09 3-6 系统稳定性分析3-7 稳态误差分析(1)

§3.7 稳态误差分析 (2)
§3.7.1 误差与稳态误差
按输入端定义的误差
E(s) R(s) H(s)C(s)
按输出端定义的误差 E(s) R(s) C(s) H(s)
稳态误差
ess
lim e(t )
t
e()
§3.7.2 计算稳态误差的一般方法
（1）判定系统的稳定性 （2）求误差传递函数 （3）用终值定理求稳态误差
§3.6 系统稳定性分析（4）
(2) 劳斯（Routh）判据
D(s) an sn an1sn1 an2sn2 a1s a0 0
劳斯表
sn s n1 s n 2 s n 3
an an1
b1 c1
an2 an3
b2 c2
an4 an5
b3 c3
an6 an7
b4 c4
bb2c31132abnn11a11annnn375aa46b2nn11a11aannnn1a1abnn243573
i 1
系统稳定的充要条件：系统所有闭环特征根均具有负的实部，
或所有闭环特征根均位于左半s平面。
§3.6 系统稳定性分析（3）
§3.6.3 稳定判据 D(s) an sn an1sn1 a1s a0 0 (an 0)
(1)必要条件 ai 0 i 0, 1, 2, , n 1
说明： D(s) (s 1)(s 2)(s 3) (s2 3s 2)( s 3) s3 6s2 11s 6
s0
R( s)
1
1
K sv
G0 (s)
§3.7.3 静态误差系数法（2）
1
1
ess
lim s
s0
e (s)
R(s)
lim s
s0
R(s) 1 G1(s)H (s)
lim s
s0
R( s) 1
K sv
G0 ( s)
A
1
A
A
r(t) A1(t)
essp
lim
s0
s
e
(
s)
R(
s
)
lim
s0
s
s
§3 时域分析法
§3.1 §3.2 §3.3 §3.4 §3.5 §3.6 §3.7
引言 脉冲响应函数 一阶系统 二阶系统 高阶系统及性能估计 系统稳定性分析 稳态误差分析
控制工程导论 （第 18 讲）
§3 时域分析法
§3.7 稳态误差分析 (1)
课程回顾
§3.6.1 稳定性的概念 limk(t) 0 t
ds
出现全零行时，系统可能出现一对共轭虚根；或一对符号 相反的实根；或两对实部符号相异、虚部相同的复根。
§3.6 系统稳定性分析（8）
例5 D(s)=s5+ 2s4-s-2=0 =(s+2)(s+1)(s-1)(s+j5)(s-j5)
解. 列劳斯表
s5 1
0
s4 2
0
-1 -2 列辅助方程： 2s4 2 0
(1)
G(s)
s
(s2
Ka
20xs
100)
K Ka 100
D(s) s3 20x s2 100 s 100K 0
s3
1
100
s2
20x
100K
s1 2000x 100K 0
20x
s0
100K
x0 K 20x
K0
§3.6 系统稳定性分析（10）
(2)当
当
xx22时时，，进确行平定移使：全部s极点s均位1 于s=-1之左的K值范围。
控制工程导论 （第 17 讲）
§3 时域分析法
§3.6 系统稳定性分析
§3.6 系统稳定性分析（1）
§3.6.1 稳定性定义
稳定是控制系统正常工作的首要条件。分析、判定系 统的稳定性，并提出确保系统稳定的条件是自动控制理论 的基本任务之一。
定义：如果在扰动作用下系统偏离了原来的平衡状态，当 扰动消失后，系统能够以足够的准确度恢复到原来 的平衡状态，则系统是稳定的；否则，系统不稳定。
解. 列劳斯表
s5 1
12
s4 3
20
出现全零行时：
35 25
用程3上，123一将2行其0元对13素S6求组3导成3一53辅次助2，5方 830
s3
16 3
80 3
s2 5
25
s1 100
0
s0 25
用新方程的系数代替全零 行系数，之后继续运算。
列辅助方程： 5s2 25 0
d 5s2 25 10s 0
s(Ts 1)
D(s) Ts2 s K 0
s(Ts 1) 1 1
essr
lim
s0
s
e (s)
R(s)
lim
s0
s
s(Ts 1)
K
s2
K
Kn
en(s)
E(s) N (s)
1
Tns 1 K
(Tn s
Kns(Ts 1)
1)s(Ts 1)
K
s(Ts 1)
essn
lim
s0
s3 80 00
s2 e0
-2
d 2s4 2 8s3 0
ds
s1 16 /e 0
s0 -2
第一列元素变号一次，有一个正根，系统不稳定
§3.6 系统稳定性分析（9）
例6 系统结构图如右，
(1)确定使系统稳定的参数(K,x的范围;
(2)当x2时，确定使全部极点均位于s=-1之左的K值范围。
解.
§3.6.2 稳定的充要条件
系统闭环特征方程的所有根都具有负的实部 或所有闭环特征根均位于左半s平面
§3.6.3 稳定判据
D(s) an sn an1sn1 a1s a0 0
（1）判定稳定的必要条件 ai 0
（2）劳斯判据 （3）劳斯判据特殊情况的处理 （4）劳斯判据的应用（判定稳定性，确定稳定的参数范围）
K 0.61
课程小结
§3.6.1 稳定性定义 lim k(t) 0 t
§3.6.2 稳定的充要条件
系统闭环特征方程的所有根都具有负的实部 或所有闭环特征根均位于左半s平面
§3.6.3 稳定判据
D(s) ansn an1sn1 a1s a0 0
（1）判定稳定的必要条件 ai 0
§3.6 系统稳定性分析（2）
§3.6.2 稳定的充要条件
根据系统稳定的定义，若 lim k(t) 0 ,则系统是稳定的。
t
必要性：
(s)
M(s)
bm (s z1 ) (s z2 )
(s zm )
D(s) an(s 1 ) (s 2 ) (s n )
C(s) (s)
A1பைடு நூலகம்
A2
D(s)
s3
s
2s012
s2
100 s
100K
0
D(s ) (s 1)3 40 (s 1)2 100(s 1) 100K 0
s 3 37 s 2 23 s (100K 61) 0
s3
1
23
s2
37 100K 61
s1
912 100K 37
0
K 9.12
s 0 100K 61
(s21)3(ss22))(s s23) 2s
s3 3s2 2s s 2 3s2 s29s 3s6 2
s3 6s2 11s 6
D(s) s5 6s4 9s3 2s2 8s 12 0 不稳定
例1 D(s) s5 4s4 6s2 9s 8 0
不稳定
D(s) s4 5s3 7s2 2s 10 0 可能稳定
2
s1 0
s0 2
3e e
2
2 0
2
某行第一列元素为0， 而该行元素不全为0时:
将此0改为e ，
继续运算。
劳斯表第一列元素变号 2次，有2个正根，系统不稳定。
§3.6 系统稳定性分析（7）
例4 D(s)=s5+ 3s4+ 12s3+20s2+35s+25 = (s±j5) (s+1) (s+1±j2) =0
51010 5
10
33
52510 33 5
13834
184 3310 184 33
510
10
劳斯表第一列元素变号 2次，有2个正根，系统不稳定。
§3.6 系统稳定性分析（6）
(3) 劳斯判据特殊情况处理
例3：D(s)=s3-3s+2=0 判定在右半s平面的极点数。
解. 列劳斯表
s3 1
-3
s2 e
E(s) R( s )
s(Ts 1) s(Ts 1) K
s(Ts 1) A
r(t) A1(t)
ess1
lim s s0 s(Ts 1) K
s
0
r(t) A t
s(Ts 1) A A
e ss 2
lim
s0
s
s(Ts 1)
K
s2
K
r(t) A t2 2
s(Ts 1) A
e ss 3
s0
a0
劳斯表第一列元素均大于零时系统稳定，否则系统不稳定
且第一列元素符号改变的次数就是特征方程中正实部根的个数
§3.6 系统稳定性分析（5）
例2：D(s)=s4+5s3+7s2+2s+10=0
解. 列劳斯表
s4 1
7
s3 5
2
s2
33 5
10
s1
118844 3333
s0 10
10
57 5
2
33 5
3 — 17, 18
( m s 1)
(Tnv s 1)
K sv
G0 ( s)
G0 ( s)
( 1s 1)
(T1s 1)
( m s 1)
(Tnv s 1)
lsim0 G0(s) 1
E(s)
1
1
e(s)
R(s)
1 G1(s)H (s)
1
K sv
G0 (s)
essp
lim s
s0
e (s)
R(s)
lim s
s
en(s)
N (s)
lim
s0
s
(Tn s
Kns(Ts 1) 1) s(Ts 1)
K
1 s2
Kn K
ess
essr
essn
1 Kn K
§3.7.2 计算稳态误差的一般方法 (2)
例2 已知系统结构图, 求 r(t)分别为A·1(t), At, At2/2时的稳态误差。
解．
e (s)
（2）劳斯判据 （3）劳斯判据特殊情况的处理 （4）劳斯判据的应用（判定稳定性，确定稳定的参数范围）
控制工程导论
本次课程作业(17)
3 — 12, 14
控制工程导论
讲授：卢 京 潮 作者：周 雪 琴 张 洪 才 出版：西北工业大学出版社
控制工程导论
本次课程作业(18)
3 — 17, 18
控制工程导论 （第 18 讲）
lim
s0
s
s(Ts 1)
K
s3
系统自身的结构参数
影响ess的因素： 外作用的类型（控制量，扰动量及作用点）
外作用的形式（阶跃、斜坡或加速度等）
§3.7.3 静态误差系数法（1）
静态误差系数法 —— r(t)作用时ess的计算规律
G(s)
G1(s)H (s)
K ( 1s 1)
sv (T1s 1)
1 G1(s)H (s)
1
lim
s0
G1
(
s)H
(
s)
1
Kp
Kp
lim
s0
G1
(
s
)
H
(
s
)
lim
s0
K sv
r(t) A t
A
1
A
essv
lim s
s0
e (s)
R(s)
lim s
s0
s2
1 G1(s)H(s)
lim
s0
s
G1
(
s)
H
(
s
)
A
Kv
r(t) A t2 2
K
Kv
lim
s0
An
n
Ai
s 1 s 2
s n i1 s i
n
k(t ) A1e it A2e 2t Ane nt Ai e it
n
i 1
lim k(t)
t
lim
t
i 1
Ai e it
0
充分性： i 0 i 1, 2, , n
i 0 i 1, 2, , n
n
t
k(t ) Aieit 0
§3.7 稳态误差分析 (1)
概述
稳态误差是系统的稳态性能指标， 是对系统控制精度的度量。
对稳定的系统研究稳态误差才有意义， 所以计算稳态误差应以系统稳定为前提。
本讲只讨论系统的原理性误差， 不考虑由于非线性因素引起的误差。
通常把在阶跃输入作用下没有原理性稳态误 差的系统称为无差系统； 而把有原理性稳态误差的系统称为有差系统。
控制工程导论
讲授：卢 京 潮 作者：周 雪 琴 张 洪 才 出版：西北工业大学出版社
控制工程导论
本次课程作业(17)
3 — 12, 14
控制工程导论
（第 17 讲）
§3 时域分析法
§3.1 §3.2 §3.3 §3.4 §3.5 §3.6 §3.7
引言 脉冲响应函数 一阶系统 二阶系统 高阶系统及性能估计 系统稳定性分析 稳态误差分析
E(s)
E(s)
e(s)
, R(s)
en(s)
N (s)
ess
lim s s0
e (s) R(s) en(s) N(s)
§3.7.2 计算稳态误差的一般方法 (1)
例１ 系统结构图如图所示，已知 r(t)=n(t)=t，求系统的稳态误差。
解．
e(s)
E(s) R(s) 1
1 K
s(Ts 1) s(Ts 1) K
s G1(s)H(s)
lim
s0
sv1
A A
1
A
K essa
lim s
s0
e (s)
R(s)
lim s
s0
s3
1 G1(s)H (s)
lim
s0
s
2
G1
(
s)H
(
s)
a
Ka
lim
s0
s2
G1 ( s) H ( s)
lim
s0
K sv2
§3.7.3 静态误差系数法（3）
控制工程导论
本次课程作业(18)