2019秋五年级精英班讲义 第10讲 对应解答

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JY(5)第十讲 对应解答
一、基础例题
1、猫妈妈给小猫们分大鱼和小鱼，小鱼的条数是大鱼的一半。

每只猫分 3 条小鱼、7 条大鱼，分完之后小鱼多 3 条，大鱼少 5 条。

共有多少条鱼？
答案：108。

解析：假设小猫
有 a 只。

根据题意：7a =3a ＋3＋3a ＋3＋5。

小猫有：a =11（只）。

鱼有：
3×11+3+7×11－5=108(条)。

2、非洲大草原是角马的乐土，其中有一块肥美的草场，草每天均匀生长。

这片草地可供 40 头角马吃 7 天，或可供 80 头角马吃 3 天。

有 50 头角马刚迁徙 到这片草场就被一群狮子盯上了，如果每天晚上狮子都捕猎两头角马，这群角 马第几天就会离开此地寻找新的食物。

(如果草被吃光，角马第二天就会离开)
答案：7。

解析：设一头角马一天吃草量为 1 份，40×7＝280(份)，80×3＝240(份)，每 天新生草：（280－240）÷（7－3）＝10(份)，原有草：280－7×10＝210(份)。

1 天 后，还剩下 210＋10－50＝170(份)，2 天后，还剩 170＋10－48＝132(份)，3 天 后，还剩 132＋10－46＝96(份)，4 天后，还剩 96＋10－44＝62(份)，5 天后，还 剩 62＋10－42＝30(份)，6 天后，还剩 30＋10－40＝0，所以这群角马第 7 天就 会离开此地寻找新的食物。

3、小明写自然数从 1 写到 N ，所写下的数字之和是 28035，那么 N 等于多 少？
答案：2006。

解析：先估计从 1 写到 1999,0 与 1999 配对，1 与 1998 配对，……，999 与 1000 配对，所写下的数字之和为（1+9+9+9）×1000=28000，还剩 28035-28000=35， 2000，2001，2002，…，2006 数字和是 35，故
N =2006。

4、已知小于 1000 且与 1000 互质的自然数有 400 个，求这 400 个自然数的 和。

答案：200000。

解析：若m 与1000 互质，则1000-m 也与1000 互质，那么m 与1000-m 对应，而m+1000-m=1000。

因此400 个数共配对200 对，这400 个数的和为
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5、从1985 到4891 的整数中，十位数字与个位数字相同的数共有多少个？
答案：291。

解析：因为十位数字与个位数字是相同的，那么我们设想把两
个数合并成
一个数，这样一来，四位数就变成了三位数。

把在1985～4891 的自然数中十位
数字与个位数字相同的数1988、1999、…、4888 与合并后三位数建立一一对应
关系。

（1988→198），（1999→199），（2000→200），……，（4888→488）综上
所述共有488-198+1=291 个。

6、有多少个四位数，满足个位上的数字比千位数字大，千位数字比百位数
字大，百位数字比十位数字大？
答案：210。

解析：由于四位数的四个数位上的数的大小关系已经非常明确，而对于从
0～9 中任意选取的4个数字，它们的大小关系也是明确的，那么由这4个数字
只能组成1个符合条件的四位数(题目中要求千位比百位大，所以千位不能为
0，本身已符合四位数的首位不能为0的要求，所以进行选择时可以把0包含在内)，也就是说满足条件的四位数的个数与从0～9 中选取4个数字的选法是
一一对应的关系，那么满足条件的四位数有C4= 10 ⨯ 9 ⨯ 8 ⨯ 7 = 210 个。

4 ⨯ 3 ⨯ 2 ⨯1
7、圆周上有10 个点，任两点之间连一条弦，这些弦在圆内最多有多少个
交点？
答案：210。

解析：如下图所示，P 是圆上四点A、B、C、D 所引的弦在圆内的唯一交点，即圆内接四边形A BCD 对角线的交点。

A
D
P
B
C
那么，当没有三弦交于圆内一点时，弦在圆内的交点个数最多，且这时弦在圆内的交点与相应的圆内接四边形是一一对应的，所以这些弦在圆内最多有10×9×8×7÷（4×3×2×1）=210 个交点。

8、新款的足球是用正十边形、正六边形、正四边形的皮缝合制成的，如图200×1000=200000。

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所示。

已知一个新款的足球上正十边形的皮有12 块，请问这只足球上有几块正六边形的皮？
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答案：20。

解析：每个正六边形有 3 条边与正十边形相邻，而每个正十边形有 5 条边 与正六边形相邻，因此正六边形的皮共有 12×5÷3=20 块。

9、在 8×8 的黑白相间染色的国际象棋棋盘中，以网格线为边的、恰包含两 个白色小方格与一个黑色小方格的长方形共有多少个？
答案：48。

解析：事实上，每一行都有 6 个1⨯ 3 长方形，所以棋盘上横、竖共有1⨯ 3 长 方形 6 ⨯ 8 ⨯ 2 = 96个。

由于棋盘上的染色具有对称性，因此包含两个白色小方格与 一个黑色小方格的长方形正好与包含两个黑色小方格与一个白色小方格的长方 形具有一一对应关系，这说明它们各占一半，因此所求的长方形个数为 96 ÷ 2 = 48 个。

10、从自然数 1,2,3,4,5,6,7,8,9 中每次取出所有可能的 1 个数，2 个数，3 个 数，…，9 个数，先求每次取出数的和，再求出所有和的总和，请你求出这个总 和是多少？
答案：11520。

解析：取出 N 个数，相当于排除其余的 9-N 个数，而 9-N 个数又会在从 9 个数中选取 9-N 个数的时候出现。

如选取 1,2,3→排除 4,5,6,7,8,9。

因此选出 N 个数与选出 9-N 个数是对应的，每一对的和是 45。

（1）从 9 个数选取 1 个数与选取 8 个数都有 9 种选法；
（2）从 9 个数选取 2 个数与选取 7 个数都有 9×8÷2=36 种选法；
（3）从 9 个数选取 3 个数与选取 6 个数都有 9×8×7÷（3×2×1）=84 种选法；
（4）从 9 个数选取 4 个数与选取 5 个数都有 9×8×7×6÷（4×3×2×1）=126 种选法；。