追及与相遇问题(详解)

追及与相遇问题刘玉平

课时安排：3课时

三维目标：

1、掌握匀变速直线运动的速度、位移公式以及速度－位移公式；

2、能灵活选用合适的公式解决实际问题；

3、通过解决实际问题，培养学生运用物理规律对实际生活中进行合理分析、解决问题的能力；

4、通过教学活动使学生获得成功的愉悦，培养学生参与物理学习活动的兴趣，提高学习自信心。教学重点：灵活选用合适的公式解决实际问题；

教学难点：灵活选用合适的公式解决实际问题。

教学方法：启发式、讨论式。

教学过程

两物体在同一直线上追及、相遇或避免碰撞问题中的条件是：两物体能否同时到达空间某位置。因此应分别对两物体进行研究，列出位移方程，然后利用时间关系、速度关系、位移关系求解。

一、追及问题

1、追及问题的特征及处理方法：

“追及”主要条件是：两个物体在追赶过程中处在同一位置，常见的情形有三种：

⑴初速度比较小（包括为零）的匀加速运动的物体甲追赶同方向的匀速运动的物体乙，一定

能追上。

a、追上前，当两者速度相等时有最大距离；

b、当两者位移相等时，即后者追上前者。

⑵匀减速运动的物体追赶同向的匀速运动的物体时，存在一个能否追上的问题。

判断方法是：假定速度相等，从位置关系判断。

解决问题时要注意二者是否同时出发，是否从同一地点出发。

a、当两者速度相等时，若追者位移仍小于被追者，则永远追不上，此时两者间有最

小距离；

b、若两者速度相等时，两者的位移也相等，则恰能追上，也是两者避免碰撞的临界

条件；

c、若两者速度相等时，追者位移大于被追者，说明在两者速度相等前就已经追上；

在计算追上的时间时，设其位移相等来计算，计算的结果为两个值，这两个

值都有意义。即两者位移相等时，追者速度仍大于被追者的速度，被追者还

有一次追上追者的机会，其间速度相等时两者间距离有一个较大值。

⑶匀速运动的物体甲追赶同向匀加速运动的物体乙，情形跟⑵类似。

匀速运动的物体甲追赶同向匀减速运动的物体乙，情形跟⑴类似；被追赶的物体做匀减速运动，一定要注意追上前该物体是否已经停止运动。

2、分析追及问题的注意点：

⑴要抓住一个条件，两个关系：一个条件是两物体的速度满足的临界条件，如两物体距离最大、

最小，恰好追上或恰好追不上等。两个关系是时间关系和位移关系，通过画草图找两物体的位移关系是解题的突破口。

⑵若被追赶的物体做匀减速运动，一定要注意追上前该物体是否已经停止运动。

⑶仔细审题，充分挖掘题目中的隐含条件，同时注意v t 图象的应用。

二、相遇

⑴同向运动的两物体的相遇问题即追及问题，分析同上。

⑵相向运动的物体，当各自发生的位移绝对值的和等于开始时两物体间的距离时即相遇。

【典型例题】

【例1】在十字路口，汽车以s2的加速度从停车线启动做匀加速运动，恰好有一辆自行车以5m/s的速度匀速驶过停车线与汽车同方向行驶，求：

（1）汽车追上自行车之前，什么时候它们相距最远最远距离是多少

（2）在什么地方汽车追上自行车追到时汽车的速度是多大

解：①汽车追上自行车之前，两车速度相等时相距最远，设所用时间为t

v 汽＝at ＝v 自 t ＝10s 最远距离x ＝x 自－x 汽＝v 自t －

21at 2＝25m ②设汽车追上自行车所用时间为t ／ 此时x 自＝x 汽 v 自t ／＝2

1a t ／2 t ／＝20s 此时距停车线距离 x ＝v 自t ／

＝100m 此时汽车速度 v 汽＝a t ／＝10m/s

【例2】 客车以30m/s 的速度行驶,突然发现前方72 m 处有一自行车正以6m/s 的速度同向匀速行驶,于是客车紧急刹车,若以3m/s 2的加速度匀减速前进,问：

（1） 客车是否会撞上自行车若会撞上自行车，将会在匀减速前进多久时撞上

（2） 若要保证客车不会撞上自行车，客车刹车时距离自行车至少多远

（3） 若要保证客车不会撞上自行车，客车刹车时的加速度至少多大 1） 速度相等时用时t ，则30-3t=6m/s 解得t=8s ，此时自行车行驶6*8=48m ，客车行驶30*8-1/2*3*8*8=144,72+48=120m<144m,所以会撞上。假设t 时刻撞上，则有30*t-1/2*3t2=72+6*t 解得t1=4s ，t2=12s （舍去）

2）不会撞上则速度相同时刚好不会撞上。由（1）中得144=48+S ，所以至少相差96m

【例3】 在一条平直的公路上，乙车以10m/s 的速度匀速行驶，甲车在乙车的后面作初速度为15m/s ，加速度大小为s 2

的匀减速运动，则两车初始距离L 满足什么条件时可以使：

（1）两车不相遇；

（2）两车只相遇一次；

（3）两车能相遇两次（设两车相遇时互不影响各自的运动）。 a= v1=10 v2=15

当甲车减速为v=10时，两车速度相同。即之后甲车速度小于乙车。

设甲车v=10时，辆车正好相遇。t=(v1-v2)/a=10.

s 甲=v2*t+at^2/2=15**10*10/2=125

s 乙=v1*t=100

L=s 甲-s 乙=25（m ）

即当L<25时为①两车相遇两次（设两车相遇时互不影响各自的运动）

当L=25时为②两车只相遇一次 当L>25时为③两车不相遇

【例4】 如图,A 、B 两物体相距S=7米,A 正以V 1=4米/秒的速度向右做匀速直线运动,而物体B 此时速度V 2=10米/秒,方向向右,做匀减速直线运动(不能返

回),加速度大小a=2米/秒2,从图示位置开始计时,经多少时间A 追

上B. 解: 物体B 的运动时间为 52

10===

a V t A B 秒 在此时间内B 前进了 255210=⨯=⋅=B B t V S 米 这时A 前进了 2054 =⨯==B A A t V S 米

可见在此时间内A 没有追上B,必须在B 停止后,A 才能追上B.

故A 追上B 的时间为: 84

257=+=+=A B V S S t 秒 【例5】 一辆摩托车行驶的最大速度为30m/s 。现让该摩托车从静止出发，要在4分钟内追上它前方相距1千米、正以25m/s 的速度在平直公路上行驶的汽车，则该摩托车行驶时，至少应具有多大的加速度

解：假设摩托车一直匀加速追赶汽车。则：

=22

1at V 0t+S 0 ……（1） a =24.0240

10002240252222200=⨯+⨯⨯=+t S t V （m/s 2） ……（2） 摩托车追上汽车时的速度： V = at = 240 = 58 (m/s) （3）

因为摩托车的最大速度为30m/s ，所以摩托车不能一直匀加速追赶汽车。

应先匀加速到最大速度再匀速追赶。

()t V S t t V at m 001212

1+=-+ ......（4） V m ≥at 1 (5)

A

B S V 1

V 2