高中数学必修4三角函数中的求值问题
高中数学必修4三角函数公式大全附带练习题
高中数学必修4三角函数公式大全附带练习题三角函数诱导公式sin〔－α〕＝－sinα，cos〔－α〕＝cosα，tan〔－α〕＝－tanαcot〔－α〕＝－cotαsin〔π/2－α〕＝cosα，cos〔π/2－α〕＝sinα，tan〔π/2－α〕＝cotα，cot〔π/2－α〕＝tanα，sin〔π/2＋α〕＝cosα，cos〔π/2＋α〕＝－sinα，tan〔π/2＋α〕＝－cotα，cot〔π/2＋α〕＝－tanα，sin〔π－α〕＝sinαcos〔π－α〕＝－cosα，tan〔π－α〕＝－tanα，cot〔π－α〕＝－cotαsin〔π＋α〕＝－sinα，cos〔π＋α〕＝－cosα，tan〔π＋α〕＝tanαcot〔π＋α〕＝cotα，sin〔3π/2－α〕＝－cosα，cos〔3π/2－α〕＝－sinαtan〔3π/2－α〕＝cotα，cot〔3π/2－α〕＝tanα，sin〔3π/2＋α〕＝－cosαcos〔3π/2＋α〕＝sinα，tan〔3π/2＋α〕＝－cotα，cot〔3π/2＋α〕＝－tanαsin〔2π－α〕＝－sinα，cos〔2π－α〕＝cosα，tan〔2π－α〕＝－tanαcot〔2π－α〕＝－cotα，sin〔2kπ＋α〕＝sinα，cos〔2kπ＋α〕＝cosαtan〔2kπ＋α〕＝tanα，cot〔2kπ＋α〕＝cotα(其中k∈Z)习题精选一、选择题1．假设，那么的值为〔〕．A．B．C．D．2．的值等于〔〕．A．B．C．D．3．在△ 中，以下各表达式为常数的是〔〕．A． B．C．D．4．如果，且，那么可以是〔〕．A． B． C． D．5．是方程的根，那么的值等于〔〕．A．B．C．D．二、填空题6．计算．7．，，那么，．8．假设，那么．9．设，那么．10．．三、解答题11．求值：12．角终边上一点的坐标为，〔1〕化简以下式子并求其值：；〔2〕求角的集合．13．，求证：．14．假设，求的值．15．、、为△ 的内角，求证：〔1〕；〔2〕．16．为锐角，并且，，求的值．参考答案：一、选择题1．B 2．D 3．C 4．D 5．A二、填空题6．2 7．，8．9．10．三、解答题11．．12．〔1〕；〔2〕．13．提示：．14．18．提示：先化简，再将代入化简式即可．15．提示：注意及其变式．16．．提示：化简条件，再消去得．。
高中数学必修4三角函数常考题型正切函数的性质与图像
正切函数的性质与图像【知识梳理】1．正切函数的性质函数 y ＝tan x定义域 ⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x ≠k π＋π2，k ∈Z函数 y ＝tan x 值域 (－∞，＋∞)周期 T ＝π 奇偶性 奇函数单调性在每个开区间⎝⎛⎭⎫k π－π2，k π＋π2(k ∈Z )上都是增函数 2．(1)正切函数的图像：(2)正切函数的图像叫做正切曲线． (3)正切函数的图像特征：正切曲线是被相互平行的直线x ＝π2＋k π，k ∈Z 所隔开的无穷多支曲线组成的．【常考题型】题型一、正切函数的定义域、值域问题【例1】 求下列函数的定义域和值域： (1)y ＝tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π4；(2)y ＝3－tan x .[解] (1)由x ＋π4≠k π＋π2(k ∈Z )得，x ≠k π＋π4，k ∈Z ，所以函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π4的定义域为xx ≠k π＋π4，k ∈Z ，其值域为(－∞，＋∞)． (2)由3－tan x ≥0得，tan x ≤ 3.结合y ＝tan x 的图像可知，在⎝⎛⎭⎫－π2，π2上， 满足tan x ≤3的角x 应满足－π2<x ≤π3，所以函数y ＝3－tan x 的定义域为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫k π－π2<x ≤k π＋π3，k ∈Z ，其值域为[0，＋∞)．【类题通法】求正切函数定义域的方法及求值域的注意点求与正切函数有关的函数的定义域时，除了求函数定义域的一般要求外，还要保证正切函数y ＝tan x 有意义，即x ≠π2＋k π，k ∈Z .而对于构建的三角不等式，常利用三角函数的图像求解．解形如tan x >a 的不等式的步骤：【对点训练】 求函数y ＝11＋tan x的定义域．解：要使函数有意义，则有1＋tan x ≠0， ∴tan x ≠－1，∴x ≠k π－π4且x ≠k π＋π2，k ∈Z .因此，函数y ＝11＋tan x 的定义域为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x ≠k π－π4且x ≠k π＋π2，k ∈Z .题型二、正切函数的单调性及应用【例2】 (1)求函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫12x －π4的单调区间； (2)比较tan ⎝⎛⎭⎫－13π4与tan ⎝⎛⎭⎫－12π5的大小． [解] (1)由k π－π2<12x －π4<k π＋π2(k ∈Z )得，2k π－π2<x <2k π＋3π2，k ∈Z ，所以函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫12x －π4的单调递增区间是⎝⎛⎭⎫2k π－π2，2k π＋3π2(k ∈Z )． (2)由于tan ⎝⎛⎭⎫－13π4＝tan ⎝⎛⎭⎫－4π＋3π4＝tan 3π4＝－tan π4，tan ⎝⎛⎭⎫－12π5＝－tan ⎝⎛⎭⎫2π＋2π5＝－tan 2π5， 又0<π4<2π5<π2，而y ＝tan x 在⎝⎛⎭⎫0，π2上单调递增， 所以tan π4<tan 2π5，－tan π4>－tan 2π5，即tan ⎝⎛⎭⎫－13π4>tan ⎝⎛⎭⎫－12π5. 【类题通法】1．求函数y ＝A tan(ωx ＋φ)(A ，ω，φ都是常数)的单调区间的方法(1)若ω>0，由于y ＝tan x 在每一个单调区间上都是增函数，故可用“整体代换”的思想，令k π－π2<ωx ＋φ<k π＋π2，求得x 的范围即可．(2)若ω<0，可利用诱导公式先把y ＝A tan(ωx ＋φ)转化为y ＝A tan [－(－ωx －φ)]＝－A tan(－ωx －φ)，即把x 的系数化为正值，再利用“整体代换”的思想，求得x 的范围即可．2．运用正切函数单调性比较大小的方法(1)运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内． (2)运用单调性比较大小关系． 【对点训练】1．比较tan 1，tan 2，tan 3的大小．解：因为tan 2＝tan(2－π)，tan 3＝tan(3－π)．又因为π2<2<π，所以－π2<2－π<0.因为π2<3<π，所以－π2<3－π<0.显然－π2<2－π<3－π<1<π2，又y ＝tan x 在⎝⎛⎭⎫－π2，π2内是增函数， 所以tan(2－π)<tan(3－π)<tan 1， 即tan 2<tan 3<tan 1.2．求函数y ＝3tan ⎝⎛⎭⎫π4－2x 的单调区间． 解：y ＝3tan ⎝⎛⎭⎫π4－2x ＝－3tan ⎝⎛⎭⎫2x －π4， 由－π2＋k π<2x －π4<π2＋k π得，－π8＋k 2π<x <3π8＋k2π(k ∈Z )， 所以y ＝3tan ⎝⎛⎭⎫π4－2x 的单调递减区间为⎝⎛⎭⎫－π8＋k 2π，3π8＋k 2π(k ∈Z )．题型三、与正切函数有关的周期性、奇偶性问题【例3】 (1)求f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的周期； (2)判断y ＝sin x ＋tan x 的奇偶性． [解] (1)∵tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋π＝tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3， 即tan ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π2＋π3＝tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3， ∴f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的周期是π2. (2)定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠k π＋π2，k ∈Z ，关于原点对称， ∵f (－x )＝sin(－x )＋tan(－x )＝－sin x －tan x ＝－f (x )， ∴它是奇函数．【类题通法】与正切函数有关的函数的周期性、奇偶性问题的解决策略(1)一般地，函数y ＝A tan(ωx ＋φ)的最小正周期为T ＝π|ω|，常常利用此公式来求周期．(2)判断函数的奇偶性要先求函数的定义域，判断其是否关于原点对称．若不对称，则该函数无奇偶性，若对称，再判断f (－x )与f (x )的关系．【对点训练】关于x 的函数f (x )＝tan(x ＋φ)有以下几种说法：①对任意的φ，f (x )都是非奇非偶函数；②f (x )的图像关于⎝⎛⎭⎫π2－φ，0对称；③f (x )的图像关于(π－φ，0)对称；④f (x )是以π为最小正周期的周期函数．其中不正确的说法的序号是________．解析：①若取φ＝k π(k ∈Z )，则f (x )＝tan x ，此时，f (x )为奇函数，所以①错；观察正切函数y ＝tan x 的图像，可知y ＝tan x 关于⎝⎛⎭⎫k π2，0(k ∈Z )对称，令x ＋φ＝k π2得x ＝k π2－φ，分别令k ＝1,2知②、③正确，④显然正确．答案：①【练习反馈】1．函数y ＝tan x ⎝⎛⎭⎫x ≠k π＋π2，k ∈Z 的单调性为( ) A ．在整个定义域上为增函数 B ．在整个定义域上为减函数C ．在每一个开区间⎝⎛⎭⎫－π2＋k π，π2＋k π(k ∈Z )上为增函数 D ．在每一个开区间⎝⎛⎭⎫－π2＋2k π，π2＋2k π(k ∈Z )上为增函数 解析：选C 由正切函数的图像可知选项C 正确． 2．函数y ＝tan(cos x )的值域是( ) A.⎣⎡⎦⎤－π4，π4 B.⎣⎡⎦⎤－22，22 C ．[－tan 1，tan 1]D ．以上均不对解析：选C ∵－1≤cos x ≤1，且函数y ＝tan x 在[－1,1]上为增函数，∴tan(－1)≤tan x ≤tan 1.即－tan 1≤tan x ≤tan 1.3．函数y ＝5tan ⎝⎛⎭⎫－x2的最小正周期是________． 解析：T ＝π⎪⎪⎪⎪－12＝2π.答案：2π4．函数y ＝3tan(π＋x )，－π4<x ≤π6的值域为________．解析：函数y ＝3tan(π＋x )＝3tan x ，因为正切函数在⎝⎛⎭⎫－π2，π2上是增函数，所以－3<y ≤3，所以值域为(－3，3]．答案：(－3， 3 ]5．求函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫12x －π6的定义域、周期及单调区间． 解：由12x －π6≠π2＋k π，k ∈Z ，得x ≠4π3＋2k π，k ∈Z ，所以函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫12x －π6的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠4π3＋2k π，k ∈Z .T ＝π12＝2π，所以函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫12x －π6的周期为2π. 由－π2＋k π<12x －π6<π2＋k π，k ∈Z ，得－2π3＋2k π<x <4π3＋2k π，k ∈Z . 所以函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫12x －π6的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫－2π3＋2k π，4π3＋2k π(k ∈Z )．。
高中数学必修4三角函数常考题型：正弦函数、余弦函数的性质(一)
正弦函数、余弦函数的性质(一)【知识梳理】1．函数的周期性(1)对于函数f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有f (x ＋T )＝f (x )，那么函数f (x )就叫周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期．(2)如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数叫做f (x )的最小正周期．2．正弦、余弦函数的周期性正弦函数y ＝sin x (x ∈R )和余弦函数y ＝cos x (x ∈R )都是周期函数，2k π(k ∈Z ，且k ≠0)都是它们的周期．最小正周期为2π.3．正弦、余弦函数的奇偶性 正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数．【常考题型】题型一、函数的周期【例1】 求下列三角函数的周期：(1)y ＝3sin x ，x ∈R ；(2)y ＝cos 2x ，x ∈R ；(3)y ＝sin ⎝⎛⎭⎫13x －π4，x ∈R ；(4)y ＝|cos x |，x ∈R .[解] (1)因为3sin(x ＋2π)＝3sin x ，由周期函数的定义知，y ＝3sin x 的周期为2π.(2)因为cos 2(x ＋π)＝cos(2x ＋2π)＝cos 2x ，由周期函数的定义知，y ＝cos 2x 的周期为π.(3)因为sin ⎣⎡⎦⎤13(x ＋6π)－π4＝sin ⎝⎛⎭⎫13x ＋2π－π4 ＝sin ⎝⎛⎭⎫13x －π4，由周期函数的定义知，y ＝sin ⎝⎛⎭⎫13x －π4的周期为6π.(4)y ＝|cos x |的图像如图(实线部分)所示，由图像可知，y ＝|cos x |的周期为π.【类题通法】求函数最小正周期的常用方法求三角函数的周期，一般有两种方法：(1)公式法，即将函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 或y＝A cos(ωx ＋φ)＋B 的形式，再利用T ＝2π|ω|求得；(2)图像法，利用变换的方法或作出函数的图像，通过观察得到最小正周期．【对点训练】求下列函数的最小正周期：(1)y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫πx 2＋3；(2)y ＝cos|x |.解：(1)由T ＝2ππ2＝4，可得函数的最小正周期为4. (2)由于函数y ＝cos x 为偶函数，所以y ＝cos|x |＝cos x ，从而函数y ＝cos|x |与y ＝cos x 的图像一样，因此最小正周期相同，为2π.题型二、三角函数的奇偶性【例2】 (1)函数f (x )＝2sin 2x 的奇偶性为( )A ．奇函数B ．偶函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．非奇非偶函数(2)判断函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫34x ＋3π2的奇偶性．(1)[解析] ∵f (x )的定义域是R .且f (－x )＝2sin 2(－x )＝－2sin 2x ＝－f (x )，∴函数为奇函数．[答案] A(2)[解] ∵f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫34x ＋3π2＝－cos 34x ， ∴f (－x )＝－cos ⎝⎛⎭⎫－34x ＝－cos 34x ， ∴函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫34x ＋3π2为偶函数．【类题通法】与三角函数奇偶性有关的结论(1)要使y ＝A sin(ωx ＋φ)(Aω≠0)为奇函数，则φ＝k π(k ∈Z )；(2)要使y ＝A sin(ωx ＋φ)(Aω≠0)为偶函数，则φ＝k π＋π2(k ∈Z )； (3)要使y ＝A cos(ωx ＋φ)(Aω≠0)为奇函数，则φ＝k π＋π2(k ∈Z )； (4)要使y ＝A cos(ωx ＋φ)(Aω≠0)为偶函数，则φ＝k π(k ∈Z )．【对点训练】若函数y ＝sin(x ＋φ)(0≤φ≤π)是R 上的偶函数，则φ等于( )A ．0B.π4C.π2 D ．π解析：选C 法一：由于y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＝cos x ，而y ＝cos x 是R 上的偶函数，所以φ＝π2. 法二：因为y ＝sin x 的图像的对称轴为x ＝π2＋k π，k ∈Z ，所以函数y ＝sin(x ＋φ)的图像的对称轴应满足x ＋φ＝π2＋k π.又y ＝sin(x ＋φ)是偶函数，所以x ＝0是函数图像的一条对称轴，所以φ＝π2＋k π，k ∈Z ，当k ＝0时，φ＝π2. 题型三、三角函数的奇偶性与周期性的应用【例3】 若函数f (x )是以π2为周期的偶函数，且f ⎝⎛⎭⎫π3＝1，求f ⎝⎛⎭⎫－17π6的值． [解] ∵f (x )的周期为π2，且为偶函数， ∴f ⎝⎛⎭⎫－17π6＝f ⎝⎛⎭⎫－3π＋π6＝f ⎝⎛⎭⎫－6×π2＋π6 ＝f ⎝⎛⎭⎫π6.而f ⎝⎛⎭⎫π6＝f ⎝⎛⎭⎫π2－π3＝f ⎝⎛⎭⎫－π3＝f ⎝⎛⎭⎫π3＝1，∴f ⎝⎛⎭⎫－17π6＝1. 【类题通法】解决三角函数的奇偶性与周期性综合问题的方法利用函数的周期性，可以把x ＋nT (n ∈Z )的函数值转化为x 的函数值．利用奇偶性，可以找到－x 与x 的函数值的关系，从而可解决求值问题．【对点训练】若f (x )是奇函数，且f (x ＋1)＝－f (x )，当x ∈(－1,0)时，f (x )＝2x ＋1，求f ⎝⎛⎭⎫92的值．解：∵f (x ＋1)＝－f (x )，∴f (x ＋2)＝－f (x ＋1)．∴f (x ＋2)＝f (x )，即T ＝2.∴f ⎝⎛⎭⎫92＝f ⎝⎛⎭⎫92－4＝f ⎝⎛⎭⎫12.又∵f (x )为奇函数，且x ∈(－1,0)时，f (x )＝2x ＋1，∴f ⎝⎛⎭⎫12＝－f ⎝⎛⎭⎫－12 ＝－⎣⎡⎦⎤2×⎝⎛⎭⎫－12＋1＝0，故f ⎝⎛⎭⎫92＝0. 【练习反馈】1．函数f (x )＝sin(－x )的奇偶性是( )A ．奇函数B ．偶函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．非奇非偶函数解析：选A 由于x ∈R ，且f (－x )＝sin x ＝－sin(－x )＝－f (x )，所以f (x )为奇函数．2．函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π2－x 是( )A ．最小正周期为2π的奇函数B ．最小正周期为2π的偶函数C ．最小正周期为π的奇函数D ．最小正周期为π的偶函数解析：选B 由于f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π2－x ＝2cos x ，其最小正周期为2π，且为偶函数．3．f (x )＝sin x cos x 是________(填“奇”或“偶”)函数．解析：x ∈R 时，f (－x )＝sin(－x )cos(－x )＝－sin x cos x ＝－f (x )，即f (x )是奇函数． 答案：奇4．函数y ＝cos (1－x )π2的最小正周期是________． 解析：∵y ＝cos ⎝⎛⎭⎫－π2x ＋π2，∴T ＝2ππ2＝2π×2π＝4. 答案：45．定义在R 上的函数f (x )既是奇函数又是周期函数，若f (x )的最小正周期为π，且当x ∈⎣⎡⎭⎫－π2，0时，f (x )＝sin x ，求f ⎝⎛⎭⎫－5π3的值． 解：∵当x ∈⎣⎡⎭⎫－π2，0时，f (x )＝sin x ，且最小正周期为π， ∴f ⎝⎛⎭⎫－5π3＝f ⎝⎛⎭⎫π3－2π＝f ⎝⎛⎭⎫π3＝－f ⎝⎛⎭⎫－π3＝ －sin ⎝⎛⎭⎫－π3＝sin π3＝32.。
高中数学必修4三角函数常考题型：正弦函数、余弦函数的性质(二)
【知识梳理】正弦函数、余弦函数的性质 函数y ＝sin x y ＝cos x 定义域 R 值域[－1,1] 图像单调性 在⎣⎡⎦⎤－π2＋2k π，π2＋2k π，k ∈Z 上递增； 在⎣⎡⎦⎤π2＋2k π，3π2＋2k π，k ∈Z 上递减 在[－π＋2k π，2k π]，k ∈Z 上递增； 在[2k π，π＋2k π]，k ∈Z 上递减 最值 当x ＝－π2＋2k π，k ∈Z 时，y min ＝－1； 当x ＝π2＋2k π，k ∈Z 时，y max ＝1 当x ＝(2k ＋1)π，k ∈Z 时，y min＝－1； 当x ＝2k π，k ∈Z 时，y max ＝1 对称轴 x ＝π2＋k π，k ∈Z x ＝k π，k ∈Z 对称中心(k π，0)，k ∈Z ⎝⎛⎭⎫π2＋k π，0，k ∈Z 题型一、正、余弦函数的单调性【例1】 求函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π3的单调区间． [解]令z ＝x －π3，则y ＝2sin z . ∵z ＝x －π3是增函数， ∴y ＝2sin z 单调递增(减)时，函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π3也单调递增(减)． 由z ∈⎣⎡⎦⎤2k π－π2，2k π＋π2(k ∈Z )， 得x －π3∈⎣⎡⎦⎤2k π－π2，2k π＋π2(k ∈Z )， 即x ∈⎣⎡⎦⎤2k π－π6，2k π＋5π6(k ∈Z )， 故函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π3的单调递增区间为 ⎣⎡⎦⎤2k π－π6，2k π＋5π6(k ∈Z )．同理可求函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π3的单调递减区间为 ⎣⎡⎦⎤2k π＋5π6，2k π＋116π(k ∈Z )． 【类题通法】与正弦、余弦函数有关的单调区间的求解技巧(1)结合正弦、余弦函数的图像，熟记它们的单调区间．(2)确定函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)单调区间的方法：采用“换元”法整体代换，将ωx ＋φ看作一个整体，可令“z ＝ωx ＋φ”，即通过求y ＝A sin z 的单调区间而求出函数的单调区间．若ω<0，则可利用诱导公式将x 的系数转变为正数．【对点训练】求函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫π3－2x 的单调递减区间．解：∵y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫π3－2x ＝－3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3， ∴y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3是增函数时， y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫π3－2x 是减函数． ∵函数y ＝sin x 在⎣⎡⎦⎤－π2＋2k π，π2＋2k π(k ∈Z )上是增函数， ∴－π2＋2k π≤2x －π3≤π2＋2k π， 即－π12＋k π≤x ≤5π12＋k π(k ∈Z )． ∴函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫π3－2x 的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤－π12＋k π，5π12＋k π(k ∈Z ). 题型二、三角函数值的大小比较【例2】 比较下列各组数的大小：(1)sin 250°与sin 260°；(2)cos 15π8与cos 14π9. [解](1)∵函数y ＝sin x 在[90°，270°]上单调递减，且90°<250°<260°<270°，∴sin 250°>sin 260°.(2)cos 15π8＝cos ⎝⎛⎭⎫2π－π8＝cos π8， cos 14π9＝cos ⎝⎛⎭⎫2π－4π9＝cos 4π9. ∵函数y ＝cos x 在[0，π]上单调递减，且0<π8<4π9<π， ∴cos π8>cos 4π9，∴cos 15π8>cos 14π9. 【类题通法】比较三角函数值大小的方法(1)比较两个同名三角函数值的大小，先利用诱导公式把两个角化为同一单调区间内的角，再利用函数的单调性比较．(2)比较两个不同名的三角函数值的大小，一般应先化为同名的三角函数，后面步骤同上．【对点训练】比较下列各组数的大小．(1)cos ⎝⎛⎭⎫－π8与cos 13π7； (2)sin 194°与cos 160°.解：(1)cos ⎝⎛⎭⎫－π8＝cos π8， cos 13π7＝cos ⎝⎛⎭⎫π＋6π7＝－cos 6π7＝cos π7. ∵0＜π8＜π7＜π，且y ＝cos x 在(0，π)上单调递减， ∴cos π8＞cos π7，即cos ⎝⎛⎭⎫－π8＞cos 13π7. (2)sin 194°＝sin (180°＋14°)＝－sin 14°，cos 160°＝cos(180°－20°)＝－cos 20°＝－sin 70°.∵0°＜14°＜70°＜90°且y ＝sin x 在⎝⎛⎭⎫0，π2上单调递增， ∴sin 70°＞sin 14°，即－sin 14°＞－sin 70°.故sin 194°＞cos 160°.题型三、正、余弦函数的最值问题【例3】 求下列函数的值域：(1)y ＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6，x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2； (2)y ＝cos 2x －4cos x ＋5.[解](1)由y ＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6，x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2可得 x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤π6，2π3，函数y ＝cos x 在区间⎣⎡⎦⎤π6，2π3上单调递减，所以函数的值域为⎣⎡⎦⎤－12，32. (2)令t ＝cos x ，则－1≤t ≤1.∴y ＝t 2－4t ＋5＝(t －2)2＋1，∴t ＝－1时，y 取得最大值10，t ＝1时，y 取得最小值2.所以y ＝cos 2x －4cos x ＋5的值域为[2,10]．【类题通法】求三角函数值域的常用方法(1)求解形如y ＝a sin x ＋b (或y ＝a cos x ＋b )的函数的最值或值域问题时，利用正、余弦函数的有界性(－1≤sin x ，cos x ≤1)求解．求三角函数取最值时相应自变量x 的集合时，要注意考虑三角函数的周期性．(2)求解形如y ＝a sin 2x ＋b sin x ＋c (或y ＝a cos 2x ＋b cos x ＋c )，x ∈D 的函数的值域或最值时，通过换元，令t ＝sin x (或cos x )，将原函数转化为关于t 的二次函数，利用配方法求值域或最值即可．求解过程中要注意t ＝sin x (或cos x )的有界性．【对点训练】求函数f (x )＝2sin 2x ＋2sin x －12，x ∈⎣⎡⎦⎤π6，5π6的值域． 解：令t ＝sin x ，y ＝f (x )，∵x ∈⎣⎡⎦⎤π6，5π6，∴12≤sin x ≤1，即12≤t ≤1. ∴y ＝2t 2＋2t －12＝2⎝⎛⎭⎫t ＋122－1，∴1≤y ≤72， ∴函数f (x )的值域为⎣⎡⎦⎤1，72. 【练习反馈】1．函数y ＝2－sin x 的最大值及取最大值时x 的值为( ) A ．y max ＝3，x ＝π2B ．y max ＝1，x ＝π2＋2k π(k ∈Z ) C ．y max ＝3，x ＝－π2＋2k π(k ∈Z ) D ．y max ＝3，x ＝π2＋2k π(k ∈Z )解析：选C ∵y ＝2－sin x ，∴当sin x ＝－1时，y max ＝3，此时x ＝－π2＋2k π(k ∈Z )． 2．下列函数中，周期为π，且在⎣⎡⎦⎤π4，π2上为减函数的是( )A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2B ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2 C ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2D ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π2 解析：选A 因为函数的周期为π，所以排除C 、D.又因为y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝－sin 2x 在⎣⎡⎦⎤π4，π2上为增函数，故B 不符．只有函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2的周期为π，且在⎣⎡⎦⎤π4，π2上为减函数． 3．sin 3π5，sin 4π5，sin 9π10，从大到小的顺序为________． 解析：∵π2<3π5<4π5<9π10<π， 又函数y ＝sin x 在⎣⎡⎦⎤π2，π上单调递减，∴sin 3π5>sin 4π5>sin 9π10. 答案：sin 3π5>sin 4π5>sin 9π104．若y ＝a sin x ＋b 的最大值为3，最小值为1，则ab ＝________.解析：当a >0时，⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝3，－a ＋b ＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，b ＝2.当a <0时，⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝1，－a ＋b ＝3，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝2.答案：±25．求函数y ＝13sin ⎝⎛⎭⎫π6－x ，x ∈[0，π]的单调递增区间． 解：由y ＝－13sin ⎝⎛⎭⎫x －π6的单调性， 得π2＋2k π≤x －π6≤3π2＋2k π，k ∈Z ， 即2π3＋2k π≤x ≤5π3＋2k π，k ∈Z . 又x ∈[0，π]，故2π3≤x ≤π. 即单调递增区间为⎣⎡⎦⎤2π3，π.。
高中数学必修四 角度制 三角函数关系及诱导公式讲解
3、任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值；任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值。
4、任意锐角的正切值等于它的余角的余切值；任意锐角的余切值等于它的余角的正切值。
当0°≤α≤90°时，sin α随α的增大而增大，cos α随α的增大而减小。
A90B 90∠-︒=∠︒=∠+∠得由B A7、正切、余切的增减性：一、任意角的三角函数的定义： 设α是任意一个角，P (,)x y 是α的终边上的任意一点（异于原点），它与原点的距离是0r =>，那么sin ,cos y x r r αα==，()tan ,0y x x α=≠，cot x y α=(0)y ≠，sec rxα=()0x ≠，()csc 0ry yα=≠。
三角函数值只与角的大小有关，而与终边上点P 的位置无关。
设角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴非负半轴重合，终边与单位圆相交于点P ，过P 作PM 垂直于x 轴于M ，则点M 是点P 在x 轴上的正射影．由三角函数的定义知，点P 的坐标为(cos_α，sin_α)，即P (cos_α，sin_α)，其中cos α＝OM ，sin α＝MP ，单位圆与x 轴的正半轴交于点A ，单位圆在A 点的切线与α的终边或其反向延长线相交于点T ，则tan α＝AT .我们把有向线段OM 、MP 、AT 叫做α的余弦线、正弦线、正切线．三角函数线的特征是：正弦线MP “站在x 轴上(起点在x 轴上)”、余弦线OM “躺在x 轴上(起点是原点)”、正切线AT “站在点(1,0)A 处(起点是A )”.有向线段OM 为余弦线有向线段AT 为正切线比较)2,0(∈x ，x sin ，x tan ，x 的大小关系：三角函数线的重要应用是比较三角函数值的大小和解三角不等式。
四、一条规律三角函数值在各象限的符号规律概括为：一全正、二正弦、三正切、四余弦．两个技巧(1)在利用三角函数定义时，点P 可取终边上任一点，如有可能则取终边与单位圆的交点，|OP |＝r 一定是正值．(2)在解简单的三角不等式时，利用单位圆及三角函数线是一个小技巧． 利用单位圆解三角不等式(组)的一般步骤是： (1)用边界值定出角的终边位置； (2)根据不等式(组)定出角的范围； (3)求交集，找单位圆中公共的部分； (4)写出角的表达式．(1)注意易混概念的区别：第一象限角、锐角、小于90°的角是概念不同的三类角，第一类是象限角，第二类、第三类是区间角．(2)角度制与弧度制可利用180°＝π rad 进行互化，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用．（3）α与2α的终边关系：由“两等分各象限、一二三四确定”.若α是第一象限，则2α是第一、三象限角；若α是第二象限，则2α是第一、三象限角；若α是第三象限角，则2α是第二、四象限；若α是第四象限角，则2α是第二、四象限。
版高中数学专题10解密三角函数之给值求值问题特色专题训练新人教A版必修4
专题10 解密三角函数之给值求值问题一、单选题1．【陕西省西安中学2018届高三上学期期中】若tanθ=13，则cos2θ=（）A.45-B.15-C.15D.45【答案】D【解析】∵tanθ=13，则22222211149211519cos sin tancoscos sin tanθθθθθθθ---====+++，故选D．【点睛】本题考查二倍角公式、同角三角函数的基本关系等知识，解决本题的关键是熟练掌握倍角公式，敏锐的观察角间的关系．2．【山东省邹城市第一中学2018届高三上学期期中】已知1sin cos63παα⎛⎫--=⎪⎝⎭，则cos23πα⎛⎫+=⎪⎝⎭( )A.79-B.79C.518-D.518【答案】B3．【四川省成都市第七中学2018届高三上学期一诊】已知2tan,tan.34mmπαα⎛⎫=+=⎪⎝⎭则m=（）A. -6或1B. -1或6C. 6D. 1 【答案】A【解析】由题意，2tan+1tan,tan tan=,3441tanmmππααααα⎛⎫⎛⎫=+=+⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，，123,613mmmm+∴=∴=--或1，故选A.4．【安徽省淮北市第一中学2017-2018学年高二上学期期中】若角α满足sin 2cos 0αα+=，则tan2α= （ ）A . 43-B . 34C . 34-D . 43【答案】D【解析】由题意可得22tan 4tan 2,tan21tan 3αααα=-==-，选D .5．【湖北省咸宁市2018届高三重点高中11月联考】已知()tan 3αβ+=， tan 2α=，则ta n2β=（ ）A . 512-B . 512C . 724-D . 724【答案】D6．【广西玉林、贵港市2017届高三下学期质量检测】若cos 3sin 0θθ+=，则tan 4πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ） A . 12-B . 2-C . 12D . 2 【答案】C 【解析】30cos sin θθ+=3cos sin θθ∴=- sin 1tan cos 3θθθ∴==- 则11tan tan1341421tan tan 1143tan πθπθπθ-++⎛⎫+=== ⎪⎛⎫⎝⎭---⨯ ⎪⎝⎭故选C7．【天津市实验中学2018届高三上学期二模】已知2sin23a =，则2cos 4a π⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ） A .16 B . 13 C . 12 D . 23【答案】A 【解析】223sin a =221cos 211212342226a sin a cos a ππ⎛⎫++-⎪-⎛⎫⎝⎭∴+==== ⎪⎝⎭ 故选A8．【河北省衡水第一中学2018届高三上学期分科综合考试】已知函数()()23sin cos 4cos 0f x x x x ωωωω=->的最小正周期为π，且()12f θ=，则2f πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭ ( )A . 52-B . 92-C . 112-D . 132- 【答案】B9．【天津市耀华中学2018届高三上学期第一次月考】已知()1sin 2αβ+=， ()1sin 3αβ-=，则2tan tan αβ⎛⎫⎪⎭等于 ( )A . 5B . 4C . 3D . 2【答案】B【解析】∵()1sin 2αβ+=， ()1sin 3αβ-=∴1sin cos cos sin 2αβαβ+=， 1sin cos cos sin 3αβαβ-= ∴5sin cos 12αβ=， 1cos sin 12αβ=∴tan 5tan αβ=∴22tan 4tan αβ⎛⎫== ⎪⎝⎭故选B10．【河北省衡水中学2016-2017学年高二下学期期末】若cos2sin 4απα=⎛⎫- ⎪⎝⎭，则sin cos αα+的值为 （ ）A. B . 12- C . 12 D【答案】C11．【辽宁省鞍山市第一中学2018届高三上学期二模】已知2sin23α=，则2cos 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ） A .16 B . 13 C . 12 D . 23【答案】A【解析】21cos 21sin212cos 4226παπαα⎛⎫++ ⎪-⎛⎫⎝⎭+=== ⎪⎝⎭，故选A 12．【河南省豫北豫南名校2018届高三上学期精英联赛】已知1cos 63x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则cos cos 3x x π⎛⎫+-= ⎪⎝⎭（ ）A .2B C . 12 D . 3【答案】D【解析】cos cos cos cos 36666x x x x πππππ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-=-++--= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦ 2cos cos 66x ππ⎛⎫-= ⎪⎝⎭选D .13．【陕西省西安市长安区2018届高三大联考】设为锐角，若，则的值为A .B .C .D .【答案】B14．【广西桂林市第十八中学2018届高三第三次月考】已知2sin 16πα⎛⎫+=⎪⎝⎭，则2cos 23πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ）A .12 B . 12- C D . 【答案】B 【解析】∵1sin 62πα⎛⎫+=⎪⎝⎭，∴1cos α32π⎛⎫-= ⎪⎝⎭ ∴221cos 2cos2α2cos α13332πππα⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=--=-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故选：B15．【广西贺州市桂梧高中2018届高三上学期第四次联考】若111sin cos tan 26παα+=，则s i n 2α=（ ）A . 14-B . 1112-C . 14D . 1112【答案】B【解析】111sin cos tan 26παα+==，∴()21sin cos 1sin212ααα+=+=，∴11sin212α=-.选B 。
高中数学学案：三角函数的最值问题
高中数学学案:三角函数的最值问题1. 会通过三角恒等变形、利用三角函数的有界性、结合三角函数的图象,求三角函数的最值和值域．2. 掌握求三角函数最值的常见方法,能运用三角函数最值解决一些实际问题.1. 阅读:必修4第24～33页、第103～116页、第119～122页．2. 解悟:①正弦、余弦、正切函数的图象和性质是什么？②三角函数y ＝A sin (ωx ＋φ)(A>0,ω>0)的最值及对应条件；③两角和与差的正弦、余弦、正切公式是什么？辅助角公式是否熟练？④二倍角公式是什么？由倍角公式得到的降幂扩角公式是什么？必修4第123页练习第4题怎么解？3. 践习:在教材空白处,完成必修4第131页复习题第9、10、16题.基础诊断1. 函数f(x)＝sin x,x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，2π3的值域为⎝ ⎛⎦⎥⎤12，1__． 2. 函数f(x)＝sin x －cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6的值域为3]__． 解析:因为f(x)＝sin x －cos (x ＋π6)＝sin x －32cos x ＋12sin x ＝32sin x －32cos x ＝3sin (x －π6),所以函数f(x)＝sin x －cos (x ＋π6)的值域为[－3,3]．3. 若函数f(x)＝(1＋3tan x)cos x,0≤x<π2,则f(x)的最大值为__2__．解析:f(x)＝(1＋3tan x)cos x ＝cos x ＋3sin x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6.因为0≤x<π2,所以π6≤x ＋π6<2π3,所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1, 所以当sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝1时,f(x)有最大值2.4. 函数y ＝2sin 2x －3sin 2x范例导航考向❶ 形如y ＝a sin 2x ＋b cos x ＋c 的三角函数的最值例1 已知函数f(x)＝2cos 2x ＋sin 2x －4cos x.(1) 求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3的值； (2) 求f(x)的最大值和最小值．解析:(1) f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝2cos 2π3＋sin 2π3－4cos π3＝－1＋34－2＝－94. (2) f(x)＝2(2cos 2x －1)＋(1－cos 2x)－4cos x＝3cos 2x －4cos x －1＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x －232－73,x ∈R. 因为cos x ∈[－1,1],所以当cos x ＝－1时,f (x )取最大值6；当cos x ＝23时,f (x )取最小值－73.已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π4＝7210,A ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2. (1) 求cos A 的值；(2) 求函数f (x )＝cos2x ＋52sin A sin x 的值域．解析:(1) 因为π4<A <π2,且sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π4＝7210, 所以π2<A ＋π4<3π4,cos ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π4＝－210, 所以cos A ＝cos[(A ＋π4)－π4]＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π4cos π4＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π4sin π4 ＝－210×22＋7210×22＝35.(2) 由(1)可得sin A ＝45,所以f (x )＝cos2x ＋52sin A sin x ＝1－2sin 2x ＋2sin x ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x －122＋32,x ∈R. 因为sin x ∈[－1,1],所以当sin x ＝12时,f (x )取最大值32；当sin x ＝－1时,f (x )取最小值－3.所以函数f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3，32. 考向❷ 形如y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的三角函数的最值例2 已知函数f(x)＝2cos x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3－3sin 2x ＋sin x cos x ＋1. (1) 求当函数f(x)取得最大值时,x 的取值集合；(2) 当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π12时,求f(x)的值域． 解析:(1) 因为f(x)＝2cos x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3－3sin 2x ＋sin x cos x ＋1 ＝2cos x ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x cos π3＋cos x sin π3－3sin 2x ＋sin x cos x ＋1 ＝2cos x(12sin x ＋32cos x)－3sin 2x ＋sin x·cos x ＋1＝2sin x cos x ＋3cos 2x －3sin 2x ＋1＝sin 2x ＋3cos 2x ＋1＝2(12sin 2x ＋32cos 2x)＋1＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋1. 由2x ＋π3＝2k π＋π2,k ∈Z,可得x ＝k π＋π12,k ∈Z,所以函数f (x )取得最大值时,x 的集合为{x |x ＝k π＋π12,k ∈Z}．(2) 由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π12,得2x ＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π2, 所以32≤sin(2x ＋π3)≤1,所以3＋1≤f (x )≤3,故f (x )的值域为[3＋1,3]．【注】 对于三角函数最值问题,通常将表达式化为形如y ＝Af (ωx ＋φ)＋B 的形式,确定变量x 取值的集合通常由等式ωx ＋φ＝2k π＋θ,k ∈Z 解出x .已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx －π6＋2cos 2ωx －1(ω>0)的最小正周期为π. (1) 求ω的值；(2) 求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，7π12上的最大值和最小值． 解析:(1) 因为f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx －π6＋2cos 2ωx －1 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin2ωx cos π6－cos2ωx sin π6＋cos2ωx ＝32sin2ωx ＋12cos2ωx ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π6, 所以f (x )的最小正周期T ＝2π2ω＝π,解得ω＝1.(2) 由(1)得f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6. 因为0≤x ≤7π12,所以π6≤2x ＋π6≤4π3,所以当2x ＋π6＝π2,即x ＝π6时,f (x )取得最大值为1；当2x ＋π6＝4π3,即x ＝7π12时,f (x )取得最小值为－32.【变式题】已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋cos x . (1) 求f (x )的最大值,并写出当f (x )取得最大值时,x 的集合；(2) 若α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2,f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝335,求f (2a )的值． 解析:(1) f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋cos x ＝32sin x ＋32cos x ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin x ＋32cos x ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3, 所以f (x )max ＝ 3. 此时,x ＋π3＝2k π＋π2,k ∈Z,即x ＝2k π＋π6,k ∈Z.故当f (x )取得最大值3时,x 的集合为{x |x ＝2k π＋π6,k ∈Z}．(2) 由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝3sin(α＋π2)＝335, 得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＝35, 所以cos α＝35,sin α＝45,α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2, 所以f (2α)＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3 ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin2α＋32cos2α ＝3[12×2sin αcos α＋32×(2cos 2α－1)] ＝3×[12×2×45×35＋32×(2×925－1)]＝3×⎝ ⎛⎭⎪⎫1225－7350＝243－2150. 考向❸ 三角函数最值问题常见的其他函数形式例3 (1) 已知x ∈(0,π),求函数y ＝sin x ＋2sin x 的最小值；(2) 已知θ∈(0,π),求函数y ＝3sin θ1＋3sin 2θ的最大值； (3) 求函数y ＝(sin x －2)(cos x －2)的最大值与最小值．解析:(1) 设sin x ＝t(0<t ≤1),则原函数可化为y ＝t ＋2t ,在(0,1]上为减函数, 故当t ＝1时,y min ＝3.(2) 因为θ∈(0,π),所以sin θ∈(0,1],y ＝31sin θ＋3sin θ≤323＝12,当且仅当sin θ＝33时等号成立,故y max ＝12.(3) 原函数可化为y ＝sin x cos x －2(sin x ＋cos x)＋4,令sin x ＋cos x ＝t(|t|≤2),则sin x cos x ＝t 2－12,所以y ＝t 2－12－2t ＋4＝12(t －2)2＋32.因为对称轴为直线t ＝2∉[－2,2],且函数在区间[－2,2]上是减函数,所以当t ＝2,即x ＝2k π＋π4(k ∈Z)时,y min ＝92－22；当t ＝－2,即x ＝2k π－3π4(k ∈Z)时,y max ＝92＋2 2.【注】 (1) 直接利用三角函数的有界性,并直接利用基本不等式去求解．(2) 首先是对分数函数的一般的处理方式,然后回到(1)的步骤去解决．y ＝sin x ＋a sin x 型三角函数求最值,当sin x >0,a >1时,不能用均值不等式求最值,适宜用函数在区间内的单调性求解．(3) 含有“正、余弦三姐妹”,即含有sin x ±cos x ,sin x cos x 的函数的最值问题,常用的方法是令sin x ±cos x ＝t ,|t |≤2,将sin x cos x 转化为关于t 的函数关系式,从而转化为二次函数的最值问题,在转化过程中尤其要注意新变量t 的范围的确定．【变式题】(1) 求函数y ＝2－sin x sin x ＋2的最小值； (2) 若0<x <π2,求函数y ＝(1＋1cos x )(1＋1sin x )的最小值．解析:(1) y ＝4－2－sin x sin x ＋2＝4sin x ＋2－1≥13, 所以最小值为13.(2) y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1cos x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1sin x ＝1＋sin x ＋cos x ＋1sin x cos x ,令t ＝sin x ＋cos x ,t ∈(1,2],则sin x cos x ＝t 2－12,所以y ＝1＋t ＋1t 2－12＝t 2＋2t ＋1t 2－1＝t ＋1t －1＝1＋2t －1, 由1<t ≤2,得y ≥3＋22,所以函数的最小值为3＋2 2.自测反馈1. 函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x －cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋x (x ∈R)的最小值是__－1__．解析:因为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x ,所以y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x －cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x －sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x ＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3.因为x ∈R,所以y min ＝－1. 2. 函数y ＝sin π3x 在区间[0,b]上恰好取得2个最大值,则实数b 的取值范围是__⎣⎢⎡⎭⎪⎫152，272__． 解析:因为函数y ＝sin π3x 的周期为2ππ3＝6,函数y ＝sin π3x 在区间[0,b]上恰好取得2个最大值,则实数b 满足5T 4≤b<9T 4,解得152≤b<272.故实数b 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫152，272. 3. 函数y ＝3cos x 2＋sin x的值域是__[－1,1]__． 解析:2y ＋y sin x ＝3cos x,y sin x －3cos x ＝－2y,得y 2＋3sin (x ＋φ)＝－2y,sin (x ＋φ)＝－2y y 2＋3,则|－2y y 2＋3|≤1,解得－1≤y ≤1. 4. 函数f(x)＝sin x ＋cos x ＋sin x·cos x 的值域是⎦2． 解析:令t ＝sin x ＋cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4,则t ∈[－2,2],t 2＝1＋2sin x cos x,则sin x cos x ＝t 2－12,则f(x)＝sin x ＋cos x ＋sin x cos x ＝t ＋t 2－12＝12(t 2＋2t －1)＝12(t ＋1)2－1.因为－2≤t ≤2,所以f(x)∈[－1,2＋12]．1. 求解三角函数的值域(最值)常见到以下几种类型:①形如y ＝a sin x ＋b cos x ＋c 的三角函数化为y ＝A sin (ωx ＋φ)＋k 的形式,再求值域(最值)； ②形如y ＝a sin 2x ＋b cos x ＋c 的三角函数,可先设sin x ＝t,化为关于t 的二次函数求值域(最值)；③形如y ＝a sin x cos x ＋b(sin x±cos x)＋c 的三角函数,可先设t ＝sin x±cos x,化为关于t 的二次函数求值域(最值).2. 你还有哪些体悟,写下来:。
高中数学必修4三角函数常考题型：同角三角函数的基本关系
同角三角函数的基本关系【知识梳理】同角三角函数的基本关系(1)平方关系：同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1.即sin 2α＋cos 2α＝1.(2)商数关系：同一个角α的正弦、余弦的商等于这个角的正切，即sin αcos α＝tan_α⎝⎛⎭⎫其中α≠k π＋π2?k ∈Z ?. 【常考题型】题型一、已知一个三角函数值求另两个三角函数值【例1】 (1)已知sin α＝1213，并且α是第二象限角，求cos α和tan α. (2)已知cos α＝－45，求sin α和tan α. [解] (1)cos 2α＝1－sin 2α＝1－⎝⎛⎭⎫12132＝⎝⎛⎭⎫5132，又α是第二象限角，所以cos α<0，cos α＝－513，tan α＝sin αcos α＝－125. (2)sin 2α＝1－cos 2α＝1－⎝⎛⎭⎫－452＝⎝⎛⎭⎫352， 因为cos α＝－45<0，所以α是第二或第三象限角， 当α是第二象限角时，sin α＝35，tan α＝sin αcos α＝－34；当α是第三象限角时，sin α＝－35，tan α＝sin αcos α＝34. 【类题通法】已知三角函数值求其他三角函数值的方法(1)若已知sin α＝m ，可以先应用公式cos α＝±1－sin 2α，求得cos α的值，再由公式tan α＝sin αcos α求得tan α的值． (2)若已知cos α＝m ，可以先应用公式sin α＝±1－cos 2α，求得sin α的值，再由公式tan α＝sin αcos α求得tan α的值．(3)若已知tan α＝m ，可以应用公式tan α＝sin αcos α＝m ?sin α＝m cos α及sin 2α＋cos 2α＝1，求得cos α＝±11＋m 2，sin α＝±m 1＋m 2的值． 【对点训练】已知tan α＝43，且α是第三象限角，求sin α，cos α的值． 解：由tan α＝sin αcos α＝43，得sin α＝43cos α，① 又sin 2α＋cos 2α＝1，②由①②得169cos 2α＋cos 2α＝1，即cos 2α＝925. 又α是第三象限角，故cos α＝－35，sin α＝43cos α＝－45. 题型二、化切求值【例2】 已知tan α＝3，求下列各式的值．(1)4sin α－cos α3sin α＋5cos α； (2)sin 2α－2sin α·cos α－cos 2α4cos 2α－3sin 2α； (3)34sin 2α＋12cos 2α. [解] (1)原式＝4tan α－13tan α＋5＝4×3－13×3＋5＝1114； (2)原式＝tan 2α－2tan α－14－3tan 2α＝9－2×3－14－3×32＝－223； (3)原式＝34sin 2α＋12cos 2αsin 2α＋cos 2α＝34tan 2α＋12tan 2α＋1＝34×9＋129＋1＝2940. 【类题通法】化切求值的方法技巧(1)已知tan α＝m ，可以求a sin α＋b cos αc sin α＋d cos α或a sin 2α＋b sin αcos α＋c cos 2αd sin 2α＋e sin αcos α＋f cos 2α的值，将分子分母同除以cos α或cos 2α，化成关于tan α的式子，从而达到求值的目的．(2)对于a sin 2α＋b sin αcos α＋c cos 2α的求值，可看成分母是1，利用1＝sin 2α＋cos 2α进行代替后分子分母同时除以cos 2α，得到关于tan α的式子，从而可以求值．【对点训练】已知tan α＝2，求下列各式的值：(1)2sin α－3cos α4sin α－9cos α； (2)4sin 2α－3sin αcos α－5cos 2 α.解：(1)2sin α－3cos α4sin α－9cos α＝2tan α－34tan α－9＝2×2－34×2－9＝－1. (2)4sin 2α－3sin αcos α－5cos 2α＝4sin 2α－3sin αcos α－5cos 2αsin 2α＋cos 2α， 这时分子和分母均为关于sin α，cos α的二次齐次式．因为cos 2α≠0，所以分子和分母同除以cos 2α，则4sin 2α－3sin αcos α－5cos 2α＝4tan 2α－3tan α－5tan 2α＋1＝4×4－3×2－54＋1＝1. 题型三、化简三角函数式【例3】 化简tan α1sin 2α－1，其中α是第二象限角． [解] 因为α是第二象限角，所以sin α>0，cos α<0.故tan α1sin 2α－1＝tan α1－sin 2αsin 2α ＝tan αcos 2αsin 2α＝sin αcos α·⎪⎪⎪⎪cos αsin α ＝sin αcos α·－cos αsin α＝－1.【类题通法】三角函数式化简技巧(1)化切为弦，即把正切函数都化为正、余弦函数，从而减少函数名称，达到化繁为简的目的．(2)对于含有根号的，常把根号里面的部分化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的．(3)对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造sin 2α＋cos 2α＝1，以降低函数次数，达到化简的目的．【对点训练】化简：(1)sin θ－cos θtan θ－1； (2) sin 2θ－sin 4θ，θ是第二象限角．解：(1)sin θ－cos θtan θ－1＝sin θ－cos θsin θcos θ－1＝sin θ－cos θsin θ－cos θcos θ＝cos θ. (2)由于θ为第二象限角，所以sin θ>0，cos θ<0， 故sin 2θ－sin 4θ＝sin 2θ?1－sin 2θ?＝sin 2θcos 2θ＝|sin θcos θ|＝－sin θcos θ.题型四、证明简单的三角恒等式【例4】 求证：tan αsin αtan α－sin α＝tan α＋sin αtan αsin α. [证明] 法一：∵右边＝tan 2α－sin 2α?tan α－sin α?tan αsin α＝tan 2α－tan 2αcos 2α?tan α－sin α?tan αsin α＝tan 2α?1－cos 2α??tan α－sin α?tan αsin α＝tan 2αsin 2α?tan α－sin α?tan αsin α＝tan αsin αtan α－sin α＝左边， ∴原等式成立．法二：∵左边＝tan αsin αtan α－tan αcos α＝sin α1－cos α，右边＝tan α＋tan αcos αtan αsin α＝1＋cos αsin α＝1－cos 2αsin α?1－cos α?＝sin 2αsin α?1－cos α?＝sin α1－cos α， ∴左边＝右边，原等式成立．【类题通法】简单的三角恒等式的证明思路(1)从一边开始，证明它等于另一边；(2)证明左、右两边等于同一个式子；(3)逐步寻找等式成立的条件，达到由繁到简．【对点训练】证明：1＋2sin θcos θcos 2θ－sin 2θ＝1＋tan θ1－tan θ证明：∵左边＝sin 2θ＋cos 2θ＋2sin θcos θ?cos θ＋sin θ??cos θ－sin θ?＝?sin θ＋cos θ?2?cos θ＋sin θ??cos θ－sin θ?＝cos θ＋sin θcos θ－sin θ＝cos θ＋sin θcos θcos θ－sin θcos θ＝1＋tan θ1－tan θ＝右边，∴原等式成立．【练习反馈】1．已知α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，sin α＝35，则cos α等于() A.45 B ．－45C ．－17 D.35解析：选B ∵α∈⎝⎛⎭⎫π2，π且sin α＝35，∴cos α＝－1－sin 2α＝－1－⎝⎛⎭⎫352＝－45.2．若α为第三象限角，则cos α1－sin 2α＋2sin α1－cos 2α的值为( ) A ．3B ．－3C ．1D ．－1解析：选B ∵α为第三象限角，∴原式＝cos α－cos α＋2sin α－sin α＝－3. 3．已知cos α－sin α＝－12，则sin αcos α的值为________． 解析：由已知得(cos α－sin α)2＝sin 2α＋cos 2α－2sin αcos α＝1－2sin αcos α＝14，解得sin αcos α＝38. 答案：384．若tan α＝2，则2sin α－cos αsin α＋2cos α的值为________． 解析：原式＝2sin α－cos αcos αsin α＋2cos αcos α＝2tan α－1tan α＋2＝2×2－12＋2＝34. 答案：345．化简：1－2sin 130°cos 130°sin 130°＋1－sin 2130°. 解：原式＝sin 2130°－2sin 130°cos 130°＋cos 2130°sin 130°＋cos 2130°＝|sin 130°－cos 130°|sin 130°＋|cos 130°|＝sin 130°－cos 130°sin 130°－cos 130°＝1.。
人教版高中数学必修四1.4三角函数的图象与性质1.4.2二含答案
1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质(二) 课时目标 1.掌握y ＝sin x ，y ＝cos x 的最大值与最小值，并会求简单三角函数的值域或最值.2.掌握y ＝sin x ，y ＝cos x 的单调性，并能用单调性比较大小.3.会求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)及y ＝A cos(ωx ＋φ)的单调区间．正弦函数、余弦函数的性质： 函数 y ＝sin xy ＝cos x 图象定义域______ ______ 值域______ ______ 奇偶性______ ______ 周期性最小正周期：______ 最小正周期：______ 单调性在__________________________________ 上单调递增；在__________________________________________________上单调递减 在__________________________________________上单调递增；在______________________________上单调递减 最值 在________________________时，y max ＝1；在________________________________________时，y min ＝－1在______________时，y max ＝1；在__________________________时，y min ＝－1 一、选择题1．若y ＝sin x 是减函数，y ＝cos x 是增函数，那么角x 在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 2．若α，β都是第一象限的角，且α<β，那么( )A ．sin α>sin βB ．sin β>sin αC ．sin α≥sin βD ．sin α与sin β的大小不定3．函数y ＝sin 2x ＋sin x －1的值域为( )A.[]－1，1B.⎣⎡⎦⎤－54，－1 C.⎣⎡⎦⎤－54，1 D.⎣⎡⎦⎤－1，54 4．函数y ＝|sin x |的一个单调增区间是( )A.⎝⎛⎭⎫－π4，π4B.⎝⎛⎭⎫π4，3π4 C.⎝⎛⎭⎫π，3π2 D.⎝⎛⎭⎫3π2，2π 5．下列关系式中正确的是( )A ．sin 11°<cos 10°<sin 168°B ．sin 168°<sin 11°<cos 10°C ．sin 11°<sin 168°<cos 10°D ．sin 168°<cos 10°<sin 11°6．下列函数中，周期为π，且在⎣⎡⎦⎤π4，π2上为减函数的是( )A ．y ＝sin(2x ＋π2)B ．y ＝cos(2x ＋π2) C ．y ＝sin(x ＋π2) D ．y ＝cos(x ＋π2) 题 号 1 2 3 4 5 6 答 案二、填空题7．函数y ＝sin(π＋x )，x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π的单调增区间是____________． 8．函数y ＝2sin(2x ＋π3)(－π6≤x ≤π6)的值域是________． 9．sin 1，sin 2，sin 3按从小到大排列的顺序为__________________．10．设|x |≤π4，函数f (x )＝cos 2x ＋sin x 的最小值是______． 三、解答题11．求下列函数的单调增区间．(1)y ＝1－sin x 2； (2)y ＝log 12(cos 2x )．12．已知函数f (x )＝2a sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋b 的定义域为⎣⎡⎦⎤0，π2，最大值为1，最小值为－5，求a 和b 的值．能力提升13．已知sin α>sin β，α∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，β∈⎝⎛⎭⎫π，32π，则( ) A ．α＋β>π B ．α＋β<πC ．α－β≥－32πD ．α－β≤－32π 14．已知函数f (x )＝2sin ωx (ω>0)在区间⎣⎡⎦⎤－π3，π4上的最小值是－2，则ω的最小值等于( ) A.23 B.32C ．2D ．31．求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)单调区间的方法是：把ωx ＋φ看成一个整体，由2k π－π2≤ωx ＋φ≤2k π＋π2(k ∈Z )解出x 的范围，所得区间即为增区间，由2k π＋π2≤ωx ＋φ≤2k π＋32π (k ∈Z )解出x 的范围，所得区间即为减区间．若ω<0，先利用诱导公式把ω转化为正数后，再利用上述整体思想求出相应的单调区间．2．比较三角函数值的大小，先利用诱导公式把问题转化为同一单调区间上的同名三角函数值的大小比较，再利用单调性作出判断．3．求三角函数值域或最值的常用求法将y 表示成以sin x (或cos x )为元的一次或二次等复合函数再利用换元或配方、或利用函数的单调性等来确定y 的范围．1．4.2 正弦函数、余弦函数的性质(二)答案知识梳理 R R [－1,1] [－1,1] 奇函数 偶函数 2π 2π [－π2＋2k π，π2＋2k π](k ∈Z ) [π2＋2k π，3π2＋2k π] (k ∈Z ) [－π＋2k π，2k π] (k ∈Z ) [2k π，π＋2k π] (k ∈Z ) x ＝π2＋2k π (k ∈Z ) x ＝－π2＋2k π (k ∈Z ) x ＝2k π (k ∈Z ) x ＝π＋2k π (k ∈Z ) 作业设计1．C 2.D3．C [y ＝sin 2x ＋sin x －1＝(sin x ＋12)2－54当sin x ＝－12时，y min ＝－54； 当sin x ＝1时，y max ＝1.]4．C [由y ＝|sin x |图象易得函数单调递增区间⎣⎡⎦⎤k π，k π＋π2，k ∈Z ，当k ＝1时，得⎝⎛⎭⎫π，32π为y ＝|sin x |的单调递增区间．]5．C [∵sin 168°＝sin (180°－12°)＝sin 12°，cos 10°＝sin (90°－10°)＝sin 80°由三角函数线得sin 11°<sin 12°<sin 80°，即sin 11°<sin 168°<cos 10°.]6．A [因为函数周期为π，所以排除C 、D.又因为y ＝cos(2x ＋π2)＝－sin 2x 在⎣⎡⎦⎤π4，π2上为增函数，故B 不符合．故选A.]7.⎣⎡⎦⎤π2，π8．[0,2]解析 ∵－π6≤x ≤π6，∴0≤2x ＋π3≤2π3. ∴0≤sin(2x ＋π3)≤1，∴y ∈[0,2] 9．b <c <a解析 ∵1<π2<2<3<π， sin(π－2)＝sin 2，sin(π－3)＝sin 3.y ＝sin x 在⎝⎛⎭⎫0，π2上递增，且0<π－3<1<π－2<π2， ∴sin(π－3)<sin 1<sin(π－2)，即sin 3<sin 1<sin 2.∵b <c <a . 10.1－22解析 f (x )＝cos 2x ＋sin x ＝1－sin 2x ＋sin x＝－(sin x －12)2＋54∵|x |≤π4，∴－22≤sin x ≤22. ∴当sin x ＝－22时，f (x )min ＝1－22. 11．解 (1)由2k π＋π2≤x 2≤2k π＋32π，k ∈Z ， 得4k π＋π≤x ≤4k π＋3π，k ∈Z .∴y ＝1－sin x 2的增区间为[4k π＋π，4k π＋3π] (k ∈Z )． (2)由题意得cos 2x >0且y ＝cos 2x 递减．∴x 只须满足：2k π<2x <2k π＋π2，k ∈Z . ∴k π<x <k π＋π4，k ∈Z . ∴y ＝log 12(cos 2x )的增区间为⎝⎛⎭⎫k π，k π＋π4，k ∈Z . 12．解 ∵0≤x ≤π2，∴－π3≤2x －x 3≤23π， ∴－32≤sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3≤1，易知a ≠0. 当a >0时，f (x )max ＝2a ＋b ＝1，f (x )min ＝－3a ＋b ＝－5.由⎩⎨⎧ 2a ＋b ＝1－3a ＋b ＝－5，解得⎩⎨⎧a ＝12－63b ＝－23＋123. 当a <0时，f (x )max ＝－3a ＋b ＝1，f (x )min ＝2a ＋b ＝－5. 由⎩⎨⎧ －3a ＋b ＝12a ＋b ＝－5，解得⎩⎨⎧a ＝－12＋63b ＝19－123. 13．A [∵β∈⎝⎛⎭⎫π，32π， ∴π－β∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，且sin(π－β)＝sin β. ∵y ＝sin x 在x ∈⎝⎛⎭⎫－π2，0上单调递增，∴sin α>sin β⇔sin α>sin(π－β)⇔α>π－β⇔α＋β>π.]14．B [要使函数f (x )＝2sin ωx (ω>0)在区间[－π3，π4]上的最小值是－2，则应有T 4≤π3或34T ≤π4，即2π4ω≤π3或6πω≤π，解得ω≥32或ω≥6. ∴ω的最小值为32，故选B.]附赠材料答题六注意 ：规范答题不丢分提高考分的另一个有效方法是减少或避免不规范答题等非智力因素造成的失分,具体来说考场答题要注意以下六点:第一,考前做好准备工作。
人教版高中数学必修四第一章三角函数1.2任意角的三角函数(教师版)【个性化辅导含答案】
任意角的三角函数__________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________ 1.能根据三角函数的定义导出同角三角函数的基本关系式及它们之间的联系； 2.熟练掌握已知一个角的三角函数值求其它三角函数值的方法。
3.牢固掌握同角三角函数的两个关系式，并能灵活运用于解题. （一）任意角的三角函数： 任意点到原点的距离公式：22y x r +=1.三角函数定义：在直角坐标系中，设α是一个任意角，α终边上任意一点P （除了原点）的坐标为(,)x y ，它与原点的距离为(0)r r ==>，那么（1）比值y r 叫做α的正弦，记作sin α，即sin y r α=； （2）比值x r 叫做α的余弦，记作cos α，即cos xr α=；（3）比值y x 叫做α的正切，记作tan α，即tan yxα=；（4）比值x y 叫做α的余切，记作cot α，即cot x yα=； 2.说明：（1）α的始边与x 轴的非负半轴重合，α的终边没有表明α一定是正角或负角，以及α的大小，只表明与α的终边相同的角所在的位置；（2）根据相似三角形的知识，对于确定的角α，四个比值不以点(,)P x y 在α的终边上的位置的改变而改变大小； （3）当()2k k Z παπ=+∈时，α的终边在y 轴上，终边上任意一点的横坐标x 都等于0，所以tan yxα=无意义；同理当()k k Z απ=∈时，y x =αcot 无意义；（4）除以上两种情况外，对于确定的值α，比值y r 、x r 、yx、x y 分别是一个确定的实数。
正弦、余弦、正切、余切是以角为自变量，比值为函数值的函数，以上四种函数统称为三角函数。
求任意角三角函数值的一种简单方法
求任意角三角函数值的一种简单方法作者：李中烘来源：《新课程·下旬》2017年第08期笔者在多年的高中数学教学过程中，发现学生按照人教版数学必修四中介绍的利用三角函数诱导公式求三角函数值时，容易混淆诱导公式，从而导致求值出错。
本文尝试结合三角函数的定义，给出一个求三角函数值的简单方法。
我们先回顾人教版数学必修四给出的任意角的三角函数的定义。
任意角三角函数的定义：如图1，设？琢是一个任意角，它的终边与单位圆交于点？妆（x，y），那么：（1）y叫做？琢的正弦（sine），记做sin？琢，即sin？琢=y；（2）x叫做？琢的余弦（cosine），记做cos？琢，即cos？琢=x；（3）■叫做？琢的正切（tangent），记做tan？琢，即tan？琢=■（x≠0）。
下面给出本文用到的命题并给以证明。
命题：设？茁是任意角，且？茁与x轴的夹角为？琢（0≤？琢≤■），则有：①sin？茁=±sin？琢；②cos？茁=±cos？琢；③tan？茁=±tan？琢；（此时？茁≠■+k？仔，k∈Z）。
其中，“±”取决于？茁终边所在象限角（坐标轴）所对应原函数值的符号。
证明：下面只证明公式①（即正弦的情况），公式②、公式③可类似的证明。
设任意角？茁的终边与单位圆的交点为P1（x，y），？茁与x轴的夹角？琢的终边与单位圆的交点为P2（x′，y′），根据三角函数单位圆的定义，则有：sin？茁=y；cos？茁=x；tan？茁=■（x≠0）sin？琢=y′；cos？琢=x′；tan？琢=■（x′≠0）①若？茁终边落在x轴上，则？茁与x轴的夹角？琢=0，此时y=y′=0，则有：sin？茁=sin？琢；②若？茁终边落在y轴上：若？茁终边落在y轴正半轴上，此时？茁与x轴的夹角？琢=■，？茁终边与？琢终边重合，P1（x，y）与P2（x′，y′）重合，故有y=-y′，即sin？茁=sin？琢；若？茁终边落在y轴负半轴上，此时？茁与x轴的夹角？琢=■，？茁终边与？琢终边关于原点对称，P1（x，y）与P2（x′，y′）关于原点对称，故有y=-y′，即sin？茁=-sin？琢；③若？茁终边落在第一象限上，此时？茁终边与？琢终边重合，P1（x，y）与P2（x′，y′）重合，故有y=y′，即sin？茁=-sin？琢；④若？茁终边落在第二象限上，此时？茁终边与？琢终边关于y轴对称，P1（x，y）与P2（x′，y′）关于y轴对称，故有y=y′，即sin？茁=sin？琢；⑤若？茁终边落在第三象限上，此时？茁终边与？琢终边关于原点对称，P1（x，y）与P2（x′，y′）关于原点对称，故有y=-y′，即sin？茁=-sin？琢；⑥若？茁终边落在第四象限上，此时？茁终边与？琢终边关于x轴对称，P1（x，y）与P2（x′，y′）关于x轴对称，故有y=-y′，即sin？茁=-sin？琢；综上所述，若？茁是任意角，且？茁与x轴的夹角为？琢，则有sin？茁=±sin？琢，其中，“±”取决于？茁终边所在象限角（坐标轴）所对应原函数值的符号。
必修四第一章 三角函数解题技巧
必修四第一章 三角函数解题技巧1 例说弧度制中的扇形问题与扇形有关的问题是弧度制中的难点，我们可以应用弧长公式l ＝|α|r 和扇形面积公式S ＝12|α|r 2解决一些实际问题，这类问题既充分体现了弧度制在运算上的优越性，又能帮助我们加深对弧度制概念的理解．下面通过几例帮助同学们分析、归纳弧度制下的扇形问题． 例1 已知扇形的圆心为60°，所在圆的半径为10，求扇形的弧长及扇形中该弧所在的弓形面积．例2 扇形的半径为R ，其圆心角α(0＜α≤π)为多大时，扇形内切圆面积最大，其最大值是多少？例3 已知扇形的周长为30 cm ，当它的半径和圆心角各取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？针对练习：1．扇形的周长C 一定时，它的圆心角θ取何值才能使扇形面积S 最大？最大值是多少？2．在扇形AOB 中，∠AOB ＝90°，弧AB 的长为l ，求此扇形内切圆的面积．3．已知扇形AOB 的周长是6 cm ，该扇形的中心角是1弧度，求该扇形的面积．2 任意角三角函数问题错解辨析任意角三角函数是三角函数的基础，在学习这部分内容时，有的同学经常因为概念不清、考虑不周、观察代替推理等原因而错解题目，下面就解题中容易出现的错误进行分类讲解，供同学们参考．一、概念不清例1 已知角α的终边在直线y ＝2x 上，求sin α＋cos α的值．二、观察代替推理例2 当α∈(0，π2)时，求证：sin α＜tan α.三、估算能力差例3 若θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则sin θ＋cos θ的一个可能的值是( ) A.23B.27πC.4－22 D ．13 同角三角函数关系巧应用同角三角函数的用途主要体现在三角函数的求值和恒等变形中各函数间的相互转化，下面结合常见的应用类型举例分析，体会其转化作用，展现同角三角函数关系巧应用．一、知一求二型例1 已知sin α＝255，π2≤α≤π，则tan α＝_________________________________.二、妙用“1”例2 证明：1－sin 6x －cos 6x 1－sin 4x －cos 4x ＝32.三、齐次式型求值例3 已知tan α＝2，求值：(1)2sin α－3cos α4sin α－9cos α＝________； (2)2sin 2α－3cos 2α＝________.4 单调不“单调”，应用很“奇妙”三角函数的单调性是三角函数的重要性质之一，也是高考常考的内容．利用其可以方便地进行比较值的大小、求单调区间、求解最值和解不等式等．下面举例归纳该性质在解题中的具体应用，希望能对同学们的学习有所帮助．一、信心体验——比较大小例1 比较cos5π14，sin 2π7，－cos 8π7的大小．二、重拳出击——求解最值例2 已知f (x )＝2sin(2x －π4)，x ∈R .求函数f (x )在区间[π8，3π4]上的最小值和最大值．三、触类旁通——解不等式例3 若0≤α<2π，sin α>33cos α，求α的取值范围．5 善用数学思想——巧解题一、数形结合思想例1 在(0,2π)内，使sin x >cos x 成立的x 的取值范围是________．二、分类讨论思想例2 已知角α的终边在直线3x ＋4y ＝0上，求sin α，cos α，tan α的值．三、函数与方程的思想例3 函数f (x )＝3cos x －sin 2x (π6≤x ≤π3)的最大值是________．四、转化与化归思想例4 比较下列每组数的大小．(1)tan 1，tan 2，tan 3；(2)tan(－13 π4)与tan(－17 π5)．6 三角函数的性质总盘点三角函数的性质是高考考查的重点和热点内容之一，应用“巧而活”．要能够灵活地运用性质，必须在脑海中能及时地浮现出三角函数的图象．下面通过典型例题对三角函数的性质进行盘点，请同学们用心体会．一、定义域例1 函数y ＝ cos x －12的定义域为________．二、值域与最值例2 函数y ＝cos(x ＋π3)，x ∈(0，π3]的值域是________．三、单调性例3 已知函数f (x )＝sin(π3－2x )，求：(1)函数f (x )的单调递减区间；(2)函数f (x )在[－π，0]上的单调递减区间．四、周期性与对称性例4 已知函数f (x )＝sin(2ωx －π3)(ω>0)的最小正周期为π，则函数f (x )的图象的一条对称轴方程是( )A ．x ＝π12B ．x ＝π6C ．x ＝5π12D ．x ＝π3五、奇偶性例5 若函数f (x )＝sin x ＋φ3(φ∈[0,2π))是偶函数，则φ等于( ) A.π2 B.2π3 C.3π2 D.5π37 数形结合百般好，形象直观烦琐少——构建正弦、余弦函数图象解题正弦、余弦函数的图象是本章的重点，也是高考的一个热点，它不仅能直观反映三角函数的性质，而且它还有着广泛的应用，若能根据问题的题设特点灵活构造图象，往往能直观、准确、快速解题．一、确定函数的值域例1 定义运算a ※b 为a ※b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≤b ，b ，a >b ，例如，1※2＝1，则函数f (x )＝sin x ※cos x 的值域为( )A ．[－1,1]B.⎣⎡⎦⎤－22，1C.⎣⎡⎦⎤－1，22D.⎣⎡⎦⎤－1，－22二、确定零点个数例2 函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x －sin x 在区间[0,2π]上的零点个数为________．三、确定参数的值例3 已知f (x )＝sin(ωx ＋π3)(ω>0)，f ⎝⎛⎭⎫π6＝f ⎝⎛⎭⎫π3，且f (x )在区间⎝⎛⎭⎫π6，π3上有最小值，无最大值，则ω＝_________________________________________________.四、判断函数单调性例4 设函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3(x ∈R )，则f (x )( ) A ．在区间⎣⎡⎦⎤2π3，4π3上是增函数 B ．在区间⎣⎡⎦⎤3π4，13π12上是增函数 C ．在区间⎣⎡⎦⎤－π8，π4上是减函数 D ．在区间⎣⎡⎦⎤π3，5π6上是减函数五、确定参数范围例5 当0≤x ≤1时，不等式sinπx 2≥kx 恒成立，则实数k 的取值范围是________．六、研究方程的实根例6 已知方程2sin(2x ＋π3)－1＝a ，x ∈[－π6，13π12]有两解，求a 的取值范围．8 三角函数学习中的“小技巧、大突破”从近几年高考数学试卷统计情况看，三角函数是高考的六大板块之一，每年考一道大题和一道小题，而一道大题里面往往又隐含了若干个小问题．所以，高中生应该注意三角函数知识里面的容易被忽略的一些小问题、小技巧．一、“已知三角函数值求角”问题在学习过程中学生们通常存在这么几个困惑：1、给出一个三角函数值可能对应着多个或无数个角，不知道该先求哪个角？2、不能准确的写出已知要求的那个范围的角．下面以四个例题说明：例1 已知sin x ＝22且x ∈[－π2，π2]，求x 的取值集合． 例2 已知sin x ＝－22且x ∈[－π2，π2]，求x 的取值集合． 例3 已知sin x ＝－22且x ∈[0,2π]，求x 的取值集合． 例4 已知sin x ＝－22，求x 的取值集合．二、“利用三角函数的单调性比较大小”问题在教学中通常要求学生把三角函数化成同名且自变量落在一个单调区间内即可，但是学生在实际操作过程中容易混淆单调区间，不如我们把此问题中的自变量利用诱导公式负角化为正角，正角统一都化为锐角，这样就更简洁、明朗了，因为正弦、余弦、正切函数都在区间(0，π2)内的单调性依次为：单调递增、单调递减、单调递增。
高中数学必修4三角函数常考题型：三角函数的诱导公式(一)
三角函数的诱导公式(一)【学问梳理】1．诱导公式二(1)角π＋α与角α的终边关于原点对称． 如图所示． (2)公式：sin(π＋α)＝－sin_α.cos(π＋α)＝－cos_α.tan(π＋α)＝tan_α.2．诱导公式三(1)角－α与角α的终边关于x 轴对称．如图所示．(2)公式：sin(－α)＝－sin_α.cos(－α)＝cos_α.tan(－α)＝－tan_α.3．诱导公式四(1)角π－α与角α的终边关于y 轴对称．如图所示．(2)公式：sin(π－α)＝sin_α.cos(π－α)＝－cos_α.tan(π－α)＝－tan_α.【常考题型】题型一、给角求值问题【例1】 求下列三角函数值：(1)sin(－1 200°)；(2)tan 945°；(3)cos 119π6. [解] (1)sin(－1 200°)＝－sin 1 200°＝－sin(3×360°＋120°)＝－sin 120°＝－sin(180°－60°)＝－sin 60°＝－32； (2)tan 945°＝tan(2×360°＋225°)＝tan 225°＝tan(180°＋45°)＝tan 45°＝1；(3)cos 119π6＝cos ⎝⎛⎭⎫20π－π6＝cos ⎝⎛⎭⎫－π6＝cos π6＝32.【类题通法】利用诱导公式解决给角求值问题的步骤【对点训练】求sin 585°cos 1 290°＋cos(－30°)sin 210°＋tan 135°的值．解：sin 585°cos 1 290°＋cos(－30°)sin 210°＋tan 135°＝sin(360°＋225°)cos(3×360°＋210)＋cos 30°sin 210°＋tan(180°－45°)＝sin 225°cos 210°＋cos 30°sin 210°－tan 45°＝sin(180°＋45°)cos(180°＋30°)＋cos 30°·sin(180°＋30°)－tan 45°＝sin 45°cos 30°－cos 30°sin 30°－tan 45°＝22×32－32×12－1＝6－3－44. 题型二、化简求值问题【例2】 (1)化简：cos (－α)tan (7π＋α)sin (π－α)＝________； (2)化简sin (1 440°＋α)·cos (α－1 080°)cos (－180°－α)·sin (－α－180°). (1)[解析]cos (－α)tan (7π＋α)sin (π－α)＝cos αtan (π＋α)sin α＝cos α·tan αsin α＝sin αsin α＝1. [答案] 1(2)[解] 原式＝sin (4×360°＋α)·cos (3×360°－α)cos (180°＋α)·[－sin (180°＋α)]＝sin α·cos (－α)(－cos α)·sin α＝cos α－cos α＝－1. 【类题通法】利用诱导公式一～四化简应留意的问题(1)利用诱导公式主要是进行角的转化，从而达到统一角的目的；(2)化简时函数名没有变更，但肯定要留意函数的符号有没有变更；(3)同时有切(正切)与弦(正弦、余弦)的式子化简，一般采纳切化弦，有时也将弦化切．【对点训练】化简：tan (2π－θ)sin (2π－θ)cos (6π－θ)(－cos θ)sin (5π＋θ). 解：原式＝tan (－θ)sin (－θ)cos (－θ)(－cos θ)sin (π＋θ)＝tan θsin θcos θcos θsin θ＝tan θ. 题型三、给角（或式）求值问题【例3】 (1)已知sin β＝13，cos(α＋β)＝－1，则sin(α＋2β)的值为( ) A ．1 B ．－1C.13 D ．－13 (2)已知cos(α－55°)＝－13，且α为第四象限角，求sin(α＋125°)的值． (1)[解析] ∵cos(α＋β)＝－1，∴α＋β＝π＋2k π，k ∈Z ，∴sin(α＋2β)＝sin[(α＋β)＋β]＝sin(π＋β)＝－sin β＝－13. [答案] D(2)[解] ∵cos(α－55°)＝－13<0，且α是第四象限角． ∴α－55°是第三象限角．sin(α－55°)＝－1－cos 2(α－55°)＝－223. ∵α＋125°＝180°＋(α－55°)，∴sin(α＋125°)＝sin[180°＋(α－55°)]＝－sin(α－55°)＝223. 【类题通法】解决条件求值问题的策略(1)解决条件求值问题，首先要细致视察条件与所求式之间的角、函数名称及有关运算之间的差异及联系．(2)可以将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形向已知式转化．【对点训练】已知sin(π＋α)＝－13，求cos(5π＋α)的值． 解：由诱导公式得，sin(π＋α)＝－sin α，所以sin α＝13，所以α是第一象限或其次象限角． 当α是第一象限角时，cos α＝ 1－sin 2α＝223， 此时，cos(5π＋α)＝cos(π＋α)＝－cos α＝－223. 当α是其次象限角时，cos α＝－1－sin 2α＝－223， 此时，cos(5π＋α)＝cos(π＋α)＝－cos α＝223. 【练习反馈】1.如图所示，角θ的终边与单位圆交于点P ⎝⎛⎭⎫－55，255，则cos(π－θ)的值为( )A ．－255B ．－55C.55D.255解析：选C ∵r ＝1，∴cos θ＝－55， ∴cos(π－θ)＝－cos θ＝55. 2．已知sin(π＋α)＝45，且α是第四象限角，则cos(α－2π)的值是( ) A ．－35B.35 C ．±35 D.45解析：选B sin α＝－45，又α是第四象限角， ∴cos(α－2π)＝cos α＝1－sin 2α＝35. 3．设tan(5π＋α)＝m ，则sin (α－3π)＋cos (π－α)sin (－α)－cos (π＋α)＝________. 解析：∵tan(5π＋α)＝tan α＝m ，∴原式＝－sin α－cos α－sin α＋cos α＝－tan α－1－tan α＋1＝－m －1－m ＋1＝m ＋1m －1. 答案：m ＋1m －14.cos (－585°)sin 495°＋sin (－570°)的值是________． 解析：原式＝cos (360°＋225°)sin (360°＋135°)－sin (210°＋360°)＝cos 225°sin 135°－sin 210°＝cos (180°＋45°)sin (180°－45°)－sin (180°＋30°)＝－cos 45°sin 45°＋sin 30°＝－2222＋12＝2－2. 答案：2－25．已知cos ⎝⎛⎭⎫π6－α＝33，求cos ⎝⎛⎭⎫α＋5π6的值． 解：cos ⎝⎛⎭⎫π＋5π6＝－cos ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫α＋5π6＝ －cos ⎝⎛⎭⎫π6－α＝－33.。
高中数学必修4(人教A版)第一章三角函数1.6知识点总结含同步练习及答案
21 24 7.9 11.1
经长期观察，函数 y = f (t) 的图象可以近似地看成函数 y = k + A sin (ωt + φ) 的图象．下面的函数 中，最能近似表示表中数据间对应关系的函数是 ( A．y = 11 + 3 sin (
)
π π t + ) , t ∈ [0, 24] 12 2 π B．y = 11 + 3 sin ( t + π) , t ∈ [0, 24] 6 π C．y = 11 + 3 sin t , t ∈ [0, 24] 12 π D．y = 11 + 3 sin t , t ∈ [0, 24] 6
π π t + ) ， t ∈ [0, 24] 12 2 π B． y = 11 + 3 sin ( t + π) ， t ∈ [0, 24] 6 π C． y = 11 + 3 sin t ， t ∈ [0, 24] 6 π D． y = 11 + 3 sin t ， t ∈ [0, 24] 12
3. 某城市一年中 12 个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数 y = a + A cos
π (x − 6) ( 6
x = 1, 2, 3, ⋯ , 12 ) 来表示，已知 6 月份的月平均气温最高，为 28∘ C ， 12 月份的月平均气温最
低，为 18∘ C ，则 10 月份的平均气温值为
B．[1, 7]
D．[0, 1] 和 [7, 12]
2π π π 弧度，从而经过 t 秒转了 = t 弧度． 12 6 6 1 √3 π 而 t = 0 时， 点 A ( , ．经过 t 秒后点 A 的纵坐标为 ) ，则 ∠xOA = 2 2 3
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B
3，求
ห้องสมุดไป่ตู้
tan B
解：（Ⅰ）∵m n 1 ∴ 1, 3 cos A,sin A 1
即 3 sin A cos A 1
2 sin A
3 2
cos
A
1 2
1
,
sin
A
6
1 2
∵ 0 A
6
A6
5
6
∴ A 66
∴ A
3
例5（2006年四川） 已知 A, B,C是三角形 ABC 三内角，
求 2 的值。 2
7
又 tan tan[( ) ] tan( ) tan 1 1 1 tan( ) tan 3
tan 1 0
7
(0, ) ( , )
4
2
2 ( ,0)
2 3
4
例5：已知tan( ) 1 , tan 1且, (0, )
同除以 cos2 得
tan2 1 2 tan 1
(1)2 1 3 21 1
2 3
3
2、诱导公式：
可概括为：奇变偶不变，符号看象限。
3、两角和与差的三角函数：
sin( ) sin cos cos sin
cos( ) cos cos sin sin
tan(
)
tan tan 1 tan tan
23
D．
27
作业：(06年北京) 已知函数
1 2 sin(2x )
f (x)
4
cos x
（Ⅰ） 求f (x) 的定义域；
（Ⅱ） 设 是第四象限的角，且 tan 4 ,求 f () 的值 。
3
祝同学们学业有成 一帆风顺
1、同角三角函数的基本关系：
2、诱导公式： 3、两角和（差）的三角函数公式： 4、二倍角公式：
4 3 1 4
( 1) 7
( 1)
1
37
m 1, 3 , n cos A,sin A ，且 m n 1
（Ⅰ）求角 A
（Ⅱ）若
1 sin 2B cos2 B sin2
B
3，求
tan B
（Ⅱ）将
1 2sin B cos B cos2 B sin2 B
3
化为
c
o
s2B
sin2B 2sin cos2B sin2B
B
c
o
s
B
tan 20 tan 40 3(1 tan 20 tan 40)
则 tan 20 tan 40 3 tan 20 tan 40 3
4、二倍角公式： sin 2 2sin cos
cos 2 cos2 sin 2 2 cos2 1 1 2sin 2
tan
2
2 1
tan tan 2
（Ⅱ）由题知
1 2sin B cos B cos2 B sin2 B
3
整理得 sin2 B sin B cos B 2cos2 B 0
cosB0, tan2 B tan B 2 0
∴ tan B 2 或 tan B 1
而 tan B 1 不符合题意舍去
tan B 2
例5：已知 tan( ) 1 , tan 1 且 , (0, )
3
即：
(cosB sinB)2
3
(cosB sinB)(cosB sinB)
整理得： sinB 2cosB (cosBsinB 0)
tan B 2
设 (0, )， ( , )且 cos 1 ，
2
2
3
sin( ) 7 ,则 sin 等于（ ）
9
1
A．
27
5
B．
27
C． 1 3
例2：求值：scions77
cos15 sin15
s s
in in
8 8
解：原式
sin(15 8 ) cos15 cos(15 8 ) sin15
sin 8 sin 8
sin15 cos8 cos15 sin 8 cos15 sin 8 cos15 cos8 sin15 sin 8 sin15 sin 8
1、同角三角函数的基本关系：
sin 2 cos2 1
tan sin cos
tan cot 1
例1：（04 湖南)
若
tan( ) 2 ，则
4
1
2sin cos cos2
2 3
分析: 从已知
tan(
)
2
4
可求出 tan 1
3
sin 2 cos2 原式可化为 2sin cos cos2
例4：（2005江苏）
sin( ) 1 ,则cos(2 2 ) (A)
6
3
3
A. 7 9
B. 1 3
1
C.
3
7
D.
9
例5（2006年四川） 已知 A, B,C是三角形 ABC 三内角，
m 1, 3 , n cos A,sin A ，且 m n 1
（Ⅰ）求角 A
（Ⅱ）若
1 sin 2B cos2 B sin2
求 2 的值。 2
7
解：2 2( )
tan( 2 ) tan[ 2( ) ] tan 2( ) tan 1 tan 2( ) tan
又
tan
2(
)
2 1
tan( ) tan 2 (
)
4 3
tan( 2
)
tan 2( ) tan 1 tan 2( ) tan
s in 15 cos15
cos 8 cos 8
tan15
tan(45
30
)
tan 45 tan 30 1 tan 45 tan 30
2
3
例3．
求值： tan 20 tan 40 3 tan 20 tan 40
解：tan60 tan(2040)
1tanta2n020ttaann4400 3