第二章分类行波法线性叠加
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第2章 光波的叠加与分析
r1 S1 y p
S2
r2
P点的合振动是一个简谐振动，
振动频率和振动方向都与两单色光波相同。 如果两单色光波的振幅相等，即a1＝a2＝a，则P点的合振幅:
A a a 2aa cos 1 2 2a 2a cos 4a cos
2 2 2 2 2 2
2
2
或以光强度表示为
面对光的传播方向看
2、δ=±π的奇数倍，线偏振光
a2 E y Ex a1
合成电矢量的运动沿着一条经过坐标原点而斜率为-a2/a1 的直线进行。
2 Ex E y E x2 E y 2 2 cos sin 2 2 a1 a 2 a1 a2
Ey
y
2a1 a 2 tan 2 2 cos 2 a1 a 2
P点合矢量沿椭圆旋转的角频率也为 光矢量周期性旋转，其末端的运动轨 迹为一椭圆的光——椭圆偏振光
2a2
E
x
Ex
tg 2 cos
2a1
y
P点合矢量沿椭圆旋转的角频率也为。
2a2 x
右旋圆 偏振光 y 传播方向 E 0
2
0 2
5 10
7
1 10
6
1.5 10
ห้องสมุดไป่ตู้
6
2 10
6
2.2 4 110
7
z
210
6
两光波合波：
E p E10 exp( j (kz t 10 ) E20 exp( j (kz t 20 ) [ E10 exp( j 10 ) E20 exp( j 20 )]exp( j (kz t ) E0 exp( j (kz t )
S2
r2
P点的合振动是一个简谐振动，
振动频率和振动方向都与两单色光波相同。 如果两单色光波的振幅相等，即a1＝a2＝a，则P点的合振幅:
A a a 2aa cos 1 2 2a 2a cos 4a cos
2 2 2 2 2 2
2
2
或以光强度表示为
面对光的传播方向看
2、δ=±π的奇数倍，线偏振光
a2 E y Ex a1
合成电矢量的运动沿着一条经过坐标原点而斜率为-a2/a1 的直线进行。
2 Ex E y E x2 E y 2 2 cos sin 2 2 a1 a 2 a1 a2
Ey
y
2a1 a 2 tan 2 2 cos 2 a1 a 2
P点合矢量沿椭圆旋转的角频率也为 光矢量周期性旋转，其末端的运动轨 迹为一椭圆的光——椭圆偏振光
2a2
E
x
Ex
tg 2 cos
2a1
y
P点合矢量沿椭圆旋转的角频率也为。
2a2 x
右旋圆 偏振光 y 传播方向 E 0
2
0 2
5 10
7
1 10
6
1.5 10
ห้องสมุดไป่ตู้
6
2 10
6
2.2 4 110
7
z
210
6
两光波合波：
E p E10 exp( j (kz t 10 ) E20 exp( j (kz t 20 ) [ E10 exp( j 10 ) E20 exp( j 20 )]exp( j (kz t ) E0 exp( j (kz t )
物理光学A---第二章 光波的叠加与分析
相速度
群速度
h
z
26
2.5 光波的分析
P20 理想纯洁光：E Acoskz t 时间、空间无限延展的周期函
数 实际光：波列长度都有限
本节：复杂波是单色波的叠加 2.5.1 周期性波的分析
参见图2.18，该波的运动在一定的空间周期内重复一次，即 为周期性波。 应用数学上的傅立叶级数定理，具有空间周期的函数f(x)可 以表示为一组空间周期为的整分数倍的简谐函数之和，即
波强度 0和 在 4a2之间变化，这大 种时 强小 度的 时现象称
h
20
beat
1
2ACos
2
10
t
20
1
Cos
2
10
20
t
2
2
2
2
time
h
21
出现拍现象时的拍频等于2 m, 而m= 1-2,为参与叠加的两光 波的 频率之差，所以可通过观测光学拍现象来检测光波的微小
频率差。
2.4.2 群速度和相速度 对于一个单一的单色光波，光速是指其等位相面的传播速度，称 为相速度。对于两个单色波的合成波，光速包含两种传播速度： 等位相面的传播速度和等振幅面的传播速度，分别称为相速度和 群速度。由合成波波函数可求得两速度的表示式。
稳定的光强度的周期性变化，这就是光的干涉现象，这种叠加
称为相干叠加，叠加的光波称为相干光波。
h
7
二 .复数方法
三 光源S1、S2发出的单色光波在P点的复数形式的波函数为
E1 a1e xip a1t E2 a2exip a2t
两者叠加的合振动为
EE 1E 2a1ex i p 1ta2ex i p2t a1ex ip 1a2ex ip 2ex ip t
光学课件：第二章 光波的数学表达及叠加原理
P0
R
P（x，y）
(x2+ y2)1/2
o
z
在直角坐标系oxyz中的球面波
[R2+(x2+ y2)]1/2
P0
R
P（x，y）
(x2+ y2)1/2
o
z
在oxy平面上的某点 P（x，y）受到的该球面
波的扰动所具有的复振幅为
U(x, y) (A/ P0P ) exp[i(k P0P a)]
由于 R P0O , R (x2 y2 )1/2
z =z2处 的波面
e-1
W0
θ/2
z1
z2
z
z =0处的 光场振幅分布
光场振幅降为 e-1处的轨迹
由于在腰处的光束最小，故离腰较远处 的光波可看作是以腰为球心的球面波。
高斯光束的发散角
2 lim dW (z) 2
z dz
W 0
§2.3 光在均匀介质中的传播 一、光在介质中的传播
1、在介质中麦克斯韦方程组
质所发生的相位改变是真空中的n 倍
从相位改变这一角度考虑，在介质中光
线经过D 距离所发生的相位改变，等于真空
中经过n D 所发生的相位改变。
光程 = 折射率 几何路程 = n D 光程差 = n 2D 2 n 1D 1
例：相干光源 S1 和 S2 ，波长为λ，在 S1S2 的中垂线上有一点 A，若在 S1A 连线上垂直 插入一厚为 e 折射率为 n 的介质，求两相干
E E0 exp{[i(k r t) a]}
E0 exp[i(k r a)]exp(iwt) U (k r) exp(iwt)
复振幅(complex amplitude)：
U(k r) E0 exp[i(k r a)]
3第二章 光的叠加与分析
这一结论不仅适用于椭圆偏振光，也适用于圆偏振光和自然光。
由此结论，说明两振动方向互相垂直的光波在叠加区域内 各点的光强度都应等于两个光波的强度之和，即此时不发 生干涉现象。
2.3.5 利用全反射产生椭圆偏振光和圆偏振光
利用菲涅耳菱体：入射线偏振光振动方向与入射面成450。经 过菱体的下两次全反射后，出射光就是圆偏振光。
可见：P点的振动也是一个简谐振动，振动频率和振动方向都与 两单色光波相同，而振幅A和初位相分别由上两式决定。 若两个单色光波在P点振幅相等，即a1=a2=a 则P点的合振幅：
2 1 2 2 A a1 a2 2a1a2 cos( 2 1 ) 4a cos ( ) 4a cos 2 2
2a2
β 0 Ex
2a1
2.3.2 几种特殊情况
Ex E y E 2 2 cos sin 2 a a2 a1a2
2 x 2 1 2 Ey
由上式可知，椭圆形状由两叠加光波的位相差δ和振幅比 a2/a1 决定。 在两种特殊情况下,合成光波仍是线偏振光。 1. δ=0 或 ±2π的整数倍时， 椭圆方程为： E y
Aexp i exp it
A exp i t
该式取实部之后正是（2.7）式。
A A exp i A exp i *
2
其振幅和位相的计算结果均与代数方法相同。
2.1.3相幅矢量法
这是一种图解法。 相幅矢量：长度代表振动的振幅大小，它与ox轴的夹角等于该 振动的位相。 利用相幅矢量的概念，通过简单的矢量求和运算，也可以得到 与前相同的结论。
线偏振光
54.370 54.370
圆偏振光
波的叠加原理-全文可读
率和波数分别为
波速
群速度
两个频率相近 、等振幅的简谐波叠加的结果是一
个振幅缓慢变化的波,它的角频率为 ，波数为 ,波
速为
。它的振幅的变化也像一个传播的波,
它的角频率为 , 波数为 ,波速为
。
上述讨论的合成波称为波包。
3. 驻波
驻波是两列振幅相同的相干波在同一条直 线上沿相反方向传播时叠加而成的。
驻 波 的 形 成
P
S1和S2单独存在时,在P点引起的振动的方程为 :
波的干涉
P点的合方程为 :
振幅A和相位
f0
对于P点
为恒量，
因此A也是恒量 ，并与P点空间位置
A=A A（合振幅最大）
.当
时，得
（合振幅最小）
当 为其他值时 ，合振幅介于
和
之间
若f 10=f 20，上述条件简化为：
（合振幅最大） （合振幅最小）
波的干涉
干涉现象的强度分布
波的干涉
例题16- 10 试计算并分析两个频率相近 、振幅相等 、 同方向振 动的简谐波的叠加。
解 波动方式： 叠加后得到
y
x
波的干涉
y
令
或。
或
变化缓慢（对应包络曲线）
x
波的干涉
把
看成是一个角频率为 、波数为
的波 ，这个波的速度为：
相速度
Am (x,t)具有沿x方向传播的简谐波的形式,它的角频
波的干涉
波程差 两列相干波源为同相位时 ，在两列波的叠加的区 域内 ，在波程差于零或等于波长的整数倍的各点 ，振 幅最大；在波程差等于半波长的奇数倍的各点 ，振幅 最小。 因
若I 1=I2，叠加后波的强度：
大学物理 波的叠加原理波的干涉
大学物理 波的叠加原 理波的干涉
读万卷书，行万里路。 工欲善其事，必先利其器 少说多做，句句都会得到别人的重视；多说少做，句句都会受到
别人的忽视。
1
一.波的叠加原理
1.波的独立传播原理 各振源在介质中独立地激起与 自己频率相同的波 每列波传播的情况与其他波不 存在时一样
实际例子: 红绿光束交叉 乐队演奏 空中无线电波等
振动方向相同（简称同方向） 相位差恒定（简称相差恒定）
8
2.波场中的强度分布
振源 S1
振源 S2
两振源在场点P产生的
谐振动分别为
场点P是两个同方向的同频率的S.H.V.的合成
结果取决于两振动的相位差
9
两谐振动的相差
合成的振幅
r2 r1 叫两波波程差
由于在波场中确定点有确定的相位差
所以每一点都有确定的 A
2
波的独立传播原理： 有几列波同时在媒质 中传播时 它们的传播 特性（波长、频率、 波速、波形）不会因 其它波的存在而发生 影响
趣称：和平共处
3
细雨绵绵 独立传播
4
2. 叠加原理
在各波的相遇区 各点的振动是
各列波单独在此激起的振动的合成
线性叠加
满足线性波动方程Biblioteka S1相应的介质叫线性介质
只有各波都较弱时才满足线性叠加
从而在波场中形成了稳定的强度分布 干涉的特点:强度分布稳定
10
1）干涉最强点（干涉相长） 2）干涉最弱点（干涉相消）
干涉是能量的重新分布 11
波的干涉定义 波叠加时在空间出现稳定的振动加强和减
弱的分布叫波的干涉。
水波盘中水波的干涉
12
讨论 1）关于相位差恒定
在确定的场点P (r2 r1) 确定 干涉结果取决于波源的初相差 所以所谓相位差恒定就是波源初相差恒定 实际波：波源振一次发出一列波 实现干涉的艰难任务是实现初相差恒定
读万卷书，行万里路。 工欲善其事，必先利其器 少说多做，句句都会得到别人的重视；多说少做，句句都会受到
别人的忽视。
1
一.波的叠加原理
1.波的独立传播原理 各振源在介质中独立地激起与 自己频率相同的波 每列波传播的情况与其他波不 存在时一样
实际例子: 红绿光束交叉 乐队演奏 空中无线电波等
振动方向相同（简称同方向） 相位差恒定（简称相差恒定）
8
2.波场中的强度分布
振源 S1
振源 S2
两振源在场点P产生的
谐振动分别为
场点P是两个同方向的同频率的S.H.V.的合成
结果取决于两振动的相位差
9
两谐振动的相差
合成的振幅
r2 r1 叫两波波程差
由于在波场中确定点有确定的相位差
所以每一点都有确定的 A
2
波的独立传播原理： 有几列波同时在媒质 中传播时 它们的传播 特性（波长、频率、 波速、波形）不会因 其它波的存在而发生 影响
趣称：和平共处
3
细雨绵绵 独立传播
4
2. 叠加原理
在各波的相遇区 各点的振动是
各列波单独在此激起的振动的合成
线性叠加
满足线性波动方程Biblioteka S1相应的介质叫线性介质
只有各波都较弱时才满足线性叠加
从而在波场中形成了稳定的强度分布 干涉的特点:强度分布稳定
10
1）干涉最强点（干涉相长） 2）干涉最弱点（干涉相消）
干涉是能量的重新分布 11
波的干涉定义 波叠加时在空间出现稳定的振动加强和减
弱的分布叫波的干涉。
水波盘中水波的干涉
12
讨论 1）关于相位差恒定
在确定的场点P (r2 r1) 确定 干涉结果取决于波源的初相差 所以所谓相位差恒定就是波源初相差恒定 实际波：波源振一次发出一列波 实现干涉的艰难任务是实现初相差恒定
物理光学第二章光波的叠加与分析
2 变，将出现一系列的 幅振 为零的点 —波节和一系列振幅为 大最 值
的点—波腹。
2 由 cos k z 0可求得波节的位置为
2
kz n
22
n 1，3，5，
物理光学第二章光波的叠加与分析
2.2.2 驻波实验
典型的驻波实验是维纳驻波实验。
1. P57 图2.8 2. 感光 3.全反射
E1 a1e xip a1t E2 a2exip a2t
两者叠加的合振动为
EE 1E 2a1ex i p 1ta2ex i p2t a1ex ip 1a2ex ip 2ex ip t
设中括号A内 exi p 的 ，部 则分 上为 式简化为
EAexi pexpitAexi pt
合振动振幅为
A2 a12 a22 2a1a2 cos2 1
当两波到Z达 轴上P点时，振动方程为
Ex Ey
aa12ccoosskkzz12tt
两波P点 在 处 叠加后的合振动为
E xx0 0a E1xcoyk0sE1 zyty0a2coksz2 t
合振动矢量的大小和方向均随时间变化，经简单的数学运算可 得其末端的运动轨迹方程：
这个方Ea12x2程 Ea表 22y2 明 2Ea矢 1x： aE2y量 c合 o末 s振 2 端 动 1的 si轨 n2椭 迹 2 圆 是 1。 一个 物理光学第二章光波的叠加与分析
光驻波现象在多个光学过程中存在，现在见的最 多的是在激光器谐振腔中多次往复反射的光波 形成的驻波。激光输出的这种稳定的驻波称为 激光束的纵模。
物理光学第二章光波的叠加与分析
2.3 两个频率相同、振动方向相互垂直的光波的叠加
2.3.1 椭圆偏振光
参见图2.10：由光源S1、S2发出两个单色光波，频率相同，振动 方向相互垂直。设两波的振动方向分别平行于X轴和Y轴。
的点—波腹。
2 由 cos k z 0可求得波节的位置为
2
kz n
22
n 1，3，5，
物理光学第二章光波的叠加与分析
2.2.2 驻波实验
典型的驻波实验是维纳驻波实验。
1. P57 图2.8 2. 感光 3.全反射
E1 a1e xip a1t E2 a2exip a2t
两者叠加的合振动为
EE 1E 2a1ex i p 1ta2ex i p2t a1ex ip 1a2ex ip 2ex ip t
设中括号A内 exi p 的 ，部 则分 上为 式简化为
EAexi pexpitAexi pt
合振动振幅为
A2 a12 a22 2a1a2 cos2 1
当两波到Z达 轴上P点时，振动方程为
Ex Ey
aa12ccoosskkzz12tt
两波P点 在 处 叠加后的合振动为
E xx0 0a E1xcoyk0sE1 zyty0a2coksz2 t
合振动矢量的大小和方向均随时间变化，经简单的数学运算可 得其末端的运动轨迹方程：
这个方Ea12x2程 Ea表 22y2 明 2Ea矢 1x： aE2y量 c合 o末 s振 2 端 动 1的 si轨 n2椭 迹 2 圆 是 1。 一个 物理光学第二章光波的叠加与分析
光驻波现象在多个光学过程中存在，现在见的最 多的是在激光器谐振腔中多次往复反射的光波 形成的驻波。激光输出的这种稳定的驻波称为 激光束的纵模。
物理光学第二章光波的叠加与分析
2.3 两个频率相同、振动方向相互垂直的光波的叠加
2.3.1 椭圆偏振光
参见图2.10：由光源S1、S2发出两个单色光波，频率相同，振动 方向相互垂直。设两波的振动方向分别平行于X轴和Y轴。
第二章 光波的叠加和分析
第一节 波的独立传播和叠加原理
一、标量波和矢量波
描述光波的物理量E 和 B 是矢量，即光波在本质上是矢量波 在某些特殊的情况下，光波电场强度和磁感应强度矢量的振动 方向不随时间和空间变化，此时电场强度和磁感应强度成为标 量，因而这类光波成为标量波 光波是横波，可选择传播方向为直角坐标系的z方向，则 矢量就变成了二维矢量，可将之分解为x，y方向的分量，若 光波传播的媒质对这两个方向上的分量有相同的性质，则这 两个分量有相同的传播规律，于是任一个分量的波函数就可 代表其对应的矢量波，则矢量波的处理变为标量波处理。
当E10=E20时，由（2.2.4 ）得：
ϕ 0 = (ϕ10 + ϕ 20 ) / 2
可见，合成波的初位相等于两个分量波初位相的平均值 当E10=E20时，总的合成波函数为
E ( z , t ) = 2 E10 cos ⎡(ϕ10 − ϕ20 ) 2 ⎤ exp i ⎡ kz − ωt + (ϕ10 − ϕ20 ) 2 ⎤ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
（2.2.3 ） （2.2.4 ）
E10 sin ϕ10 + E 20 sin ϕ 20 ϕ 0 = arctan[ ] E10 cos ϕ10 + E 20 cos ϕ 20
由以上分析得到合成波的表达式为：
E ( z , t ) =| E0 | exp ⎡ i ( kz − ω t + ϕ 0 ) ⎤ ⎣ ⎦
E2 = E20 exp ⎡i ( kz − ωt ) + ϕ20 ⎤ ⎣ ⎦
E1 = E10 exp ⎡i ( kz − ωt ) + ϕ10 ⎤ ⎣ ⎦
这两个光波叠加后的合成波可以表示为：
E ( z , t ) = E10 exp ⎡i ( kz − ωt + ϕ10 ) ⎤ + E20 exp ⎡i ( kz − ωt ) + ϕ 20 ⎤ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
了解波的叠加与相干性
了解波的叠加与相干性波的叠加与相干性是物理学中一个重要的概念，在光学、声学等领域都有广泛的应用。
本文将介绍波的叠加和相干性的基本原理和特点，以及它们在实际应用中的一些重要影响。
一、波的叠加波的叠加是指当两个或多个波同时传播到同一空间时，它们会相互叠加，形成新的波形态。
根据叠加原理，波的叠加可以分为两种情况：1. 线性叠加：当两个波的振幅叠加时，其结果是简单地将两个波的振幅相加，并保持相位不变。
这意味着，如果两个波的相位相同时，它们会增强；如果两个波的相位相差180度（即相位相反），它们会相互抵消。
这种叠加现象在光的干涉和声音的叠加中都有重要应用。
2. 非线性叠加：当波之间存在非线性关系时，其叠加结果不再满足线性叠加原理。
在非线性叠加情况下，波的振幅可能会发生变化，并且可能会产生新的频率成分。
非线性叠加在一些特殊情况下出现，例如在强光下的光学材料中，会发生光学非线性效应。
波的叠加现象在日常生活中有很多实例，比如两个水波在池塘中相遇时产生的波纹叠加效应、多个声源同时发出声音时形成的声音混响等。
二、波的相干性波的相干性是指两个或多个波之间存在稳定的相位关系。
具体而言，波的相干性可以分为两种情况：1. 完全相干：当两个波的相位差为常数时，它们称为完全相干波。
在这种情况下，波的相位关系保持不变，并且它们的叠加结果具有明显的干涉效应。
完全相干波的干涉现象在光的干涉和干涉仪的实验中经常出现。
2. 部分相干：当两个波的相位差随时间变化时，它们称为部分相干波。
在这种情况下，波的相位关系是随机的，并且它们的叠加结果往往无规律可循。
部分相干波的叠加现象在光的散射、声音的多普勒效应等实际场景中都有应用。
由于波的相干性直接影响波的叠加效应，因此它在很多领域都具有重要的应用价值。
例如，光的干涉和衍射是基于波的相干性原理设计的激光干涉仪、光栅等光学器件。
三、波的叠加与相干性的应用1. 光学领域：在光学中，波的叠加和相干性是很重要的概念。
波的叠加波的干涉驻波课件
驻波的应用与实例
应用
驻波在物理学、工程学等领域有广泛应用，如弦乐器、电磁波导等。
实例
吉他弦、电磁波导中的电磁波等都是驻波的实例。
04
波的叠加与干涉实验
实验一：波的叠加实验
要点一
总结词
理解波的叠加原理，掌握波的叠加实验操作方法，观察和 分析实验现象。
要点二
详细描述
进行波的叠加实验，观察不同波源的波在同一直线上的叠 加情况，记录实验数据，分析实验现象，得出结论。
波动能量的计算方法
通过波动方程或能量密度公式进行计算，分析波的能量分布和传 播规律。
波动能量的衰减
波在传播过程中会因为介质吸收、散射等原因逐渐衰减。
理论三：波动稳定性分析
1 2
波动稳定性的定义
描述波在传播过程中是否能够保持稳定的特性。
波动稳定性分析的方法
通过求解波动方程的稳定性条件，判断波是否能 够保持稳定的传播。
实验二：波的干涉实验
总结词
理解波的干涉原理，掌握波的干涉实验操作方法，观察 和分析实验现象。
详细描述
进行波的干涉实验，观察两个波源的波在同一直线上的 干涉情况，记录实验数据，分析实验现象，得出结论。
实验三：驻波实验
总结词
理解驻波原理，掌握驻波实验操作方法 ，观察和分析实验现象。
VS
详细描述
进行驻波实验，观察不同频率的驻波在相 同介质中的传播情况，记录实验数据，分 析实验现象，得出结论。
02
波的干涉
干涉现象及其产生条件
产生条件：要产生 干涉现象，需要满 足以下条件
2. 波源的振动必须 有一定的相位差；
干涉现象：当两个 或多个波源的波的 叠加产生加强或减 弱的现象。
光波的叠加与分析
23
Ey
Ex
3. 及其奇数倍时，
2
椭圆方程为：
E
2 x
E
2 y
1
a12
a
2 2
δ=3π/2
此为一正椭圆,长短轴与x，y轴重合.
❖ 若两光波的振幅a1、a2相等，为a。
则：
E
2 x
E
2 y
a2
表示一个圆偏振光。
24
椭圆形状的分析：( a2 a1 , 2 1 )
（图10-30）
Ey
Ey
Ey
Ey
Ex
Ex
Ex
Ex
δ=0
Ey
0<δ<π/2
Ey
δ=π/2
Ey
π/2<δ<π
Ey
Ex
Ex
Ex
Ex
δ=π
π<δ<3π/2
δ=3π/2
3π/2<δ<2π 25
26
左旋和右旋
1、右旋光：迎着光的传
播方向观察，合矢量顺 时针方向旋转。
此时：sin(2 1) 0
2、左旋光：迎着光的传
播方向观察，合矢量逆 时针方向旋转。
两列波交叠区域任意一点P的合振动？
根据叠加原理，P点的合振动为
E E1 E2 a1 exp[i(1 t)] a2 exp[i(2 t)]
式中 1 kr1, 2 kr2
光强为
I E E a1 exp[i(1 t)] a2 exp[i(2 t)] a1 exp[i(1 t)] a2 exp[i(2 t)]
r1 )
2 0
D
采用光程概念的好处是，可以把光在不同介质中 的传播路程都折算为在真空中的传播路程，便于 6 进行比较。
波的叠加、驻波
几列波相遇之后， 仍然保持它们各自原有的特征 （频率、波长、振幅、振动方向等）不变，并按照原来 的方向继续前进，好象没有遇到过其他波一样.
在相遇区域内任一点的振动，为各列波单独存在 时在该点所引起的振动位移的矢量和.
二、波的干涉——波叠加中最简单、重要的特例 振动方向相同
1、相干条件
频率相同 相位差恒定 (波源初相差稳定，介质稳定）
同一波节两侧的点反相 (4)能流密度
1 2 2 1 2 2 I A1 u ( A1 u ) 2 2 0
驻波的能量在相邻的波 腹和波节间往复变化，在相 邻的波节间发生动能和势能 间的转换，动能主要集中在 波腹，势能主要集中在波节， 但无长距离的能量传播.
稳定的分段振动
u
x Ψ入 A cos[ 2 (t ) ] u 2
u入
O
3 4
疏 密
P
x 反 A cos[ 2v(t ) ] u 2
由
x
4vx 4x 2 1 (2k 1) u 得 x ( 2k 1) 4
3 x 4
合振动最弱（干涉相消）
的位置?
3. 干涉相长和相消的条件 2k A A1 A2
2 1
特例： （1）
2
I I1 I 2 2 I1 I 2
(2k 1) A | A1 A2 |
相长
1 2
k
2
I I1 I 2 2 I1 I 2
2、干涉现象
设相干波源 r1 o1 r2 o2 p
o1: Ψ A cos(t ) 1 1 1
o2 : Ψ2 A2 cos(t 2 )
线性叠加原理的应用方法
线性叠加原理的应用方法1. 线性叠加原理的概述线性叠加原理是一种在物理学和工程中常用的求解复杂问题的方法。
它基于线性系统的性质，即其对输入信号的响应是可加性的。
通过将不同输入信号的响应叠加，可以求解出复杂系统的输出信号。
线性叠加原理被广泛应用于信号处理、电路分析、通信系统等领域。
2. 线性叠加原理的数学表示线性叠加原理可以通过数学公式来表示。
假设一个线性系统的输入信号为x(t)，输出信号为y(t)，则线性叠加原理可以表示为：y(t) = Σ(a_i*x_i(t))其中，a_i为系数，x_i(t)为输入信号。
3. 线性叠加原理的应用方法线性叠加原理可以用于求解各种复杂系统的输出信号。
下面列举了几种常见的应用方法：•滤波器设计：线性叠加原理可以用于滤波器的设计。
通过将多个基本滤波器的响应叠加，可以得到复杂滤波器的响应。
这种方法在音频处理、图像处理等领域得到了广泛应用。
•信号合成：线性叠加原理可以用于信号的合成。
通过将不同基本信号的波形叠加，可以生成复杂信号。
这种方法在音乐合成、语音合成等领域有着重要的应用。
•通信系统设计：线性叠加原理可以用于通信系统的设计。
通过将多个不同的输入信号的响应叠加，可以模拟复杂通信信号的传输过程，以验证系统的性能。
•电路分析：线性叠加原理可以用于电路的分析。
通过将多个输入信号的响应叠加，可以求解出电路中各个元件的电压和电流。
•系统建模：线性叠加原理可以用于系统的建模。
通过将系统的输入信号的响应叠加，可以估计系统的响应特性，并帮助系统的设计和优化。
以上是线性叠加原理常见的应用方法，它们应用广泛并在工程和物理学的各个领域发挥着重要的作用。
4. 线性叠加原理的局限性尽管线性叠加原理在很多场景下都有着广泛的应用，但它也有一些局限性。
主要有以下几点：•线性系统前提：线性叠加原理仅适用于线性系统，对于非线性系统来说，无法使用线性叠加原理进行求解。
•线性性质的限制：线性叠加原理是基于线性系统的性质，即线性系统对信号的响应是可加性的。
第二章分类行波法线性叠加
u1 f x at 以速度a 向x
轴负方向传播的行波, 称为左行波.
解的物理意义 a. 只有初始位移时， u ( x, t )
1 ( x at ) ( x at ) 2
( x at )代表以速度a 沿x 轴正向传播的波
0 t
t 0
0. 由于
t 0
ht ( x, t , )d ,
所以 wt
t 0
0. 再验证函数 w
满足 (3.1.10) 中的
方程. 为此将上式关于 t 再微分一次 ,并且注意 到(3.1.11)中的方程,得
wtt ht
t
htt ( x, t , )d f ( x, t ) a
1 1 u x, t [ x at x at ] 2 2a
x at x at
解得
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ d
—达朗贝尔(D’Alembert)公式.
考虑 u2 g( x at ) 的物理意义
u2
g( x )
u2 x
a 2
a
a
t=0
u2
0 2
t
2
t 0
hxx ( x, t , )d
2 f ( x, t ) a x 2
t 0
hd f ( x, t ) a 2 wxx .
这 就 是 说 函 数 w( x, t ) 满 足 (3.1.10) 中 的 方 程 . 定理证毕.
第二章 二阶线性偏微分方程的 分类及行波法
2
2u 2u 2u 2 2 2
同理可求另一个二阶偏导数，然后代入方程
波的独立性、叠加性和相干性分析
二、电磁波波动方程的解
由
2E
1 2E
υ2 t2
得简谐平面波的波动方程：
E
Acos
ω t
r v
0
Acos
2
t T
r
0
Acos 2 t
r
0
Acos
ωt
k r
0
或 E Aexp i k r-ωt φ0
A exp i k r+φ0 exp iωt
E e iωt
时间相角因子
时空相角因子
光的干涉
相干条件 干涉分类 干涉应用
分波面法 分振幅法
多光束 干涉
§1.1波的独立性、叠加性和相干性
一、光是电磁波
依据：在19世纪70年代，麦克斯韦首先根据电磁 场理论推导出电磁波方程:
2E
0
r
0r
2E t 2
导出
2H
0r 0r
2H t 2
波速为：
1 υ
ε0 μ0εr μr
在真空中， εr
φ1
于是合振动的平均强度为：
I
A2
A12
A
2 2
2 A1A 2c o s 2
1
干涉项
相干叠加的结果（相干叠加的极值条件）
当 φ2 φ1 2jπ j时 0，1，2，
则 I A1 A2 2
此时合振动最强，称为干涉相长。
当 φ2 φ1 2j+1 π 时j 0，1，2，
则 I A1 A2 2
可见：
I = S =cε0 E2
I= I A2
在波动光学中，常把振幅的平方所表征的光 的辐照度称为光强度，即：
I=A 可见： I= I A22
波的叠加、干涉和衍射.
2.3.1波的叠加、干涉和衍射
2.波的干涉 两列频率相同，振动方向相同，位相相同或位
相差恒定的波相遇时，介质中某些地方的振动互相 加强，而另一些地方的振动互相减弱或完全抵消的 现象叫做波的干涉现象。产生干涉现象的波叫相干 波，其波源称为相干波源。
波的叠加原理是波的干涉现象的基础，波的干 涉是波动的重要特征。在超声检测中，由于波的干 涉，使超声波源附近出现声压极大极小值。
37252_13908420657\波的干涉衍射.swf
2.3.1波的叠加、干涉和衍射
波的干涉计算
现在讨论在空间某点P发生干 涉加强或减弱的条件。波的干 涉计算用图如下图所示。
引用动画
设有两个相干波源，它们的振 动表达式分别为：
合振动振幅的表达式：
结论： （1）当两相干波的波程差等于波长的整数倍时，二者互相加强，合 振幅达最大值。 （2）当两相干波的波程差等于半波长的奇数倍时，二者互相抵消， 合振幅达最小值。若A1=A2，则A=0，即二者完全抵消。
1.惠更斯-菲涅耳原理 该原理是说明波传播过程中波阵面在媒质中传播规律的基本原理， 可作为求解波传播问题的一种近似方法。最开始是作为光的衍射
理论而出现，由于声和光具有共同的波动性，后来渐渐将其引入到声 波的衍射研究中来。 几何光学表明，光在均匀媒质中按直线定律传播，光在两种媒质的分 界面按反射定律和折射定律传播。但是，光是一种电磁波，当一束光 通过有孔的屏障以后，其强度可以波及到按直线传播定律所划定的几 何阴影区内，也使得几何照明区内出现某些暗斑或暗纹。总之，衍射 效应使得障碍物后空间的光强分布既区别于几何光学给出的光强分布， 又区别于光波自由传播时的光强分布，衍射光强有了一种重新分布。 衍射使得一切几何影像失去了明锐的边缘。意大利物理学家和天文学 家格里马尔迪在17世纪首先精确地描述了光的衍射现象，150年以后， 法国物理学家菲涅耳于19世纪最早阐明了这一现象。
叠加原理的内容及应用条件
叠加原理的内容及应用条件1. 基本原理概述叠加原理是物理学中一个重要的原理，用来描述多个波的叠加行为。
根据叠加原理，当两个或多个波同时存在在同一空间内时，它们会相互叠加并形成一个新的波。
这个新波的振幅等于各个波的振幅之和。
2. 叠加原理的具体内容叠加原理可以用数学公式来表示。
假设有两个波，分别用A1sin(ω1t+φ1)和A2sin(ω2t+φ2)来表示，其中A1和A2为两个波的振幅，ω1和ω2为两个波的角频率，φ1和φ2为两个波的相位。
根据叠加原理，这两个波的叠加结果可以表示为A1sin(ω1t+φ1) + A2sin(ω2t+φ2)。
叠加原理不仅适用于简单的正弦波，也适用于复杂的波形。
当多个波同时存在时，它们会相互叠加并形成一个复杂的波形。
3. 叠加原理的应用条件叠加原理适用于满足以下条件的波：•线性叠加性：叠加原理要求波的叠加是线性的，即波的叠加不改变波的性质，不会产生非线性效应。
•同质波：叠加原理适用于相同类型的波之间的叠加，比如同频率、同振幅、同方向的波。
•不受干扰：叠加原理要求各个波之间不受干扰，即波与波之间没有相互影响。
在满足以上条件的情况下，叠加原理可以应用于各种波的叠加过程，包括光波、声波、电磁波等。
4. 叠加原理的应用叠加原理在物理学和工程学中有着广泛的应用。
4.1 光学中的应用在光学中，叠加原理被广泛应用于干涉和衍射现象的解释和计算。
当光波通过一个小孔或者通过两个不同光源产生的光波在空间中叠加时，会产生干涉或衍射现象。
通过叠加原理可以计算出干涉条纹和衍射图样的分布。
4.2 声学中的应用在声学中，叠加原理被应用于声波的叠加和音响系统的设计。
当多个声波同时存在时，它们会相互叠加并形成新的声波。
这个原理被广泛应用于音响音质的改善和环境声音的控制。
4.3 信号处理中的应用在信号处理中，叠加原理被用于多通道信号的合成和分解。
通过将多个信号进行叠加，可以实现信号的合成和分解，从而实现声音、图像等信息的处理和解析。
1.2波动的独立性、叠加性和相干性
光振动矢量
引起人眼视觉、底片感光——光矢量
2、磁场强度矢量 H 振动方向相同 频率相同 位相差恒定
相干条件：光矢量 E
若两束光的光矢量满足相干条件，则为相干光。
相应的光源为相干光源。两普通光源为非相干光源。
问题：怎样获得相干光源？
3、普通光源获得相干光的途径
P
分波面法：S *
在P 点相干叠加
分振幅法： S *
作业：阅读附录1-1、1-2
的非均匀分布，这种分布的整体图象称为干涉花样。
二、干涉现象是波动的特性 波动的特征是能量以振动的形式在物质中
依次
转移，物质本身并不随波转移。
光的干涉现象，无可置辩地肯定了光的波动性。
三、相干与非相干叠加： 问题 两盏灯发出的光相遇，为什么不会发生干涉？
1、光源（light source）
光源的最基本发光单元是分子、原子。 能级跃迁辐射
▲
光强度（光照度）：平均能流密度。
设E 的振幅为 A 则 I A2
，
I A2
n I 应理解为相对光强，与介质的 有 关。 振动方向相同 ▲ 干涉 条件：两列波 频率相同 位相差恒定 叠加后的合振动可能有些地方加强、有些地方减弱，
这一强度按空间周期性变化的现象称为干涉。
▲
干涉花样：在叠加区域内各点处的强度如果有一定
讨论：(见P18-19) ▲ 相干叠加 ：若在 内， 2 1 常数：
2 I A12 A2 2 A1 A2 cos( 2 1 )
交叉项为干涉项
2 j
( j 0,1,2)
I ( A1 A2 ) 2
的偶数倍
2 1
I 最大，干涉相长
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第二讲
一.线性叠加原理
线性问题的基本特征为具有线性叠加性. 是否满足线性叠加原理是线性问题和非线性问 题最本质的区别. 利用叠加原理我们总可以把一个较复杂的 线性问题分解成若干个简单线性问题来求解. 为处理非齐次方程的定解问题，需要线性叠加 原理. 所谓叠加原理，在物理上解释为：几种不 同的原因的综合所产生的效果等于这些不同原 因单独产生的效果的累加.
一、 常系数二阶线性偏微分方程的分类 二、一维波动方程的求解公式
一、二阶线性偏微分方程分类
一般的，两个自变量的常系数二阶线性偏微分 方程的一般形式为：
Auxx Buxy Cuyy Dux Euy Fu G( x, y) (1)
就上述实常系数的二阶线性偏微分方程而言, 方程在某个区域内的所有点上属于同一类型, 该方程被称为双曲型、抛物型或椭圆型的是 根据式子 B 2 -4 AC 为正、为零或为负而定的。
a B 2 A , b 4 AC B 2 A.
2
用这个变换立即能把方程化为标准形式
u u D3u E3u F3u G3 ( , ),
见P40-42例题2.3.1-2.3.3
补充例题和习题：如判断方程类型及化成 标准型：
u 2 u a 0 2 2 x y
0 t
t 0
0. 由于
t 0
ht ( x, t , )d ,
所以 wt
t 0
0. 再验证函数 w
满足 (3.1.10) 中的
方程. 为此将上式关于 t 再微分一次 ,并且注意 到(3.1.11)中的方程,得
wtt ht
t
htt ( x, t , )d f ( x, t ) a
2.当 B2 4 AC 0 时, 方程是抛物型的，经过变 换 y ( B 2 A) x, hy kx, 后方程化为 u D2u E2u F2u G2 ( ,),
3.当 B2 4 AC 0 时, 方程是椭圆型的, 此时引入 1 新变量 ( ) y ax, 2 1 ( ) bx. 2i 其中：
f
Hale Waihona Puke i f,u
i
u,
设 v( x, t ) 是一维波动方程定解问题
vtt a 2vxx f ( x, t ), 0 x L, t 0, v( x, 0) 0, vt ( x, 0) 0, 0 x L, v(0, t ) 0, v( L, t ) 0, t 0,
由①, ③
f x g x x
1 f x g x d C a0
x
x
1 1 C f x x d 2 2a 0 2 x 1 1 C g x x d 2 2a 0 2 代入通解表达式，得
u1 f x at 以速度a 向x
轴负方向传播的行波, 称为左行波.
解的物理意义 a. 只有初始位移时， u ( x, t )
1 ( x at ) ( x at ) 2
( x at )代表以速度a 沿x 轴正向传播的波
抛物型方程
2
2
2
0
( x, y) 0
dy dy A 2B C 0 dx dx
注：这里要解决的一个问题是能否 选择新的自变量，做代换，使得方 程变换为某些二阶导数的系数为零 的二阶线性微分方程？这个问题与 下列常微分方程的解相联系。
2 2
02 4 1 (a2 ) 4a2 0
双曲型方程
u u 2 0 2 x y
2 2
0 4 11 0
2
椭圆型方程
u 2 u a 2 t x
2
0 4 1 0 0
2
抛物型方程
例1、方程 特征方程为：
2u 2u 2u ( A B) AB 2 0 2 x xy y
2 2u u 2 a , 2 2 x t
u ( x, 0) ( x ), u ( x, 0) ( x ) t
达朗贝尔公式的推导 通解
波动方程为： utt a uxx 0
x a t 作变换： x at
2
得到： u 0 对偏积分得： u f1 ( )
考虑定解问题
2 a f ( x, t ), 2 2 t x ( x, 0) 0, ( x, 0) 0, t
2 2
x , t 0 x
(3.1.10)
设
f ( x, t ) C ( [0, )) ，如果
的解, w( x, t ) 是定解问题
wtt a 2 wxx , 0 x L, t 0, w( x, 0) ( x), wt ( x, 0) ( x), 0 x L, w(0, t ) 0, w( L, t ) 0, t 0,
的解, 则 u( x, t ) v( x, t ) w( x, t ) 是定解问题
方程(1)对应的特征方程为
dy (B dx dy ( B dx B 2 4 AC ) 2 A , B 2 4 AC ) 2 A ,
特征线族为
B y B y B 2 4 AC 2A B 2 4 AC 2A x C1 , x C2
0
t
所定义的函数 w( x, t ) 是初值问题(3.1.10)的解，其中 是参数。
证 先证明 w w( x, t ) 满足 (3.1.10) 中的初始条 件. w( x, 0) 0 是显然的.现验证 wt
wt h( x, t , t ) ht ( x, t , )d
0 2
t
2
t 0
hxx ( x, t , )d
2 f ( x, t ) a x 2
t 0
hd f ( x, t ) a 2 wxx .
这 就 是 说 函 数 w( x, t ) 满 足 (3.1.10) 中 的 方 程 . 定理证毕.
第二章 二阶线性偏微分方程的 分类及行波法
记 一般的二阶线性偏微分方程 ( x, y) B
2
4 AC
称其为二阶线性偏微分方程的判别式
它的特征方程为 ( x, y) 0
Auxx 2Buxy Cu yy Dux Euy Fu G, (*)
双曲型方程
A( xd xdy C dx ,y y) 02Bd 椭圆型方程
utt a 2u xx f ( x, t ), u ( x, 0) ( x), ut ( x, 0) ( x), u (0, t ) 0, u ( L, t ) 0, 0 x L, t 0, 0 x L, t0
线性叠加原理的另一个表现形式为齐次化原理。 为处理非齐次方程的定解问题，需要齐次化原理。 针对不同的定解问题齐次化原理的具体形式不同， 举例如下
…… ②
ut |t 0 af '1 ( x a 0) af 2 '( x a 0)
af ' x ag ' x x
x
由第二式得
其中
1 f x g x d C .............③ a0 C f (0) g (0)
1 . 基本思想： 先求出偏微分方程的通解，然 后用定解条件确定特解。这一思想与 常微分方程的解法是一样的。 2 .关键步骤： 通过变量变换，将波动方程化为 便于积分的齐次二阶偏微分方程。 3 .适用对象： 无界域内波动方程的初值问题
一维波动方程的达朗贝尔公式
本节以行波解法为依据，介绍求解定解问题的 达朗贝尔公式. 设有一维无界弦自由振动（即无强迫 力）定解问题为
n 个自变量的二阶线性偏微分方程表示为 2
n
n u u aij b j cu f xi x j j 1 x j i , j 1
引进线性偏微分算子
n L aij bj c xi x j x j i , j 1 j 1 n 2
则可简单表示为
2
2u 2u 2u 2 2 2
同理可求另一个二阶偏导数，然后代入方程
利用初始条件，确定两个函数的具体形式。
u |t 0 f ( x a 0) g( x a 0)
f x g x x ……………①
x
3a 2
t=1/2
u2
随着时间 t 的推移 u2的图形 以速度a 向x轴正 向移动.
t=1
2a
x
a
t=2
3a
x
物理意义: 随着时间 t 的推移, u2 g x at 的图形以速度 a 向 x 轴正方向移动, 也
就是说, 它表示一个以速度a 向x 轴正方
向行进的波, 称为右行波.
同样道理,
(dy) ( A B)dxdy AB(dx) dy Adx dy Bdx 0
2 2
求得特征坐标为
y Bx y Ax
原方程的标准型为
u 0
2
二. 行波法与达朗贝尔公式
偏微分方程的通解法中有一种特殊的 解法―行波法, 即以自变量的线性组合作 变量代换，进行求解的一种方法，它对 波动方程的求解十分有效.
Lu( x) f ( x)
最常见的线性微分算子
3 2 2 2 x y z
一.线性叠加原理
线性问题的基本特征为具有线性叠加性. 是否满足线性叠加原理是线性问题和非线性问 题最本质的区别. 利用叠加原理我们总可以把一个较复杂的 线性问题分解成若干个简单线性问题来求解. 为处理非齐次方程的定解问题，需要线性叠加 原理. 所谓叠加原理，在物理上解释为：几种不 同的原因的综合所产生的效果等于这些不同原 因单独产生的效果的累加.
一、 常系数二阶线性偏微分方程的分类 二、一维波动方程的求解公式
一、二阶线性偏微分方程分类
一般的，两个自变量的常系数二阶线性偏微分 方程的一般形式为：
Auxx Buxy Cuyy Dux Euy Fu G( x, y) (1)
就上述实常系数的二阶线性偏微分方程而言, 方程在某个区域内的所有点上属于同一类型, 该方程被称为双曲型、抛物型或椭圆型的是 根据式子 B 2 -4 AC 为正、为零或为负而定的。
a B 2 A , b 4 AC B 2 A.
2
用这个变换立即能把方程化为标准形式
u u D3u E3u F3u G3 ( , ),
见P40-42例题2.3.1-2.3.3
补充例题和习题：如判断方程类型及化成 标准型：
u 2 u a 0 2 2 x y
0 t
t 0
0. 由于
t 0
ht ( x, t , )d ,
所以 wt
t 0
0. 再验证函数 w
满足 (3.1.10) 中的
方程. 为此将上式关于 t 再微分一次 ,并且注意 到(3.1.11)中的方程,得
wtt ht
t
htt ( x, t , )d f ( x, t ) a
2.当 B2 4 AC 0 时, 方程是抛物型的，经过变 换 y ( B 2 A) x, hy kx, 后方程化为 u D2u E2u F2u G2 ( ,),
3.当 B2 4 AC 0 时, 方程是椭圆型的, 此时引入 1 新变量 ( ) y ax, 2 1 ( ) bx. 2i 其中：
f
Hale Waihona Puke i f,u
i
u,
设 v( x, t ) 是一维波动方程定解问题
vtt a 2vxx f ( x, t ), 0 x L, t 0, v( x, 0) 0, vt ( x, 0) 0, 0 x L, v(0, t ) 0, v( L, t ) 0, t 0,
由①, ③
f x g x x
1 f x g x d C a0
x
x
1 1 C f x x d 2 2a 0 2 x 1 1 C g x x d 2 2a 0 2 代入通解表达式，得
u1 f x at 以速度a 向x
轴负方向传播的行波, 称为左行波.
解的物理意义 a. 只有初始位移时， u ( x, t )
1 ( x at ) ( x at ) 2
( x at )代表以速度a 沿x 轴正向传播的波
抛物型方程
2
2
2
0
( x, y) 0
dy dy A 2B C 0 dx dx
注：这里要解决的一个问题是能否 选择新的自变量，做代换，使得方 程变换为某些二阶导数的系数为零 的二阶线性微分方程？这个问题与 下列常微分方程的解相联系。
2 2
02 4 1 (a2 ) 4a2 0
双曲型方程
u u 2 0 2 x y
2 2
0 4 11 0
2
椭圆型方程
u 2 u a 2 t x
2
0 4 1 0 0
2
抛物型方程
例1、方程 特征方程为：
2u 2u 2u ( A B) AB 2 0 2 x xy y
2 2u u 2 a , 2 2 x t
u ( x, 0) ( x ), u ( x, 0) ( x ) t
达朗贝尔公式的推导 通解
波动方程为： utt a uxx 0
x a t 作变换： x at
2
得到： u 0 对偏积分得： u f1 ( )
考虑定解问题
2 a f ( x, t ), 2 2 t x ( x, 0) 0, ( x, 0) 0, t
2 2
x , t 0 x
(3.1.10)
设
f ( x, t ) C ( [0, )) ，如果
的解, w( x, t ) 是定解问题
wtt a 2 wxx , 0 x L, t 0, w( x, 0) ( x), wt ( x, 0) ( x), 0 x L, w(0, t ) 0, w( L, t ) 0, t 0,
的解, 则 u( x, t ) v( x, t ) w( x, t ) 是定解问题
方程(1)对应的特征方程为
dy (B dx dy ( B dx B 2 4 AC ) 2 A , B 2 4 AC ) 2 A ,
特征线族为
B y B y B 2 4 AC 2A B 2 4 AC 2A x C1 , x C2
0
t
所定义的函数 w( x, t ) 是初值问题(3.1.10)的解，其中 是参数。
证 先证明 w w( x, t ) 满足 (3.1.10) 中的初始条 件. w( x, 0) 0 是显然的.现验证 wt
wt h( x, t , t ) ht ( x, t , )d
0 2
t
2
t 0
hxx ( x, t , )d
2 f ( x, t ) a x 2
t 0
hd f ( x, t ) a 2 wxx .
这 就 是 说 函 数 w( x, t ) 满 足 (3.1.10) 中 的 方 程 . 定理证毕.
第二章 二阶线性偏微分方程的 分类及行波法
记 一般的二阶线性偏微分方程 ( x, y) B
2
4 AC
称其为二阶线性偏微分方程的判别式
它的特征方程为 ( x, y) 0
Auxx 2Buxy Cu yy Dux Euy Fu G, (*)
双曲型方程
A( xd xdy C dx ,y y) 02Bd 椭圆型方程
utt a 2u xx f ( x, t ), u ( x, 0) ( x), ut ( x, 0) ( x), u (0, t ) 0, u ( L, t ) 0, 0 x L, t 0, 0 x L, t0
线性叠加原理的另一个表现形式为齐次化原理。 为处理非齐次方程的定解问题，需要齐次化原理。 针对不同的定解问题齐次化原理的具体形式不同， 举例如下
…… ②
ut |t 0 af '1 ( x a 0) af 2 '( x a 0)
af ' x ag ' x x
x
由第二式得
其中
1 f x g x d C .............③ a0 C f (0) g (0)
1 . 基本思想： 先求出偏微分方程的通解，然 后用定解条件确定特解。这一思想与 常微分方程的解法是一样的。 2 .关键步骤： 通过变量变换，将波动方程化为 便于积分的齐次二阶偏微分方程。 3 .适用对象： 无界域内波动方程的初值问题
一维波动方程的达朗贝尔公式
本节以行波解法为依据，介绍求解定解问题的 达朗贝尔公式. 设有一维无界弦自由振动（即无强迫 力）定解问题为
n 个自变量的二阶线性偏微分方程表示为 2
n
n u u aij b j cu f xi x j j 1 x j i , j 1
引进线性偏微分算子
n L aij bj c xi x j x j i , j 1 j 1 n 2
则可简单表示为
2
2u 2u 2u 2 2 2
同理可求另一个二阶偏导数，然后代入方程
利用初始条件，确定两个函数的具体形式。
u |t 0 f ( x a 0) g( x a 0)
f x g x x ……………①
x
3a 2
t=1/2
u2
随着时间 t 的推移 u2的图形 以速度a 向x轴正 向移动.
t=1
2a
x
a
t=2
3a
x
物理意义: 随着时间 t 的推移, u2 g x at 的图形以速度 a 向 x 轴正方向移动, 也
就是说, 它表示一个以速度a 向x 轴正方
向行进的波, 称为右行波.
同样道理,
(dy) ( A B)dxdy AB(dx) dy Adx dy Bdx 0
2 2
求得特征坐标为
y Bx y Ax
原方程的标准型为
u 0
2
二. 行波法与达朗贝尔公式
偏微分方程的通解法中有一种特殊的 解法―行波法, 即以自变量的线性组合作 变量代换，进行求解的一种方法，它对 波动方程的求解十分有效.
Lu( x) f ( x)
最常见的线性微分算子
3 2 2 2 x y z