2021年考研数学模拟卷二共三套试卷及答案解析

题型 分值 得分
选择题 50 分
填空题 30 分
解答题 70 分
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一、选择题：1～10 小题，每小题 5 分，共 50 分，下列每小题给出的四个选项中，只有
一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答．题．纸．指定位置上.
（1）当 x 0 时，下列 3 个无穷小
1 tan x
1
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（ D ） y ( A Bx Cx2 Dx3)ex (D 0) .
（6）下列不等式中正确的是（ ）
(x2 y2 )d 0
（A） x 1
y 1
(x2 y2 )d 0
（B） x 1
y 1
(x 1)d 0
（C） x 1
y 1
（D）
(x2 y2)d 0
x2 y2 1
.
（13）设 x
>0 时，可微函数
f (x) 及其反函数 g(x) 满足关系式
f 0
(x)
g (t )dt
1 3
3
(x2
8)
，
2
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则 f (x)
.
（14）计算不定积分
a2
sin 2
tan x x b2
cos2
x
dx
.（其中 ab 0 ）
2 1 1
（ 15 ） 已 知 向 量
（17）（本题满分 10 分）计算不定积分
dx (x2 1)(x2 x) 。
（ 18 ）（ 本 题 满 分 10 分 ） 设 f (x) 在 区 间 [0,1] 上 可 微 ， 当 0 x 1 时 ， 恒 有
0 f (1) f (x) ， 且 f (x) f (x) . 证 明 ： 在 (0,1) 内 存 在 唯 一 的 点 ， 使 得
f
x
(0,
0),
f
y
(0,
0)
不存在
（C）不连续，但
f
x
(0,
0),
f
y
(0,
0)
存在
（D）不连续，且
f
x
(0,
0),
f
y
(0,
0)
不存在
（5）微分方程 y 2 y y ex 的特解形式为（ ）
（ A ） y Aex ( A 0) .
（ B ） y ( A Bx)ex (B 0) . （ C ） y ( A Bx Cx2 )ex (C 0) .
(1, k,1)T
是矩阵
A
1
2
1
的逆
矩
阵的
特
征向
量，
则
1 1 2
k
.（其中 k 0 ）
（16）已知事件 A, B 满足 P( AB) P( AB) ，记 P( A) p ，则 P(B)
.
三、解答题：17~22 小题，共 70 分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说
明、证明过程或演算步骤.
f (0) 0
，
x 0,
f (0) 0 ， f (0) 0 ，则 x 0 是 F (x) 的（ ）
（A）第一类间断点 （C）第二类间断点
（B）连续点 （D）连续点或间断点不能由此确定
（3）设函数 f (x) 连续，则下列函数必为偶函数的是（ ）
（A） x t[ f (t) f (t)]dt 0
f ( ) f (t)dt . 0
（19）（本题满分 10 分）求 f (x, y) x xy x2 y2 在闭区域
D {(x, y) | 0 x 1, 0 y 2} 上的最大值和最小值.
（20）（本题满分 11 分）求抛物面 z 1 x2 y2 的一个切平面，使该切平面与抛物面
（A） 1
（B） 3
（C） 0
（D）1
（9）随机事件
A,
B
满足
P( A)
P(B)
1 2
，
P(
A
B)
1 ，则有（
）
（A） A B （B） AB （C） P( A B) 1 （D） P( A B) 0
（10）设随机变量 X N (0,1),Y N (0,1) ，则（ ）
（A） X Y 服从正态分布
1 sin x ，
(e x2
t2
1)dt
，
1 x4 3 1 3x4 ，按后一个
0
无穷小比前一个高阶的次序排列，正确的次序是（ ）
（ A ）,, . （ B ） ,, . （ C ） ,, . （ D ）, , .
（2）设函数
F
(x)
f (x) x2
,
f (0),
x
0,
其中
f
(x)
在
x0
处二阶可导，
1
（7）已知
A
（A） O
2
，则
B
(
A
1E
)(
A
2
E )(
A
3E )
（
）
3
（B） E
（C） 2E
（D） E
（8）设1 (1, 2,1)T ,2 (2,3, a)T ,3 (1, a 2, 2)T ，若 1 (1,3, 4)T 能由
1, 2 ,3 线性表示， 2 (0,1, 2)T 不能由1, 2 ,3 线性表示，则 a （ ）
绝密★启用前
考生姓名 考生编号
2021 年全国硕士研究生招生考试模拟二
数学（一）试题
（科目代码： 301 ） 考生注意事项
1.考生必须严格遵守各项考场规则。 （1）考生在考试开考 15 分钟后不得入场。 （2）交卷出场时间不得早于考试结束前 30 分钟。 （3）交卷结束后，不得再进考场续考，也不得在考场附近逗留或交谈。 2.答题前，应按准考证上的有关内容填写答题卡上的“考生姓名”“报考单位”“考生 编号”等信息。 3.答案必须按要求填涂或写在指定的答题卡上。 （1）填涂部分应该按照答题卡上的要求用 2B 铅笔完成。如要改动，必须用橡皮擦干净。 （2）书写部分必须用（蓝）黑色字迹钢笔、圆珠笔或签字笔在答题卡上作答。字迹要清 楚。 4.考试结束后，将答题卡装入原试卷袋中，试卷交给监考人员。
（C） x f (t 2 )dt 0
（B） x t[ f (t) f (t)]dt 0
（D） x f 2 (t)dt 0
（4）二元函数 f (x, y) sin(xxy) , x 0, 在 (0, 0) 点处（ ） 0, x 0.
（A）连续，且
f
x
(0,
0),
f
y
(0,
0)
存在
（B）连续，但
（B） X 2 Y 2 服从 2 分布
（C） X 2 和 Y 2 服从 2 分布
（D）
X2 Y2
服从
F
分布
二、填空题：11~16 小题，每小题 5 分，共 30 分，请将答案写在答．题．纸．指定位置上.
（11）设
a
பைடு நூலகம்
1 2
，则
lim
n
ln
n 2na 1n
n(1 2a)
.
（12） y ln x 的最大曲率为
及圆柱面 (x 1)2 y2 1 围成的立体的体积最小，并求出最小体积.
（21）（本题满分 14 分）设 A 为 3 阶矩阵， 1, 2 , 3 为 A 的三个不同特征值，对应的 特征向量为1,2 ,3 ，令 1 2 3 . （1）证明：向量组 A(1 2 ), A(2 3 ), A(1 3 ) 线性无关的充要条件是 A 为可