专题复习：一元二次方程的五种常用解法(后附答案)【精品】

专题：一元二次方程的5种解法

方法1 形如x2＝p(p≥0)或(mx＋n)2＝p(p≥0)的一元二次方程用直接开平方法求解

1.用直接开平方法解下列方程:

(1)9x2=25; (2)x2-√=0; (3)(2t-1)2=9;

(4)(x-3)2-9=0. (5)2(x－1)2－18＝0.

用直接开平方法解一元二次方程的三个步骤：

(1)看：看是否符合x2＝p或(mx＋n)2＝p(p≥0)的形式；

(2)化：对于不符合x2＝p或(mx＋n)2＝p(p≥0)形式的方程先化为符合的形式；

(3)求：应用平方根的意义，将一元二次方程化为两个一元一次方程求解.

方法2 当二次项系数为1，且一次项系数为偶数时，用配方法求解 2.用配方法解下列方程：

(1)x 2-10x+9=0; (2)x 2+2x=2; (3)2x 2-4x+1=0.

3. 用配方法解下列方程：

(1)3x 2

＋6x －5＝0; (2)12

x 2

－6x －7＝0； (3)2x 2＋7x －4＝0.

用配方法解一元二次方程的“五步法”

(1)移项：使方程的左边为二次项和一次项，右边为常数项. (2)化1：当方程的二次项系数不为1时，在方程的两边同除以二次项系数，把二次项系数化为1.

(3)配方：在方程的两边同时加上一次项系数一半的平方，把原方程化成(x ＋n)2＝p 的形式.

(4)开方：若p ≥0，则两边直接开平方得到一元一次方程；若p ＜0，则原方程无解.

(5)求解：解所得到的一元一次方程，求出原方程的解.

方法3 易化成一般形式（二次项系数不为1）时，用公式法求解4.用公式法解方程:

(1)x2+3x+1=0; (2)2x2-5x-7=0;

(3)(x+1)(x-1)+2(x+3)=8; (4)y2-2√2y+2=0；

(5)(x＋1)(2x－6)＝1； (6)x2＋5x＋18＝3(x＋4)．

用公式法解一元二次方程的四个步骤

(1)化：若方程不是一般形式，先把一元二次方程化为一般形式ax2＋bx＋c＝0(a≠0).

(2)定：确定a，b，c的值.

(3)算：计算b2－4ac的值.

(4)求：若b2－4ac≥0，则利用求根公式求出方程的根；若b2－4ac ＜0，则原方程没有实数根.

方法4 能化成形如（x+a）（x+b）=0时，用因式分解法求解

5．用因式分解法解下列方程：

(1)x2－9＝0； (2)x2＋2x＝0；

(3)x2－53x＝0； (4)5x2＋20x＋20＝0；

(5)(2＋x)2－9＝0； (6)3x(x－2)＝2(x－2)．

(7)(3x＋2)2－4x2＝0； (8)4(x－3)2－25(x－2)2＝0；

用因式分解法解一元二次方程的“四步法”

（“右化零，左分解，两因式，各求解”）

6.有三个方程:①(2x-1)2=5;②x2-x-1=0;③x(x-√3)=√3-x.解这三个方程时适合的解法依次是( )

A.因式分解法、公式法、因式分解法

B.直接开平方法、配方法、公式法

C.直接开平方法、公式法、因式分解法

D.公式法、配方法、公式法

7.用适当的方法解下列方程:

(1)(x-1)2=3; (2)x2+2x-2=0;

(3)(x-5)2=2(x-5)-1; (4)x(3x-2)=3x-2.

方法5 用换元法解方程

8.【阅读材料】

解方程：x4－3x2＋2＝0.

解：设x2＝m，则原方程变为m2－3m＋2＝0，

解得m1＝1，m2＝2.

当m＝1时，x2＝1，解得x＝±1.

当m＝2时，x2＝2，解得x＝± 2.

所以原方程的解为x1＝1，x2＝－1，x3＝2，x4＝－ 2.

以上方法就叫做换元法，通过换元达到了降次的目的，体现了转化的思想．

【问题解决】

利用上述方法解方程(x2－2x)2－5x2＋10x＋6＝0.

参考答案：

1.解:(1)方程两边同时除以9得,x 2=25

9,

根据平方根的意义得,x=±5

3

.

(2)移项得,x 2=√256=16, 根据平方根的意义得,x=±4. (3)根据平方根的意义得,2t-1=±3, 移项得,2t=4或2t=-2, 系数化为1得,t=2或t=-1. (4)移项得,(x-3)2=9,

根据平方根的意义得,x-3=±3, 移项得,x=0或x=6. (5)∵2(x －1)2－18＝0，

∴(x －1)2＝9，∴x －1＝±3，∴x 1＝4，x 2＝－2. 2.解:(1)移项,得x 2-10x=-9.

配方,得x 2-10x+25=-9+25,(x-5)2=16.开方,得x-5=4,或x-5=-4.

∴x 1=9,x 2=1.

(2)配方,得x 2+2x+1=2+1,(x+1)2=3.∴x+1=±√3.

∴x 1=√3-1,x 2=-√3-1.

(3)将方程两边同时除以2,得x 2-2x+1

2

=0,即x 2-2x=-1

2

.

配方,得x 2-2x+12

=-1

2

+12, (x-1)2

=1

2

.

∴x=1±√22.即x 1=1+√22,x 2=1-√2

2.

3.(1)原方程变形为3x 2＋6x ＝5，∴x 2＋2x ＝5

3

，