高三数学不等式选讲 知识点和练习

不等式选讲一、绝对值不等式1．绝对值三角不等式定理1：如果a,b是实数，则|a+b|≤|a|+|b|,当且仅当ab≥0时，等号成立。

注：（1）绝对值三角不等式的向量形式及几何意义：当a，b不共线时，|a+b|≤|a|+|b|，它的几何意义就是三角形的两边之和大于第三边。

（2）不等式|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|中“=”成立的条件分别是：不等式|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|，在侧“=”成立的条件是ab≥0，左侧“=”成立的条件是ab≤0且|a|≥|b|;不等式|a|-|b|≤|a-b|≤|a|+|b|，右侧“=”成立的条件是ab≤0，左侧“=”成立的条件是ab≥0且|a|≥|b|。

定理2：如果a,b,c是实数，那么|a-c|≤|a-b|+|b-c|,当且仅当(a-b)(b-c)≥0时，等号成立。

2．绝对值不等式的解法（1）含绝对值的不等式|x|＜a与|x|＞a的解集注：|x|以及|x-a|±|x-b|表示的几何意义（|x|表示数轴上的点x到原点O的距离；| x-a |±|x-b|）表示数轴上的点x到点a,b的距离之和（差）（2）|ax+b|≤c(c＞0)和|ax+b|≥c(c＞0)型不等式的解法①|ax+b|≤c⇔-c≤ax+b≤c;②| ax+b|≥c⇔ ax+b≥c或ax+b≤-c.（3）|x-a|+|x-b|≥c(c＞0)和|x-a|+|x-b|≤c(c＞0)型不等式的解法方法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；方法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；方法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想。

二、证明不等式的基本方法 1．比较法 （1）作差比较法①理论依据：a ＞b ⇔a-b ＞0;a ＜b ⇔ a-b ＜0. ②证明步骤：作差→变形→判断符号→得出结论。

注：作差比较法的实质是把两个数或式子的大小判断问题转化为一个数（或式子）与0的大小关系。

（2）作商比较法 ①理论依据：0,1;ab a b b>>⇒> 0,1;ab a b b<>⇒< ②证明步骤：作商→变形→判断与1的大小关系→得出结论。

2．综合法（1）定义：从已知条件出发，利用定义、公理、定理、性质等，经过一系列的推理、论证而得到命题成立，这种证明方法叫做综合法。

综合法又叫做推证法或由因导果法。

（2）思路：综合法的思索路线是“由因导果”，也就是从一个（组）已知的不等式出发，不断地用必要条件代替前面的不等式，直至推导出要求证明的不等式。

3．分析法（1）定义：从要证的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实（定义、公理或已证明的定理、性质等），从而得出要证的命题成立，这种证明方法叫做分析法。

（2）思路：分析法的思索路线是“执果索因”，即从要证的不等式出发，不断地用充分条件来代替前面的不等式，直到打到已知不等式为止。

注：综合法和分析法的内在联系是综合法往往是分析法的相反过程，其表述简单、条理清楚。

当问题比较复杂时，通常把分析法和综合法结合起来使用，以分析法寻找证明的思路，用综合法叙述、表达整个证明过程。

4．放缩法（1）定义：证明不等式时，通常把不等式中的某些部分的值放大或缩小，简化不等式，从而达到证明的目的，这种证明方法称为放缩法。

（2）思路：分析证明式的形式特点，适当放大或缩小是证题关键。

5.除此之外还有反证法和数学归纳法【绝对值不等式习题】【例1】不等式|5||3|10x x -++≥的解集为（A ）[-5.7] （B ）[-4,6]（C ）(,5][7,)-∞-⋃+∞ （D ）(,4][6,)-∞-⋃+∞ 【答案】D 【解析】由不等式的几何意义知，式子|3||5|++-x x 表示数轴的点)(x 与点（5）的距离 和与点（-3）的距离之和，其距离之和的最小值为8，结合数轴，选项D 正确【例2】 已知集合{}1|349,|4,(0,)A x R x x B x R x t t t⎧⎫=∈++-≤=∈=+∈+∞⎨⎬⎩⎭，则集合A B ⋂=________. 【答案】{}52|≤≤-∈x R x【解析】∵{}{}54|9|4||3||≤≤-∈=≤-++∈=x R x x x R x A ，()()⎭⎬⎫⎩⎨⎧+∞∈-⨯≥∈=⎭⎬⎫⎩⎨⎧+∞∈-+=∈=,0,6142|,0,614|t t t x R x t t t x R x B {}2|-≥∈=x R x ，∴{}{}{}52|2|54|≤≤-∈=-≥∈≤≤-∈=x R x x R x x R x B A .【例3】对于实数x ，y ，若11≤-x ，12≤-y ，则12+-y x 的最大值为.【答案】5【例4】不等式130x x +--≥的解集是______.【解析】}1|{≥x x 。

由题得1)3()1(|3||1|22≥∴-≥+∴-≥+x x x x x 所以不等式的解集为}1|{≥x x 。

【例5】若关于x 的不等式12a x x ≥++-存在实数解，则实数a 的取值范围是 【答案】(,3][3,)-∞-+∞【解析】：因为12|12|3x x x x ++-≥+-+=所以12a x x ≥++-存在实数解，有3a ≥3a ≤-或3a ≥【例6】已知函数f （x ）=|x-2|-|x-5|.（I ）证明：-3≤f （x ）≤3；（II ）求不等式f （x ）≥x 2-8x+15的解集.解：（I ）3,2,()|2||5|27,25,3, 5.x f x x x x x x -≤⎧⎪=---=-<<⎨⎪≥⎩当25,327 3.x x <<-<-<时 所以3() 3.f x -≤≤ （II ）由（I ）可知，当22,()815x f x x x ≤≥-+时的解集为空集；当225,()815{|55}x f x x x x x <<≥-+-≤<时的解集为；当25,()815{|56}x f x x x x x ≥≥-+≤≤时的解集为.综上，不等式2()815{|56}.f x x x x x ≥-+-≤≤的解集为【例7】已知函数()|2|,()|3|.f x x g x x m =-=-++ （1）解关于x 的不等式()10()f x a a R +->∈；（2）若函数()f x 的图象恒在函数()g x 图象的上方，求m 的取值范围。

解：（1）不等式()10f x a +->，即210x a -+->。

当1a =时，不等式的解集是(,2)(2,)-∞+∞；当1a >时，不等式的解集为R ；当1a <时，即21x a ->-，即21x a -<-或者21x a ->-，即1x a <+或者3x a >-，解集为(,1)(3,)a a -∞+-+∞。

（5分）（2）函数()f x 的图象恒在函数()g x 图象的上方，即23x x m ->-++对任意实数x 恒成立。

即23x x m -++>对任意实数x 恒成立。

由于23(2)(3)5x x x x -++≥--+=，故只要5m <。

所以m 的取值范围是(,5)-∞。

【不等式证明习题】【例1】若a ，b ，c 为不全相等的正数，求证：lg a ＋b 2＋lg b ＋c 2＋lg a ＋c 2＞lg a ＋lg b ＋lg c.证明： 由a ，b ，c 为正数，得lg a ＋b 2≥lg ab ；lg b ＋c 2≥lg bc ；lg a ＋c 2≥lg ac.而a ，b ，c 不全相等，所以lg a ＋b 2＋lg b ＋c 2＋lg a ＋c 2＞lg ab ＋lg bc ＋lg ac ＝lg a 2b 2c 2＝lg(abc)＝lg a＋lg b ＋lg c.即lg a ＋b 2＋lg b ＋c 2＋lg a ＋c 2＞lg a ＋lg b ＋lg c.【例2】证明不等式1+).(21...3121+∈+++N n n n证法一 (1)当n 等于1时，不等式左端等于1，右端等于2，所以不等式成立(2)假设n=k(k ≥1)时，不等式成立，即1+k13121+++ ＜2k ， ,1211)1(11)1(21121131211+=++++<+++=++<+++++k k k k k k k k k k 则∴当n=k+1时，不等式成立综合(1)、(2)得 当n ∈N *时，都有1+n13121+++＜证法二 对任意k ∈N *，都有.2)1(2)23(2)12(22131211),1(21221n n n n k k k k k k k=--++-+-+<++++--=-+<+=因此121...2n N n +∈+++根据（），（）可知，当时，成立。

证法三 设f(n)=),131211(2nn ++++-那么对任意k ∈N *都有1)1(])1(2)1[(11]1)1(2)1(2[1111)1(2)()1(2>+-+=++-+⋅+=-+-++=+--+=-+k k k k k k k k k k k k k k k k f k f∴f(k+1)＞f(k)因此，对任意n ∈N *都有f(n)＞f(n －1)＞…＞f(1)=1＞0，∴.2131211n n <++++【例3】已知a ＞0，b ＞0，且a+b=1 求证(a+a 1)(b+b 1)425 证法一 (分析综合法）欲证原式，即证4(ab)2+4(a 2+b 2)－25ab+4≥0，即证4(ab)2－33(ab)+8≥0，即证ab ≤41或ab ≥8 ∵a ＞0，b ＞0，a+b=1，∴ab ≥8不可能成立 ∵1=a+b ≥2ab ，∴ab ≤41，从而得证 证法二 (比较法）∵a+b=1，a ＞0，b ＞0，∴a+b ≥2ab ，∴ab ≤41 425)1)(1(04)8)(41(4833442511425)1)(1(2222≥++∴≥--=++=-+⋅+=-++b b a a ab ab ab ab ab b a b b a a b b a a 证法三 (综合法)∵a+b=1， a ＞0，b ＞0，∴a+b ≥2ab ，∴ab 4122225(1)1139(1)1251611(1)1441644ab ab ab ab ab ab⎧-+≥⎪-+⎪∴-≥-=⇒-≥⇒⇒≥⎨⎪≥⎪⎩425)1)(1(≥++b b a a 即 【例4】已知*21().n n a n N =-∈求证：*122311...().23n n a a a n n N a a a +-<+++∈证明：111211111111.,1,2,...,,2122(21)2 3.222232k k k k k kk k a k n a +++-==-=-≥-=--+- 1222311111111...(...)(1),2322223223n n n n a a a n n n a a a +∴+++≥-+++=-->- *122311...().232n n a a a n nn N a a a +∴-<+++<∈ 【例5】若02<<a ，02<<b ，02<<c ，求证：()()22--a b b c ，，()2-ca 不能同时大于1。