最新数学选修2-3-涂色问题

涂色问题解题通法

定理1(直线型结构)：用(2)m m ≥种颜色给如图所示的由(2)n n ≥个区域组成的直线型结

构图涂色，则总的不同涂法有()

1

1n m

n L m m -=-种.

证明：由分步计数原理按序号逐个涂色即可。

定理2(星型结构)：用(2)m m ≥种颜色给如图所示的由(2)n n ≥个区域组成的星型结构图涂色，则总的不同涂法有()

1

1n m

n S m m -=-种.

证明：由分步计数原理按序号逐个涂色即可。

定理3(环形结构)：用(2)m m ≥种颜色给如图所示的由(3)n n ≥个区

域组成的环形结构图涂色，则总的不同涂法有

()()()111n

n

m n R m m =-+--种.

证明：1m m m n n n R R L -+=(m n L 中头尾不同的涂法数为m

n R ，头尾相同时,

头尾看作一个区域，涂法数为1m n R -)，即()111n m m

n n R R m m --+=-，

∴()()

1

111n n m

m

n n R m R m --⎡⎤--=---⎣

⎦

，求通项即可 或()()1221m

m

m

n n n R m R m R --=-+-

定理4(全连通型结构)：用()m m n ≥种颜色给由n 个区域组成的全连通型结构图(任何两个

区域都连通，如图)涂色，则总的不同涂法有m n

n m T A =种.

证明：任何两个区域都连通，所以颜色各不相同。

方法应用

例1.将三种作物种植在如图所示的5块试验田里，每块种植一种作物且相邻的试验田不能种植一种作物，不同的种植方法有 种.(以数字作答)

答：结构抽象如右图，涂法数为：()

()

51

51

3

2

255333122148642L L C ---=⨯--⨯⨯-=-=

例2.某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为6个部分(如图).现要栽种4种不同颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，不同的栽种方法有 种.(以

数字作答)

答：结构抽象如右图，涂法数为：()()()553

54431311120R ⎡⎤⨯=⨯-+--=⎣⎦

(先涂中间)

例3.用n 种不同的颜色为下列两块广告牌着色，要求在1,2,3,4四个区域中相邻(有公共边界)的区域用不同的颜色，

(Ⅰ)若6n =，为左图着色时共有多少种不同的方法？ (Ⅱ)若为右图着色时，共有120种不同的方法，求n 的值.

答：结构抽象如右图，

(Ⅰ)涂法数为：()3

36624480n

T A ⨯-=⨯=，(先涂三角形结构)

(Ⅱ)涂法数为：()()()4

4123120n

n T A n n n n ==---=，∴5n =

例4. 用6种不同的颜色为下图中的5个区域着色，要求相邻(有公共边界)的区域用不同的颜色，共有多少种不同的方法？

答：结构抽象如右图，

先涂124,,A A A 的三角形，再涂3A ，最后涂5A ，共有3

645A ⨯⨯多少种不同的方法

例5.用6种不同的颜色为下列两块广告牌着色，要求相邻(有公共边界)的区域用不同的颜色，共有多少种不同的方法？

答：结构抽象如右图，()()4

12m m m --(先涂1A ，再涂线型结构23456A A A A A ----). 例6.(2008重庆)某人有4种颜色的灯泡(每种颜色的灯泡足够多)，要在如题(16)图所示的6个点111,,,,,A B C A B C 上各装一个灯泡，要求同一条线段两端的灯泡不同色，则每种颜色的灯泡都至少用一个的安装方法共有 种(用数字作答). 答：3

43(221)A ⨯⨯⨯-

引申：若有(3)n n ≥种颜色的灯泡，则不同的安装方法共有 种。

若下、上层对应点灯泡颜色允许相同，则共33

n n A A ⨯有种涂法；

1

3 6

2 4

5

A 1

A 3

A 4

A 5

A 6

A 2

C 1

B 1

C

B

A

A 1

2 1 5

3

4

下、上层有且只有一组对应点颜色相同，则可以把同色的两点看成一点，则几何体为四棱锥，抽象图如下左，不同的涂法有()()

()4

4

111n n n ⎡⎤⨯-+--⎣

⎦

种； 下、上层有且只有两组对应点颜色相同，则可以把同色的两点看成一点，则几何体为四面体，抽象图如下右，不同的涂法有4

n A 种；

下、上层三组对应点颜色都相同，则可以把同色的两点看成一点，则几何体退化为三角形，不同的涂法有3

n A 种。

由容斥原理知，不同的涂法有()()

()4

4

3

3

1

243

33111n n n n A A C n n n C A A ⎡⎤⨯-⨯⨯-+--+⨯-⎣

⎦

简单的组合结构练习

1.如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻地区不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有 种（以数字作答）

答：结构抽象如右图，涂法数为：()()()44

4443131172R ⎡⎤⨯=⨯-+--=⎣⎦

(先涂中间)

2.

用M 种颜色去涂上图所示的各个结构图，共有多少种不同的涂法？

答：(1)3

(1)m m A -⨯(先涂三角形123A A A )；