专题复习：一元二次方程的五种常用解法(后附答案)【精品】

专题：一元二次方程的5种解法
方法1 形如x2＝p(p≥0)或(mx＋n)2＝p(p≥0)的一元二次方程用直接开平方法求解
1.用直接开平方法解下列方程:
(1)9x2=25; (2)x2-√=0; (3)(2t-1)2=9;
(4)(x-3)2-9=0. (5)2(x－1)2－18＝0.
用直接开平方法解一元二次方程的三个步骤：
(1)看：看是否符合x2＝p或(mx＋n)2＝p(p≥0)的形式；
(2)化：对于不符合x2＝p或(mx＋n)2＝p(p≥0)形式的方程先化为符合的形式；
(3)求：应用平方根的意义，将一元二次方程化为两个一元一次方程求解.
方法2 当二次项系数为1，且一次项系数为偶数时，用配方法求解 2.用配方法解下列方程：
(1)x 2-10x+9=0; (2)x 2+2x=2; (3)2x 2-4x+1=0.
3. 用配方法解下列方程：
(1)3x 2
＋6x －5＝0; (2)12
x 2
－6x －7＝0； (3)2x 2＋7x －4＝0.
用配方法解一元二次方程的“五步法”
(1)移项：使方程的左边为二次项和一次项，右边为常数项. (2)化1：当方程的二次项系数不为1时，在方程的两边同除以二次项系数，把二次项系数化为1.
(3)配方：在方程的两边同时加上一次项系数一半的平方，把原方程化成(x ＋n)2＝p 的形式.
(4)开方：若p ≥0，则两边直接开平方得到一元一次方程；若p ＜0，则原方程无解.
(5)求解：解所得到的一元一次方程，求出原方程的解.
方法3 易化成一般形式（二次项系数不为1）时，用公式法求解4.用公式法解方程:
(1)x2+3x+1=0; (2)2x2-5x-7=0;
(3)(x+1)(x-1)+2(x+3)=8; (4)y2-2√2y+2=0；
(5)(x＋1)(2x－6)＝1； (6)x2＋5x＋18＝3(x＋4)．
用公式法解一元二次方程的四个步骤
(1)化：若方程不是一般形式，先把一元二次方程化为一般形式ax2＋bx＋c＝0(a≠0).
(2)定：确定a，b，c的值.
(3)算：计算b2－4ac的值.
(4)求：若b2－4ac≥0，则利用求根公式求出方程的根；若b2－4ac ＜0，则原方程没有实数根.
方法4 能化成形如（x+a）（x+b）=0时，用因式分解法求解
5．用因式分解法解下列方程：
(1)x2－9＝0； (2)x2＋2x＝0；
(3)x2－53x＝0； (4)5x2＋20x＋20＝0；
(5)(2＋x)2－9＝0； (6)3x(x－2)＝2(x－2)．
(7)(3x＋2)2－4x2＝0； (8)4(x－3)2－25(x－2)2＝0；
用因式分解法解一元二次方程的“四步法”
（“右化零，左分解，两因式，各求解”）
6.有三个方程:①(2x-1)2=5;②x2-x-1=0;③x(x-√3)=√3-x.解这三个方程时适合的解法依次是( )
A.因式分解法、公式法、因式分解法
B.直接开平方法、配方法、公式法
C.直接开平方法、公式法、因式分解法
D.公式法、配方法、公式法
7.用适当的方法解下列方程:
(1)(x-1)2=3; (2)x2+2x-2=0;
(3)(x-5)2=2(x-5)-1; (4)x(3x-2)=3x-2.
方法5 用换元法解方程
8.【阅读材料】
解方程：x4－3x2＋2＝0.
解：设x2＝m，则原方程变为m2－3m＋2＝0，
解得m1＝1，m2＝2.
当m＝1时，x2＝1，解得x＝±1.
当m＝2时，x2＝2，解得x＝± 2.
所以原方程的解为x1＝1，x2＝－1，x3＝2，x4＝－ 2.
以上方法就叫做换元法，通过换元达到了降次的目的，体现了转化的思想．
【问题解决】
利用上述方法解方程(x2－2x)2－5x2＋10x＋6＝0.
参考答案：
1.解:(1)方程两边同时除以9得,x 2=25
9,
根据平方根的意义得,x=±5
3
.
(2)移项得,x 2=√256=16, 根据平方根的意义得,x=±4. (3)根据平方根的意义得,2t-1=±3, 移项得,2t=4或2t=-2, 系数化为1得,t=2或t=-1. (4)移项得,(x-3)2=9,
根据平方根的意义得,x-3=±3, 移项得,x=0或x=6. (5)∵2(x －1)2－18＝0，
∴(x －1)2＝9，∴x －1＝±3，∴x 1＝4，x 2＝－2. 2.解:(1)移项,得x 2-10x=-9.
配方,得x 2-10x+25=-9+25,(x-5)2=16.开方,得x-5=4,或x-5=-4.
∴x 1=9,x 2=1.
(2)配方,得x 2+2x+1=2+1,(x+1)2=3.∴x+1=±√3.
∴x 1=√3-1,x 2=-√3-1.
(3)将方程两边同时除以2,得x 2-2x+1
2
=0,即x 2-2x=-1
2
.
配方,得x 2-2x+12
=-1
2
+12, (x-1)2
=1
2
.
∴x=1±√22.即x 1=1+√22,x 2=1-√2
2.
3.(1)原方程变形为3x 2＋6x ＝5，∴x 2＋2x ＝5
3
，
∴x 2
＋2x ＋1＝83，∴(x ＋1)2
＝83，∴x ＋1＝±263
，
∴x 1＝－1＋
263，x 2＝－1－263
. (2)原方程变形为12x 2
－6x ＝7，∴x 2－12x ＝14，
∴x 2－12x ＋36＝50，∴(x －6)2＝50，∴x －6＝±52， ∴x 1＝6＋52，x 2＝6－5 2.
（3）(x ＋74)2＝8116，∴x 1＝1
2
，x 2＝－4.
4.解:(1)∵a=1,b=3,c=1,∴Δ=b 2-4ac=9-4×1×1=5>0,∴x=
-3±√52
.
∴x 1=
-3+√52
,x 2=
-3-√52
.
(2)∵a=2,b=-5,c=-7,∴b 2-4ac=81,
∴x=
5±√814,∴x 1=-1,x 2=72
. (3)原方程可化为x 2+2x-3=0. ∵a=1,b=2,c=-3,∴b 2-4ac=16.
∴x=
-2±√16
2
,∴x 1=1,x 2=-3.
(4)∵这里a=1,b=-2√2,c=2,∴b 2-4ac=(-2√2)2-4×1×2=0,
∴y=
2√2±02
,∴y 1=y 2=√.
(5)整理得2x 2－4x －7＝0，∵a ＝2，b ＝－4，c ＝－7， ∴Δ＝b 2－4ac ＝(－4)2－4×2×(－7)＝72，
∴x ＝4±722×2＝2±322，∴x 1＝2＋322，x 2＝2－322
.
(6)整理得x 2＋2x ＋6＝0，∵a ＝1，b ＝2，c ＝6，∴Δ＝b 2－4ac ＝22－4×1×6＝－20＜0，∴原方程无实数根． 5.（1）解：(x ＋3)(x －3)＝0，
∴x 1＝－3，x 2＝3. （2）解：x(x ＋2)＝0， ∴x 1＝0，x 2＝－2. （3）解：x(x －53)＝0， ∴x 1＝0，x 2＝5 3. （4）解：(x ＋2)2＝0， ∴x 1＝x 2＝－2.
（5）解：(x ＋5)(x －1)＝0， ∴x 1＝－5，x 2＝1.
（6）解：原方程变形为3x(x －2)－2(x －2)＝0， 即(3x －2)(x －2)＝0， ∴x 1＝2
3
，x 2＝2.
（7）解：(3x ＋2＋2x)(3x ＋2－2x)＝0， 解得x 1＝－2
5
，x 2＝－2.
（8）解：原方程可化为[2(x －3)]2－[5(x －2)]2＝0， 即(2x －6)2－(5x －10)2＝0.
∴(2x －6＋5x －10)(2x －6－5x ＋10)＝0， 即(7x －16)(－3x ＋4)＝0. ∴x 1＝167，x 2＝43.
6.C
7.解:(1)∵x-1=±√3,∴x 1=√3+1,x 2=-√3+1.
(2)∵x2+2x+1=3,∴(x+1)2=3,
∴x1=√3-1,x2=-√3-1.
(3)∵(x-5)2-2(x-5)+1=0,
∴[(x-5)-1]2=0,∴x1=x2=6.
(4)∵x(3x-2)-(3x-2)=0,
∴(3x-2)(x-1)=0,
.
∴x-1=0或3x-2=0,∴x1=1,x2=2
3
8.解：(x2－2x)2－5x2＋10x＋6＝0，
整理，得(x2－2x)2－5(x2－2x)＋6＝0.
设x2－2x＝m，则原方程变为m2－5m＋6＝0，
解得m1＝3，m2＝2.
当m＝3时，x2－2x＝3，解得x＝3或x＝－1；
当m＝2时，x2－2x＝2，解得x＝1± 3.
所以原方程的解为x1＝3，x2＝－1，x3＝1＋3，x4＝1－ 3.。