高中数学解题基本方法之配方法
高中数学解题的典型方法与技巧
高中数学解题的典型方法与技巧1、解决绝对值问题(化简、求值、方程、不等式、函数)的基本思路是：把绝对值的问题转化为不含绝对值的问题。
具体转化方法有：①分类讨论法：根据绝对值符号中的数或表达式的正、零、负分情况去掉绝对值。
②零点分段讨论法：适用于含一个字母的多个绝对值的情况。
③两边平方法：适用于两边非负的方程或不等式。
④几何意义法：适用于有明显几何意义的情况。
2、根据项数选择方法和按照一般步骤是顺利进行因式分解的重要技巧。
因式分解的一般步骤是：提取公因式→选择用公式→十字相乘法→分组分解法→拆项添项法。
3、利用完全平方式把一个式子或部分化为完全平方式就是配方法，它是数学中的重要方法和技巧。
配方法的主要根据有：4、解某些复杂的特型方程要用到换元法。
换元法解题的一般步骤是：设元→换元→解元→还元。
5、待定系数法是在已知对象形式的条件下求对象的一种方法。
适用于求解点的坐标、函数解析式、曲线方程等重要问题的解决。
其步骤是：①设②列③解④写6、复杂代数等式条件的使用技巧：右边化为零，左边变形。
10、代数式求值的方法有：①直接代入法②化简代入法③适当变形法(和积代入法)。
注意：当求值的代数式是字母的“对称式”时，通常可以化为字母“和与积”的形式，从而用和积代入法求值。
11、方程中除未知数以外，含有的其他字母叫做参数，这种方程叫做含参方程。
解含参方程一般要用“分类讨论法”，其原则是：①按照类型求解②根据需要讨论③分类写出结论。
17、一元二次不等式的解法：一元二次不等式可以用因式分解法求解。
简便的实用解法是根据“三个二次”间的关系，利用二次函数图像去解。
具体步骤如下：二次系数化为正→判别且求根→画出示意图→解集横轴中18、一元二次方程根的讨论：一元二次方程根的符号问题或m型问题可以利用根的判别式和根与系数的关系来解决，但根的一般问题、特别是区间根的问题要根据“三个二次”间的关系，利用二次函数图像去解。
一般思路：题意→二次函数图像→不等式组(a的符号、△的情况、对称轴的位置、区间端点函数值的符号)。
高中数学解二次方程的基本方法与公式
高中数学解二次方程的基本方法与公式二次方程是高中数学中重要的一部分，它的解法有多种方法，其中最常用的是基本方法及公式。
本文将详细介绍高中数学解二次方程的基本方法与公式，帮助读者更好地理解和掌握二次方程的求解过程。
一、基本方法解二次方程的基本方法主要包括两种，分别是因式分解法和配方法。
1. 因式分解法因式分解法是一种常用的解二次方程的方法。
当二次方程可以进行因式分解时，我们可以利用因式分解的性质来求解方程。
例如，考虑以下的二次方程：x^2 + 5x + 6 = 0我们可以尝试将方程进行因式分解：(x + 2)(x + 3) = 0由于因式乘积为0，根据零乘法原理，我们可以得到两个可能的解：x + 2 = 0 或 x + 3 = 0因此方程的解为：x = -2 或 x = -32. 配方法配方法是另一种常用的解二次方程的方法。
当二次方程无法进行因式分解时，我们可以利用"配方"的方式求解方程。
例如，考虑以下的二次方程：x^2 + 6x + 8 = 0我们可以通过配方法进行求解。
首先，我们将方程写成完全平方的形式：(x + 3)^2 - 1 = 0然后，我们得到(x + 3)^2 = 1再进行根号运算，我们可以得到两个可能的解：x + 3 = 1 或 x + 3 = -1因此方程的解为：x = -2 或 x = -4二、公式解除了基本方法外，我们还可以使用求根公式来解二次方程。
二次方程的求根公式如下：若二次方程为：ax^2 + bx + c = 0 （其中a≠0），则方程的解为：x = [-b ± √(b^2 - 4ac)] / 2a其中，±表示两个根，√表示平方根。
例如，考虑以下的二次方程：2x^2 + 5x - 3 = 0我们可以直接套用公式进行求解：x = [-5 ± √(5^2 - 4*2*(-3))] / 2*2化简后得到两个可能的解：x = 1/2 或 x = -3三、总结通过以上的介绍，我们了解了高中数学解二次方程的基本方法与公式。
高中数学常用解题方法配方法代换法与完全平方公式
高中数学常用解题方法配方法代换法与完全平方公式高中数学常用解题方法：配方法代换法与完全平方公式数学作为一门学科，常常需要我们运用不同的解题方法来解决各种问题。
在高中数学中，有一些常用的解题方法，其中包括配方法代换法与完全平方公式。
本文将介绍这两种常用的解题方法，并通过例题来展示它们的应用。
一、配方法代换法配方法代换法主要用于解决一些包含有代数表达式的方程或方程组。
其基本思想是将原方程通过代换的方式转化为一个易于解决的形式。
具体操作如下：1. 对于形如ax^2 + bx + c = 0（其中a≠0）的二次方程，可以采用配方法代换法。
我们可以通过配方将其转化为一个完全平方形式，进而解出方程。
例如，考虑方程2x^2 + 3x - 5 = 0，我们可以通过配方将其转化为(x + m)^2 + n = 0的形式。
具体步骤如下：(1) 将二次项系数a分解为两个因数的乘积：2 = m^2；(2) 将常数项c分解为两个因数的乘积：-5 = 2mn；(3) 根据上述两个分解式，求得m和n的值；(4) 根据转化后的形式(x + m)^2 + n = 0，解出方程。
通过以上步骤，我们可以得到方程2x^2 + 3x - 5 = 0的解。
2. 对于一些复杂的方程或方程组，我们也可以通过代换的方法进行求解。
例如，考虑方程组：{2x + 3y = 7{3x - 4y = 1我们可以通过代换的方式将其中一个变量表示为关于另一个变量的函数，再将其代入另一个方程中。
通过求解得到一个变量的解，再将其代入另一个方程中，最终求得方程组的解。
二、完全平方公式完全平方公式是解决一些二次型方程的常用方法，尤其适用于解决求最值等优化问题。
其基本思想是将二次型方程转化为平方的形式，便于解决最值问题。
具体操作如下：1. 对于形如x^2 + bx的二次型，可以通过添加一个适当的常数c，使其成为一个完全平方形式(x + m)^2。
例如，考虑二次型x^2 + 6x，我们可以通过添加一个常数使其变为(x + m)^2的形式，从而求得最值。
高考数学问题中的配方法
高考专题：配方法一、含义配方法是指将一个式子（包括有理式和超越式）或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和，这种方法称之为配方法。
这种方法常常被用到式子的恒等变形中，以挖掘题目中的隐含条件，是解题的有力手段之一。
二、涉及到的内容普通二次式子配方，三次式配方，因式分解配方，根式配方，参数配方，分离法配方。
三、主心思路根据已学到的公式，对所求式子进行变换、凑化、化繁为简，从而达到节省时间，优化解题步骤的目的。
四、具体内容详解①普通二次式子配方需要掌握以下公式，并识记形如782-522=(78+52)(78=52)形式，以及常见自然数的平方数：22=4 32=9 42=16 52=25 62=36 72=49 82=64 92=81112=121122=144132=169142=196152=225162=256172=289182=324192=361222=484252=625242=576322=1024完全平方公式：(a+b)2=a2+2ab+b2=(a-b)2+4ab( a-b)2=a2-2ab+b2=(a+b)2-4ab 平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2【例】解方程：2x²+6x+6=4分析：原方程可整理为：x²+3x+3=2，通过配方可得(x+1.5)²=1.25通过开方即可求解。
解：2x²+6x+6=4<=>(x+1.5)²=1.25x+1.5=1.25的平方根【例】因式分解x²-4x-12解：x²-4x-12=x²-4x+4-4-12=（x-2）²-16=（x -6)(x+2）【例】因式分解x²-ax-x+a解：原式=x²-(a-1)x+a=(x-a)(x-1)注：该种形式的题目一般出现在讨论带参数的零点个数问题，解题时一般化成三项式子观察。
高中数学解题基本方法：配方法.doc
高考第二轮复习第一章 高中数学解题基本方法：配方法一、（课时9）一、知识提要配方法主要适用于：已知或者未知中含有二次方程、二次不等式、二次函数、二次代数式的讨论与求解，或者缺xy 项的二次曲线的平移变换等问题.常见配方形式，如：ab b a ab b a b a 2)(2)(2222+-=-+=+；222222)23()2(3)()(b b a ab b a ab b a b ab a ++=+-=-+=++； ])()()[(21222222a c c b b a ca bc ab c b a +++++=+++++. 2)cos (sin 2sin 1ααα+=+；2)1(2)1(12222+-=-+=+x x x x xx ；…… 等等. 二、例题讲解例1．已知长方体的全面积为11，其12条棱的长度之和为24，则这个长方体的一条对角线长为_____. A. 23 B. 14 C. 5 D. 6解：设长方体长宽高分别为z y x ,,，由已知“长方体的全面积为11，其12条棱的长度之和为24”而得：211424()()xy yz xz x y z ++=++=⎧⎨⎩. 长方体所求对角线长为：x y z 222++＝()()x y z xy yz xz ++-++22＝6112-＝5，所以选B.例2. 设方程022=++kx x 的两实根为p 、q ，若(p q )+(q p)≤7成立，求实数k 的取值范围.解：方程022=++kx x 的两实根为p 、q ，由韦达定理得：2,=-=+pq k q p ， (p q )+(q p )＝p q pq 442+()＝()()p q p q pq 2222222+-＝[()]()p q pq p q pq +--2222222 ＝()k 22484--≤7， 解得10-≤k 或10≥k . 又 ∵p 、q 为方程022=++kx x 的两实根， ∴ 082≥-=∆k即22≥k 或22-≤k ，综上可得，k 的取值范围是：－2210-≤≤k 或≤≤k 2210.例3．设二次函数c bx ax x f ++=2)(，给定m 、n )(n m <,且满足 0])([2])[(222222=++-++++c b cmn n m b a n m n m a ，（1）解不等式0)(>x f ；（2）是否存在一个实数t ，使当),(t n t m x -+∈时，0)(<x f ？若不存在，说出理由；若存在，指出t 的取值范围.解：（1）由已知得，0≠a 且0)(])([22=-+++c amn b n m a ， ∴ac mn a b n m =-=+,即m 、n 是方程02=++c bx ax 的两根，且n m <，所以， 当0>a 时，0)(>x f 的解集为n x x >|{或}m x <；当0<a 时， 0)(>x f 的解集为}|{n x m x <<，（2）当0>a 时，0)(<x f 的解集为}|{n x m x <<， 若20m n t -<≤，则),(),(n m t n t m ⊆-+，即),(t n t m x -+∈时，0)(<x f ； 若0<t ，则),(),(n m t n t m ⊆-+，不满足对所有的),(t n t m x -+∈，0)(<x f .当0<a 时，0)(<x f 的解集为n x x >|{或}m x <，不存在t 使得),(t n t m x -+∈ 时，0)(<x f 成立.综上可得，当0>a 时，存在t 满足),(t n t m x -+∈时，0)(<x f ，此时t 的取值范围为20m n t -<≤；当0<a 时不存在t 使得),(t n t m x -+∈时，0)(<x f 成立.三、同步练习1.在正项等比数列}{n a 中，252735351=⋅+⋅+⋅a a a a a a ，则53a a +＝___5___.2.方程052422=+--+k y kx y x 表示圆的充要条件是___411<>k k 或____. 3.函数)352(log 221++-=x x y 的单调递增区间是( D ) A. )45,(-∞ B.),45[+∞ C.]45,21(- D.)3,45[4.已知方程01)2(2=-+-+a x a x 的两根1x 、2x ，且点P (1x ,2x )在圆x +y =4上，则实数a ＝___73±__. 5.函数22)()(b x a x y -+-=（a 、b 为常数）的最小值为( B ) A.8 B.()a b -22 C.a b 222+ D.最小值不存在 6.设1F 和2F 为双曲线1422=-y x 的两个焦点，点P 在双曲线上且满足 9021=∠PF F ，则△21PF F 的面积是___1___.7.椭圆0632222=-++-a y ax x 的一个焦点在直线04=++y x 上，则=a （ C ）A.2B.-6C. -2或-6D. 2或68. 设R m t s ∈>>,1,1，)log (log log log ,log log 2244s t m s t y s t x t s t s t s +++=+=,（1）将y 表示为x 的函数)(x f y =，并求出)(x f 的定义域；（2）若关于x 的方程0)(=x f 有且仅有一个实根，求m 的取值范围.解：（1）)2(2)2()2()(222≥--+-=x x m x x f（2）1-<m。
高中数学解题方法及步骤_答题技巧
高中数学解题方法及步骤_答题技巧高中数学解题方法及步骤一、配方法配方法是对数学式子进行一种定向变形(配成完全平方)的技巧，通过配方找到已知和未知的联系，从而化繁为简。
何时配方，需要我们适当预测，并且合理运用裂项与添项、配与凑的技巧，从而完成配方。
有时也将其称为凑配法。
最常见的配方是进行恒等变形，使数学式子出现完全平方。
它主要适用于：已知或者未知中含有二次方程、二次不等式、二次函数、二次代数式的讨论与求解，或者缺xy项的二次曲线的平移变换等问题。
二、换元法解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法。
换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理。
换元法又称辅助元素法、变量代换法。
通过引进新的变量，可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来，或者把条件与结论联系起来。
或者变为熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化。
它可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式，在研究方程、不等式、函数、数列、三角等问题中有广泛的应用。
三、待定系数法要确定变量间的函数关系，设出某些未知系数，然后根据所给条件来确定这些未知系数的方法叫待定系数法，其理论依据是多项式恒等，也就是利用了多项式f(x)g(x)的充要条件是：对于一个任意的a值，都有f(a)g(a);或者两个多项式各同类项的系数对应相等。
待定系数法解题的关键是依据已知，正确列出等式或方程。
使用待定系数法，就是把具有某种确定形式的数学问题，通过引入一些待定的系数，转化为方程组来解决，要判断一个问题是否用待定系数法求解，主要是看所求解的数学问题是否具有某种确定的数学表达式，如果具有，就可以用待定系数法求解。
例如分解因式、拆分分式、数列求和、求函数式、求复数、解析几何中求曲线方程等，这些问题都具有确定的数学表达形式，所以都可以用待定系数法求解。
高中数学解题基本方法——配方法
高中数学解题基本方法一、配方法配方法是对数学式子进行一种定向变形（配成“完全平方”）的技巧，通过配方找到已知和未知的联系，从而化繁为简。
何时配方，需要我们适当预测，并且合理运用“裂项”与“添项”、“配”与“凑”的技巧，从而完成配方。
有时也将其称为“凑配法”。
最常见的配方是进行恒等变形，使数学式子出现完全平方。
它主要适用于：已知或者未知中含有二次方程、二次不等式、二次函数、二次代数式的讨论与求解，或者缺xy项的二次曲线的平移变换等问题。
配方法使用的最基本的配方依据是二项完全平方公式(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，将这个公式灵活运用，可得到各种基本配方形式，如：a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝(a－b)2＋2ab；a2＋ab＋b2＝(a＋b)2－ab＝(a－b)2＋3ab＝(a＋b2)2＋（32b）2；a2＋b2＋c2＋ab＋bc＋ca＝12[(a＋b)2＋(b＋c)2＋(c＋a)2]a2＋b2＋c2＝(a＋b＋c)2－2(ab＋bc＋ca)＝(a＋b－c)2－2(ab－bc－ca)＝…结合其它数学知识和性质，相应有另外的一些配方形式，如：1＋sin2α＝1＋2sinαcosα＝（sinα＋cosα）2；x2＋12x＝(x＋1x)2－2＝(x－1x)2＋2 ；……等等。
Ⅰ、再现性题组：1. 在正项等比数列{an }中，a1♦a5+2a3♦a5+a3∙a7=25，则 a3＋a5＝_______。
2. 方程x2＋y2－4kx－2y＋5k＝0表示圆的充要条件是_____。
A. 14<k<1B. k<14或k>1C. k∈RD. k＝14或k＝13. 已知sin4α＋cos4α＝1，则sinα＋cosα的值为______。
A. 1B. －1C. 1或－1D. 04. 函数y＝log12(－2x2＋5x＋3)的单调递增区间是_____。
A. （－∞, 54]B. [54,+∞)C. (－12,54]D. [54,3)5. 已知方程x2+(a-2)x+a-1=0的两根x1、x2，则点P(x1,x2)在圆x2+y2=4上，则实数a＝_____。
高中数学解椭圆方程的常见方法和注意事项
高中数学解椭圆方程的常见方法和注意事项椭圆方程是高中数学中的重要内容，解椭圆方程需要掌握一些常见的方法和注意事项。
本文将介绍几种常见的解椭圆方程的方法，并给出相应的例题进行说明。
一、配方法解椭圆方程配方法是解椭圆方程的一种常用方法，它的基本思想是通过变量代换将椭圆方程转化为标准形式，从而求解出方程的解。
例题一：解方程$x^2-3xy+2y^2=7$解法：首先，我们将方程进行配方，即将$x^2-3xy+2y^2$转化为$(x-y)(x-2y)$的形式。
因此，原方程可写为$(x-y)(x-2y)=7$。
接下来，我们可以尝试令$u=x-y$和$v=x-2y$，则方程可以进一步转化为$uv=7$。
这样，我们就将原方程转化为了一个更简单的形式，可以通过求解$u$和$v$的值来得到方程的解。
假设$u=1$，则$v=7$；假设$u=7$，则$v=1$。
因此，原方程的解为$(x-y,x-2y)=(1,7)$和$(7,1)$。
二、直接求解椭圆方程直接求解椭圆方程是一种简单直接的方法，需要将方程转化为标准形式，然后根据标准形式进行求解。
例题二：解方程$4x^2+9y^2-24x+36y=0$解法：首先，我们将方程进行配方，即将$4x^2-24x$转化为$4(x^2-6x)$，将$9y^2+36y$转化为$9(y^2+4y)$。
然后，我们再将方程进行分组，即$4(x^2-6x)+9(y^2+4y)=0$。
接下来，我们可以将$x^2-6x$转化为$(x-3)^2-9$，将$y^2+4y$转化为$(y+2)^2-4$。
将这些转化代入方程，得到$(x-3)^2-9+9(y+2)^2-36=0$。
整理后，得到$(x-3)^2+9(y+2)^2=45$。
这是一个标准的椭圆方程，可以根据标准形式求解。
通过对方程进行分析，我们可以得到椭圆的中心坐标为$(3,-2)$，长轴长度为$\sqrt{45}$，短轴长度为$\sqrt{5}$。
高中数学备考代数题解题方法
高中数学备考代数题解题方法在高中数学备考中，代数是一个非常重要的部分。
对于许多学生来说，代数题可能是最具挑战性的问题之一。
在解题时，掌握一些有效的方法和技巧是必不可少的。
本文将介绍一些解代数题的方法，希望对大家备考有所帮助。
一、去括号法在代数题中，括号是经常出现的符号。
有时候，括号的存在会让题目显得复杂，难以解答。
这时，我们可以运用“去括号法”简化问题。
例如，对于一个表达式(a+b)(c+d)，我们可以先使用分配律将其展开为ac+ad+bc+bd，再对每一项进行合并和简化。
这样，我们就可以更容易地处理代数题。
二、配方法对于一些特殊的代数题，我们可以使用配方法来求解。
配方法常用于解决二次多项式的因式分解问题。
例如，对于一个二次多项式x^2+bx+c，我们可以根据常数项c的因数分解，在首项和常数项之间找到合适的组合，使得这个组合的和等于首项系数b。
通过这种配方法，我们可以将二次多项式因式分解得到(x+p)(x+q)的形式。
三、代数式的化简在解代数题的过程中，有时候我们会遇到一些复杂的代数式。
这时，我们可以尝试将代数式进行化简，以求得更简单的形式。
例如，对于一个代数式(a+b)^2，我们可以将其展开为a^2+2ab+b^2。
然后，我们可以尝试合并同类项或应用其他的代数运算，如乘法分配律、合并同底的幂等等，以进一步简化代数式。
四、代数方程的解法除了上述的方法外，解代数方程也是高中数学备考中常见的问题。
对于线性方程和一元二次方程，我们可以使用不同的解法来求解。
对于线性方程，我们可以利用逆运算的原理，通过消元、代入、变形等方法，将方程的未知数解出。
对于一元二次方程，我们可以通过配方法、求根公式等方法来求解。
记得在使用求根公式时，注意判别式的正负和系数的位置，以避免出现错误。
五、代数思维与归纳法在解代数题时，我们也要培养一种代数思维。
代数思维是一种抽象、推理和归纳的思考方式，能帮助我们更好地理解和解决代数问题。
高中数学解题方法系列：函数求最值问题的7种方法
高中数学解题方法系列：函数求最值问题的7种方法最值问题遍及代数、三角、立体几何及解析几何各科之中，在生产实践中也有广泛的应用。
最值问题长期是各类考试的热点，求函数最值常用方法有：一、配方法配方法是求二次函数最值或可转化为二次函数的函数最值的基本方法，形如])()([)(2c x bf x f a x F ++=的函数最值问题，均可使用配方法。
例1、已知]3,1[,log 2)(3∈+=x x f x，求函数)()]([22x f x f y +=最值。
解：由]3,1[,log 2)(3∈+=x x f x，得222222log2)log 2()()]([x x x f x f y +++=+=3)3(log 6log 6)(log 23323-+=++=xx x 。
又函数f(x)定义域[1,3]，所以函数)()]([22x f x f y +=定义域为{31312≤≤≤≤x x ，解得31≤≤x ，所以]21,0[log 3∈x。
由二次函数单调性得，4376≤≤y ，所求函数最大值为374，最小值为6。
评注:利用二次函数的性质求最值要注意到自变量的取值范围，和对称轴与区间的相对位置关系。
二、判别式法主要适用于可化为关于x 的二次方程的函数,把函数转化成关于x 的一元二次方程，通过方程F(x,y)=0有实根，判别式0≥∆，当x 的范围是R 时,仅考虑即可,当X 的范围非R 时,还需要结合图形另解不等式。
特别的，形如22221121c x b x a c x b x a y ++++=22,(a a 不同是为0）分子、分母无公因式的函数最值常用此法。
例2、求下列函数最值（1）432+=x x y ；（2）3274222++-+=x x x x y 。
解；（1）由432+=x x y ，得0432=+-y x yx 。
当y=0时,x=0;当0≠y 时,由0≥∆得4343≤≤-y ,故原函数最小值为34-，最大值为34。
高中数学常用计算技巧
高中数学常用计算技巧在高中数学学习中，掌握一些常用的计算技巧可以帮助我们更加高效地解决问题，加深对数学知识的理解。
下面将介绍几种在高中数学中常用的计算技巧。
一、因式分解因式分解是高中数学中常见的运算技巧之一。
在解决多项式运算问题时，我们经常需要将多项式因式分解为更简单的形式。
例如，当我们遇到一个二次项的平方差公式时，可以利用因式分解来化简表达式，从而更方便地进行计算。
二、配方法配方法是解决一些复杂的代数方程问题时常用的技巧之一。
通过选择适当的配方方法，可以将原方程化简为更容易求解的形式。
例如，对于一个二次项与一次项相乘的情况，可以通过配方法将其转化为完全平方公式或二项式平方和的形式，从而更容易解题。
三、分式化简在解决涉及分式的问题时，分式化简是一个很关键的技巧。
通过将复杂的分式化简为约分或通分的形式，可以更清晰地展现问题的本质，进而更加有效地解决问题。
分式化简还有助于减少计算过程中的出错概率，提高解题的准确性。
四、三角函数化简在学习三角函数时，常常需要进行三角函数的化简操作。
通过运用三角函数的基本关系、和差化积等公式，可以将复杂的三角函数表达式化简为更简单的形式。
这样不仅可以简化计算过程，也有助于我们更好地理解三角函数的性质和特点。
五、代数式的整理在解决代数式问题时，经常需要进行代数式的整理操作。
通过整理代数式，可以使问题表达更加清晰，更容易找到解题的思路。
代数式的整理还可以帮助我们发现问题中隐藏的规律，提高解题的效率。
六、方程的变形解决代数方程问题时，有时需要通过变形来简化方程的形式，使得问题更容易解决。
通过变形可以将原方程转化为更简单的形式，或引入新的未知数来建立方程组，从而更加灵活地解决问题。
综上所述，高中数学常用计算技巧涵盖了因式分解、配方法、分式化简、三角函数化简、代数式的整理以及方程的变形等内容。
掌握这些技巧不仅可以帮助我们更有效地解决数学问题，也有助于深入理解数学知识的本质。
在学习和应用这些计算技巧的过程中，我们将逐渐提升数学水平，提高解题的准确性和效率。
第01讲 配方法-高中数学常用的解题技巧 含解析
高中数学常用解题技巧第01讲：配方法【知识要点】一、配方法是初中数学和高中数学解题时常用的一种技巧，必须要理解和熟练掌握.配方的过程一般如下：22222222()()()44b b b b ax bx c ax bx c a x x c a x x c a a a a ++=++=++=++-+224()24b ac b a x a a-=++ 二、配方时，一般把常数项单独放开，再提取二次项的系数，再配方整理.三、如果二次项的系数是1，一次项的系数是偶数时，配方比较方便。
如果不是这种情况，可以不配方，直接利用二次函数的公式即可，0a >时 ，抛物线开口向上，0a <时，抛物线开口向下.对称轴方程为,2b x a =-顶点坐标为24(,)24b ac b a a--。
【方法讲评】【例1】已知函数2()log (2)1f t t t =-+-,(t)f 的定义域为D ．(1）求D ；(2）若函数22()2g x x mx m =+-在D 上存在最小值2,求实数m 的值．此时22)()(2min ≠-=-=m m g x g ，此时m 值不存在；③1m -≤即1m ≥-时，()g x 在[1,2)上单调递增，此时221)1()(2min =-+==m m g x g ，解得1m =．综上：1m =．【点评】（1）对于有些二次函数的二次项系数是“1"，一次项的系数是偶数的，可以直接配方，对于【反馈检测1】已知函数() 2.f x x x =-(1)写出()f x 的单调区间；（2）设0a >，求()f x 在[]0,a 上的最大值．高中数学常用解题技巧第01讲：配方法参考答案【反馈检测1答案】（1) 单调递增区间是(],1-∞和[)2,+∞,单调递减区间是[]1,2;（2)max ()f x =(2),0112(2),2a a a a a a a -<<⎧⎪≤≤⎨⎪->⎩，11+1+。
高中数学解题的七种常用方法
高中数学解题的 七种常用方法
张晓娇
高中数学相对于初中数学，不仅要学习 掌握的内容数量增加了许多，而且内容难度 也加大了，所以学生需要掌握更多的数学思 想以及常见的解题方法。对于高中生而言，掌 握并熟练运用这些数学方法，可以在解题过 程中快速解决问题，得出正确答案。
一、配方法 在高中数学的学习中，学生首先掌握的 数学方法就是配方法。这是一种广泛运用的 数学方法，主要运用在已知或者未知中存在 二次方程、二次函数，或者二次不等式等，还 有在曲线平移等问题中被作为基础方法运 用。配方法是对数学式子进行定向变形，找到 已知与未知数量关系的联系，最终达到化繁 为简的目的。在配方过程中运用裂项和添项， 巧凑和巧拼，实现配方，所以也被称为“凑配 法”。例如已知 ｓｉｎα＋ｃｏｓα＝２，则 ｓｉｎαｃｏｓα 的 值为 ＿＿＿＿＿＿。这道题就需要通过配方法进行 解答，将 ｓｉｎα＋ｃｏｓα＝２ 进行配方，最终得到（ｓｉｎα＋ ｃｏｓα）２－２ｓｉｎαｃｏｓα，最终得到 ｓｉｎαｃｏｓα 的值。 二、换元法 换元法也是比较常用的数学解题方法， 就是通过将一个式子看作一个整体，用另一 个变量进行替换，使问题得以简化，快速找到 解答方法。其实，换元从本质上讲就是转化， 通过造元和设元，进行等量代换，将问题转移 到熟悉的环境下进行解决。从复杂到简单，由 非标准变成标准。这种方法主要运用于高次 降为低次，分式变成整式，将无理变成有理， 将复杂变成简单，适用函数、三角、不等式和 数列等问题中。例如，设实数 x、y 满足 x＋xy－ ３＝０，则 x＋y 的取值范围是多少。运用换元法， 将 x＋y 设置成“k”，然后运用“△”进行求解， 最终得出 k 的取值范围，从而得到 x＋y 的取 值范围。
六、参数法 数学参数法就是在解题过程中引入一些 与题目相关联的新变量。通过该变量进行分 析和解答，最终消除参数，得出答案。这种方 数 法在直线与二次曲线之间的关系中比较常 学 用。参数法充分体现出事物普遍的联系，而通 篇 过参数法就能找出联系，从而找出事物的本 质。参数法体现出运动与变化的思想，其观点 42 被运用在数学的各个方面。运用参数法时需
高中数学解题基本方法-配方法
运用举例
【例】已知实数x,y满足x² +3x+y-3=0，则x+y的最大值为____。
分析：将y用含x的式子来表示，再代入(x+y)求值。
解：x² +3x+y-3=0 y=3-3x-x² ，
代入(x+y)得x+y=3-2x-x² =-(x² +2x-3)=-[(x+1)² -4]=4-(x+1)² 。
3. 已知sin4α＋cos4α＝1，则sinα＋cosα的值为___。 A. 1 B. －1 C. 1或－1 D. 0
解:已知等式经配方成(sin2α＋cos2α)2 －2sin2αcos2α＝1，得 sinαcosα=0；(sinα＋cosα)2=sin2α+cos2α+2sinαcosα=1,
高考试题主要从以下几个方面对数学思想方法进行考查：
配方法、换元法、待定系数法、数学归纳法、参数法、消去 法等；
分析法、综合法、反证法、归纳法、演绎法等；
观察与分析、概括与抽象、分析与综合、特殊与一般、类比、 归纳和演绎等；
函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化（化归） 思想等。
可以说，知识是基础，方法是手段，思想是深化，提高数学 素质的核心就是提高学生对数学思想方法的认识和运用，数学素 质的综合体现就是“能力”。 本系列课程重点介绍高考中常用的数学基本方法：配方法、换 元法、待定系数法、数学归纳法等方法。
所以这条抛物线的顶点坐标为（-1，-6）
精典例题 1. 在正项等比数列{an}中，a1a5 +2a3a5 +a3a7 =25，则 a3＋a5＝_______。 解：利用等比数列性质am-p × am+p ＝am2 将已知等式左边后配方(a3 ＋ a5 )2易求。答案是：5
高级高中数学方法篇之配方法
高中数学方法篇之配方法配方法是对数学式子进行一种定向变形（配成“完全平方”）的技巧，通过配方找到已知和未知的联系，从而化繁为简。
何时配方，需要我们适当预测，并且合理运用“裂项”与“添项”、“配”与“凑”的技巧，从而完成配方。
有时也将其称为“凑配法”。
最常见的配方是进行恒等变形，使数学式子出现完全平方。
它主要适用于：已知或者未知中含有二次方程、二次不等式、二次函数、二次代数式的讨论与求解，或者缺xy项的二次曲线的平移变换等问题。
配方法使用的最基本的配方依据是二项完全平方公式(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，将这个公式灵活运用，可得到各种基本配方形式，如：a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝(a－b)2＋2ab；a2＋ab＋b2＝(a＋b)2－ab＝(a－b)2＋3ab＝(a＋b2)2＋（32b）2；a2＋b2＋c2＋ab＋bc＋ca＝12[(a＋b)2＋(b＋c)2＋(c＋a)2]a2＋b2＋c2＝(a＋b＋c)2－2(ab＋bc＋ca)＝(a＋b－c)2－2(ab－bc－ca)＝…结合其它数学知识和性质，相应有另外的一些配方形式，如：1＋sin2α＝1＋2sinαcosα＝（sinα＋cosα）2；x2＋12x＝(x＋1x)2－2＝(x－1x)2＋2 ；……等等。
一、再现性题组：1. 在正项等比数列{an }中，a1a5+2a3a5+a3a7=25，则 a3＋a5＝_______。
2. 方程x2＋y2－4kx－2y＋5k＝0表示圆的充要条件是_____。
A. 14<k<1 B. k<14或k>1 C. k∈R D. k＝14或k＝13. 已知sin4α＋cos4α＝1，则sinα＋cosα的值为______。
A. 1B. －1C. 1或－1D. 04. 函数y＝log12(－2x2＋5x＋3)的单调递增区间是_____。
A. （－∞, 54] B. [54,+∞) C. (－12,54] D. [54,3)5. 已知方程x2+(a-2)x+a-1=0的两根x1、x2，则点P(x1,x2)在圆x2+y2=4上，则实数a＝_____。
配凑法
高中数学解题基本方法一、配方法配方法是对数学式子进行一种定向变形（配成“完全平方”）的技巧，通过配方找到已知和未知的联系，从而化繁为简。
何时配方，需要我们适当预测，并且合理运用“裂项”与“添项”、“配”与“凑”的技巧，从而完成配方。
有时也将其称为“凑配法”。
最常见的配方是进行恒等变形，使数学式子出现完全平方。
它主要适用于：已知或者未知中含有二次方程、二次不等式、二次函数、二次代数式的讨论与求解，或者缺xy项的二次曲线的平移变换等问题。
配方法使用的最基本的配方依据是二项完全平方公式(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，将这个公式灵活运用，可得到各种基本配方形式，如：a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝(a－b)2＋2ab；a2＋ab＋b2＝(a＋b)2－ab＝(a－b)2＋3ab＝(a＋b2)2＋（32b）2；a2＋b2＋c2＋ab＋bc＋ca＝12[(a＋b)2＋(b＋c)2＋(c＋a)2]a2＋b2＋c2＝(a＋b＋c)2－2(ab＋bc＋ca)＝(a＋b－c)2－2(ab－bc－ca)＝…结合其它数学知识和性质，相应有另外的一些配方形式，如：1＋sin2α＝1＋2sinαcosα＝（sinα＋cosα）2；x2＋12x＝(x＋1x)2－2＝(x－1x)2＋2 ；……等等。
Ⅰ、再现性题组：1. 在正项等比数列{an }中，a1♦a5+2a3♦a5+a3∙a7=25，则 a3＋a5＝_______。
2. 方程x2＋y2－4kx－2y＋5k＝0表示圆的充要条件是_____。
A. 14<k<1 B. k<14或k>1 C. k∈R D. k＝14或k＝13. 已知sin4α＋cos4α＝1，则sinα＋cosα的值为______。
A. 1B. －1C. 1或－1D. 04. 函数y＝log1(－2x2＋5x＋3)的单调递增区间是_____。
A. （－≦, 54] B. [54,+≦) C. (－12,54] D. [54,3)5. 已知方程x2+(a-2)x+a-1=0的两根x1、x2，则点P(x1,x2)在圆x2+y2=4上，则实数a＝_____。
解一元二次方程五种方法
解一元二次方程五种方法解一元二次方程五种方法一元二次方程是高中数学中比较重要的一种方程类型，解题方法也非常多样。
下面介绍五种解一元二次方程的方法。
方法一：配方法配方法是一种比较常用的解一元二次方程的方法。
通过给方程两边添加一个适当的常数，使得方程左边变成一个平方式，从而利用完全平方公式求解。
例如，将方程x^2+6x-7=0配成(x+3)^2-16=0的形式，然后利用完全平方公式(x+3)^2=a^2-b^2=(a+b)(a-b)求解方程。
方法二：公式法公式法是一种利用一元二次方程求根公式解方程的方法。
一元二次方程的求根公式为x=(-b±√(b^2-4ac))/2a。
例如，对于方程x^2+6x-7=0，利用公式x=(-6±√(6^2-4×1×(-7)))/2×1，化简得到x=-3±√16，即x=-7或x=1。
方法三：因式分解当一元二次方程的系数a,b,c都是整数时，可以尝试使用因式分解的方法解方程。
主要思路是将方程左边化成一个二次式的乘积。
例如，对于方程x^2+6x-7=0，可以将其因式分解为(x-1)(x+7)=0，从而解得x=1或x=-7。
方法四：图解法图解法是一种利用平面直角坐标系中的图形来解一元二次方程的方法。
主要思路是将方程左边的二次式与右边的常数b进行比较，从而确定图形的形状。
例如，对于方程x^2+6x-7=0，将其化为x^2+6x=7，可以发现这是一个开口向上的抛物线，与y=7的直线交于两点，即方程的两个解。
方法五：牛顿迭代法牛顿迭代法是一种利用曲线的切线来近似求解方程的方法。
它的基本思路是从一个初始值开始，利用切线和方程的导数来逐步逼近方程的解。
例如，对于方程x^2+6x-7=0，可以选取一个初始值x0，然后通过迭代公式x=x0-(x0^2+6x0-7)/(2x0+6)来不断逼近方程的解。
当相邻两次迭代值的差小于一定精度时，可以认为迭代已经收敛，此时的迭代值即为方程的解。
高中数学答题技巧有哪些_解题方法
高中数学答题技巧有哪些_解题方法高中数学答题技巧有哪些1、配方法：把一个解析式利用恒等变形的方法，把其中的某些项配成一个或几个多项式正整数次幂的和形式。
2、因式分解法：因式分解，就是把一个多项式化成几个整式乘积的形式。
3、换元法：所谓换元法，就是在一个比较复杂的数学式子中，用新的变元去代替原式的一个部分或改造原来的式子，使它简化，使问题易于解决。
4、判别式法与韦达定理：一元二次方程ax2+bx+c=0(a、b、c属于R，a≠0)根的判别，△=b2-4ac，。
韦达定理除了已知一元二次方程的一个根，求另一根;已知两个数的和与积，求这两个数等简单应用外，还可以求根的对称函数。
5、待定系数法：在解数学问题时，若先判断所求的结果具有某种确定的形式，其中含有某些待定的系数，而后根据题设条件列出关于待定系数的等式，最后解出这些待定系数的值或找到这些待定系数间的某种关系。
高中数学答题方法填空题填空题和选择题同属客观性试题，它们有许多共同特点：其形态短小精悍，考查目标集中，答案简短、明确、具体，不必填写解答过程，评分客观、公正、准确等等。
不过填空题和选择题也有质的区别。
首先，表现为填空题没有备选项。
因此，解答时既有不受诱误的干扰之好处，又有缺乏提示的帮助之不足，对考生独立思考和求解，在能力要求上会高一些。
选择题解法多样化：与其他学科比较，“一题多解”的现象在数学中表现突出。
尤其是数学选择题，由于它有备选项，给试题的解答提供了丰富的有用信息，有相当大的提示性，为解题活动展现了广阔的天地，大大地增加了解答的途径和方法。
常常潜藏着极其巧妙的解法，有利于对考生思维深度的考查。
解答题解答题与填空题比较，同属提供型的试题，但也有本质的区别。
首先，解答题应答时，考生不仅要提供出最后的结论，还得写出或说出解答过程的主要步骤，提供合理、合法的说明。
填空题则无此要求，只要填写结果，省略过程，而且所填结果应力求简练、概括和准确。
其次，试题内涵，解答题比起填空题要丰富得多。
高中数学解题方法——配方法微教案
第17讲 基于数学核心素养的解题方法——配方法配方法是对数学式子进行一种定向变形（配成“完全平方”）的技巧，通过配方找到已知和未知的联系，从而化繁为简.如何配方，需要我们根据题目的要求，合理运用“裂项”与“添项”、“配”与“凑”的技巧，完成配方.最常见的配方是进行恒等变形，使数学式子出现完全平方.它主要适用于：已知或者未知中含有二次方程、二次不等式、二次函数、二次代数式的讨论与求解等问题. 【例1】已知函数2()()f x x ax b a b =++∈R ，的值域为[0)+∞，，若关于x 的不等式()f x c <的解集为(6)m m +，，则实数c 的值为 ▲ ．【答案】9.【解析】由值域为[0)+∞，，当2=0x ax b ++时有240a b =-=，即24a b =， ∴2222)2(4a a x ax x f x x ax b ⎛⎫++=+== ⎝+⎪⎭+. ∴2()2a f x x c ⎛⎫=+< ⎪⎝⎭解得2a x +<，22a a x <<.∵不等式()f x c <的解集为(6)m m +，，∴)()622aa --==，解得9c =.【反思】运用配方法求解函数的值域，不等式的解集. 【例2】已知α为第二象限角，sin cos αα+cos2=α【 】 A ．3 B ．9 C ．9 D ．3【答案】A.【解析】首先利用平方法得到二倍角的正弦值，然后然后利用二倍角的余弦公式，将所求的转化为单角的正弦值和余弦值的问题：∵3sin cos =3αα+，∴两边平方，得11sin 2=3α+，即2sin 2=3α-. ∵α为第二象限角，∴因此sin 0 cos 0><αα，. ∴()2cos sin =cos sin =1sin 2215=1=33ααααα-+------.∴()()223155cos2=cos sin =cos sin cos sin ==333ααααααα⎛⎫-+-⨯- ⎪ ⎪⎝⎭.故选A.【反思】两角和差的公式以及二倍角公式的与配方法的综合运用【例3】如图，双曲线()2222-=1>>0x y a b a b的两顶点为12,A A ，虚轴两端点为12,B B ，两焦点为12,F F .若以12A A 为直径的圆内切于菱形1122F B F B ，切点分别为A ，B ，C ，D.则 （Ⅰ）双曲线的离心率e= ▲ ；（Ⅱ）菱形1122F B F B 的面积1S 与矩形ABCD 的面积2S 的比值12=S S ▲ .【答案】5+1；5+2【解析】（Ⅰ）由已知()()()22222222222224224+=+-=2--3+=0bc b c b c a b c c a c a c a c a c a ⇒⇒⇒42-3+1=0e e ，解得()221+53+56+255+1===3+5==24422e e ⇒. （Ⅱ）由已知得1=2S bc ，又直线22B F 的方程为()=--b y x c c ，而直线OA 的方程为=cy x b，联立解得222222=+=+b cx b c bc y b c ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩，∴2222222=4++b c bc S b c b c ，()()()()()22222222122222222222222+2-2-125+2=====222-2-14++b c c a e S bc b c bc S b c c a c e e b c b c. 【反思】本题考查双曲线的离心率及实轴虚轴的相关定义，一般平面几何图形的面积计算，配方法用于辅助计算【例4】海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点，以正北方向为y 轴正方向建立平面直角坐标系（以1海里为单位长度），则救援船恰在失事船的正南方向12海里A 处，如图. 现假设：①失事船的移动路径可视为抛物线21249y x =；②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援；③救援船出发t 小时后，失事船所在位置的横坐标为7t . （1）当5.0=t 时，写出失事船所在位置P 的纵坐标. 若此时两船恰好会合，求救援船速度的大小和方向；（6分）（2）问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？（8分）【答案】解：（1）5.0=t 时，P 的横坐标P 77=2x t =，代入抛物线方程21249y x =得P 的纵坐标P 3y =.∵A（0，12）， ∴AP =./时.由tan ∠OAP=72tan OAP 3+12730∠==，得OAP arc 30tan 7∠=，∴救援船速度的方向为北偏东arctan730弧度. （2）设救援船的时速为v 海里，经过t 小时追上失事船，此时位置为)12,7(2t t . 由222)1212()7(++=t t vt ，整理得222211144()337144()625625v t t t t =++=-+≤.∵当1t t =即t =1时2v 最小，即25≥v .∴救援船的时速至少是25海里才能追上失事船. 【解析】（1）求出A 点和P 点坐标即可求出.（2）求出时速v 关于时间t 的函数关系式求出极值. 【反思】在曲线与坐标问题中运用配方法【例5】在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C 1：22221(0)x y a b a b+=>>的离心率e =且椭圆C 上的点到Q （0，2）的距离的最大值为3. （1）求椭圆C 的方程；（2）在椭圆C 上，是否存在点M （m ，n ）使得直线l ：mx +ny=1与圆O ：x 2+y 2=1相交于不同的两点A 、B ，且△OAB 的面积最大？若存在，求出点M 的坐标及相对应的△OAB 的面积；若不存在，请说明理由.【答案】解：（1）∵c e a ===，∴可设3,2(0)a k c k k .∴22b ack ，故椭圆C 的方程为222213x y b b+=.设(,)()P x y b yb 为椭圆上的任一点，则22233x b y .∵22222222||(2)24432(1)3636PQ x yy y b y b b ，∴当1y时，2||PQ 取得最大值236b ，即||PQ 取得最大值26.又∵椭圆C 上的点到Q （0，2）的距离的最大值为3， 26=3，解得1b .∴所求的椭圆C 方程为2213x y +=. （2）假设点M （m ，n ）存在，则2213m n += ， 即2233m n +=圆心O 到直线l 的距离2211dmn. ∴221m n .∵22222222111||12m n AB rd m n m n∴22222222221111||2OABm n m n SAB d m n m nm n 22222222111111211m n m n m n m n 2222111n mn，即222m n 时取等号）.解2222332m n m n⎧+=⎪⎨+=⎪⎩得223212m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或m n ⎧=⎪=⎨⎪⎪⎪⎩. ∴所求点M 的坐标为26262(()(,)(,)22222222、、、，对应的△OAB 的面积为12. 【解析】（1）由e =C 的方程为222213x y b b+=，设设(,)()P x y b y b 为椭圆上的任一点，求出2||PQ 的表达式，一方面由二次函数的最大值原理得||PQ 的最大值26，另一方面由已知椭圆C 上的点到Q （0，2）的距离的最大值为3列式求出b ，从而得到椭圆C 的方程.（2）假设点M （m ，n ）存在，求出OABS的表达式，应用基本不等式求得△OAB 的面积最大时m ，n 的值和对应的△OAB 的面积.【反思】本题考察椭圆的性质，两点间的距离公式，二次函数的最大值，基本不等式等的综合应用，难度较大，配方法应用于二次函数求最值的过程中配方法法有助于数学运算和数据分析的发展．数学运算时解决一切数学问题的基础，较好的数据分析能力能在运算时快速决定正确的运算方向.比如例1至例6六个例题中都需要配方法来快速简化运算，求出结论.利用配方法来能大大提高解决问题效率.1. 如图，椭圆M ：2222x y 1(a b 0)a b+=>>的离心率为32，直线x a =±和y b =± 所围成的矩形ABCD 的面积为8. (Ⅰ)求椭圆M 的标准方程；(Ⅱ) 设直线l :y x m(m )=+∈R 与椭圆M 有两个不同的交点P ，Q ，l 与矩形ABCD 有两个不同的交点S ，T.求|PQ ||ST |的最大值及取得最大值时m 的值.2. 如图，动圆2221:C x y t +=,13t <<,与椭圆2C ：2219x y +=相交于A ，B ，C ，D 四点，点12,A A 分别为2C 的左，右顶点.(Ⅰ)当t 为何值时，矩形ABCD 的面积取得最大值？并求出其最大面积； (Ⅱ) 求直线1AA 与直线2A B 交点M 的轨迹方程.3.若正数x ，y 满足x +3y =5xy ，则34x y +的最小值是【 】 A.245 B. 285C.5D.6。
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配方法配方法是对数学式子进行一种定向变形（配成“完全平方”）的技巧，通过配方找到已知和未知的联系，从而化繁为简。
何时配方，需要我们适当预测，并且合理运用“裂项”与“添项”、“配”与“凑”的技巧，从而完成配方。
有时也将其称为“凑配法”。
最常见的配方是进行恒等变形，使数学式子出现完全平方。
它主要适用于：已知或者未知中含有二次方程、二次不等式、二次函数、二次代数式的讨论与求解，或者缺xy项的二次曲线的平移变换等问题。
配方法使用的最基本的配方依据是二项完全平方公式(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，将这个公式灵活运用，可得到各种基本配方形式，如：a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝(a－b)2＋2ab；a2＋ab＋b2＝(a＋b)2－ab＝(a－b)2＋3ab＝(a＋b2)2＋（32b）2；a2＋b2＋c2＋ab＋bc＋ca＝12[(a＋b)2＋(b＋c)2＋(c＋a)2]a2＋b2＋c2＝(a＋b＋c)2－2(ab＋bc＋ca)＝(a＋b－c)2－2(ab－bc－ca)＝…结合其它数学知识和性质，相应有另外的一些配方形式，如：1＋sin2α＝1＋2sinαcosα＝（sinα＋cosα）2；x2＋12x＝(x＋1x)2－2＝(x－1x)2＋2 ；……等等。
Ⅰ、再现性题组：1. 在正项等比数列{an }中，a1♦a5+2a3♦a5+a3∙a7=25，则 a3＋a5＝_______。
2. 方程x2＋y2－4kx－2y＋5k＝0表示圆的充要条件是_____。
A. 14<k<1 B. k<14或k>1 C. k∈R D. k＝14或k＝13. 已知sin4α＋cos4α＝1，则sinα＋cosα的值为______。
A. 1B. －1C. 1或－1D. 04. 函数y＝log1(－2x2＋5x＋3)的单调递增区间是_____。
A. （－∞, 54] B. [54,+∞) C. (－12,54] D. [54,3)5. 已知方程x2+(a-2)x+a-1=0的两根x1、x2，则点P(x1,x2)在圆x2+y2=4上，则实数a＝_____。
【简解】 1小题：利用等比数列性质a m p -a m p +＝a m 2，将已知等式左边后配方（a 3＋a 5）2易求。
答案是：5。
2小题：配方成圆的标准方程形式(x －a)2＋(y －b)2＝r 2，解r 2>0即可，选B 。
3小题：已知等式经配方成(sin 2α＋cos 2α)2－2sin 2αcos 2α＝1，求出sin αcos α，然后求出所求式的平方值，再开方求解。
选C 。
4小题：配方后得到对称轴，结合定义域和对数函数及复合函数的单调性求解。
选D 。
5小题：答案3－11。
Ⅱ、示范性题组：例1. 已知长方体的全面积为11，其12条棱的长度之和为24，则这个长方体的一条对角线长为_____。
A. 23 B. 14 C. 5 D. 6【分析】 先转换为数学表达式：设长方体长宽高分别为x,y,z ，则211424()()xy yz xz x y z ++=++=⎧⎨⎩ ,而欲求对角线长x y z 222++，将其配凑成两已知式的组合形式可得。
【解】设长方体长宽高分别为x,y,z ，由已知“长方体的全面积为11，其12条棱的长度之和为24”而得：211424()()xy yz xz x y z ++=++=⎧⎨⎩。
长方体所求对角线长为：x y z 222++＝()()x y z xy yz xz ++-++22＝6112-＝5所以选B 。
【注】本题解答关键是在于将两个已知和一个未知转换为三个数学表示式，观察和分析三个数学式，容易发现使用配方法将三个数学式进行联系，即联系了已知和未知，从而求解。
这也是我们使用配方法的一种解题模式。
例2. 设方程x 2＋kx ＋2=0的两实根为p 、q ，若(p q )2+(q p)2≤7成立，求实数k 的取值范围。
【解】方程x 2＋kx ＋2=0的两实根为p 、q ，由韦达定理得：p ＋q ＝－k ，pq ＝2 , (p q )2+(q p )2＝p q pq 442+()＝()()p q p q pq 2222222+-＝[()]()p q pq p q pq +--2222222＝()k 22484--≤7， 解得k ≤－10或k ≥10 。
又 ∵p 、q 为方程x 2＋kx ＋2=0的两实根， ∴ △＝k 2－8≥0即k ≥22或k ≤－22 综合起来，k 的取值范围是：－10≤k ≤－22 或者 22≤k ≤10。
【注】 关于实系数一元二次方程问题，总是先考虑根的判别式“Δ”；已知方程有两根时，可以恰当运用韦达定理。
本题由韦达定理得到p ＋q 、pq 后，观察已知不等式，从其结构特征联想到先通分后配方，表示成p ＋q 与pq 的组合式。
假如本题不对“△”讨论，结果将出错，即使有些题目可能结果相同，去掉对“△”的讨论，但解答是不严密、不完整的，这一点我们要尤为注意和重视。
例3. 设非零复数a 、b 满足a 2＋ab ＋b 2=0，求(a a b +)1998＋(b a b+)1998 。
【分析】 对已知式可以联想：变形为(a b )2＋(a b )＋1＝0，则a b ＝ω （ω为1的立方虚根）；或配方为(a ＋b)2＝ab 。
则代入所求式即得。
【解】由a 2＋ab ＋b 2=0变形得：(a b )2＋(a b )＋1＝0 ， 设ω＝a b ，则ω2＋ω＋1＝0，可知ω为1的立方虚根，所以：1ω＝b a ，ω3＝ω3＝1。
又由a 2＋ab ＋b 2=0变形得：(a ＋b)2＝ab ，所以 (a a b +)1998＋(b a b +)1998＝(a ab 2)999＋(b ab2)999＝(a b )999＋(b a )999＝ω999＋ω999＝2 。
【注】 本题通过配方，简化了所求的表达式；巧用1的立方虚根，活用ω的性质，计算表达式中的高次幂。
一系列的变换过程，有较大的灵活性，要求我们善于联想和展开。
【另解】由a 2＋ab ＋b 2＝0变形得：(a b )2＋(a b )＋1＝0 ，解出b a ＝-±132i 后，化成三角形式，代入所求表达式的变形式(a b )999＋(b a)999后，完成后面的运算。
此方法用于只是未-±132i 联想到ω时进行解题。
假如本题没有想到以上一系列变换过程时，还可由a 2＋ab ＋b 2＝0解出：a ＝-±132i b ，直接代入所求表达式，进行分式化简后，化成复数的三角形式，利用棣莫佛定理完成最后的计算。
Ⅲ、巩固性题组：1. 函数y ＝(x －a)2＋(x －b)2（a 、b 为常数）的最小值为_____。
A. 8B. ()a b -22C. a b 222+ D.最小值不存在 2. α、β是方程x 2－2ax ＋a ＋6＝0的两实根，则(α-1)2 +(β-1)2的最小值是_____。
A. －494B. 8C. 18D.不存在3. 已知x 、y ∈R +，且满足x ＋3y －1＝0，则函数t ＝2x ＋8y 有_____。
A.最大值22B.最大值22C.最小值22 B.最小值22 4. 椭圆x 2－2ax ＋3y 2＋a 2－6＝0的一个焦点在直线x ＋y ＋4＝0上，则a ＝_____。
A. 2B. －6C. －2或－6D. 2或65. 化简：218-sin ＋228+cos 的结果是_____。
A. 2sin4B. 2sin4－4cos4C. －2sin4D. 4cos4－2sin46. 设F 1和F 2为双曲线x 24－y 2＝1的两个焦点，点P 在双曲线上且满足∠F 1PF 2＝90°，则△F 1PF 2的面积是_________。
7. 若x>－1，则f(x)＝x 2＋2x ＋11x +的最小值为___________。
8. 已知π2〈β<α〈34π，cos(α-β)＝1213，sin(α+β)＝－35，求sin2α的值。
(92年高考题)9. 设二次函数f(x)＝Ax 2＋Bx ＋C ，给定m 、n （m<n ）,且满足A 2[(m+n)2+ m 2n 2]＋2A[B(m+n)－Cmn]＋B 2＋C 2＝0 。
① 解不等式f(x)>0；② 是否存在一个实数t ，使当t ∈(m+t,n-t)时，f(x)<0 ？若不存在，说出理由；若存在，指出t 的取值范围。
10. 设s>1，t>1，m ∈R ，x ＝log s t ＋log t s ，y ＝log s 4t ＋log t 4s ＋m(log s 2t ＋log t 2s), ① 将y 表示为x 的函数y ＝f(x)，并求出f(x)的定义域；若关于x 的方程f(x)＝0有且仅有一个实根，求m 的取值范围。