概率论与数理统计(II)期末考试样卷2参考答案

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概率论与数理统计（II ）期末考试样卷2参考答案

注意：所有数据结果保留小数点后两位，本试卷可能用的数据如下：

2

0.9750.9750.02520.9750.9750.95(1.5)0.933, 1.96,(24) 2.064,(2.10)0.98,(24)12.40,(24)39.36,(10) 2.23,(2,21) 3.47,

U t t F χχΦ===Φ=====

一、填空题( 每小题3分，共24分)

1． 在总体~(5,16)X N 中随机地抽取一个容量为36的样本，则样本均值x 落在4与6之间的概率为 0.87 .

2. 设1234,,,X X X X 是取自正态总体~(0,4)X N 的简单随机样本且

()()2

2

1234234Y a X X b X X =-+-，则a = 0.05 ，b = 0.01 时，统计量Y 服从2

χ分布。

3．设161,,x x 是来自(8,4)N 的样本，则(1)(5)P x >= 16(0.933) . 4．设1,,n X X 为来自(0

,)(0)U θθ>的一个样本，1

1

,n

i n

i X X ==

∑则未知参数θ的矩估计量

是 2X ，最大似然估计是 1max(,,)n X X .

5．设总体分布为()P λ，则其费希尔信息量为 1λ .

6．设1,,n X X 为来自2

(,)N μσ的一个样本，欲使1

ˆn

i i c X X σ

==-∑为σ的无偏估计，则常数 c 7．由来自正态总体2~(,0.9),X N μ容量为9的简单随机样本，若得到样本均值0.5X =，则未

知参数μ的置信度为0.95的置信区间为 [-0.088,1.088] 。

8．设1,,n X X 为来自2(,)N μσ的一个样本,22

111

()n

i n i S X X -==-∑

,其中参数2,μσ未知，要检验假设2

2

00

:H σσ=应用 2

χ 检验法，检验的统计量是

2

20

1n S σ-（） 。

二、单项选择题（每小题2分，共8分）

1. 设1,,n X X 为来自2(,)N μσ的一个样本，其中μ已知而2

σ未知，则下列各选项中的量不是统计量的是（ C ）。

()(){}222

111

11.;.;.;.min n

n

n

i i i i i n

i i i X A X B X X C D X n μσ≤≤===⎛⎫

-- ⎪⎝⎭

∑∑∑ 2. 设18,,X X 和110,,Y Y 分别来自两个正态总体()

21,2N -和

(2,5)N 的样本，且相互独立，22

12

,S S 分别为两个样本的样本方差，则服从(7,9)F 的统计量是（B ）。

2222

11112222

2222

545.;.;.;..452S S S S A B C D S S S S 3. 设总体X 服从正态分布),(2σμN ，其中μ为未知参数，2

σ已知，12,n X （X ，X ，）为取自总体的样本，记1

1

n

i

n

i X X

==

∑，则0.95

0.95u X u + （X － 作为 μ的置信区间，其置信度为 （ B ）

A. 0.95

B. 0.90

C. 0.975

D. 0.05

4. 在假设检验中，记1H 为备择假设，则称（B ）为犯第一类错误。

A ．1H 真，接受1H ；

B ．1H 不真，接受1H ；

C ．1H 真，拒绝1H ；

D ．1H 不真，拒绝1H 。

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三、计算题（共20分）

1（8分） 设1,,n X X 为来自总体()~X E x p

λ，试求最小次序统计量(1)X 的均值与方差。 解：由()~X E x p λ，可知，X 的密度函数为(,),0x p x e x λλλ-=≥，分布函数

(,)1,0x

F x e

x λλ-=-≥，令Y X =(1)，则Y 的密度函数为

1

1

()[1()]

()[],0n y n y

n y

Y X P y n F y P y n e e

n e

y λλλλλ-----=-==≥，故

2

2

2

2221

2

(1)(1)()0

2

2

2211(1)(

)()()(),()()

()()[()](n y

n y n n n n n E X E Y yn e dy

E X E Y y n e dy Var X E Y E Y λλλ

λλ

λλλλ∞∞

--======

=-=

-=

⎰⎰

2（6分）设总体X 具有分布律：

其中

为未知参数。已知取得了样本值

，试求的最大似然估计值。

解： 似然函数为：

对数似然函数为：

令

解得的最大似然估计值为

3（6分） 生产一个零件所需时间(单位：秒)2~(,)X N μσ,观察25个零件的生产时间得

5.5, 1.73x s ==. 试求μ和2σ的95%置信区间。

解：依题意：10.95α-=，故0.05α=，从而μ的95%置信区间为：

2

0.9751( 5.5 5.50.714[4.79.16,6.21]x t n t α-±-=±=±= 2σ的95%置信区间为：2

2

2222

221(1)(1)24 1.7324 1.73[

,][,[1.82,5.79](1)(1)39.3612.42

n S n S n n ααχχ---⨯⨯==--

四、应用题（每小题8分，共24分）

1（8分） 从甲乙两个蓄电池厂的产品中分别抽取6个产品

,测得蓄电池的容量(A.h)如下:

甲厂

140 , 138 , 143 , 141 , 144 , 137; 乙厂 135 , 140 , 142 , 136 , 138 , 140

设蓄电池的容量服从正态分布,且方差相等,试显著性水平0.05α=下判断两个工厂生产的蓄电池的容量均值是否相等。

解：(1)用X 表示甲厂蓄电池的容量，用Y 表示乙厂蓄电池的容量，由假定，

2212(,),(,)X N Y N μσμσ ，要检验的假设是：012112:,:H

H μμμμ=≠

则140.5,138.5x y ==，()()

6

6

2

2

11

37.5,

35.5i i i i x x y y ==-=-=∑∑

2.70w S =

=

=

1.28x y

t =

==，由0.975(10) 2.23t t <=，不能拒绝原假设，即两个工厂生产的蓄电池的容量均值是相等的。

2. 一支香烟中的尼古丁含量X 服从正态 分布N (μ,1)，质量标准μ 规定不能超过1.5毫克。现从某厂生产的香烟中随机抽取20支测 得其中平均每支香烟的尼古丁含量为 1.97x =毫克 。（I ）试给出检验的p 值；（II ）问在0.05α=下该厂生产的香烟尼古丁含量是否符