最新数学选修2-3-涂色问题
数学选修2-3-涂色问题
涂色问题解题通法定理1(直线型结构）：用(2)m m ≥种颜色给如图所示的由(2)n n ≥个区域组成的直线型结构图涂色，则总的不同涂法有()11n mn L m m -=-种.证明：由分步计数原理按序号逐个涂色即可。
定理2（星型结构):用(2)m m ≥种颜色给如图所示的由(2)n n ≥个区域组成的星型结构图涂色，则总的不同涂法有()11n mn S m m -=-种.证明:由分步计数原理按序号逐个涂色即可。
定理3（环形结构）：用(2)m m ≥种颜色给如图所示的由(3)n n ≥个区域组成的环形结构图涂色，则总的不同涂法有()()()111nnm n R m m =-+--种。
证明：1m m m n n n R R L -+=(m n L 中头尾不同的涂法数为mn R ，头尾相同时，头尾看作一个区域，涂法数为1m n R -),即()111n m mn n R R m m --+=-，∴()()1111n n mmn n R m R m --⎡⎤--=---⎣⎦，求通项即可 或()()1221mmmn n n R m R m R --=-+-定理4(全连通型结构)：用()m m n ≥种颜色给由n 个区域组成的全连通型结构图(任何两个区域都连通，如图）涂色，则总的不同涂法有m nn m T A =种.证明：任何两个区域都连通，所以颜色各不相同。
方法应用例1。
将三种作物种植在如图所示的5块试验田里，每块种植一种作物且相邻的试验田不能种植一种作物，不同的种植方法有 种。
(以数字作答)答:结构抽象如右图，涂法数为：()()515132255333122148642L L C ---=⨯--⨯⨯-=-=例2.某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为6个部分(如图)。
现要栽种4种不同颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，不同的栽种方法有 种。
（以数字作答）答：结构抽象如右图，涂法数为:()()()55354431311120R ⎡⎤⨯=⨯-+--=⎣⎦(先涂中间）例3。
高中数学 名校学案 一课一练 人教版 《数学选修2-3》(第一章)_5
第一章数学㊃选修2-3（A 版）5解决形如题(2)类型的涂色问题的关键是什么?(2)将红㊁黄㊁绿㊁黑四种不同的颜色涂在如图所示的5个区域中,要求相邻两个区域的颜色不相同,则有多少种不同的涂色方法?ʌ规律方法ɔ涂色问题的四个解答策略涂色问题是考查计数方法的一种常见问题,由于这类问题常常涉及分类与分步,所以在高考题中经常出现,处理这类问题的关键是要找准分类标准,求解涂色问题一般是直接利用两个计数原理求解,常用的方法有:(1)按区域的不同以区域为主分步计数,并用分步乘法计数原理计算;(2)以颜色为主分类讨论法,适用于 区域㊁点㊁线段 问题,用分类加法计数原理计算;(3)将空间问题平面化,转化为平面区域的涂色问题;(4)对于不相邻的区域,常分为同色和不同色两类,这是常用的分类标准.规范解答综合应用两个计数原理计数ʌ典例ɔ(12分)编号为A ,B ,C ,D ,E 的五个小球,放到如图所示的五个盒子中,要求每个盒子只能放一个小球,且A 球不能放到1,2号,B 球必须放到与A 相邻的盒子中,求不同的放法有多少种.ʌ审题指导ɔ(1)由于A 球不能放在1,2号盒中,即A 球只能放到3,4,5三个盒子中.(2)B 球必须放在与A 球相邻的盒子里,可知放球的顺序可为A ,B ,C ,D ,E .失分警示:若分类不清或分类错误,则扣6~12分或不得分.ʌ规范解答ɔ根据A 球的位置分三类:ң1分………………………………………(1)若A 球放入3号盒里,则B 球只能放在4号盒里,剩下的三个盒子放C ,D ,E 三球,共有3ˑ2ˑ1=6种放法.4分………………………………………(2)若A 球放入5号盒子里,则B 球只能放入4号盒中,剩下的三个盒子分别放C ,D ,E 三球,共有3ˑ2ˑ1=6种放法.7分…………………………………………………………()若A 球放入号盒子里,则失分警示:B 球位置考虑不全,导致扣2~3分.剩下的三个盒子放C ,D ,E 三球,只有3ˑ3ˑ2ˑ1=18种放法.11分…………………综合上述,由分类加法计数原理得不同放法种数共有6+6+18=30种.12分……………………………ʌ题后悟道ɔ加强 分类 分步 意识在求解比较复杂的计数问题时,要注意分析问题是需要 分类 还是 分步 ,如本例中由A ,B 球的特殊性,先分类㊁再分步.。
2021高考数学必考点解题方式秘籍 涂色问题 理(1)
2021高考理科数学必考点解题方式秘籍：涂色问题与涂色问题有关的试题新颖有趣,最近几年已经在高考题中显现，其中包括着丰硕的数学思想。
解决涂色问题方式技术性强且灵活多变，因此这种问题有利于培育学生的创新思维能力、分析问题与观看问题的能力，有利于开发学生的智力。
本文拟总结涂色问题的常见类型及求解方式 一.区域涂色问题依照分步计数原理，对各个区域分步涂色，这是处置染色问题的大体方式。
用5种不同的颜色给图中标①、②、③、④的各部份涂色，每部份只涂一种颜色，相邻部份涂不同颜色，那么不同的涂色方式有多少种？3种，由于④号与①、②不相邻，因此④号有45434240⨯⨯⨯=依照共用了多少种颜色讨论，别离计算出各类出各类情形的种数，再用加法原理求出不同的涂色方式种数。
例二、四种不同的颜色涂在如下图的6个区域，且相邻两个区域不能同色。
分析：依题意只能选用4种颜色，要分四类：（1）②与⑤同色、④与⑥同色，那么有44A ； （2）③与⑤同色、④与⑥同色，那么有44A ； （3）②与⑤同色、③与⑥同色，那么有44A ；（4）③与⑤同色、② 与④同色，那么有44A ；（5）②与④同色、③与⑥同色，那么有44A ； 因此依照加法原理得涂色方式总数为544A =120①②③④ ⑤⑥例3、如下图，一个地域分为5个行政区域， 现给地图着色，要求相邻区域不得利用同一颜色， 现有4种颜色可供选择，那么不同的着方式共有多少种？ 分析：依题意至少要用3种颜色 当先用三种颜色时，区域2与4必需同色，区域3与5必需同色，故有34A 种；当用四种颜色时，假设区域2与4同色，那么区域3与5不同色，有44A 种；假设区域3与5同色，那么区域2与4不同色，有44A 种，故用四种颜色时共有244A 种。
由加法原理可知知足题意的着色方式共有34A +244A =24+2 24=72依照某两个不相邻区域是不是同色分类讨论，从某两个不相邻区域同色与不同色入手，别离计算出两种情形的种数，再用加法原理求出不同涂色方式总数。
人教A版选修2-3高二(下)数学(理)期中练习(4)2.docx
高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作惠安一中2013—2014学年高二（下）数学（理）期中练习（4）( 2--3 )一、选择题：1、将4名学生分到三个不同的班级，在每个班级至少分到一名学生的条件下，其中甲、乙两名学生不能分到同一个班级的概率为（ ） A ．56 B.23 C.12 D.342、如图所示2×2方格，在每一个方格中填入一个数字，数字可以是1、2、3、4中的任何一个，允许重复，则填入A 方格的数字大于B 方格的数字的概率为（ ） A 、12 B 、14 C 、34 D 、383.如图，用21A A K 、、三类不同的元件连接成一个系统，K 正常工作且21A A 、至少有一个正常工作时，系统正常工作.已知21A A K 、、正常工作的概率依次为9.0、8.0、8.0，则系统正常工作的概率为( )A. 960.0 B . 864.0C. 720.0D. 576.04．某同学忘记了自己的QQ 号，但记得QQ 号是由一个2，一个5，两个8组成的四位数，于是用这四个数随意排成一个四位数，输入电脑尝试，那么他找到自己的QQ 号最多尝试次数为( ) A ．6 B ．12 C ．18 D ．245.如图,用四种不同的颜色给图中的P A B C D 、、、、五个点涂色,要求每个点涂一种颜色,且图中每条线段的两个端点涂不同的颜色,则不同的涂色方法共有( )种 A ．72B ．86C ．106D ．1206．将1,2,3，…，9这9个数字填在3×3的正方形方格中，要求每一列从上到下的数字依次增大，每一行从左到右的数字也依次增大，当4固定在中心位置时，则填写方格的方法有( )．A ．6种B ．12种C ．18种D ．24种7. 一个盒子里有6只好晶体管，4只坏晶体管，任取两次，每次取一只，每次取后不放回，则若已知第一只是好的，则第二只也是好的概率为( )A.23B.512C.59D.79 8.将A ，B ，C ，D ，E 五种不同的文件随机地放入编号依次为1，2，3，4，5，6，7的七个抽屉内，每个抽屈至多放一种文件，则文件A ，B 被放在相邻的抽屉内且文件C ，D 被放在不相邻的抽屉内的概率是（ ）A ．221B ．421C ．821D ．1791．如图,将一个各面都涂了油漆的正方体,切割成125个同样大小的小正方体.经过搅拌后,从中随机取出一个小正方体,记它的涂油漆面数为X ,则X 的均值为()E X =（ ）A ．126125B ．65C ．168125D ．75KA 1A 2102 ．节日里某家前的树上挂了两串彩灯,这两串彩灯的第一次闪亮相互独立,若接通电后的4秒内任一时刻等可能发生,然后每串彩灯在内4秒为间隔闪亮,那么这两串彩灯同时通电后,它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是（ ） A ．14B ．12C ．34D ．78二、填空题：113．从n 个正整数1,2,n …中任意取出两个不同的数,若取出的两数之和等于5的概率为114,则n =________.12. 某地奥运火炬接力传递路线共分6段，传递活动分别由6名火炬手完成．如果第一棒火炬手只能从甲、乙、丙三人中产生，最后一棒火炬手只能从甲、乙两人中产生，则不同的传递方案共有 种．________（用数字作答）． 13.三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛．若每人都选择其中两个项目，则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是________14、354(1)(21)x x x +-+展开式中奇次项的系数和等于 15、如右图是一个数表，第1行依次写着从小到大的正整数，然后把每行相邻的两个数的和写在这两数正中间的下方，得到下一行，数表从上到下与从左到右均为无限项，则这个数表中的第13行第10个数为 ．三、解答题： 164．现有10道题,其中6道甲类题,4道乙类题,张同学从中任取3道题解答.(I)求张同学至少取到1道乙类题的概率;(II)已知所取的3道题中有2道甲类题,1道乙类题.设张同学答对甲类题的概率都是35,答对每道乙类题的概率都是45,且各题答对与否相互独立.用X 表示张同学答对题的个数,求X 的分布列和数学期望.17某单位为绿化环境，移栽了甲、乙两种大树各2株．设甲、乙两种大树移栽的成活率分别为23和p ，且各株大树是否成活互不影响．已知两种大树各成活1株的概率为29. （Ⅰ）求p 的值；（Ⅱ）求甲种大树成活的株数大于乙种大树成活的株数的概率； （Ⅲ）用,X Y 分别表示甲、乙两种大树成活的株数，记||X Y ξ=-，求随机变量ξ的分布列与数学期望E ξ.1 2 3 4 5 6 7 … 3 5 7 9 11 13 … 8 12 16 20 24 … 20 28 36 44 … 48 64 80 … … … …18．五一节期间，某商场为吸引顾客消费推出一项优惠活动．活动规则如下：消费额每满100元可转动如图所示的转盘一次，并获得相应金额的返券．（假定指针等可能地停在任一位置, 指针落在区域的边界时，重新转一次）指针所在的区域及对应的返劵金额见右上表．例如：消费218元，可转动转盘2次，所获得的返券金额是两次金额之和．（1）已知顾客甲消费后获得n 次转动转盘的机会，已知他每转一次转盘指针落在区域边界的概率为p ，每次转动转盘的结果相互独立，设ξ为顾客甲转动转盘指针落在区域边界的次数，ξ的数学期望125E ξ=,标准差σξ=，求n 、p 的值；（2）顾客乙消费280元，并按规则参与了活动，他获得返券的金额记为η（元)．求随机变量η的分布列和数学期望．19．袋中装有黑球和白球共7个,从中任取2个球都是白球的概率为1,7现有甲、乙两人从袋中轮流摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取……取后不放回，直到两人中有一人取到白球时既终止，每个球在每一次被取出的机会是等可能的，用ξ表示取球终止所需要的取球次数． （I ）求袋中所有的白球的个数； （II ）求随机变量ξ的概率分布； （III ）求甲取到白球的概率．3060C 区域B 区域A 区域返劵金额（单位：元）指针位置205．下图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图,空气质量指数小于100表示空气质量优良,空气质量指数大于200表示空气重度污染,某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市,并停留2天.(Ⅰ)求此人到达当日空气重度污染的概率;(Ⅱ)设X是此人停留期间空气质量优良的天数,求X的分布列与数学期望;(Ⅲ)由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大?(结论不要求证明) 21．设袋子中装有a个红球,b个黄球,c个蓝球,且规定:取出一个红球得1分,取出一个黄球2分,取出蓝球得3分.(1)当1,2,3===cba时,从该袋子中任取(有放回,且每球取到的机会均等)2个球,记随机变量ξ为取出此2球所得分数之和,.求ξ分布列;(2)从该袋子中任取(且每球取到的机会均等)1个球,记随机变量η为取出此球所得分数.若95,35==ηηDE,求.::cba惠安一中2013—2014学年高二（下）数学（理）期中练习（4） 一、选择题：1-10、ADBBA BCBBC二、填空题： 11. 8 12.96 13. 3214. -15 15. 162三、解答题：16.17解：设“甲种大树恰有i 株成活”为事件(0,1,2)i A i =，则2221()()()33iiii P A C -=；设“乙种大树恰有i 株成活”为事件(0,1,2)i B i =，则22()(1)i i ii P B C p p -=-.（Ⅰ）两种大树各成活1株的概率111122212()(1)339P P A B C C p p =⋅=⨯⨯⨯-= 12p ∴=（Ⅱ）设“甲种大树成活的株数大于乙种大树成活的株数”为事件C 则212010()()()()P C P A B P A B P A B =++⋅21221222211212114()()()()322323329C C =⨯⨯+⨯+⨯⨯= 所以，甲种大树成活的株数大于乙种大树成活的株数的概率为49. （Ⅲ）由题意知，ξ所有可能取值为0,1,2.221100(0)()()()P P A B P A B P A B ξ==⋅+⋅+⋅221122222121111113()()()()3233223236C C =⨯+⨯⨯⨯+⨯= 2222200221115(2)()()()()()()323236P P A B P A B ξ==⋅+⋅=⨯+⨯=1(1)1(0)(2)2P P P ξξξ==-=-==所以ξ服从的分布列为13157012362369E ξ=⨯+⨯+⨯= 18、解：（1）依题意知，ξ服从二项分布),(~p n B ξ∴125E np ξ==----------------①-又299()(1)2500D np p ξσξ==-=----②- 由①②联立解得：14,100n p ==（2）设指针落在A ,B ,C 区域分别记为事件A ,B ,C . 则111(),(),()632P A P B P C ===.由题意得，该顾客可转动转盘2次.随机变量η的可能值为0，30，60，90，120. --111(0);224P η==⨯= 111(30)2;233P η==⨯⨯= 111(90)2;369P η==⨯⨯= 11115(60)2;263318P η==⨯⨯+⨯= 111(120).6636P η==⨯= 所以，随机变量η的分布列为：故其数学期望0306090120404318936E η=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= -19．解:（I ）设袋中原有n 个白球,由题意知227(1)1(1)2767762n n n C n n C --===⨯⨯ 可得3n =或2n =-（舍去）即袋中原有3个白球．（II ）由题意,ξ的可能取值为1,2,3,4,53(1);7P ξ==()4322;767P ξ⨯===⨯4326(3);76535P ξ⨯⨯===⨯⨯43233(4);765435P ξ⨯⨯⨯===⨯⨯⨯432131(5);7654335P ξ⨯⨯⨯⨯===⨯⨯⨯⨯所以ξ的分布列为:（III ）因为甲先取,所以甲只有可能在第一次,第三次和第5次取球,记”甲取到白球”为事件A ,则()()()22()13535P A P P P ξξξ==+=+==20解:设i A 表示事件“此人于3月i 日到达该市”( i =1,2,,13).根据题意, 1()13i P A =,且()i j A A i j =∅≠.(I)设B 为事件“此人到达当日空气重度污染”,则58B A A =,所以58582()()()()13P B P A A P A P A ==+=. (II)由题意可知,X 的所有可能取值为0,1,2,且P(X=1)=P(A 3∪A 6∪A 7∪A 11)= P(A 3)+P(A 6)+P(A 7)+P(A 11)= 413,P(X=2)=P(A 1∪A 2∪A 12∪A 13)= P(A 1)+P(A 2)+P(A 12)+P(A 13)= 413,P(X=0)=1-P(X=1)-P(X=2)= 513, 所以X 的分布列为:012544131313X P故X 的期望5441201213131313EX =⨯+⨯+⨯=. (III)从3月5日开始连续三天的空气质量指数方差最大.21解:(Ⅰ)由已知得到:当两次摸到的球分别是红红时2ξ=,此时331(2)664P ξ⨯===⨯;当两次摸到的球分别是黄黄,红蓝,蓝红时4ξ=,此时2231135(4)66666618P ξ⨯⨯⨯==++=⨯⨯⨯;当两次摸到的球分别是红黄,黄红时3ξ=,此时32231(3)66663P ξ⨯⨯==+=⨯⨯;当两次摸到的球分别是黄蓝,蓝黄时5ξ=,此时12211(5)66669P ξ⨯⨯==+=⨯⨯;当两次摸到的球分别是蓝蓝时6ξ=,此时111(6)P ξ⨯===;所以ξ的分布列是:所以:2225233555253(1)(2)(3)9333a b c E a b c a b c a b c a b c D a b c a b c a b c ηη⎧==++⎪⎪++++++⎨⎪==-⨯+-⨯+-⨯⎪++++++⎩,所以2,3::3:b c a c a b c ==∴=.。
高中数学涂色问题常用技巧
高中数学涂色问题常用技巧公司内部编号：（GOOD-TMMT-MMUT-UUPTY-UUYY-DTTI-高中数学涂色问题常用技巧王忠全涂色问题是一个复杂而有趣的问题，高考中不时出现，处理涂色问题常用的方法是两个计数原理——分类计数和分步计数原理；常用的数学思想是等价转换，即化归思想；常见问题有：区域涂色、点涂色和线段涂色、面涂色；常考虑的问题是颜色是否要用完。
例1、用四种颜色给如下区域涂色，要求一空涂一色，邻空不同色，有多少种涂法有2种涂法；涂1，2有44A=24例2同色，有多少种涂法法1：1）2）恰用四色：同例1，有24种涂法。
共有24+48=72种涂法。
法2：1有4种涂法；2有3种涂法；3有2种涂法；4有3种涂法；共72种涂法。
评析：由上述解法知，颜色用完和可供选择是两回事，做题时一定要区分。
一、 区域涂色问题（一）、圆形区域涂色：处理圆形区域涂色大致有三种方法：间空涂色法；公式法。
例3、用四种颜色给如下区域涂色，用四种颜色给如下区域涂色，要求一空涂一色，邻空不同色，有多少种涂法一、 间空涂色法；法1、用空分类 选择1，31）1，3同色，则1，3有14C 种方法，2有13C 可能与1，3同色，但可与2同色，分两类：4与2同色，只用了两种颜色，5有2种方法；4与2不同色，则4有2种方法，5有2种涂法，此时，共有72)222(34=⨯+⨯种方法。
2）1，3不同色，则1，3有24A 种方法，2有12C 种方法，4与1同色，5有3种方法；4与2不同色，则4有2种涂法，5有2种涂法，共有)322(212+⨯⨯⨯=168种方法，综上所述，共有72+168=240种涂法。
法2：公式法共有35+3⨯（-1）5=240种方法。
定理：用m 种颜色（可选择）填圆形区域的n 个空，一空涂一色，邻空不同色的涂法有)1()1()1(-⋅-+-m m n n 种。
证明：如图，设有a n 种不同涂法。
不妨把之剪开,化为矩形区域,共有1)1(--n m m 种涂法,但区域1、n 不能涂同色，把1、n 捆绑成一个空，有a n-1种涂法，则其中)1(22-==m m A a m，设1,)1(2-=-=m mb m a b nn n 则 令()r b m r b n n ---=-11，则r=1， 可知，。
新教材北师大版数学【选修2-3】练习：1.3 组合(含答案)
（新教材）北师大版精品数学资料第一章§3一、选择题1．甲组有5名男同学、3名女同学；乙组有6名男同学、2名女同学．若从甲、乙两组中各选出2名同学，则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有() A．150种B．180种C．300种D．345种[答案] D[解析]由已知4人中恰有1名女同学分为两类：甲组中一女一男，乙组中两男，有C13·C15·C26＝225(种)选法；甲组中两男，乙组中一女一男，有C12·C16·C25＝120(种)选法；由分类计数原理，可知共有225＋120＝345(种)选法．2．某班级要从4名男生，2名女生中选派4人参加社区服务，如果要求至少有1名女生参加，那么不同的选派方案种数为()A．14 B．15C．120 D．119[答案] A[解析]方法一：至少有1名女生，可分为两种情况：1名女生3名男生；2名女生2名男生，所以不同的选派方案种数为C12C34＋C22C24＝14.方法二：6人中选4人的方案共有C46＝15种，没有女生的方案只有1种，所以满足要求的选派方案种数为15－1＝14.3．(2014·全国大纲理，5)有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有()A．60种B．70种C．75种D．150种[答案] C[解析]本题考查了分步计数原量和组合的运算，从6名男医生选2人有C2＝15种选6法，从5名女医生选1人有C15＝5种选法，所以由分步计数原理可知共有15×5＝75种不同的选法．解决排列组合问题要首先确定是排列问题还是组合问题，是分步还是分类．然后解决问题．二、填空题4．有3张参观券，要在5人中确定3人去参观，不同方法的种数是________(用数字作答)．[答案]10[解析]由于选出的人无角色差异，所以是组合问题，不同方法种数为C35＝5×4×3 3×2×1＝10.5．从1,3,5,7中任取2个数字，从0,2,4,6,8中任取2个数字组成没有重复数字的四位数，其中能被5整除的四位数共有________个(用数字作答)．[答案]300[解析]能被5整除，个位数字只能是0或5，共分三种情况：(1)只含有数字5，则5一定位于个位上，从1,3,7中选一个，有C13种选法，再从2,4,6,8中选两个，有C24种选法，然后将这三个数进行全排列，有A33种方法，故共有C13·C24·A33＝108个数；(2)同理只含有数字0，有C23·C14·A33＝72个数；(3)既有5又有0，则有两种情况；0位于个位共有C13·C14·A33个数；5位于个位共有C13·C14·C12·A22个数．故共有C13·C14·A33＋C13·C14·C12·A22＝120个数．所以符合题意的四位数共有108＋72＋120＝300(个)．三、解答题6．(2013·景德镇市高二质检)7名身高互不相等的学生，分别按下列要求排列，各有多少种不同的排法？(1)7人站成一排，要求最高的站在中间，并向左、右两边看，身高逐个递减；(2)任取6名学生，排成二排三列，使每一列的前排学生比后排学生矮．[解析](1)第一步，将最高的安排在中间只有1种方法；第二步，从剩下的6人中选取3人安排在一侧有C36种选法，对于每一种选法只有一种安排方法，第三步，将剩下3人安排在另一侧，只有一种安排方法，∴共有不同安排方案C36＝20种．(2)第一步从7人中选取6人，有C67种选法；第二步从6人中选2人排一列有C26种排法，第三步，从剩下的4人中选2人排第二列有C24种排法，最后将剩下2人排在第三列，只有一种排法，故共有不同排法C67·C46·C24＝630种.一、选择题1．(2014·合肥八中联考)将4个颜色互不相同的球全部收入编号为1和2的两个盒子里，使得放入每个盒子里的球的个数不小于该盒子的编号，则不同的放球方法有() A．10种B．20种C．36种D．52种[答案] A[解析]根据2号盒子里放球的个数分类：第一类，2号盒子里放2个球，有C2种放法，4第二类，2号盒子里放3个球，有C34种放法，剩下的小球放入1号盒中，共有不同放球方法C24＋C34＝10种．2.如图，用四种不同颜色给图中的A、B、C、D、E、F六个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色方法共有()A．288种B．264种C．240种D．168种[答案] B[解析]当涂四色时，先涂A、E、D为A3，再从B、F、C三点选一个涂第四种颜色，4如B，再F，若F与D同色，则涂C有2种方法，若F与D异色则只有一种方法，故A34A13 (2＋1)＝216种．当涂三色时，先涂A、E、D为C34A33，再涂B有2种，F、C各为一种，故C34A33×2＝48，故共有216＋48＝264种，故选B.3．把4个苹果分给两个人，每人至少一个，不同分法种数有()A．6 B．12C．14 D．16[答案] C[解析]有两类分法①一人3个，一个1个有C3C11A22种分法，②每人各2个有C24C22种4分法．所以共有C34A22＋C24C22＝14种不同的分法，选C.4.某城市街道如图，某人要走最短路程从A地前往B地，则不同走法有()A．8种B．10种C．12种D．32种[答案] B[解析]因为从A地到B地路程最短，我们可以在地面画出模型，实地实验探究一下走法可得出：①要走的路程最短必须走5步，且不能重复．②向东的走法定出后，向南的走法随之确定．所以我们只要确定出向东的三步或向南的两步走法有多少种即可．故有不同走法有C35＝C25＝10种．选B.5．(2012·陕西理，8)两人进行乒乓球比赛，先赢3局者获胜，决出胜负为止，则所有可能出现的情形(各人输赢局次的不同视为不同情形)共有()A．10种B．15种C．20种D．30种[答案] C[解析]本题考查了排列组合知识与分类讨论的思想．由题意知，打三局，有两种情形；打四局2C13种情形，打五局有2(C13＋C23)种情形，故共有2＋6＋12＝20种不同情形，本题隐含两人最少打三局，最多打五局比赛终止，因此要进行合理分类．二、填空题6．某仪表显示屏上一排有7个小孔，每个小孔可显示出0或1，若每次显示其中三个孔，但相邻的两孔不能同时显示，则这种显示屏可以显示的不同信号的种数是________种．[答案]80[解析]显示的孔不相邻，用插空法，4个不显示孔形成5个空当．∴有C35种选法．每个孔有2种显示方法．∴共有23C35＝80种．7．把3名辅导老师与6名学生分成3个小组(每组1名教师，2名学生)开展实验活动，但学生甲必须与教师A在一起，这样的分组方法有________种．(用数字作答) [答案]30[解析]分别给A，B，C三位老师各安排2名学生(学生甲必须与教师A在一组)，一共有C 11C 15C 24C 22＝30(种)不同的分组方法．三、解答题8．(1)解方程C 3x ＋618＝C 4x －218；(2)已知1C m 5－1C m 6＝710C m 7，求C m 8； (3)计算C 37＋C 47＋C 58＋C 69.[解析] (1)由C 3x ＋618＝C 4x －218及组合数的性质得，3x ＋6＝4x －2或3x ＋6＝18－(4x －2)， 解得x ＝8或x ＝2，经检验x ＝8不符合题意，舍去．故x ＝2.(2)原方程变形为m ！(5－m )！5！－m ！(6－m )！6！＝7×m ！(7－m )！10×7！即60－10(6－m )＝(7－m )(6－m )， 即m 2－23m ＋42＝0， 解得m ＝21或m ＝2， 又∵0≤m ≤5且m ∈N ＋，∴m ＝2，∴C m 8＝C 28＝28.(3)原式＝C 48＋C 58＋C 69＝C 59＋C 69＝C 610＝C 410＝210.[点评] 解有关组合数的不等式或方程，应注意合组数本身有意义时的未知数的取值范围．9．有4个不同的球，四个不同的盒子，把球全部放入盒内． (1)共有多少种放法？(2)恰有一个盒不放球，有多少种放法？ (3)恰有一盒内有2个球，有多少种放法？ (4)恰有两个盒不放球，有多少种放法？ [分析] (1)可直接用分步乘法计数原理．(2)问题转化为“4个球，三个盒子，每个盒子都要放球，共有几种放法？” (3)该问题事实上与问题(2)是同一个问题．(4)问题转化为：“4个球，两个盒，每个盒必放入球，有几种放法？”[解析] (1)一个球一个球地放到盒子里去，每只球都可有4种独立的放法，由分步乘法计数原理，放法共有：44＝256(种)．(2)为保证“恰有一个盒子不放球”，先从四个盒子中任意拿出去1个，然后将4个球分成2,1,1的三组，有C 14·C 24种分法；再从三个盒子中选一个放两个球，其余两个球，两个盒子，全排列即可．由分步乘法计数原理，共有放法：C 14·C 24·C 13·A 22＝144(种)．(3)“恰有一个盒内放2个球”，即另外三个盒子中恰有一个空盒．因此，“恰有一个盒子放2球”与“恰有一个盒子不放球”是一回事．故也有144种放法．(4)先从四个盒子中任意拿走两个有C 24种，问题转化为：“4个球，两个盒子，每盒必放球，有几种放法？”从放球数目看，可分为(3,1)，(2,2)两类．第一类：可从4个球中先选3个，然后放入指定的一个盒子中即可，有C 34·C 12种放法；第二类：有C 24种放法．因此共有C 34·C 12＋C 24＝14(种)．由分步乘法计数原理得“恰有两个盒子不放球”的放法有：C 24·14＝84(种)．10．6个人进2间屋子： (1)每屋内至少进1人；(2)每屋都进3人，问各有多少种分配方法？[解析] (1)方法一：按第1间屋子内进人的数目可分为5类：进1人，2人，3人，4人，5人．因此，要把这5类分配进屋的方法数加起来，对于每一类而言，如“第1间屋内进4人，第2间进2人”这类分配方式，又可看成先派4人进入第1间屋，再派余下的2人进入第2间屋．这样得到C 46·C 22种进屋方法，于是总共方法为：C 16C 55＋C 26C 44＋C 36C 33＋C 46C 22＋C 56C 11＝62(种)．方法二：从6人进2间屋子的各种分配方法数中减去不合题意的分配方法数来计算．不合题意的分配方法只有2种，即6人全进第1间或全进第2间．即间接法解得：26－2＝62(种)．(2)方法一：先派3人进第1间屋，再让其余3人进第2间屋，得分配方法为：C 36·C 33＝20(种)．方法二：先把6人平均分成两组，方法有：C 36A 22(种)，然后再分配到房间，共有C 36A 22·A 22＝20(种)．[点评] (1)平均分组问题：一般来说，km 个不同的元素分成k 组，每组m 个，则不同的分法有：C m km·C m(k－1)m·…·C m mA k k(种)．(2)不平均分组问题：一般来说，把n个不同元素分成k组，每组分别有m1，m2，…，m k个，m1，m2，…，m k互不相等，且m1＋m2＋…＋m k＝n，则有不同的分法为：C m1n·C m2n－m1·C m3n－(m1＋m2)·…·C m k m k种．如果m1，m2，…，m k中有且仅有i个相等，则不同的分法为：C m1n·C m2n－m1·C m3n－(m1＋m2)·…·C m k m kA i i(种)．上面的组合问题给出两个解法模型，处理此类问题的关键是充分考虑到是否与顺序有关，避免产生重复计数．。
高中数学选修2-3加法原理与乘法原理-解析版
加法原理与乘法原理专题变式训练2.有6种不同的颜色，给如图的六个区域涂色，要求相邻区域不同色，则不同的涂色方法种数为() A．4320B．2880C．1440D．720【答案】A【解析】第一个区域有6种不同的涂色方法．第二个区域有5种不同的涂色方法．第三个区域有4种不同的涂色方法．第四个区域有3种不同的涂色方法．第五个区域有3种不同的涂色方法．第六个区域有4种不同的涂色方法．根据乘法原理6×5×4×3×3×4=4320．故选 A【备注】本题主要考查分步乘法计数的应用，熟悉计数原理是解答本题的关键，是高考中常见的题型．加法原理例2.某学生去书店，发现3本好书，决定至少买其中一本，则购买方式共有()A．3种B．6种C．7种D．9种【答案】C【解析】分3类：买1本好书，买2本好书和买3本好书，各类的购买方式依次有3种、3种和1种故购买方式共有3+3+1=7 (种)【备注】明确“至少”中包含几层意思变式训练.已知两条异面直线a，b上分别有5个点和8个点，则这13个点可以确定不同的平面个数为() A．40B．16C．13D．10【答案】C【解析】分两类第1类，直线a与直线b上8个点可以确定8个不同的平面第2类，直线b与直线a上5个点可以确定5个不同的平面故可以确定8+5=13个不同的平面【备注】理解如何能确定一个平面，并找到不同平面的区别针对训练1.对如图中的A、B、C、D四个区域染色，每块区域染一种颜色，有公共边的区域不同色，现有红、黄、蓝三种不同颜色可以选择，则不同的染色方法共有()A．12B．18C．20D．22【答案】B【解析】A3→B2→D{新1→C只能同B1旧同A1→D{新1旧同B12.如图在3×4的方格（每个方格都是正方形）中，共有正方形________ 个．【答案】20【解析】本题考查了分类加法计数原理．利用分类加法计数原理计算得结论．边长为1的正方形共有12个．边长为2的正方形共有6个．边长为3的正方形共有2个．共有12+6+2=20个．故答案为20．3.在所有的两位数中，个位数字小于十位数字的两位数共有________个．【答案】45【解析】按照十位数字分类，共有9+8+7+6+5+4+3+2+1=45（个）．4.直线方程Ax+By=0，若从0,1,3,5,7,8这6个数字中每次取两个不同的数作为A,B的值，则可表示________ 条不同的直线．【答案】22【解析】若A或B中有一个为零时，有2条；当AB≠0时有5×4＝20条，故共有20＋2＝22条不同的直线．故有22条不同的直线．5.高中二年级一、二、三班中分别有7名、8名、9名同学自愿参加数学课外小组．①从中选一名年级负责人，有________种不同的选法；②每班选一名组成一个小分组，有________种不同的选法．【答案】24；504【解析】①由分类加法计数原理可得有7+8+9=24（种）不同选法．②由分步乘法计数原理可得有7×8×9=504（种）不同选法．6.如果把个位数是1，且恰好有3个数字相同的四位数叫做“好数”，那么在由1，2，3，4四个数字组成的有重复数字的四位数中，“好数”共有()A．9个B．3个C．12个D．6个【答案】C【解析】本题是一个分类计数问题，当组成的数字有三个1，三个2，三个3，三个4共有4中情况，分别列举出这几种情况，根据分类计数原理得到结果．由题意知本题是一个分类计数问题．当组成的数字有三个1，三个2，三个3，三个4共有4中情况．当有三个1时：2111，3111，4111，1211，1311，1411，1121，1131，1141．当有三个2，3，4时2221，3331，4441．根据分类计数原理得到共有12种结果．故选 C7.某医院研究所研制了5种消炎药X1、X2、X3、X4、X5和4种退烧药T1、T2、T3、T4，现从中取出两种消炎药和一种退烧药同时使用进行疗效试验，又知X1、X2两种消炎药必须同时搭配使用，但X3和T4两种药不能同时使用，则不同的试验方案有()A．16种B．15种C．14种D．13种【答案】C【解析】本题考查分类计数问题，本题解题的关键是先排列有限制的元素，注意做到不重不漏，本题是一个基础题．选择X1时必须选择X2，所以当选择X1或者X2时，退烧药可以从4个里面任取，这样就有4种可能；X3与T4不能同时使用，所以选择X3时，消炎药就只有2种可能，退烧药可以从3个里面任取，就有6种可能；选择X4时方法同上面一样有4种结果．由题意知本题是一个分类计数问题．选择X1时必须选择X2，所以当选择X1或者X2时，退烧药可以从4个里面任取，这样就有4种可能．X3与T4不能同时使用，所以选择X3时，消炎药就只有2种可能，而退烧药可以从3个里面任取，这样就有6种可能．选择X4时方法同上面一样有4种结果．所以一共有4+6+4=14种结果．故选 C8.甲、乙、丙三地客运站，需要准备在甲、乙、丙三地之间运行的车票种数是()A．1B．2C．3D．6【答案】D【解析】根据分数计数原理，(1)甲地到乙、丙两地之间的运行的车票：2种(2)乙地到甲、丙两地之间的运行的车票：2种(3)丙地到甲、乙两地之间的运行的车票：2种故共有2+2+2=6种．故选D．【备注】本题考查分类加法计数原理的应用，属于基础题目．9.某单位职工义务献血，在体检合格的人中，O型血的共有28人，A型血的共有7人，B型血的共有9人，AB型血的共有3人．从中任选1人去献血，有多少种不同选法？【答案】47种【解析】从O型血的人中选1人有28种不同的选法，从A型血的人中选1人有7种不同的选法，从B型血的人中选1人有9种不同的选法，从AB型血的人中选1人有3种不同的选法．任选1人去献血，即无论选哪种血型的哪一个人，这件“任选1人去献血”的事情即可完成，所以由分类加法计数原理，共有28+7+9+3=47种不同的选法．10.从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个，其个位数为0的概率是()A．49B．13C．29D．19【答案】D【解析】∵两数之和为奇数，则两数一奇一偶，若个位数为奇数，则共有4×5＝20个数，若个位数为偶数，共有5×5＝25个数，其中个位为0的数共有5个，∴P=520+25=19．【备注】本题考查计数原理与古典概型，11.某学校高一年级共8个班，高二年级6个班从中选一个班级担任学校星期一早晨升旗任务，共有()种安排方法．A．8B．6C．14D．48【答案】C【解析】根据题意，某学校从高一或高二的班级中选一个班级担任学校升旗任务，如果从高一的班级中选取，有8种情况，如果从高二的班级中选取，有6种情况，则有8+6=14种安排方法；故选：C．【备注】根据题意，分“从高一的班级中选取”和“从高二的班级中选取”2种情况讨论，由分类计数原理计算可得答案．本题考查分类计数原理的运用，认真分析题意按照分类计数原理分析即可．12.x+y+z=10的正整数解的组数为________ ．【答案】36【解析】可按x的值分类：当x=1时，y+z=9，共有8组；当x=2时，y+z=8，共有7组；当x=3时，y+z=7，共有6组；当x=4时，y+z=6，共有5组；当x=5时，y+z=5，共有4组；当x=6时，y+x=4，共有3组；当x=7时，y+z=3，共有2组；当x=8时，y+z=2，共有1组．由分类加法计数原理可知：共有8+7+6+ 5+4+3+2+1=8×9=36(组)．故答案为36．2【备注】本题主要考查根的存在性及个数判断，体现了分类讨论的数学思想，考查分类计数原理，属于中档题．13.图书馆的一个书架有三层，第一层有3本不同的数学书，第二层有5本不同的语文书，第三层有8本不同的英语书，现从中任取一本书，不同的取法有()A．12B．16C．64D．120【答案】B【解析】本题考查分类加法计数原理．直接利用分类加法的计数原理求解本题即可．应用分类加法计数原理，由于书架上共有C31+C51+C81=3+5+8=16（本）书，则从中任取1本书，共有16种不同的取法．故选 B14.在三位正整数中，若十位数字小于个位数学和百位数字，则称该数为“驼峰数”．例如：102，546为“驼峰数”．由1，2，3，4，5这五个数字构成的无重复数字的“驼峰数”中，十位数字之和为________ ．【答案】30【解析】本题考查了分类加法计数原理．利用分类加法计数原理，结合题意计算得结论．十位上的数为1时，有：213，214，215，312，314，315，412，413，415，512，513，514，共12个．十位上的数为2时，有：324，325，423，425，523，524，共6个．十位上的数为3时，有：435，534，共2个．所以这五个数字构成的无重复数字的“驼峰数”中．十位数字之和为1×12+2×6+3×2=30．故答案为30．乘法原理例 3.电路如图所示，在A，B间有四个开关，若发现A，B之间电路不通，则这四个开关打开或闭合的方式有() A．3种B．8种C．13种D．16种【答案】C【解析】各个开关打开或闭合有2种情形，故四个开关共有16种可能其中能使电路通的情形有：1，4都闭合且2和3中至少有一个闭合，共有3种可能故开关打开或闭合的不同情形共有16−3=13 ( 种 )【备注】把所有开关情况列出之后要去除能使A，B之间接通的情况变式训练1.从集合{1，2，3，4，5}中任取2个不同的数，作为方程Ax+By=0的系数A、B的值，则形成的不同直线有()A．18条B．20条C．25条D．10条【答案】A【解析】第一步，取A的值，有5种取法第二步，取B的值，有4种取法其中当A=1，B=2时与A=2，B=4时是相同的方程当A=1，B=2时与A=2，B=4时是相同的方程故共有5×4−2=18条【备注】计算完之后，注意去除相同情况变式训练2.若x∈{1，2，3}，y∈{5，7，9}，则x⋅y的不同值个数是()A．2B．6C．9D．8【答案】C【解析】求积x⋅y需分两步取值第1步，x的取值有3种第2步，y的取值有3种故有3×3=9个不同的值【备注】无相同情况，不许去掉相同情况针对训练1.高三年级的三个班去甲、乙、丙、丁四个工厂参加社会实践，但去何工厂可自由选择，甲工厂必须有班级要去，则不同的分配方案有()A．16种B．18种C．37种D．48种【答案】C【解析】本题可用总体方案数减不符合要求的方案数：三个班去四个工厂的所有情况有4×4×4=64种其中都不去甲工厂的情况有：3×3×3=27所以甲工厂必须有班级去的方案有：64−27=37种【备注】直接计算不好算，故可以采取用所有情况减去不去甲工厂的情况，这样计算简便2.用0，1，2，3这四个数字，可以组成没有重复数字的3位数，其中奇数的个数为________．【答案】8【解析】【分析】本题考查了排列、组合及简单的计数问题，此题是有条件限制排列，解答的关键是做到合理的分布，是基础题．【解答】解：用0，1，2，3，这四个数字组成没有重复数字的三位数，其中奇数必满足：个位数只能取1，3中一个，若百位数和十位数没有限制，故共有2×3×2=12个，若百位是0，则有2×2=4，故这四个数字组成没有重复数字的三位数有12−4=8个．故答案为8．3.学校组织参加运动会，4个好姐妹准备报名参加其中的3个比赛项目，每一个项目只有一个冠军，请问冠军的组合一共有多少组？【答案】64种【解析】3个冠军均有4种选择，共64种．【备注】信箱问题一定要弄清楚方向问题．4.5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共有()A．10种B．20种C．25种D．32种【答案】D【解析】要完成5名同学的报名需要分5步，每个同学都有2种选择，根据乘法原理，不同的报名方法共有种，故选D．【备注】本题考查分步计数原理，主要判断所要完成的事情为5位同学的报名问题，故分5步．5.如图所示，在某个城市中，M，N两地之间有整齐的道路网，若规定只能向东或向北两个方向沿图中路线前进，则从M到N不同的走法共有________ 种．6.【答案】15【解析】【分析】本题考查分步计数原理，解题的关键是把实际问题转化成数学问题，看出完成这一件事共有两个环节，每一步各有几种方法，是一个基础题．要从M到N，共需要向东前进4格，向北前进2格．【解答】解：要从M到N，共需要前进6格：向东前进4格，向北前进2格，不同的走法有：C62=15种．故答案为15．6.一个数无论从左边念，还是从右边念都是同一个数，则这个数称为“回文数”，如11、22是两位“回文数”，111、101是三位“回文数”，则5位“回文数”的个数有________ 个．【答案】900【解析】本题考查计数原理的应用，关键是理解回文数的定义与特点．利用回文数的对称性，判断中间数，十位数以及个位数的可能值，利用分步计数原理求解即可．一个数无论从左边念，还是从右边念都是同一个数，则这个数称为“回文数”，如11、22是两位“回文数”，111、101是三位“回文数”，则5位“回文数”的个位数有9种选择方法，十位数和百位数都有10中方法，有分步乘法计数原理可知：5位“回文数”的个数有：9×10×10=900．故答案为900．7.一部机器由5个部件组成，其中A部件有5种型号选择，B部件有4种型号选择，C部件、D部件、E部件分别有2种、3种、4种型号选择，则组装这部机器的方法数是 ()A．480B．18C．240D．25【答案】A【解析】组装这部机器可分步完成：第一步选A部件有5种方法，第二步选B部件有4种方法，第三步选C部件，第四步选D部件，第五步选E部件，分别有2种、3种、4种方法，共有5×4×2×3×4=480（种）．。
高中数学选修2-3同步练习题库：分类加法计数原理和分步乘法计数原理(选择题：一般)
分类加法计数原理和分步乘法计数原理（选择题：一般）1、现有支队伍参加蓝球比赛，规定：比赛采取单循环比赛质，即每支队伍与其他支队伍各比赛一场；每场比赛中，胜方得分，负方得分，平局双方各得分．下面关于这支队伍得分叙述正确的是A．可能有两支队伍得分都是分 B．各支队伍得分总和为分C．各支队伍中最高得分不少于分 D．得偶数分的队伍必有偶数个2、从1,2,…，9这九个数字中，任意抽取两个相加所得的和为奇数的不同代数式的种数是（）A．6 B．9 C．20 D．253、2011年11月11日这一天被称为“百年一遇的光棍节”，因为这一天中有6个“1”，如果把“20111111”中的8个数字顺序任意排列，可以组成的八位数共有( )A．49个 B．36个 C．28个 D．24个4、抛一颗均匀的正方体骰子三次，则向上的面的点数依次成公差为的等差数列的概率是（）A． B． C． D．5、将甲、乙、丙、丁四名学生分配到三个不同的班，每个班至少一名，则不同分法的种数为（）A．18 B．24 C．36 D．726、用数字0,1,2,3,4组成没有重复数字且大于3000的四位数，这样的四位数有（）A．250个 B．249个 C．48个 D．24个7、甲、乙、丙3人从1楼乘电梯去商场的3到9楼，每层楼最多下2人，则下电梯的方法有( )A．210种 B．84种 C．343种 D．336种8、某2017年夏令营组织5名营业员参观北京大学、清华大学等五所大学，要求每人任选一所大学参观，则有且只有两个人选择北京大学的不同方案共有（）A．240种 B．480种 C．640种 D．1280种9、有六种不同颜色,给如图的六个区域涂色,要求相邻区域不同色,不同的涂色方法共有( )A．4320 B．2880 C．1440 D．72010、5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共有（）A．10种 B．20种 C．25种 D．32种11、4名同学参加3项不同的课外活动，若每名同学可自由选择参加其中一项，则每项活动至少一名同学参加的概率为（）A． B． C． D．12、若自然数使得作竖式加法不产生进位现象，则称为“不进位数”，例如：32是“不进位数”，因为32+33+34不产生进位现象；23不是“不进位数”，因为23+24+25产生进位现象.那么小于1000的“不进位数”的个数为27 B．36 C．39 D．4813、张、王两家夫妇各带1个小孩一起到动物园游玩，购票后排队依次入园，为安全起见，首尾一定要排两位大人，另外，两个小孩一定要排在一起，则这6人的入园顺序排法种数共有( )A．144 B．124 C．72 D．3614、将7名留学归国人员分配到甲、乙两地工作，若甲地至少安排3人，乙地至少安排3人，则不同的安排方法数为（）A．120 B．150 C．70 D．3515、某人有3个电子邮箱，他要发5封不同的电子邮件，则不同的发送方法有（）A．8种 B．15种 C．种 D．种16、学校高二学生小明在练习电脑编程，其中有一道程序题的要求如下：它由六个子程序构成，且程序必须在程序之后，程序必须在程序之后，执行程序后须立即执行程序，按此要求，小明有多少不同的编程方法( )A．20种 B．12种 C．30种 D．90种17、育才中学高二四班要从4名男生，2名女生中选派4人参加志愿者活动，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方法种数共有( )A．8 B．14 C．16 D．1818、某学校高三年级有2个文科班,3个理科班,现每个班指定1人对各班的卫生进行检查,若没办只安排一人检查,且文科班学生不检查文科班,理科班学生不检查自己所在的班,则不同安排方法的种数是( )A．24 B．48 C．72 D．14419、将数字1，2，3，4，5，6排成一列，记第个数为（），若，，，，则不同的排列方法种数为（）A．18 B．30 C．36 D．4820、（原创）将大小形状相同的个黄球和个黑球放入如图所示的的十宫格中，每格至多放一个，要求相邻方格的小球不同色（有公共边的两个方格为相邻），如果同色球不加以区分，则所有不同的放法种数为（）A． B． C． D．21、设东、西、南、北四面通往山顶的路各有2、3、3、4条路,只从一面上山,而从任意一面下山的走法最多,应A．从东边上山 B．从西边上山 C．从南边上山 D．从北边上山22、8把椅子摆成一排，4人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为（）A．144 B．120 C．72 D．2423、教学大楼共有五层，每层均有两个楼梯，由一层到五层的走法有（）A．种 B．种 C．种 D．种24、把5名师范大学的毕业生分配到A、B、C三所学校，每所学校至少一人。
涂色问题学案——高二下学期数学人教A版选修2-3
涂色问题根据分步计数原理，对各个区域分步涂色，这是处理染色问题的基本方法。
一.区域涂色问题例1。
用5种不同的颜色给图中标①、②、③、④的各部分涂色，每部分只涂一种颜色，相邻部分涂不同颜色，则不同的涂色方法有多少种？（240）例2、四种不同的颜色涂在如图所示的6个区域，且相邻两个区域不能同色。
（120）①②③④⑤⑥例3、如图所示，一个地区分为5个行政区域， 现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着方法共有多少种？（72）例4、用红、黄、蓝、白、黑五种颜色涂在如图所示的四个区域内，每个区域涂一种颜色，相邻两个区域涂不同的颜色，如果颜色可以反复使用，共有多少种不同的涂色方法？（260）二.点的涂色问题例5、将一个四棱锥S ABCD 的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱的两端点异色，如果只有5种颜色可供使用，那么不同的染色方法的总数是多少？2 431 51 2 34二.线段涂色问题例6、用红、黃、蓝、白四种颜色涂矩形ABCD的四条边，每条边只涂一种颜色，且使相邻两边涂不同的颜色，如果颜色可以反复使用，共有多少种不同的涂色方法？例7、用六种颜色给正四面体A BCD-的每条棱染色，要求每条棱只染一种颜色且共顶点的棱涂不同的颜色，问有多少种不同的涂色方法？三.面涂色问题例9、从给定的六种不同颜色中选用若干种颜色，将一个正方体的6个面涂色，每两个具有公共棱的面涂成不同的颜色，则不同的涂色方案共有多少种？例10、四棱锥P ABCD-，用4种不同的颜色涂在四棱锥的各个面上，要求相邻不同色，有多少种涂法？练习：1.对于已知直线a,如果直线b同时满足下列三个条件:①与直线a异面;②与直线a所成的角为定值θ;③与直线a的距离为定值d.那么这样的直线b有（）A. 1条B. 2条C. 3条D. 无数条2. 如果一条直线与一个平面垂直,那么称此直线与平面构成一个“正交线面对”.在一个正方体中,由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是（ ） A. 48 B. 36 C. 24 D. 183. 设四棱锥P -ABCD 的底面不是平行四边形,用平面α去截这个四棱锥,使得截面四边形是平行四边形,则这样的平面α（ ）A. 不存在B. 只有1个C. 恰有4个D. 有无穷多个 4. 如图,点1210,,,P P P 分别是四面体的顶点或棱的中点,那么在同一平面上的四点组()1,,,i j k P P P P 共有 个.5. 在正方体的一个面所在的平面内,任意画一条直线,则与它异面的正方体的棱的条数是 .6. 正方体的8个顶点中任取4个不在同一平面上的顶点,,,P Q M N 组成的二面角为P MN Q --的大小可能值有 个. 答案1.D2. B3. D4. 335. 4或6或7或86. 8个。
高中数学竞赛讲义-涂色问题
§29涂色问题涂色问题是数学竞赛中较为典型的问题，可以直接用抽屉原则解决涂色问题。
另一方面，也可以将别的有关问题“涂色”，转化为涂色问题，涂色问题本身，有其深刻的数学背景。
有些问题，本来就属于图论的内容。
有些问题的解决，则需要用到数论、组合数学的理论和方法。
这里介绍，只是中学数学竞赛中的有关问题。
1．小方格染色问题最简单的染色问题是从一种民间游戏中发展起来的方格盘上的染色问题.解决这类问题的方法后来又发展成为解决方格盘铺盖问题的重要技巧.2．线段染色和点染色(1)线段染色.较常见的一类染色问题是发样子组合数学中图论知识的所谓“边染色”（或称“线段染色”），主要借助抽屉原则求解.（2）点染色.先看离散的有限个点的情况.例题讲解1．把正方形ABCD的一边AB分成n段，使奇数号的线段长度之和等于偶数号的线段长度之和（如图01—01）。
过各分点作平行于AD的线段，得到n个矩形。
每一个矩形又被对角线BD 分成两部分。
将奇数号矩形左部及偶数号矩形的右部涂上同一颜色。
证明：在对角线BD两侧的有同色的部分，其面积和相等。
2．在一张无限方格纸的某些方格上涂上红色，其余方格涂上蓝色，每一个2×3的六方格矩形内恰好2个红方格。
试问：一个9×11的99方格矩形内包含多少个红方格？3．在n×n（n≥2）个方格的正方形表中，有n－1个格子里涂了色，求证：通过交换两行或两列的位置，总可以将所有涂色的方格移到正方形表的左上角顶点到右下角顶点的对角线下方。
4．有n×n（n≥3）个方格表中，先在表中任意选出n－1个方格都涂成黑色，然后将那些凡是至少与两个已涂色的方格相邻的方格也都涂黑色。
求证：不论怎样选择最初的n－1个方格，都不能按这样的法则，将表中的所有方格全涂黑。
5．设ABC为正三角形，E为线段BC，CA，AB上点的集合（包括A，B，C在内）。
将E分成两个子集，求证：总有一个子集中含有一个直角三角形的顶点。
排列组合综合(二)讲义-2021-2022学年高二下学期数学北师大版选修2-3
排列组合综合应用（二）知识要点常用方法：1.优先排序法--特殊位置或特殊元素2.捆绑法--哥俩好(先捆再排)3.插空法--离我远点(先排再插)4.排除法--正难则反5.隔板法--相同物品放在不同位置(或分给不同的人)精讲精练【例题1】A、B、C、D、E五种不同的商品要在货架上排成一排，其中A、B两种商品必须排在一起，而C、D两种商品不能排在一起，则不同的排法共有多少种?练习1：1、排一张有5个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单。
(1)任何两个舞蹈节目不相邻的排法有多少种？(2)歌唱节目与舞蹈节目间隔排列的方法有多少种？2、7名同学排队照相。
(1)若分成两排照，前排3人，后排4人，有多少种不同的排法?(2)若排成两排照，前排3人，后排4人，但其中甲必须在前排，乙必须在后排，有多少种不同的排法?(3)若排成一排照，甲、乙、丙三人必须相邻，有多少种不同的排法?(4)若排成一排照，7人中有4名男生，3名女生，女生不能相邻，有多少种不同的排法?【例题2】某博物馆要在10天内接待4所学校的学生参观，每天至多安排一所学校，其中一所人数较多的学校要连续参观2天，其余学校均只参观1天，则在这10天内不同的安排方法数是多少种？练习2：1、某学生制定了数学问题解决方案：星期一和星期日分别解决4个数学问题，且从星期二开始，每天所解决问题个数与前一天相比，要么“多一种”要么“持平”要么“少一种”。
在一周中每天所解决问题个数不同方案共有多少种？2、有10件不同电子产品，其中有2件产品运营不稳定。
技术人员对它们进行一一测试，直到2件不稳定产品所有找出后测试结束，则正好3次就结束测试办法种数是多少种？【例题3】如图，A、B、C、D为海上的四个小岛，要建三座桥，将这四个岛连接起来，则不同的建桥方案共有多少种？练习3：1、某都市街道如图，某人从A地前去B地，则路程最短走法有多少种？2、如图，用四种不同颜色给图中A，B，C，D，E，F六个点涂色，规定每个点涂一种颜色，且图中每条线段两个端点涂不同颜色，则不同涂色办法有多少种？【例题4】把10个相同的球放入3个不同的盒子里，若要求(1)每个盒子里至少有一个球，有多少种放法？(2)每个盒子里都至少有2个球，有多少种放法？(3)某些盒子允许空着，有多少种放法？练习4：1、学校筹划运用周五下午第一、二、三节课举办语文、数学、英语、理综4科专项讲座，每科一节课，每节至少有一科，且数学、理综不安排在同一节，则不同安排办法共有多少种？2、六名大四学生(其中4名男生，2名女生)被安排到A、B、C三所学校实习，每所学校2人，且2名女生不能到同一学校，也不能到C学校，男生甲不能到A学校，则不同安排办法为多少种？【例题5】(1)方程x+y+z=13有多少组正整数解？(2)方程x+y+z=13有多少组非负整数解？(3)方程x+y+z=13有多少组x，y，z均不小于2的正整数解？练习5：1、求方程X+Y+Z=10的正整数解的个数。
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涂色问题解题通法
定理1(直线型结构)：用(2)m m ≥种颜色给如图所示的由(2)n n ≥个区域组成的直线型结
构图涂色，则总的不同涂法有()
1
1n m
n L m m -=-种.
证明：由分步计数原理按序号逐个涂色即可。
定理2(星型结构)：用(2)m m ≥种颜色给如图所示的由(2)n n ≥个区域组成的星型结构图涂色，则总的不同涂法有()
1
1n m
n S m m -=-种.
证明：由分步计数原理按序号逐个涂色即可。
定理3(环形结构)：用(2)m m ≥种颜色给如图所示的由(3)n n ≥个区
域组成的环形结构图涂色，则总的不同涂法有
()()()111n
n
m n R m m =-+--种.
证明：1m m m n n n R R L -+=(m n L 中头尾不同的涂法数为m
n R ，头尾相同时,
头尾看作一个区域，涂法数为1m n R -)，即()111n m m
n n R R m m --+=-，
∴()()
1
111n n m
m
n n R m R m --⎡⎤--=---⎣
⎦
，求通项即可 或()()1221m
m
m
n n n R m R m R --=-+-
定理4(全连通型结构)：用()m m n ≥种颜色给由n 个区域组成的全连通型结构图(任何两个
区域都连通，如图)涂色，则总的不同涂法有m n
n m T A =种.
证明：任何两个区域都连通，所以颜色各不相同。
方法应用
例1.将三种作物种植在如图所示的5块试验田里，每块种植一种作物且相邻的试验田不能种植一种作物，不同的种植方法有 种.(以数字作答)
答：结构抽象如右图，涂法数为：()
()
51
51
3
2
255333122148642L L C ---=⨯--⨯⨯-=-=
例2.某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为6个部分(如图).现要栽种4种不同颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，不同的栽种方法有 种.(以
数字作答)
答：结构抽象如右图，涂法数为：()()()553
54431311120R ⎡⎤⨯=⨯-+--=⎣⎦
(先涂中间)
例3.用n 种不同的颜色为下列两块广告牌着色，要求在1,2,3,4四个区域中相邻(有公共边界)的区域用不同的颜色，
(Ⅰ)若6n =，为左图着色时共有多少种不同的方法？ (Ⅱ)若为右图着色时，共有120种不同的方法，求n 的值.
答：结构抽象如右图，
(Ⅰ)涂法数为：()3
36624480n
T A ⨯-=⨯=，(先涂三角形结构)
(Ⅱ)涂法数为：()()()4
4123120n
n T A n n n n ==---=，∴5n =
例4. 用6种不同的颜色为下图中的5个区域着色，要求相邻(有公共边界)的区域用不同的颜色，共有多少种不同的方法？
答：结构抽象如右图，
先涂124,,A A A 的三角形，再涂3A ，最后涂5A ，共有3
645A ⨯⨯多少种不同的方法
例5.用6种不同的颜色为下列两块广告牌着色，要求相邻(有公共边界)的区域用不同的颜色，共有多少种不同的方法？
答：结构抽象如右图，()()4
12m m m --(先涂1A ，再涂线型结构23456A A A A A ----). 例6.(2008重庆)某人有4种颜色的灯泡(每种颜色的灯泡足够多)，要在如题(16)图所示的6个点111,,,,,A B C A B C 上各装一个灯泡，要求同一条线段两端的灯泡不同色，则每种颜色的灯泡都至少用一个的安装方法共有 种(用数字作答). 答：3
43(221)A ⨯⨯⨯-
引申：若有(3)n n ≥种颜色的灯泡，则不同的安装方法共有 种。
若下、上层对应点灯泡颜色允许相同，则共33
n n A A ⨯有种涂法；
1
3 6
2 4
5
A 1
A 3
A 4
A 5
A 6
A 2
C 1
B 1
C
B
A
A 1
2 1 5
3
4
下、上层有且只有一组对应点颜色相同，则可以把同色的两点看成一点，则几何体为四棱锥，抽象图如下左，不同的涂法有()()
()4
4
111n n n ⎡⎤⨯-+--⎣
⎦
种； 下、上层有且只有两组对应点颜色相同，则可以把同色的两点看成一点，则几何体为四面体，抽象图如下右，不同的涂法有4
n A 种；
下、上层三组对应点颜色都相同，则可以把同色的两点看成一点，则几何体退化为三角形，不同的涂法有3
n A 种。
由容斥原理知，不同的涂法有()()
()4
4
3
3
1
243
33111n n n n A A C n n n C A A ⎡⎤⨯-⨯⨯-+--+⨯-⎣
⎦
简单的组合结构练习
1.如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻地区不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有 种（以数字作答）
答：结构抽象如右图，涂法数为：()()()44
4443131172R ⎡⎤⨯=⨯-+--=⎣⎦
(先涂中间)
2.
用M 种颜色去涂上图所示的各个结构图，共有多少种不同的涂法？
答：(1)3
(1)m m A -⨯(先涂三角形123A A A )；
(2)3
(2)m m A -⨯(先涂三角形123A A A )；
(3)33
(1)m m A -⨯(先涂三角形123A A A )；
(4)33
(2)m m A -⨯(先涂中间三角形123A A A )；
(5)()()3
12m m m --(先涂1A ，再涂线型结构2345A A A A ---).。