七年级数学下册 角平分线的性质教案
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第3课时 角平分线的性质
1.经历角的平分线性质的发现过程,初步掌握角的平分线的性质定理;(重点)
2.能运用角的平分线性质定理解决简单的几何问题.(难点)
一、情境导入
问题:在S 区有一个集贸市场P ,它建在公路与铁路所成角的平分线上,要从P 点建两条路,一条到公路,一条到铁路.
问题1:怎样修建道路最短?
问题2:往哪条路走更近呢?
二、合作探究
探究点一:角平分线的性质 【类型一】 利用角平分线的性质证明线段相等
如图,在△ABC 中,∠C =90°,AD 是∠BAC 的平分线,DE ⊥AB 于E ,F 在AC 上,∠FDC =∠BDE .试说明:(1)CF =EB ;(2)AB =AF +2EB .
解析:(1)根据角平分线的性质,可得点D 到AB 的距离等于点D 到AC 的距离,即DE =DC .再根据△CDF ≌△EDB ,得CF =EB ;(2)利用角平分线的性质可得△ADC 和△ADE 全等,从而得到AC =AE ,然后通过线段之间的相互转化进行求解.
解:(1)∵AD 是∠BAC 的平分线,DE ⊥AB ,DC ⊥AC ,∴DE =DC .∵在△CDF 和△EDB 中,∵⎩⎪⎨⎪⎧∠C =∠DEB =90°,DC =DE ,∠FDC =∠BDE ,
∴△CDF ≌△EDB (ASA).∴CF =EB ;
(2)∵AD 是∠BAC 的平分线,DE ⊥AB ,DC ⊥AC ,∴∠CAD =∠EAD ,∠ACD =∠AED
=90°.在△ADC 和△ADE 中,∵⎩⎪⎨⎪⎧∠CAD =∠EAD ,∠ACD =∠AED ,AD =AD ,
∴△ADC ≌
△ADE (AAS),∴AC =AE ,∴AB =AE +BE =AC +EB =AF +CF +EB =AF +2EB .
方法总结:角平分线的性质是判定线段相等的一个重要依据,在运用时一定要注意是两条垂线段相等. 【类型二】 角平分线的性质与三角形面积的综合运用
如图,AD 是△ABC 的角平分线,DE ⊥AB ,垂足为E ,S △ABC =7,DE =2,AB =4,则AC 的长是( )
A .6
B .5
C .4
D .3
解析:过点D 作DF ⊥AC 于F .∵AD 是△ABC 的角平分线,DE ⊥AB ,∴DF =DE =2,
∴S △ABC =12×4×2+12
AC ×2=7,解得AC =3.故选D. 方法总结:利用角平分线的性质作辅助线构造三角形的高,再利用三角形面积公式求出线段的长度是常用的方法.
【类型三】 角平分线的性质与全等三角形综合
如图所示,D 是△ABC 外角∠ACG 的平分线上的一点.DE ⊥AC ,DF ⊥CG ,垂足分别为E ,F .试说明:CE =CF .
解析:由△DEC ≌△DFC 得出CD 平分∠EDF ,根据角平分线的性质,得出CE =CF . 解:∵CD 是∠ACG 的平分线,∴∠ECD =∠FCD .在△DEC 和△DFC 中,∵⎩⎪⎨⎪⎧∠DEC =∠DFC =90°,∠ECD =∠FCD ,DC =DC ,
∴△DEC ≌△DFC (AAS),∠EDC =∠FDC .又∵DE ⊥AC ,DF ⊥CG ,∴CE =CF .
方法总结:全等三角形的判定离不开边,而角平分线的性质是判定线段相等的主要依据,可作为判定三角形全等的条件.
【类型四】 角平分线的性质与线段垂直平分线性质的综合运用
如图,在四边形ADBC 中,AB 与CD 互相垂直平分,垂足为点O .
(1)找出图中相等的线段;
(2)OE ,OF 分别是点O 到∠CAD 两边的垂线段,试说明它们的大小有什么关系. 解析:(1)由垂直平分线的性质可得出相等的线段;(2)由条件可得△AOC ≌△AOD ,可得AO 平分∠DAC ,根据角平分线的性质可得OE =OF .
解:(1)∵AB 、CD 互相垂直平分,∴OC =OD ,AO =OB ,AC =BC =AD =BD ;
(2)OE =OF ,理由如下:在△AOC 和△AOD 中,∵⎩⎪⎨⎪⎧AC =AD ,OC =OD ,AO =AO ,
∴△AOC ≌△AOD (SSS),
∴∠CAO =∠DAO .又∵OE ⊥AC ,OF ⊥AD ,∴OE =OF .
方法总结:本题是线段垂直平分线的性质和角平分线的性质的综合,掌握它们的适用条件和表示方法是解题的关键. 【类型五】 角平分线的性质与等腰三角形的性质综合的探究性问题
如图,已知△ABC 是等腰直角三角形,∠BAC =90°,BE 是∠ABC 的平分线,DE ⊥BC ,垂足为D .
(1)请你写出图中所有的等腰三角形;
(2)请你判断AD 与BE 垂直吗?并说明理由.
(3)如果BC =10,求AB +AE 的长.
解析:(1)由△ABC 是等腰直角三角形,BE 为角平分线,可得△ABE ≌△DBE ,即AB =BD ,AE =DE ,所以△ABD 和△ADE 均为等腰三角形.由∠C =45°,ED ⊥DC ,可知△EDC 也是等腰三角形;(2)BE 是∠ABC 的平分线,AE ⊥AB ,DE ⊥BC ,根据角平分线定理可知△ABE 关于BE 与△DBE 对称,可得出BE ⊥AD ;(3)根据(2),可知△ABE 关于BE 与△DBE 对称,且△DEC 为等腰直角三角形,可推出AB +AE =BD +DC =BC =10.
解:(1)△ABC ,△ABD ,△ADE ,△EDC ;
(2)AD 与BE 垂直.理由如下:由BE 为∠ABC 的平分线,知∠ABE =∠DBE .又∵∠BAE =∠BDE =90°,BE =BE ,∴△ABE 沿BE 折叠,一定与△DBE 重合,∴A 、D 是对称点,∴AD ⊥BE ;
(3)∵BE 是∠ABC 的平分线,∴∠ABE =∠DBE ,∵DE ⊥BC ,EA ⊥AB ,∴∠BAE =∠BDE .
在△ABE 和△DBE 中,⎩⎪⎨⎪⎧∠ABE =∠DBE ,∠BAE =∠BDE ,BE =BE ,
∴△ABE ≌△DBE (AAS),∴AB =BD ,AE =DE .
又∵△ABC 是等腰直角三角形,∠BAC =90°,∴∠C =45°.又∵ED ⊥BC ,∴△DCE 为等腰直角三角形,∴DE =DC =AE ,即AB +AE =BD +DC =BC =10.
探究点二:角平分线的画法
如图,AB ∥CD ,以点A 为圆心,小于AC 长为半径作圆弧,分别交AB ,AC 于E ,
F 两点,再分别以E 、F 为圆心,大于12
EF 的长为半径画弧,两弧交于点P ,作射线AP ,交CD 于点M .若∠ACD =120°,求∠MAB 的度数.
解析:根据AB ∥CD ,∠ACD =120°,得出∠CAB =60°.再根据尺规作图得出AM 是∠CAB 的平分线,即可得出∠MAB 的度数.