线面垂直的性质资料
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l
b α
β
a
练习4:设l为直线，α、β为平面， 若l⊥α，l⊥β，则平面α、β的位 置关系如何？为什么？
l α
β
练习5、在空间，下列命题 （1）平行于同一直线的两条直线互相平行； （2）垂直于同一直线的两条直线互相平行； （3）平行于同一平面的两条直线互相平行； （4）垂直于同一平面的两条直线互相平行。
例2 如图，已知 l,C于A点A，, 于
点BC，B
a , a AB,
求证：a //.l
证明：
C β
CA ,l .CA l
B
同理可得：CB l
α
CA CB C.l 面ABC l
A a
CA , a .CA a
又a AB
a 面ABC
a // l
1。如图,已知PA⊥矩形ABCD所在平面,M,N分别 是AB,PC的中点. (1)求证:MN⊥CD; (2)若∠PDA=45°,求证:MN⊥平面PCD.
问:你知道用反证法证明命题的一般步骤吗？ 答：否定结论→推出矛盾→肯定结论
引导：第一步，做一个反面的假设，假定b与a不平行， 现在应该要推出矛盾，从已知条件中的垂直关系，让我 们想起例题1，因此需要添加一条辅助线，使它和a平 行．这样过一点有两条直线与a平行，得出矛盾。
证明: 假设b不平行于a, b O,c是经过点O
欲证线线平行，考虑证这两线与某一平面垂 直。
系？
ab
α
探究三：如果直线a，b都垂直于平 面α，由观察可知a//b，从理论上 如何证明这个结论？
请同学们写出已知、求证并结合题意画出图形.
已知：a⊥α， b⊥α 求证：a∥b．
分析：a、b是空间中的两条直线，要证明它 们互相平行，一般先证明它们共面，然后转 化为平面几何中的平行判定问题，但这个命 题的条件比较简单，想说明a、b共面就很困 难了，更何况还要证明平行． 我们能否从另一个角度来证明，比如，a、b不平行会有 什么矛盾？这就是我们提到过的反证法．
2.直线和平面垂直的判定定理
：如果一条直线和一个平面内的两条相
交直线都垂直，那么这条直线垂直于这
个平面． 符号语言
l b
la
l
b
a b p
α
l
a
P
b
例1 如图，已知 a // b, a ，求证 b .
在空间
过一点，有几条直线 与已知平面垂直？
过一点，有几个平面 与已知直线垂直？
过一点有且只有一条直线和已 知平面垂直.
2。P71练习：1，2.
P
A
M B
E N
D
C
练习:如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，EF是异 面直线AC与A1D的公垂线，求证：EF//BD1. 提示：异面直线的公垂线是指和两条异面直线 都垂直相交的直线
D1
C1
A1
F
B1 D
C
E
A
B
三、小结：
1、直线和平面垂直的性质定理；
2、一种证明直线和直线平行的方法；
与直线a平行的直线
因为a // c, a ,
所以c
ab
c
O
即经过同一点O的两条直线b，c都
垂直于平面，这是不可能的
因此a // b
据上述分析，得到一个什么结论？
2、直线和平面垂直的性质定理：
如果两条直线同垂直于一个平面，那么
这两条直线平行.
图形语言：
β
a
b
符号语言：
a ，b a // bα
作用：证线线平行
练习1:设a，b为直线，α为平面， 若a⊥α，b//a，则b与α的位置关 系如何？为什么？
ab
α
练习2:设a，b为直线，α为平面， 若a⊥α，b//α，则a与b的位置关 系如何？为什么？
b
a
l
α
练习3:设l为直线，α，β为平面， 若l⊥α，α//β，则l与β的位置关 系如何？为什么？
二、实例引入 生活中有很多直线与平面垂直的实例，你能举出几
个吗？
大桥的桥柱与水面垂直 这两条垂直于同一个平面的直线具有怎样的位置关系？
如何判定线面垂直？
1、定义 2、判定定理 3、例１的结论
1、线面垂直的概念
一条直线和平面内的任何一 条直线都垂直，我们就说这条直 线和这个平面互相垂直．
一、复习回顾
m A
过一点有且只有一个平面和已 知直线垂直.
m
A
B
知识探究
如图，长方体ABCD—A1B1C1D1中，棱 AA1，BB1，CC1，DD1所在直线与底面 ABCD的位置关系如何？它们彼此之 间具有什么位置关系？
C1 B1
D1 A1
C
D
B
A
探究二：一个平面的垂线有多少条？
这些直线彼此之间具有什么位置关
正确的是（ B ）
A. (1)(3)(4) C. (1)
B. (1)(4) D.四个命题都正确。
例题分析,巩固新知:
例1：设直线a,b分别在正方体 ABCD A' B'C ' D'
中两个不同的平面内，欲使a//b，a,b应满足什 么条件？
分析：结合两直线平行wenku.baidu.com判定 定理，考虑a，b满足的条件。
解：a，b满足下面条件中的任何 一个，都能使a∥b， （1）a，b同垂直于正方体一个面； （2）a，b分别在正方体两个相对的 面内且共面； （3）a，b平行于同一条棱； （4）如图，E，F，G，H分别为B'C’，CC’，AA’， AD的中点，EF所在的直线为a，GH所在直线为b， 等等。
b α
β
a
练习4:设l为直线，α、β为平面， 若l⊥α，l⊥β，则平面α、β的位 置关系如何？为什么？
l α
β
练习5、在空间，下列命题 （1）平行于同一直线的两条直线互相平行； （2）垂直于同一直线的两条直线互相平行； （3）平行于同一平面的两条直线互相平行； （4）垂直于同一平面的两条直线互相平行。
例2 如图，已知 l,C于A点A，, 于
点BC，B
a , a AB,
求证：a //.l
证明：
C β
CA ,l .CA l
B
同理可得：CB l
α
CA CB C.l 面ABC l
A a
CA , a .CA a
又a AB
a 面ABC
a // l
1。如图,已知PA⊥矩形ABCD所在平面,M,N分别 是AB,PC的中点. (1)求证:MN⊥CD; (2)若∠PDA=45°,求证:MN⊥平面PCD.
问:你知道用反证法证明命题的一般步骤吗？ 答：否定结论→推出矛盾→肯定结论
引导：第一步，做一个反面的假设，假定b与a不平行， 现在应该要推出矛盾，从已知条件中的垂直关系，让我 们想起例题1，因此需要添加一条辅助线，使它和a平 行．这样过一点有两条直线与a平行，得出矛盾。
证明: 假设b不平行于a, b O,c是经过点O
欲证线线平行，考虑证这两线与某一平面垂 直。
系？
ab
α
探究三：如果直线a，b都垂直于平 面α，由观察可知a//b，从理论上 如何证明这个结论？
请同学们写出已知、求证并结合题意画出图形.
已知：a⊥α， b⊥α 求证：a∥b．
分析：a、b是空间中的两条直线，要证明它 们互相平行，一般先证明它们共面，然后转 化为平面几何中的平行判定问题，但这个命 题的条件比较简单，想说明a、b共面就很困 难了，更何况还要证明平行． 我们能否从另一个角度来证明，比如，a、b不平行会有 什么矛盾？这就是我们提到过的反证法．
2.直线和平面垂直的判定定理
：如果一条直线和一个平面内的两条相
交直线都垂直，那么这条直线垂直于这
个平面． 符号语言
l b
la
l
b
a b p
α
l
a
P
b
例1 如图，已知 a // b, a ，求证 b .
在空间
过一点，有几条直线 与已知平面垂直？
过一点，有几个平面 与已知直线垂直？
过一点有且只有一条直线和已 知平面垂直.
2。P71练习：1，2.
P
A
M B
E N
D
C
练习:如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，EF是异 面直线AC与A1D的公垂线，求证：EF//BD1. 提示：异面直线的公垂线是指和两条异面直线 都垂直相交的直线
D1
C1
A1
F
B1 D
C
E
A
B
三、小结：
1、直线和平面垂直的性质定理；
2、一种证明直线和直线平行的方法；
与直线a平行的直线
因为a // c, a ,
所以c
ab
c
O
即经过同一点O的两条直线b，c都
垂直于平面，这是不可能的
因此a // b
据上述分析，得到一个什么结论？
2、直线和平面垂直的性质定理：
如果两条直线同垂直于一个平面，那么
这两条直线平行.
图形语言：
β
a
b
符号语言：
a ，b a // bα
作用：证线线平行
练习1:设a，b为直线，α为平面， 若a⊥α，b//a，则b与α的位置关 系如何？为什么？
ab
α
练习2:设a，b为直线，α为平面， 若a⊥α，b//α，则a与b的位置关 系如何？为什么？
b
a
l
α
练习3:设l为直线，α，β为平面， 若l⊥α，α//β，则l与β的位置关 系如何？为什么？
二、实例引入 生活中有很多直线与平面垂直的实例，你能举出几
个吗？
大桥的桥柱与水面垂直 这两条垂直于同一个平面的直线具有怎样的位置关系？
如何判定线面垂直？
1、定义 2、判定定理 3、例１的结论
1、线面垂直的概念
一条直线和平面内的任何一 条直线都垂直，我们就说这条直 线和这个平面互相垂直．
一、复习回顾
m A
过一点有且只有一个平面和已 知直线垂直.
m
A
B
知识探究
如图，长方体ABCD—A1B1C1D1中，棱 AA1，BB1，CC1，DD1所在直线与底面 ABCD的位置关系如何？它们彼此之 间具有什么位置关系？
C1 B1
D1 A1
C
D
B
A
探究二：一个平面的垂线有多少条？
这些直线彼此之间具有什么位置关
正确的是（ B ）
A. (1)(3)(4) C. (1)
B. (1)(4) D.四个命题都正确。
例题分析,巩固新知:
例1：设直线a,b分别在正方体 ABCD A' B'C ' D'
中两个不同的平面内，欲使a//b，a,b应满足什 么条件？
分析：结合两直线平行wenku.baidu.com判定 定理，考虑a，b满足的条件。
解：a，b满足下面条件中的任何 一个，都能使a∥b， （1）a，b同垂直于正方体一个面； （2）a，b分别在正方体两个相对的 面内且共面； （3）a，b平行于同一条棱； （4）如图，E，F，G，H分别为B'C’，CC’，AA’， AD的中点，EF所在的直线为a，GH所在直线为b， 等等。