百校联盟2020届高三4月教育教学质量监测考试(全国Ⅰ卷) 数学(文) 含答案
2020年百校联盟高考(文科)数学(4月份)模拟试卷(全国Ⅰ卷) 含解析
2020年高考（文科）数学（4月份）模拟试卷（全国Ⅰ卷）一、选择题（共12小题）.1．已知集合A＝{x∈Z|x2≤1}，B＝{x|x•ln（x+3）＝0}，则A∪B＝（）A．{﹣1，0，1}B．{﹣2，﹣1，1}C．{﹣2，0，1}D．{﹣2，﹣1，0，1}2．设是复数z的共轭复数，若•i＝1+i，则z•＝（）A．B．2C．1D．03．下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（）A．y＝x sin x B．y＝xlnxC．D．4．数列{a n}是等比数列，S n是其前n项和，a n＞0，a2+a3＝4，a3+3a4＝2，则S3＝（）A．B．12C．D．135．已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．2C．D．6．已知函数f（x）＝2cos2x﹣cos（2x﹣），则下列结论正确的个数是（）①函数f（x）的最小正周期为π；②函数f（x）在区间[0，]上单调递增；③函数f（x）在[0，]上的最大值为2；④函数f（x）的图象关于直线x＝对称．A．1B．2C．3D．47．如图，在△ABC中，AB＝2，AC＝3，∠BAC＝，M、N分别为BC、AM的中点，则＝A．﹣2B．﹣C．﹣D．8．改编自中国神话故事的动画电影《哪吒之魔童降世》自7月26日首映，在不到一个月的时间，票房收入就超过了38亿元，创造了中国动画电影的神话．小明和同学相约去电影院观看《哪吒之魔童降世》，影院的三个放映厅分别在7：30，8：00，8：30开始放映，小明和同学大约在7：40至8：30之间到达影院，且他们到达影院的时间是随机的，那么他们到达后等待的时间不超过10分钟的概率是（）A．B．C．D．9．已知函数在（，+∞）上为减函数，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，1]B．[﹣，1]C．（﹣，1]D．（﹣，+∞）10．若x，y满足约束条件，则z＝|x﹣y+1|的最大值为（）A．2B．C．D．311．如图所示，在三棱锥P﹣ABC中，AB⊥BC，AB＝3，BC＝2，点P在平面ABC内的投影D恰好落在AB上，且AD＝1，PD＝2，则三棱锥P﹣ABC外接球的表面积为（）A．9πB．10πC．12πD．14π12．已知函数f（x）＝（x＞0），若a＝＞0，则f（x）的取值范围是（）A．[﹣﹣1，﹣1）B．（﹣2，﹣1）C．[﹣2，﹣1）D．（﹣，0）13．从一个有53名学生的班级中，随机抽取5人去参加活动，若采用系统抽样的方法抽取，则班长被抽中的概率为．14．已知函数f（x）＝x3﹣5x+a，直线2x+y+b＝0与函数f（x）的图象相切，a，b为正实数，则a+b的值为．15．已知实数x，y满足y≥2x＞0，则的最小值为．16．F1、F2是双曲线C：的左、右焦点．过F2作直线l⊥x轴，交双曲线C于M、N两点，若∠MF1N为锐角，则双曲线C的离心率e的取值范围是．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，a2＝b2+bc，且sin C+tan B cos C ＝1．（1）求角A；（2）b＝2，P为△ABC所在平面内一点，且满足＝0，求BP的最小值，并求BP 取得最小值时△APC的面积S．18．双十一购物狂欢节，是指每年11月11日的网络促销日，源于淘宝商城（天猫）2009年11月11日举办的网络促销活动，已成为中国电子商务行业的年度盛事．某生产商为了了解其生产的产品在不同电商平台的销售情况，统计了A、B两个电商平台各十个网络销售店铺的销售数据：A电商平64718170796982737560台B电商平60809777968776839496台（1）作出A、B两个电商平台销售数据的茎叶图，根据茎叶图判断哪个电商平台的销售更好，并说明理由；（2）填写下面关于店铺个数的2×2列联表，并根据列联表判断是否有95%的把握认为销售量与电商平台有关；销售量＞80销售量≤80总计A电商平台B电商平台总计（3）生产商要从这20个网络销售店铺销售量前五名的店铺中，随机抽取三个店铺进行销售返利，则其中恰好有两个店铺的销售量在95以上的概率是多少？附：，n＝a+b+c+d．P（K2≥k）0.0500.0100.001 k 3.841 6.63510.82819．如图①，平行四边形ABCD中，AB＝4，AD＝2，∠ABC＝，E为CD中点．将△ADE沿AE折起，使平面ADE⊥平面ABCE，得到如图②所示的四棱锥P﹣ABCE．（1）求证：平面PAE⊥平面PBE；（2）求点B到平面PEC的距离．20．动圆P过定点A（2，0），且在y轴上截得的弦GH的长为4．（1）若动圆圆心P的轨迹为曲线C，求曲线C的方程；（2）在曲线C的对称轴上是否存在点Q，使过点Q的直线l'与曲线C的交点S、T满足为定值？若存在，求出点Q的坐标及定值；若不存在，请说明理由．21．已知函数f（x）＝ax+，g（x）＝﹣1．（1）讨论函数f（x）在（0，+∞）上的单调性；（2）若对任意的x∈（0，+∞），f（x）＜g（x）恒成立，求实数a的取值范围．请考生从第22、23题中任选一题作答，并用2B铅笔将答题卡上所选题目对应的方框涂黑，按所选涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分；不涂，按本选考题的首题进行评分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（θ为参数），在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为ρsin（φ+）+＝0，P为直线l上的任意一点（1）Q为曲线C上任意一点，求P、Q两点间的最小距离；．（2）过点P作曲线C的两条切线，切点为A、B，曲线C的对称中心为点C，求四边形PACB面积的最小值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数．（1）当a＝4时，求函数f（x）的定义域；（2）若函数f（x）的定义域为R，设a的最大值为s，当正数m，n满足＝s时，求3m+4n的最小值．参考答案一、选择题：共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A＝{x∈Z|x2≤1}，B＝{x|x•ln（x+3）＝0}，则A∪B＝（）A．{﹣1，0，1}B．{﹣2，﹣1，1}C．{﹣2，0，1}D．{﹣2，﹣1，0，1}【分析】可以求出集合A，B，然后进行并集的运算即可．解：∵A＝{﹣1，0，1}，B＝{0，﹣2}，∴A∪B＝{﹣2，﹣1，0，1}．故选：D．2．设是复数z的共轭复数，若•i＝1+i，则z•＝（）A．B．2C．1D．0【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，结合求解．解：∵•i＝1+i，∴，则．故选：B．3．下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（）A．y＝x sin x B．y＝xlnxC．D．【分析】根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性，综合即可得答案．解：根据题意，依次分析选项：对于A，y＝x sin x，其定义域为R，有f（﹣x）＝x sin x＝f（x），即函数f（x）为偶函数；对于B，y＝xlnx，其定义域为（0，+∞），既不是奇函数，也不是偶函数；对于C，y＝x•，其定义域为R，有f（﹣x）＝（﹣x）•＝x•＝f （x），即函数f（x）为偶函数；对于D，y＝xln（﹣x），其定义域为R，有f（﹣x）＝（﹣x）ln（+x）＝xln（﹣x）＝f（x），即函数f（x）为偶函数；故选：B．4．数列{a n}是等比数列，S n是其前n项和，a n＞0，a2+a3＝4，a3+3a4＝2，则S3＝（）A．B．12C．D．13【分析】利用等比数列通项公式列出方程组，求出，由此能求出S3的值．解：∵数列{a n}是等比数列，S n是其前n项和，a n＞0，a2+a3＝4，a3+3a4＝2，∴，解得，∴S3＝＝13．故选：D．5．已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．2C．D．【分析】根据三视图可知几何体为四棱锥，画出直观图，利用体积公式求解．解：根据三视图，可知几何体为四棱锥P﹣ABCD，体积V＝．故选：C．6．已知函数f（x）＝2cos2x﹣cos（2x﹣），则下列结论正确的个数是（）①函数f（x）的最小正周期为π；②函数f（x）在区间[0，]上单调递增；③函数f（x）在[0，]上的最大值为2；④函数f（x）的图象关于直线x＝对称．A．1B．2C．3D．4【分析】先根据函数化简得f（x）＝，根据，可判断①；先求出所以单调递增区间，然后可以判断②；可求f（x）在在[0，]上的最大值，可以判断③；可求出f（x）的所有对称轴，可判断④．解：f（x）＝2cos2x﹣cos（2x﹣）＝cos2x+1﹣﹣＝＝，∴，①对；由2kπ﹣π≤2x+≤2kπ，得x∈[kπ﹣，kπ﹣]，k∈Z，所以函数f（x）单调递增区间为[kπ﹣，kπ﹣]，②错；∵x∈[0，]时，2x+∈[，]，cos（2x+）∈[﹣1，]，函数f（x）在[0，]上的最大值为，③错，∵2x+＝kπ，x＝，k∈Z，④对，故选：B．7．如图，在△ABC中，AB＝2，AC＝3，∠BAC＝，M、N分别为BC、AM的中点，则＝（）A．﹣2B．﹣C．﹣D．【分析】根据已知条件把所求问题转化，即可求得结论．解：因为在△ABC中，AB＝2，AC＝3，∠BAC＝，M、N分别为BC、AM的中点，则＝（）•＝（﹣+）＝[﹣+（）]＝（﹣）＝＝×22﹣×＝﹣．故选：C．8．改编自中国神话故事的动画电影《哪吒之魔童降世》自7月26日首映，在不到一个月的时间，票房收入就超过了38亿元，创造了中国动画电影的神话．小明和同学相约去电影院观看《哪吒之魔童降世》，影院的三个放映厅分别在7：30，8：00，8：30开始放映，小明和同学大约在7：40至8：30之间到达影院，且他们到达影院的时间是随机的，那么他们到达后等待的时间不超过10分钟的概率是（）A．B．C．D．【分析】由满足条件的时间段为7：50～8：00，8：20～8：30共20分钟，结合与长度有关的几何概率公式可求．解：由题意可知，满足条件的时间段为7：50～8：00，8：20～8：30共20分钟，由几何概型知所求的概率P＝．故选：C．9．已知函数在（，+∞）上为减函数，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，1]B．[﹣，1]C．（﹣，1]D．（﹣，+∞）【分析】由复合函数的单调性法则可知y＝x2﹣ax+a在上为增函数，由对数函数的真数大于0可知，y＞0恒成立，则实数a应满足，解不等式组即可得到答案．解：∵在（0，+∞）上为减函数，∴y＝x2﹣ax+a在上为增函数，且y＞0恒成立，∴，解得．故选：B．10．若x，y满足约束条件，则z＝|x﹣y+1|的最大值为（）A．2B．C．D．3【分析】作出不等式组对应的平面区域，令t＝x﹣y+1，利用目标函数t的几何意义，结合图象得到结论．解：作出不等式组对应的平面区域如图：令t＝x﹣y+1，得y＝x+1﹣t表示，斜率为1纵截距为1﹣t的一组平行直线，⇒C（，﹣）；平移直线y＝x+1﹣t，当直线y＝x+1﹣t经过点C（，﹣）时，直线y＝x+1﹣t的截距最小，此时t max＝﹣（﹣）+1＝，当直线y＝x+1﹣t与AB重合时，直线y＝x+1﹣t的截距最大，A（0，）此时t min＝0﹣+1＝，∴z＝|x﹣y+1|的取值范围是：[，]．故z＝|x﹣y+1|的最大值为．故选：C．11．如图所示，在三棱锥P﹣ABC中，AB⊥BC，AB＝3，BC＝2，点P在平面ABC内的投影D恰好落在AB上，且AD＝1，PD＝2，则三棱锥P﹣ABC外接球的表面积为（）A．9πB．10πC．12πD．14π【分析】结合已知构造直三棱柱PAB﹣MNC，则直三棱柱PAB﹣MNC的外接球即为所求，球心O为直直三棱柱底面三角形外接圆圆心连心线连心的中点，结合球的性质及勾股定理可求．解：由题意可知，PD⊥平面ABC，所以平面PAB⊥平面ABC，又因为AB⊥BC，所以BC⊥平面PAB，构造直三棱柱PAB﹣MNC，则直三棱柱PAB﹣MNC的外接球即为所求，球心O为直直三棱柱底面三角形外接圆圆心连心线连心的中点，△PAB中，由正弦定理可得，r＝＝，故R＝＝，故S＝4＝14π故选：D．12．已知函数f（x）＝（x＞0），若a＝＞0，则f（x）的取值范围是（）A．[﹣﹣1，﹣1）B．（﹣2，﹣1）C．[﹣2，﹣1）D．（﹣，0）【分析】依题意，a2+x2＝1，采用三角换元设a＝cosα，x＝sinα，可得，再令，可得在上为减函数，由此求出f（x）的取值范围．解：由得，a2+x2＝1，不妨设a＝cosα，x＝sinα，其中，则，令，，∴在上为增函数，∴在上为减函数，∴．故选：C．二、填空题：共4小题，每小题5分．13．从一个有53名学生的班级中，随机抽取5人去参加活动，若采用系统抽样的方法抽取，则班长被抽中的概率为．【分析】根据在系统抽样中，每个个体被抽到的概率是相等的，得出结论．解：从一个有53名学生的班级中，随机抽取5人去参加活动，若采用系统抽样的方法抽取，则班长被抽中的概率为，故答案为：．14．已知函数f（x）＝x3﹣5x+a，直线2x+y+b＝0与函数f（x）的图象相切，a，b为正实数，则a+b的值为2．【分析】先对f（x）求导，根据条件设切点的坐标为（x0，y0），然后由f'（x0）＝﹣2求出切点坐标，进一步求出a+b的值．解：由f（x）＝x3﹣5x+a，得f'（x）＝3x2﹣5，∵直线2x+y+b＝0与函数f（x）的图象相切，设切点的坐标为（x0，y0），则，∴x0＝1或x0＝﹣1，∴y0＝a﹣4或y0＝a+4，即切点坐标为（1，a﹣4）或（﹣1，a+4），代入直线中，得a+b＝2或a+b＝﹣2，∵a，b为正实数，∴a+b＝2．故答案为：2．15．已知实数x，y满足y≥2x＞0，则的最小值为．【分析】先令t＝，可转化成f（t）＝t+，t≥2，因为不满足不等式取等号时的条件，使用单调性求最值．解：设t＝，由题意知t≥2，则＝t+，令f（t）＝t+，t≥2，∵f'（x）＝1﹣＞0，∴f（t）在t≥2上单调递增，∴f（t）≥f（2）＝，故答案为：．16．F1、F2是双曲线C：的左、右焦点．过F2作直线l⊥x轴，交双曲线C于M、N两点，若∠MF1N为锐角，则双曲线C的离心率e的取值范围是（1，1+）．【分析】求出交点M，N的坐标，只要∠MF1F2＜45°即可，利用斜率公式进行求解即可．解：解：当x＝c时，，可得y＝故M（c，）如图只要∠MF1F2＜45°即可，则tan∠MF1F2＜tan45°＝1，即，即b2＜2ac，则c2﹣a2＜2ac，即c2﹣2ac﹣a2＜0，则e2﹣2e﹣1＜0，解得：1﹣又e＞1，∴故答案为：（1，1+）三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，a2＝b2+bc，且sin C+tan B cos C ＝1．（1）求角A；（2）b＝2，P为△ABC所在平面内一点，且满足＝0，求BP的最小值，并求BP 取得最小值时△APC的面积S．【分析】（1）先根据已知条件得到b+c＝2a cos B；再结合正弦定理得到A＝2B，结合sin C+tan B cos C＝1即可求得结论；（2）根据数量积为0推得点P在以CA为直径的圆上，进而得到当点P在BO上时，BP 取得最小值，求出最小值以及△APC的面积S即可．解：（1）因为a2＝b2+bc⇒a2+c2﹣b2＝c2+bc；∴＝；∴b+c＝2a cos B；由正弦定理得：sin B+sin C＝2sin A cos B，∴sin B+sin（A+B）＝2sin A cos B⇒sin B＝sin（A﹣B）；因为都是三角形内角；∴A＝2B；又由sin C+tan B cos C＝1．得sin（B+C）＝cos B；∴sin A＝cos B；∴sin B＝．∴B＝，A＝．（2）由（1）可知C＝．∴△ABC为直角三角形．又因为＝0⇒PA⊥PC；所以点P在以CA为直径的圆上，如图：∵b＝2，所以：BC＝2，AB＝4，设O为AC的中点，连接BO，则当点P在BO上时，BP取得最小值，此时BP＝BO﹣PO ＝﹣1＝﹣1．设∠OCP＝α，则∠COP＝π﹣2α，∴sinα＝＝PA；cosα＝＝PC；∴S ＝PA•PC＝2sinαcosα＝sin2α；在直角三角形BOC中，sin∠COB＝sin（π﹣2α）＝sin2α＝＝＝．∴当BP 取得最小值时（﹣1）时，△APC的面积S 为：．18．双十一购物狂欢节，是指每年11月11日的网络促销日，源于淘宝商城（天猫）2009年11月11日举办的网络促销活动，已成为中国电子商务行业的年度盛事．某生产商为了了解其生产的产品在不同电商平台的销售情况，统计了A、B两个电商平台各十个网络销售店铺的销售数据：A电商平64718170796982737560台B电商平60809777968776839496台（1）作出A、B两个电商平台销售数据的茎叶图，根据茎叶图判断哪个电商平台的销售更好，并说明理由；（2）填写下面关于店铺个数的2×2列联表，并根据列联表判断是否有95%的把握认为销售量与电商平台有关；销售量＞80销售量≤80总计A电商平台B电商平台总计（3）生产商要从这20个网络销售店铺销售量前五名的店铺中，随机抽取三个店铺进行销售返利，则其中恰好有两个店铺的销售量在95以上的概率是多少？附：，n＝a+b+c+d．P（K2≥k）0.0500.0100.001 k 3.841 6.63510.828【分析】（1）根据题意画茎叶图，（2）根据数据填表，代公式，比较，判断，（3）根据题意找出店铺销售量前五名，然后求事件，求概率．解：（1）A、B两个电商平台销售数据的茎叶图如图，由茎叶图可知B电商平台的销售更好，因为B整体数据集中比A高，（2）填表如下；销售量＞80销售量≤80总计A电商平台2810B电商平台6410总计81220≈3.333＜3.841，没有95%的把握认为销售量与电商平台有关．（3）从这20个网络销售店铺销售量前五名为97，96，96，94，87．分别设为A，B，C，D，E，随机抽取三个店铺共有10种可能，如下：（A，B，C），（A，B，D），（A，B，E），（A，C，D），（A，C，E），（A，D，E），（B，C，D），（B，C，E），（B，D，E），（C，D，E），恰好有两个店铺的销售量在95以上有6种，恰好有两个店铺的销售量在95以上的概率为．19．如图①，平行四边形ABCD中，AB＝4，AD＝2，∠ABC＝，E为CD中点．将△ADE沿AE折起，使平面ADE⊥平面ABCE，得到如图②所示的四棱锥P﹣ABCE．（1）求证：平面PAE⊥平面PBE；（2）求点B到平面PEC的距离．【分析】（1）求解三角形可得AE＝2，BE＝2，结合AB＝4，得到BE⊥AE，再由平面APE⊥平面ABCE，结合平面与平面垂直的性质可得BE⊥平面PAE，进一步得到平面PAE⊥平面PBE；（2）设O为AE的中点，连接PO，CO，求得PO＝，进一步求解三角形可得OC、PC的值，求解三角形PEC与BEC的面积，利用等体积法可求得点B到平面PEC的距离．【解答】（1）证明：在图①中连接BE，由平面几何知识，求得AE＝2，BE＝2，又∵AB＝4，∴BE⊥AE，在图②中，∵平面APE⊥平面ABCE，且平面APE∩平面ABCE＝AE，∴BE⊥平面PAE，又∵BE⊂平面PBE，∴平面PAE⊥平面PBE；（2）解：设O为AE的中点，连接PO，CO，由已知可得△PAE为等边三角形，∴PO＝．∵平面PAE⊥平面ABCE，∴PO⊥平面ABCE，得PO⊥CO．在△OEC中，OE＝1，EC＝2，．由余弦定理得OC＝．∴PC＝．在△PEC中，PE＝EC＝2，PC＝．∴，又∵．设点B到平面PEC的距离为d，由V P﹣BCE＝V B﹣PCE，得，解得d＝．∴点B到平面PEC的距离为．20．动圆P过定点A（2，0），且在y轴上截得的弦GH的长为4．（1）若动圆圆心P的轨迹为曲线C，求曲线C的方程；（2）在曲线C的对称轴上是否存在点Q，使过点Q的直线l'与曲线C的交点S、T满足为定值？若存在，求出点Q的坐标及定值；若不存在，请说明理由．【分析】（1）设P（x，y），过P作PB⊥GH，交GH于点B，则B为GH的中点，GB＝GH＝2，PG＝，PA＝＝，整理可得y2＝4x（x≠0）；（2）假设存在Q（a，0）满足题意，设S（x1，y1），T（x2，y2），设其方程为x＝t1y+a （t1≠0），联立，利用根与系数关系表示出QS2，QT2，进而表示出即可．解：（1）设P（x，y），由题意知：PA＝PG，当P点不在y轴上时，过P作PB⊥GH，交GH于点B，则B为GH的中点，∴GB＝GH＝2，∴PG＝，又∵PA＝＝，整理可得y2＝4x（x≠0）；当点P在y轴上时，易知P点与O点重合，P（0，0）也满足y2＝4x，∴曲线C的方程为y2＝4x，（2）假设存在Q（a，0）满足题意，设S（x1，y1），T（x2，y2），根据题意可知直线l′的斜率必不为0，设其方程为x＝t1y+a（t1≠0），联立，整理可得y2﹣4t1y﹣4a＝0，∴y1+y2＝﹣4t1，y1y2＝﹣4a，∴x1+x2＝t1（y1+y2）+2a＝4t12+2ax1x2＝＝a2，∵QS2＝（x1﹣a）2+＝（x1﹣a）2+4x1＝x12+（4﹣2a）x1+a2，QT2＝（x2﹣a）2+＝（x2﹣a）2+4x2＝x22+（4﹣2a）x2+a2，∴QS2+QT2＝x12+（4﹣2a）x1+a2+x22+（4﹣2a）x2+a2＝（x1+x2）2+（4﹣2a）（x1+x2）﹣2x1x2+2a2＝（x1+x2）（x1+x2+4﹣2a）﹣2x1x2+2a2＝（4+2a）（4++4），QS2•QT2＝16a2（+1）2，则＝＝，当a＝2时，上式＝与t1无关为定值，所以存在Q（2，0）使过点Q的直线与曲线交于点S、T满足为定值．21．已知函数f（x）＝ax+，g（x）＝﹣1．（1）讨论函数f（x）在（0，+∞）上的单调性；（2）若对任意的x∈（0，+∞），f（x）＜g（x）恒成立，求实数a的取值范围．【分析】（1）对f（x）求导得，，然后分a≤0和a＞0两个类别，讨论f'（x）的正负，即可得f（x）的单调性；（2）构造函数h（x）＝e x﹣ax2﹣x﹣1（x＞0），求出h'（x），令H（x）＝h'（x）＝e x﹣2ax﹣1，再求H'（x）＝e x﹣2a，当时，易证得h（x）在（0，+∞）上为增函数，h（x）＞h（0）＝0成立，即f（x）＜g（x）成立；当时，由H'（x）＝e x ﹣2a＝0，解得x＝ln2a，可得函数H（x）的单调性即h'（x）的单调性，于是h'（x）≥h'（ln2a）≥2a﹣1﹣2aln2a，再令t（a）＝2a﹣1﹣2aln2a（），求导可知t（a）在上为减函数，t（a）＜，即h'（ln2a）＜0，最后结合隐零点的思维可证得当时，对x∈（0，+∞），f（x）＜g（x）不恒成立，因此得解．解：（1）∵f（x）＝ax+，∴，当a≤0时，f'（x）＜0，函数f（x）在（0，+∞）上单调递减；当a＞0时，由f'（x）＝0，得（舍负），当时，f'（x）＜0，函数f（x）单调递减，当时，f'（x）＞0，函数f（x）单调递增．（2）由f（x）＜g（x），得e x﹣ax2﹣x﹣1＞0，设h（x）＝e x﹣ax2﹣x﹣1（x＞0），则h'（x）＝e x﹣2ax﹣1，令H（x）＝e x﹣2ax﹣1，则H'（x）＝e x﹣2a，当时，∵x∈（0，+∞），∴H'（x）＞0，H（x）为增函数，∴H（x）＝h'（x）＞h'（0）＝0，∴h（x）在（0，+∞）上为增函数，∴h（x）＞h（0）＝0成立，即f（x）＜g（x）成立．当时，由H'（x）＝e x﹣2a＝0，解得x＝ln2a，x∈（0，ln2a）时，H'（x）＜0，H（x）为减函数，x∈（ln2a，+∞）时，H'（x）＞0，H（x）为增函数，∴h'（x）≥h'（ln2a）≥2a﹣1﹣2aln2a，设t（a）＝2a﹣1﹣2aln2a（），则t'（a）＝﹣2ln2a＜0，∴t（a）在上为减函数，∴t（a）＜，即h'（ln2a）＜0∴∃x0∈（0，+∞），当x∈（0，x0）时，h'（x）＜0，h（x）为减函数，当x∈（x0，+∞）时，h'（x）＞0，h（x）为增函数，又h（0）＝0，∴当x∈（0，x0）时，h（x）＜0，∴当时，对x∈（0，+∞），f（x）＜g（x）不恒成立，综上所述，．请考生从第22、23题中任选一题作答，并用2B铅笔将答题卡上所选题目对应的方框涂黑，按所选涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分；不涂，按本选考题的首题进行评分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（θ为参数），在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为ρsin（φ+）+＝0，P为直线l上的任意一点（1）Q为曲线C上任意一点，求P、Q两点间的最小距离；．（2）过点P作曲线C的两条切线，切点为A、B，曲线C的对称中心为点C，求四边形PACB面积的最小值．【分析】（1）直接利用转换关系的应用，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的进行转换．（2）利用点到直线的距离公式的应用和三角形的面积公式的应用求出结果．解：（1）曲线C的参数方程为（θ为参数），转换为直角坐标方程为（x ﹣1）2+（y﹣1）2＝1．直线l的极坐标方程为ρsin（φ+）+＝0，转换为直角坐标方程为x+y+2＝0．所以圆心（1，1）到直线x+y+2＝0的距离d＝，所以最小距离．（2）由于圆心到直线的最小距离d＝2，所以构成的切线长为，所以四边形PACB面积的最小值为S＝．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数．（1）当a＝4时，求函数f（x）的定义域；（2）若函数f（x）的定义域为R，设a的最大值为s，当正数m，n满足＝s时，求3m+4n的最小值．【分析】（1）a＝4时，得出f（x）需满足|x+2|+|x﹣1|﹣4≥0，然后讨论x的取值，去掉绝对值号求出x的范围即可得出f（x）的定义域；（2）根据题意可知a≤|x+2|+|x﹣1|对x∈R恒成立，从而可得出a≤3，进而得出s＝3，从而得出，然后即可得出，然后根据基本不等式即可得出3m+4n的最小值．解：（1）a＝4时，|x+2|+|x﹣1|﹣4≥0，当x＜﹣2时，﹣x﹣2﹣x+1﹣4≥0，解得；当﹣2≤x≤1时，x+2﹣x+1﹣4≥0，解得x∈∅；当x＞1时，x+2+x﹣1﹣4≥0，解得，∴函数f（x）的定义域为{x|或x}；（2）∵函数f（x）的定义域为R，∴|x+2|+|x﹣1|﹣a≥0对任意的x∈R恒成立，∴a≤|x+2|+|x﹣1|，又|x+2|+|x﹣1|≥|x+2﹣x+1|＝3，∴a≤3，∴s＝3，∴，且m＞0，n＞0，∴3m+4n＝（2m+n）+（m+3n）＝＝，当且仅当时取等号，∴3m+4n的最小值为．。
百校联盟2020届高三4月教育教学质量监测考试(全国Ⅰ卷)+数学(理)+Word版含答案
百校联盟2020届普通高中教育教学质量监测考试 全国I 卷 理科数学注意事项：1.本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分。
2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置。
3.全部答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
4.本试卷满分150分，测试时间120分钟。
5.考试范围：高考全部内容。
第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若复数z 满足z －1＋i ＝2i ＋1，则|z|＝A.5B.2C.3D.32.已知集合A ＝{2a －1，a 2，0}，B ＝{1－a ，a －5，9}，且A ∩B ＝{9}，则A.A ＝{9，25，0}B.A ＝{5，9，0}C.A ＝{－7，9，0}D.A ∪B ＝{－7，9，0，25，－4}3.已知向量a ＝(x 2－2x ，1)，b ＝(1，－3)，则“－1<x<3”是“a ，b 的夹角为钝角”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件4.将函数y ＝2sin(2x ＋4π)的图象向右平移4π个单位长度，所得函数 A.在区间(－38π，8π)上单调递增 B.在区间(－58π，－8π)上单调递减 C.以x ＝8π为一条对称轴 D.以(38π，0)为一个对称中心 5.已知一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积为A.83πB.8πC.163πD.12π 6.改编自中国神话故事的动画电影《哪吒之魔童降世》自7月26日首映，在不到一个月的时间，票房收入就超过了38亿元，创造了中国动画电影的神话。
小明和同学相约去电影院观看《哪吒之魔童降世》，影院的三个放映厅分别在7：30，8：00，8：30开始放映，小明和同学大约在7：40至8：30之间到达影院，且他们到达影院的时间是随机的，那么他们到达后等待的时间不超过10分钟的概率是A.13B.12C.25D.347.已知函数()()122log f x x ax a =-+在(12，＋∞)上为减函数，则实数a 的取值范围是 A.(－∞，1] B.[－12，1] C.(－12，1] D.(－12，＋∞) 8.在平面直角坐标系xOy 中，A 、B 为函数y ＝33|x|图象上的两点，若线段AB 的中点M 恰好落在曲线x 2－3y 2＋3＝0上，则△OAB 的面积为A.2B.3C.32D.339.一只蚂蚁从正四面体A －BCD 的顶点A 点出发，沿着正四面体A －BCD 的棱爬行，每秒爬一条棱，每次爬行的方向是随机的，则第4秒时蚂蚁在A 点的概率为A.2027B.79C.727D.2910.在梯形ABCD 中，AB//CD ，AB ＝2CD ，BC 3，则∠ADB 的最大值为A.4πB.3πC.2π D.23π 11.我国古代的数学著作《九章算术·商功》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”。
2020年4月百校联盟2020届高三毕业班教育教学质量监测考试(全国Ⅰ卷)英语试题及答案解析
绝密★启用前百校联盟普通高中2020届高三毕业班教育教学质量监测考试(全国Ⅰ卷)英语试题2020年4月注意事项：1.本试卷分为四部分。
2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置。
3.全部答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
4.本试卷满分150分，测试时间120分钟。
5.考试范围：高考全部内容。
第一部分听力(共两节，满分30分)做题时，先将答案标在试卷上。
录音内容结束后，你将有两分钟的时间将试卷上的答案转涂到答题卡上。
第一节(共5小题；每小题1.5分，满分7.5分)听下面5段对话。
每段对话后有一个小题，从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项。
听完每段对话后，你都有10秒钟的时间来回答有关小题和阅读下一小题。
每段对话仅读一遍。
1. What does the man want the woman to do?A. Talk on the phone.B. Turn off the TV.C. Turn down the TV.2. Where does the conversation probably take place?A. In a restaurant.B. In a hotel.C. In an airport.3. What does the man invite the woman to do this afternoon?A. See a film.B. Go climbing.C. Go swimming.4. How much will the woman pay altogether?A. $ 3.50.B. $ 21. 50.C. $ 25.5. What will Peter do this afternoon?A. Drive a car.B. Go skating.C. Play table tennis.第二节(共15小题；每小题1.5分，满分22.5分)听下面5段对话或独白。
2020年百校联盟高考数学模拟试卷(文科)(4月份)(全国Ⅰ卷)(有答案解析)
2020年百校联盟高考数学模拟试卷（文科）（4月份）（全国Ⅰ卷）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知集合A ={x ∈Z|x 2≤1}，B ={x|x ⋅ln (x +3)=0}，则A ∪B =( )A. {−1,0，1}B. {−2,−1,1}C. {−2,0，1}D. {−2,−1,0，1} 2. 设z −是复数z 的共轭复数，若z −⋅i =1+i ，则z ⋅z −=( )A. √2B. 2C. 1D. 0 3. 下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是( )A. y =xsinxB. y =xlnxC. y =x ⋅e x −1e x +1 D. y =xln(√x 2+1−x)4. 数列{a n }是等比数列，S n 是其前n 项和，a n >0，a 2+a 3=4，a 3+3a 4=2，则S 3=( )A. 283B. 12C. 383D. 135. 已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A. 43B. 2C. 83 D. 1036. 已知函数f(x)=2cos 2x −cos (2x −π3)，则下列结论正确的个数是( )①函数f(x)的最小正周期为π；②函数f(x)在区间[0,π3]上单调递增； ③函数f(x)在[0,π2]上的最大值为2；④函数f(x)的图象关于直线x =π3对称．A. 1B. 2C. 3D. 47. 如图，在△ABC 中，AB =2，AC =3，∠BAC =π3，M 、N 分别为BC 、AM 的中点，则CN ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB⃗⃗⃗⃗⃗ = ( )A. −2B. −34 C. −54D. 548. 改编自中国神话故事的动画电影《哪吒之魔童降世》自7月26日首映，在不到一个月的时间，票房收入就超过了38亿元，创造了中国动画电影的神话．小明和同学相约去电影院观看《哪吒之魔童降世》，影院的三个放映厅分别在7：30，8：00，8：30开始放映，小明和同学大约在7：40至8：30之间到达影院，且他们到达影院的时间是随机的，那么他们到达后等待的时间不超过10分钟的概率是( )A. 13B. 12C. 25D. 349. 已知函数f(x)=log 12(x 2−ax +a)在(12,+∞)上为减函数，则实数a 的取值范围是( ) A. (−∞,1]B. [−12,1]C. (−12,1]D. (−12,+∞)10. 若x ，y 满足约束条件{4x −3y −6≤02x −2y +1≥0x +2y −1≥0，则z =|x −y +1|的最大值为( )A. 2B. 2411C. 2811D. 311. 如图所示，在三棱锥P −ABC 中，AB ⊥BC ，AB =3，BC =2，点P 在平面ABC 内的投影D 恰好落在AB 上，且AD =1，PD =2，则三棱锥P −ABC 外接球的表面积为( )A. 9πB. 10πC. 12πD. 14π12. 已知函数f(x)=x+aax−1(x >0)，若a =√1−x 2>0，则f(x)的取值范围是( )A. [−√2−1,−1)B. (−2√2,−1)C. [−2√2,−1)D. (−√2,0)二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 从一个有53名学生的班级中，随机抽取5人去参加活动，若采用系统抽样的方法抽取，则班长被抽中的概率为______．14. 已知函数f(x)=x 3−5x +a ，直线2x +y +b =0与函数f(x)的图象相切，a ，b 为正实数，则a +b 的值为______． 15. 已知实数x ，y 满足y ≥2x >0，则yx +9x2x+y 的最小值为______． 16. F 1、F 2是双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的左、右焦点．过F 2作直线l ⊥x 轴，交双曲线C于M 、N 两点，若∠MF 1N 为锐角，则双曲线C 的离心率e 的取值范围是______． 三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 已知△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，a 2=b 2+bc ，且sinC +tanBcosC =1．(1)求角A ；(2)b =2，P 为△ABC 所在平面内一点，且满足AP⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CP ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，求BP 的最小值，并求BP 取得最小值时△APC 的面积S ．18.双十一购物狂欢节，是指每年11月11日的网络促销日，源于淘宝商城(天猫)2009年11月11日举办的网络促销活动，已成为中国电子商务行业的年度盛事．某生产商为了了解其生产的产A B说明理由；(2)填写下面关于店铺个数的2×2列联表，并根据列联表判断是否有95%的把握认为销售量与电商平台有关；则其中恰好有两个店铺的销售量在95以上的概率是多少？，n=a+b+c+d．附：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)19.如图①，平行四边形ABCD中，AB=4，AD=2，∠ABC=π，E为CD中点．将△ADE沿AE3折起，使平面ADE⊥平面ABCE，得到如图②所示的四棱锥P−ABCE．(1)求证：平面PAE⊥平面PBE；(2)求点B到平面PEC的距离．20.动圆P过定点A(2,0)，且在y轴上截得的弦GH的长为4．(1)若动圆圆心P的轨迹为曲线C，求曲线C的方程；(2)在曲线C的对称轴上是否存在点Q，使过点Q的直线l′与曲线C的交点S、T满足1|QS|2+1|QT|2为定值？若存在，求出点Q的坐标及定值；若不存在，请说明理由．21.已知函数f(x)=ax+1x ，g(x)=exx−1．(1)讨论函数f(x)在(0,+∞)上的单调性；(2)若对任意的x∈(0,+∞)，f(x)<g(x)恒成立，求实数a的取值范围．22.在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为{x=1+cosθy=1+sinθ(θ为参数)，在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为ρsin(φ+π4)+√2=0，P为直线l 上的任意一点(1)Q为曲线C上任意一点，求P、Q两点间的最小距离；．(2)过点P作曲线C的两条切线，切点为A、B，曲线C的对称中心为点C，求四边形PACB面积的最小值．23.已知函数f(x)=√|x+2|+|x−1|−a．(1)当a=4时，求函数f(x)的定义域；(2)若函数f(x)的定义域为R，设a的最大值为s，当正数m，n满足12m+n +2m+3n=s时，求3m+4n的最小值．-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析：解：∵A ={−1,0，1}，B ={0,−2}， ∴A ∪B ={−2,−1,0，1}． 故选：D ．可以求出集合A ，B ，然后进行并集的运算即可．本题考查了描述法、列举法的定义，一元二次不等式的解法，并集的运算，考查了计算能力，属于基础题． 2.答案：B解析：解：∵z −⋅i =1+i ， ∴z −=1+i i=(1+i)(−i)−i 2=1−i ，则z ⋅z −=|z|2=(√2)2=2． 故选：B ．把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，结合z ⋅z −=|z|2求解．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，考查复数模的求法，是基础题． 3.答案：B解析：解：根据题意，依次分析选项：对于A ，y =xsinx ，其定义域为R ，有f(−x)=xsinx =f(x)，即函数f(x)为偶函数； 对于B ，y =xlnx ，其定义域为(0,+∞)，既不是奇函数，也不是偶函数； 对于C ，y =x ⋅e x −1e x +1，其定义域为R ，有f(−x)=(−x)⋅e −x −1e −x +1=x ⋅e x −1e x +1=f(x)，即函数f(x)为偶函数；对于D ，y =2+1−x)，其定义域为R ，有f(−x)=(−x)ln (√x 2+1+x)=xln(√x 2+1−x)=f(x)，即函数f(x)为偶函数； 故选：B ．根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性，综合即可得答案．本题考查函数奇偶性的判断，注意分析函数的定义域，属于基础题． 4.答案：D解析：解：∵数列{a n }是等比数列，S n 是其前n 项和，a n >0，a 2+a 3=4，a 3+3a 4=2， ∴{a 1q +a 1q 2=4a 1q 2+3a 1q 3=2q >0，解得a 1=9,q =13， ∴S 3=9(1−133)1−13=13．故选：D ．利用等比数列通项公式列出方程组，求出a 1=9,q =13，由此能求出S 3的值．本题考查等比数列的前3项和的求法，考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基5.答案：C解析：解：根据三视图，可知几何体为四棱锥P−ABCD，体积V=13×2×2√2×√2=83．故选：C．根据三视图可知几何体为四棱锥，画出直观图，利用体积公式求解．本题考查了根据三视图，求几何体的体积，属于中档题．6.答案：B解析：解：f(x)=2cos2x−cos(2x−π3)=cos2x+1−12cos2x−√32sin2x=12cos2x−√32sin2x+1=cos(2x+π3)+1，∴T=2π2=π，①对；由2kπ−π≤2x+π3≤2kπ，得x∈[kπ−2π3,kπ−π6]，k∈Z，所以函数f(x)单调递增区间为[kπ−2π3,kπ−π6]，②错；∵x∈[0,π2]时，2x+π3∈[π3,4π3]，cos(2x+π3)∈[−1,12]，函数f(x)在[0,π2]上的最大值为32，③错，∵2x+π3=kπ，x=kπ2−π6，k∈Z，④对，故选：B．先根据函数化简得f(x)=cos(2x+π3)+1，根据T=2π2=π，可判断①；先求出所以单调递增区间，然后可以判断②；可求f(x)在在[0,π2]上的最大值，可以判断③；可求出f(x)的所有对称轴，可判断④．本题考查命题，以及三角函数的化简和化简，属于中等题．解析：解：因为在△ABC 中，AB =2，AC =3，∠BAC =π3，M 、N 分别为BC 、AM 的中点， 则CN ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(−AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +12CB ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =12[−AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )]⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −32AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =1AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2−3AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =14×22−34×2×3×12=−54．故选：C ．根据已知条件把所求问题转化，即可求得结论．本题考查向量的数量积的应用以及向量的三角形法则，考查向量的表示以及计算，考查计算能力． 8.答案：C解析：解：由题意可知，满足条件的时间段为7：50～8：00，8：20～8：30共20分钟， 由几何概型知所求的概率P =2050=25．故选：C ．由满足条件的时间段为7：50～8：00，8：20～8：30共20分钟，结合与长度有关的几何概率公式可求．本题主要考查了与长度有关的几何概率公式的应用，属于基础试题． 9.答案：B解析：解：∵y =log 12x 在(0,+∞)上为减函数， ∴y =x 2−ax +a 在(12,+∞)上为增函数，且y >0恒成立， ∴{−−a 2≤12(12)2−12a +a ≥0，解得−12≤a ≤1．故选：B ．由复合函数的单调性法则可知y =x 2−ax +a 在(12,+∞)上为增函数，由对数函数的真数大于0可知，y >0恒成立，则实数a 应满足{−−a2≤12(12)2−12a +a ≥0，解不等式组即可得到答案．本题主要考查复合函数的单调性法则以及对数函数的图象及性质，考查计算能力，属于基础题． 10.答案：C解析：解：作出不等式组对应的平面区域如图： 令t =x −y +1，得y =x +1−t 表示，斜率为1纵截距为1−t 的一组平行直线，{4x −3y +6=0x +2y −1=0⇒C(1511,−211)；平移直线y =x +1−t ，当直线y =x +1−t 经过点C(1511,−211)时，直线y =x +1−t 的截距最小， 此时t max =1511−(−211)+1=2811，当直线y =x +1−t 与AB 重合时，直线y =x +1−t 的截距最大，A(0,12)此时t min =0−12+1=12，∴z =|x −y +1|的取值范围是：[12,2811]. 故z =|x −y +1|的最大值为2811．故选：C ．作出不等式组对应的平面区域，令t =x −y +1，利用目标函数t 的几何意义，结合图象得到结论． 本题主要考查线性规划的基本应用，利用数形结合，结合目标函数的几何意义是解决此类问题的基本方法． 11.答案：D解析：解：由题意可知，PD ⊥平面ABC ， 所以平面PAB ⊥平面ABC ， 又因为AB ⊥BC ，所以BC ⊥平面PAB ，构造直三棱柱PAB −MNC ，则直三棱柱PAB −MNC 的外接球即为所求，球心O 为直直三棱柱底面三角形外接圆圆心连心线连心的中点， △PAB 中，由正弦定理可得，r =√52sin π4=√102， 故R =(√102)=√142，故S =4π×144=14π故选：D ．结合已知构造直三棱柱PAB −MNC ，则直三棱柱PAB −MNC 的外接球即为所求，球心O 为直直三棱柱底面三角形外接圆圆心连心线连心的中点，结合球的性质及勾股定理可求．本题考查球的表面积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．12.答案：C解析：解：由a =√1−x 2得，a 2+x 2=1，不妨设a =cosα，x =sinα，其中α∈(0,π2)， 则y =sinα+cosαsin αcos α−1，令t =sinα+cosα=√2sin (α+π4)∈(1,√2],sinαcosα=t 2−12,∴1y =t 2−32t =t2−32t 在t ∈(1,√2]上为增函数，∴y =2tt−3在t ∈(1,√2]上为减函数，∴y ∈[−2√2,−1)．故选：C ．依题意，a 2+x 2=1，采用三角换元设a =cosα，x =sinα，可得y =sinα+cosαsin αcos α−1，再令t =sinα+cosα∈(1,√2]，可得y =2tt−3在t ∈(1,√2]上为减函数，由此求出f(x)的取值范围． 本题考查函数值域的求法，考查三角换元思想，属于中档题．13.答案：553解析：解：从一个有53名学生的班级中，随机抽取5人去参加活动， 若采用系统抽样的方法抽取，则班长被抽中的概率为553， 故答案为：553．根据在系统抽样中，每个个体被抽到的概率是相等的，得出结论． 本题主要考查系统抽样的特征，属于基础题． 14.答案：2解析：解：由f(x)=x 3−5x +a ，得f′(x)=3x 2−5， ∵直线2x +y +b =0与函数f(x)的图象相切，设切点的坐标为(x 0,y 0)，则3x 02−5=−2，∴x 0=1或x 0=−1，∴y 0=a −4或y 0=a +4， 即切点坐标为(1,a −4)或(−1,a +4)， 代入直线中，得a +b =2或a +b =−2， ∵a ，b 为正实数，∴a +b =2． 故答案为：2． 先对f(x)求导，根据条件设切点的坐标为(x 0,y 0)，然后由f′(x 0)=−2求出切点坐标，进一步求出a +b 的值．本题考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，考查了方程思想，属基础题．15.答案：174解析：解：设t=yx，由题意知t≥2，则yx+9x2x+y=t+9t+2，令f(t)=t+9t+2，t≥2，∵f′(x)=1−9(t+2)2>0，∴f(t)在t≥2上单调递增，∴f(t)≥f(2)=174，故答案为：174．先令t=yx ，可转化成f(t)=t+9t+2，t≥2，因为不满足不等式取等号时的条件，使用单调性求最值．本题考查导数求最值，使用不等式求最值时，注意取等号时的条件，属于中档题．16.答案：(1,1+√2)解析：解：解：当x=c时，c2a2−y2b2=1，可得y=±b2a故M(c,b2a)如图只要∠MF1F2<45°即可，则tan∠MF1F2<tan45°=1，即b2a2c=b22ac<1，即b2<2ac，则c2−a2<2ac，即c2−2ac−a2<0，则e2−2e−1<0，解得：1−√2<e<1+√2又e>1，∴1<e<1+√2故答案为：(1,1+√2)求出交点M，N的坐标，只要∠MF1F2<45°即可，利用斜率公式进行求解即可．本题主要考查双曲线离心率的计算，根据∠MF1F2<45°转化为斜率解决问题．考查学生的转化能力．17.答案：解：(1)因为a2=b2+bc⇒a2+c2−b2=c2+bc；∴a2+c2−b22ac =c+b2a；∴b+c=2acosB；由正弦定理得：sinB+sinC=2sinAcosB，∴sinB+sin(A+B)=2sinAcosB⇒sinB=sin(A−B)；因为都是三角形内角；∴A=2B；又由sinC+tanBcosC=1.得sin(B+C)=cosB；∴sinA=cosB；∴sinB=12.∴B=π6，A=π3．(2)由(1)可知C=π2.∴△ABC为直角三角形．又因为AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CP⃗⃗⃗⃗⃗ =0⇒PA ⊥PC ； 所以点P 在以CA 为直径的圆上，如图： ∵b =2，所以：BC =2√3，AB =4， 设O 为AC 的中点，连接BO ，则当点P 在BO 上时，BP 取得最小值，此时BP =BO −PO =√1+(2√3)2−1=√13−1． 设∠OCP =α，则∠COP =π−2α， ∴sinα=PA AC=12PA ；cosα=PC AC=12PC ；∴S =12PA ⋅PC =2sinαcosα=sin2α；在直角三角形BOC 中，sin ∠COB =sin (π−2α)=sin2α=BCBO =√3√13=2√3913． ∴当BP 取得最小值时(√13−1)时，△APC 的面积S 为：2√3913．解析：(1)先根据已知条件得到b +c =2acosB ；再结合正弦定理得到A =2B ，结合sinC +tanBcosC =1即可求得结论；(2)根据数量积为0推得点P 在以CA 为直径的圆上，进而得到当点P 在BO 上时，BP 取得最小值，求出最小值以及△APC 的面积S 即可．本题考查了数量积运算性质以及解三角形，考查了推理能力与计算能力，综合性比较强，属于中档题．18.答案：解：(1)A 、B 两个电商平台销售数据的茎叶图如图，由茎叶图可知B 电商平台的销售更好，因为B 整体数据集中比A 高，(2)填表如下；销售量>80 销售量≤80 总计 A 电商平台 2 8 10 B 电商平台 6 4 10 总计 81220K 2=20(2×4−6×8)28×12×10×10≈3.333<3.841，没有95%的把握认为销售量与电商平台有关．(3)从这20个网络销售店铺销售量前五名为97，96，96，94，87． 分别设为A ，B ，C ，D ，E ，随机抽取三个店铺共有10种可能，如下：(A,B ，C)，(A,B ，D)，(A,B ，E)，(A,C ，D)，(A,C ，E)，(A,D ，E)，(B,C ，D)，(B,C ，E)，(B,D ，E)，(C,D ，E)，恰好有两个店铺的销售量在95以上有6种，恰好有两个店铺的销售量在95以上的概率为610=35．解析：(1)根据题意画茎叶图，(2)根据数据填表，代公式，比较，判断，(3)根据题意找出店铺销售量前五名，然后求事件，求概率．本题考查独立性检验，以及求概率，属于中档题．19.答案：(1)证明：在图①中连接BE，由平面几何知识，求得AE=2，BE=2√3，又∵AB=4，∴BE⊥AE，在图②中，∵平面APE⊥平面ABCE，且平面APE∩平面ABCE=AE，∴BE⊥平面PAE，又∵BE⊂平面PBE，∴平面PAE⊥平面PBE；(2)解：设O为AE的中点，连接PO，CO，由已知可得△PAE为等边三角形，∴PO=√3．∵平面PAE⊥平面ABCE，∴PO⊥平面ABCE，得PO⊥CO．在△OEC中，OE=1，EC=2，∠OEC=2π3．由余弦定理得OC=√7．∴PC=√3+7=√10．在△PEC中，PE=EC=2，PC=√10．∴S△PEC=12×√10×(√102)=√152，又∵S△BCE=12×2√3×1=√3．设点B到平面PEC的距离为d，由V P−BCE=V B−PCE，得13×√3×√3=13×√152×d，解得d=2√155．∴点B到平面PEC的距离为2√155．解析：(1)求解三角形可得AE=2，BE=2√3，结合AB=4，得到BE⊥AE，再由平面APE⊥平面ABCE，结合平面与平面垂直的性质可得BE⊥平面PAE，进一步得到平面PAE⊥平面PBE；(2)设O为AE的中点，连接PO，CO，求得PO=√3，进一步求解三角形可得OC、PC的值，求解三角形PEC与BEC的面积，利用等体积法可求得点B到平面PEC的距离．本题考查平面与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用等积法求点到平面的距离，考查计算能力，是中档题．20.答案：解：(1)设P(x,y)，由题意知：PA=PG，当P点不在y轴上时，过P作PB⊥GH，交GH于点B，则B为GH的中点，∴GB=12GH=2，∴PG=√x2+4，又∵PA=√(x−2)2+y2=√x2+4，整理可得y2=4x(x≠0)；当点P 在y 轴上时，易知P 点与O 点重合，P(0,0)也满足y 2=4x ， ∴曲线C 的方程为y 2=4x ，(2)假设存在Q(a,0)满足题意，设S(x 1,y 1)，T(x 2,y 2)，根据题意可知直线l′的斜率必不为0，设其方程为x =t 1y +a(t 1≠0)，联立{x =t 1y +a y 2=4x ，整理可得y 2−4t 1y −4a =0，∴y 1+y 2=−4t 1，y 1y 2=−4a ，∴x 1+x 2=t 1(y 1+y 2)+2a =4t 12+2ax 1x 2=116y 12y 22=a 2，∵QS 2=(x 1−a)2+y 12=(x 1−a)2+4x 1=x 12+(4−2a)x 1+a 2，QT 2=(x 2−a)2+y 22=(x 2−a)2+4x 2=x 22+(4−2a)x 2+a 2，∴QS 2+QT 2=x 12+(4−2a)x 1+a 2+x 22+(4−2a)x 2+a 2=(x 1+x 2)2+(4−2a)(x 1+x 2)−2x 1x 2+2a 2=(x 1+x 2)(x 1+x 2+4−2a)−2x 1x 2+2a 2=(4t 12+2a)(4t 12++4)，QS 2⋅QT 2=16a 2(t 12+1)2，则1|QS|2+1|QT|2=QS 2+QT 2QS 2⋅QT 2=2t 12+a2a 2(t 12+1)，当a =2时，上式=14与t 1无关为定值，所以存在Q(2,0)使过点Q 的直线与曲线交于点S 、T 满足1|QS|2+1|QT|2为定值14．解析：(1)设P(x,y)，过P 作PB ⊥GH ，交GH 于点B ，则B 为GH 的中点，GB =12GH =2，PG =√x 2+4，PA =√(x −2)2+y 2=√x 2+4，整理可得y 2=4x(x ≠0)；(2)假设存在Q(a,0)满足题意，设S(x 1,y 1)，T(x 2,y 2)，设其方程为x =t 1y +a(t 1≠0)，联立{x =t 1y +a y 2=4x，利用根与系数关系表示出QS 2，QT 2， 进而表示出1|QS|2+1|QT|2即可．本题考查动点轨迹方程的求法，考查韦达定理，考查换元法的应用，考查计算能力，属于中档题．21.答案：解：(1)∵f(x)=ax +1x ，∴f′(x)=a −1x 2=ax 2−1x 2，当a ≤0时，f′(x)<0，函数f(x)在(0,+∞)上单调递减；当a >0时，由f′(x)=0，得x =±√aa (舍负)，当x ∈(0,√a a )时，f′(x)<0，函数f(x)单调递减，当x ∈(√aa ,+∞)时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增．(2)由f(x)<g(x)，得e x −ax 2−x −1>0，设ℎ(x)=e x −ax 2−x −1(x >0)，则ℎ′(x)=e x −2ax −1，令H(x)=e x −2ax −1，则H′(x)=e x −2a ，当a ≤12时，∵x ∈(0,+∞)，∴H′(x)>0，H(x)为增函数， ∴H(x)=ℎ′(x)>ℎ′(0)=0，∴ℎ(x)在(0,+∞)上为增函数，∴ℎ(x)>ℎ(0)=0成立，即f(x)<g(x)成立． 当a >12时，由H′(x)=e x −2a =0，解得x =ln2a ， x ∈(0,ln2a)时，H′(x)<0，H(x)为减函数， x ∈(ln2a,+∞)时，H′(x)>0，H(x)为增函数， ∴ℎ′(x)≥ℎ′(ln2a)≥2a −1−2aln2a ，设t(a)=2a −1−2aln2a(a >12)，则t′(a)=−2ln2a <0， ∴t(a)在(12,+∞)上为减函数， ∴t(a)<t(12)=0，即ℎ′(ln2a)<0∴∃x 0∈(0,+∞)，当x ∈(0,x 0)时，ℎ′(x)<0，ℎ(x)为减函数， 当x ∈(x 0,+∞)时，ℎ′(x)>0，ℎ(x)为增函数， 又ℎ(0)=0，∴当x ∈(0,x 0)时，ℎ(x)<0，∴当a >12时，对x ∈(0,+∞)，f(x)<g(x)不恒成立， 综上所述，a ∈(−∞,12]．解析：(1)对f(x)求导得，f′(x)=a −1x 2=ax 2−1x 2，然后分a ≤0和a >0两个类别，讨论f′(x)的正负，即可得f(x)的单调性；(2)构造函数ℎ(x)=e x −ax 2−x −1(x >0)，求出ℎ′(x)，令H(x)=ℎ′(x)=e x −2ax −1，再求H′(x)=e x −2a ，当a ≤12时，易证得ℎ(x)在(0,+∞)上为增函数，ℎ(x)>ℎ(0)=0成立，即f(x)<g(x)成立；当a >12时，由H′(x)=e x −2a =0，解得x =ln2a ，可得函数H(x)的单调性即ℎ′(x)的单调性，于是ℎ′(x)≥ℎ′(ln2a)≥2a −1−2aln2a ，再令t(a)=2a −1−2aln2a(a >12)，求导可知t(a)在(12,+∞)上为减函数，t(a)<t(12)=0，即ℎ′(ln2a)<0，最后结合隐零点的思维可证得当a >12时，对x ∈(0,+∞)，f(x)<g(x)不恒成立，因此得解．本题考查导数的综合应用，涉及利用导数判断函数的单调性、求极值、恒成立问题等知识点，还有分类讨论、构造函数、多次求导以及隐零点等方法，有一定综合性，考查学生的分析能力和逻辑推理能力，属于难题．22.答案：解：(1)曲线C 的参数方程为{x =1+cos θy =1+sinθ(θ为参数)，转换为直角坐标方程为(x −1)2+(y −1)2=1．直线l 的极坐标方程为ρsin(φ+π4)+√2=0，转换为直角坐标方程为x +y +2=0． 所以圆心(1,1)到直线x +y +2=0的距离d =√2=2√2，所以最小距离d min =2√2−1．(2)由于圆心到直线的最小距离d =2√2， 所以构成的切线长为√(2√2)2−1=√7，所以四边形PACB 面积的最小值为S =2×12×1×√7=√7．解析：(1)直接利用转换关系的应用，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的进行转换． (2)利用点到直线的距离公式的应用和三角形的面积公式的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，点到直线的距离公式的应用，三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型． 23.答案：解：(1)a =4时，|x +2|+|x −1|−4≥0， 当x <−2时，−x −2−x +1−4≥0，解得x ≤−52； 当−2≤x ≤1时，x +2−x +1−4≥0，解得x ∈⌀； 当x >1时，x +2+x −1−4≥0，解得x ≥32， ∴函数f(x)的定义域为{x|x ≤−52或x ≥32}； (2)∵函数f(x)的定义域为R ，∴|x +2|+|x −1|−a ≥0对任意的x ∈R 恒成立， ∴a ≤|x +2|+|x −1|，又|x +2|+|x −1|≥|x +2−x +1|=3， ∴a ≤3，∴s =3， ∴12m+n+2m+3n=3，且m >0，n >0，∴3m +4n =(2m +n)+(m +3n)=13[(2m +n)+(m +3n)]⋅(12m+n +2m+3n )=13[3+2(2m+n)m+3n+m+3n2m+n]≥13(3+2√2)=1+2√23， 当且仅当m =1+2√215,n =3+√215时取等号， ∴3m +4n 的最小值为1+2√23．解析：(1)a =4时，得出f(x)需满足|x +2|+|x −1|−4≥0，然后讨论x 的取值，去掉绝对值号求出x 的范围即可得出f(x)的定义域；(2)根据题意可知a ≤|x +2|+|x −1|对x ∈R 恒成立，从而可得出a ≤3，进而得出s =3，从而得出12m+n +2m+3n =3，然后即可得出3m +4n =13[3+2(2m+n)m+3n+m+3n2m+n ]，然后根据基本不等式即可得出3m +4n 的最小值．本题考查了绝对值不等式的解法，不等式|a|+|b|≥|a −b|的运用，基本不等式求值的方法，考查了计算能力，属于基础题．。
2020届百校联盟高三4月教育教学质量监测考试(全国Ⅰ卷) 数学(理)试题(解析版)
2020届百校联盟高三4月教育教学质量监测考试（全国Ⅰ卷）数学（理）试题一、单选题1．若复数z 满足121z i i -+=+，则||z =（ ）A ．B ．2C D ．3【答案】A【解析】由条件121z i i -+=+，则211z i i =++-，求出z ，在求||z . 【详解】∵121z i i -+=+，∴2z i =+，∴z ==故选：A 【点睛】本题考查复数的加法运算和模长，属于基础题.2．已知集合{}221,,0A a a =-，{1,5,9}B a a =--，且{9}A B =I ，则（ ） A ．{9,25,0}A = B ．{5,9,0}A =C ．{7,9,0}A =-D ．{7,9,0,25,4}A B ⋃=--【答案】C【解析】由{9}A B =I 可得29a =，或219a -=，则3a =±，或5a =，再检验得出结论. 【详解】由已知可得29a =，或219a -=，∴3a =±，或5a =. 当3a =时，{5,9,0}A =，{2,2,9}B =--(舍)， 当5a =时，{9,25,0}A =，{4,0,9}B =-(舍)， 当3a =-时，{7,9,0}A =-，{4,8,9}B =-. 故选：C 【点睛】本题考查利用集合的交集求参数，注意检验集合的元素的唯一性，属于基础题. 3．已知向量()22,1a x x →=-，(1,3)b →=-，则“13x -<<”是“a →，b →的夹角为钝角”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件【答案】B【解析】根据若0a b ⋅<r r，则a →，b →的夹角为钝角或平角，再求出a →，b →反向时x 的取值，从而可得到答案. 【详解】∵223x x a b →→=--⋅，∴130a b x →→⋅-<<⇔<，当//a b →→时，()2321x x -⨯-=，解得：13x =±当1x =时，1,13a →⎛⎫=- ⎪⎝⎭，此时a →，b →反向.所以a →，b →的夹角为钝角则13x -<<且1x ≠所以“13x -<<”不能得到“a →，b →的夹角为钝角. 当“a →，b →的夹角为钝角”则能得到“13x -<<”.∴“13x -<<”是“a →，b →的夹角为钝角”的必要不充分条件. 故选：B 【点睛】本题考查必要不充分条件的判断和向量的夹角与数量积的关系，属于中档题. 4．将函数2sin 24y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向右平移4π个单位长度，所得函数（ ） A ．在区间3,88ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递增 B ．在区间5,88ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递减 C ．以8x π=为一条对称轴D ．以3,08π⎛⎫⎪⎝⎭为一个对称中心 【答案】B【解析】由三角函数的图像平移得出解析式2sin 24y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，然后再根据函数()sin y A ωx φ=+的图像性质对选项进行逐一判断，即可得出答案.【详解】将函数2sin 24y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移4π个单位长度,可得2sin 22sin 2444y x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，由222()242k x k k πππππ--+∈Z 剟，得3()88k x k k ππππ-+∈Z 剟， ∴单调递增区间为3,()88k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z ，故A 错误； 由32+22()242k x k k πππππ-+∈Z 剟，得37+()88k x k k ππππ+∈Z 剟 当1k =-时，函数在5,88ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递减. 故B 正确 由242x k πππ-=+，得对称轴为3()28k x k ππ=+∈Z ，故C 错误； 由24x k ππ-=，得()28k x k ππ=+∈Z ，对称中心为,028k ππ⎛⎫+⎪⎝⎭，故D 错误. 故选：B 【点睛】本题考查根据三角函数的图像平移得出解析式，进一步研究函数的单调性和对称性，属于中档题.5．已知一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积为（ ）A ．83πB ．8πC ．163πD ．12π【答案】B【解析】由三视图知，该几何体为一个圆柱挖去半个球和一个圆锥，然后求体积.【详解】由三视图知，该几何体为一个圆柱挖去半个球和一个圆锥， ∴3114164228323V ππππ=-⨯⨯-⨯⨯=. 故选：B 【点睛】本题考查根据三视图求体积，属于中档题.6．改编自中国神话故事的动画电影《哪吒之魔童降世》自7月26日首映，在不到一个月的时间，票房收入就超过了38亿元，创造了中国动画电影的神话.小明和同学相约去电影院观看《哪吒之魔童降世》，影院的三个放映厅分别在7：30，8：00，8：30开始放映，小明和同学大约在7：40至8：30之间到达影院，且他们到达影院的时间是随机的，那么他们到达后等待的时间不超过10分钟的概率是（ ） A ．13B ．12C ．25D ．34【答案】C【解析】根据题意，等待时间不超过10分钟的时间段分别为7：50~8：00，8：20~8：30，共20分钟，7：40至8：30之间共50分钟，由几何概型即可求出概率. 【详解】由题意可知，满足条件的时间段为7：50~8：00，8：20~8：30，共20分钟， 7：40至8：30之间共计50分钟， 由几何概型知所求概率为202505=. 故选：C . 【点睛】本题考查几何概型求概率问题，属于基础题.7．已知函数()212()log f x x ax a =-+在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上为减函数，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(,1]-∞ B ．1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．1,12⎛⎤-⎥⎝⎦D ．1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭【答案】B【解析】可看出该函数是由对数函数和二次函数复合而成的复合函数，这样根据二次函数、对数函数和复合函数的单调性及对数函数的定义域便可建立关于a 的不等式组，解出a 的取值范围即可． 【详解】12log y x =Q 在(0,)+∞上为减函数，2y x ax a ∴=-+在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上为增函数，且0y >，122a -∴-≤，且211022a a ⎛⎫-+≥ ⎪⎝⎭， 1a ∴≤，且12a ≥-，1,12a ⎡⎤∴∈-⎢⎥⎣⎦.故选：B . 【点睛】本题考查复合函数单调性的应用，涉及复合函数单调性的判断，解题关键是对数函数的定义域、二次函数的性质的运用，属于中等题.8．在平面直角坐标系xOy 中，A ､B 为函数||y x =图象上的两点，若线段AB 的中点M 恰好落在曲线22330x y -+=上，则OAB V 的面积为（ ）A ．2BCD 【答案】B【解析】设()11,A x y ，()22,B x y ，不妨设10x <，20x >，由线段AB 的中点M ，则122122x x x x M ⎛⎫+-⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,将M 的坐标代入曲线22330x y -+=可得123x x =-，然后求出1OA x =，2OB x =，利用三角形的面积公式可求得答案. 【详解】设()11,A x y ，()22,B x y ，线段AB 的中点(,)M x y . 由题意，不妨设10x <，20x >.∵12121221233333222x x xx x y y x x y +⎧=⎪⎪⎨-+⎪+-⎛⎫===⎪ ⎪⎝⎭⎩， 点(,)M x y 在22330x y -+=上，则22221221123333223330x x x x x y x x ⎡⎤+-⎛⎫⎛⎫-=-+=⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎭⎣⎦++=⎝∴123x x =-，又∵2211123OA x y x =+=-， 22222233OB x y x =+=，23AOB π∠=，∴1213sin 323OAB S OA OB AOB x x =⋅⋅∠=-=△. 故选：B 【点睛】本题考查中点坐标公式的应用和求三角形的面积，属于中档题.9．一只蚂蚁从正四面体A BCD -的顶点A 点出发，沿着正四面体A BCD -的棱爬行，每秒爬一条棱，每次爬行的方向是随机的，则第4秒时蚂蚁在A 点的概率为（ ）A ．2027B ．79C ．727D ．29【答案】C【解析】设第n 秒时蚂蚁不在顶点A 的概率为n P ，易知11P =.则1121(13)n n n P P P --=+⨯-,先求出n P 的通项公式，然后可得4P ，从而可得答案. 【详解】由题意知，蚂蚁每次爬行到下一个顶点的概率均为13， 设第n 秒时蚂蚁不在顶点A 的概率为n P ，易知11P =.则1121(13)n n n P P P --=+⨯-，∴1313434n n P P -⎛⎫⎛⎫-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴数列34n P ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是以为14为首项，以13-为公比的等比数列. ∴()*331443nn P n ⎛⎫=-⋅-∈ ⎪⎝⎭N ，∴第4秒时蚂蚁在A 点的概率为4207112727P -=-=. 故选：C 【点睛】本题考查概率的计算和利用数列的递推关系求通项公式，属于中档题.10．在梯形ABCD 中，//AB CD ，2AB CD =，BC =，则ADB ∠的最大值为（ ） A ．4π B ．3π C ．2π D ．23π 【答案】B【解析】设CD a =，则2AB a =，BC =.取AB 的中点M ，延长AB 到N 点，使BN a =，连接CM ，CN .在MBC △,NBC V 中分别用余弦定理可得2228m n a +=，然后在ABD △中用余弦定理结合均值不等式可求解出答案. 【详解】设CD a =，则2AB a =，BC =.取AB 的中点M ，延长AB 到N 点，使BN a =，连接CM ，CN . 由平面几何知识，易知AD MC =，BD NC =. 设AD MC m ==，BD NC n ==.在MBC △中，222)2cos m a a MBC =+-⨯⋅∠，在NBC V 中，222)2cos()n a a MBC π=+-⨯⋅-∠，∴2228m n a +=，在ABD △中，222244cos 22m n a a ADB mn mn+-∠==， 又∵22228mn m n a +=„，∴222441cos 282a a ADB mn a ∠==…，∴ADB ∠的最大值为3π. 故选：B【点睛】本题考查利用余弦定理解三角形结合均值不等式求最值，属于中档题.11．我国古代的数学著作《九章算术·商功》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”.在如图所示的“堑堵”111ABC A B C -中，12AB AC AA ===，M ､N 分别是1BB 和11A C 的中点，则平面AMN 截“堑堵”111ABC A B C -所得截面图形的面积为（ ）A 221B ．213C ．273D ．473【答案】A【解析】延长AN ，与1CC 的延长线交于点P ，则P ∈平面11BB C C .连接PM ，与11B C 交于点E ，连接NE ，可得截面图形，然后计算其面积. 【详解】延长AN ，与1CC 的延长线交于点P ，则P ∈平面11BB C C .连接PM ，与11B C 交于点E ，连接NE ，得到的四边形AMEN 就是平面AMN 截“堑堵”111ABC A B C -所得截面图形.由已知可求得：2215AM AN ==+=, 由1△PC E ∽1△EB M ，可得1111223B E B E ==142C E = 2221713ME ⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭,2424217121cos 4533NE ⎛⎫=+-⨯⨯⨯︒= ⎪ ⎪⎝⎭()222115+16MN A N A M =+==.()2222161176221656222323S ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯⨯-+⨯⨯-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∴截面面积2213S =. 故选：A【点睛】本题考查作出平面截空间立体几何图形的截面并计算其面积，属于中档题.12．已知函数()ln 2f x a x x =-，若存在*x ∈N ，使()0f x >成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(2,)e +∞ B ．4,ln 2⎛⎫+∞⎪⎝⎭C ．6,ln 3⎛⎫+∞⎪⎝⎭D ．(2,)+∞【答案】C【解析】显然当1x =时，不成立，则当1x >时，即2ln x a x >，设2()ln xg x x=，分析出函数()g x 的单调区间，然后可得出答案. 【详解】由题意，得ln 20a x x ->，当1x =时，20->不成立； 当1x >时，2ln x a x >，设2()ln xg x x=，则22(ln 1)()(ln )x g x x -'=，当(1,)x e ∈时，()0g x '<，()g x 为减函数， 当(,)x e ∈+∞时，()0g x '>，()g x 为增函数.当2x =时，4(2)ln 2g =，当3x =时，6(3)ln 3g =，又∵4ln3ln81ln646ln2=>=，∴46ln 2ln 3>，∴6ln 3a >. 故选：C. 【点睛】本题考查利用导数分析函数的单调区间进一步解决存在性问题，属于中档题.二、填空题13．若x ，y 满足约束条件43602210210x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪+-≥⎩，则|1|z x y =-+的最大值为__________.【答案】2811【解析】根据条件，作出可行域，分析出可行域在直线10x y -+=的同侧，然后利用目标函数的几何意义可求解. 【详解】由线性约束条件，得到图中ABC V 所在的区域，在图中做出直线10x y -+=，可以看出三角形区域ABC 的所有点都在直线10x y -+=的同一侧，所以当直线10x y -+=平移经过点B 时，z 取得最大值.由4360210x y x y --=⎧⎨+-=⎩，解得152,1111B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，代入1z x y =-+，得2811z =. 故答案为：2811【点睛】本题考查简单线性规划问题，属于中档题.14．在()251()x x x a +--的展开式中，含5x 项的系数为14，则实数a 的值为___________.【答案】1-或32【解析】由()2525551()()()()+x x x a x x a x x a x a =-+-----，又5()x a -的展开式的通项公式为()515rr rr T C x a -+=-，可得含5x 项，从而可得其系数，从而可得答案.【详解】()2525551()()()()+xx x a x x a x x a x a =-+-----又5()x a -的展开式的通项公式为()515rr r r T C x a -+=-由已知，含5x 的项为22324050555C ()C ()(1)C ()x x a x x a x a -+⋅-+-⋅-⋅()251051a a x =--，∴2105114a a --=，即2230a a --=，解得1a =-或32. 故答案为：1a =-或32. 【点睛】本题考查二项式展开式中指定项的系数，求参数的值，属于基础题. 15．已知实数,x y 满足20y x ≥>，则92y x x x y++的最小值为_____. 【答案】174【解析】采用换元法设yt x=，由已知可得2t ≥，可得9922y x t x x y t +=+++，令9()(2)2f t t t t =+≥+，利用导数求最值即可. 【详解】 设yt x=，由已知可得2t ≥， 9922y x t x x y t ∴+=+++，令9()(2)2f t t t t =+≥+， 29()10(2)f t t '=->+Q ， 9()2f t t t ∴=++在[2,)+∞上为增函数， 917()24f t t t ∴=+≥+，即91724y x x x y +≥+.故答案为：174. 【点睛】本题考查函数的最值问题，题目含有双变量，此类问题可用换元法将其转化为函数，再利用导数求解最值，属于中等题.16．已知1F ､2F 为双曲线2214x y -=的左､右焦点，P 为双曲线右支上异于顶点的任意一点，若12PF F △内切圆的圆心为I ，则圆心I 到圆22(1)1y x +-=上任意一点的距离的最小值为____________. 【答案】1【解析】设12PF F △内切圆与12PF F △的三边1PF ､2PF ､12F F 的切点分别为D ､N ､M ，根据圆的切线性质，可得2OM =，即可得答案.【详解】由双曲线2214x y -=，则 2,1,a b c ===设12PF F △内切圆与12PF F △的三边1PF ､2PF ､12F F 的切点分别为D ､N ､M ， 根据圆的切线性质，可得1224F M F M a -==，又因为1212F M F M F F +==，∴12F M =，即2OM =， ∴内切圆圆心I 在直线2x =上.又因为圆22(1)1y x +-=的圆心为(0,1)，半径1r =， ∴圆心I 到圆22(1)1y x +-=上任意一点的距离的最小值为211-=. 故答案为：1 【点睛】本题考查双曲线的定义和性质，属于中档题.三、解答题17．已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，210S =，()*1121n n n S a n N n +-=+∈+. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设()*2(1)!n n n a b n N n =∈+，数列{}nb 的前n 项和为n T ，求证：112n T ≤<.【答案】（1）()*2nn a n n =⋅∈N .（2）证明见解析【解析】(1)由1121n n n S a n +-=++有()*1222,n n n S a n n n--=+∈N …两式相减可得()*122,1n n a an n n n+=⋅∈+N …，从而可求出答案. (2)由112(1)!(1)!!(1)!n n n a n b n n n n ===-+++用裂项相消可求和.【详解】（1）当1n =时，112S a ==， ∵210S =，∴28a =， 又∵()*1121n n n S a n n +-=+∈+N ， ∴()*1222,n n n S a n n n--=+∈N …， ∴()*1122,1n n n n n a a a n n n n +--=-∈+N …， 整理得：()*122,1n n a an n n n+=⋅∈+N …， ∴数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭从第二项242a =开始是公比为2的等比数列. ∴2422n n na n-=⨯= ∴()*22,nn a n n n =⋅∈N …又∵当1n =时，12a =满足2nn a n =⋅.∴()*2nn a n n =⋅∈N .（2）由（1）得()*112(1)!(1)!!(1)!n n na nb n n n n n ===-∈+++N ， ∴111111112!2!3!!(1)!(1)!n T n n n =-+-+⋯+-=-++，显然当*n ∈N 时，n T 为单调递增函数，且10(1)!n >+，∴1112n T T =<…成立. 【点睛】本题考查利用n a 和n S 的递推关系求通项公式和利用裂项相消可求和，属于中档题. 18．某市为了了解该市教师年龄分布情况，对年龄在[20,60]内的5000名教师进行了抽样统计，根据分层抽样的结果，统计员制作了如下的统计表格： 年龄区间 [20,30) [30,40) [40,50) [50,60] 教师人数 2000 1300 样本人数130由于不小心，表格中部分数据被污染，看不清了，统计员只记得年龄在[20,30)的样本人数比年龄在[50,60]的样本人数多10，根据以上信息回答下列问题：（1）求该市年龄在[50,60]的教师人数；（2）试根据上表做出该市教师按照年龄的人数频率分布直方图，并求该市教师年龄的平均数x 及方差2s (同一组的数据用该组区间的中点值作代表). 【答案】（1）800.（2）频率分布直方图见解析，39x =，292s = 【解析】(1)设样本容量为x ，由130********x⨯=解得x 的值，进一步求得年龄在[30,40)的教师在样本中的人数，可得年龄在[20,30)和[50,60]的教师在样本中的人数，在列式计算.(2)分布求出各区间段的频率，即可画出频率分布直方图，再由期望与方差公式求解即可. 【详解】（1）设样本容量为x ，则130********x⨯=，解得500x =， ∴年龄在[30,40)的教师在样本中共有50020002005000⨯=(人)， ∴年龄在[20,30)和[50,60]的教师在样本中共有500200130170--=(人)， 设年龄在[50,60]的教师在样本中的人数为y ， 由题意可知：(10)170y y ++=，∴80y =，∴该市年龄在[50,60]的教师人数为500080800500⨯=. （2）由（1）可知，年龄在[20,30)的教师人数为500020001300800900---=(人)，频率为9000.185000=， 年龄在[30,40)的教师人数为2000(人)，频率为20000.45000=， 年龄在[40,50)的教师人数为1300(人)，频率为13000.265000=， 年龄在[50,60]的教师人数为800(人)，频率为8000.165000=. 由此做出频率分布直方图.250.18350.4450.26550.1639x =⨯+⨯+⨯+⨯=；22222(2539)0.18(3539)0.4(4539)0.26(5539)0.1692s =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=.【点睛】本题考查频率分布直方图，利用频率分布直方图求期望与方程的估计值，属于中档题. 19．如图，将斜边长为42的等腰直角ABC V 沿斜边BC 上的高AD 折成直二面角B ADC --，E 为AD 中点.（1）求二面角A BC E --的余弦值；（2）M 为线段BC 上一动点，当直线DM 与平面BCE 所成的角最大时，求三棱锥M CDE -外接球的体积.【答案】（1）223.（2510 【解析】(1)设F 为BC 中点，连接EF ､AF 得出BD ⊥平面ADC ，由平面几何可知EF BC ⊥，AF BC ⊥，则EFA Ð就是二面角A BC E --的平面角，在EFA △中求解.(2) 设直线DM 与平面BCE 所成的角为α,点D 到平面BCE 的距离为d ，则sin d DM α=，由等体积法可得求得233d =，当DM 最小时，直线DM 与平面BCE 所成的角的正弦值最大，此时所成角也最大，从而当M 为BC 中点时，直线DM 与平面BCE 所成的角最大，此时2DM =，可求出三棱锥M CDE -外接球的体积. 【详解】 【详解】解法一：（1）设F 为BC 中点，连接EF ､AF . ∵ABC V 为等腰直角三角形， 且二面角B AD C --为直二面角， ∴BD ⊥平面ADC∴22AD BD CD ===，4AB BC CA ===， 由平面几何可知，10BE CE ==， ∴EF BC ⊥，AF BC ⊥，∴EFA Ð就是二面角A BC E --的平面角， 在EFA △中，2AE =，224223AF =-=，1046EF =-=，∴2221622cos 23122EF AF AE EFA EF AF +-∠===⨯⨯， ∴二面角A BC E --的余弦值为223.（2）设直线DM 与平面BCE 所成的角为α，点D 到平面BCE 的距离为d ， 则sin d DMα=， 在三棱锥B CDE -中，1262BCE S BC EF =⨯⨯=△， 由B CDE D BCE V V --=三棱锥三棱锥，求得23d =，∴当DM 最小时，直线DM 与平面BCE 所成的角的正弦值最大，此时所成角也最大， ∴当M 为BC 中点时，直线DM 与平面BCE 所成的角最大，此时2DM =. 由平面几何知识可知，CDE △和CME △都是直角三角形，设N 为CE 的中点， 则11022ND NE NC NM CE =====， ∴三棱锥M CDE -外接球的半径为102， ∴外接球的体积3410510323V ππ⎛⎫==⎪⎝⎭.解法二：（1）∵ABC V 为等腰直角三角形，且二面角B AD C --为直二面角，∴BD ⊥平面ADC ， ∴BD CD ⊥，∴以D 为坐标原点，以DA ､DC ､DB 所在直线为x 轴､y 轴､z 轴建立如图所示的空间直角坐标系.∵在平面图形中，ABC V 是斜边为42的等腰直角三角形，且E 为高AD 的中点， ∴(0,0,0)D ，(22,0,0)A，(0,0,22)B ，(0,22,0)C ，(2,0,0)E ，∴(22,22,0)AC =-，(0,22,22)BC =-u u u r，(2,22,0)EC =-，设平面ABC 的一个法向量为()111,,m x y z =u r，平面BCE 的一个法向量为()222,,n x y z =r，由00m BC m AC ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v v v ，得11112222022220y z x y ⎧-=⎪⎨-+=⎪⎩，令11x =，则111y z ==∴(1,1,1)m =u r，同理可求得(2,1,1)n =r，∴22cos ,336m n m n m n ⋅〈〉===⨯⨯u r ru r r u r r ， ∴二面角A BC E --的余弦值为22.（2）如图，设(01)BM BC λλ=剟， 可得(0,22,2222)M λλ-， ∴(0,22,2222)DM λλ=-，又由（1）可知平面BCE 的法向量为(2,1,1)n =r，∴2222cos ,244263(21)1DM n λλλ〈〉==-+⨯⨯-+u u r r即直线DM 与平面BCE，∵01λ剟，3，当且仅当12λ=时，等号成立. ∴当M 为BC 中点时，直线DM 与平面BCE 所成的角最大，此时2DM =. 由平面几何知识可知，CDE △和CME △都是直角三角形，设N 为CE 的中点，则122ND NE NC NM CE =====， ∴三棱锥M CDE -外接球的半径为2， ∴外接球的体积34323V π⎛==⎝⎭. 【点睛】本题考查求二面角的余弦值和三棱锥外接球的体积的求法，考查空间线线、线面、面面的位置关系，属于中档题.20．动圆P 过定点(2,0)A ，且在y 轴上截得的弦GH 的长为4. （1）若动圆圆心P 的轨迹为曲线C ，求曲线C 的方程；（2）在曲线C 的对称轴上是否存在点Q ，使过点Q 的直线l '与曲线C 的交点S T 、满足2211||||QS QT +为定值？若存在，求出点Q 的坐标及定值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）24y x =.（2）存在点(2,0)Q ，定值为14. 【解析】（1）设(,)P x y ，由题意知：PA PG =，利用距离公式及弦长公式可得方程，化简可得P 的轨迹方程；（2）假设存在(,0)Q a ，设()11,S x y ､()22,T x y ，由题意知直线l '的斜率必不为0，设直线l '的方程，与抛物线联立，利用根与系数关系可求得()212222121121t a QS QT a t ++=+，当2a =时，上式221114QS QT +=，与1t 无关，为定值. 【详解】（1）设(,)P x y ，由题意知：PA PG =.当P 点不在y 轴上时，过P 做PB GH ⊥，交GH 于点B ，则B 为GH 的中点，122GB GH ∴==，PG ∴=又PA =Q ，=24(0)y x x =≠；当P 点在y 轴上时，易知P 点与O 点重合.(0,0)P 也满足24y x =，∴曲线C 的方程为24y x =.（2）假设存在(,0)Q a ，满足题意.设()11,S x y ､()22,T x y .由题意知直线l '的斜率必不为0， 设直线l '的方程为()110x t y a t =+≠.由124x t y a y x=+⎧⎨=⎩得21440y t y a --=.1214y y t ∴+=，124y y a ⋅=-. ()2121121242x x t y y a t a ∴+=++=+，2221212116x x y y a ⋅=⋅=. ()()2222221111114(42)QS x a y x a x x a x a =-+=-+=+-+Q ，()()2222222222224(42)QT x a y x a x x a x a =-+=-+=+-+，()222221212(42)2QS QT x x a x x a ∴+=++-++()()22121212(42)22x x a x x x x a =++-+-+()()21212124222x x x x a x x a =+++--+ ()()22114244t a t =++， ()222221161QS QT a t ⋅=+.()()()()2222211122222222211424411221161t a t QS QT t a QS QT QS QT a t a t ++++∴+===⋅++， 当2a =时，上式221114QS QT +=，与1t 无关，为定值. ∴存在点(2,0)Q ，使过点Q 的直线l '与曲线C 的交点S T 、满足2211QS QT +为定值14. 【点睛】本题考查轨迹方程、定值问题的求解，求轨迹方程，一般是求谁设谁的坐标然后根据题目等式直接求解即可，存在性与定值问题一般设存在，代入，结合韦达定理等知识消去参数求解，属于较难题型.21．已知函数1()f x ax x =+，()1xe g x x=-. （1）讨论函数()f x 在(0,)+∞上的单调性；（2）当12a =时，设(,)P x y 为函数()1ln ((0,))()1x g x y x x f x ⋅-=∈+∞⋅-图象上任意一点.直线OP 的斜率为k ，求证：01k <<.【答案】（1）答案见解析.（2）证明见解析【解析】(1)由22211()ax f x a x x-'=-=，分0a ≤与0a >两类讨论，可求得函数()f x 在(0,)+∞上的单调区间.(2)由已知，即证0y x <<,由于2()11ln ln 1()12x x g x e x y x f x x ⋅---==⋅-，即证210ln 12x e x x x --<<，①设21()12x h x e x x =---，②构造函数21()12x x s x e x x e =---，利用导数研究这两个函数的单调性及函数取值情况，可证结论.【详解】（1）∵1()f x ax x=+， ∴22211()ax f x a x x-'=-=， 当0a ≤时，()0f x '<，函数()f x 在(0,)+∞上单调递减；当0a >时，由()0f x '=，得x a=±(舍负)当x ⎛∈ ⎝⎭时，()0f x '<，函数()f x 单调递减，当x ⎫∈+∞⎪⎪⎝⎭时，()0f x '>，函数()f x 单调递增. （2）证明：由已知，即证0y x <<. ∵2()11ln ln 1()12x x g x e x y x f x x ⋅---==⋅-， ∴即证210ln 12x e x x x --<<， ①设21()12x h x e x x =---， ∴()1x h x e x '=--， ∴()1x h x e ''=-，∵(0,)x ∈+∞，∴()10x h x e ''=->，∴()h x '为增函数∴()1(0)0x h x e x h ''=-->=， ∴()h x 为增函数 ∴21()1(0)02x h x e x x h =--->=， ∴21102x e x x --->， 即2112x e x x -->，即21112x e x x -->， ∴21ln 012x e x x -->，即0y >， ②构造函数21()12x x s x e x x e =---，∵21()12x x x s x e xe x e '=---， 21()22x x s x xe x e ''=--， ∴21()202x x s x xe x e ''=--<， ∴()s x '在(0,)+∞上为减函数，∴()(0)0s x s ''<=，∴()s x 在(0,)+∞上为减函数，∴()(0)0s x s <=， ∴2112x x e x x e --<， ∴2112x x e x e x --<，即21ln 12x e x y x x --=<成立. 由①②可知0y x <<， ∴01k <<成立.【点睛】本题考查利用导数判断函数的单调性，考查证明不等式的有关问题，考查分离讨论和构造函数，属于难题.22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为1cos 1sin x y θθ=+⎧⎨=+⎩(θ为参数)，在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为sin 04πρϕ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，P 为直线l 上的任意一点. （1）Q 为曲线C 上任意一点，求P Q 、两点间的最小距离；（2）过点P 作曲线C 的两条切线，切点为A B 、，曲线C 的对称中心为点C ，求四边形PACB 面积的最小值.【答案】（1）1.（2【解析】（1）将曲线C 的参数方程化为普通方程可得圆，直线l 的极坐标方程化为直角坐标方程，由直线与圆的位置关系可得P Q 、两点间的最小距离；（2）△P AC 与△PBC 为直角三角形，AC =BC =1，根据图形的对称性及勾股定理可知，四边形PACB的面积2PAC S S PA AC PA ==⨯==△PC 最小时面积最小，由此能求出面积的最小值．【详解】（1）由曲线C 的参数方程为1cos 1sin x y θθ=+⎧⎨=+⎩(θ为参数)，得22(1)(1)1x y -+-=， ∴曲线C 是以(1,1)为圆心，以1为半径的圆.由sin 04πρϕ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，化简得cos sin 20ρϕρϕ++=， cos sin x y ρϕρϕ=⎧⎨=⎩Q ，:20l x y ∴++=， P Q 为直线l 上的任意一点，Q 为圆C 上任意一点，min min 1PQ PC ∴=-(其中C 为圆心)，又min PC ==Qmin 1PQ ∴=-.（2）由题意，△P AC 与△PBC 为直角三角形，AC =BC =1，根据图形的对称性及勾股定理可知，四边形PACB 的面积2PAC S S PA AC PA ==⨯==△由（1）知，min PC =∴四边形PACB 面积的最小值min S =.【点睛】本题考查简单曲线的极坐标方程,参数方程化成普通方程，解题关键是利用极坐标与直角坐标的关系将极坐标方程与参数方程转化为直角坐标方程，利用直线与圆位置关系求解即可，属于中等题.23．若0a >，0b >，且223a b ab ++=.（1）求2a b +的最小值；（2）是否存在a ､b ，使得33a b +=？并说明理由.【答案】（1）4.（2）不存在a ，b ，理由见解析【解析】(1) 利用均值不等式有3222ab a b =++…，从而可求解出答案.(2)由均值不等式有33a b +厖1）2ab …可得出答案. 【详解】（1）由3222ab a b =+++…，得2ab …，当且仅当22a b ==时等号成立. 故2324a b ab +=-…，当且仅当22a b ==时等号成立. 所以2a b +的最小值为4.（2）由（1）知，33a b +厖当且仅当22a b a b =⎧⎨==⎩时等号成立).因此，33a b +>.从而不存在a ，b ，使33a b +=.【点睛】本题考查利用均值不等式求最值和考查等号成立的条件，属于中档题.。
2020届 百师联盟 全国高三模拟考(一)全国Ⅰ卷数学(文)试题(解析版)
2020届百师联盟全国高三模拟考（一）全国Ⅰ卷数学（文）试题一、单选题1．已知复数z 满足()14i z i -=，则z =（ ） A ．B ．2C ．4D ．3【答案】A【解析】由复数除法求出z ，再由模的定义计算出模． 【详解】44(1)22,1(1)(1)i i i z i z i i i +===-+=--+ 故选：A ． 【点睛】本题考查复数的除法法则，考查复数模的运算，属于基础题． 2．已知集合{}20,2131x A x B x x x +⎧⎫=≤=-≤⎨⎬-⎩⎭则()R C A B ⋂（ ）A ．[]1,2B ．()[),21,2-∞-UC ．()[],21,2-∞-⋃D ．(]1,2【答案】C【解析】解不等式确定集合,A B 中的元素，再由集合的运算法则计算． 【详解】由201x x +≤-得(2)(1)010x x x +-≤⎧⎨-≠⎩，∴21x -?，即[2,1)A =-，又{|2}(,2]B x x =≤=-∞，∴(,2)[1,)R A =-∞-+∞U ð，()(,2)[1,2]R A B =-∞-I U ð． 故选：C ． 【点睛】本题考查集合的综合运算，掌握集合运算的定义是解题基础． 3．已知命题:p []02,2x ∃∈-，2430x x -+≥，则p ⌝为（ ） A ．[]02,2x ∃∉-，2430x x -+<B ．[]02,2x ∀∉-，2430x x -+<C ．[]2,2x ∀∈-，2430x x -+< D ．[]2,2x ∀∈-，2430x x -+≥【答案】C【解析】根据特称命题的否定是全称命题可得出答案. 【详解】由于特称命题的否定是全称命题，故命题:p []02,2x ∃∈-，2430x x -+≥的否定是：:p ⌝[]2,2x ∀∈-，2430x x -+<.故选：C. 【点睛】本题考查特称命题的否定，意在考查学生的推断能力，属于基础题. 4．设α为锐角，若3cos 45πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则5sin 12πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为（ ）A B C D 【答案】A【解析】先求出sin 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值， 5sin sin 1246ααπππ⎛⎫⎛⎫+=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，再由两角和的正弦公式计算即可. 【详解】Q α为锐角，3cos 45πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，∴4sin 45απ⎛⎫+== ⎪⎝⎭，∴51sin sin cos 1246424ααααπππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=+++=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 故选：A. 【点睛】本题考查同角三角函数间的关系，考查两角和的正弦公式，考查逻辑思维能力和计算能力，属于常考题.5．“角谷猜想”的内容是：对于任意一个大于1的整数n ，如果n 为偶数就除以2，如果n 是奇数，就将其乘3再加1，执行如图所示的程序框图，若输入10n =，则输出i 的（ ）A ．6B ．7C ．8D ．9【答案】B【解析】模拟程序运行，观察变量值可得结论． 【详解】循环前1,10i n ==，循环时：5,2n i ==，不满足条件1n =；16,3n i ==，不满足条件1n =；8,4n i ==，不满足条件1n =；4,5n i ==，不满足条件1n =；2,6n i ==，不满足条件1n =；1,7n i ==，满足条件1n =，退出循环，输出7i =． 故选：B ． 【点睛】本题考查程序框图，考查循环结构，解题时可模拟程序运行，观察变量值，从而得出结论．6．已知双曲线2222:1x y C a b-=（0a >，0b >）的渐近线与圆()22314x y +-=相切，则双曲线C 的离心率为（ ） A 5B ．2 C 23D 6【答案】C【解析】先根据双曲线的方程求得双曲线的渐近线，再利用圆心到渐近线的距离为圆的半径求得a 和b 的关系，代入221be a=+.【详解】渐近线方程为0bx ay -=，2232ar a b ==+，2213b a ∴=，222313b e a ∴=+=.故选：C. 【点睛】本题考查双曲线离心率的求法，考查逻辑思维能力和计算能力，属于常考题. 7．为研究某咖啡店每日的热咖啡销售量y 和气温x 之间是否具有线性相关关系，统计该店2017年每周六的销售量及当天气温得到如图所示的散点图（x 轴表示气温，y 轴表示销售量），由散点图可知y 与x 的相关关系为（ ）A ．正相关，相关系数r 的值为0.85B ．负相关，相关系数r 的值为0.85C ．负相关，相关系数r 的值为0.85-D ．正相关，相关负数r 的值为0.85- 【答案】C【解析】根据正负相关的概念判断． 【详解】由散点图知y 随着x 的增大而减小，因此是负相关．相关系数为负． 故选：C ． 【点睛】本题考查变量的相关关系，考查正相关和负相关的区别．掌握正负相关的定义是解题基础．8．函数32sin ()xx xg x e-=的图象大致为（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】B【解析】确定函数的奇偶性排除，再求一些特殊的函数值，根据其正负排除一些选项．【详解】由32sin()()xx xf x f xe-+-==-，知()f x为奇函数，排除D；12sin1(1)0fe-=<，排除C；322732sin3822fe-⎛⎫=>⎪⎝⎭，排除A．故选：B【点睛】本题考查由函数解析式选择函数图象，解题时可通过确定函数的奇偶性、单调性等性质，特殊的函数值，函数值的正负，函数值的变化趋势等由排除法得出正确选项．9．如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积是（）A．83B．163C．43D．8【答案】A【解析】由三视图还原出原几何体，得出几何体的结构特征，然后计算体积．【详解】由三视图知原几何体是一个四棱锥，四棱锥底面是边长为2的正方形，高为2，直观图如图所示，1822233V=⨯⨯⨯=．故选：A．【点睛】本题考查三视图，考查棱锥的体积公式，掌握基本几何体的三视图是解题关键． 10．已知函数()y f x =是定义在R 上的奇函数，函数()f x 满足()()4f x f x =+，且(]0,1x ∈时，()2()log 1f x x =+，则()()20182019f f +=（ ）A ．2B ．2-C ．1D ．1-【答案】D【解析】()()4f x f x =+说明函数是周期函数，由周期性把自变量的值变小，再结合奇偶性计算函数值． 【详解】由()()4f x f x =+知函数()f x 的周期为4，又()f x 是奇函数，(2)(2)f f =-，又(2)(2)f f -=-，∴(2)0f =，∴()()()()()()201820192301011f f f f f f +=+=+-=-=-． 故选：D ． 【点睛】本题考查函数的奇偶性与周期性，掌握周期性与奇偶性的概念是解题基础．11．已知集合{}{}3,*,2,*nM x x n N N x x n n N ==∈==∈，将集合M N ⋃的所有元素从小到大一次排列构成一个新数列{}n c ，则12335...c c c c ++++=（ ） A ．1194 B ．1695 C ．311 D ．1095【答案】D【解析】确定{}n c 中前35项里两个数列中的项数，数列{2}n 中第35项为70，这时可通过比较确定{3}n 中有多少项可以插入这35项里面即可得，然后可求和． 【详解】35n =时，23570,370,3n n ⨯=<≤，所以数列{}n c 的前35项和中，{}3n有三项3，9，27，{}2n 有32项，所以123353231 (3927322210952)c c c c ⨯++++=+++⨯+⨯=． 故选：D ． 【点睛】本题考查数列分组求和，掌握等差数列和等比数列前n 项和公式是解题基础．解题关键是确定数列{}n c 的前35项中有多少项是{2}n 中的，又有多少项是{3}n 中的．12．已知函数()()0xe f x x a a=->，若函数()y f x =的图象恒在x 轴的上方，则实数a 的取值范围为（ ） A ．1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．()0,eC ．(),e +∞D ．1,1e ⎛⎫⎪⎝⎭【答案】B【解析】函数()y f x =的图象恒在x 轴的上方，0x ex a->在()0,∞+上恒成立.即x e x a >，即函数xe y a=的图象在直线y x =上方，先求出两者相切时a 的值，然后根据a 变化时，函数xey a=的变化趋势，从而得a 的范围．【详解】由题0x e x a ->在()0,∞+上恒成立.即xe x a>，xe y a=的图象永远在y x =的上方，设xe y a =与y x =的切点()00,x y ，则01x x e ae xa⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得a e =，易知a 越小，xey a=图象越靠上，所以0a e <<.故选：B ． 【点睛】本题考查函数图象与不等式恒成立的关系，考查转化与化归思想，首先函数图象转化为不等式恒成立，然后不等式恒成立再转化为函数图象，最后由极限位置直线与函数图象相切得出参数的值，然后得出参数范围．二、填空题13．已知a =ra r 在b r ，则a r 与b r的夹角为_________.【答案】6π 【解析】由向量投影的定义可求得两向量夹角的余弦值，从而得角的大小． 【详解】a r 在b r方向上的投影为cos ,cos ,2a a b a b <>=∴<>==r r r r r ，即夹角为6π. 故答案为：6π． 【点睛】本题考查求向量的夹角，掌握向量投影的定义是解题关键．14．抛物线2:2C x py =（0p >）的焦点到准线的距离为4，则抛物线的准线方程为___________. 【答案】2y =-【解析】根据题意先求出p 的值，然后再写出准线方程即可. 【详解】焦点到准线的距离为4p =，准线方程为22py =-=-. 故答案为：2y =-. 【点睛】本题考查抛物线的定义，考查对基本知识的理解和掌握，属于基础题.15．已知ABC ∆内角、、A B C 的对边分别为,4,a b c a b ABC ==∆、、外接圆的面积为4π，则ABC ∆的面积为_________.【答案】【解析】由外接圆面积，求出外接圆半径，然后由正弦定理可求得三角形的内角,A B ，从而有C ，于是可得三角形边长，可得面积． 【详解】设外接圆半径为r ，则24,2S r r =π=π=，由正弦定理24sin sin a b r A B ===，得sin ,sin 12A B ==，,,,326A B C πππ∴===∴2c =，a =12S ac ==．故答案为： 【点睛】本题考查正弦定理，利用正弦定理求出三角形的内角，然后可得边长，从而得面积，掌握正弦定理是解题关键．16．在三棱锥P ABC -中，三条侧棱PA PB PC 、、两两垂直，1,4PB PA PA PC =++=，则三棱锥P ABC -外接球的表面积的最小值为________.【答案】14π【解析】设PA x =，可表示出,PB PC ，由三棱锥性质得这三条棱长的平方和等于外接球直径的平方，从而半径的最小值，得外接球表面积． 【详解】设PA x =则1,4PC x PC x =+=-，由,,PA PB PC 两两垂直知三棱锥P ABC -的三条棱,,PA PB PC 的棱长的平方和等于其外接球的直径的平方．记外接球半径为r ，∴2r ==当1x =时，2min min 2,=41422r r S ⎛⎫==π=π ⎪ ⎪⎝⎭表． 故答案为：14π． 【点睛】本题考查三棱锥外接球表面积，解题关键是掌握三棱锥的性质：三条侧棱两两垂直的三棱锥的外接球的直径的平方等于这三条侧棱的平方和．三、解答题17．已知{}n a 为各项均为整数的等差数列，n S 为{}n a 的前n 项和，若3a 为213a 和13a 的等比中项，749=S . （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若12n n n b a a +=，n T 为数列{}n b 的前n 项和，求n T. 【答案】（1）21n a n =-；（2）221nn + 【解析】（1）利用已知条件列出方程组，求出1a 和d 的值，进而写出通项公式即可； （2）()()1221121212121n n n b a a n n n n +===--+-+，利用裂项相消法求和即可.【详解】（1）由题得()23213177137492a a a a a S ⎧=⋅⎪⎪⎨+⎪==⎪⎩，解得112a d =⎧⎨=⎩或1073a d =⎧⎪⎨=⎪⎩，因为数列{}n a 为各项均为整数，所以112a d =⎧⎨=⎩，即21n a n =-； （2）令()()1221121212121n n n b a a n n n n +===--+-+， 所以111111112113355721212121n n T n n n n =-+-+-+-=-=-+++. 【点睛】本题考查等差等比数列的性质，考查等差数列的通项公式，考查裂项相消法求和，考查逻辑思维能力和运算能力，属于常考题.18．在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，//AD BC ，2ABC π∠=，PE ⊥面ABCD ，3AD AE =，22AB BC AE ===，3PC =.（1）在线段PD 上是否存在点F ，使//CF 面PAB ，说明理由； （2）求三棱锥C PAE -的体积.【答案】（1）存在，理由见解析；（2）23. 【解析】（1）取ED 中点Q ，分别连接CQ ，QF ，CF ，易得//AB CQ ，//QF AP ，然后可证面//CQF 面PAB ，即//CF 面PAB ；（2）过E 作//EG AB 交BC 于G ，分别求出EC ，PE 的长度，在梯形ABCD 中，作EH BC ⊥于H ，再求出EH 的长度，利用等体积法C PAE P ACE V V --=计算得解.【详解】（1）当F 为PD 上靠近D 点的三等分点时，满足//CF 面PAB ， 证明如下，取ED 中点Q ，分别连接CQ ，QF ，CF ，//AD BC Q ，3AD AE =，2BC =，2AE =，AQ BC ∴=，即易得//AB CQ ，AB Ì面PAB ，CQ ⊄面PAB ， 所以//CQ 面PAB ，同理可得//QF AP ，AP ⊂面PAB ，QF Ë面PAB ， 所以//QF 面PAB ，又CQ QF Q ⋂=，CQ ，QF ⊂面CQF ，所以面//CQF 面PAB ，又CF ⊂面CQF ，所以//CF 面PAB ； （2）过E 作//EH AB 交BC 于H ，PE ⊥Q 面ABCD ，2ABC π∠=，EH BC ∴⊥在Rt PEC ∆中，225EC EH HC +=222PE PC EC +=， 所以11121223323C PAE P ACE ACE V V S PE --∆==⋅=⨯⨯⨯⨯=. 【点睛】本题考查线面平行的证法，考查利用等体积法求三棱锥体积，考查空间想象能力和运算能力，属于常考题.19．某公司为了鼓励运动提高所有用户的身体素质，特推出一款运动计步数的软件，所有用户都可以通过每天累计的步数瓜分红包，大大增加了用户走步的积极性，所以该软件深受广大用户的欢迎.该公司为了研究“日平均走步数和性别是否有关”，统计了2019年1月份所有用户的日平均步数，规定日平均步数不少于8000的为“运动达人”，步数在8000以下的为“非运动达人”，采用按性别分层抽样的方式抽取了100个用户，得到如下列联表： 运动达人 非运动达人 总计 男 35 60 女 26 总计100（1）（i ）将22⨯列联表补充完整；（ii ）据此列联表判断，能否有99%的把握认为“日平均走步数和性别是否有关”？ （2）从样本中的运动达人中抽取7人参加“幸运抽奖”活动，通过抽奖共产生2位幸运用户，求这2位幸运用户恰好男用户和女用户各一位的概率. 附：()20P K k ≥0.050 0.0100.001()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++ 【答案】（1）（i ）列联表见解析；（ii ）没有；（2）1021. 【解析】（1）（i ）根据题意补全22⨯列联表； （ii ）代入数据计算2K ，对照临界值做出判断即可；（2）由分层抽样方法，利用列举法求出基本事件数，计算所求的概率值. 【详解】 （1）（i ）（ii ）由22⨯列联表得()2210035261425 5.229 6.63560404951K ⨯⨯-⨯=≈<⨯⨯⨯，所以没有99%的把握认为“日平均走步数和性别是否有关”； （2）由列联表知从运动达人中抽取的男用户人数为735549⨯=，女用户人数为714249⨯=， 男用户编号a ，b ，c ，d ，e ，女用户编号m ，n ，则抽取的两位幸运用户有：(),a b ，(),a c ，(),a d ，(),a e ，(),a m ，(),a n ，(),b c ，(),b d ，(),b e ，(),b m ，(),b n ，(),c d ，(),c e ，(),c m ，(),c n ，(),d e ，(),d m ，(),d n ，(),e m ，(),e n ，(),m n ，共21种，其中男女各一位的有10种，概率为1021，所以这2位幸运用户恰好男用户和女用户各一位的概率为1021. 【点睛】本题考查独立性检验及其计算，考查分层抽样，考查古典概率，考查逻辑思维能力和计算能力，属于常考题.20．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>，左、右焦点为12F F 、，点P 为C 上任意一点，若1PF 的最大值为3，最小值为1. （1）求椭圆C 的方程；（2）动直线l 过点2F 与C 交于P Q 、两点，在x 轴上是否存在定点A ，使22PAF QAF ∠=∠成立，说明理由.【答案】（1）22143x y +=（2）存在；详见解析【解析】（1）由椭圆的性质得3,1a c a c +=-=，解得,a c 后可得b ，从而得椭圆方程； （2）设()()()1122,,,,,0P x y Q x y A n ，当直线l 斜率存在时，设为()1y k x =-，代入椭圆方程，整理后应用韦达定理得1212,x x x x +，代入AP AQ k k +＝0由恒成立问题可求得n ．验证l 斜率不存在时也适合即得． 【详解】解：（1）由题易知1max 1min31PF a c PF a c ⎧=+=⎪⎨=-=⎪⎩解得21a c =⎧⎨=⎩，所以椭圆C 方程为22143x y +=（2）设()()()1122,,,,,0P x y Q x y A n当直线l 斜率存在时，设为()1y k x =-与椭圆方程联立得()22224384120kx k x k +-+-=，显然>0∆所以221212228412,4343k k x x x x k k -+=⋅=++ 因为22,0AP AQ PAF QAF k k ∠=∠∴+=()()()()()()1221121212110k x x n k x x n y yx n x n x n x n --+--∴+==---- 化简()()()222121222281824682120,0434343n k k n nk x x n x x n k k k --+-+++=∴-+=+++ 解得6240n -=即4n =所以此时存在定点()4,0A 满足题意 当直线l 斜率不存在时，()4,0A 显然也满足综上所述，存在定点()4,0A ，使22PAF QAF ∠=∠成立 【点睛】本题考查求椭圆的标准方程，考查直线与椭圆相交问题中的定点问题，解题方法是设而不求的思想方法．设而不求思想方法是直线与圆锥曲线相交问题中常用方法，只要涉及交点坐标，一般就用此法． 21．已知函数1()ln 1a f x x x+=-+，a R ∈. （1）当2a =-时，求函数()f x 在点()2,(2)f 处的切线方程； （2）若当0x >，()3f x ≥，求a 的取值范围. 【答案】（1）1ln 214y x =++；（2）(],1e -∞--. 【解析】（1）先求导，然后根据导数的几何意义求出切线斜率，最后由点斜式写出切线方程即可；（2）0x >，()3f x ≥，即只需min ()3f x ≥，对a 进行分类讨论， 求()f x 的最小值，解不等式求出范围即可. 【详解】（1）当2a =-时，1()ln 1f x x x=++，21()x f x x -'=，1(2)4f '∴=，()32ln 22f =+，所以切线方程为1ln 214y x =++；（2）当0x >，()3f x ≥，即只需min ()3f x ≥，()21'()1x a f x x ++=+，当1a ≥-时，即10a --≤，()0f x '>，()f x ∴在()0,∞+上增，无最小值，舍去， 当1a <-时，即10a -->，()0f x '>，得1x a >--，()0f x '<，得01x a <<--， 此时()f x 在()1,1a ---上减，在()1a --+∞,上增，即()()min ()12ln 13f x f a a =--=+--≥，解得1a e ≤--， 综上(],1a e ∈-∞--. 【点睛】本题考查利用导数研究曲线上某点的切线方程，考查利用导数研究函数的单调性，考查逻辑思维能力和计算能力，属于常考题.22．在平面直角坐标系xOy中，已知直线12:12x t l y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），以坐标原点O为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2cos ρθ=. （1）求曲线C 的直角坐标方程； （2）设点M 的极坐标为1,2π⎛⎫⎪⎝⎭，直线l 与曲线C 的交点为,A B ，求MA MB +的值. 【答案】（1）()2211x y -+=（21 【解析】（1）由公式cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩可化极坐标方程为直角坐标方程；（2）把M 点极坐标化为直角坐标，直线l 的参数方程是过定点M 的标准形式，因此直接把参数方程代入曲线C 的方程，利用参数t 的几何意义求解． 【详解】解：（1）2:cos C ρθ=，则22cos ρρθ=，∴222x y x +=， 所以曲线C 的直角坐标方程为2220x y x +-=，即()2211x y -+=（2）点1,2M π⎛⎫⎪⎝⎭的直角坐标为()0,1M ，易知M l ∈.设,A B 对应参数分别为12,t t将12:1x t l y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩与22:20C x y x +-=联立得)21212110,1,1t t t t t t +++=∴+=⋅=120,0t t ∴<<12121MA MB t t t t +=+=+=【点睛】本题考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，考查直线参数方程，解题时可利用利用参数方程的几何意义求直线上两点间距离问题． 23．已知函数()12f x x x =--+. （1）求不等式()2f x ≤的解集A ；（2）若不等式2()2f x x x m ≤+-对x A ∈恒成立，求实数m 的取值范围. 【答案】（1）3,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭（2）114m ≤-【解析】（1）按绝对值的定义分类讨论去绝对值符号后解不等式；（2）不等式转化为2321m x x x ≤++--，求出2()321g x x x x =++--在3[,)2-+∞上的最小值即可，利用绝对值定义分类讨论去绝对值符号后可求得函数最小值． 【详解】解：（1）1122x x x ≥⎧⎨---≤⎩或21122x x x -<<⎧⎨---≤⎩或2122x x x x ≤-⎧⎨-+++≤⎩解得1x ≥或312x -≤<或无解 综上不等式的解集为3,2A ⎡⎫=-+∞⎪⎢⎣⎭． （2）3,2x ⎡⎫∈-+∞⎪⎢⎣⎭时，2()2f x x x m ≤+-，即2132x x x m -≤++- 所以只需2321m x x x ≤++--在3,2x ⎡⎫∈-+∞⎪⎢⎣⎭时恒成立即可 令22223,1()321341,12x x x g x x x x x x x ⎧++≥⎪=++--=⎨++-≤<⎪⎩， 由解析式得()g x 在3[,)2-+∞上是增函数，∴当32x =-时，min 11()4g x =- 即114m ≤-【点睛】本题考查解绝对值不等式，考查不等式恒成立问题，解决绝对值不等式的问题，分类讨论是常用方法．掌握分类讨论思想是解题关键．。
百校联盟2020届高三4月教育教学质量监测考试(全国Ⅰ卷) 文科数学 含答案
(3)生产商要从这 20 个网络销售店铺销售量前五名的店铺中，随机抽取三个店铺进行销售返利，
则其中恰好有两个店铺的销售量在 95 以上的概率是多少?
附： K 2 =
n(ad − bc)2
，n＝a＋b＋c＋d。
(a + b)(c + d )(a + c)(b + d )
19.(本小题满分 12 分)
π
如图①，平行四边形 ABCD 中，AB＝4，AD＝2，∠ABC＝ ，E 为 CD 中点。将△ADE 沿
A. 2
B.2 C.1 D.0
3.下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是
A.y＝xsinx
B.y＝xlnx
C.
y
=
x
⋅
ex ex
−1 +1
D. y = x ln( x2 +1 − x)
4.数列{an}是等比数列，Sn 是其前 n 项和，an>0，a2＋a3＝4，a3＋3a4＝2，则 S3＝
28
38
(2)b＝2，P 为△ABC 所在平面内一点，且满足 AP ⋅ CP ＝0，求 BP 的最小值，并求 BP 取得
最小值时△APC 的面积 S。 18.(本小题满分 12 分) 双十一购物狂欢节，是指每年 11 月 11 日的网络促销日，源于淘宝商城(天猫)2009 年 11 月 11
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。
x 2x + y
16.F1、F2 是双曲线
x2 C： a2
−
y2 b2
= 1(a
> 0,b
>
0) 的左、右焦点。过 F2 作直线 l⊥x 轴，交双曲
线 C 于 M、N 两点，若∠MF1N 为锐角，则双曲线 C 的离心率 e 的取值范围是
2020年全国I卷百师联盟高三数学(文)试卷四附答案解析
的三棱锥
P
ABC
，点 Q 是三棱锥内部任意一点，Q
到平面 PAB ， PBC ， PAC ， ABC 的距离分别为 D1 ， D2 ， D3 ， D4 ，若
S△PAB 1
S△PBC 2
S△PAC 3
S△ABC 4
K ，则 D1 2D2 3D3 4D4
（
）
A． V K
B． 2V K
C． 3V K
点，
x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为
sin
4
32 2
.
（1）求直线 l 和曲线 C 的直角坐标方程；
（2）
M
(3,
0)
，直线
l
和曲线
C
交于
A,
B
两点，求
|
1 MA
|
|
1 MB
|
的值.
23．已知函数 f (x) | 2x 1 | | 2x 5 | .
（1）求不等式 f (x) 10 的解集；
6．已知凸四边形 ABCD 的面积为 S ，点 P 是四边形内部任意一点，若点 P 到四条边 AB ， BC ，CD ， DA
的距离分别为 d1 ， d2
， d3 ， d4 ，且满足
AB 1
BC 2
CD 3
DA 4
k
，利用分割法可得
d1
2d2
3d3
4d4
2S k
；类比以上性质，体积为 V
的三棱锥
P
ABC
3．若用列举法表示集合
A
(
x,
y
)
|
2x
x
y
y 6
3
，则下列表示正确的是（
百校联盟2020年4月高考文科数学模拟试卷及答案详解(24页)
百校联盟2020年4月高考文科数学模拟试卷文科数学试题一、选择题（共12小题）.1．已知集合A＝{x∈Z|x2≤1}，B＝{x|x•ln（x+3）＝0}，则A∪B＝（）A．{﹣1，0，1}B．{﹣2，﹣1，1}C．{﹣2，0，1}D．{﹣2，﹣1，0，1}2．设是复数z的共轭复数，若•i＝1+i，则z•＝（）A．B．2C．1D．03．下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（）A．y＝x sin x B．y＝xlnxC．D．4．数列{a n}是等比数列，S n是其前n项和，a n＞0，a2+a3＝4，a3+3a4＝2，则S3＝（）A．B．12C．D．135．已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．2C．D．6．已知函数f（x）＝2cos2x﹣cos（2x﹣），则下列结论正确的个数是（）①函数f（x）的最小正周期为π；②函数f（x）在区间[0，]上单调递增；③函数f（x）在[0，]上的最大值为2；④函数f（x）的图象关于直线x＝对称．A．1B．2C．3D．47．如图，在△ABC中，AB＝2，AC＝3，∠BAC＝，M、N分别为BC、AM的中点，则＝（）A．﹣2B．﹣C．﹣D．8．改编自中国神话故事的动画电影《哪吒之魔童降世》自7月26日首映，在不到一个月的时间，票房收入就超过了38亿元，创造了中国动画电影的神话．小明和同学相约去电影院观看《哪吒之魔童降世》，影院的三个放映厅分别在7：30，8：00，8：30开始放映，小明和同学大约在7：40至8：30之间到达影院，且他们到达影院的时间是随机的，那么他们到达后等待的时间不超过10分钟的概率是（）A．B．C．D．9．已知函数在（，+∞）上为减函数，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，1]B．[﹣，1]C．（﹣，1]D．（﹣，+∞）10．若x，y满足约束条件，则z＝|x﹣y+1|的最大值为（）A．2B．C．D．311．如图所示，在三棱锥P﹣ABC中，AB⊥BC，AB＝3，BC＝2，点P在平面ABC内的投影D恰好落在AB上，且AD＝1，PD＝2，则三棱锥P﹣ABC外接球的表面积为（）A．9πB．10πC．12πD．14π12．已知函数f（x）＝（x＞0），若a＝＞0，则f（x）的取值范围是（）A．[﹣﹣1，﹣1）B．（﹣2，﹣1）C．[﹣2，﹣1）D．（﹣，0）二、填空题13．从一个有53名学生的班级中，随机抽取5人去参加活动，若采用系统抽样的方法抽取，则班长被抽中的概率为．14．已知函数f（x）＝x3﹣5x+a，直线2x+y+b＝0与函数f（x）的图象相切，a，b为正实数，则a+b的值为．15．已知实数x，y满足y≥2x＞0，则的最小值为．16．F1、F2是双曲线C：的左、右焦点．过F2作直线l⊥x轴，交双曲线C于M、N两点，若∠MF1N为锐角，则双曲线C的离心率e的取值范围是．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，a2＝b2+bc，且sin C+tan B cos C ＝1．（1）求角A；（2）b＝2，P为△ABC所在平面内一点，且满足＝0，求BP的最小值，并求BP 取得最小值时△APC的面积S．18．双十一购物狂欢节，是指每年11月11日的网络促销日，源于淘宝商城（天猫）2009年11月11日举办的网络促销活动，已成为中国电子商务行业的年度盛事．某生产商为了了解其生产的产品在不同电商平台的销售情况，统计了A、B两个电商平台各十个网络销售店铺的销售数据：A电商平64718170796982737560台B电商平60809777968776839496台（1）作出A、B两个电商平台销售数据的茎叶图，根据茎叶图判断哪个电商平台的销售更好，并说明理由；（2）填写下面关于店铺个数的2×2列联表，并根据列联表判断是否有95%的把握认为销售量与电商平台有关；销售量＞80销售量≤80总计A电商平台B电商平台总计（3）生产商要从这20个网络销售店铺销售量前五名的店铺中，随机抽取三个店铺进行销售返利，则其中恰好有两个店铺的销售量在95以上的概率是多少？附：，n＝a+b+c+d．P（K2≥k）0.0500.0100.001 k 3.841 6.63510.828 19．如图①，平行四边形ABCD中，AB＝4，AD＝2，∠ABC＝，E为CD中点．将△ADE沿AE折起，使平面ADE⊥平面ABCE，得到如图②所示的四棱锥P﹣ABCE．（1）求证：平面PAE⊥平面PBE；（2）求点B到平面PEC的距离．20．动圆P过定点A（2，0），且在y轴上截得的弦GH的长为4．（1）若动圆圆心P的轨迹为曲线C，求曲线C的方程；（2）在曲线C的对称轴上是否存在点Q，使过点Q的直线l'与曲线C的交点S、T满足为定值？若存在，求出点Q的坐标及定值；若不存在，请说明理由．21．已知函数f（x）＝ax+，g（x）＝﹣1．（1）讨论函数f（x）在（0，+∞）上的单调性；（2）若对任意的x∈（0，+∞），f（x）＜g（x）恒成立，求实数a的取值范围．请考生从第22、23题中任选一题作答，并用2B铅笔将答题卡上所选题目对应的方框涂黑，按所选涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分；不涂，按本选考题的首题进行评分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（θ为参数），在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为ρsin（φ+）+＝0，P为直线l上的任意一点（1）Q为曲线C上任意一点，求P、Q两点间的最小距离；．（2）过点P作曲线C的两条切线，切点为A、B，曲线C的对称中心为点C，求四边形PACB面积的最小值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数．（1）当a＝4时，求函数f（x）的定义域；（2）若函数f（x）的定义域为R，设a的最大值为s，当正数m，n满足＝s时，求3m+4n的最小值．参考答案与详解一、选择题：共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A＝{x∈Z|x2≤1}，B＝{x|x•ln（x+3）＝0}，则A∪B＝（）A．{﹣1，0，1}B．{﹣2，﹣1，1}C．{﹣2，0，1}D．{﹣2，﹣1，0，1}【分析】可以求出集合A，B，然后进行并集的运算即可．解：∵A＝{﹣1，0，1}，B＝{0，﹣2}，∴A∪B＝{﹣2，﹣1，0，1}．故选：D．2．设是复数z的共轭复数，若•i＝1+i，则z•＝（）A．B．2C．1D．0【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，结合求解．解：∵•i＝1+i，∴，则．故选：B．3．下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（）A．y＝x sin x B．y＝xlnxC．D．【分析】根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性，综合即可得答案．解：根据题意，依次分析选项：对于A，y＝x sin x，其定义域为R，有f（﹣x）＝x sin x＝f（x），即函数f（x）为偶函数；对于B，y＝xlnx，其定义域为（0，+∞），既不是奇函数，也不是偶函数；对于C，y＝x•，其定义域为R，有f（﹣x）＝（﹣x）•＝x•＝f （x），即函数f（x）为偶函数；对于D，y＝xln（﹣x），其定义域为R，有f（﹣x）＝（﹣x）ln（+x）＝xln（﹣x）＝f（x），即函数f（x）为偶函数；故选：B．4．数列{a n}是等比数列，S n是其前n项和，a n＞0，a2+a3＝4，a3+3a4＝2，则S3＝（）A．B．12C．D．13【分析】利用等比数列通项公式列出方程组，求出，由此能求出S3的值．解：∵数列{a n}是等比数列，S n是其前n项和，a n＞0，a2+a3＝4，a3+3a4＝2，∴，解得，∴S3＝＝13．故选：D．5．已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．2C．D．【分析】根据三视图可知几何体为四棱锥，画出直观图，利用体积公式求解．解：根据三视图，可知几何体为四棱锥P﹣ABCD，体积V＝．故选：C．6．已知函数f（x）＝2cos2x﹣cos（2x﹣），则下列结论正确的个数是（）①函数f（x）的最小正周期为π；②函数f（x）在区间[0，]上单调递增；③函数f（x）在[0，]上的最大值为2；④函数f（x）的图象关于直线x＝对称．A．1B．2C．3D．4【分析】先根据函数化简得f（x）＝，根据，可判断①；先求出所以单调递增区间，然后可以判断②；可求f（x）在在[0，]上的最大值，可以判断③；可求出f（x）的所有对称轴，可判断④．解：f（x）＝2cos2x﹣cos（2x﹣）＝cos2x+1﹣﹣＝＝，∴，①对；由2kπ﹣π≤2x+≤2kπ，得x∈[kπ﹣，kπ﹣]，k∈Z，所以函数f（x）单调递增区间为[kπ﹣，kπ﹣]，②错；∵x∈[0，]时，2x+∈[，]，cos（2x+）∈[﹣1，]，函数f（x）在[0，]上的最大值为，③错，∵2x+＝kπ，x＝，k∈Z，④对，故选：B．7．如图，在△ABC中，AB＝2，AC＝3，∠BAC＝，M、N分别为BC、AM的中点，则＝（）A．﹣2B．﹣C．﹣D．【分析】根据已知条件把所求问题转化，即可求得结论．解：因为在△ABC中，AB＝2，AC＝3，∠BAC＝，M、N分别为BC、AM的中点，则＝（）•＝（﹣+）＝[﹣+（）]＝（﹣）＝＝×22﹣×＝﹣．故选：C．8．改编自中国神话故事的动画电影《哪吒之魔童降世》自7月26日首映，在不到一个月的时间，票房收入就超过了38亿元，创造了中国动画电影的神话．小明和同学相约去电影院观看《哪吒之魔童降世》，影院的三个放映厅分别在7：30，8：00，8：30开始放映，小明和同学大约在7：40至8：30之间到达影院，且他们到达影院的时间是随机的，那么他们到达后等待的时间不超过10分钟的概率是（）A．B．C．D．【分析】由满足条件的时间段为7：50～8：00，8：20～8：30共20分钟，结合与长度有关的几何概率公式可求．解：由题意可知，满足条件的时间段为7：50～8：00，8：20～8：30共20分钟，由几何概型知所求的概率P＝．故选：C．9．已知函数在（，+∞）上为减函数，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，1]B．[﹣，1]C．（﹣，1]D．（﹣，+∞）【分析】由复合函数的单调性法则可知y＝x2﹣ax+a在上为增函数，由对数函数的真数大于0可知，y＞0恒成立，则实数a应满足，解不等式组即可得到答案．解：∵在（0，+∞）上为减函数，∴y＝x2﹣ax+a在上为增函数，且y＞0恒成立，∴，解得．故选：B．10．若x，y满足约束条件，则z＝|x﹣y+1|的最大值为（）A．2B．C．D．3【分析】作出不等式组对应的平面区域，令t＝x﹣y+1，利用目标函数t的几何意义，结合图象得到结论．解：作出不等式组对应的平面区域如图：令t＝x﹣y+1，得y＝x+1﹣t表示，斜率为1纵截距为1﹣t的一组平行直线，⇒C（，﹣）；平移直线y＝x+1﹣t，当直线y＝x+1﹣t经过点C（，﹣）时，直线y＝x+1﹣t的截距最小，此时t max＝﹣（﹣）+1＝，当直线y＝x+1﹣t与AB重合时，直线y＝x+1﹣t的截距最大，A（0，）此时t min＝0﹣+1＝，∴z＝|x﹣y+1|的取值范围是：[，]．故z＝|x﹣y+1|的最大值为．故选：C．11．如图所示，在三棱锥P﹣ABC中，AB⊥BC，AB＝3，BC＝2，点P在平面ABC内的投影D恰好落在AB上，且AD＝1，PD＝2，则三棱锥P﹣ABC外接球的表面积为（）A．9πB．10πC．12πD．14π【分析】结合已知构造直三棱柱PAB﹣MNC，则直三棱柱PAB﹣MNC的外接球即为所求，球心O为直直三棱柱底面三角形外接圆圆心连心线连心的中点，结合球的性质及勾股定理可求．解：由题意可知，PD⊥平面ABC，所以平面PAB⊥平面ABC，又因为AB⊥BC，所以BC⊥平面PAB，构造直三棱柱PAB﹣MNC，则直三棱柱PAB﹣MNC的外接球即为所求，球心O为直直三棱柱底面三角形外接圆圆心连心线连心的中点，△PAB中，由正弦定理可得，r＝＝，故R＝＝，故S＝4＝14π故选：D．12．已知函数f（x）＝（x＞0），若a＝＞0，则f（x）的取值范围是（）A．[﹣﹣1，﹣1）B．（﹣2，﹣1）C．[﹣2，﹣1）D．（﹣，0）【分析】依题意，a2+x2＝1，采用三角换元设a＝cosα，x＝sinα，可得，再令，可得在上为减函数，由此求出f（x）的取值范围．解：由得，a2+x2＝1，不妨设a＝cosα，x＝sinα，其中，则，令，，∴在上为增函数，∴在上为减函数，∴．故选：C．二、填空题：共4小题，每小题5分．13．从一个有53名学生的班级中，随机抽取5人去参加活动，若采用系统抽样的方法抽取，则班长被抽中的概率为．【分析】根据在系统抽样中，每个个体被抽到的概率是相等的，得出结论．解：从一个有53名学生的班级中，随机抽取5人去参加活动，若采用系统抽样的方法抽取，则班长被抽中的概率为，故答案为：．14．已知函数f（x）＝x3﹣5x+a，直线2x+y+b＝0与函数f（x）的图象相切，a，b为正实数，则a+b的值为2．【分析】先对f（x）求导，根据条件设切点的坐标为（x0，y0），然后由f'（x0）＝﹣2求出切点坐标，进一步求出a+b的值．解：由f（x）＝x3﹣5x+a，得f'（x）＝3x2﹣5，∵直线2x+y+b＝0与函数f（x）的图象相切，设切点的坐标为（x0，y0），则，∴x0＝1或x0＝﹣1，∴y0＝a﹣4或y0＝a+4，即切点坐标为（1，a﹣4）或（﹣1，a+4），代入直线中，得a+b＝2或a+b＝﹣2，∵a，b为正实数，∴a+b＝2．故答案为：2．15．已知实数x，y满足y≥2x＞0，则的最小值为．【分析】先令t＝，可转化成f（t）＝t+，t≥2，因为不满足不等式取等号时的条件，使用单调性求最值．解：设t＝，由题意知t≥2，则＝t+，令f（t）＝t+，t≥2，∵f'（x）＝1﹣＞0，∴f（t）在t≥2上单调递增，∴f（t）≥f（2）＝，故答案为：．16．F1、F2是双曲线C：的左、右焦点．过F2作直线l⊥x轴，交双曲线C于M、N两点，若∠MF1N为锐角，则双曲线C的离心率e的取值范围是（1，1+）．【分析】求出交点M，N的坐标，只要∠MF1F2＜45°即可，利用斜率公式进行求解即可．解：解：当x＝c时，，可得y＝故M（c，）如图只要∠MF1F2＜45°即可，则tan∠MF1F2＜tan45°＝1，即，即b2＜2ac，则c2﹣a2＜2ac，即c2﹣2ac﹣a2＜0，则e2﹣2e﹣1＜0，解得：1﹣又e＞1，∴故答案为：（1，1+）三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，a2＝b2+bc，且sin C+tan B cos C ＝1．（1）求角A；（2）b＝2，P为△ABC所在平面内一点，且满足＝0，求BP的最小值，并求BP 取得最小值时△APC的面积S．【分析】（1）先根据已知条件得到b+c＝2a cos B；再结合正弦定理得到A＝2B，结合sin C+tan B cos C＝1即可求得结论；（2）根据数量积为0推得点P在以CA为直径的圆上，进而得到当点P在BO上时，BP 取得最小值，求出最小值以及△APC的面积S即可．解：（1）因为a2＝b2+bc⇒a2+c2﹣b2＝c2+bc；∴＝；∴b+c＝2a cos B；由正弦定理得：sin B+sin C＝2sin A cos B，∴sin B+sin（A+B）＝2sin A cos B⇒sin B＝sin（A﹣B）；因为都是三角形内角；∴A＝2B；又由sin C+tan B cos C＝1．得sin（B+C）＝cos B；∴sin A＝cos B；∴sin B＝．∴B＝，A＝．（2）由（1）可知C＝．∴△ABC为直角三角形．又因为＝0⇒PA⊥PC；所以点P在以CA为直径的圆上，如图：∵b＝2，所以：BC＝2，AB＝4，设O为AC的中点，连接BO，则当点P在BO上时，BP取得最小值，此时BP＝BO﹣PO＝﹣1＝﹣1．设∠OCP＝α，则∠COP＝π﹣2α，∴sinα＝＝PA；cosα＝＝PC；∴S＝PA•PC＝2sinαcosα＝sin2α；在直角三角形BOC中，sin∠COB＝sin（π﹣2α）＝sin2α＝＝＝．∴当BP取得最小值时（﹣1）时，△APC的面积S为：．18．双十一购物狂欢节，是指每年11月11日的网络促销日，源于淘宝商城（天猫）2009年11月11日举办的网络促销活动，已成为中国电子商务行业的年度盛事．某生产商为了了解其生产的产品在不同电商平台的销售情况，统计了A、B两个电商平台各十个网络销售店铺的销售数据：A电商平64718170796982737560台B电商平60809777968776839496台（1）作出A、B两个电商平台销售数据的茎叶图，根据茎叶图判断哪个电商平台的销售更好，并说明理由；（2）填写下面关于店铺个数的2×2列联表，并根据列联表判断是否有95%的把握认为销售量与电商平台有关；销售量＞80销售量≤80总计A电商平台B电商平台总计（3）生产商要从这20个网络销售店铺销售量前五名的店铺中，随机抽取三个店铺进行销售返利，则其中恰好有两个店铺的销售量在95以上的概率是多少？附：，n＝a+b+c+d．P（K2≥k）0.0500.0100.001 k 3.841 6.63510.828【分析】（1）根据题意画茎叶图，（2）根据数据填表，代公式，比较，判断，（3）根据题意找出店铺销售量前五名，然后求事件，求概率．解：（1）A、B两个电商平台销售数据的茎叶图如图，由茎叶图可知B电商平台的销售更好，因为B整体数据集中比A高，（2）填表如下；销售量＞80销售量≤80总计A电商平台2810B电商平台6410总计81220≈3.333＜3.841，没有95%的把握认为销售量与电商平台有关．（3）从这20个网络销售店铺销售量前五名为97，96，96，94，87．分别设为A，B，C，D，E，随机抽取三个店铺共有10种可能，如下：（A，B，C），（A，B，D），（A，B，E），（A，C，D），（A，C，E），（A，D，E），（B，C，D），（B，C，E），（B，D，E），（C，D，E），恰好有两个店铺的销售量在95以上有6种，恰好有两个店铺的销售量在95以上的概率为．19．如图①，平行四边形ABCD中，AB＝4，AD＝2，∠ABC＝，E为CD中点．将△ADE沿AE折起，使平面ADE⊥平面ABCE，得到如图②所示的四棱锥P﹣ABCE．（1）求证：平面PAE⊥平面PBE；（2）求点B到平面PEC的距离．【分析】（1）求解三角形可得AE＝2，BE＝2，结合AB＝4，得到BE⊥AE，再由平面APE⊥平面ABCE，结合平面与平面垂直的性质可得BE⊥平面PAE，进一步得到平面PAE⊥平面PBE；（2）设O为AE的中点，连接PO，CO，求得PO＝，进一步求解三角形可得OC、PC的值，求解三角形PEC与BEC的面积，利用等体积法可求得点B到平面PEC的距离．【解答】（1）证明：在图①中连接BE，由平面几何知识，求得AE＝2，BE＝2，又∵AB＝4，∴BE⊥AE，在图②中，∵平面APE⊥平面ABCE，且平面APE∩平面ABCE＝AE，∴BE⊥平面PAE，又∵BE⊂平面PBE，∴平面PAE⊥平面PBE；（2）解：设O为AE的中点，连接PO，CO，由已知可得△PAE为等边三角形，∴PO＝．∵平面PAE⊥平面ABCE，∴PO⊥平面ABCE，得PO⊥CO．在△OEC中，OE＝1，EC＝2，．由余弦定理得OC＝．∴PC＝．在△PEC中，PE＝EC＝2，PC＝．∴，又∵．设点B到平面PEC的距离为d，由V P﹣BCE＝V B﹣PCE，得，解得d＝．∴点B到平面PEC的距离为．20．动圆P过定点A（2，0），且在y轴上截得的弦GH的长为4．（1）若动圆圆心P的轨迹为曲线C，求曲线C的方程；（2）在曲线C的对称轴上是否存在点Q，使过点Q的直线l'与曲线C的交点S、T满足为定值？若存在，求出点Q的坐标及定值；若不存在，请说明理由．【分析】（1）设P（x，y），过P作PB⊥GH，交GH于点B，则B为GH的中点，GB＝GH＝2，PG＝，PA＝＝，整理可得y2＝4x（x≠0）；（2）假设存在Q（a，0）满足题意，设S（x1，y1），T（x2，y2），设其方程为x＝t1y+a （t1≠0），联立，利用根与系数关系表示出QS2，QT2，进而表示出即可．解：（1）设P（x，y），由题意知：PA＝PG，当P点不在y轴上时，过P作PB⊥GH，交GH于点B，则B为GH的中点，∴GB＝GH＝2，∴PG＝，又∵PA＝＝，整理可得y2＝4x（x≠0）；当点P在y轴上时，易知P点与O点重合，P（0，0）也满足y2＝4x，∴曲线C的方程为y2＝4x，（2）假设存在Q（a，0）满足题意，设S（x1，y1），T（x2，y2），根据题意可知直线l′的斜率必不为0，设其方程为x＝t1y+a（t1≠0），联立，整理可得y2﹣4t1y﹣4a＝0，∴y1+y2＝﹣4t1，y1y2＝﹣4a，∴x1+x2＝t1（y1+y2）+2a＝4t12+2ax1x2＝＝a2，∵QS2＝（x1﹣a）2+＝（x1﹣a）2+4x1＝x12+（4﹣2a）x1+a2，QT2＝（x2﹣a）2+＝（x2﹣a）2+4x2＝x22+（4﹣2a）x2+a2，∴QS2+QT2＝x12+（4﹣2a）x1+a2+x22+（4﹣2a）x2+a2＝（x1+x2）2+（4﹣2a）（x1+x2）﹣2x1x2+2a2＝（x1+x2）（x1+x2+4﹣2a）﹣2x1x2+2a2＝（4+2a）（4++4），QS2•QT2＝16a2（+1）2，则＝＝，当a＝2时，上式＝与t1无关为定值，所以存在Q（2，0）使过点Q的直线与曲线交于点S、T满足为定值．21．已知函数f（x）＝ax+，g（x）＝﹣1．（1）讨论函数f（x）在（0，+∞）上的单调性；（2）若对任意的x∈（0，+∞），f（x）＜g（x）恒成立，求实数a的取值范围．【分析】（1）对f（x）求导得，，然后分a≤0和a＞0两个类别，讨论f'（x）的正负，即可得f（x）的单调性；（2）构造函数h（x）＝e x﹣ax2﹣x﹣1（x＞0），求出h'（x），令H（x）＝h'（x）＝e x﹣2ax﹣1，再求H'（x）＝e x﹣2a，当时，易证得h（x）在（0，+∞）上为增函数，h（x）＞h（0）＝0成立，即f（x）＜g（x）成立；当时，由H'（x）＝e x ﹣2a＝0，解得x＝ln2a，可得函数H（x）的单调性即h'（x）的单调性，于是h'（x）≥h'（ln2a）≥2a﹣1﹣2aln2a，再令t（a）＝2a﹣1﹣2aln2a（），求导可知t（a）在上为减函数，t（a）＜，即h'（ln2a）＜0，最后结合隐零点的思维可证得当时，对x∈（0，+∞），f（x）＜g（x）不恒成立，因此得解．解：（1）∵f（x）＝ax+，∴，当a≤0时，f'（x）＜0，函数f（x）在（0，+∞）上单调递减；当a＞0时，由f'（x）＝0，得（舍负），当时，f'（x）＜0，函数f（x）单调递减，当时，f'（x）＞0，函数f（x）单调递增．（2）由f（x）＜g（x），得e x﹣ax2﹣x﹣1＞0，设h（x）＝e x﹣ax2﹣x﹣1（x＞0），则h'（x）＝e x﹣2ax﹣1，令H（x）＝e x﹣2ax﹣1，则H'（x）＝e x﹣2a，当时，∵x∈（0，+∞），∴H'（x）＞0，H（x）为增函数，∴H（x）＝h'（x）＞h'（0）＝0，∴h（x）在（0，+∞）上为增函数，∴h（x）＞h（0）＝0成立，即f（x）＜g（x）成立．当时，由H'（x）＝e x﹣2a＝0，解得x＝ln2a，x∈（0，ln2a）时，H'（x）＜0，H（x）为减函数，x∈（ln2a，+∞）时，H'（x）＞0，H（x）为增函数，∴h'（x）≥h'（ln2a）≥2a﹣1﹣2aln2a，设t（a）＝2a﹣1﹣2aln2a（），则t'（a）＝﹣2ln2a＜0，∴t（a）在上为减函数，∴t（a）＜，即h'（ln2a）＜0∴∃x0∈（0，+∞），当x∈（0，x0）时，h'（x）＜0，h（x）为减函数，当x∈（x0，+∞）时，h'（x）＞0，h（x）为增函数，又h（0）＝0，∴当x∈（0，x0）时，h（x）＜0，∴当时，对x∈（0，+∞），f（x）＜g（x）不恒成立，综上所述，．请考生从第22、23题中任选一题作答，并用2B铅笔将答题卡上所选题目对应的方框涂黑，按所选涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分；不涂，按本选考题的首题进行评分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（θ为参数），在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为ρsin（φ+）+＝0，P为直线l上的任意一点（1）Q为曲线C上任意一点，求P、Q两点间的最小距离；．（2）过点P作曲线C的两条切线，切点为A、B，曲线C的对称中心为点C，求四边形PACB面积的最小值．【分析】（1）直接利用转换关系的应用，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的进行转换．（2）利用点到直线的距离公式的应用和三角形的面积公式的应用求出结果．解：（1）曲线C的参数方程为（θ为参数），转换为直角坐标方程为（x ﹣1）2+（y﹣1）2＝1．直线l的极坐标方程为ρsin（φ+）+＝0，转换为直角坐标方程为x+y+2＝0．所以圆心（1，1）到直线x+y+2＝0的距离d＝，所以最小距离．（2）由于圆心到直线的最小距离d＝2，所以构成的切线长为，所以四边形PACB面积的最小值为S＝．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数．（1）当a＝4时，求函数f（x）的定义域；（2）若函数f（x）的定义域为R，设a的最大值为s，当正数m，n满足＝s时，求3m+4n的最小值．【分析】（1）a＝4时，得出f（x）需满足|x+2|+|x﹣1|﹣4≥0，然后讨论x的取值，去掉绝对值号求出x的范围即可得出f（x）的定义域；（2）根据题意可知a≤|x+2|+|x﹣1|对x∈R恒成立，从而可得出a≤3，进而得出s＝3，从而得出，然后即可得出，然后根据基本不等式即可得出3m+4n的最小值．解：（1）a＝4时，|x+2|+|x﹣1|﹣4≥0，当x＜﹣2时，﹣x﹣2﹣x+1﹣4≥0，解得；当﹣2≤x≤1时，x+2﹣x+1﹣4≥0，解得x∈∅；当x＞1时，x+2+x﹣1﹣4≥0，解得，∴函数f（x）的定义域为{x|或x}；（2）∵函数f（x）的定义域为R，∴|x+2|+|x﹣1|﹣a≥0对任意的x∈R恒成立，∴a≤|x+2|+|x﹣1|，又|x+2|+|x﹣1|≥|x+2﹣x+1|＝3，∴a≤3，∴s＝3，∴，且m＞0，n＞0，∴3m+4n＝（2m+n）+（m+3n）＝＝，当且仅当时取等号，∴3m+4n的最小值为．。
百校联盟2020届高三4月(全国Ⅰ卷)(文科)数学 含解析
百校联盟2020届高三4月（全国Ⅰ卷）（文科）数学一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A ＝{x ∈Z|x 2≤1}，B ＝{x|x·ln(x ＋3)＝0}，则A ∪B ＝A.{－1，0，1}B.{－2，－1，1}C.{－2，0，1}D.{－2，－1，0，1}2.设z 是复数z 的共轭复数，若z ·i ＝1＋i ，则z·z ＝ 2 B.2 C.1 D.03.下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是A.y ＝xsinxB.y ＝xlnxC.11x x e y x e -=⋅+ D.21)ln(y x x x =+ 4.数列{a n }是等比数列，S n 是其前n 项和，a n >0，a 2＋a 3＝4，a 3＋3a 4＝2，则S 3＝ A.283 B.12 C.383D.13 5.已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 A.43 B.2 C.83 D.1036.已知函数f(x)＝2cos 2x －cos(2x －3π)，则下列结论正确的个数是 ①函数f(x)的最小正周期为π； ②函数f(x)在区间[0，3π]上单调递增； ③函数f(x)在[0，2π]上的最大值为2； ④函数f(x)的图象关于直线x ＝3π对称。
A.1 B.2 C.3 D.47.如图，在△ABC 中，AB ＝2，AC ＝3，∠BAC ＝3π，M 、N 分别为BC 、AM 的中点，则CN AB ⋅u u u r u u u r ＝ A.－2 B.－34 C.－54 D.548.改编自中国神话故事的动画电影《哪吒之魔童降世》自7月26日首映，在不到一个月的时间，票房收入就超过了38亿元，创造了中国动画电影的神话。
小明和同学相约去电影院观看《哪吒之魔童降世》，影院的三个放映厅分别在7：30，8：00，8：30开始放映，小明和同学大约在7：40至8：30之间到达影院，且他们到达影院的时间是随机的，那么他们到达后等待的时间不超过10分钟的概率是 A.13 B.12 C.25 D.349.已知函数()()122log f x x ax a =-+在(12，＋∞)上为减函数，则实数a 的取值范围是 A.(－∞，1] B.[－12，1] C.(－12，1] D.(－12，＋∞) 10.若x ，y 满足约束条件43602210210x y x y x y --≤-+≥+-≥⎧⎪⎨⎪⎩，则z ＝|x －y ＋1|的最大值为A.2B.2411C.2811D.3 11.如图所示，在三棱锥P －ABC 中，AB ⊥BC ，AB ＝3，BC ＝2，点P 在平面ABC 内的投影D 恰好落在AB 上，且AD ＝1，PD ＝2，则三棱锥P －ABC 外接球的表面积为A.9πB.10πC.12πD.14π12.已知函数f(x)＝1x a ax +-(x>0)，若a 21x -，则f(x)的取值范围是 A.[2－1，－1) B.(－2，－1) C.[－2，－1) D.(2，0)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。
2020年百校联盟高考数学模拟试卷(文科)(4月份)(全国ⅰ卷)
2020年百校联盟高考数学模拟试卷（文科）（4月份）（全国Ⅰ卷）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合2{|1}A x Z x =∈…，{|(3)0}B x x ln x =+=g ，则(A B =U ) A ．{1-，0，1}B ．{2-，1-，1}C ．{2-，0，1}D ．{2-，1-，0，1}2．（5分）设z 是复数z 的共轭复数，若1z i i =+g ，则(z z =g ) A ．2B ．2C ．1D ．03．（5分）下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是( ) A ．sin y x x =B ．y xlnx =C ．11x x e y x e -=+gD ．2(1)y xln x x =+-4．（5分）数列{}n a 是等比数列，n S 是其前n 项和，0n a >，234a a +=，3432a a +=，则3(S =)A ．283B ．12C ．383D ．135．（5分）已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A ．43B ．2C ．83D ．1036．（5分）已知函数2()2cos cos(2)3f x x x π=--，则下列结论正确的个数是( )①函数()f x 的最小正周期为π； ②函数()f x 在区间[0，]3π上单调递增；③函数()f x 在[0，]2π上的最大值为2； ④函数()f x 的图象关于直线3x π=对称．A ．1B ．2C ．3D ．47．（5分）如图，在ABC ∆中，2AB =，3AC =，3BAC π∠=，M 、N 分别为BC 、AM 的中点，则CN AB =u u u r u u u rg( )A ．2-B ．34-C ．54-D．548．（5分）改编自中国神话故事的动画电影《哪吒之魔童降世》自7月26日首映，在不到一个月的时间，票房收入就超过了38亿元，创造了中国动画电影的神话．小明和同学相约去电影院观看《哪吒之魔童降世》，影院的三个放映厅分别在7:30，8:00，8:30开始放映，小明和同学大约在7:40至8:30之间到达影院，且他们到达影院的时间是随机的，那么他们到达后等待的时间不超过10分钟的概率是( ) A ．13B ．12C ．25D ．349．（5分）已知函数212()log ()f x x ax a =-+在1(2，)+∞上为减函数，则实数a 的取值范围是( ) A ．(-∞，1]B ．1[2-，1]C ．1(2-，1]D ．1(2-，)+∞10．（5分）若x ，y 满足约束条件43602210210x y x y x y --⎧⎪-+⎨⎪+-⎩„……，则|1|z x y =-+的最大值为( )A ．2B ．2411C ．2811D ．311．（5分）如图所示，在三棱锥P ABC -中，AB BC ⊥，3AB =，2BC =，点P 在平面ABC 内的投影D 恰好落在AB 上，且1AD =，2PD =，则三棱锥P ABC -外接球的表面积为()A ．9πB ．10πC ．12πD ．14π12．（5分）已知函数()(0)1x a f x x ax +=>-，若0a =>，则()f x 的取值范围是( ) A．[1-，1)-B．(-，1)- C．[-1)- D．(，0)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．（5分）从一个有53名学生的班级中，随机抽取5人去参加活动，若采用系统抽样的方法抽取，则班长被抽中的概率为 ．14．（5分）已知函数3()5f x x x a =-+，直线20x y b ++=与函数()f x 的图象相切，a ，b 为正实数，则a b +的值为 ．15．（5分）已知实数x ，y 满足20y x >…，则92y xx x y++的最小值为 ． 16．（5分）1F 、2F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点．过2F 作直线l x ⊥轴，交双曲线C 于M 、N 两点，若1MF N ∠为锐角，则双曲线C 的离心率e 的取值范围是 ． 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）已知ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，22a b bc =+，且sin tan cos 1C B C +=．（1）求角A ；（2）2b =，P 为ABC ∆所在平面内一点，且满足0AP CP =u u u r u u u rg，求BP 的最小值，并求BP 取得最小值时APC ∆的面积S ．18．（12分）双十一购物狂欢节，是指每年11月11日的网络促销日，源于淘宝商城（天猫）2009年11月11日举办的网络促销活动，已成为中国电子商务行业的年度盛事．某生产商为了了解其生产的产品在不同电商平台的销售情况，统计了A 、B 两个电商平台各十个网络销售店铺的销售数据：（1）作出A 、B 两个电商平台销售数据的茎叶图，根据茎叶图判断哪个电商平台的销售更好，并说明理由；（2）填写下面关于店铺个数的22⨯列联表，并根据列联表判断是否有95%的把握认为销售量与电商平台有关；销售量80>销售量80„总计 A 电商平台 B 电商平台总计（3）生产商要从这20个网络销售店铺销售量前五名的店铺中，随机抽取三个店铺进行销售返利，则其中恰好有两个店铺的销售量在95以上的概率是多少？ 附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，n a b c d =+++．2()P K k …0.050 0.010 0.001 k3.8416.63510.82819．（12分）如图①，平行四边形ABCD 中，4AB =，2AD =，3ABC ∠=，E 为CD 中点．将ADE ∆沿AE 折起，使平面ADE ⊥平面ABCE ，得到如图②所示的四棱锥P ABCE -． （1）求证：平面PAE ⊥平面PBE ； （2）求点B 到平面PEC 的距离．20．（12分）动圆P 过定点(2,0)A ，且在y 轴上截得的弦GH 的长为4． （1）若动圆圆心P 的轨迹为曲线C ，求曲线C 的方程；（2）在曲线C 的对称轴上是否存在点Q ，使过点Q 的直线l '与曲线C 的交点S 、T 满足2211||||QS QT +为定值？若存在，求出点Q 的坐标及定值；若不存在，请说明理由． 21．（12分）已知函数1()f x ax x=+，()1x e g x x =-．（1）讨论函数()f x 在(0,)+∞上的单调性；（2）若对任意的(0,)x ∈+∞，()()f x g x <恒成立，求实数a 的取值范围．请考生从第22、23题中任选一题作答，并用2B 铅笔将答题卡上所选题目对应的方框涂黑，按所选涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分；不涂，按本选考题的首题进行评分．[选修4-4：坐标系与参数方程]。
2020年百校联盟高考数学模拟试卷(文科)(4月份)(全国Ⅰ卷)(含解析)
2020年百校联盟高考数学模拟试卷（文科）（4月份）（全国Ⅰ卷）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合A＝{x∈Z|x2≤1}，B＝{x|x⋅ln(x+3)0}，则A∪B＝（）A.{−1, 0, 1}B.{−2, −1, 1}C.{−2, 0, 1}D.{−2, −1, 0, 1}2.设z是复数z的共轭复数，若z⋅i＝1+i，则z⋅z=()A.√2B.2C.1D.03.下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（）A.y＝xsinxB.y＝xlnxC.y=x⋅e x−1e+1D.y=xln(√x2+1−x)4.数列{a n}是等比数列，S n是其前n项和，a n>0，a2+a3＝4，a3+3a4＝2，则S3＝（）A.283B.12 C.383D.135.已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A.43B.2 C.83D.1036.已知函数f(x)＝2cos2x−cos(2x−π3)，则下列结论正确的个数是（）①函数f(x)的最小正周期为π；②函数f(x)在区间[0, π3]上单调递增；③函数f(x)在[0, π2]上的最大值为2；④函数f(x)的图象关于直线x=π3对称．A.1B.2C.3D.47.如图，在△ABC中，AB＝2，AC＝3，∠BAC=π3，M、N分别为BC、AM的中点，则CN→⋅AB→=（）A.−2B.−34C.−54D.548.改编自中国神话故事的动画电影《哪吒之魔童降世》自7月26日首映，在不到一个月的时间，票房收入就超过了38亿元，创造了中国动画电影的神话．小明和同学相约去电影院观看《哪吒之魔童降世》，影院的三个放映厅分别在7:30，8:00，8:30开始放映，小明和同学大约在7:40至8:30之间到达影院，且他们到达影院的时间是随机的，那么他们到达后等待的时间不超过10分钟的概率是（）A.13B.12C.25D.349.已知函数f(x)=log12(x2−ax+a)在(12, +∞)上为减函数，则实数a的取值范围是（）A.(−∞, 1]B.[−12, 1]C.(−12, 1] D.(−12, +∞)10.若x，y满足约束条件{4x−3y−6≤02x−2y+1≥0x+2y−1≥0，则z＝|x−y+1|的最大值为（）A.2B.2411C.2811D.311.如图所示，在三棱锥P−ABC中，AB⊥BC，AB＝3，BC＝2，点P在平面ABC内的投影D恰好落在AB上，且AD＝1，PD＝2，则三棱锥P−ABC外接球的表面积为（）A.9πB.10πC.12πD.14π12.已知函数f(x)=x+aax−1(x>0)，若a=√1−x2>0，则f(x)的取值范围是（）A.[−√2−1, −1)B.(−2√2, −1)C.[−2√2, −1)D.(−√2, 0)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13.从一个有53名学生的班级中，随机抽取5人去参加活动，若采用系统抽样的方法抽取，则班长被抽中的概率为________．14.已知函数f(x)＝x3−5x+a，直线2x+y+b＝0与函数f(x)的图象相切，a，b为正实数，则a+ b的值为________．15.已知实数x，y满足y≥2x>0，则yx +9x2x+y的最小值为________．16.F1、F2是双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点．过F2作直线l⊥x轴，交双曲线C于M、N两点，若∠MF1N为锐角，则双曲线C的离心率e的取值范围是________+√2）．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，a2＝b2+bc，且sinC+tanBcosC＝1．（1）求角A；（2）b＝2，P为△ABC所在平面内一点，且满足AP→⋅CP→=0，求BP的最小值，并求BP取得最小值时△APC的面积S．18.双十一购物狂欢节，是指每年11月11日的网络促销日，源于淘宝商城（天猫）2009年11月11日举办的网络促销活动，已成为中国电子商务行业的年度盛事．某生产商为了了解其生产的产品在不同电商平台的销售情况，统计了A、B两个电商平台各十个网络销售店铺的销售数据：（1）作出A、B两个电商平台销售数据的茎叶图，根据茎叶图判断哪个电商平台的销售更好，并说明理由；（2）填写下面关于店铺个数的2×2列联表，并根据列联表判断是否有95%的把握认为销售量与电商平台有关；（3）生产商要从这20个网络销售店铺销售量前五名的店铺中，随机抽取三个店铺进行销售返利，则其中恰好有两个店铺的销售量在95以上的概率是多少？附：K2=n(ad−bc)2，n＝a+b+c+d．(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)19.如图①，平行四边形ABCD中，AB＝4，AD＝2，∠ABC=π3，E为CD中点．将△ADE沿AE折起，使平面ADE⊥平面ABCE，得到如图②所示的四棱锥P−ABCE．（1）求证：平面PAE⊥平面PBE；（2）求点B到平面PEC的距离．20.动圆P过定点A(2, 0)，且在y轴上截得的弦GH的长为4．（1）若动圆圆心P的轨迹为曲线C，求曲线C的方程；（2）在曲线C的对称轴上是否存在点Q，使过点Q的直线l′与曲线C的交点S、T满足1|QS|+1|QT|为定值？若存在，求出点Q的坐标及定值；若不存在，请说明理由．21.已知函数f(x)＝ax+1x ，g(x)=exx−1．（1）讨论函数f(x)在(0, +∞)上的单调性；（2）若对任意的x∈(0, +∞)，f(x)<g(x)恒成立，求实数a的取值范围．请考生从第22、23题中任选一题作答，并用2B 铅笔将答题卡上所选题目对应的方框涂黑，按所选涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分；不涂，按本选考题的首题进行评分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22.在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为{x =1+cosθy =1+sinθ （θ为参数），在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为ρsin(φ+π4)+√2=0，P 为直线l 上的任意一点（1）Q 为曲线C 上任意一点，求P 、Q 两点间的最小距离；．（2）过点P 作曲线C 的两条切线，切点为A 、B ，曲线C 的对称中心为点C ，求四边形PACB 面积的最小值．[选修4-5：不等式选讲]23.已知函数f(x)=√|x +2|+|x −1|−a ． （1）当a ＝4时，求函数f(x)的定义域；（2）若函数f(x)的定义域为R ，设a 的最大值为s ，当正数m ，n 满足12m+n +2m+3n =s 时，求3m +4n 的最小值．2020年百校联盟高考数学模拟试卷（文科）（4月份）（全国Ⅰ卷）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合A ＝{x ∈Z|x 2≤1}，B ＝{x|x ⋅ln(x +3)0}，则A ∪B ＝（ ） A.{−1, 0, 1} B.{−2, −1, 1} C.{−2, 0, 1} D.{−2, −1, 0, 1}【解答】∵A ＝{−1, 0, 1}，B ＝{0, −2}， ∴A ∪B ＝{−2, −1, 0, 1}．2.设z 是复数z 的共轭复数，若z ⋅i ＝1+i ，则z ⋅z =() A.√2 B.2 C.1 D.0【解答】 ∵z ⋅i ＝1+i ，∴z =1+i i =(1+i)(−i)−i =1−i ，则z ⋅z =|z|2=(√2)2=2．3.下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（ ） A.y ＝xsinx B.y ＝xlnx C.y =x ⋅e x −1e x +1D.y =xln(√x 2+1−x) 【解答】根据题意，依次分析选项：对于A ，y ＝xsinx ，其定义域为R ，有f(−x)＝xsinx ＝f(x)，即函数f(x)为偶函数； 对于B ，y ＝xlnx ，其定义域为(0, +∞)，既不是奇函数，也不是偶函数； 对于C ，y ＝x ⋅e x −1e +1，其定义域为R ，有f(−x)＝(−x)⋅e −x −1e +1=x ⋅e x −1e +1=f(x)，即函数f(x)为偶函数；对于D ，y ＝2+1−x)，其定义域为R ，有f(−x)＝(−x)ln(√x 2+1+x)＝xln(√x 2+1−x)＝f(x)，即函数f(x)为偶函数；4.数列{a n }是等比数列，S n 是其前n 项和，a n >0，a 2+a 3＝4，a 3+3a 4＝2，则S 3＝（ ） A.283 B.12C.383D.13【解答】∵数列{a n }是等比数列，S n 是其前n 项和，a n >0，a 2+a 3＝4，a 3+3a 4＝2， ∴{a 1q +a 1q 2=4a 1q 2+3a 1q 3=2q >0 ，解得a 1=9,q =13，∴S 3=9(1−133)1−13=13．5.已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A.43 B.2C.83D.103【解答】根据三视图，可知几何体为四棱锥P −ABCD ， 体积V =13×2×2√2×√2=83．6.已知函数f(x)＝2cos 2x −cos(2x −π3)，则下列结论正确的个数是（ ） ①函数f(x)的最小正周期为π；②函数f(x)在区间[0, π3]上单调递增； ③函数f(x)在[0, π2]上的最大值为2；④函数f(x)的图象关于直线x =π3对称． A.1 B.2 C.3 D.4【解答】f(x)＝2cos 2x −cos(2x −π3)＝cos2x +1−12cos2x −√32sin2x =12cos2x −√32sin2x +1=cos(2x +π3)+1，∴T =2π2=π，①对；由2kπ−π≤2x +π3≤2kπ，得x ∈[kπ−2π3, kπ−π6]，k ∈Z ，所以函数f(x)单调递增区间为[kπ−2π3, kπ−π6]，②错；∵x ∈[0, π2]时，2x +π3∈[π3, 4π3]，cos(2x +π3)∈[−1, 12]，函数f(x)在[0, π2]上的最大值为32，③错，∵2x +π3=kπ，x =kπ2−π6，k ∈Z ，④对，7.如图，在△ABC 中，AB ＝2，AC ＝3，∠BAC =π3，M 、N 分别为BC 、AM 的中点，则CN →⋅AB →= （ ）A.−2B.−34C.−54D.54【解答】因为在△ABC 中，AB ＝2，AC ＝3，∠BAC =π3，M 、N 分别为BC 、AM 的中点， 则CN →⋅AB →=12(CA →+CM →)⋅AB →=12(−AC →+12CB →)⋅AB → =12[−AC →+12(AB →−AC →)]⋅AB → =12(12AB →−32AC →)⋅AB → =14AB →2−34AB →⋅AC → =1×22−3×2×3×1 =−54．8.改编自中国神话故事的动画电影《哪吒之魔童降世》自7月26日首映，在不到一个月的时间，票房收入就超过了38亿元，创造了中国动画电影的神话．小明和同学相约去电影院观看《哪吒之魔童降世》，影院的三个放映厅分别在7:30，8:00，8:30开始放映，小明和同学大约在7:40至8:30之间到达影院，且他们到达影院的时间是随机的，那么他们到达后等待的时间不超过10分钟的概率是（ ） A.13 B.12C.25D.34【解答】由题意可知，满足条件的时间段为7:50∼8:00，8:20∼8:30共20分钟， 由几何概型知所求的概率P =2050=25．9.已知函数f(x)=log 12(x 2−ax +a)在(12, +∞)上为减函数，则实数a 的取值范围是（ ）A.(−∞, 1]B.[−12, 1] C.(−12, 1] D.(−12, +∞)【解答】∵y =log 12x 在(0, +∞)上为减函数，∴y ＝x 2−ax +a 在(12,+∞)上为增函数，且y >0恒成立， ∴{−−a2≤12(12)2−12a +a ≥0，解得−12≤a ≤1． 10.若x ，y 满足约束条件{4x −3y −6≤02x −2y +1≥0x +2y −1≥0 ，则z ＝|x −y +1|的最大值为（ ）A.2B.2411C.2811D.3 【解答】作出不等式组对应的平面区域如图：令t ＝x −y +1，得y ＝x +1−t 表示，斜率为1纵截距为1−t 的一组平行直线， {4x −3y +6=0x +2y −1=0⇒C(1511, −211)；平移直线y ＝x +1−t ，当直线y ＝x +1−t 经过点C(1511, −211)时，直线y ＝x +1−t 的截距最小， 此时t max =1511−(−211)+1=2811，当直线y ＝x +1−t 与AB 重合时，直线y ＝x +1−t 的截距最大，A(0, 12) 此时t min ＝0−12+1=12，∴z ＝|x −y +1|的取值范围是：[12, 2811]． 故z ＝|x −y +1|的最大值为2811．11.如图所示，在三棱锥P −ABC 中，AB ⊥BC ，AB ＝3，BC ＝2，点P 在平面ABC 内的投影D 恰好落在AB 上，且AD ＝1，PD ＝2，则三棱锥P −ABC 外接球的表面积为（ ）A.9πB.10πC.12πD.14π【解答】由题意可知，PD ⊥平面ABC ，所以平面PAB ⊥平面ABC ， 又因为AB ⊥BC ，所以BC ⊥平面PAB ，构造直三棱柱PAB −MNC ，则直三棱柱PAB −MNC 的外接球即为所求，球心O 为直直三棱柱底面三角形外接圆圆心连心线连心的中点，△PAB 中，由正弦定理可得，r =√52sin π4=√102， 故R =√1+(√102)2=√142，故S ＝4π×144=14π12.已知函数f(x)=x+aax−1(x >0)，若a =√1−x 2>0，则f(x)的取值范围是（ ） A.[−√2−1, −1) B.(−2√2, −1) C.[−2√2, −1) D.(−√2, 0)【解答】由a =√1−x 2得，a 2+x 2＝1，不妨设a ＝cosα，x ＝sinα，其中α∈(0,π2)，则y =sinα+cosαsinαcosα−1，令t =sinα+cosα=√2sin(α+π4)∈(1,√2]，sinαcosα=t2−12，∴1y=t 2−32t =t2−32t 在t ∈(1,√2]上为增函数，∴y =2tt−3在t ∈(1,√2]上为减函数， ∴y ∈[−2√2,−1)．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13.从一个有53名学生的班级中，随机抽取5人去参加活动，若采用系统抽样的方法抽取，则班长被抽中的概率为________． 【解答】从一个有53名学生的班级中，随机抽取5人去参加活动， 若采用系统抽样的方法抽取，则班长被抽中的概率为553，14.已知函数f(x)＝x 3−5x +a ，直线2x +y +b ＝0与函数f(x)的图象相切，a ，b 为正实数，则a +b 的值为________． 【解答】由f(x)＝x 3−5x +a ，得f ′(x)＝3x 2−5， ∵直线2x +y +b ＝0与函数f(x)的图象相切，设切点的坐标为(x 0, y 0)，则3x 02−5=−2，∴x0＝1或x0＝−1，∴y0＝a−4或y0＝a+4，即切点坐标为(1, a−4)或(−1, a+4)，代入直线中，得a+b＝2或a+b＝−2，∵a，b为正实数，∴a+b＝2．15.已知实数x，y满足y≥2x>0，则yx +9x2x+y的最小值为________．【解答】设t=yx，由题意知t≥2，则yx +9x2x+y=t+9t+2，令f(t)＝t+9t+2，t≥2，∵f′(x)＝1−9(t+2)2>0，∴f(t)在t≥2上单调递增，∴f(t)≥f(2)=174，16.F1、F2是双曲线C:x2a −y2b=1(a>0,b>0)的左、右焦点．过F2作直线l⊥x轴，交双曲线C于M、N两点，若∠MF1N为锐角，则双曲线C的离心率e的取值范围是________+√2）．【解答】当x＝c时，c2a2−y2b2=1，可得y=±b2a故M(c, b2a)如图只要∠MF1F2<45∘即可，则tan∠MF1F2<tan45∘＝1，即b2a2c=b22ac<1，即b2<2ac，则c2−a2<2ac，即c2−2ac−a2<0，则e2−2e−1<0，解得：1−√2<e<1+√2又e>1，∴1<e<1+√2三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，a2＝b2+bc，且sinC+tanBcosC＝1．（1）求角A；（2）b＝2，P为△ABC所在平面内一点，且满足AP→⋅CP→=0，求BP的最小值，并求BP取得最小值时△APC 的面积S ． 【解答】因为a 2＝b 2+bc ⇒a 2+c 2−b 2＝c 2+bc ； ∴a2+c 2−b 22ac=c+b 2a；∴b +c ＝2acosB ；由正弦定理得：sinB +sinC ＝2sinAcosB ，∴sinB +sin(A +B)＝2sinAcosB ⇒sinB ＝sin(A −B)； 因为都是三角形内角；∴A ＝2B ；又由sinC +tanBcosC ＝1．得sin(B +C)＝cosB ； ∴sinA ＝cosB ；∴sinB =12．∴B =π6，A =π3．由（1）可知C =π2．∴△ABC 为直角三角形． 又因为AP →⋅CP →=0⇒PA ⊥PC ； 所以点P 在以CA 为直径的圆上，如图： ∵b ＝2，所以：BC ＝2√3，AB ＝4， 设O 为AC 的中点，连接BO ， 则当点P 在BO 上时，BP 取得最小值，此时BP ＝BO −PO =√1+(2√3)2−1=√13−1． 设∠OCP ＝α，则∠COP ＝π−2α， ∴sinα=PAAC =12PA ；cosα=PCAC =12PC ； ∴S =12PA ⋅PC ＝2sinαcosα＝sin2α；在直角三角形BOC 中，sin∠COB ＝sin(π−2α)＝sin2α=BCBO =√3√13=2√3913． ∴当BP 取得最小值时(√13−1)时，△APC 的面积S 为：2√3913．18.双十一购物狂欢节，是指每年11月11日的网络促销日，源于淘宝商城（天猫）2009年11月11日举办的网络促销活动，已成为中国电子商务行业的年度盛事．某生产商为了了解其生产的产品在不同电商平台的销售情况，统计了A、B两个电商平台各十个网络销售店铺的销售数据：（1）作出A、B两个电商平台销售数据的茎叶图，根据茎叶图判断哪个电商平台的销售更好，并说明理由；（2）填写下面关于店铺个数的2×2列联表，并根据列联表判断是否有95%的把握认为销售量与电商平台有关；（3）生产商要从这20个网络销售店铺销售量前五名的店铺中，随机抽取三个店铺进行销售返利，则其中恰好有两个店铺的销售量在95以上的概率是多少？，n＝a+b+c+d．附：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)【解答】A、B两个电商平台销售数据的茎叶图如图由茎叶图可知B电商平台的销售更好，因为B整体数据集中比A高，填表如下；≈3.333<3.841，K2=20(2×4−6×8)28×12×10×10没有95%的把握认为销售量与电商平台有关．从这20个网络销售店铺销售量前五名为97，96，96，94，87．分别设为A，B，C，D，E，随机抽取三个店铺共有10种可能，如下：(A, B, C)，(A, B, D)，(A, B, E)，(A, C, D)，(A, C, E)，(A, D, E)，(B, C, D)，(B, C, E)，(B, D, E)，(C, D, E)，恰好有两个店铺的销售量在95以上有6种，恰好有两个店铺的销售量在95以上的概率为610=35．19.如图①，平行四边形ABCD中，AB＝4，AD＝2，∠ABC=π3，E为CD中点．将△ADE沿AE折起，使平面ADE⊥平面ABCE，得到如图②所示的四棱锥P−ABCE．（1）求证：平面PAE⊥平面PBE；（2）求点B到平面PEC的距离．【解答】证明：在图①中连接BE，由平面几何知识，求得AE＝2，BE＝2√3，又∵AB＝4，∴BE⊥AE，在图②中，∵平面APE⊥平面ABCE，且平面APE∩平面ABCE＝AE，∴BE⊥平面PAE，又∵BE⊂平面PBE，∴平面PAE⊥平面PBE；设O为AE的中点，连接PO，CO，由已知可得△PAE为等边三角形，∴PO=√3．∵平面PAE⊥平面ABCE，∴PO⊥平面ABCE，得PO⊥CO．在△OEC中，OE＝1，EC＝2，∠OEC=2π3．由余弦定理得OC=√7．∴PC=√3+7=√10．在△PEC中，PE＝EC＝2，PC=√10．∴S△PEC=12×√10×√22−(√102)2=√152，又∵S△BCE=12×2√3×1=√3．设点B到平面PEC的距离为d，由V P−BCE＝V B−PCE，得13×√3×√3=13×√152×d，解得d=2√155．∴点B到平面PEC的距离为2√155．20.动圆P过定点A(2, 0)，且在y轴上截得的弦GH的长为4．（1）若动圆圆心P的轨迹为曲线C，求曲线C的方程；（2）在曲线C的对称轴上是否存在点Q，使过点Q的直线l′与曲线C的交点S、T满足1|QS|2+1|QT|2为定值？若存在，求出点Q的坐标及定值；若不存在，请说明理由．【解答】设P(x, y)，由题意知：PA＝PG，当P点不在y轴上时，过P作PB⊥GH，交GH于点B，则B为GH的中点，∴GB=12GH＝2，∴PG=√x2+4，又∵PA=√(x−2)2+y2=√x2+4，整理可得y2＝4x(x≠0)；当点P在y轴上时，易知P点与O点重合，P(0, 0)也满足y2＝4x，∴曲线C的方程为y2＝4x，假设存在Q(a, 0)满足题意，设S(x1, y1)，T(x2, y2)，根据题意可知直线l′的斜率必不为0，设其方程为x＝t1y+a(t1≠0)，联立{x=t1y+ay2=4x，整理可得y2−4t1y−4a＝0，∴y1+y2＝−4t1，y1y2＝−4a，∴x1+x2＝t1(y1+y2)+2a＝4t12+2ax1x2=116y12y22=a2，∵QS2＝(x1−a)2+y12=(x1−a)2+4x1＝x12+(4−2a)x1+a2，QT2＝(x2−a)2+y22=(x2−a)2+4x2＝x22+(4−2a)x2+a2，∴QS2+QT2＝x12+(4−2a)x1+a2+x22+(4−2a)x2+a2＝(x1+x2)2+(4−2a)(x1+x2)−2x1x2+2a2＝(x1+x2)(x1+x2+4−2a)−2x1x2+2a2＝(4t12+2a)(4t12++4)，QS2⋅QT2＝16a2(t12+1)2，则1|QS|+1|QT|=QS2+QT2QS⋅QT=2t12+a2a(t12+1)，当a＝2时，上式=14与t1无关为定值，所以存在Q(2, 0)使过点Q的直线与曲线交于点S、T满足1|QS|+1|QT|为定值14．21.已知函数f(x)＝ax+1x ，g(x)=exx−1．（1）讨论函数f(x)在(0, +∞)上的单调性；（2）若对任意的x∈(0, +∞)，f(x)<g(x)恒成立，求实数a的取值范围．【解答】∵f(x)＝ax+1x ，∴f′(x)=a−1x=ax2−1x，当a≤0时，f′(x)<0，函数f(x)在(0, +∞)上单调递减；当a>0时，由f′(x)＝0，得x=±√aa（舍负），当x∈(0,√aa )时，f′(x)<0，函数f(x)单调递减，当x∈(√aa,+∞)时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增．由f(x)<g(x)，得e x−ax2−x−1>0，设ℎ(x)＝e x−ax2−x−1(x>0)，则ℎ′(x)＝e x−2ax−1，令H(x)＝e x−2ax−1，则H′(x)＝e x−2a，当a≤12时，∵x∈(0, +∞)，∴H′(x)>0，H(x)为增函数，∴H(x)＝ℎ′(x)>ℎ′(0)＝0，∴ℎ(x)在(0, +∞)上为增函数，∴ℎ(x)>ℎ(0)＝0成立，即f(x)<g(x)成立．当a>12时，由H′(x)＝e x−2a＝0，解得x＝ln2a，x∈(0, ln2a)时，H′(x)<0，H(x)为减函数，x∈(ln2a, +∞)时，H′(x)>0，H(x)为增函数，∴ℎ′(x)≥ℎ′(ln2a)≥2a−1−2aln2a，设t(a)＝2a−1−2aln2a(a>12)，则t′(a)＝−2ln2a<0，∴t(a)在(12,+∞)上为减函数，∴t(a)<t(12)=0，即ℎ′(ln2a)<0∴∃x0∈(0, +∞)，当x∈(0, x0)时，ℎ′(x)<0，ℎ(x)为减函数，当x∈(x0, +∞)时，ℎ′(x)>0，ℎ(x)为增函数，又ℎ(0)＝0，∴当x∈(0, x0)时，ℎ(x)<0，∴当a >12时，对x ∈(0, +∞)，f(x)<g(x)不恒成立， 综上所述，a ∈(−∞,12]．请考生从第22、23题中任选一题作答，并用2B 铅笔将答题卡上所选题目对应的方框涂黑，按所选涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分；不涂，按本选考题的首题进行评分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22.在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为{x =1+cosθy =1+sinθ （θ为参数），在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为ρsin(φ+π4)+√2=0，P 为直线l 上的任意一点（1）Q 为曲线C 上任意一点，求P 、Q 两点间的最小距离；．（2）过点P 作曲线C 的两条切线，切点为A 、B ，曲线C 的对称中心为点C ，求四边形PACB 面积的最小值． 【解答】曲线C 的参数方程为{x =1+cosθy =1+sinθ（θ为参数），转换为直角坐标方程为(x −1)2+(y −1)2＝1．直线l 的极坐标方程为ρsin(φ+π4)+√2=0，转换为直角坐标方程为x +y +2＝0． 所以圆心(1, 1)到直线x +y +2＝0的距离d =√2=2√2，所以最小距离d min =2√2−1． 由于圆心到直线的最小距离d ＝2√2， 所以构成的切线长为√(2√2)2−1=√7，所以四边形PACB 面积的最小值为S =2×12×1×√7=√7． [选修4-5：不等式选讲]23.已知函数f(x)=√． （1）当a ＝4时，求函数f(x)的定义域；（2）若函数f(x)的定义域为R ，设a 的最大值为s ，当正数m ，n 满足12m+n +2m+3n =s 时，求3m +4n 的最小值． 【解答】a ＝4时，|x +2|+|x −1|−4≥0，当x <−2时，−x −2−x +1−4≥0，解得x ≤−52； 当−2≤x ≤1时，x +2−x +1−4≥0，解得x ∈⌀；当x>1时，x+2+x−1−4≥0，解得x≥32，∴函数f(x)的定义域为{x|x≤−52或x≥32}；∵函数f(x)的定义域为R，∴|x+2|+|x−1|−a≥0对任意的x∈R恒成立，∴a≤|x+2|+|x−1|，又|x+2|+|x−1|≥|x+2−x+1|＝3，∴a≤3，∴s＝3，∴12m+n +2m+3n=3，且m>0，n>0，∴3m+4n＝(2m+n)+(m+3n)=13[(2m+n)+(m+3n)]⋅(12m+n+2m+3n)=13[3+2(2m+n)m+3n+m+3n 2m+n ]≥13(3+2√2)=1+2√23，当且仅当m=1+2√215,n=3+√215时取等号，∴3m+4n的最小值为1+2√23．。
2020年百校联盟高考数学模拟试卷(文科)(4月份)(全国Ⅰ卷) (含答案解析)
2020年百校联盟高考数学模拟试卷(文科)(4月份)(全国Ⅰ卷)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x|x2−3x−10≤0}，B={x|3−x≤0}，则A∪B=()A. {x|−2≤x≤3}B. {x|x≥−2}C. {x|3≤x≤5}D. {x|x≥−5}2.若复数z=2i+4i−1，则z=()A. −1+3iB. −1−3iC. 1+3iD. 1−3i3.下列函数为奇函数的是()A. y=x3+3x2B. y=e x+e−x2C. y=xsinx D. y=log23−x3+x4.已知等比数列{a n}的前n项和为S n，S3=3a1+a2，则S4S2=()A. 2B. 3C. 4D. 55.某四棱锥的三视图如图所示，则其体积为A. 83B. 43C. 8D. 46.设函数f(x)=√3cos(2x+φ)+sin(2x+φ)(|φ|<π2)，且图象关于直线x=0对称，则()A. y=f(x)的最小正周期为π，且在(0,π2)上为增函数B. y=f(x)的最小正周期为π，且在(0,π2)上为减函数C. y=f(x)的最小正周期为π2，且在(0,π4)上为增函数D. y=f(x)的最小正周期为π2，且在(0,π4)上为减函数7. 在平行四边形ABCD 中，AB =2，AD =1，∠DAB =60°，E 是BC 的中点，则AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 48. 在区间[0,5]上随机地取一个数x ，则事件“1≤2x−1≤4”发生的概率为( )A. 25B. 15C. 12D. 149. 已知函数f(x)=log 2(2−ax)在区间[0,1]上单调递减，那么实数a 的取值范围是( )A. (0,1]B. (1,2)C. (0,2)D. (0,+∞)10. 若x,y 满足约束条件{−3≤x −y ≤1,−9≤3x +y ≤3,则z =x +y 的最小值为( )A. 1B. −3C. −5D. −611. 在三棱锥D −ABC 中，已知AB =BC =AD =√2，BD =AC =2，BC ⊥AD ，则三棱锥D −ABC外接球的表面积为( )A. 6πB. 12πC. 6√3πD. 6√2π12. 函数f(x)=√3−x 2x−1的定义域是( )A. [−3,3]B. [−√3,√3]C. (1,√3]D. [−√3,1)∪(1,√3]二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 某校从999个学生中，采用系统抽样的方法抽取27个学生参加某项活动，则抽样的分段间隔为__________．14. 直线y =3x +b 与函数f(x)=e x +x 的图象相切，则实数b =________． 15. 函数f(x)=x −1−lnx x 的零点为_________；最小值为_________．16. 已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b2=1(a >0,b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，焦距为2c ，直线y =√33(x +c)与双曲线的一个交点P 满足∠PF 2F 1=2∠PF 1F 2，则双曲线的离心率e 为______． 三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. △ABC 中，A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，角A ，B ，C 成等差数列．(1)若BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =1，求△ABC 的面积； (2)若6cosA =a 2，且b =√3，求角A ．18.户外运动已经成为一种时尚运动，某单位为了了解员工喜欢户外运动是否与性别有关，决定从本单位中抽取50人进行问卷调查，得到了如下列联表：(1)请将上面的列联表补充完整；(2)是否有99.5%的把握认为喜欢户外运动与性别有关？并说明你的理由．下面的临界值表仅供参考：参考公式：K2=n(ad−bc)2，其中n=a+b+c+d．(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)19.如图所示，已知长方体ABCD中，AB=4，AD=2，M为DC的中点．将△ADM沿AM折起，使得AD⊥BM．(1)求证：平面ADM⊥平面ABCM；(2)若点E为线段DB的中点，求点E到平面DMC的距离．20.已知圆x2+y2=9，A(1,1)为圆内一点，P，Q为圆上的动点，且∠PAQ=90°，M是PQ的中点．(1)求点M的轨迹曲线C的方程；(2)设E(92,12),D(12,12)对曲线C上任意一点H，在直线ED上是否存在与点E不重合的点下，使|HE||HF|是常数，若存在，求出点F的坐标，若不存在，说明理由．21.已知函数f(x)=e x−1−ax，g(x)=x(lnx−3)．(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)对于任意x1，x2∈(0,+∞)且x1<x2时，不等式f(x1)−f(x2)<g(x1)−g(x2)恒成立，求实数a的取值范围．22.在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为{x=−1+2cosφy=2sinφ(其中φ为参数)，以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l1的极坐标方程为ρ=√2sin (θ+π4)，设l1与C相交于A，B两点，AB的中点为M，过点M作l1的垂线l2交C于P，Q两点．(1)写出曲线C的普通方程与直线l1的直角坐标方程；(2)求|PQ||MP|⋅|MQ|的值．23.己知函数f(x)=|x+m|+|2x−4|(m>0)的最小值等于3．(1)求m的值；(2)若正数a，b，c满足a+b+c=3m，求√a+√b+√c的最大值．【答案与解析】1.答案：B解析：本题考查一元二次不等式的解法以及并集的运算．可解出集合A，B，然后进行并集的运算即可．解：A={x|−2≤x≤5}，B={x|x≥3}；∴A∪B={x|x≥−2}．故选：B．2.答案：A解析：解：∵z=2i+4i−1=(4+2i)(−1−i) (−1+i)(−1−i)=−2−6i2=−1−3i，∴z=−1+3i．故选：A．直接利用复数的乘除运算化简得z=−1−3i，则z=−1+3i．本题考查复数的乘除运算，考查共轭复数，是基础题．3.答案：D解析：本题考查函数的奇偶性，根据奇函数的定义逐个判断即可．解：函数y=x3+3x2既不是奇函数，也不是偶函数，排除A；函数y=e x+e−x2是偶函数，排除B；函数y=xsinx是偶函数，排除C；函数y=log23−x3+x 的定义域是(−3,3)，且f(−x)=log23+x3−x=−f(x)，是奇函数，D正确．故选D．4.答案：B解析：本题考查等比数列的通项公式，属于基础题．由S 3=3a 1+a 2，可得q 2=2，根据等比数列的前n 项和可得S4S 2=1+q 2，即可求解．解：由S 3=3a 1+a 2可得a 3=2a 1，所以q 2=2，又因为S4S 2=a 1+a 2+a 3+a 4a 1+a 2=1+a 3+a4a 1+a 2=1+q 2=3，故选B ．5.答案：A解析：本题考查几何体的三视图和锥体体积． 解：由三视图可知，该几何体为放倒的四棱锥， 所以V =13×2√2×2×√2=83． 故选A ．6.答案：B解析：解：f(x)=√3cos(2x +φ)+sin(2x +φ)=2[√32cos(2x +φ)+12sin(2x +φ)] =2cos(2x +φ−π6)， ∵ω=2， ∴T =2π2=π，又函数图象关于直线x =0对称，∴φ−π6=kπ(k ∈Z)，即φ=kπ+π6(k ∈Z)， 又|φ|<π2， ∴φ=π6， ∴f(x)=2cos2x ，令2kπ≤2x ≤2kπ+π(k ∈Z)，解得：kπ≤x ≤kπ+π2(k ∈Z)， ∴函数的递减区间为[kπ,kπ+π2](k ∈Z)， 又(0,π2)⊂[kπ，kπ+π2](k ∈Z)， ∴函数在(0,π2)上为减函数，则y =f(x)的最小正周期为π，且在(0,π2)上为减函数． 故选B将函数解析式提取2，利用两角和与差的余弦函数公式及特殊角的三角函数值化为一个角的余弦函数，找出ω的值，代入周期公式，求出函数的最小正周期，再由函数图象关于直线x =0对称，将x =0代入函数解析式中的角度中，并令结果等于kπ(k ∈Z)，再由φ的范围，求出φ的度数，代入确定出函数解析式，利用余弦函数的单调递减区间确定出函数的得到递减区间为[kπ,kπ+π2](k ∈Z)，可得出(0,π2)⊂[kπ，kπ+π2](k ∈Z)，即可得到函数在(0,π2)上为减函数，进而得到正确的选项． 此题考查了三角函数的周期性及其求法，余弦函数的对称性，余弦函数的单调性，以及两角和与差的余弦函数公式，其中将函数解析式化为一个角的余弦函数是本题的突破点．7.答案：C解析：本题考查了平面向量的数量积运算，属于基础题． 用AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 表示出AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ,DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，使用数量积的运算法则计算． 解：AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2×1×cos60°=1， ∵E 是BC 的中点，∴AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∵DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴AE⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +1AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2−12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −12AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2=3． 故选：C ．8.答案：A解析：本题考查几何概型的概率计算，属于基础题．根据已知条件，求出区间[0,5]的长度，及事件“1≤2x−1≤4”对应区间的长度，代入几何概型计算公式，即可求出答案． 解：在区间[0,5]的长度为5，因为1≤2x−1≤4，解之得1⩽x ⩽3，则事件“1≤2x−1≤4”发生的概率为P =3−15−0=25． 故选：A ．9.答案：C解析：本题主要考查复合函数的单调性，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于基础题． 由复合函数单调性及对数函数性质即可求解． 解：令y =log 2t ，t =2−ax ，∵2>1，则函y =log 2t 是增函数，则t 为减函数，需a >0且2−a >0，此时，0<a <2， 综上：实数a 的取值范围是(0,2)， 故选C ．10.答案：C解析：【试题解析】解：作出x ，y 满足约束条件{−3≤x −y ≤1−9≤3x +y ≤3，表示的平面区域，如图所示的阴影部分：由z =x +y 可得y =−x +z ，则z 表示直线y =−x +z 在y 轴上的截距，截距越小，z 越小，由题意可得，{1=x −y−9=3x +y ，解得A(−2,−3)，当y =−x +z 经过点A 时，z 最小， 由A(−2,−3)，此时z =x +y =−5． 故选：C ．作出不等式组表示的平面区域，由z =x +y 可得y =−x +z ，则z 表示直线y =−x +z 在y 轴上的截距，截距越小，z越小，结合图象可求z的最小值．本题主要考查了线性目标函数在线性约束条件下的最值的求解，解题的关键是明确z的几何意义．11.答案：A解析：解：∵AB=BC=AD=√2，BD=AC=2，BC⊥AD，∴AB2+BC2=AC2，AD2+AB2=BD2，AB⊥BC，AD⊥AB，∵BC∩AB=C，AB∩BC=B，∴BC⊥面ABD，AD⊥面ABC，∵BD⊂面ABD，AC⊂面ACB；∴BD⊥BC，AD⊥AC，∵O为DC中点，∴直角三角形中得出：OA=OB=OC=OD，O为外接球的球心，半径R=12×√22+(√2)2=√62，∴三棱锥D−ABC外接球的表面积为：4π×(√62)2=6π，故选：A．利用直线平面的垂直得出BD⊥BC，AD⊥AC利用直角三角形的性质得出球心，即可求解外接球的半径．本题综合考查了直线平面的垂直的判断性质定理，综合运用平面知识解决空间问题的能力．12.答案：D解析：本题考查函数定义域，属于基础题，由函数f(x)=√3−x2x−1有意义，列不等式组解得即可．解：要使函数f(x)=√3−x2x−1有意义，必须{3−x2≥0x−1≠0,解得−√3≤x≤√3且x≠1，∴函数f(x)=√3−x2的定义域是[−√3,1)∪(1,√3]．x−1故选D．13.答案：37解析：本题考查了系统抽样，考查学生的计算能力，属于基础题．解：根据题意可知，=37，抽样的分段间隔为99927故答案为37．14.答案：2−2ln2．解析：本题考查导数的几何意义，利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率，属于基础题．设直线y=3x+b与曲线的切点为P(x0,y0)，求出函数的导数，根据直线y=3x+b与函数f(x)= e x+x相切，可得切点坐标P(ln2,2+ln2)，代入y=3x+b，可求得b的值．解：设直线y=3x+b与曲线的切点为P(x0,y0)，∵f(x)=e x+x，∴f′(x)=e x+1，因为直线y=3x+b与函数f(x)=e x+x相切，∴e x0+1=3，解得x0=ln2，∴y0=e ln2+ln2=2+ln2，∴P(ln2,2+ln2)，又P(ln2,2+ln2)在直线y=3x+b上，∴2+ln2=3×ln2+b，∴b=2−2ln2．故答案为2−2ln2．15.答案：1；0解析：本题考查利用导数研究函数的单调性与最值，属于中档题．求出导数研究单调性即可求解．解：因为f(x)=x−1−lnxx，所以f′(x)=1−1−lnxx2=x2+lnx−1x2，当0<x<1时，x2−1<0,lnx<0，所以f′(x)<0；当x>1时，x2−1>0,lnx>0，所以f′(x)>0，即f(x)在(0,1)单调递减，在(1,+∞)单调递增，所以f(x)min=f(1)=0，零点为1，故答案为1；0．16.答案：√3+1解析：本题主要考查双曲线离心率的计算，根据条件判断三角形的性质，结合双曲线的定义建立方程是解决本题的关键．根据直线斜率和倾斜角的关系，利用直角三角形的边角关系即可得到|PF2|，|PF1|，再利用双曲线的定义及离心率的计算公式即可得出．解：如图所示，直线PF1的斜率k=√33，则对应的倾斜角为30°，即∠PF1F2=30°，则∠PF 2F 1=2∠PF 1F 2=60°，即∠F 1PF 2=90°，∴|PF 2|=c ，|PF 1|=√3c ，由双曲线的定义可得：|PF 1|−|PF 2|=2a ，则√3c −c =2a ，即c a =3−1=2(√3+1)2=√3+1即双曲线的离心率e =√3+1，故答案为√3+1．17.答案：解：△ABC 中中，角A ，B ，C 成等差数列，∴2B =A +C ，又A +B +C =π，∴B =π3；(1)由BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =1，得a ⋅c ⋅cosB =ac ⋅cos π3=1，∴ac =2；∴△ABC 的面积为：S △ABC =12ac ⋅sinB =12×2×sin π3=√32； (2)由正弦定理得，a sinA =b sinB =√3sin π3=2，∴a =2sinA ，∴6cosA =a 2=4sin 2A =4(1−cos 2A)，整理得2cos 2A +3cosA −2=0，解得cosA =12或cosA =−2(不合题意，舍去)，又A ∈(0,π)，∴A =π3．解析：(1)由题意求出B =π3，再根据平面向量的数量积和三角形面积公式求面积的值；(2)由正弦定理求得a =2sinA ，代入6cosA =a 2求出cos A 的值，即可得出A 的值．本题考查了平面向量的数量积与解三角形的应用问题，是中档题． 18.答案：解：(1)列联表补充如下：喜欢户外运动不喜欢户外运动合计男性20525女性101525合计302050(2)将2×2列联表中的数据代入公式计算，得K2的观测值k=50×(20×15−10×5)230×20×25×25≈8.333>7.879，∴有99.5%的把握认为喜欢户外运动与性别有关．解析：(1)利用所给数据，即可得到列联表；(2)利用公式求得K2的观测值k，与临界值比较，即可得到结论．本题考查独立性检验知识，考查学生的计算能力，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．19.答案：(1)证明：∵AD=DM=2，CM=BC=2，∠ADM=∠BCM=90°，∴AM=BM=2√2，又AB=4，∴AM2+BM2=AB2，∴AM⊥BM．∴AD⊥BM，AD∩AM=A，AD,AM⊂平面ADM，∴BM⊥平面ADM，∵BM⊂平面ABCM，∴平面ADM⊥平面ABCM；(2)解：取AM的中点F，连接DF，CF，则，DM=MC=2，DC=√DF2+CF2=2√3，∴S△DMC=√3，设点E到平面DMC的距离为d，则V E−DMC=12V B−DMC=12V D−BMC=12×13S△BMC×ℎ=16×2×√2=√23，∴d=3V E−DMCS△DMC =√63．解析：本题考查线面垂直、面面垂直的证明，考查点到平面距离的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．(1)证明：BM⊥平面ADM，即可证明平面ADM⊥平面ABCM；(2)若点E 为线段DB 的中点，利用等体积方法求点E 到平面DMC 的距离．20.答案：解：(1)设点M(x,y)，由∠PAQ =90°，得|AM|=12|PQ|=|PM|=√9−|OM|2， 化简得：x 2+y 2−x −y −72=0，即(x −12)2+(y −12)2=4；(2)E(92,12),D(12,12)，直线ED 的方程为y =12， 假设存在点F(t,12)(t ≠92)满足条件，设H(x,y)，则有(x −12)2+(y −12)2=4，|HE|2=(x −92)2+(y −12)2=(x −92)2+4−(x −12)2=24−8x ， |HF|2=(x −t)2+(y −12)2=(x −t)2+4−(x −12)2=(1−2t)x +t 2+154． 当|HE||HF|是常数时，(HE HF)2=(1−2t)x+t 2+15424−8x 是常数， ∴1−2tt 2+154=−824，解得t =32或t =92(舍)． ∴存在F(32,12)满足条件．解析：(1)设点M(x,y)，由∠PAQ =90°，得|AM|=|PM|=√9−|OM|2，代入点的坐标整理即可得到点M 的轨迹曲线C 的方程；(2)写出直线ED 的方程为y =12，假设存在点F(t,12)(t ≠92)满足条件，设H(x,y)，则有(x −12)2+(y −12)2=4，分别写出|HE|2与|HF|2，得到(HE HF )2=(1−2t)x+t 2+15424−8x 是常数，可得1−2t t 2+154=−824，由此求得t 值，可得存在F(32,12)满足条件．本题考查轨迹方程的求法，考查直线与圆位置关系的应用，考查运算能力，是中档题． 21.答案：解：(1)f′(x)=e x−1−a ，当a ≤0时，f′(x)>0，此时，函数f(x)在R 上单调递增．当a >0时，f′(x)>0，解得x >1+lna ；f′(x)<0，解得x <1+lna ．∴函数f(x)在(−∞,1+lna)上单调递减，在(1+lna,+∞)上单调递增．(2)不等式f(x 1)−f(x 2)<g(x 1)−g(x 2)恒成立，∴不等式f(x 1)−g(x 1)<f(x 2)−g(x 2)恒成立，令F(x)=f(x)−g(x)=e x−1−ax −xlnx +3x ．由题意可得函数F(x)在∈(0,+∞)上单调递增．∴F′(x)=e x−1−a−lnx+2≥0，即：a≤e x−1−lnx+2．令ℎ(x)=e x−1−lnx+2，ℎ′(x)=e x−1−1x在R上单调递增，且ℎ′(1)=0．∴函数ℎ(x)在x=1处取得极小值，即最小值，ℎ(1)=3．∴a≤3．∴实数a的取值范围是(−∞,3]．解析：本题考查了利用导数研究函数的单调性、方程与不等式的解法、转化方法、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．(1)f′(x)=e x−1−a，对a分类讨论即可得出单调性．(2)不等式f(x1)−f(x2)<g(x1)−g(x2)恒成立，∴不等式f(x1)−g(x1)<f(x2)−g(x2)恒成立，令F(x)=f(x)−g(x)=e x−1−ax−xlnx+3x.由题意可得函数F(x)在∈(0,+∞)上单调递增．可得F′(x)≥0，即：a≤e x−1−lnx+2.令ℎ(x)=e x−1−lnx+2，利用导数研究其单调性即可得出．22.答案：解：(1)由曲线C的参数方程{x=−1+2cosφy=2sinφ，消去参数φ，得曲线C的普通方程为(x+1)2+y2=4．由曲线l1的极坐标方程ρ=√2sin (θ+π4)，得ρsinθ+ρcosθ=1，将x=ρcosθ，y=ρsinθ代入，得l1的直角坐标方程为x+y−1=0；(2)由l1⊥l2，得直线l2的斜率k l2=−1k l1=1，所以l2的倾斜角为π4，又l2过圆心(−1,0)，所以l2的方程为y=x+1，与x+y−1=0联立，得AB的中点M(0,1)，故l2的参数方程为{x=tcosπ4y=1+tsinπ4,(t为参数)，即{x=√22ty=1+√22t,(t为参数)，代入(x+1)2+y2=4中，化简、整理得t2+2√2t−2=0，设P，Q对应的参数分别为t1，t2，则由韦达定理得t1·t2=−2，又线段PQ为圆的直径，所以|PQ|=4，所以|PQ||MP|⋅|MQ|=4|−2|=2．解析：本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题型．(1)直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．(2)利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果．23.答案：解：(1)∵f(x)的最小值在x =−m 或x =2处取得，若x =−m 时取到最小值3，则f(−m)=|−2m −4|=3，解得m =−12或m =−72，舍去，若x =2时取到最小值3，则f(2)=|2+m|=3，解得m =1或m =−5，舍去，当m =1时，f(x)=|x +1|+|2x −4|，于是f(−1)=|−1+1|+|−2−4|=6>3成立，综上，m =1；(2)由上知a +b +c =3，于是√a +√b +√c =√1⋅a +√1⋅b +√1⋅c≤1+a 2+1+b 2+1+c 2=3+a+b+c 2=3+32=3，当且仅当a =b =1时取等号，∴√a +√b +√c 的最大值为3．解析：本题考查了绝对值不等式以及基本不等式，属于中档题．(1)对x 进行分类利用分段函数表示出f(x)，由最小值为3得出m 的值；(2)利用基本不等式求出最值即可．。
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百校联盟2020届普通高中教育教学质量监测考试
全国I卷文科数学
注意事项：
1.本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分。
2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置。
3.全部答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
4.本试卷满分150分，测试时间120分钟。
5.考试范围：高考全部内容。
第I卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A＝{x∈Z|x2≤1}，B＝{x|x·ln(x＋3)＝0}，则A∪B＝
A.{－1，0，1}
B.{－2，－1，1}
C.{－2，0，1}
D.{－2，－1，0，1}
2.设z是复数z的共轭复数，若z·i＝1＋i，则z·z＝
A.2
B.2
C.1
D.0
3.下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是
A.y＝xsinx
B.y＝xlnx
C.
1
1
x
x
e
y x
e
-
=⋅
+
D.21)
ln(
y x x x
=+-
4.数列{a n}是等比数列，S n是其前n项和，a n>0，a2＋a3＝4，a3＋3a4＝2，则S3＝
A.28
3
B.12
C.
38
3
D.13
5.已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为
A.4
3
B.2
C.
8
3
D.
10
3
6.已知函数f(x)＝2cos 2x －cos(2x －3π)
，则下列结论正确的个数是 ①函数f(x)的最小正周期为π； ②函数f(x)在区间[0，
3
π]上单调递增； ③函数f(x)在[0，2π]上的最大值为2； ④函数f(x)的图象关于直线x ＝3π对称。
A.1 B.2 C.3 D.4
7.如图，在△ABC 中，AB ＝2，AC ＝3，∠BAC ＝3
π，M 、N 分别为BC 、AM 的中点，则CN AB ⋅u u u r u u u r ＝
A.－2
B.－34
C.－54
D.54
8.改编自中国神话故事的动画电影《哪吒之魔童降世》自7月26日首映，在不到一个月的时间，票房收入就超过了38亿元，创造了中国动画电影的神话。
小明和同学相约去电影院观看《哪吒之魔童降世》，影院的三个放映厅分别在7：30，8：00，8：30开始放映，小明和同学大约在7：40至8：30之间到达影院，且他们到达影院的时间是随机的，那么他们到达后等待的时间不超过10分钟的概率是
A.13
B.12
C.25
D.34
9.已知函数()()122log f x x ax a =-+在(12
，＋∞)上为减函数，则实数a 的取值范围是 A.(－∞，1] B.[－12，1] C.(－12，1] D.(－12
，＋∞) 10.若x ，y 满足约束条件43602210210x y x y x y --≤-+≥+-≥⎧⎪⎨⎪⎩
，则z ＝|x －y ＋1|的最大值为
A.2
B.2411
C.2811
D.3 11.如图所示，在三棱锥P －ABC 中，AB ⊥BC ，AB ＝3，BC ＝2，点P 在平面ABC 内的投影D 恰好落在AB 上，且AD ＝1，PD ＝2，则三棱锥P －ABC 外接球的表面积为
A.9π
B.10π
C.12π
D.14π
12.已知函数f(x)＝1
x a ax +-(x>0)，若a 21x -，则f(x)的取值范围是 A.[2－1，－1) B.(－21) C.[－2，－1) D.(2，0)
第II 卷
本卷包括必考题和选考题两部分。
第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答。
第22题～第23题为选考题，考生根据要求作答。
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。
13.从一个有53名学生的班级中，随机抽取5人去参加活动，若采用系统抽样的方法抽取，则班长被抽中的概率为 。
14.已知函数f(x)＝x 3－5x ＋a ，直线2x ＋y ＋b ＝0与函数f(x)的图象相切，a ，b 为正实数，则a ＋b 的值为 。
15.已知实数x ，y 满足y ≥2x>0，则92y x x x y
++的最小值为 。
16.F 1、F 2是双曲线C ：22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的左、右焦点。
过F 2作直线l ⊥x 轴，交双曲线C 于M 、N 两点，若∠MF 1N 为锐角，则双曲线C 的离心率e 的取值范围是 。
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(本小题满分12分)
已知△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，a 2＝b 2＋bc ，且sinC ＋tanBcosC ＝1。
(1)求角A ；
(2)b ＝2，P 为△ABC 所在平面内一点，且满足AP CP ⋅u u u r u u u r ＝0，求BP 的最小值，并求BP 取得
最小值时△APC 的面积S 。
18.(本小题满分12分)
双十一购物狂欢节，是指每年11月11日的网络促销日，源于淘宝商城(天猫)2009年11月11日举办的网络促销活动，已成为中国电子商务行业的年度盛事。
某生产商为了了解其生产的
产品在不同电商平台的销售情况，统计了A 、B 两个电商平台各十个网络销售店铺的销售数据：
(1)作出A 、B 两个电商平台销售数据的茎叶图，根据茎叶图判断哪个电商平台的销售更好，并说明理由；
(2)填写下面关于店铺个数的2×2列联表，并根据列联表判断是否有95%的把握认为销售量与电商平台有关；
(3)生产商要从这20个网络销售店铺销售量前五名的店铺中，随机抽取三个店铺进行销售返利，则其中恰好有两个店铺的销售量在95以上的概率是多少? 附：2
2()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，n ＝a ＋b ＋c ＋d 。
19.(本小题满分12分)
如图①，平行四边形ABCD 中，AB ＝4，AD ＝2，∠ABC ＝3
π，E 为CD 中点。
将△ADE 沿AE 折起，使平面ADE ⊥平面ABCE ，得到如图②所示的四棱锥P －ABCE 。
(1)求证：平面PAE ⊥平面PBE ；
(2)求点B 到平面PEC 的距离。
20.(本小题满分12分)
动圆P 过定点A(2，0)，且在y 轴上截得的弦GH 的长为4。
(1)若动圆圆心P 的轨迹为曲线C ，求曲线C 的方程；
(2)在曲线C 的对称轴上是否存在点Q ，使过点Q 的直线l '与曲线C 的交点S 、T 满足221
1QS QT +为定值?若存在，求出点Q 的坐标及定值；若不存在，请说明理由。
21。
(本小题满分12分)
已知函数f(x)＝ax ＋1x
，g(x)＝x e x －1。
(1)讨论函数f(x)在(0，＋∞)上的单调性；
(2)若对任意的x ∈(0，＋∞)，f(x)<g(x)恒成立，求实数a 的取值范围。
请考生从第22、23题中任选一题作答，并用2B 铅笔将答题卡上所选题目对应的方框涂黑，按所选涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分；不涂，按本选考题的首题进行评分。
22.(本小题满分10分)[选修4－4：坐标系与参数方程]
在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为11x cos y sin θθ=+=+⎧⎨⎩
(θ为参数)，在以坐标原点为极
点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为ρsin(φ＋
4π)＝0，P 为直线l 上的任意一点
(1)Q 为曲线C 上任意一点，求P 、Q 两点间的最小距离；。
(2)过点P 作曲线C 的两条切线，切点为A 、B ，曲线C 的对称中心为点C ，求四边形PACB 面积的最小值。
23.(本小题满分10分)[选修4－5：不等式选讲]
已知函数()f x =
(1)当a ＝4时，求函数f(x)的定义域；
(2)若函数f(x)的定义域为R ，设a 的最大值为s ，当正数m ，n 满足
1223m n m n
+++＝s 时，求3m ＋4n 的最小值。