知识点1——向量组及其线性相关性

知识点4 向量的线性相关性
1、 向量组的线性相关性 1）.向量组线性相关的概念 定义： 给定向量组12,,
,:m a a a A ,若存在不全为零的数12,,
,m k k k ,使
11220m m k k k ααα+++=
则称向量组A 是线性相关的.否则称它为线性无关.
注1 向量组1,
,m a a 线性无关 ⇔ 10n λλ===时,才有11220n n λαλαλα+++=.
注2 对于一个向量组,不是线性相关,就是线性无关.
注3 只含一个向量a 的向量组,若0a =,则它线性相关;若0a ≠,则它线性无关. 注4 任一含有零向量的向量组线性相关.
注5 两个向量线性相关的充要条件是其对应分量成比例.
注6 两向量线性相关的几何意义是两个向量共线;三个向量线性相关的几何意义是三个向量共面.
2）.向量组线性相关的条件 定理1 向量组12,,
,m ααα线性相关的充分必要条件是它所构成的矩阵
12(,,,)m =A ααα的秩小于向量的个数m （()R m <A ）；向量组12,,
,m ααα线性无关
的充分必要条件是它所构成的矩阵12(,,,)m =A ααα的秩等于向量的个数m
（()R m =A ）. 可以总结为： 向量组12,,
,:m a a a A 线性相关
⇔有不全为零的数12,,
,m k k k 使11220m m k k k ααα++
+=.
⇔齐次线性方程组11220m m x x x ααα+++=有非零解.
⇔()R A m < ,其中12,,
,()m a a a A =.
向量组12,,
,:m a a a A 线性无关
⇔齐次线性方程组11220m m x x x ααα+++=只有零解.
⇔()R A m = ,其中12,,
,()m a a a A =.
推论1 m 个m 维向量组12,,
,m a a a 线性相关⇔0A = ,其中12,,
,()m a a a A =.
例1 证明n 维单位坐标向量组12100010,,
,001n e e e ⎛⎫⎛⎫
⎛⎫
⎪ ⎪
⎪
⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
线性无关.
证法一 设11220n n k e k e k e +++=,则由121122000n n n k k k e k e k e k ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪
⎪ ⎪
++
+== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭知,10n k k ===,故n 维单位向量组12,,,n e e e 线性无关.
证法二
12100010(,,
,)001n A e e e ⎛⎫ ⎪
⎪== ⎪
⎪⎝⎭
()R A n ∴=
∴ n 维单位向量组12,,
,n e e e 线性无关.
例2 已知123102124157a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪
=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，，，讨论向量组123,,a a a 及向量组12,a a 的线性相关
性.
解
123102102(,,)124~022157000A a a a ⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪
== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
12123(,)(,,)2R a a R a a a ∴==
∴ 向量组向量组123,,a a a 线性相关,而向量组12,a a 的线性无关.
例3 设向量组123,,a a a 线性无关,112223331,,b a a b a a b a a =+=+=+,讨论向量组
123,,b b b 的线性相关性.
解法一 设存在123,,x x x 使1122330x b x b x b ++=,即
112223331()()0,x x x αααααα+++++=（）
亦即 131122233)()()0. x x x x x x ααα+++++=（
123ααα，，线性无关
131223
000x x x x x x +=⎧⎪
∴+=⎨⎪+=⎩ (1)
10111020011
=≠ ∴ 方程组(1)只有零解1230x x x === ∴ 向量组123,,b b b 线性无关.
解法二 记123123101(,,),(,,),110011A a a a B b b b K ⎛⎫
⎪=== ⎪ ⎪⎝⎭
123123101(,,)(,,)110011b b b a a a ⎛⎫
⎪= ⎪
⎪⎝⎭
B AK ∴=
20K =≠ ()()R A R B ∴=
向量组123,,a a a 线性无关 ()3R A ∴= ()3R B ∴=
∴ 向量组123,,b b b 线性无关.
2. 向量组线性相关的性质 性质1 向量组12,,,:(1)m a a a A m >线性相关⇔A 中至少有一个向量可由其余向量线性表示.
证明 设向量组12,,
,:m a a a A 线性相关,则有不全为零的数12,,
,m k k k 使
11220m m k k k ααα+++=
不妨设10k ≠,则23123111m m k k k k k k αααα⎛⎫⎛⎫
⎛⎫
=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
,即1a 可由2,,m a a 线性表
示;
反之,设向量组A 中有一个向量可由其余1m -个向量线性表示,不妨设为m a ,则存在实数
121,,,m λλλ-使 112211m m m a λαλαλα--=+++,故
()11221110m m m a λαλαλα--++
++-=.因为121,,
,,1m λλλ-- 这m 个数不全为零,所
以向量组A 线性相关. 性质2 若向量组12,,,:m a a a A 线性相关,则向量组112,,,:,m m a a a a B +也线性相关;反之, 若向量组112,,,:,m m a a a a B +也线性无关,则向量组12,,
,:m a a a A 也线性无关.
注1 性质1的结论可以简述为:部分相关则整体相关,整体无关则部分无关.
证明 记12,,
,()m a a a A =11,,(,)m m a a a B +=,则()()1R B R A ≤+.由于若向量组A 线
性相关,故()R A m <,于是()()11R B R A m ≤+<+,从而向量组B 线性相关.
性质3 若n 维向量组11121212221212,,:,m m m n n nm a a a a a a a a a A a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪
⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
⎝⎭
线性无关,则n s +维向量组
111212122212121112112,
,:,m m m n n nm m s s sm a a a a a a B b a b a b a b b b b b b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎪ ⎪
⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
⎝⎭
也线性无关. 注2 性质2可简述为:无关组添加分量后仍无关;反言之,相关组减少分量后仍相关.
证明 记12,,
,()m a a a A =,12,,
(,)m B b b b =,则()()R A R B m ≤≤.由于向量组A 线性
无关,故()R A m =,于是()R B m =,从而向量组B 线性无关. 性质4 当m n >时,m 个n 维向量线性相关.
注3 性质3可简述为:向量个数大于维数时必线性相关. 证明 记m 个n 维向量12,,,m a a a 构成矩阵12,,
,()m m n a a a A ⨯=,则()R A n m ≤<,故向
量组 12,,
,m a a a 线性相关.
性质5 若向量组12,,,:m a a a A 线性无关,而向量组12,,,:,m a a a B b 线性相关,则向量b
可由向量组A 线性表示,且表示方式是惟一的.
证明 记12,,
,()m a a a A =1,,(,)m a a B b =.
由于向量组A 线性无关,故()R A m =,又()()R B R A m ≥=; 由向量组B 线性相关知()1R B m <+.于是()1m R B m ≤<+,
所以()()R A R B m ==,方程组Ax b =有唯一解.这表明向量b 可由向量组A 线性表示,且表示方式是惟一的.
例4 设向量组123,,a a a 线性相关,而向量组234,,a a a 线性无关,证明
(1) 1a 能由23,a a 线性表示; (2) 4a 不能由123,,a a a 线性表示. 证明 (1) 向量组234,,a a a 线性无关 ∴ 向量组23,a a 线性无关 又
向量组123,,a a a 线性相关
∴ 1a 能由23,a a 线性表示
(2) 假设4a 能由123,,a a a 线性表示,由于1a 能由23,a a 线性表示,故设4a 能由23,a a 线性表示,矛盾.。