《常微分方程》第三次作业

《常微分方程》第三次作业 第3章 一阶线性微分方程组

1．完成定理3.1的证明． 2．完成定理3.1′的证明

3．将下列方程式化为一阶方程组

（1）0)()(=++x g x x f x &&& （2）)(d d d d 22t f kx t x

c t

x m =++

（3）0)()()(321=+'+''+'''y x a y x a y x a y

4．求解方程组

⎪⎪⎩⎪⎪⎨

⎧+=+=y t p x t q t

y y t q x t p t

x

)()(d d )()(d d 其中)(),(t q t p 在[a , b ]上连续．

5．设n n ⨯矩阵函数)(1t A ，)(2t A 在（a , b ）上连续，试证明，若方程组

X A X )(d d 1t t = 与X A X

)(d d 12t t

= 有相同的基本解组，则)(1t A ≡)(2t A ． 6．求解下列方程组：

（1）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==y

t

y x t

x 2d d d d （2）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=x y t y x y t x

54d d 45d d

（3）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+=y x t

y y x t

x

αββαd d d d

7．求解下列方程组：

（1）⎩⎨⎧-=+=x y y y x x 23&& （2）⎪⎩⎪

⎨⎧+-=-+=+-=z y x z

z y x y

z y x x

222&&& 8．求解下列方程组：

（1）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=y t

y y x t x 3d d 3d d （2）⎪⎪⎪⎩

⎪⎪⎪⎨⎧=+=+=333222

11

2d d 2d d 2d d y x y y y x y

y y x y

（3）⎪⎩⎪⎨⎧+=+=2

e 2t x y

y x

t && （4）⎩⎨⎧++=++=t y x y t y x x e 823532&&

第4章 n 阶线性微分方程

1．设在方程0)()(=+'+''y x q y x p y 中，)(x p 在区间I 上连续且恒不为零，试证它的任意两个线性无关解的朗斯基行列式是在区间I 上严格单调函数．

2．试证明：二阶线性齐次方程的任意两个线性无关解组的朗斯基行列式之比是一个不为零的常数．

3．已知方程0)1(=+'-''-y y x y x 的一个解x y =1，试求其通解．

4．已知方程01

1)ln 1(2=-'+''-y x

y x y x 的一个解x y ln 1=，求其通解．

5．在方程0)()(=+'+''y x q y x p y 中，当系数满足什么条件时，其基本解组的朗斯基行列式等于常数．

参考答案

第3章 一阶线性微分方程组

1．略 2．略

3．（1）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--==)

()(d d d d t g y x f t

y y t

x （2）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+--==)(1d d d d t f m x m k y m c t y y t x

（3）⎪⎪⎪⎩

⎪⎪⎪⎨⎧---===0312212

2110

)()()(d d d d d d y x a y x a y x a x y y x y

y x y

4．⎪⎩⎪⎨⎧=-=+⎰-⎰+t

t q t p t

t q t p C y x C y x d )]()([2d )]()([1e

e 5．提示：基本解组是可逆的．

6．（1）⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡212e 00e C C t t （2）⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2199e e e e C C x x x x （3）⎥⎦

⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-21cos sin sin cos e C C t t t t t ββββα 7．（1）⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-212sin cos sin cos sin cos e C C t t t t t t t （2） ⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣

⎡32132232e e e 0e e e e 0

C C C t t

t

t t

t t 8．（1）⎥⎦

⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢

⎣⎡21333e 0

e e C C t t t

t

（2）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡32

12210010211e C C C x x x x

（3）⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+--++⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡---t t t t C C t t t t

t t

2e )21(2e )2

1(e e e e 221 （4）⎥

⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎣⎡++---+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡---t t t t t

t t t C C e 5123e 35132e e

e e 2155

第4章 n 阶线性微分方程

1．提示：利用刘维尔公式证明． 2．提示：利用刘维尔公式证明．

3．x C x C y e 21+= 4．x C x C y 21ln +=

5．=⎰-x

x p d )(e 常数

选做作业

一.填空题

1. 若A (x )在(-∞,+∞)上连续，那么线性齐次方程组

Y A Y

)(d d x x

=，n R Y ∈的任一非零解在1+n R 空间( )与x 轴相交.

2. 方程组n x x x

R Y R Y F Y

∈∈=,),,(d d 的任何一个解的图象是( )维空间中的一条积

分曲线.

3. 向量函数组Y 1(x ), Y 2(x ),…,Y n (x )线性相关的( )条件是它们的朗斯期行列式W (x )=0.

4. 线性齐次微分方程组n x x x

R Y R Y A Y

∈∈=,,)(d d ，的一个基本解组的个数不能多于

( )个. 二.单选题

1.线性非齐次方程组n x x x x

R Y R F Y A Y

∈∈+=,),()(d d 的所有解( ).

(A)构成一个n 维线性空间 (B)构成一个n +1维线性空间 (C)不是线性空间

(D)构成一个无穷维线性空间

2.若A (x ), F (x )≠0在(-∞,+∞)上连续，那么线性非齐次方程组n x x x x

R Y R F Y A Y

∈∈+=,),()(d d 的任一非零解是否可以与x 轴相交?( ). (A)可以与x 轴相交 (B)不可以与x 轴相交 (C)也许可以 (D)也许不可以

3.两个不同的线性齐次微分方程组是否可以有相同的基本解组?( ) (A)不可以 (B)可以 (C)也许不可以 (D)也许可以

4.若)(x Φ是线性齐次方程组Y A Y

)(d d x x

=的一个基解矩阵，T 为非奇异n ×n 常数矩阵，那么)(x ΦT 是否还是此方程的基解矩阵.( ) (A)是 (B)不是

(C)也许是 (D)也许不是