2021年考研数学模拟卷二共三套试卷及答案解析
2021考研数学二考试历年真题及答案详解
2021考研数学二考试历年真题及答案详解一、选择题（本题共10小题，每小题5分，共50分。
每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求，把所选选项前的字母填在答题卡指定位置上）1.当x→0时，是x7的（）。
A．低阶无穷小B．等价无穷小C．高阶无穷小D．同阶但非等价无穷小【答案】C【考点】常用等价无穷小；【解析】因为当x→0时，，所以是x7的高阶无穷小，故选C项。
2.函数，在x＝0处（）。
A．连续且取极大值B．连续且取极小值C．可导且导数为0D．可导且导数不为0【答案】D【考点】连续和可导的定义；【解析】因为故f（x）在x＝0处连续。
因为故f′（0）＝1/2，故选D项。
3.有一圆柱体，底面半径与高随时间变化的速率分别为2cm/s，－3cm/s，当底面半径为10cm，高为5cm时，圆柱体的体积与表面积随时间变化的速率分别为（）。
A．125πcm3/s，40πcm3/sB．125πcm3/s，－40πcm3/sC．－100πcm3/s，40πcm3/sD．－100πcm3/s，－40πcm3/s【答案】C【考点】复合函数求导；【解析】由题意知，dr/dt＝2，dh/dt＝－3，有V＝πr2h，S＝2πrh＋2πr2，则当r＝10，h ＝5时，dV/dt＝－100π，dS/dt＝40π，故选C项。
4.设函数f（x）＝ax－blnx（a＞0）有2个零点，则b/a的取值范围为（）。
A．（e，＋∞）B．（0，e）C．（0，1/e）D．（1/e，＋∞）【答案】A【考点】函数单调性及极值；【解析】函数求导得f′（x）＝a－b/x，令f′（x）＝0，则有驻点x＝b/a，得：在区间（b/a，＋∞）上，f′（x）＞0，f（x）单增；在区间（－∞，b/a）上，f′（x）＜0，f（x）单减。
即f（b/a）为函数f（x）的极小值，若f（x）有2个零点，则f（b/a）＝a·b/a－bln（b/a）＜0，从而ln（b/a）＞1，可得b/a＞e，故选A项。
2021年考研数学二真题及答案
2021年考研数学二真题一、选择题：（1~8小题,每题4分，共32分。
以下每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。
） (1)以下反常积分中收敛的是 (A)∫√x+∞2xx (B)∫xxx+∞2xx(C)∫1xxxx+∞2xx (D) ∫xx x+∞2xx 【答案】D 。
【解析】题干中给出4个反常积分，别离判定敛散性即可取得正确答案。
∫√x+2=2√x |2+∞=+∞；∫xxxx+∞2xx =∫xxx +∞2x (xxx )=12(xxx )2|2+∞=+∞；∫1xxxx+∞2xx =∫1xxx+∞2x (xxx )=ln (xxx )|2+∞=+∞； ∫xxx +∞2xx=−∫x +∞2xx −x=−xx−x|2+∞+∫x −x +∞2xx=2x−2−x−x |2+∞=3x −2，因此(D)是收敛的。
综上所述，此题正确答案是D 。
【考点】高等数学—一元函数积分学—反常积分 (2)函数x (x )=lim x →0(1+xxx x x )x 2x在(-∞,+∞)内(A)连续 (B)有可去中断点 (C)有跳跃中断点 (D)有无穷中断点 【答案】B【解析】这是“1∞”型极限，直接有x(x)=limx→0(1+xxx xx)x2x=x lim x→0x 2x(1+xxx xx−1)=e x limx→0xxxxx=x x(x≠0),x(x)在x=0处无概念，且limx→0x(x)=limx→0x x=1,因此x=0是x(x)的可去中断点，选B。
综上所述，此题正确答案是B。
【考点】高等数学—函数、极限、持续—两个重要极限(3)设函数x(x)={x αcos1xβ,x>0，0,x≤0(α>0,x>0).假设x′(x)在x=0处连续，则(A)α−β>1(B)0<α−β≤1(C)α−β>2(D)0<x−β≤2【答案】A【解析】易求出x′(x)={xx α−1cos1xβ+βxα−β−1sin1xβ,x>0，0,x≤0再有x+′(0)=limx→0+x(x)−x(0)x=limx→0+xα−1cos1xβ={0, α>1,不存在，α≤1，x−′(0)=0于是，x′(0)存在⟺α>1，现在x′(0)=0.当α>1时，limx→0xα−1cos1xβ=0，lim x→0βxα−β−1sin1xβ={0, α−β−1>0,不存在，α−β−1≤0，因此，x′(x)在x=0持续⟺α−β>1。
2021年全国硕士研究生入学统一考试数学(二)真题完整版(含答案及解析)
dt
dt
dt dt
dt
dt
当 r = 10, h = 5 时， dV = −100 , dS = −40 ，故选 D.
dt
dt
（4）设函数 f (x) = ax − b ln x(a 0) 有两个零点，则 b 的取值范围是（ ） a
A.(0, + )
B.(0,0)
C.(0, 1 ) e
【答案】A.
.
x (0,2)
【答案】1.
【解析】方程两边对 x 求导可得 z + (x +1) z x
+
y1 z
z x
−
1
+
2y 4x2
y
2
=0.
将 x = 0, y = 2 代入可得 z = 1 ，再将 x = 0, y = 2, z = 1代入可得 z = 1. x
（14）已知函数 f (t) =
t
dx
dt
有因为 x et2 dt = x (1+ t2 + (t2 ))dt = x + 1 x3 + (x3 ) ，故
0
0
3
原式
=
lim
x→0
x
−
1 x3 3!
+
(
x3
)
1
+
x
+
1 x3 3!
x2
+
(
x3
)
−
x
−
1 2
x2
+ (x2 )
=
lim
x→0
1 2
x2
+ (x2 ) x2
=
1 2
2021年考研数学二真题及答案解析
本题考是线性有关性鉴定问题,可以用定义解.
若1,2,…,s线性有关,则存在不全为0数c1,c2,…,cs使得
c11+c22+…+css=0,
用A左乘等式两边,得
c1A1+c2A2+…+csAs=0,
于是A1,A2,…,As线性有关.
如果用秩来解,则更加简朴明了.只要熟悉两个基本性质,它们是:
（A） （B）
（C） （D） 【 】
（8）设 是奇函数，除 外到处持续， 是其第一类间断点，则 是
（A）持续奇函数.（B）持续偶函数
（C）在 间断奇函数（D）在 间断偶函数.【 】
（9）设函数 可微， ，则 等于
（A） .（B）
（C） （D） 【 】
（10）函数 满足一种微分方程是
（A） （B）
（C） （D）
B+1=A①
C+B+ =0②
③
式②-③得
代入①得
代入②得
（16）求
解：原式=
（17）设区域
计算二重积分
解：用极坐标系
（18）设数列 满足 ，
证明：（1） 存在，并求极限
（2）计算
证：（1）
单调减少有下界
根据准则1， 存在
在 两边取极限得
因此
（2）原式
离散散不能直接用洛必达法则
先考虑
用洛必达法则
（19）证明：当时 ，
0 0 0 0 0
得同解方程组
x1=2-2x3+4x4，
x2=-3+x3-5x4，
求出一种特解(2,-3,0,0)T和AX=0基本解系(-2,1,1,0)T,(4,-5,0,1)T.得到方程组通解：(2,-3,0,0)T+c1(-2,1,1,0)T+c2(4,-5,0,1)T，c1,c2任意.
2021考研数学二真题及答案解析
2021考研数学二真题及答案解析考研数学二对于很多考生来说是一个重要的挑战，它涵盖了众多的知识点和题型，需要考生具备扎实的数学基础和较强的解题能力。
接下来，我们就一起详细地分析一下 2021 年考研数学二的真题及答案。
先来看选择题部分。
第一题考查了函数的基本性质，要求判断函数的奇偶性。
这需要考生熟练掌握奇偶函数的定义和判断方法。
第二题则涉及到极限的计算，对于这类题目，考生需要掌握常见的极限运算规则和方法。
比如其中有一题，给出了一个复杂的函数表达式，让求其在某一点的极限值。
这就需要我们运用等价无穷小替换、洛必达法则等方法来进行求解。
在解题过程中，要注意对函数进行合理的变形和化简，避免盲目计算导致出错。
再看填空题部分。
填空题通常考查一些较为基础但容易被忽略的知识点。
比如其中有一题是关于定积分的计算，这就要求考生对定积分的基本公式和运算方法有清晰的掌握。
另外，还有一题考查了曲线的切线方程，需要先求出函数的导数，然后代入切点的坐标来确定切线的斜率，进而得出切线方程。
这部分题目虽然难度相对不大，但需要考生在计算过程中保持细心和准确。
接下来是解答题部分。
这部分题目综合性较强，对考生的知识运用能力和解题思路要求较高。
比如有一道关于多元函数求极值的问题。
首先要对函数求偏导数，然后令偏导数等于零，解出可能的极值点。
接着，通过判断二阶偏导数的正负来确定是极大值还是极小值。
这道题不仅考查了考生对多元函数求极值方法的掌握，还考验了其计算能力和逻辑推理能力。
还有一道关于常微分方程的题目。
需要先判断方程的类型，然后运用相应的解法来求解。
在解题过程中，要注意初始条件的运用，确保答案的完整性和准确性。
总的来说，2021 年考研数学二的真题难度适中，既考查了基础知识的掌握，又注重了对综合能力的检验。
对于准备考研数学二的同学来说，通过对这套真题的分析和研究，可以明确考试的重点和方向。
在复习过程中，要注重基础知识的巩固，多做练习题，提高解题的熟练度和准确性。
2021 年全国硕士研究生招生考试数学二真题试卷(打印版)
2021年全国硕士研究生招生考试数学（二）试题真题讲义一、选择题：1~10小题，每小题5分，共50分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.1.是的（）（B ）等价阶无穷小（D ）同阶但非等价无穷小在处（）（A ）低阶无穷小（C ）高阶无穷小2.函数（A ）连续且取得极大值（B ）连续且取得极小值（C ）可导且导数等于零（D ）可导且导数不为零3.有一圆柱体，底面半径与高随时间的变化率分别为，，当底面半径为高为时，圆体的体积与表面积随时间的变化速率为（）（A ）（C ）4.函数（A ）5.设函数（A ）（C ）6.设函数（A ）7.设函数（A ）（C ）8.二次型（）（A ）2,09.设3阶矩阵表示出，则（）在区间可微且（B ）上连续，则（C ）（（B ）（D ））（B ）在（B ）（D ）有2个零点，则的取值范围是（）（D ），则（），（C ）处的2次泰勒多项式为（B ）（D ），则（D ）（）的正惯性指数与负惯性指数依次为（B ）1,1（C ）2,1，若向量组（D ）1,2可以由向量组线性（A）（C）10.已知矩阵的解均为的解均为解解（B）（D）的解均为的解均为，使得解解为对角矩，若三角可逆矩和上三角可逆矩阵阵，则、分别取（）（A）（B）（C）（D）二、填空题：11~16小题，每小题5分，共30分.请将答案写在答题纸指定位置上.11.12.设函数________.由参数方程确定，则________.13.设函数由方程确定，则________.14.已知函数15.微分方程有，则的通解为________.________.16.多项式的项的系数为________.三、解答题：17~22小题，共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
请将答案写在答题纸指定位置上。
17.求极限.18.设函数19.设函数满足，求函数的凹凸性及渐近线.，为曲线，求和满足.的解..记的长度为，绕轴旋转的旋转曲面的面积为20.是微方程（1）求（2）设21.设；为曲线上的一点，记处法线在轴上的截距为与轴围成，求.最小时，求.的坐标.由曲线22.设矩阵仅有两个不同特征值，若相似于对角矩阵.求，求逆矩阵，使得.。
2021年考研数学模拟卷二(数学一)解析
lim
n
n
ln
1
1 n(1 2a)
lim
n
n n(1 2a)
1 1 2a
.
（12） y ln x 的最大曲率为
.
【答案】 Kmax
23 9
.
5
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【解析】 y ln x ，则 y
1 x
,
y
1 x2
，故曲率为 K
y
3
(1 y2 )2
x
3
(1 x2 )2
,x 0.
dK 令 dx
1
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（2）设函数
F ( x)
f (x) x2
,
f (0),
x
0,
其中
f
(x)
在
x0
处二阶可导，
f (0) 0
，
x 0,
f (0) 0 ， f (0) 0 ，则 x 0 是 F (x) 的（ ）
（A）第一类间断点
（B）连续点
（C）第二类间断点
（D）连续点或间断点不能由此确定
1,2 ,3 线性表示， 2 (0,1, 2)T 不能由1,2 ,3 线性表示，则 a （ ）
（A） 1
【答案】（A）
（B） 3
（C） 0
（D）1
【解析】设 i xi11 xi22 xi33, (i 1, 2), A (1,2 ,3 ) ，对该非齐次线性方程
组的增广矩阵作初等行变换，有
服从 F
分布
【解析】本题未说明 X ,Y 相互独立，故选（C）.
二、填空题：11~16 小题，每小题 5 分，共 30 分，请将答案写在答．题．纸．指定位置上.
2021年数学二真题及答案解析
(3)设函数 具备2阶导数， ，则在区间 上 （ ）
(A) 当 时， (B) 当 时，
(C) 当 时， (D) 当 时，
(4)曲线 上相应于 点处曲率半径是 （ ）
(A) (B) (C) (D)
(5)设函数 ，若 ，则 （ ）
(A) (B) (C) (D)
(6)设函数 在有界闭区域 上持续，在 内部具备2阶持续偏导数，且满足 及 ，则 （ ）
(12)曲线 极坐标方程是 ，则 在点 处切线直角坐标方程是__________.
(13)一根长为1细棒位于 轴区间 上,若其线密度 ,则该细棒质心坐标 __________.
(14)设二次型 负惯性指数为1，则 取值范畴为_______.
三、解答题：15～23小题,共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字阐明、证明过程或演算环节.
【答案】A
【解析】 .
记 ， ， .若 线性无关，则 ，故 线性无关.
举反例.令 ，则 线性无关，但此时 却线性有关.
综上所述，对任意常数 ，向量 线性无关是向量 线性无关必要非充分条件.
故选A
二、填空题：9 14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸指定位置上.
(9) __________.
(A) 最大值和最小值都在 边界上获得
(B) 最大值和最小值都在 内部上获得
(C) 最大值在 内部获得，最小值在 边界上获得
(D) 最小值在 内部获得，最大值在 边界上获得
(7)行列式 （ ）
(A) (B)
(C) (D)
(8)设 均为3维向量，则对任意常数 ，向量组 线性无关是向量组
线性无关 （ ）
【解析】由于 ，因此
2021年考研数学二真题及答案解析
将0单位化,得0=( , , )T.
对1,2作施密特正交化,1=(0,- , )T,2=(- , , )T.
作Q=(0,1,2),则Q是正交矩阵,并且
3 0 0
QTAQ=Q-1AQ= 0 0 0 .
0 0 0
(13)设1,2,…,s所有是n维向量，A是mn矩阵，则（ ）成立.
(A) 若1,2,…,s线性有关,则A1,A2,…,As线性有关.
(B) 若1,2,…,s线性有关,则A1,A2,…,As线性无关.
(C) 若1,2,…,s线性无关,则A1,A2,…,As线性有关.
(D) 若1,2,…,s线性无关,则A1,A2,…,As线性无关.
数学（二）考研真题及解答
一、填空题
（1）曲线 水平渐近线方程为.
（2）设函数 在 处持续，则 .
（3）广义积分 .
（4）微分方程 通解是.
（5）设函数 由方程 拟定，则 =.
（6）设矩阵 ， 为2阶单位矩阵，矩阵 满足 ，则 =
.
二、选取题
（7）设函数 具有二阶导数，且 ， 为自变量 在 处增量， 和 分别为 在点 处相应增量和微分，若 ，则
真题答案解析
一、填空题
（1）曲线 水平渐近线方程为
（2）设函数 在x=0处持续，则a=
（3）广义积分
（4）微分方程 通解是
（5）设函数 拟定，则
当x=0时，y=1，
又把方程每一项对x求导，
二、选取题
（7）设函数 具有二阶导数，且 为自变量x在点x0处增量， ，则[A]
（A） （B）
（C） （D）
由 严格单调增长
B+1=A①
2021年12月217日考研数学二真题+解析
.
(13)设函数 z z(x, y) 由方程 (x 1)z y ln z arctan(2xy) 1 确定,则 z
.
x (0,2)
(14)已知函数 f (t)
t
dx
1
1
sin
y
x y
dy
.则
f
2
.
(15)微分方程 y y 0 的通解 y
.
x x 1 2x
(16)多项式 f (x) 1 x 2 1 中 x3 项的系数为______________. 21 x1
为 5 cm 时，圆柱体的体积与表面积随时间变化的速率分别为
(A)125 cm3 / s ，40 cm2 / s .
(B) 125 cm3 / s ， 40 cm2 / s .
(C) 100 cm3 / s ，40 cm2 / s .
(D) 100 cm3 / s ， 40 cm2 / s .
2 1 1 x
三、解答题（本题共 6 小题，共 70 分.请将解答写在答题纸指定位置上，解答应写
出文字说明、证明过程或演算步骤.）
(17)(本题满分 10 分)
求极限
lim
x0
1
e
ex t2
0
x 1
dt
1 sin
x
.Байду номын сангаас
(18)(本题满分 12 分)
2
已知
f
(x)
xx 1 x
，求
f
(x)
的凹凸性及渐近线.
x0
x0 x
因为 lim x0
f
(x) f (0) = lim
x0
x0
e
x 1 x x0
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1 sin x ，
(e x2
t2
1)dt
，
1 x4 3 1 3x4 ，按后一个
0
无穷小比前一个高阶的次序排列，正确的次序是（ ）
（ A ）,, . （ B ） ,, . （ C ） ,, . （ D ）, , .
（2）设函数
F
(x)
f (x) x2
,
f (0),
x
0,
其中
f
(x)
在
x0
处二阶可导，
题型 分值 得分
选择题 50 分
填空题 30 分
解答题 70 分
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一、选择题：1～10 小题，每小题 5 分，共 50 分，下列每小题给出的四个选项中，只有
一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答．题．纸．指定位置上.
（1）当 x 0 时，下列 3 个无穷小
1 tan x
及圆柱面 (x 1)2 y2 1 围成的立体的体积最小，并求出最小体积.
（21）（本题满分 14 分）设 A 为 3 阶矩阵， 1, 2 , 3 为 A 的三个不同特征值，对应的 特征向量为1,2 ,3 ，令 1 2 3 . （1）证明：向量组 A(1 2 ), A(2 3 ), A(1 3 ) 线性无关的充要条件是 A 为可
.
（13）设 x
>0 时，可微函数
f (x) 及其反函数 g(x) 满足关系式
f 0
(x)
g (t )dt
1 3
3
(x2
8)
，
2
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则 f (x)
.
（14）计算不定积分
a2
sin 2
tan x x b2
cos2
x
dx
.（其中 ab 0 ）
2 1 1
（ 15 ） 已 知 向 量
f (0) 0
，
x 0,
f (0) 0 ， f (0) 0 ，则 x 0 是 F (x) 的（ ）
（A）第一类间断点 （C）第二类间断点
（B）连续点 （D）连续点或间断点不能由此确定
（3）设函数 f (x) 连续，则下列函数必为偶函数的是（ ）
（A） x t[ f (t) f (t)]dt 0
1
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（ D ） y ( A Bx Cx2 Dx3)ex (D 0) .
（6）下列不等式中正确的是（ ）
(x2 y2 )d 0
（A） x 1
y 1
(x2 y2 )d 0
（B） x 1
y 1
(x 1)d 0
（C） x 1
y 1
（D）(x2 y2)d 0x2 Nhomakorabea y2 1
（C） x f (t 2 )dt 0
（B） x t[ f (t) f (t)]dt 0
（D） x f 2 (t)dt 0
（4）二元函数 f (x, y) sin(xxy) , x 0, 在 (0, 0) 点处（ ） 0, x 0.
（A）连续，且
f
x
(0,
0),
f
y
(0,
0)
存在
（B）连续，但
(1, k,1)T
是矩阵
A
1
2
1
的逆
矩
阵的
特
征向
量，
则
1 1 2
k
.（其中 k 0 ）
（16）已知事件 A, B 满足 P( AB) P( AB) ，记 P( A) p ，则 P(B)
.
三、解答题：17~22 小题，共 70 分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说
明、证明过程或演算步骤.
（A） 1
（B） 3
（C） 0
（D）1
（9）随机事件
A,
B
满足
P( A)
P(B)
1 2
，
P(
A
B)
1 ，则有（
）
（A） A B （B） AB （C） P( A B) 1 （D） P( A B) 0
（10）设随机变量 X N (0,1),Y N (0,1) ，则（ ）
（A） X Y 服从正态分布
（B） X 2 Y 2 服从 2 分布
（C） X 2 和 Y 2 服从 2 分布
（D）
X2 Y2
服从
F
分布
二、填空题：11~16 小题，每小题 5 分，共 30 分，请将答案写在答．题．纸．指定位置上.
（11）设
a
1 2
，则
lim
n
ln
n 2na 1n
n(1 2a)
.
（12） y ln x 的最大曲率为
f ( ) f (t)dt . 0
（19）（本题满分 10 分）求 f (x, y) x xy x2 y2 在闭区域
D {(x, y) | 0 x 1, 0 y 2} 上的最大值和最小值.
（20）（本题满分 11 分）求抛物面 z 1 x2 y2 的一个切平面，使该切平面与抛物面
绝密★启用前
考生姓名 考生编号
2021 年全国硕士研究生招生考试模拟二
数学（一）试题
（科目代码： 301 ） 考生注意事项
1.考生必须严格遵守各项考场规则。 （1）考生在考试开考 15 分钟后不得入场。 （2）交卷出场时间不得早于考试结束前 30 分钟。 （3）交卷结束后，不得再进考场续考，也不得在考场附近逗留或交谈。 2.答题前，应按准考证上的有关内容填写答题卡上的“考生姓名”“报考单位”“考生 编号”等信息。 3.答案必须按要求填涂或写在指定的答题卡上。 （1）填涂部分应该按照答题卡上的要求用 2B 铅笔完成。如要改动，必须用橡皮擦干净。 （2）书写部分必须用（蓝）黑色字迹钢笔、圆珠笔或签字笔在答题卡上作答。字迹要清 楚。 4.考试结束后，将答题卡装入原试卷袋中，试卷交给监考人员。
（17）（本题满分 10 分）计算不定积分
dx (x2 1)(x2 x) 。
（ 18 ）（ 本 题 满 分 10 分 ） 设 f (x) 在 区 间 [0,1] 上 可 微 ， 当 0 x 1 时 ， 恒 有
0 f (1) f (x) ， 且 f (x) f (x) . 证 明 ： 在 (0,1) 内 存 在 唯 一 的 点 ， 使 得
f
x
(0,
0),
f
y
(0,
0)
不存在
（C）不连续，但
f
x
(0,
0),
f
y
(0,
0)
存在
（D）不连续，且
f
x
(0,
0),
f
y
(0,
0)
不存在
（5）微分方程 y 2 y y ex 的特解形式为（ ）
（ A ） y Aex ( A 0) .
（ B ） y ( A Bx)ex (B 0) . （ C ） y ( A Bx Cx2 )ex (C 0) .
1
（7）已知
A
（A） O
2
，则
B
(
A
1E
)(
A
2
E )(
A
3E )
（
）
3
（B） E
（C） 2E
（D） E
（8）设1 (1, 2,1)T ,2 (2,3, a)T ,3 (1, a 2, 2)T ，若 1 (1,3, 4)T 能由
1, 2 ,3 线性表示， 2 (0,1, 2)T 不能由1, 2 ,3 线性表示，则 a （ ）