=-'y yy dx d ， 1C y yy =-'，解之的：11211-=x C e C C C y ，为原方程的通解.25. 0212122=++'x y y 解：由分析可知 1-=x y 是该方程的一个解，作变换z x y +=-1，原方程可化为21z z xdx dz --=，解之得； )ln (1x C x z +=-，故原方程的通解为：)ln (11x C x x y ++=-. 26. 04)3()5(=-x x解：其特征方程为：0)2)(2(4335=+-=-λλλλλ，特征根0=λ为3重根，2,2-==λλ. 所以其基本解组为： 2,1t t ，t t e e 22,-，原方程的通解为： t t e C e C t C t C C y 25242321-++++=.27. 0)2()32(22=+++dy y x x dx xy y 解：因为xy x N xy y M 41,62+=∂∂+=∂∂ ，xN x N y M 1=∂∂-∂∂，所以x =μ为积分因子，两边乘以x 得：02323222=+++ydy x dy x dx y x xydx ，所以:0)()(232=+y x d y x d ，故原方程的通解为：C y x y x =+232.28. 0485=-'+''-'''x x x x解：其特征方程为：0)2)(1(485223=--=-+-λλλλλ，特征根为2=λ为2重根，1=λ. 所以其基本解组为： t t t e te e ,,22，原方程的通解为： t t t e C te C e C x 32221++=.29. 02)3()5()7(=+-x x x解：其特征方程为：0)1()1(2223357=+-=+-λλλλλλ，特征根为：0=λ为3重根，1=λ，为2重根，1-=λ为2重根. 所以其基本解组为： 2,1t t ，t t t t te e te e --,,,，原方程的通解为：t t t t te C e C te C e C t C t C C x --++++++=76542321.30. 求方程2y x dxdy +=经过（0，0）的第三次近似解. 解：取0)(0=x ϕ， 200200121)()(x xdx dx y x y x x x ==++=⎰⎰ϕ， dx x x y x x ])([)(02102⎰++=ϕϕ 5222020121])21([x x dx x x x +=+=⎰， dx x x x y x x ])20121([)(252003+++=⎰ϕ = 1185244001160120121x x x x +++.。

《常微分方程》第三次作业

《常微分方程》第三次作业第3章一阶线性微分方程组1．完成定理3.1的证明． 2．完成定理3.1′的证明3．将下列方程式化为一阶方程组（1）0)()(=++x g x x f x &&& （2）)(d d d d 22t f kx t xc tx m =++（3）0)()()(321=+'+''+'''y x a y x a y x a y4．求解方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=y t p x t q ty y t q x t p tx)()(d d )()(d d 其中)(),(t q t p 在[a , b ]上连续．5．设n n ⨯矩阵函数)(1t A ，)(2t A 在（a , b ）上连续，试证明，若方程组X A X )(d d 1t t = 与X A X)(d d 12t t= 有相同的基本解组，则)(1t A ≡)(2t A ． 6．求解下列方程组：（1）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==yty x tx 2d d d d （2）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=x y t y x y t x54d d 45d d（3）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+=y x ty y x txαββαd d d d7．求解下列方程组：（1）⎩⎨⎧-=+=x y y y x x 23&& （2）⎪⎩⎪⎨⎧+-=-+=+-=z y x zz y x yz y x x222&&& 8．求解下列方程组：（1）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=y ty y x t x 3d d 3d d （2）⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+=+=333222112d d 2d d 2d d y x y y y x yy y x y（3）⎪⎩⎪⎨⎧+=+=2e 2t x yy xt && （4）⎩⎨⎧++=++=t y x y t y x x e 823532&&第4章 n 阶线性微分方程1．设在方程0)()(=+'+''y x q y x p y 中，)(x p 在区间I 上连续且恒不为零，试证它的任意两个线性无关解的朗斯基行列式是在区间I 上严格单调函数．2．试证明：二阶线性齐次方程的任意两个线性无关解组的朗斯基行列式之比是一个不为零的常数．3．已知方程0)1(=+'-''-y y x y x 的一个解x y =1，试求其通解．4．已知方程011)ln 1(2=-'+''-y xy x y x 的一个解x y ln 1=，求其通解．5．在方程0)()(=+'+''y x q y x p y 中，当系数满足什么条件时，其基本解组的朗斯基行列式等于常数．参考答案第3章一阶线性微分方程组1．略 2．略3．（1）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--==)()(d d d d t g y x f ty y tx （2）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+--==)(1d d d d t f m x m k y m c t y y t x（3）⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧---===03122122110)()()(d d d d d d y x a y x a y x a x y y x yy x y4．⎪⎩⎪⎨⎧=-=+⎰-⎰+tt q t p tt q t p C y x C y x d )]()([2d )]()([1ee 5．提示：基本解组是可逆的．6．（1）⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡212e 00e C C t t （2）⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2199e e e e C C x x x x （3）⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-21cos sin sin cos e C C t t t t t ββββα 7．（1）⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-212sin cos sin cos sin cos e C C t t t t t t t （2） ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡32132232e e e 0e e e e 0C C C t ttt tt t 8．（1）⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡21333e 0e e C C t t tt（2）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡3212210010211e C C C x x x x（3）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+--++⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡---t t t t C C t t t tt t2e )21(2e )21(e e e e 221 （4）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡++---+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡---t t t t tt t t C C e 5123e 35132e ee e 2155第4章 n 阶线性微分方程1．提示：利用刘维尔公式证明． 2．提示：利用刘维尔公式证明．3．x C x C y e 21+= 4．x C x C y 21ln +=5．=⎰-xx p d )(e 常数选做作业一.填空题1. 若A (x )在(-∞,+∞)上连续，那么线性齐次方程组Y A Y)(d d x x=，n R Y ∈的任一非零解在1+n R 空间( )与x 轴相交.2. 方程组n x x xR Y R Y F Y∈∈=,),,(d d 的任何一个解的图象是( )维空间中的一条积分曲线.3. 向量函数组Y 1(x ), Y 2(x ),…,Y n (x )线性相关的( )条件是它们的朗斯期行列式W (x )=0.4. 线性齐次微分方程组n x x xR Y R Y A Y∈∈=,,)(d d ，的一个基本解组的个数不能多于( )个. 二.单选题1.线性非齐次方程组n x x x xR Y R F Y A Y∈∈+=,),()(d d 的所有解( ).(A)构成一个n 维线性空间 (B)构成一个n +1维线性空间 (C)不是线性空间(D)构成一个无穷维线性空间2.若A (x ), F (x )≠0在(-∞,+∞)上连续，那么线性非齐次方程组n x x x xR Y R F Y A Y∈∈+=,),()(d d 的任一非零解是否可以与x 轴相交?( ). (A)可以与x 轴相交 (B)不可以与x 轴相交 (C)也许可以 (D)也许不可以3.两个不同的线性齐次微分方程组是否可以有相同的基本解组?( ) (A)不可以 (B)可以 (C)也许不可以 (D)也许可以4.若)(x Φ是线性齐次方程组Y A Y)(d d x x=的一个基解矩阵，T 为非奇异n ×n 常数矩阵，那么)(x ΦT 是否还是此方程的基解矩阵.( ) (A)是 (B)不是(C)也许是 (D)也许不是参考答案一.填空题1.不能2.n+13.必要4.n+1二.单选题1．C 2．A 3．A 4．A。

常微分方程第三章测试卷及答案

常微分方程第三章测试卷班级姓名学号得分一、填空题（30分）1，则称函数为在R 上关于y 满足利普希兹条件。

2，存在唯一性定理中近似值与真正解在区间h x x ≤-0 内的误差估计式为3，由解关于初值的对称性，若方程满足初始条件00)(y x y =的解是唯一的，记为),,(00y x x y ϕ=,则成立关系式在解的存在范围内。

4，若函数),(y x f 以及yf ∂∂都在区域G 内连续，则方程的解),,(00y x x y ϕ=作为00,,y x x 的函数在它的存在范围内的。

5，若函数),(y x f 在区域G 内连续，且关于y 满足局部利普希兹条件，则方程的解),,(00y x x y ϕ=作为00,,y x x 的函数在它的存在范围内的。

6, 微分方程的奇解是指二、解答题（50分）1，求曲线0sin cos =-+p a y a x 的奇解。

这里a 是参数，p 为固定常数。

2，求2'1y y -=的奇解 ()1≤y3，求初值问题22y x dx dy -=及0)1(=-y ；1,11:≤≤+y x R 的解的存在区间，并求第二次近似解，给出在解的存在区间的误差估计。

4，讨论212-=y dx dy 分别过点（0，0），（3,2ln -）的解的存在区间。

5，利用克莱洛方程求pxp y 1+=的奇解，dx dy p =三、证明题（20分）假设函数),(y x f 于),(00y x 的邻域内是y 的不增函数，试证方程),(y x f dxdy =满足条件00)(y x y =的解于0x x ≥一侧最多只有一个。

常微分方程第三章测试卷一1，若存在常数L >0。

使得不等式2121),(),(y y L y x f y x f -≤-，对于所有R y x y x ∈),(),,(21都成立2，1)!1()()(++≤-n Nn h n ML x x ϕϕ。

3，),,(00y x x y ϕ=4，连续可微的。