专题2 集合中的新定义问题-高一数学必修一专题复习训练含答案

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专题02：集合知识点与典型例题(解析版)-2022年高考数学一轮复习

故选：C
12．已知集合U 1, 2,3, 4,5, 6，A 1, 2,3 ，集合 A 与 B 的关系如图所示，则集合 B 可
能是（）
A．2, 4,5
B．1, 2,5
【答案】D 【分析】
由图可得 B A ，由选项即可判断.
【详解】
解：由图可知： B A ，
A 1, 2,3 ，
C． 1, 6
故选：D.
5．设 A＝{y|y＝﹣1+x﹣2x2}，若 m∈A，则必有（）
A．m∈{正有理数} 【答案】D 【分析】
B．m∈{负有理数}
C．m∈{正实数}
D．m∈{负实数}
求出函数 y 1 x 2x 2 的值域，就是集合 A，进而可判断结果
【详解】
解：因为 y 1 x 2x2 2(x 1 )2 7 7 ， 488
∪A.
4、全集与补集
（1）全集：如果集合 S 含有我们所要研究的各个集合的全部元素，这个集合就可以看作一
个全集。通常用 U 来表示。
（2）补集：设 S 是一个集合，A 是 S 的一个子集（即 A S），由 S 中
S
所有不属于 A 的元素组成的集合，叫做 S 中子集 A 的补集（或余集）。
记作： CSA ，即 CSA ={x | xS 且 x A}
对于 B：{(x, y}) | x 2, y 3}，表示的是点集，故不相等；
对于 C： x | x2 5x 6 0 ，表示方程 x2 5x 6 0 的解集，因为 x2 5x 6 0 的解为 x 2 ，或 x 3 ，所以 x | x2 5x 6 0 2,3
对于 D： x N x2 9 0 3,2,1, 0,1, 2,3 ，故不相等
B． {1, 3}

微专题03集合常考3种新定义问题(22题)(解析版)-人教A版2019必修第一册高一数学习题

微专题03 集合常考3种新定义问题（22题）题型一集合的“新概念”题型题型二集合的“新运算”题型题型三集合的“新性质”题型一、集合的新定义问题所谓集合“新定义”问题,是指在现有集合的定义,以及相关概念、运算法则的基础上,定义一种新运算、新性质、新元素等。

下面浅析集合新定义问题的三种题型。

1.集合的“新元素”题型集合的“新元素”题型,只需准确提取信息并加工利用,再结合集合元素的“互异性”,便可顺利解决.2.集合的“新运算”题型集合中的新运算问题是通过创新给出有关集合的一个全新的运算规则．按照新的运算规则，结合数学中原有的运算和运算规则，通过相关的集合或其他知识进行计算或逻辑推理等，从而达到解答的目的．解决集合的新运算问题常分为三步:对新运算进行信息提取,确定化归的方向;对新运算所提取的信息进行加工,探求解决方法;对新运算中提出的知识进行转化,有效地输出。

其中对新运算信息的提取和转化与化归是解题的关键,也是解题的难点.3.集合的“新性质”题型集合中的新性质问题往往是通过创新集合中给定的定义与性质衍生而来的．我们通过可以结合相应的集合概念、关系、运算等相关知识，利用相应的数学思想方法来解答有关的集合的新性质问题．通过集合之间元素属性的分析,结合题中引入相应的创新性质,确定所求集合的元素。

二、解决集合新定义问题的着手点：（1）正确理解新定义：剥去新定义、新法则、新运算的外表，转化为我们熟悉的集合知识．（2）合理利用集合性质：运用集合的性质（如元素的性质、集合的运算性质等）是破解新定义型集合问题的关键．（3）对于选择题，可结合选项，通过验证、排除、对比、特值法等进行求解或排除错误选项，当不满足新定义的要求时，只需通过举反例来说明．三、集合新定义问题处理步骤①找：要抓住新定义的本质——新定义的要素，首先找出新定义有几个要素，少一个都不是“新的定义”哦；然后找出要素分别是什么②看：看所求是什么？③代：将已知条件代入新定义的要素④解：结合数学知识进行解答题型一集合的“新概念”题型1.（2024·江苏常州·高一校考阶段练习）已知集合{4,5,6}P =，{1,2,3}Q =，定义{|,,}P Q x x p q p P q Q -==-ÎÎ，则集合P Q -的所有真子集的个数为（）A ．32B ．31C ．30D ．29【答案】B【解析】集合{4,5,6}P =，{1,2,3}Q =，定义{|,,}P Q x x p q p P q Q -==-ÎÎ，则{1,2,3,4,5}P Q -=，元素个数为5，故集合P Q -的所有真子集的个数为52131.-=故选：B2.（2024·重庆九龙坡·高一重庆市育才中学校考期中）定义集合{},A B x x a A b B ==ÎÎe ，若{},1A n =-，}B =，且集合A B e 有3个元素，则由实数n 所有取值组成的集合的非空真子集的个数为（）A ．2B ．6C ．14D ．15【答案】B【解析】因为{},A B x x a A b B ==ÎÎe ，{},1A n =-，}B =，所以x =A B e 有3个元素，=时，即0n =时，}A B =e 满足题意，=时，即1n =，1n =-（舍去）时，A B =e ，不符合题意，=时，即n =2}A B =e 满足题意，=1n =，1n =-（舍去）时，A B =e ，不符合题意.综上，n Î，故所构成集合的非空真子集的个数为3226-=.故选：B3.（2024·河北衡水·高一校考阶段练习）定义：差集{M N x x M -=Î且}x N Ï．现有两个集合A 、B ，则阴影部分表示的集合是（）A ．()AB B-U B ．()B A B -I C ．()()A B B A --I D ．()()A B B A -È-【答案】D 【解析】集合A 中阴影部分表示的集合为{A B x x A -=Î且}x B Ï集合B 中阴影部分元表示的集合为{B A x x B -=Î且}x A Ï，故整个阴影部分表示()()A B B A -È-，故选：D.4.（23-24高二下·福建·期末）定义()A Õ为集合A 中所有元素的乘积，规定：只有一个元素时，乘积即为该元素本身，已知集合2511378342M ìü=--íýîþ，，，，，，，集合M 的所有非空子集依次记为1M 、2M 、…、127M ，则12127()()...()M M M +++=ÕÕÕ .【答案】215【分析】构造函数251()()()(1)(3)(7)(8)(342f x x x x x x x x =-+++++-，分析题意知，集合M 的所有子集的乘积之和即为()f x 展开式中所有项的系数之和减1.【详解】设251()()(1)(3)(7)(8)()342f x x x x x x x x =-+++++-，则集合的所有子集的乘积之和即为展开式中所有项的系数之和减1，令1x =，则展开式中所有项的系数之和为251(1)(1)(11)(13)(17)(18)(1)216342T -++++-==+，所以12127()()...()2161215M M M +++=-=ÕÕÕ.故答案为：215.5.（24-25高一上·上海·课堂例题）对于非负整数集合S （非空），若对任意,x y S Î，都有x y S +Î，或者x y S -Î，则称S 为一个好集合，以下记S 为S 的元素个数．(1)写出两个所有的元素均小于3的好集合；（给出结论即可）(2)设集合{},,,S a b c d =，a b c d <<<，若集合S 为好集合，求出a 、b 、c ，d 所满足的条件．（需说明理由）【答案】(1){}0,2，{}0,1(2)答案见解析【分析】（1）根据好集合的新定义来确定元素；（2）根据满足好集合的新定义来确定元素所满足的特征.【详解】（1）{}0,2，{}0,1（2）由题意：d d S +Ï，故0S Î，即0a =，考虑c 、d ，可知0d c S <-Î，∴d c c -=或d c b -=．若d c c -=，则考虑b ，c ，∵2c b c c d <+<=，∴c b S -Î，则c b b -=，∴{}0,,2,4S b b b =，但此时35b b S Ï、，不满足题意；若d c b -=，此时{}0,,,S b c b c =+，满足题意，∴{}0,,,S b c b c =+，其中b 、c 为相异正整数．6.【多选】（2024高三下·全国·专题练习）大数据时代，需要对数据库进行检索，检索过程中有时会出现笛卡尔积现象，而笛卡尔积会产生大量的数据，对内存、计算资源都会产生巨大压力，为优化检索软件，编程人员需要了解笛卡尔积.两个集合A 和B ，用A 中元素为第一元素，B 中元素为第二元素构成有序对，所有这样的有序对组成的集合叫作A 与B 的笛卡儿积，又称直积，记为A B ´.即(){,A B x y x A ´=Î且}y B Î.关于任意非空集合M N T ，，，下列说法错误的是（）A ．M N N M´=´B ．()()M N T M N T ´´=´´C ．()M N T ´U ()()M N M T ´´U D ．()()()M N T M N M T ´=´´I I 【答案】ABC【分析】对于ABC ，举例分析判断，对于D ，利用直积的定义分析判断即可.【详解】对于A ，若{}{}121,,M N ==，则()(){}()(){}1,1,1,2,1,1,2,1,M N N M M N N M ´=´=´¹´，A 错误；对于B ，若{}{}{}1,2,3M N T ===，则(){}()()(){}1,2,1,2,3M N M N T ´=´´=，而()()(){}()()1,2,3,M N T M N T M N T ´´=´´¹´´，B 错误；对于C ，若{}{}{}1,2,3M N T ===，则()()(){}1,2,1,3M N T ´=U ，(){}1,2M N ´=，(){}1,3M T ´=，()()()M N T M N M T ´=´´U U ，C 错误；对于D ，任取元素()(),x y M N T Î´I ，则x M Î且y N T ÎI ，则y N Î且y T Î，于是(),x y M N Î´且(),x y M T Î´，即()()(),x y M N M T Î´´I ，反之若任取元素()()(),x y M N M T Î´´I ，则(),x y M N Î´且(),x y M T Î´，因此x M y N ÎÎ，且y T Î，即x M Î且y N T ÎI ，所以()(),x y M N T Î´I ，即()()()M N T M N M T ´=´´I I ，D 正确.故选：ABC7.（2024·广西·模拟预测）已知集合{}12,,,n A x x x =L ，*N n Î，3n ³，若x A Î，y A Î，x y A +Î或x y A -Î，则称集合A 具有“包容”性．(1)判断集合{}1,1,2,3-和集合{}1,0,1,2-是否具有“包容”性；(2)若集合{}1,,B a b =具有“包容”性，求22a b +的值；(3)若集合C 具有“包容”性，且集合C 的子集有64个，1C Î，试确定集合C ．【答案】(1)集合{}1,1,2,3-不具有“包容”性，集合{}1,0,1,2-具有“包容”性(2)1(3){}2,1,0,1,2,3--，1131,,0,,1,222ìü--íýîþ，2112,,0,,,13333ìü--íýîþ，{}3,2,1,0,1,2---或311,1,,0,,1222ìü---íýîþ．【分析】（1）根据“包容”性的定义，逐一判断即可；（2）根据“包容”性的定义，能得到{}01,,a b Î，分类讨论，得出a 和b 的值，即可得出结果；（3）由集合C 的子集有64个，推出集合C 中共有6个元素，且0C Î，再由条件1C Î，推出集合中有正数也有负数，将这几个元素设出来，再通过对正数负数个数的讨论，即可求出结果.【详解】（1）（Ⅰ）集合{}1,1,2,3-中的{}3361,1,2,3+=Ï-，{}3301,1,2,3-=Ï-，所以集合{}1,1,2,3-不具有“包容”性．集合{}1,0,1,2-中的任何两个相同或不同的元素，相加或相减，得到的两数中至少有一个属于集合{}1,0,1,2-，所以集合{}1,0,1,2-具有“包容”性．（2）（Ⅱ）已知集合{}1,,B a b =具有“包容”性，记{}max 1,,m a b =，则m 1³，易得{}21,,m a b Ï，从而必有{}01,,a b Î，不妨令0a =，则{}1,0,B b =，0b ¹且1b ¹，则{}{}1,11,0,b b b +-¹ÆI ，且{}{}1,11,0,b b b +-¹ÆI ，①当{}11,0,b b +Î时，若10b +=，得1b =-，此时{}1,0,1B =-具有包容性；若11b +=，得0b =，舍去；若1b b +=，无解；②当{}11,0,b b +Ï时，则{}{}1,11,0,b b b --Í，由0b ¹且1b ¹，可知b 无解，故{}1,0,1B =-．综上，221a b +=．（3）（Ⅲ）因为集合C 的子集有64个，所以集合C 中共有6个元素，且0C Î，又1C Î，且C 中既有正数也有负数，不妨设{}1112,,,,,,,0,k k t C b b b a a a ----L L ，其中5k l +=，10t a a <<<L ，10k b b <<<L ，根据题意1111{,,}{,,,}l l l k k a a a a b b b ----Í---L L ，且1112112{,,,}{,,,}k k l b b b b b b a a a ----ÍL L ，从而()(),2,3k l =或()3,2．①当()(),3,2k l =时，{}{}313212,,b b b b a a --=，并且由313212{,}{,}b b b b b b -+-+=--，得312b b b =+，由2112{,}a a a a -Î，得212a a =，由上可得2131322111(,)(,)(,)(2,)b b b b b b a a a a =--==，并且31213b b b a =+=，综上可知{}111113,2,,0,,2C a a a a a =---；②当()(),3,2k l =时，同理可得11111{2,,0,,2,3}C a a a a a =--．综上，C 中有6个元素，且1C Î时，符合条件的集合C 有5个，分别是{}2,1,0,1,2,3--，1131,,0,,1,222ìü--íýîþ，2112,,0,,,13333ìü--íýîþ，{}3,2,1,0,1,2---或311,1,,0,,1222ìü---íýîþ．【点睛】关键点点睛：本题是新定义题型，对于此类问题，要先弄清楚新定义的性质，按照其要求，严格“照章办事”，逐条分析验证。

高一数学集合的概念试题答案及解析

高一数学集合的概念试题答案及解析1.（本小题10分）若，求实数的值.【答案】或.【解析】首先直接由元素与集合的关系，知或，即可计算出实数的值；然后由集合的确定性、互异性、无序性，分别验证所求的的值是否符合要求即可得出答案.试题解析：或或.当时，，，，适合条件；当时，，，，适合条件.从而，或.【考点】元素与集合的基本关系.2.集合的子集中，含有元素的子集共有A．2个B．4个C．6个D．8个【答案】B【解析】。

【考点】子集的概念。

3.设实数集为全集，.（1）当时，求及；（2）若，求实数的取值范围.【答案】（1），；（2）【解析】（1）首先解出集合，然后求出、即可；（2）若，则，，然后对分与两类进行讨论，可得到参数的取值范围.试题解析：（1） 1分当时， 2分4分6分（2）由（1）可知 7分由可知 8分当时，即时成立 9分当，即时， 10分此时要使，须有 11分综上可知的取值范围是：.【考点】1.集合的运算；2.子集的性质.4.设全集，集合，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】,,所以答案为：.【考点】集合的补集和交集.5.若则等于【答案】1【解析】因为，所以，但，只有b=0，根据集合中元素的互异性，只有a=-1，故=1.【考点】集合的概念，指数运算。

点评：中档题，利用集合相等，确定a,b，进一步求。

6.下列各组对象中不能构成集合的是（）A．大名三中高一（2）班的全体男生B．大名三中全校学生家长的全体C．李明的所有家人D．王明的所有好朋友【答案】D【解析】分析四个答案中所列的对象是否满足集合元素的确定性和互异性，即可得到答案．解：A中，大名三中高一（2）班的全体男生，满足集合元素的确定性和互异性，故可以构造集合； B 中，大名三中全校学生家长的全体，满足集合元素的确定性和互异性，故可以构造集合； C中，李明的所有家人，满足集合元素的确定性和互异性，故可以构造集合；D中，王明的所有好朋友，不满足集合元素的确定性，故不可以构造集合；故选D【考点】集合点评：本题以判断对象能否构成集合为载体考查了集合元素的性质，熟练掌握集合元素的确定性和互异性，是解答的关键．7.在“①高一数学课本中的难题；②所有的正三角形；③方程的实数解”中，能够表示成集合的是（）A．②B．③C．②③D．①②③【答案】C【解析】集合有三个特点：确定性、无序性和不重复性。

专题2 集合中的新定义问题-高一数学必修一专题复习训练含答案

专题2 集合中的新定义问题-高一数学必修一专题复习训练含答案一、选择题1．设A B ，是两个非空集合，定义集合{|}A B x x A x B -=∈∉且，若={|05}A x N x ∈≤≤，2{|7100}B x x x =-+<，则A B -= （）A . {}01，B . {}12，C . {}012，，D . {}0125，，，【答案】D【解析】由题意可得： {}0,1,2,3,4,5,{|25}A B x x ==<< ，结合题中新定义的集合运算可得： A B - {}0125，，，. 本题选择D 选项.2.设A 是整数集的一个非空子集，对于k∈A，如果k －1∉A 且k ＋1∉A ，那么k 是A 的一个“孤立元”，给定A ＝{1,2,3,4,5}，则A 的所有子集中，只有一个“孤立元”的集合共有( ) A ． 10个 B ． 11个 C ． 12个 D ． 13个【答案】D 【解析】3．设、为非空集合，定义集合为如图非阴影部分的集合，若|，，则（）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】4．定义集合运算：，，.设集合，，则集合的所有元素的平均数为（）A . 14B . 15C . 16D . 17【答案】A【解析】当x =0时，z =0；当x =3,y =1时，z =12；当x =3,y =2时，z =30.所以，集合中所有元素是平均数为本题选择A 选项.5．定义集合运算： (){}|,, A B z z xy x y x A y B ⊕==+∈∈，设集合{}0,1A =， {}2,3B =，则集合A B ⊕的所有元素之和为( )A . 0B . 6C . 12D . 18【答案】D【解析】01231340+6+12=18z =⨯⨯⨯⨯∴或或，选D . 6．在集合上定义两种运算和如下：那么（）A ．B ．C ．D ．【答案】A7．定义集合A 、B 的一种运算：1212{,,}A B x x x x x A x B *==⨯∈∈其中，若{1,2,3,5}A =，{1,2}B =，则A B *中的所有元素之和为（）A ．30B ．31C ．32D ．34【答案】B 【解析】试题分析：根据题中定义的运算，有{}*1,2,3,4,5,6,10A B =，因此*A B 中的所有元素之和为31. 考点：集合的运算.8．设P 、Q 为两个非空集合，定义集合．若，则中元素的个数是( )A ． 9B ． 8C ． 7D ． 6 【答案】B 【解析】根据题意，若P={0，2，5}，Q={1，2，6}，则P+Q={1，2，6，3，4，8，7，11}，其中有8个元素，故选：B ．9．非空集合A 中的元素个数用)(A 表示，定义⎩⎨⎧<-≥-=-)()(),()()()(),()()(B A A B B A B A B A ．若{}01，-=A ，{}a x x x B =--=|32||2，且1≤-）（B A ，则a 的所有可能值为（）A .{}4|≥a aB .{}04|=>a a a 或C .{}40|≤≤a aD .{}04|=≥a a a 或【答案】D 【解析】所以0a =或4a >，当()()A B <时，由()1A B -≤，则()()1B A ≤+，即()3B ≤，又()()A B <，所以()23B <≤，只能()3B =，结合上图可知，4a =，所以综上所述：0a =或4a ≥，故选D . 二、填空题 10.对于，，规定，集合，则中的元素的个数为__________．【答案】41【解析】分析：由⊕的定义，a b=36分两类进行考虑：a和b一奇一偶，则ab=36；a和b同奇偶，则a+b=36．由a、b∈N*列出满足条件的所有可能情况，再考虑点（a，b）的个数即可详解：a b=36，a、b∈N*，若a和b一奇一偶，则ab=36，满足此条件的有1×36=3×12=4×9，故点（a，b）有6个；若a和b同奇偶，则a+b=36，满足此条件的有1+35=2+34=3+33=4+32=…=18+18共18组，故点（a，b）有35个，所以满足条件的个数为41个．故答案为：41．11．对于集合，定义且，设，则 ________.【答案】【解析】12.设A，B是非空集合，定义A⊗B＝{x|x∈(A∪B)且x∉(A∩B)．已知集合A＝{x|0<x<2}，B＝{y|y≥0}，则A⊗B＝________.【答案】{0}∪[2，＋∞)．【解析】由已知A＝{x|0<x<2}，B＝{y|y≥0}，又由新定义A⊗B＝{x|x∈(A∪B)且x∉(A∩B)，结合数轴得A⊗B＝{0}∪[2，＋∞)．13.已知集合，集合的所有非空子集依次记为：，设分别是上述每一个子集内元素的乘积.(如果的子集中只有一个元素，规定其积等于该元素本身)，那么__________．【答案】5【解析】所有子集的“乘积”之和即展开式中所有项的系数之和T-1，令，则故答案为514.设集合，选择的两个非空子集和，使得中最大的数不大于中最小的数，则可组成不同的子集对__________个．【答案】49，则可以表示为，共种15.若X 是一个集合， τ是一个以X 的某些子集为元素的集合，且满足：①X 属于τ，空集∅属于τ；②τ中任意多个元素的并集属于τ；③τ中任意多个元素的交集属于τ.则称τ是集合X 上的一个拓扑.已知集合{},,X a b c =，对于下面给出的四个集合τ：①{}{}{}{},,,,,a c a b c τ=∅；②{}{}{}{}{},,,,,,,b c b c a b c τ=∅； ③{}{}{}{},,,,,a a b a c τ=∅；④{}{}{}{}{},,,,,,,,a c b c c a b c τ=∅ 其中是集合X 上的一个拓扑的集合τ的所有序号是__________．【答案】②④【解析】对于①，{}{}{},a c a c ⋃=， {},a c 不属于τ，故①错误；对于③，X 不属于τ，故③错误，所以是集合X 上的一个拓扑的集合τ的为②④.方法点睛：解决集合创新型问题的方法有：（1）紧扣定义.首先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程之中，这是破解新定义型集合问题难点的关键所在；（2）用好集合的性质.集合的性质（概念、元素的性质、运算性质等）是破解新定义型集合问题的基础，也是突破口，在解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素，在关键之处用好集合的性质.16.设集合A ＝{－1,0,1}，集合B ＝{0,1,2,3}，定义：A *B ＝{(x ，y )|x ∈A ∩B ，y ∈A ∪B }，则A *B 中元素个数是___________. 【答案】10【解析】{}0,1A B ⋂=,有2个元素， {}1,0,1,2,3A B ⋃=-，有5个元素，∴A *B 有10个元素.17.若，则，就称是伙伴关系集合，集合的所有非空子集中具有伙伴关系的集合的个数是____________. 【答案】3 【解析】18．设是整数集的一个非空子集，对于，若，且，则称是的一个“孤立元”．给定，由的个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有__________个．【答案】6 【解析】要不含“孤立元”，说明这三个数必须连在一起，故不含“孤立元”的集合有，，，，，共有个．故答案为：619．定义集合A ，B 的运算：A ⊗B ＝{x|x∈A 或x∈B，且x ∉A∩B}．则A ⊗B ⊗A ＝________．【答案】B 【解析】如图所示，A ⊗B 表示的是阴影部分，设A ⊗B ＝C ，运用类比的方法可知，C ⊗A ＝B ，所以A ⊗B ⊗A ＝B.故答案为：B20.对于复数a b c d ，，，，若集合{}S a b c d =，，，具有性质“对任意x y S ∈，，必有xy S ∈”，则当221{1a b c b===，，时， b c d ++等于___________ 【答案】-121.已知函数()M f x 的定义域为实数集R ，满足1,()0,M x Mf x x M ∈⎧=⎨∉⎩（M 是R 的非空真子集），若在R 上有两个非空真子集,A B ，且A B =∅，则()1()()()1A B A B f x F x f x f x +=++的值域为．【答案】{}1 【解析】当()x AB ∈时，()1A B f x =，而由于A B =∅，所以(()1)A B f f x x +=，此时()1F x =；当()x A B ∉时，()0A B f x =，(()0)A B f f x x ==，此时()1F x =，所以函数()F x 的值域为{}1.22．设有限集合{}12,,,n A a a a =，则12n a a a +++叫做集合A 的和，记作A S .若集合{}*21,,4P x x n n N n ==-∈≤，集合P 的含有3个元素的全体子集分别记为12,,,k P P P ，则=+++K P P P S S S 21 .【答案】48 【解析】试题分析：根据题意：∵{}12,,,n A a a a =，则12n a a a +++叫做集合A 的和，记作A S ，而集合{}*21,,4P x x n n N n ==-∈≤，∴其元素为 1，3，5，7，故含有3个元素的全体子集分别为：{}5,3,1，{}7,3,1，{}7,5,1，{}7,5,3，则4821=+++K P P PS S S ，答案为：48.考点：子集与真子集.【方法点晴】通过对新定义的一种运算，计算求和，属于创新题型，本题为基础题，考查计算能力，推理能力.遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决，在该题中首先根据已知则集合{}12,,,n A a a a =，则12n a a a +++叫做集合A 的和，记作A S ，分别求出所有的元素，然后根据题意找到3个元素的子集，最后求和即可.23.若集合12,A A 满足12A A A ⋃=，则称12(,)A A 为集合A 的一种分拆，并规定：当且仅当12A A =时，12(,)A A 与21(,)A A 是集合A 的同一种分拆.若集合A 有三个元素，则集合A 的不同分拆种数是 . 【答案】27 【解析】考点：1.集合的运算；2.新定义问题.24.若一个集合是另一个集合的子集，称两个集合构成“全食”；若两个集合有公共元素，但互不为对方子集，则称两个集合构成“偏食”.对于集合11,,12A⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭，2{|1,0}B x ax a==≥，若两个集合构成“全食”或“偏食”，则a的值为__________．【答案】0或1或425.由5个元素构成的集合，记的所有非空子集为每一个中所有元素的积为，则_______.【答案】-1【解析】首先考虑取出的元素中含0，则无论子集中有多少元素，其积都为0，其积的和也为零；当取出的元素不为0，即只在集合中取元素，则所得的子集分别是，，其所有元素之和为，应填答案. 26.已知两个集合,A B ，满足B A ⊆．若对任意的x A ∈，存在(),i j a a B i j ∈≠，使得12i j x a a λλ=+（{}12,1,0,1λλ∈-），则称B 为A 的一个基集．若 {}1,2,3,4,5,6,7,8,9,10A =，则其基集B 元素个数的最小值是____．【答案】4【解析】若基集B 元素个数不超过三个： ,,(,,i j k a a a i j k 互不相等），则最多可表示,,,,,,,,|i j k i j k i j k i j k i j k a a a a a a a a a a a a a a a +++---九个元素，因此基集B 元素个数的最小值是4个，如{}2,3,6,7B =27．设U 是全集，非空集合P 、Q 满足U Q P ⊂⊂，若令P 、Q 的一个集合运算表达式，使运算结果为空集，则这个运算表达式可以是______________.（只需写出一个表达式）【答案】Q C P U【解析】用韦恩图画出即可三、解答题28．集合A 1，A 2满足A 1∪A 2=A ，则称（A 1，A 2）为集合A 的一种分拆，并规定：当且仅当A 1=A 2时，（A 1，A 2）与（A 2，A 1）为集合A 的同一种分拆，则集合A ={a ，b ，c }的不同分拆种数为多少？【答案】27种【解析】点评：本题属于创新型的概念理解题，准确地理解拆分的定义，以及灵活运用集合并集的运算和分类讨论思想是解决本题的关键所在．。

人教版高中数学必修一专题复习及参考答案

人教版高中数学必修一专题复习及参考答案知识架构第一讲集合★知识梳理一：集合的含义及其关系1.集合中的元素具有的三个性质:确定性、无序性和互异性;2.集合的3种表示方法：列举法、描述法、韦恩图；①两个集合的交集:= ;A B {}x x A x B ∈∈且②两个集合的并集: =;A B {}x x A x B ∈∈或③设全集是U,集合,则A U ⊆U C A ={}x x U x A ∈∉且{|B x x ={|B x x =★重、难点突破重点：集合元素的特征、集合的三种表示方法、集合的交、并、补三种运算。

难点：正确把握集合元素的特征、进行集合的不同表示方法之间的相互转化，准确进行集合的交、并、补三种运算。

重难点：1.集合的概念掌握集合的概念的关键是把握集合元素的三大特性，要特别注意集合中元素的互异性，在解题过程中最易被忽视，因此要对结果进行检验；2．集合的表示法（1）列举法要注意元素的三个特性；（2）描述法要紧紧抓住代表元素以及它所具有的性质，如、、等的差别，如果对集合中代表元素认识不清，将导致求解错误：{})(x f y x ={})(x f y y ={})(),(x f y y x =问题：已知集合（） 221,1,9432x y x y M x N y ⎧⎫⎧⎫=+==+=⋂⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭则M N= A. ；B.；C. ；D. Φ{})2,0(),0,3([]3,3-{}3,2[错解]误以为集合表示椭圆，集合表示直线，由于这直线过椭圆的两个顶点，于是错选B M 14922=+y x N 123=+y x [正解] C ；显然，，故{}33≤≤-=x x M R N =]3,3[-=N M(3)Venn 图是直观展示集合的很好方法，在解决集合间元素的有关问题和集合的运算时常用Venn 图。

3．集合间的关系的几个重要结论（1）空集是任何集合的子集，即A ⊆φ（2）任何集合都是它本身的子集，即A A ⊆（3）子集、真子集都有传递性，即若，，则B A ⊆C B ⊆C A ⊆4．集合的运算性质（1）交集：①；②；③；④，⑤；A B B A =A A A = φφ= A A B A ⊆ B B A ⊆ B A A B A ⊆⇔=（2）并集：①；②；③；④，⑤；A B B A =A A A = A A =φ A B A ⊇ B B A ⊇ A B A B A ⊆⇔=（3）交、并、补集的关系①；φ=A C A U U A C A U =②；)()()(B C A C B A C U U U =)()()(B C A C B A C U U U =★热点考点题型探析考点一：集合的定义及其关系题型1：集合元素的基本特征[例1]（2008年江西理）定义集合运算：．设{}|,,A B z z xy x A y B *==∈∈{}{}1,2,0,2A B ==，则集合的所有元素之和为（）A B *A ．0；B ．2；C ．3；D ．6[解题思路]根据的定义，让在中逐一取值，让在中逐一取值，在值就是的元素A B *x A y B xy A B *[解析]：正确解答本题,必需清楚集合中的元素，显然，根据题中定义的集合运算知=，故应选择D A B *A B *{}4,2,0【名师指引】这类将新定义的运算引入集合的问题因为背景公平，所以成为高考的一个热点，这时要充分理解所定义的运算即可，但要特别注意集合元素的互异性。

高中数学必修一人教A版1.1 集合的概念练习(含答案及解析)(2)

1.1 集合的概念一、单选题1．下列结论正确的是（） A ．2Q 3∈ B ．3-∉ZC ．1}{}1,3∈D }⊆答案：A解析：利用常见数集的符号以及元素与集合、集合与集合之间的关系即可得出结果. 详解：因为23是有理数，所以23Q ∈，故A 正确；3-∈Z ，{}{}11,3⊆}，故B 、C 、D 选项都是错误的.故选：A2．设A ＝y|y ＝﹣1+x ﹣2x 2}，若m∈A，则必有（） A ．m∈正有理数} B ．m∈负有理数} C ．m∈正实数} D ．m∈负实数}答案：D解析：求出函数212y x x =-+-的值域，就是集合A ，进而可判断结果详解：解：因为22177122()488y x x x =-+-=---≤-，所以78A y y ⎧⎫=≤-⎨⎬⎩⎭；∴若m∈A，则m ＜0，所以m∈负实数}. 故选：D.3．设数集M 同时满足条件①M 中不含元素1,0,1-，②若a M ∈，则11aM a+∈-. 则下列结论正确的是A ．集合M 中至多有2个元素；B ．集合M 中至多有3个元素；C ．集合M 中至少有4个元素；D ．集合M 中有无穷多个元素. 答案：C 详解：由题意，若a M ∈，则11aM a +∈-，则1111111a a M a a a ++-=-∈+--，111111a a M a a--=∈++，则11211211a a a a M a a -++==∈--+，若11a a a +=-，则21a =-，无解，同理可证明这四个元素中，任意两个元素不相等，故集合M 中至少有4个元素．4．设集合{}2A x x =>，则（） A ．3A ∉ BA C ．2A ∈ D ．0A ∈答案：B解析：根据元素与集合的关系判断即可. 详解：{}2A x x =>，3A ∴∈A ，2A ∉，0A ∉.故选：B. 点睛：本题考查元素与集合关系的判断，考查推理能力，属于基础题. 5．设集合{}|2A x x =≤，则下列四个关系中正确的是（） A ．1A ∈ B ．1A ∉C ．{}1A ∈D ．1A ⊆答案：A解析：根据描述法表示集合的含义，可得1是集合中的元素，即可得到结论. 详解：由题意知，集合{}|2A x x =≤表示所有不大于2的实数组成的集合，所有，1是集合中的元素，故1A ∈. 故选：A. 点睛：本题考查元素与集合的关系，属于基础题.6．设,,a b c 为实数，22()()(),()(1)(1)f x x a x bx c g x ax cx bx =+++=+++．记集合{}{}|()0,,|()0,S x f x x R T x g x x R ==∈==∈．若|S |、||T 分别为集合,S T 的元素个数，则下列结论不可能的是（） A ．||1S =且||0T = B ．||1S =且||1T = C ．||2S =且||2T = D ．||2S =且||3T =答案：D解析：运用特殊值法，结合一元二次方程根的判别式进行判断即可. 详解：方程20x bx c ++=的判别式为：24b c -，当0c ≠时，方程210cx bx ++=的判别式为：24b c -，选项A ：当0a b c ===时，3(),()1f x x g x ==，显然||1S =且||0T =，故本选项结论有可能成立；选项B ：当1,2a c b ===时，33()(1),()(1)f x x g x x =+=+，显然||1S =且||1T =，故本选项结论有可能成立；选项C ：当1,1,2a c b =-==时，22()(1)(1),()(1)(1)f x x x g x x x =-+=--+，显然||2S =且||2T =，故本选项结论有可能成立；选项D ：因为||3T =，所以0c ≠且0a ≠且240b c ->且211()()10c b a a-+-+≠，因此有0c ≠且0a ≠且240b c ->且2ab a c ≠+，此时方程20x bx c ++=有两个不相等的实根，因为2()0a a b c --+≠，所以a -不是方程20x bx c ++=的实根，因此||3S =，所以本选项不可能成立，故选：D 点睛：方法点睛：运用特殊值法是解决此类问题常见的方法. 7．设集合{}A 4,8=，则集合A 的子集个数是 A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个答案：D解析：对于集合A 的子集个数，由于A 中元素个数较少，故可以直接枚举出每个子集，或者根据知识点：若集合中有n 个元素，则子集的个数为2n ，进行求解．详解：集合A 中元素的个数为2，故子集的个数为22=4 个．分别为∅，{}4，{}8和{}48，．故选D ．点睛：本题考查知识点：若集合中有n 个元素，则子集的个数为2n ，非空子集有21n -个，非空真子集有22n -个．8．集合{}1,3,5,7,9描述法表示为（） A ．|x x 是不大于9的非负奇数} B ．{}|19x x ≤≤ C ．{|9,}x x x N ≤∈ D ．{}|09,x x x Z ≤≤∈答案：A解析：利用集合的表示法直接求解．详解：解：在A 中，{|x x 是不大于9的非负奇数}，表示的是集合{1，3，5，7，9}，故A 正确；在B 中，{|19}x x ，表示的集合是19x 的实数集，都B 错误；在C 中，{|9x x ，}x N ∈，表示的集合是{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}，故C 错误；在D 中，{|09}x Z x ∈，表示的集合是{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}，故D 错误．故选：A ．点睛：本题考查集合的表示法的应用，解题时要认真审题，注意集合定义的合理运用，属于基础题．9．给出下列4个关系式0.3∉Q ，0∈N*，0∈0}.其中正确的个数是（） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4答案：B解析：对四个选项一一验证即可. 详解：正确，0.3∉Q 错误，0∈N *错误，0∈0}正确，正确的有2个，故选B.二、多选题1．已知集合{|1}A x ax ==，{0B =，1，2}，若A B ⊆，则实数a 可以为（） A ．12 B ．1C ．0D ．以上选项都不对答案：ABC解析：由子集定义得A =∅或{1}A =或{2}A =，从而1a 不存在，11a =，12a=，由此能求出实数a ．详解：解：集合{|1}A x ax ==，{0B =，1，2}，A B ⊆，A ∴=∅或{1}A =或{2}A =，∴1a不存在，11a =，12a=，解得1a =，或1a =，或12a =．故选：ABC ．点睛：本题主要考查集合的包含关系，属于基础题．2．（多选）已知集合{}A x x x =≤∈R ，a =b = ） A ．a A ∈ B ．a A ∉C ．b A ∈D ．b A ∉答案：BC解析：根据集合A 的表示元素范围确定a b 、与集合A 的关系. 详解：>a A ∉，由b A ∈，故选BC. 点睛：本题考查集合与元素的关系，难度较易.集合与元素的关系只有两种：属于和不属于. 3．(多选)设集合M ＝x|x ＝2m ＋1，m∈Z }，P ＝y|y ＝2m ，m∈Z }，若x 0∈M，y 0∈P，a ＝x 0＋y 0，b ＝x 0y 0，则（） A ．a∈M B ．a∈P C ．b∈M D ．b∈P答案：AD解析：利用整数的运算性质，根据集合M,N 中元素的性质判定a ,b 的性质，进而判定a,b 与M,N 的关系，即可作出判定. 详解：设x 0＝2m ＋1，y 0＝2n ，m ，n∈Z ，则a =x 0＋y 0＝2m ＋1＋2n ＝2(m ＋n)＋1, ∵m+n∈Z ,∴a∈M，b=x 0y 0＝2n(2m ＋1)＝2(2mn ＋n), ∵2mn+n∈Z ,∴b∈P，即a∈M，b∈P，故选：AD.4．下列表述正确的是（）A ．27Z ∈ B ．0N ∈ C ．-3∉Z D ．27Q ∈答案：BD解析：根据常见数集的符号表示逐一判断即可. 详解：Z 表示整数集，故A 不正确、C 不正确；N 表示自然数集，故B 正确；Q 表示有理数集，故D 正确.故选：BD5．由实数x ，x -，||x ） A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个答案：AB解析：按照0x >、0x =、0x <分类，即可得解. 详解：当0x >时，||0x x =>，0x =-<，此时集合共有2个元素；当0x =时，||0x x x ==-==，此时集合共有1个元素；当0x <时，||0x x -==，0x <，此时集合共有2个元素；综上所述，此集合有1个或2个元素. 故选：AB. 点睛：本题考查了集合元素个数的求解，考查了分类讨论思想，属于基础题. 三、填空题1．设P ，Q 为两个非空实数集合，P 中含有0，2，5三个元素，Q 中含有1，2，6三个元素，定义集合P+Q 中的元素是a+b ，其中a∈P，b∈Q，则P+Q 中元素的个数是_____. 答案：8解析：从P 中任取一个数，再从Q 中任取一个数相加有9种可能，把相同的去掉即得．详解：若a ∈P，b∈Q，则a+b 的取值分别为1，2，3，4，6，7，8，11，则组成的集合P+Q 中有8个元素. 故答案为：8．点睛：本题考查集合的新运算，根据新定义确定新运算集合中的元素，方法是列举法，但要注意集合元素的互异性，否则易出错．2．已知集合{0,1}A =，{0,1,2,3}B =，则A B 中的元素个数为________. 答案：4解析：首先根据集合中并集的定义求出A B ，然后即可求出并集中元素的个数. 详解：因为{0,1}A =，{0,1,2,3}B = 所以0,1,3}2,{A B = 则A B 中的元素个数为4. 故答案为：4 点睛：本题考查集合中并集的运算以及求集合元素的个数，属于基础题. 3．规定⊕与⊗是两个运算符号，其运算法则如下，对任意实数a b、有:a b ab ⊗=,22()1a b b a b ⊕=++.若22a b -<<<且,,a b Z ∈)22|(A x x a b b a b ⊕⎧⎫+=⊗⎨⎩=⎬⎭,则用列举法表示集合A =__________．答案：1,12⎧⎫-⎨⎬⎩⎭解析：根据所定义运算可知22122a b x ab ++=+，根据,a b 取值范围可分别在1a =-和0a =两种情况下确定b 的取值，进而求得x 的不同取值，得到所求集合. 详解：由题意得：2212,02a b A x x ab b ⎧⎫++==+≠⎨⎬⎩⎭22a b -<<<且,a b Z ∈∴当1a =-时，1b =，此时x =12-；当0a =时，1b =，此时1x = ∴集合1,12A ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭故答案为1,12⎧⎫-⎨⎬⎩⎭点睛：本题考查列举法表示集合、集合中的新定义运算问题，关键是能够充分理解所定义运算所表示的含义，通过分类讨论求得集合中的元素.4．已知集合{}2320A x ax x =-+=，若A 中至少有一个元素，则a 的取值范围是______；答案：98a ≤解析：根据A 中至少有一个元素，转化为方程至少含有一个根进行求解．详解：解：若A 中至少有一个元素，则方程2320ax x -+=至少有一个解．当0a =时，方程2320ax x -+=等价为320x -+=，即23x =，满足条件．当0a ≠，判别式980a∆=-，解得98a ≤且0a ≠．综上所述，a 的取值范围为98a ≤，即9,8a ⎛⎤∈-∞ ⎥⎝⎦故答案为：9,8⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦点睛：本题主要考查元素和集合之间关系的应用，利用一元二次方程根与判别式之间的关系是解决本题的关键，属于基础题． 5．设*6N ,2A x x Z x ⎧⎫=∈∈⎨⎬-⎩⎭，用列举法表示A=____________.答案：{}4,1,0,1-- 解析：62x-为正整数且x 也为整数,可知2x -能够被6整除，逐个正因数计算即可．详解：由题意得,*6N ,2x Z x ∈∈-,故62x -为6的正因数,所以61,2,3,62x=-,故26,3,2,1x -=,故4,1,0,1x =--,列举法得出答案{}4,1,0,1--.故答案为{}4,1,0,1--. 点睛：本题主要考查对因数的理解以及集合中的常用集合表示,N 表示自然数,*N 表示正自然数,即正整数.Z 表示整数. 四、解答题1．称正整数集合 A=a 1，a 2，…，a n }（1≤a 1＜a 2＜…＜a n ，n≥2）具有性质 P ：如果对任意的i ，j （1≤i≤j≤n），i j a a 与j ia a 两数中至少有一个属于A.（1）分别判断集合1，3，6}与1，3，4，12}是否具有性质 P ；（2）设正整数集合 A=a 1，a 2，…，a n }（1≤a 1＜a 2＜…＜a n ，n≥2）具有性质 P.证明：对任意1≤i≤n（i∈N *），a i 都是a n 的因数；（3）求a n =30时n 的最大值.答案：（1）1，3，6}不具有，1，3，4，12}具有；（2）证明见解析；（3）8 解析：(1)根据性质P ；对任意的i ，j （1≤i≤j≤n），a i a j 与a a j i两数中至少有一个属于A ，验证两集合集1，3，6}与1，3，4，12}中的任何两个元素的积、商是否为该集合中的元素；(2)运用反证法，结合A 具有性质P ，即可得证;(3)运用30的质因数分解，结合组合的知识，即可得到n 的最大值. 详解：（1）由于3×6与63均不属于数集1，3，6}，∴数集1，3，6} 不具有性质P ；由于1×3，1×4，1×12，3×4，123，124都属于数集1，2，3，6}， ∴数集1，3，4，12} 具有性质P.（2）证明：设正整数集合 A=a 1，a 2，…，a n }（1≤a 1＜a 2＜…＜a n ，n≥2）具有性质 P ，即有对任意的i ，j （1≤i≤j≤n），i j a a 与j ia a 两数中至少有一个属于A.运用反证法证明.假设存在一个数a i 不是a n 的因数，即有a i a n 与i n a a 或nia a ，都不属于A ，这与条件A 具有性质P 矛盾.故假设不成立.则对任意1≤i≤n（i∈N *），a i 都是a n 的因数；（3）由（2）可知，i a 均为n 30a =的因数，由于30=2×3×5，由组合的知识可知2，3，5都有选与不选2种可能. 共有2×2×2=8种，即n 的最大值为8. 点睛：本题考查新定义的理解和运用，考查推理能力，以及反证法的运用，组合知识的运用，属于中档题.2．已知集合{|A x x =为小于6的正整数}，{|B x x =为小于10的素数}，集合{|C x x 为24和36的正公因数}．（1）试用列举法表示集合{|M x x A =∈且}x C ∈；（2）试用列举法表示集合{|N x x B =∈且}x C ∉．答案：(1) {1,2,3,4}；（2）{5,7}.解析：（1）求出集合,,A B C ，则M A C =⋂，即可求出M ；（2）根据集合N 中元素的特征，即可写出N . 详解：由题意{}1,2,3,4,5A =，{}2,3,5,7B =，{}1,2,3,4,6,12C =. （1）{}1,2,3,4M A C =⋂=. （2）.{|M x x B =∈且}x C ∉{}5,7N ∴= 点睛：本题考查集合的表示法和集合的运算，属于基础题.3．已知集合M=2，a ，b}，N=2a ，2，b 2}且M=N ．求a 、b 的值．答案：110,1,42a b a b ====或详解：因为M=N ，所以根据集合元素的互异性，可知222{{2a a a b b b b a====或,解出a,b 值再验证是否满足互异性的要求.由M ＝N 及集合元素的互异性得：22{a ab b ==或22{a bb a ==解上面的方程组得，01{a b ==或00{a b ==或1412{a b == 再根据集合中元素的互异性得，01{a b ==或1412{a b ==。

高一数学必修1集合的含义与表示练习题(附答案)

第一章集合1．1 集合与集合的表示方法一、选择题1．下列各组对象①方程x2+2x+1=0的解；②比较小的正整数全体；③平面上到点O的距离等于1的点的全体；④正三角形的全体；⑤2的近似值的全体．其中能构成集合的组数有( B ) 1 3 4A．2组B．3组C．4组D．5组2．设集合M＝{大于0小于1的有理数}，N＝{小于10的正整数}，P＝{定圆C的内接三角形}，Q＝{所有能被7整除的数}，其中无限集是( B )A．M、N、P B．M、P、QC．N、P、Q D．M、N、Q3．下列命题中正确的是( C )A．{x｜x2＋2＝0}在实数范围内无意义B．{(1，2)}与{(2，1)}表示同一个集合C．{4，5}与{5，4}表示相同的集合D．{4，5}与{5，4}表示不同的集合4．直角坐标平面内，集合M＝{(x，y)｜xy≥0，x∈R，y∈R}的元素所对应的点是() A．第一象限内的点B．第三象限内的点C．第一或第三象限内的点D．非第二、第四象限内的点5．已知M＝{m｜m＝2k，k∈Z}，X＝{x｜x＝2k＋1，k∈Z}，Y＝{y｜y＝4k＋1，k∈Z}，则( D )A．x＋y∈M B．x＋y∈X C．x＋y∈Y D．x＋y∉M6．下列各选项中的M与P表示同一个集合的是()A．M＝{x∈R｜x2＋0.01＝0}，P＝{x｜x2＝0}B．M＝{(x，y)｜y＝x2＋1，x∈R}，P＝{(x，y)｜x＝y2＋1，x∈R}C．M＝{y｜y＝t2＋1，t∈R}，P＝{t｜t＝(y－1)2＋1，y∈R}D．M＝{x｜x＝2k，k∈Z}，P＝{x｜x＝4k＋2，k∈Z}6．C解析：在选项A中，M＝φ，P＝{0}，是不同的集合；在选项B中，有M＝{(x，y)｜y＝x2＋1≥1，x∈R}，P＝{(x，y)｜x＝y2＋1≥1，y∈R}，是不同的集合，在选项C中，y＝t2＋1≥1，t＝(y－1)2＋1≥1，则M＝{y｜y≥1}，P＝{t｜t ≥1}，它们都是由不小于1的全体实数组成的数集，只是用不同的字母代表元素，因此，M 和P是同一个集合，在选项D中，M是由…，0，2，4，6，8，10，…组成的集合，P是由…，2，6，10，14，…组成的集合，因此，M和P是两个不同的集合．答案：C．二、填空题7．由实数x，－x，｜x｜所组成的集合，其元素最多有______个．8．集合{3，x，x2－2x}中，x应满足的条件是______．9．对于集合A＝{2，4，6}，若a∈A，则6－a∈A，那么a的值是______．10．用符号∈或∉填空：①1______N ，0______N ．－3______Q ，0.5______Z ，2______R ． ②21______R ，5______Q ，｜－3|______N ＋，｜－3｜______Z ． 11．若方程x 2＋mx ＋n ＝0(m ，n ∈R )的解集为{－2，－1}，则m ＝______，n ＝______． 12．若集合A ＝{x ｜x 2＋(a －1)x ＋b ＝0}中，仅有一个元素a ，则a ＝______，b ＝______．13．方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+321x z z y y x 的解集为______．14．已知集合P ＝{2，3，4}，Q ＝{x ｜x ＝ab ，a ，b ∈P ，a ≠b }，用列举法表示集合Q ＝______．15．用描述法表示下列各集合：①{2，4，6，8，10，12}________________________________________________． ②{2，3，4}___________________________________________________________．③}75,64,53,42,31{______________________________________________________． 16．已知集合A ＝{－2，－1，0，1}，集合B ＝{x ｜x ＝｜y ｜，y ∈A }，则B ＝______．三、解答题17．集合A ＝{有长度为1的边及40°的内角的等腰三角形}中有多少个元素？试画出这些元素来．17．解：有4个元素，它们分别是：(1)底边为1，顶角为40°的等腰三角形；(2)底边为1，底角为40°的等腰三角形； (3)腰长为1，顶角为40°的等腰三角形；(4)腰长为1，底角为40°的等腰三角形．18．设A 表示集合{2，3，a 2＋2a －3}，B 表示集合{a ＋3，2}，若已知5∈A ，且5∉B ，求实数a 的值．19．实数集A 满足条件：1∉A ，若a ∈A ，则A a∈-11． (1)若2∈A ，求A ；(2)集合A 能否为单元素集？若能，求出A ；若不能，说明理由； (3)求证：A a∈-11．19．证明：(1)若2∈A ，由于2≠1，则A ∈-211，即－1∈A ． ∵－1∈A ，－1≠1∴A ∈--)1(11，即A ∈21．∵,121，21=/∈A ∴A ∈-2111，即2∈A ．由以上可知，若2∈A ，则A 中还有另外两个数－1和21∴}2,21,1{-=A ．(2)不妨设A 是单元素的实数集．则有,11aa -=即a 2－a ＋1＝0． ∵∆＝(－1)2－4×1×1＝－3＜0， ∴方程a 2－a ＋1＝0没有实数根． ∴A 不是单元素的实数集．(3)∵若a ∈A ，则A a∈-11∴A a∈--1111，即A a ∈-11．20．已知集合A ＝{x ｜ax 2－3x ＋2＝0}，其中a 为常数，且a ∈R ①若A 是空集，求a 的范围；②若A 中只有一个元素，求a 的值；③若A 中至多只有一个元素，求a 的范围．20．解：①∵A 是空集∴方程ax 2－3x ＋2＝0无实数根 ∴⎩⎨⎧<-=∆=/,089,0a a 解得⋅>89a②∵A 中只有一个元素，∴方程ax 2－3x ＋2＝0只有一个实数根．当a ＝0时，方程化为－3x ＋2＝0，只有一个实数根32=x ；当a ≠0时，令∆＝9－8a ＝0，得89=a ，这时一元二次方程ax 2－3x ＋2＝0有两个相等的实数根，即A 中只有一个元素．由以上可知a ＝0，或89=a 时，A 中只有一个元素． ③若A 中至多只有一个元素，则包括两种情形，A 中有且仅有一个元素，A 是空集，由①、②的结果可得a ＝0，或89≥a ．21．用列举法把下列集合表示出来： ①A =};99|{N N ∈-∈xx ②B =};|99{N N ∈∈-x x③C ＝{y ｜y ＝－x 2＋6，x ∈N ，y ∈N }；④D ＝{(x ，y )｜y ＝－x 2＋6，x ∈N ，y ∈N }； ⑤E ＝⋅∈∈=+=*},,5,|{N N q p q p x qpx ．解：①由9－x ＞0可知，取x ＝0，1，2，3，4，5，6，7，8验证，则x ＝0，6，8时199=-x，3，9也是自然数，∴A ＝{0，6，8} ②由①知，B ＝{1，3，9}．③∵y ＝－x 2＋6≤6，而x ∈N ，y ∈N ， ∴x ＝0，1，2时，y ＝6，5，2符合题意． ∴C ＝{2，5，6}．④点(x ，y )满足条件y ＝－x 2＋6，x ∈N ，y ∈N ，则有⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==.2,2,5,1,6,0y x y x y x ∴D ＝{(0，6)，(1，5)，(2，2)}． ⑤由p ＋q ＝5，p ∈N ，q ∈N *得⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==.1,4,2,3,3,2,4,1,5,0q p q p q p q p q p又∵qpx =，∴}4,23,32,41,0{=E22．已知集合A ＝{p ｜x 2＋2(p －1)x ＋1＝0，x ∈R }，求集合B ＝{y ｜y ＝2x －1，x ∈A }．解：由已知，∆＝4(p －1)2－4≥0，得P ≥2，或P ≤0， ∴A ＝{p ｜p ≥2，或p ≤0}，∵x ∈A ，∴x ≥2，或x ≤0．∴2x －1≥3，或2x －1 ≤－1，∴B ＝{y ｜y ≤－1，或y ≥3}．22．解：由已知，∆＝4(p －1)2－4≥0，得P ≥2，或P ≤0， ∴A ＝{p ｜p ≥2，或p ≤0}，∵x ∈A ，∴x ≥2，或x ≤0．∴2x －1≥3，或2x －1 ≤－1，∴B ＝{y ｜y ≤－1，或y ≥3}．集合与集合的表示方法参考答案一、选择题1．A 2．B 3．C 4．D 5．A6．C 解析：在选项A 中，M ＝φ，P ＝{0}，是不同的集合；在选项B 中，有M ＝{(x ，y )｜y ＝x 2＋1≥1，x ∈R }，P ＝{(x ，y )｜x ＝y 2＋1≥1，y ∈R }，是不同的集合，在选项C 中，y ＝t 2＋1≥1，t ＝(y －1)2＋1≥1，则M ＝{y ｜y ≥1}，P ＝{t ｜t ≥1}，它们都是由不小于1的全体实数组成的数集，只是用不同的字母代表元素，因此，M 和P 是同一个集合，在选项D 中，M 是由…，0，2，4，6，8，10，…组成的集合，P 是由…，2，6，10，14，…组成的集合，因此，M 和P 是两个不同的集合．答案：C ．二、填空题7．2 8．x ≠3且x ≠0且x ≠－1根据构成集合的元素的互异性，x 满足⎪⎩⎪⎨⎧=/-=/-=/.2,32,322x x x x x x解之得x ≠3且x ≠0且x ≠－1．9．2或4 10．①∈，∈，∈，∉，∈．②∈，∉，∈，∉． 11．m ＝3，n ＝2．12．31=a ，91=b ．解析：由题意知，方程x 2＋(a －1)x ＋b ＝0只有等根x ＝a ，则∆＝(a －1)2－4b ＝0①，将x ＝a 代入原方程得a 2＋(a －1)a ＋b ＝0②，由①、②解得91，31==b a .13．{(1，0，2)} 14．Q ＝{0，2，3，4，6，8，12}15．①{x ｜x ＝2n ，n ∈N *且n ≤6}，②{x ｜2≤x ≤4，x ∈N }，或{x ｜(x －2)(x －3)(x －4)＝0} ③}6,2|{*<∈+=n n n nx x 且N 16．B ＝{0，1，2}解析：∵y ∈A ，∴y ＝－2，－1，0，1，∵x ＝｜y ｜，∴x ＝2，1，0，∴B ＝{0，1，2}三、解答题18．解：∵5 ∈A ，且5∉B ．∴⎩⎨⎧=/+=-+,53，5322a a a 即⎩⎨⎧=/=-=.2,24a a a 或∴a ＝－421。

高一数学集合的概念试题答案及解析

高一数学集合的概念试题答案及解析1.如果集合中只有一个元素，则a的值是（）A．0B．0 或1C．1D．不能确定【答案】B.【解析】若集合中只有一个元素，则方程有且仅有一个解，当时，方程可化为，满足条件；当时，二次方程有且只有一个解，则，解得，故满足条件的的值为0或1.故选B.【考点】元素与集合关系的判断.2.已知非空集合则实数a的取值范围是_____________．【答案】（2，5）【解析】因为,所以又因为为非空集合，所以因此实数a的取值范围是（2，5）【考点】集合子集包含关系3.设集合,，则有（）A．B．C．D．【答案】A【解析】。

【考点】元素和集合的关系。

4.设集合,,且，则实数的取值范围是。

【答案】【解析】依题意可得。

【考点】集合的运算。

5.设全集为，集合，．（1）求如图阴影部分表示的集合；（2）已知，若，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）【解析】（1）由可得.所以.所以阴影部分表示集合A中扣除集合A与集合B的交集部分，可得.（2）因为若，则i)当集合C为空集时即成立.当ii)集合C不为空集时.解得.综上可得.故填.试题解析：（1）由得， 2分又，故阴影部分表示的集合为； 5分（2）①，即时，，成立； 9分②，即时，，得， 11分综上所述，的取值范围为． 12分【考点】1.集合中韦恩的应用.2.交集、并集、补集的概念.3.集合的运算.4.空集的概念.6.给出下列结论：①函数的定义域为；②；③函数的图像关于点对称；④若角的集合,,则；⑤函数的最小正周期是,对称轴方程为直线.其中正确结论的序号是 _______.【答案】③④⑤【解析】对于①，由，故函数的定义域应当为；对于②，；对于③，采用检验法，三角函数对称中心的横坐标是函数的零点，当时，，符合，所以③正确；对于④，角的集合、都表示终边落在上的角，所以这两集合相等，所以④正确；对于⑤，的图像是由变化而来（保持轴上方的图像不变，而把轴下方的图像沿轴翻折到轴的上方），结合正切函数的图像与性质可知，的周期为，且对称轴为；综上可知，③④⑤正确.【考点】1.命题真假的判断；2.函数的定义域；3.诱导公式；4.三角函数的图像与性质；5.集合之间的关系.7.已知集合，，则满足条件的集合的个数为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由题，得，，则满足条件C 的元素的个数就是集合的子集个数，即为4个，故选B．【考点】集合间的包含关系．8.已知全集，，则 .【答案】【解析】直接利用交集的定义进行计算,,【考点】此题考查了交集的定义.9.已知集合，，若，则 .【答案】【解析】若两个集合相等,则两个集合中的元素完全相同.,.,又,,【考点】此题考查了两个集合相等的条件.10.已知全集U={0，1，2，3，4}，M={0，1，2}，N={2，3}，则（M）∩N=( ) A．B．C．D．【答案】C【解析】本题属基础题，考察学生对集合的补集、交集概念掌握的情况，先由观察全集求出集合的补集，再求出的补集与集合的效交集，从而得出答案是C.【考点】1.集合的补集；2.集合的交集.11.已知集合，则（）A．B．C．D．【答案】D.【解析】集合A=.集合B=.所以.故选D.【考点】1.描述法表示集合关注竖线左边的式子表示集合里装的对象.2.集合的交集.12.已知集合，．(1)求集合；(2)若，求实数的取值范围．【答案】(1) ；（2）．【解析】（1）解分式不等式一般是把分式不等式转化为整式不等式来解，先把分式不等式化为（或）（注意使，中各因式里的最高次项系数为正），然后等价转化为整式不等式（或），但如果不等式是（或），转化后注意．本题中不等式等价转化为；（2）注意结论的区别．试题解析：解（1）因为，所以．解得，∴集合．（2）因为，所以解得所以．【考点】（1）分式不等式的解法；（2）子集的概念．13.在“①高一数学课本中的难题；②所有的正三角形；③方程的实数解”中，能够表示成集合的是（）A．②B．③C．②③D．①②③【答案】C【解析】集合有三个特点：确定性、无序性和不重复性。

高一数学集合的概念试题答案及解析

高一数学集合的概念试题答案及解析1.已知集合有且只有一个元素，则a的值的集合(用列举法表示)是 .【答案】{0，1}【解析】集合是方程的解集，此方程只有一个根，则，或，可得.【考点】集合的表示法.2.已知非空集合则实数a的取值范围是_____________．【答案】（2，5）【解析】因为,所以又因为为非空集合，所以因此实数a的取值范围是（2，5）【考点】集合子集包含关系3.设集合、，若，则实数＝___________.【答案】-1【解析】由于，则或，得，又由集合元素的互异性可知＝.【考点】集合的概念和运算.4.给出下列结论：①函数的定义域为；②；③函数的图像关于点对称；④若角的集合,,则；⑤函数的最小正周期是,对称轴方程为直线.其中正确结论的序号是 _______.【答案】③④⑤【解析】对于①，由，故函数的定义域应当为；对于②，；对于③，采用检验法，三角函数对称中心的横坐标是函数的零点，当时，，符合，所以③正确；对于④，角的集合、都表示终边落在上的角，所以这两集合相等，所以④正确；对于⑤，的图像是由变化而来（保持轴上方的图像不变，而把轴下方的图像沿轴翻折到轴的上方），结合正切函数的图像与性质可知，的周期为，且对称轴为；综上可知，③④⑤正确.【考点】1.命题真假的判断；2.函数的定义域；3.诱导公式；4.三角函数的图像与性质；5.集合之间的关系.5.如图，阴影部分表示的集合是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由文氏图可知,阴影部分在集合外,同时在集合内,应是,故选A.【考点】1.集合的运算；2.交集和补集的应用.6.下列集合中,不同于另外三个集合的是（）A．{1}B．C．D．【答案】C.【解析】研究集合，关键是研究集合中的元素，尽管B、D是用描述法表示的集合，但它们中的元素都只有一个1，与A中的集合相同，而C是由式子“”作为一个元素的集合，故选C.【考点】集合的元素7.下列各组对象中不能构成集合的是（）A．大名三中高一（2）班的全体男生B．大名三中全校学生家长的全体C．李明的所有家人D．王明的所有好朋友【答案】D【解析】分析四个答案中所列的对象是否满足集合元素的确定性和互异性，即可得到答案．解：A中，大名三中高一（2）班的全体男生，满足集合元素的确定性和互异性，故可以构造集合； B 中，大名三中全校学生家长的全体，满足集合元素的确定性和互异性，故可以构造集合； C中，李明的所有家人，满足集合元素的确定性和互异性，故可以构造集合；D中，王明的所有好朋友，不满足集合元素的确定性，故不可以构造集合；故选D【考点】集合点评：本题以判断对象能否构成集合为载体考查了集合元素的性质，熟练掌握集合元素的确定性和互异性，是解答的关键．8.已知集合是满足下列性质的函数的全体：在定义域内存在，使得成立。

高一必修一数学集合章节全部知识点例题对应练习课后练习(全)

1.1集合【考纲解读】◆ 理解集合的定义、元素与集合的属于关系、集合的表示方法； ◆ 理解集合之间的包含、相等关系，以及全集、子集、空集的含义；◆ 理解补集的含义，以及集合之间的交集、并集的含义，会求补集、交集、并集，并且能用韦恩图表示；【知识储备】知识点1、集合与元素的概念在小学和初中，其实我们已经学过一些集合，例如：自然数的集合，有理数的集合，不等式的解的集合，到一个定点的距离等于定长的点的集合，到一条线段的两个端点距离相等的点的集合......思考？你还能想到哪些类似学过的集合？集合、元素的定义：一般地，我们把研究对象统称为“元素”，通常用小写字母a 、b 、c ...表示；把一些元素组成的总体叫做“集合”，简称“集”，通常用大写字母A 、B 、C ...表示。

知识点2、集合中元素的性质❶确定性：构成集合的对象具有明确的特征，即有明确的界线来区分元素是不是在这个集合中的，不能模棱两可。

给定一个集合，那么集合中的元素就确定了。

如：“中国四个直辖市”（北京，天津，重庆，上海）、“东北三省”（辽宁、吉林、黑龙江）可以构成集合，其元素具有确定性；而“比较胖的人”，“解放碑附近”一般不构成集合，因为组成它的元素是不确定的. ❷互异性：一个集合中的元素是互不相同的，即集合中的元素是不重复出现的。

如：方程0)2()1(2=--x x的解虽然有三个：,2,1,1321===x x x ，集表示为{}2,1,而不是{}2,11，。

❸无序性：集合中的元素无顺序,可以任意排列、调换。

如：{}2,1、{}12，表示同一个集合。

例：看下面几个例子，判断每个例子中的对象能否组成一个集合。

（1）大于等于1，且小于等于100的所有整数；（2）方程x 2=4的实数根；（3）平面内所有的直角三角形；（4）正方形的全体；（5）∏的近似值的全体；（6）平面集合中所有的难证明的题；（7）著名的数学家；（8）平面直角坐标系中x 轴上方的所有点。

专题1 集合中的含参问题-高一数学必修一专题复习训练含答案

专题1 集合中的含参问题-高一数学必修一专题复习训练含答案一、选择题 1．若集合,则实数的取值范围是 ( )A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】2．已知集合{}0,5,10A =，集合{}22,1B a a =++，且{}5A B ⋂=，则满足条件的实数a 的个数有（）A . 0个B . 1 个C . 2 个D . 3 个【答案】B【解析】{}22,1B a a =++，且{}5A B ⋂=，则有25a +=或215a +=. 32a =，或-2. 当3a =时， {}5,10B =，此时{}510A B ⋂=，，不满足题意；当2a =时， {}54B =，，满足题意；当2a =-时， {}0,5B =，此时{}50A B ⋂=，，不满足题意，所以满足条件的实数a 只有1个. 故选B . 3．已知点）在平面直角坐标系的第二象限内，则的取值范围在数轴上可表示为（阴影部分）( )A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】因为在第二象限，所以，所以，故选C.4．已知m ，，集合，集合，若，则A ． 1B ． 2C ． 4D ． 8 【答案】A 【解析】5．已知集合A ={x |x 2-2x -3≤0}，B ={x |x ＜a }，若A ⊆B ，则实数a 的取值范围是（）A . （-1，+∞）B . [-1，+∞）C . （3，+∞）D . [3，+∞）【答案】C【解析】[]13A =-，， (),B a =-∞；∵A B ⊆；∴3a >；∴a 的取值范围为3+∞（，），故选C ．点睛：研究一个集合，我们首先要看清楚它的研究对象，是实数还是点的坐标还是其它的一些元素，这是很关键的一步.第二步常常是解一元二次不等式，我们首先用十字相乘法分解因式，求得不等式的解集.在解分式不等式的过程中，要注意分母不能为零.解指数或对数不等式要注意底数对单调性的影响.元素与集合之间是属于和不属于的关系，集合与集合间有包含关系. 在求交集时注意区间端点的取舍，熟练画数轴来解交集、并集和补集的题目. 6．已知集合，，若，则实数的取值范围为（）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】7．已知集合A ={-1，0，a }，B ={ x |0<x <1}，若A ∩B ≠Ø，则实数a 的取值范围是A . {1}B . (0，1)C . (1，+∞)D . (-∞，0)【答案】B 【解析】1,0,B B -∉∉ 若A B φ⋂≠ ，则a B ∈ ，则01a << ，选B .8．已知集合2{|280}P x x x =--≤， {|}Q x x a =≥， ()C P Q ⋃=R R ，则a 的取值范围是A . ()2,∞-+B . ()4,∞+C . (],2∞--D . (],4∞-【答案】C【解析】因为{|24}P x x =-≤≤， {|}Q x x a =≥，则{|24}C P x x x =-R 或,又因为()C P Q ⋃=R R ，所以2a ≤- 本题选择C 选项. 9．集合，,若，则的取值范围是（）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】根据题意，可得，，要使，则，故选B.二、填空题 10.已知集合，.若，则实数__________.【答案】0 【解析】11．设全集，，，则的值为____________.【答案】2或8 【解析】由题意，可知，依据补集可得，则有，即，解得或，即实数的值为或．12．集合{}{}1,|A x x B x x a ==<，若R A C B ⊆，则实数a 的取值范围_________ 【答案】1a ≤【解析】∵集合{}{}1,|,{|},1R R A x x B x x a C B x x a A C B a ==<∴=⊆∴，，厔∴实数a 的取值范围是 1.a ≤ 13．已知，若，则的取值范围是___________.【答案】【解析】14．已知集合，且有4个子集，则实数的取值范围是________．【答案】【解析】由题意得．所以．因为A∩B有4个子集，所以A∩B中有2个不同的元素，所以，所以，解得且．故实数a的取值范围是．故答案为．三、解答题15．已知,若,求实数的取值范围.【答案】【解析】①当时,即,有;②当,则,解得: ;综合①②,得的取值范围为.16．设全集，集合，集合,且,求的取值范围. 【答案】【解析】17．已知集合{}121A x a x a =-<<+， {}01B x x =<< （1）若12a =，求A B ⋂；（2）若A B ⋂=∅，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）{}01x x <<；（2）12a ≤-或2a ≥. 【解析】试题分析：（1）把a 的值代入A 求出解集，找出A 与B 的交集，求出A 与B 补集的并集即可；（2）根据A 与B 的交集为空集，确定出a 的范围即可．试题解析：（1）当12a ={}12,012A x x B x x ⎧⎫=-<<=<<⎨⎬⎩⎭，∴A B ⋂= {}12012x x x x ⎧⎫-<<⋂<<⎨⎬⎩⎭{}01x x =<<（2）因为A B ⋂=∅，当A =∅时，则121a a ->+，即2a <- 当A ≠∅时，则11a -≥或210a +≤，解得： 12a ≤-或2a ≥. 综上： 12a ≤-或2a ≥. 18．设全集为R ，，，（1）求及（2）若集合，，求的取值范围. 【答案】（1）；（2）.【解析】19．已知的定义域为集合A，集合B=（1）求集合A；（2）若A B,求实数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】解：（1）由已知得即∴（2）∵∴解得∴20.已知集合A={x|x＜-3或x≥2}，B={x|x≤a-3}．（1）当a=2时，求（∁R A）∩B；（2）若A∩B=B，求实数a的取值范围．【答案】（1）{}|31x x -≤≤-；（2）0a <.21.已知集合{}2|2940 A x x x =-+>，集合{}2|2, R B y y x x x C A ==-+∈，集合{}|12 1 C x m x m =+<≤-.（1）求集合B ；（2）若A C A ⋃=，求实数m 的取值范围. 【答案】（1）[]8,1-；（2）2m ≤或3m ≥.【解析】试题分析：（1）解出一元二次不等式得到集合A ，故而可求出R C A ，对一元二次函数通过配方法求出其在给定区间内的范围即可；（2）A C A ⋃=等价于C A ⊆，分为C =∅和C ≠∅两种情形，借助于数轴可得m 的取值范围.试题解析：（1）22940x x -+> ， 12x ∴<或4x >，∴()1,4,2A ⎛⎫=-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭， 1,42R A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ð. 于是， ()221211,,42y x x x x ⎡⎤=-+=--+∈⎢⎥⎣⎦，解得[]8,1y ∈-， []8,1B ∴=-. （2）∵A C A ⋃=，∴C A ⊆．若C =∅,则211m m -≤+，即2m ≤，若C ≠∅,则2{1212m m >-<或2{14m m >+≥,解得3m ≥，综上，实数m 的取值范围是2m ≤或3m ≥.22．设集合()()222{|320},{|2150}A x x x B x x a x a =-+==+-+-=（1）若{}2A B ⋂=，求实数a 的值（2）若A B A ⋃=，求实数a 的取值范围【答案】（1）5,1a a =-=.综上所述： 5,1a a =-=23.已知集合A ＝{x |x ＜－2或3＜x ≤4}，B ＝{x |x 2－2x －15≤0}． (1) 求A ∩B ；(2) 若C ＝{x |x ≥a }，且B ∩C ＝B ，求实数a 的取值范围．【答案】(1) A ∩B ＝{x |－3≤x ＜－2或3＜x ≤4}．(2) a ≤－3.【解析】试题分析：（1）对于集合的交并补运算，我们常画数轴来解决.（2）由B ∩C ＝B 得B C ⊆，也可以画数轴解决.试题解析：(1) B ＝{x |－3≤x ≤5}，A ∩B ＝{x |－3≤x ＜－2或3＜x ≤4}． (2) ∵ B ∩C ＝B ，∴ B ⊆C ，∴ a ≤－3. 24. 已知集合．(1)若，求实数的值； (2)若，求实数的取值范围．【答案】(1)2；(2).【解析】25．已知集合{}2|3 2 0A x R x x =∈-+=， {}|1 1 2B x Z x =∈-≤-≤， {}21,1,1C a a =++，其中a R ∈.（1）求A B ⋂， A B ⋃；（2）若A B A C ⋂=⋂，求C .【答案】(1) A ⋂ B ={1,2}， A ⋃ B ={0,1,2,3}；(2) C ={0,1,2}.。

新教材人教A版高中数学必修一集合的概念(第二课时)(含解析)

集合的概念（第二课时）-【新教材】人教A 版（2019）高中数学必修第一册同步练习（含解析）一、单选题1. 用列举法表示集合{x|x 2−2x +1=0}为( )A. {1,1}B. {1}C. {x =1}D. {x 2−2x +1=0}2. 已知集合A ={x|−1<x <√3,x ∈Z}，则一定有 ( )A. −1∈AB. 12∈AC. 0∈AD. 0∉A3. 下列集合中，不同于另外三个集合的是( )A. {x|x =1}B. {x|x 2=1}C. {1}D. {y|(y −1)2=0}4. 下列说法：①集合{x ∈N |x 3=x}用列举法可表示为{−1,0，1}； ②实数集可以表示为{x|x 为所有实数}或{R }； ③方程组{x +y =3,x −y =−1的解集为{x =1,y =2}．其中说法正确的个数为( )A. 3B. 2C. 1D. 05. 已知集合A ={1,2，3，4，5}，B ={(x,y)|x ∈A ，y ∈A ，x −y ∈A}，则B 中所含元素的个数为( )A. 3B. 6C. 8D. 106. 集合A ={(0,1)，(1,0)，(1,1)}中的元素个数是( )A. 1B. 2C. 3D. 47. 下列各个集合是有限集的是( )A. {小于10 000的自然数}B. {x|0<x <1}C. {小于10 000的整数}D. {x|x <1}8. 设集合A ={x|(x −1)(x −2)2=0}，则集合A 中元素的个数为( )A. 1B. 2C. 3D. 49.已知集合A={1,2，3}，B={1,2}，C={(x,y)|x∈A，y∈B}，则集合C中元素的个数是()A. 4B. 6C. 8D. 1010.方程组{x+y=1,x−y=−1的解集是()A. {x=0,y=1}B. {0,1}C. {(0,1)}D. {(x,y)|x=0或y=1}11.下列集合的表示方法正确的是()A. 第二、四象限内的点集可表示为{(x,y)|xy≤0，x∈R，y∈R}B. 不等式x−1<4的解集为{x<5}C. {全体整数}D. 实数集可表示为R12.集合A={x|mx2+2x+2=0}中有两个元素，则m满足的条件为()A. {m|m≠0}B. {m|m<12}C. {m|m<12,且m≠0} D. {m|0<m<12}二、多选题13.下列说法错误的是()A. 不等式2x−5<3的解集表示为{x<4}B. 所有偶数的集合表示为{x|x=2k}C. 全体自然数的集合可表示为{自然数}D. 方程x2−4=0实数根的集合表示为{(−2,2)}14.已知集合A={x∈N|x<6}，则下列关系式正确的是()A. 0∈AB. 1.5∉AC. −1∉AD. 6∈A三、填空题15.下列各式中错误的是______．①−3∈{x∈R|x=2k−1，k∈Z}；②3−2∉Q；③{x∈R|−5<x<5且x∈N}={0，1，2，3，4}．16.用列举法表示集合A={y|y=x2+1,|x|≤2,x∈Z}=．17. 集合{(x,y)|x +y =6，x ，y ∈N }用列举法表示为________． 18. 已知集合A ={1,0，−1，3}，B ={y|y =|x|,x ∈A}，则B = ． 19. 下列各组中的两个集合M 和N ，表示同一个集合的是____.(填序号)①M ={π}，N ={3.141 59}; ②M ={2,3}，N ={(2,3)};③M ={x|−1<x ≤1,x ∈N }，N ={1};④M ={1,√3,π}，．20. 集合A ={x ∈N |66−x ∈N }用列举法表示为______.四、解答题21. 用列举法表示下列集合：(1)15的正约数组成的集合； (2)不大于10的正偶数组成的集合； (3)方程组{2x +y +6=0x −y +3=0的解组成的集合．22. 用描述法表示下列集合：(1)函数y =−x 的图象上的点组成的集合； (2)数轴上离原点的距离大于3的点组成的集合； (3)不等式x −2<3的解组成的集合．23.用描述法表示下列集合：(1)平面直角坐标系中的x轴上的点组成的集合；(2)二次函数y=x2−4上的点组成的集合；(3)使函数y=2x−1有意义的实数x组成的集合．24.用适当的方法表示下列集合：(1)方程组{2x−3y=14,3x+2y=8的解组成的集合；(2)1000以内被3除余2的正整数组成的集合；(3)所有的正方形组成的集合；(4)抛物线y=x2上的所有点组成的集合．25.含有三个实数的集合可表示为{a,b,1}，也可表示为{a2,a+b,0}，求a2017+b2018的a值．答案和解析1.【答案】B【解析】【分析】本题考查了集合的表示法的相关知识，试题难度容易．【解答】解：{x|x2−2x+1=0}={x|(x−1)2=0}={1}．故选B．2.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查元素与集合的关系，属于基础题.根据x的范围，确定x的值，即可排除选项．【解答】解：∵−1<x<√3,x∈Z，∴x=0，1，故选C．3.【答案】B【解析】【分析】本题考查了集合的表示法的相关知识，试题难度较易【解答】解：{x|x2=1}={−1,1}，另外三个集合都是{1}．故选B．4.【答案】D【解析】【分析】本题考查了集合的表示法的相关知识，试题难度较易．【解答】解：由x3=x，即x(x−1)(x+1)=0，得x=0或x=1或x=−1，3集合表示中的符号“{}”已包含“所有”“全体”等含义，而符号“R”表示所有的实数组成的集合，故实数集正确表示应为{x|x为实数}或R，故②不正确．方程组{x+y=3,x−y=−1的解是有序实数对，其解集应为{(x,y)|{x=1,y=2}，故③不正确．故选D．5.【答案】D【解析】【分析】本题考查了集合中元素的个数问题的相关知识，试题难度较易．【解答】解：当x=5时，y=1，2，3，4；当x=4时，y=1，2，3；当x=3时，y=1，2；当x=2时，y=1．综上，B中含有10个元素．故选D．6.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查集合中元素的个数的统计，属于基础题．【解答】解：∵集合A={(0,1)，(1,0)，(1,1)}∴集合中元素个数是3．故选C．7.【答案】A【解析】【分析】本题考查了集合概念——有限集和无限集；结合选项，分别进行判定即可．【解答】解：选项B，C，D中的集合都是无限集，只有选项A中的集合是有限集．故选A．8.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查集合中元素的个数，属于基础题．由题意可得方程(x−1)(x−2)2=0的根为x1=1，x2=2，可得集合A中元素的个数为2．【解答】解：方程(x−1)(x−2)2=0的根为x1=1，x2=2，所求集合A中元素的个数为2，故选B．9.【答案】B【解析】【分析】本题考查集合中元素个数问题，属于基础题．根据集合A、B写出集合C中的元素即可．【解答】解：集合C中的元素是(1,1)，(1,2)，(2,1)，(2,2)，(3,1)，(3,2)，共6个元素．故选B．10.【答案】C【解析】【分析】本题考查用集合表示方程组的解集，属于基础题．解方程组，根据集合的表示方法即可解题．【解答】解：对于方程组{x+y=1x−y=−1,两式相加得x=0，两式相减得y=1，则方程组的解集为{(0,1)}，故选C．11.【答案】D【解析】【分析】本题考查集合的表示，属于基础题．逐一判定即可得．【解答】解：选项A中应是xy<0，故A错误;选项B的本意是想用描述法表示，但不符合描述法的规范格式，缺少了竖线和竖线前面的代表元素x，故B错误;选项C的“{}”与“全体”意思重复，故C错误；选项D，实数集可表示为R，故D正确．故选D．12.【答案】C【解析】【分析】本题考查集合中参数取值问题，属于基础题．利用一元二次方程的性质得出m的取值范围即可，然后表示成集合的形式．【解答】解：由题意，得m≠0且Δ=22−8m>0，解得m<1，且m≠0，2故选C．13.【答案】ABD【解析】【分析】本题考查了集合的表示法的相关知识，试题难度较易．【解答】解：不等式2x−5<3的解集表示为{x|x<4}，故A错误；所有偶数的集合表示为{x|x=2k,k∈Z}，故B错误；显然C正确；方程x2−4=0实数根的集合表示为{−2,2}，故D错误．故选ABD．14.【答案】ABC【解析】【分析】本题考查了元素与集合的关系的相关知识，试题难度较易．【解答】解：易知A={0,1，2，3，4，5}，所以0∈A，1.5∉A，−1∉A，6∉A．故选ABC．15.【答案】②【解析】【分析】本题主要考查元素与集合的关系和用列举法表示集合，属于基础题.掌握元素与集合的关系和用列举法表示集合的知识，即可解答本题．【解答】解：令2k−1=−3得k=−1，符合k∈Z，故①正确；∵3−2=1是有理数，∴3−2∉Q，故②错误；9∵−5<x<5且x∈N，∴x=0，1，2，3，4，∴{x∈R|−5<x<5且x∈N}={0，1，2，3，4}，故③正确．故答案为②16.【答案】{1,2,5}【解析】【分析】本题主要考查集合的表示法和集合中元素的性质．分别取x=−2,−1,0,1,2求出对应的y，特别注意集合中元素的互异性写出集合A．【解答】解：由题意知：因为|x|≤2；所以当x=−2时,y=(−2)2+1=5；x=−1时,y=(−1)2+1=2；x=0时,y=(0)2+1=1；x=1时,y=(1)2+1=2；x=2时,y=(2)2+1=5；故答案为{1,2,5}．17.【答案】{(0,6)，(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)，(6,0)}【解析】【分析】本题考查了集合的表示法的相关知识，试题难度容易．【解答】解：集合{(x,y)|x+y=6，x，y∈N}={(0,6)，(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)，(6,0)}，故答案为{(0,6)，(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)，(6,0)}．18.【答案】{0,1，3}【解析】【分析】本题考查了集合的含义和集合的表示方法的相关知识，属于基础题．将x=1，0，−1，3代入y=|x|求y的值，从而可得集合B．【解答】解：因为B={y|y=|x|,x∈A}，当x=1时，y=1，当x=0时，y=0，当x =−1时，y =1，当x =3时，y =3，所以B ={0,1，3}．故答案为{0,1，3}．19.【答案】④【解析】【分析】本题考查的是集合相等的定义，属于容易题．根据集合相等的定义：两个集合的元素要一样，即可得出答案．【解答】解：只有④中M 和N 的元素相等，故答案为④．20.【答案】{0,3,4,5}【解析】【分析】本题考查集合的表示方法，是基础题．利用已知条件，化简求解即可．【解答】解：由66−x ∈N ，且x ∈N ，得6−x 是6的约数，即6−x =1，2，3，6，则x =5，4，3，0，故A ={0,3,4,5}． 21.【答案】解：(1)15的正约数组成的集合为{1,3，5，15}；(2)不大于10的正偶数组成的集合为{2,4，6，8，10}；(3)方程组{2x +y +6=0x −y +3=0的解组成的集合为{(−3,0)}．【解析】本题主要考查用列举法表示集合，属于中档题．(1)15的正约数有1，3，5，15，即可得到答案；(2)不大于10的正偶数有2，4，6，8，10，即可得到答案；(3)求出两条直线的交点坐标，即可得到答案．22.【答案】解：(1)函数y=−x的图象上的点组成的集合为{(x,y)|y=−x，x∈R，y∈R}；(2)数轴上离原点的距离大于3的点组成的集合等于绝对值大于3的实数组成的集合，则数轴上离原点的距离大于3的点组成的集合用描述法表示为{x∈R||x|>3}；(3)不等式x−2<3的解是x<5，则不等式x−2<3的解组成的集合用描述法表示为{x|x<5}．【解析】本题主要考查用描述法表示集合，属于基础题．根据题意用描述法表达即可．23.【答案】解：(1)平面直角坐标系中的x轴上的点组成的集合为{(x,y)|x∈R，y=0}；(2)二次函数y=x2−4上的点组成的集合为{(x,y)|y=x²−4}；(3)使函数y=2x−1有意义的实数x组成的集合为{x|x≠1,x∈R}．【解析】本题主要考查集合的表示法，用描述法表示集合，属于中档题．根据集合中元素满足的特征表示集合，注意元素是点还是数．24.【答案】解：(1)解方程组{2x−3y=14,3x+2y=8,得{x=4,y=−2,，故该集合用列举法可表示为{(4,−2)}，该集合也可用描述法表示为{(x,y)|{2x−3y=14,3x+2y=8}；(2)设集合的代表元素是x，则该集合用描述法可表示为{x|x=3k+2,k∈N，且k≤332}；(3)所有的正方形组成的集合，则集合用描述法表示为{x|x是正方形}或{正方形}；(4)抛物线y=x2上的所有点组成的集合，则集合用描述法表示为{(x,y)|y=x²}．【解析】本题主要考查集合的表示方法，列举法和描述法表示集合，属于基础题．25.【答案】解：易得a≠0，a≠1(否则不满足集合中元素的互异性)，所以{a =a +b,1=a 2,b a =0或{a =a 2,1=a +b,b a=0, 解得{a =−1,b =0或{a =1,b =0(舍去)，所以a 2017+b 2018=(−1)2017=−1．【解析】本题考查集合中元素的性质以及集合的相等的应用，属于中档题．易得a ≠0，a ≠1(否则不满足集合中元素的互异性)，所以{a =a +b,1=a 2,b a =0或{a =a 2,1=a +b,b a=0, 由此解得a ，b 的值，进而得到a 2017+b 2018的值．。

人教A版高中数学必修一1.1 集合的概念专练(含解析)(2)

1.1 集合的概念一、单选题1．已知集合{0,2}A =，则下列关系表示错误的是（）． A ．0A ∈ B ．{2}A ∈C ．A ∅⊆D ．{0,2}A ⊆2．方程组221x y x y +=⎧⎨-=-⎩的解集是（）A ．{}1,1x y ==B ．{}1C ．()1,1D ．(){},1,1x y x y ==3．已知2{1,0,}x x ∈，则实数x 的值为（） A ．0B ．1C ．1-D ．±14．已知集合{}1,2,3A =，集合(){},,B x y x A x y A =∈-∈，则符合条件的集合B 的子集个数为（） A ．3B ．4C ．8D ．105．若{}2213,1,1a a a -∈---，则a=（）A ．1-B ．0C ．1D ．0或16．已知x 、y 、z 为非零实数，代数式||||||||xyzxyz x y z xyz+++的值所组成的集合是M ，则下列判断正确的是（） A ．0M ∉B ．2M ∈C ．4M -∉D ．4M7．对于正实数α，记M α为满足下述条件的函数()f x 构成的集合：12,x x R ∀∈且21x x >，有212121()()()()x x f x f x x x αα--<-<-.下列结论中正确的是A ．若12(),()f x M g x M αα∈∈，则12()()f x g x M αα++∈B ．若12(),()f x M g x M αα∈∈且12αα>，则12()()f x g x M αα--∈C ．若12(),()f x M g x M αα∈∈，则12()()f x g x M αα⋅⋅∈D ．若12(),()f x M g x M αα∈∈且()0g x ≠，则12()()f x M g x αα∈ 8．集合（x ，y ）|y ＝3x 2－11x}表示（） A ．方程y ＝3x 2－11x B ．（x ，y ）C ．平面直角坐标系中的所有点组成的集合D ．函数y ＝3x 2－11x 图象上的所有点组成的集合9{}0x x >，0.2Q ∉，3N -∈，0∈∅，其中正确的个数A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个 10．若集合{}|1A x x =≤，则满足A B A =的集合B 可以是（）A ．{}|0x x ≤B ．{}2|x x ≤C ．{}|0x x ≥D ．{}|2x x ≥二、填空题 1．方程组240x y x +=⎧⎨-=⎩的解组成的集合为_________. 2．实数系的结构图如图所示，其中1，2，3三个方格中的内容依次是________，________，________.3．集合A=x|x=2k ，k∈Z}，B=x|x=2k+1，k∈Z} ，C=x|x=4k-1，k∈Z}，若m∈A， n∈B，则m+n∈ ___________（选填A 、B 、C ）。

专题1.1 集合中的新定义问题(解析版).

专题1.1集合中的新定义问题集合新定义问题的类型：(1)新定义性质，(2)新定义运算．解决集合新定义问题的着手点：(1)正确理解新定义：剥去新定义、新法则、新运算的外表，转化为我们熟悉的集合知识．(2)合理利用集合性质：运用集合的性质(如元素的性质、集合的运算性质等)是破解新定义型集合问题的关键．(3)对于选择题，可结合选项，通过验证、排除、对比、特值法等进行求解或排除错误选项，当不满足新定义的要求时，只需通过举反例来说明．1．若对任意x A ∈，有1A x ∈，就称A 是具有“伙伴关系”的集合，集合{1M =-，0，13，12，1，2，3，4}的所有非空子集中，具有“伙伴关系”的集合的个数为()A ．15B ．16C ．82D ．52【解答】解：具有伙伴关系的元素组有1-，1，12、2，13、3共四组，它们中任一组、二组、三组、四组均可组成非空伙伴关系集合，由组合数公式可得其个数依次为1234444415C C C C +++=故选：A ．2．设A 是整数集的一个非空子集，对于k A ∈，如果1k A -∉且1k A +∉，那么k 是A 的一个“孤立元”，给定{1A =，2，3，4，5}，则A 的所有子集中，只有一个“孤立元”的集合共有()A ．10个B ．11个C ．12个D ．13个【解答】解：“孤立元“是1的集合：{1}；{1，3，4}；{1，4，5}；{1，3，4，5}；“孤立元“是2的集合：{2}；{2，4，5}；“孤立元“是3的集合：{3}；“孤立元“是4的集合：{4}；{1，2，4}；“孤立元“是5的集合：{5}；{1，2，5}；{2，3，5}；{1，2，3，5}．共有13个；故选：D ．3．对于任意两个正整数m ，n ，定义某种运算“※”如下：当m ，n 都为正偶数或正奇数时，m ※n m n =+；当m ，n 中一个为正偶数，另一个为正奇数时，m ※n mn =．则在此定义下，集合{(,)|M a b a =※12b =，*a N ∈，*}b N ∈中的元素个数是()A ．10个B ．15个C ．16个D ．18个【解答】解：a ※12b =，a 、*b N ∈，若a 和b 一奇一偶，则12ab =，满足此条件的有11234⨯=⨯，故点(,)a b 有4个；若a 和b 同奇偶，则12a b +=，满足此条件的有11121039485766+=+=+=+=+=+共6组，故点(,)a b 有26111⨯-=个，所以满足条件的个数为41115+=个．故选：B ．4．对于任意两个正整数m ，n ，定义某种运算“※”如下：当m ，n 都为正偶数或都为正奇数时，m ※n m n =+；当m ，n 中一个为正偶数，另一个为正奇数时，m ※n mn =，则在此定义下，集合{(,)|M a b a =※8}b =中的元素个数是()A ．10B ．9C ．8D ．7【解答】解：由定义知，当a ，b 都为正偶数或都为正奇数时，a ※8b a b =+=，故(,)a b 是(1,7)，(2,6)，(3,5)，(4,4)，(5,3)，(6,2)，(7,1)；当a ，b 中一个为正偶数，另一个为正奇数时，a ※8b ab ==，故(,)a b 是(1,8)，(8,1)；故共9个元素，故选：B ．5．集合{0S =，1，2，3，4，5}，A 是S 的一个子集，当x A ∈时，若有1x A -∉，且1x A +∉，则称x 为A 的一个“孤立元素”，那么S 中无“孤立元素”的非空子集有()个．A ．16B ．17C ．18D ．20【解答】解：当x A ∈时，若有1x A -∉，且1x A +∉，则称x 为A 的一个“孤立元素”，∴单元素集合都含孤立元素，S 中无“孤立元素”的2个元素的子集A 为{0，1}，{1，2}，{2，3}，{3，4}，{4，5}，共5个S 中无“孤立元素”的3个元素的子集A 为{0，1，2}，{1，2，3}，{2，3，4}，{3，4，5}，共4个S 中无“孤立元素”的4个元素的子集A 为{0，1，2，3}，{0，1，3，4}，{0，1，4，5}}，{1，2，3，4}，{1，2，4，5}，{2，3，4，5}共6个S 中无“孤立元素”的5个元素的子集A 为{0，1，2，3，4}，{1，2，3，4，5}，{0，1，2，4，5}，{0，1，3，4，5}，共4个S 中无“孤立元素”的6个元素的子集A 为{0，1，2，3，4，5}，共1个故S 中无“孤立元素”的非空子集有20个故选：D ．6．用C （A ）表示非空集合A 中的元素个数，定义()()()()()()()(),*,C A C B C A C B A B C B C A C A C B -⎧⎪=⎨-<⎪⎩当当，若{1A =，2}，2{||1|1}B x x ax =++=，且*1A B =，由a 的所有可能值构成的集合是S ，那么()C S 等于()A ．4B ．3C ．2D ．1【解答】解：22|1|111x ax x ax ++=⇔++=或211x ax ++=-，即20x ax +=①或220x ax ++=②，{1A =，2}，且*1A B =，∴集合B 要么是单元素集合，要么是三元素集合，1︒集合B 是单元素集合，则方程①有两相等实根，②无实数根，0a ∴=；2︒集合B 是三元素集合，则方程①有两不相等实根，②有两个相等且异于①的实数根，即280a a ≠⎧⎨=-=⎩，解得a =±综上所述0a =或a =±()3C S ∴=．故选：B ．7．在整数集Z 中，被5所除得余数为k 的所有整数组成一个“类”，记为[]k ，即[]{5|}k n k n Z =+∈，0k =，1，2，3，4；给出四个结论：（1）2015[0]∈；（2）3[3]-∈；（3）[0][1][2][3][4]Z =；（4）“整数a ，b 属于同一“类”的充要条件是“[0]a b -∈”．其中正确结论的个数是()A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【解答】解：201554030÷=⋯，2015[0]∴∈，故（1）正确；35(1)2-=⨯-+，3[3]∴-∉，故（2）错误；整数集中的数被5除的数可以且只可以分成五类，故[0][1][2][3][4]Z =，故（3）正确；整数a ，b 属于同一“类”，∴整数a ，b 被5除的余数相同，从而a b -被5除的余数为0，反之也成立，故“整数a ，b 属于同一“类”的充要条件是“[0]a b -∈”．故（4）正确．故选：C ．8．设S 为复数集C 的非空子集．若对任意x ，y S ∈，都有x y +，x y -，xy S ∈，则称S 为封闭集．下列命题：①集合{|(S a bi a =+，b 为整数，i 为虚数单位）}为封闭集；②若S 为封闭集，则一定有0S ∈；③封闭集一定是无限集；④若S 为封闭集，则满足S T C ⊆⊆的任意集合T 也是封闭集．其中真命题是．（写出所有真命题的序号）【解答】解：取集合{|(S a bi a =+，b 为整数，i 为虚数单位）}中任意两个元素m ni +和(p qi m+、n 、p 、)q Z ∈，则()()()()m ni p qi m p n q i S +++=+++∈；()()()()m ni p qi m p n q i S +-+=-+-∈；()()()()m ni p qi mp nq mq np i S +⋅+=-++∈；满足集合{|(S a bi a =+，b 为整数，i 为虚数单位）}为封闭集；①正确．当S 为封闭集时，因为x y S -∈，取x y =，得0S ∈，②正确对于集合{0}S =，显然满足所有条件，但S 是有限集，③错误取{0}S =，{0T =，1}，满足S T C ⊆⊆，但由于011-=-不属于T ，故T 不是封闭集，④错误．9．若集合{1n U =，2，3，，}n ，2n ，*n N ∈，A ，n B U ⊆，且满足集合A 中最大的数大于集合B 中最大的数，则称有序集合对(,)A B 为“兄弟集合对”．当3n =时，这样的“兄弟集合对”有对；当3n 时，这样的“兄弟集合对”有对（用含有n 的表达式作答）．【解答】解：当3n =时，{1n U =，2，3}，A 中的最大元素为2，则B 是{1}的非空子集，有1211-=个，此时A 有2个；A 中的最大元素为3，则B 是{1，2}的非空子集，有2213-=个，此时A 有4个；共有这样的“兄弟集合对”432114⨯+⨯=个，当3n 时，{1n U =，2，3，，}n ，当A 的最大元素为n ，此时A 有12n -个，B 是{1=，2，3，，1}n -的非空子集，有121n --个；当A 的最大元素为1n -，A 有22n -个，B 是{1=，2，3，，2}n -的非空子集，有221n --个；⋅⋅⋅当A 的最大元素为3，A 有22个，B 是{1=，2}的非空子集，有221-个；当A 的最大元素为2，A 有12个，B 是{1}=的非空子集，有121-个；故11223322112(21)2(21)2(21)2(21)2(21)n n n n n n -------+-+-+⋅⋅⋅+-+-22124222212122222222n n n n ----⨯⨯=-+-+⋅⋅⋅+-+-123211231_)44444(2222n n n n ----=+++⋅⋅⋅++-+++⋅⋅⋅+114(14)2(12)1412n n ----=---124233n n =⨯-+．故答案为：14；124233n n ⨯-+．10．设Q 是有理数，集合{|,,0}X x x a a b Q x ==+∈≠，在下列集合中：①|}x X ∈；②2|x X x ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭；③121{|x x x +，2}x X ∈；④121{|x x x ，2}x X ∈；与X 相等的集合的序号是【解答】解：设①②③④对应的集合分别为A ，B ，C ，D ，则对于①：x X ∀∈，设,x a a b Q =+∈，则x b =，而b X +，从而x A ∈，故X A ⊆2b X =+，故A X ⊆，从而A X =；对于②：x X ∀∈，设,x a a b Q =+∈，令,x m n Q =∈，则可得2(2am bn an bm +++，从而22am bn +=，0an bm +=，解得2222a m a b =-，222bn a b=--，且m ，n Q ∈，从而x B ∈，故X B ⊆，反过来，22222a X x a b ==-，故B X ⊆，从而B X =；对于③：取1211x x ==--，则120x x X +=∉，从而C 不是X 的子集，故C X ≠；对于④：x X ∀∈，设,x a a b Q =+∈，则1(x a =⨯+，取121,x x a ==+，则x D ∈，即X D ⊆，反过来1x ，2x X ∈时，12x x X ∈，故D X ⊆，故D X =．综上，①②④正确，故答案为①②④．11．设集合1{A r =，2r ，，}{1n r ⊆，2，3，，37}，且A 中任意两数之和不能被5整除，则n 的最大值为【解答】解：设{5B =，10，15，20，25，30，35}，则card （B ）7=；可将A 集合分为4组：1{1A =，6，11，16，21，26，31，36}，则1()8card A =；2{2A =，7，12，17，22，27，32，37}，则2()8card A =；3{3A =，8，13，18，23，28，33}，则3()7card A =；4{4A =，9，14，19，24，29，34}，则4()7card A =．因为A 中的任何两个数之和不能被5整除，所以1A 和4A ，2A 和3A 中不能同时取数，且B 中最多取1个，所以最多的取法是取12A A 和B 中的一个元素，故card （A ）88117max =++=，故n 的最大值为17，故答案为：17．12．若使集合2(){|(6)(4)0A k x kx k x =--- ，}x Z ∈中元素个数最少，则实数k 的取值范围是(3,2)--，设B Z ⊆，对B 中的每一个元素x ，至少存在一个()A k ，有()x A k ∈，则B =．【解答】解：集合2{|(6)(4)0A x kx k x =--- ，}x Z ∈，方程2(6)(4)0kx k x ---=，0k ≠解得：16x k k=+，24x =，2(6)(4)0kx k x ∴--- ，x Z∈当0k =时，(A =-∞，4]；当0k >时，64k k <+，(A =-∞，64][k k+，)+∞；当0k <时，64k k +<，6[A k k=+，4]；∴当0k 时，集合A 的元素的个数无限；当0k <时，64k k +<，6[A k k =+，4]，集合A 的元素的个数有限，令函数6()g k k k=+，(0)k <则有：()g k - ，对于集合A ，[0，4]满足条件的元素只有0，1，2，3，4，只需6[k k+，0]包含的整数最小，题意要求x Z ∈，故只需65k k +>-，且64k k+- ，解得：32k -<<-，根据对()A k 的讨论，所以B Z =，故答案为：32k -<<-，B Z =．13．非空集合G 关于运算⊕满足：（1）对任意a ，b G ∈，都有a b G +∈；（2）存在e G ∈使得对于一切a G ∈都有a e e a a ==⊕⊕，则称G 是关于运算⊕的融洽集，现有下列集合与运算：①G 是非负整数集，⊕：实数的加法；②G 是偶数集，⊕：实数的乘法；③G 是所有二次三项式构成的集合，⊕：多项式的乘法；④{|G x x a ==+，a ，}b Q ∈，⊕：实数的乘法；其中属于融洽集的是（请填写编号）【解答】解：①对于任意非负整数a ，b 知道：a b +仍为非负整数，所以a b G ∈⊕；取0e =，及任意非负整数a ，则00a a a +=+=，因此G 对于⊕为整数的加法运算来说是“融洽集”；②对于任意偶数a ，b 知道：a b +仍为偶数，故有a b G +∈；但是不存在e G ∈，使对一切a G ∈都有a e e a a ==⊕⊕，故②的G 不是“融洽集”．③对于{G =二次三项式}，若a 、b G ∈时，a ，b 的两个同类项系数，则其积不再为二次三项式，故G 不是和谐集，故③不正确；④{|G x x a ==+，a ，}b Q ∈，设1x a =+，2x c =+，则设12()(x x a c b d +=+++G ，取1e =，11a a a ⨯=⨯=，因此G 对于⊕实数的乘法运算来说是“融洽集”，故④中的G 是“融洽集”．故答案为①④．14．设集合A R ∈，如果0x R ∈满足：对任意0a >，都存在x A ∈，使得00||x x a <-<，那么称0x 为集合A 的一个聚点，则在下列集合中：①{|0}x Z x ∈≠；②{|0}x R x ∈≠；③1{|x x n =，*}n N ∈；④{|1nx x n =+，*}n N ∈其中以0为聚点的集合的序号是．【解答】解：（1）对于某个0a >，比如0.5a =，此时对任意的{|0}x x Z x ∈∈≠，都有0||0x x -=或者0||1x x - ，也就是说不可能00||0.5x x <-<，从而0不是{|0}x Z x ∈≠的聚点；（2）集合{|0}x R x ∈≠，对任意的a ，都存在2ax =（实际上任意比a 小得数都可以），使得0||2ax a <=<，0∴是集合{|0}x R x ∈≠的聚点；（3）集合1{|x x n =，*}n N ∈中的元素是极限为0的数列，对于任意的0a >，存在1n a>，使10||x a n<=<，0∴是集合1{|x x n=，*}n N ∈的聚点；（4）中，集合{|1nx x n =+，*}n N ∈中的元素是极限为1的数列，除了第一项0之外，其余的都至少比0大12，∴在12a <的时候，不存在满足得0||x a <<的x ，0∴不是集合{|1nx x n =+，*}n N ∈的聚点；故答案为：②③．15．在整数集Z 中，被5除所得余数为k 的所有整数组成一个“类”，记为[]k ，即[]{5|}k n k n Z =+∈，0k =，1，2，3，4．给出如下四个结论：①2017[2]∈；②3[3]-∈；③[0][1][2][3][4]Z =；④“整数a ，b 属于同一‘类’”的充要条件是“[0]a b -∈”．其中正确的结论序号有．【解答】解：①201754032÷=⋯，2017[2]∴∈，故①正确；②35(1)2-=⨯-+，3[3]∴-∉，故②错误；③整数集中的数被5除的数可以且只可以分成五类，[0][1][2][3][4]Z ∴=，故③正确；④整数a ，b 属于同一“类”，∴整数a ，b 被5除的余数相同，从而a b -被5除的余数为0，反之也成立，故“整数a ，b 属于同一“类”的充要条件是“[0]a b -∈”．故④正确．故答案为：①③④．17．设n 是正整数，集合{1M =，2，⋯，2}n ．求最小的正整数k ，使得对于M 的任何一个k 元子集，其中必有4个互不相同的元素之和等于41n +．【解答】解：考虑M 的2n +元子集{1P n =-，n ，1n +，⋯，2}n ，P 中任何4个不同元素之和不小于11242n n n n n -+++++=+，所以3k n + ，将M 的元配对为n 对，(,21)i B i n i =+-，1i n ，对M 的任一3n +元子集A ，必有三对1i B ，2i B ，3i B ，同属于(1A i ，2i ，3i 两两不同）又将M 的元配为1n -对，(,2)i C i n i =-，11i n - ，对M 的任一3n +元子集A ，必有一对4i C 同属于A ，这一对4i C 必与1i B ，2i B ，3i B 中至少一个无公共元素，这4个元素互不相同，且和为21241n n n ++=+，故最小的正整数3k n =+．故答案为：41n +．18．定义集合运算：{|A B z z xy ==⊗，x A ∈，}y B ∈，设{1A =，2}，{2B =，4}，则集合A B ⊗的所有元素之和为．【解答】解：有题意：{|A B z z xy ==⊗，x A ∈，}y B ∈，设{1A =，2}，{2B =，4}，那么：当1x =时：2y =或4，可得:2z 、4，当2x =时：2y =或4，可得:4z 、8，故得z 的所有元素：2、4、8，即集合A B ⊗的所有元素为：2、4、8，元素之和为：24814++=．故答案为：14．19．如果具有下述性质的x 都是集合M 中的元素，其中：,)x a a b Q =+∈，则下列元素中属于集合M 的元素的是（填序号）．①0x =，②x =③3x =-，④x⑤x =+．【解答】解：①000x ==+，其中0a =，0b Q =∈，∴①满足条件．②01x ==+，其中0a =，1b Q =∈，∴②满足条件．③3x =-，其中3a Q =∈，但2b Q π=-∉，∴③不满足条件．④3x ===+，其中3a =，2b Q =∈，∴④满足条件⑤22440x =-+=+．其中4a =，0b Q =∈，∴⑤满足条件．故答案为：①②④⑤．20．如果非空数集A 满足：①0A ∉；②若x A ∀∈，有1A x∈，那么称A 是“互倒集”．给出以下数集：①2{|10}x R x ax ∈++=；②2{|610}x x x -+ ；③2{|y y x=，[1x ∈，4]}；其中“互倒集”的是.（请在横线上写出所有正确答案的序号）【解答】解：对于①2{|10}x R x ax ∈++=，当3a =时，2{|10}x R x ax ∈++==∅，故不是互倒集；对于②2{|610}x x x -+ ；△364320=-=>，2{|610}x x x ∴-+ 是非空数集，且20{|610}x x x ∉-+ ，若21{|610}x x x x ∈-+ ，即211610x x -+ ，则221121116111(610x x x x x -+-+= ，故211{|610}x x x x ∈-+ ，故是互倒集；对于③2{|y y x =，[1x ∈，14]}[2=，2]，若11[2x ∈，2]，易知111[2x ∈，2]，故是互倒集；故答案为：②③．。

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5
c
人教A版必修一集合的含义与表示时练习题（含答案）
一、选择题
1设，则下列正确的是（）
A B c D
2 一次函数与的图象的交点组成的集合是（）
A B c D
3．已知x、、z为非零实数，代数式x|x| ＋||＋z|z|＋|xz|xz 的值所组成的集合是，则下列判断正确的是( )．
A．0 B．2∈ c．－4 D．4∈
4．满足“a∈A且4－a∈A”，a∈N且4－a∈N的有且只有2个元素的集合A的个数是( )．
A．0 B．1 c．2 D．3
二、填空题
5用列举法表示集合为
6集合 , 用填空
4 A； 4 B；
5 A； 5 B
7设为两个非空实数集合，定义集合若，则用列举法表示出集合为
8*设则在中但不是A与B的共元素组成的集合为
三、解答题
9试选择适当的方法表示下列集合
（1）二次函数的函数值组成的集合；
（2）函数的自变量的值组成的集合
10*(1) 设集合，试用列举法表示集合A。

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