第3章光的衍射B_new

3.6衍射光栅衍射光栅:能对入射光波的振幅或相位，或者两者同时产生空间周期性调制的光学元件。

*一种应用非常广泛、非常重要的光学元件，主要用作分光(从远红外到真空紫外)元件，还可用于长度和角度的精密测量、以及调制元件；*工作基础：夫朗禾费多缝衍射效应。

光栅的分类：按工作方式分类：–透射光栅–反射光栅按对入射光的调制作用分类：–振幅光栅–相位光栅3.6.1 光栅的分光性能1. 光栅方程多缝衍射中干涉主极大条件sin d m θλ=d ϕθ为缝间距，称为, 为入射角,光常数 栅为衍射角衍射光与入射光同侧取正,异侧取负号↑斜入射衍射极大条件 (s 0,1,2,in sin )d m m ϕθλ±=±±="----光栅方程2. 性能参数(1) 色散本领3.6.1 光栅的分光性能将不同波长的同级主极大光分开的程度，通常用角色散和线色散表示。

A.角色散d θ/d λ。

•波长相差10-10 m 的两条谱线分开的角距离称为角色散。

•由光栅方程对波长取微分求得θλθcos d m d d =此值愈大，角色散愈大，表示不同波长的光被分得愈开。

* 光栅的角色散与光谱级次m 成正比，级次愈高，角色散就愈大；与光栅刻痕密度1/d 成正比，刻痕密度愈大(光栅常数d 愈小)，角色散愈大。

　B.线色散dl/d λ在聚焦物镜的焦平面上，单位波长差的两条谱线分开的距离称为线色散。

cos dl d m f f d d d θλλθ==长焦物镜可以使不同波长的光被分得更开。

* 光栅的刻痕密度1/d 很大(光栅常数d 很小)，故光栅的色散本领很大。

* 若在θ不大的位置记录光栅光谱，cos θ几乎不随θ变化，则色散是均匀的，这种光谱称为匀排光谱，对于光谱仪的波长标定来说，十分方便。

　3.6.1 光栅的分光性能(2) 色分辨本领* 由于衍射，每一条谱线都具有一定宽度。

当两谱线靠得较近时，尽管主极大分开了，它们还可能因彼此部分重叠而分辨不出是两条谱线。

* 色分辨本领：表征能分辨开两条波长相差很小的谱线的能力。

　* 根据瑞利判据，当λ+Δλ的第m级主极大刚好落在λ的第m级主极大旁的第一极小值处时，这两条谱线恰好可以分辨开。

* 如果光栅所能分辨的最小波长差为Δλ，则分辨本领定义为λλΔ=A mN mN A ==λλ通常m = 1 ~ 3,但刻痕数N很大，故A值较大，分辨本领好。

3.6.1 光栅的分光性能(3)自由光谱范围自由光谱范围:相邻级次的光谱不发生重叠的波长范围。

根据光栅方程，光谱不重叠区Δλ应满足λλλ)1()(+=+m m Δmλλ=Δ含义：波长为λ＋Δλ的入射光的第m级衍射，只要它的谱线宽度小于Δλ=λ/m，就不会发生与λ的(m-1)或(m+1)级衍射光重叠。

•由于光栅都是在低级次下使用，故其自由光谱范围很大。

•法布里-珀罗标准具在使用时的干涉级次均较高(一般为105量级)，只能在很窄的光谱区内使用。

3.6.2闪耀光栅结果：用于分光的较高级次谱线只分配到很少能量原因：单缝衍射的零级主极大方向= 缝间干涉的零级主极大方向闪耀光栅：通过刻槽的形状实现使二主极大方向分开——将大部分能量(衍射零级)集中到所需的(缝间干涉)光谱级次上θB :闪耀角普通光栅大部分能量集中于零级—无色散3.6.2 闪耀光栅反射式闪耀光栅的工作原理∗ 闪耀角θB : 使单个刻槽面衍射的中央主极大与槽面间干涉零级主极大分开。

∗ θB 很小，，导致衍射级内只有约一级干涉主极大，其它各级干涉主极大均为缺级d a ≈(1)当垂直于光栅平面入射时，考虑θ方向的衍射光，相邻两槽面衍射光的光程差为：ΔL = d sin θ槽面间干涉主极大位置由光栅方程决定：d sin θ= k λθ = 0 对应于干涉零级主极大，各级干涉主极大位置与θB 无关反射式闪耀光栅的工作原理* 单槽面衍射光的中央主极大位置：θ =2θB闪耀波长决定于：k BB k d λθ=)2sin(* 分光仪器普遍使用此种闪耀光栅其中称为k 级闪耀波长k B λ3.6.2 闪耀光栅(2)当垂直于光栅刻槽面入射时，考虑θ方向的衍射光，相邻两槽面衍射光的光程差为：ΔL = d (sin θΒ+ sin θ)* 单槽面衍射光的中央主极大位置：入射光的反方向闪耀波长决定于：θ = θΒk BB k d L λθ==Δsin 2其中称为k 级闪耀波长k B λd θBθB 槽间干涉0级主极大方向-θB 单槽衍射中央主极大方向θ = -θΒ对应于干涉零级主极大3.6.3波导光栅波导光栅是通过波导上的折射率周期分布构成的光栅。

按其结构的不同，可分为两大类：1.平面波导光栅•集成光学功能性元件，利用其衍射特性，可以制作多种集成光学器件：光输入、耦合器，滤波器2.圆形波导(光纤)光栅•1978年制作成功，一种发展迅速的光纤器件，主要有光纤波分复用器、光纤放大器、光纤色散补偿器、光纤传感器……3.7 菲涅耳衍射∗处理方法：比较简单,物理概念很清晰的近似方法菲涅耳半波带法矢量图解法∗直接利用菲涅耳-基尔霍夫衍射积分计算菲涅耳衍射场非常复杂1. 圆孔和圆屏的菲涅耳衍射2. 菲涅耳波带片3. 菲涅耳直边衍射3.7.1. 圆孔和圆屏的菲涅耳衍射1. 圆孔的菲涅耳衍射取波面顶点O 到观察场点P 0的距离为b ，以场点P 0为球心，分别以b +λ/2、b +λ、b +3λ/2、···为半径作球面，将透过小孔的波面（或波前）截成若干圆环带——菲涅耳半波带，使得相邻两个波带的边缘点到P 0点的光程差等于半个波长。

圆孔的菲涅耳衍射与波带分割原则P 0b +λb +λ/2SOb +3λ/2C ρM 1b +2λM 4M 3M 2Rb参数的数量级3.7.1. 圆孔和圆屏的菲涅耳衍射由于相邻半波带到P 0的光程相差λ/2，它们贡献的复振幅相位相差π，各半波带发出的次波在P 0点产生的复振幅：111~ϕi e A E =)(221~πϕ+=i e A E )2(331~πϕ+=i eA E ......在P 0点的合成振幅为：nn nk k A A A A E E P A 132110)1(...~~)(+=−+−+−===∑3.7.1. 圆孔和圆屏的菲涅耳衍射由惠更斯－菲涅耳原理可得：kkk k r f A ΔΣ∝)(θ其中：是第k 个半波带的面积，是它到场点的距离，是倾斜因子。

k ΔΣk r )(k f θbR R r k k +=ΔΣλπ由图中的几何关系(并考虑)可得近似关系式：k r <<λ半波带面积计算PSOM kO kRbb +k λ/2ρkh k α与k 无关，即对每个半波带都是一样的。

3.7.1. 圆孔和圆屏的菲涅耳衍射∗结合以上各式可得近似关系式：nA A A A >>>...321∗倾斜因子随着k 的增加而缓慢地逐渐减小。

当时，。

)(k f θπθ→k 0)(→k f θ)(2111+−+≈k k k A A A ∗ 在P 0点的合成振幅为：...)2121()2121(21)1()(5433211110++−++−+=−=∑=+A A A A A A A A P A nk k k =)(0P A 为奇数n A A n,21+为偶数－n A A n,213.7.1. 圆孔和圆屏的菲涅耳衍射由图中的几何关系（并考虑到h n << b, R ）可得：n nbR R bλρ=+半波带数目的计算P 0SOM nO nRbr nρnh n 对于半径为ρ的圆孔，被限制的波面可分割的波带数目：)11()(22bR bR b R n +=+=λρλρ3.7.1. 圆孔和圆屏的菲涅耳衍射上面的计算过程也可以用图中的上下交替的振幅矢量相加来表示。

相加的结果与上面的计算结果相同半波带法中的振幅矢量图(a) n 为奇数A nA 4A 3A 2A 1A (P )(b) n 为偶数A n A 4A 3A 2A 1A (P )结论：被圆孔限制的波面相对于场点P 0所能分割的波带数n 的奇偶性决定了P 0点的光强度的极大或极小，n 的大小又取决于照射光的波长λ、波面的曲率半径R 、圆孔的半径ρ及衍射光屏到P 0点的距离b 。

=)(0P A 为奇数n A A n,21+为偶数－n A A n,213.7.1. 圆孔和圆屏的菲涅耳衍射1.当波面相对于P 0点刚好分为奇数个波带时，P 0点的合振动振幅约等于第一个波带与第n 个波带引起的振动之和的一半，即强度取极大值：讨论：()421max n A A I I +==2.当波面相对于P 0 点刚好分为偶数个波带时，P 0 点的合振动振幅约等于第一个波带与第n 个波带引起的振动之差的一半，即强度取极小值：()421min nA A I I −==3.当波面相对于P 0点不一定刚好分为整数个波带时，P 0 点的合振动的强度则介于极大值与极小值之间：I min < I <I max 。

4.P 0点的衍射光强随b 和R 变化。

3.7.1. 圆孔和圆屏的菲涅耳衍射5.当P'点不在轴上时，仍可以借助于上述方法分割波带，这些波带在P'点引起振动的振幅大小不仅取决于波带的数目，还取决于每个波带露出部分的面积，从而使精确估计P'点的合振动振幅变得很困难。

当P’点逐渐离开中心点时，衍射光仍会交替出现亮暗变化。

由于整个衍射装置具有轴对称性，所以，观察屏上距离中心P点相等的点具有相同的衍射光强。

离轴点的半波带分割方法P'M 3M 1SO M 2CM 1PM 3M 2R M 0M 4M 4离轴点半波带的分布--圆孔的菲涅耳衍射图样是一组明暗交替的同心圆环条纹，中心可能是亮点也可能是暗点。

3.7.1. 圆孔和圆屏的菲涅耳衍射圆孔的菲涅耳衍射图样（不同观察平面上）3.7.1. 圆孔和圆屏的菲涅耳衍射分割较粗糙，近似性较大，且仅适用于对称中心点的光振动大小的判断；当圆孔包含的半波带数不是整数时，用半波带法来讨论衍射场就有困难了。

矢量图解法菲涅耳波半带法的缺点：∑==m l klk 1ΔA A 振幅矢量叠加法的基本思路：将由菲涅耳半波带法分割的每个半波带再进行分割，使其分割为m 个更窄的环带，相邻小环带到场点P 0的光程差为,在P 0点贡献的振动相位差。

即m 2λm π3.7.1. 圆孔和圆屏的菲涅耳衍射振幅矢量叠加法的特点：1.相邻两细波带在P 0点引起的光振动的相位差恒定（设为δ＝），但远小于π。

m π以第一个半波带为例进一步分割：以P 0点为中心，半径分别为的球面，将其分割为个更窄的环带。

...,23 , ,2m b m b m b λλλ+++半波带的进一步分割3.7.1. 圆孔和圆屏的菲涅耳衍射振幅矢量叠加法的特点：2.若将每个细波带在P 0点引起的光振动视为一个矢量，则合振动即合矢量可表示为：[A 1+(-1)n +1A n +1]/2A 1A 1-A 2A 2A 1细波带的叠加∑∑===m l kln k P 110Δ)(AA 思考题：如何计算圆孔包含1/2个半波带时的衍射强度？3.7.1. 圆孔和圆屏的菲涅耳衍射将圆孔衍射屏换成一个半径相同的不透明圆屏，则对于场点P 0 而言，前k 个波带被圆盘遮挡掉，从第k+1波带起，整个波面均透过衍射屏而在P 0 点参与叠加，P 0点的总振动振幅为：如果把圆屏和图样大小的圆孔作为互补屏考虑，可以得到同样的结论。