频率特性分析
系统的频率特性分析(第二讲)
-45°
-90° 111
20T 10T 5T
112 2T T T
5 10 20 TTT
一阶惯性环节伯德图
一阶微分环节的Bode图与惯性环节的Bode图关于 横轴对称。
二阶微分环节的频率特性
③ 二阶微分环节： G(s) 2s2 2 s 1
幅频和相频特性为：
A
(1 22 )2 (2 )2 ,() arctan 2 1 22
常数T变化时，对数幅频特性和对数相频特性的形状都不变，
仅仅是根据转折频率1/T的大小整条曲线向左或向右平移即可。
而当增益改变时，相频特性不变，幅频特性上下平移。
G(s) 5 s 1
当增益 改变时， 相频特 性不变， 幅频特 性上下 平移。
Matlab 绘制的惯性环节的Bode图
4
振荡环节（要重视）G(s)
0.7 0.8 1.0
5
10
T
T
-30°
-60°
0.1
-90° 0.2
0.3
-120° 0.5
-150° 0.7
1.0
-180°
1
1
10T 5T
1
1
2
2T
T
T
左图是不同阻尼系数情况下 的对数幅频特性和对数相频 特性图。上图是不同阻尼系 数情况下的对数幅频特性实 5 10 际曲线与渐近线之间的误差 T T 曲线。
1
0.086 0.34 1.29 2.76 4.30 6.20 4.30 2.76 1.29 0.34 0.086
K 10,T 1, 0.3
G(
j )
s2
10 0.6s
1
o
1 T
40dB/ Dec
机械控制基础4-频率特性分析
频率特性分析的重要性
01
频率特性分析是控制系统设计和 分析的重要手段，它可以帮助我 们了解系统的动态性能，预测系 统的稳定性，优化系统的参数。
02
在实际工程中，频率特性分析的 应用非常广泛，如航空航天、化 工、电力、交通等领域的控制系 统设计和分析。
频率特性分析的历史与发展
频率特性分析起源于20世纪30年代，随着控制理论和技术的 不断发展，频率特性分析的方法和手段也不断完善和丰富。
02
非线性系统的频率响应与线性系统不同，不能用常规的频率特
性分析方法来描述。
非线性系统的频率特性分析需要采用更为复杂的数学模型和计
03
算方法，增加了分析的难度和复杂性。
系统不确定性对频率特性的影响
1
系统参数的不确定性可能导致频率特性分析结果 的误差，如系统元件的容差、老化等。
2
不确定性因素可能影响系统的稳定性和性能，导 致频率特性分析结果无法准确预测系统行为。
03
频率特性分析的局限性在于它 只能提供系统的稳态信息，无 法反映系统的动态过程和瞬态 行为。
未来研究方向与展望
深入研究频率特性分析的 理论基础，提高分析的精 度和可靠性。
将频率特性分析与现代控 制理论、智能控制等相结 合，实现更高效、智能的 控制。
ABCD
探索新的频率特性分析方 法，以满足不同类型控制 系统的需求。
04
03 频率特性通过实验测试系统在各种频率下的响应，从而获得系统的频率特 性。
优点
直接获取实际系统的频率特性，不受数学模型准确性的限制。
缺点
需要大量实验资源和时间，且可能受到实验环境和测试误差的影响。
解析法
定义
通过数学解析的方法，推导系统的频率特性。
第五章 频率特性分析法
由于 G( j ) G(s) s j 是一个复数，可写为
G( j ) G( j ) e
jG ( j )
A( )e
j ( )
G( j ) 和 G( j )是共轭的，故 G( j ) 可写成
G( j ) A( )e
j ( )
R Kc A( )e j ( ) 2j R K c A( )e j ( ) 2j
Kc e
jt
K c e
jt
若系统稳定， G ( s ) 的极点均为负实根。当 t 时得 c(t ) 的稳态分量为 css (t ) lim c(t ) K c e jt K c e jt
t
R G ( j ) R 其中 K c G( s) ( s j ) s j ( s j )(s j ) 2j R G ( j ) R K c G ( s) ( s j ) s j ( s j )(s j ) 2j
为方便讨论，设所有极点为互不相同的实数。
若输入信号为正弦函数，即
r (t ) R sin t
其拉氏变换为
R R R( s ) 2 2 s ( s j )(s j )
N ( s) X 则 C ( s) ( s p1 )(s p2 ) (s pn ) ( s j )(s j )
第5章 线性系统的频域分析法
频率特性是研究控制系统的一种工程方法， 应用频率特性可间接地分析系统的动态性能和稳 态性能。频域分析法的突出优点是可以通过实验 直接求得频率特性来分析系统的品质，应用频率 特性分析系统可以得出定性和定量的结论，并具 图表及经验公式。
有明显的物理含义，频域法分析系统可利用曲线、
频率特性分析方法
（2）放大环节
Im
G(s) K G( j) K
φ
方法② 直接用频率特性测试仪测取，直接在X-Y 记录仪上显示 x jy或者 B e j 。
A
例1：某系统的传递函数为G：(s)
2(s s2
2)
当输入信号为：r(t) sin(t 1000 )
求出它的稳态输出响应。
解：
G(
j
2( j j )2
如何求模和相角？
G( j
tg1 1800
sin e j e j
2j
t 2
r=Asinωt
K Ts 1
Yss
KA
1 T 2 2
sin(
t
2 )
稳态输出仍是一个正弦信号，输出幅值和相位发生 了变化，角频率ω没变。
稳态输出与输入 r Asint 比较可得：
幅值比 B
K
A 1 T 22
相位差 2 arctg(T )
2
KU 2 U2 V 2
整理：U 2
V
2
KU
经配方，
即：
U
K 2
2
U V 2
K 2
2
圆的方程。圆心 (K/2, j0),半径K/2。
G( j 与G( j 为共轭复数。
当ω: -∞→+∞，得到完整的频率特性。 顺时针方向是频率特性变化的方向，即ω增加的方向。
Im
K Re
G( j) 为频率特性，是一复数，模 K 为系统的幅
1 T 22
值比
B ，其相角 A
2 为系统的相位差。
推广到一般的情况，对于任何线性定常系统，只 要将传递函数中的变量s用jω代替，便得到了系统的 频率特性。
第四章系统的频率特性分析
第四章 频率特性分析4.1 什么是频率特性？解 对于线性定常系统，若输入为谐波函数，则其稳态输出一定是同频率的谐波函数，将输出的幅值与输入的幅值之比定义为系统的幅频特性；将输出的相位于输入的相位之差定义为系统的相频特性。
将系统的幅频特性和相频特性统称为系统的频率特性。
4.2 什么叫机械系统的动柔度，动刚度和静刚度？解 若机械系统的输入为力，输出为位移（变形），则机械系统的频率特性就是机械系统的动柔度；机械系统的频率特性的倒数就是机械系统的动刚度；当0=w 时，系统频率特性的倒数为系统的静刚度。
4.3已知机械系统在输入力作用下变形的传递函数为 12+s (mm/kg)，求系统的动刚度，动柔度和静刚度。
解 根据动刚度和动柔度的定义有 动柔度()()()12+====jw jw s s G jw G jw λ mm/kg 动刚度 )(jw K =)(1jw G =21+jw kg/mm 静刚度 ()()5.0021010==+====K w jw w jw G w jw kg/mm4.4若系统输入为不同频率w 的正弦函数Asinwt,其稳态输出相应为Bsin(wt+ϕ).求该系统的频率特性。
解：由频率特性的定义有 G （jw ）=AB e jw。
4.5已知系统的单位阶跃响应为）（。
t x =1-1.8te 4-+0.8te9-，试求系统的幅辐频特性与相频特性。
解：先求系统的传递函数，由已知条件有）（。
t x =1-1.8te 4-+0.8te9-（t 0≥））（S X i =s 1）（。
S X =s 1-1.841+s +0.891+s ）（S G =）（）（。
S X S X =()()9436++s s ）（jw G =jw s s G =）（=()()jw jw ++9436）（w A =）（jw G =22811636ww +•+）（w ϕ=0-arctan 4w -arctan 9w =-arctan 4w -arctan 9w4.6 由质量、弹簧、阻尼器组成的机械系统如图所示。
机械控制工程之频率特性分析
机械控制工程之频率特性分析介绍机械控制工程中的频率特性分析是一种重要的分析方法，用于研究机械系统的动态响应和导致系统稳定性的因素。
频率特性分析可以帮助工程师了解机械系统的频率响应特性，从而进行系统设计、调节和优化。
频率特性分析通常通过传递函数来描述机械系统的响应特性。
传递函数是一个复数函数，它描述了输入信号与输出信号之间的关系。
在频率特性分析中，我们主要关注系统的幅频特性和相频特性。
幅频特性分析幅频特性分析是研究机械系统振幅响应随频率变化的分析方法。
通过幅频特性分析，我们可以了解机械系统在不同频率下的振幅响应情况。
在幅频特性分析中，我们会绘制振幅频率响应曲线（Bode图）。
Bode图是一种以对数坐标绘制的图形，横坐标表示频率，纵坐标表示振幅，通常使用分贝（dB）作为单位。
Bode图可以同时展示系统的增益和相位信息。
根据系统的传递函数，我们可以计算出不同频率下的系统增益和相位，并在Bode图上绘制出相应的曲线。
通过分析和比较Bode图，我们可以判断系统的稳定性、共振频率以及衰减能力等重要的特性。
幅频特性分析可以帮助我们设计合适的控制系统来满足特定的性能要求。
例如，如果我们希望系统具有较好的稳定性，我们可以通过调整系统的增益来实现；如果系统存在共振频率，我们可以通过调整系统的参数来避免或抑制共振现象。
相频特性分析相频特性分析是研究机械系统相位差随频率变化的分析方法。
通过相频特性分析，我们可以了解机械系统在不同频率下的相位响应情况。
在相频特性分析中，我们同样会绘制相频响应曲线。
相频响应曲线展示了系统的相位角随频率变化的情况。
相位角是指输入信号和输出信号之间的相位差，通常使用角度表示。
通过分析相频响应曲线，我们可以获得系统的相移角信息。
相移角的变化直接影响系统的稳定性和频率响应。
在设计机械控制系统时，我们通常会根据目标性能来调整系统的相位差，以实现系统的稳定性和响应速度。
频率特性分析的应用频率特性分析在机械控制工程中具有广泛的应用。
频率特性分析
弹簧阻尼系统对正弦输入的稳态响应
例：机械系统如下图所示，k为弹簧刚度系数，c为阻尼系数， 当输入正弦力信号 f(t)=Fsinωt时，求位移x(t)的稳态输出。
解 该系统的传递函数为：
f(t)=Fsinωt
输入信号的拉氏变换为：
k
位移输出的拉氏变换为：
c
取拉氏反变换，位移输出为
如果系统稳定，频率响应包含二部分：瞬态响应和稳态响 应。瞬态响应不是正弦波，趋于0；稳态响应部分，是与 输入信号频率相同的正弦波，但幅值、相位不同。 所以稳态位移输出为：
10
0
10
1
10
2
2.积分环节
1 G(j) j
L() 20lg
1 20lg j
() 90
各型乃氏图的低频段
对于0型系统，当ω→∞时，幅角为-90°(m-n)
乃氏图的高频段
通常，机电系统频率特性分母的阶次 大于分子的阶次，故当 时，乃氏图 曲线终止于坐标原点处；而当频率特性分 母的阶次等于分子的阶次，当 时， 乃氏图曲线终止于坐标实轴上的有限值。 一般在系统频率特性分母上加极点， 使系统相角滞后；而在系统频率特性分子 上加零点，使系统相角超前。
当 当
ω=0
时， G(jω)= +∞∠−90°
ω = +∞时， G(jω)= 0∠−270°
其相角范围从-90º ~-270º ，因此必有与负实轴 的交点。
解方程G(j) 90º arctan() arctan(2) 180º
即
arctan(2) 90º arctan()
First-order components
4.一阶惯性环节
u ( )
机械工程控制基础(第4章 系统的频率特性分析)
（4.1.10）
根据频率特性的定义可知，系统的幅频特性和相频特性分别为：
G ( j ) Xi ( ) G ( j ) A ( ) X o ( )
（4.1.11）
故 G ( j ) G ( j ) e
j G ( j )
就是系统的频率特性，它是将 G ( s )
d dt
微分方程
dt
s 传递函数 s
系统
j
频率特性
j
图4.1.2 系统的微分方程、传递 函数和频率特性相互转换关系图
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4.1.4 频率特性的特点和作用
第1
系统的频率特性就是单位脉冲响应函数的Fourier变换，即频谱。 所以，对频率特性的分析就是对单位脉冲响应函数的频谱分析。
第2
K
所以
A
X o Xi
1 T
2
2
arctan T
或
K 1 T
2 2
e
j arctan T
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2. 将传递函数中的s换为 j (s=j )来求取
由上可知，系统的频率特性就是其传递函数G(s)中复变量s j 的特殊情况。由此得到一个极为重要的结论与方法，即将系统的传递
G
j 端点的轨迹即为频率特性的极坐标图, 或称为Nyquist 图, 如
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图4.2.1所示。它不仅表示幅频特性和相频特性, 而且也表示实频特性和
虚频特性。图中的箭头方向为从小到大的方向。
正如4.1节所述, 系统的幅频特性和相频特
性分别为
A ( ) X o ( ) Xi G
第四章 频率特性分析(第9讲)
xo (t ) =
XiK 1+ T ω
2 2
sin(ωt − arctan Tω )
从上式可知，系统的稳态响应的幅值与系统的参数即 比例系数K、时间常数T以及输入谐波的幅值 X i 、频率 ω有关； XiK 幅值 1 + T 2ω 2 相位差
G ( jω ) = Re[G ( jω )] + Im[G ( jω )] = u (ω ) + jv (ω )
G ( jω ) = Re[G ( jω )] + Im[G ( jω )] = u (ω ) + jv (ω )
式中， u (ω ) 是频率特性的实部，称为实频特性， v (ω ) 是频率特性的虚部，称为虚频特性。 显然有：u (ω ) = A(ω ) cos ϕ (ω ),
也是一个复数，可以写成：
G ( jω ) = G ( jω ) e j∠G ( jω ) = A(ω )e jϕ (ω )
因此，传递函数与频率特性的关系为：
G ( jω ) = G ( s ) s = jω
G ( jω ) = G ( s ) s = jω
传递函数的复变量s用jω代替后，传递函数就 变为频率特性。它是传函的特例，是定义在复 平面虚轴上的传递函数。 频率特性的量纲就是传递函数的量纲，也是输 出信号与输入信号的量纲之比。同前面介绍的 微分方程、传递函数、脉冲响应函数等一样， 也是线性控制系统的数学模型。
X iω bm s m + bm −1s m −1 + ⋅⋅⋅ + b1s + b0 X o ( s ) = X i ( s )G ( s ) = 2 ⋅ 2 s + ω an s n + an −1s n −1 + ⋅⋅⋅ + a1s + a0
控制工程基础第六章频率特性分析
二、典型环节的极坐标图
1.比例环节（放大环节） 频率特性为 G( j ) K
K
幅频特性
相频特性
G( j) K
0
0
G( j )＝0
图6-2-1 比例环节的极坐标图
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15
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第六章 频率特性分析
j
1 2.积分环节 G ( s ) s
1 频率特性 G ( j ) j
() G( j)
page
6
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第六章 频率特性分析
系统的稳态输出与输入是同频率的正弦函数，输出振幅 与相位角虽与输入不同，但都与下式有关：
G( j) G( j) e
控 制 工 程 基 础
G ( j )
A()e
j ( )
定义G( j) 为该系统的频率特性（Frequency Characteristic）。
将B和D代入式(6-1-5)，得
e j t G ( j ) e j t G ( j ) c(t ) M G ( j ) 2j M G ( j ) sin t G ( j ) N sin t ( )
其中
(t 0)
N G( j ) M
控 制 工 程 基 础
（一）最小相位系统(Minimum Phase System)
G 系统的开环传递函数 (s ) 在中右半s 平面内既无极点也无零点
（二）非最小相位系统(Non-Minimum Phase System)
系统的开环传递函数在右半平面内有零点或者极点。
Ga ( s )
s 1
T ( ) ( j ) arctan K 1
page
第四章系统的频率特性分析
第四章系统的频率特性分析第四章系统的频率特性分析时间响应分析：主要用于分析线性系统的过渡过程，以时间t为独立变量，通过阶跃或脉冲输入作用下系统的瞬态时间响应来研究系统的性能；依据的数学模型为G(s)频率特性分析：以频率ω为独立变量，通过分析不同的谐波输入时系统的稳态响应来研究系统的性能；依据的数学模型为G(jω)频域分析的基本思想：把系统输入看成由许多不同频率的正弦信号组成，输出就是系统对不同频率信号响应的总和。
4.1频率特性概述1.频率响应与频率特性（1）频率响应：线性定常系统对谐波输入的稳态响应。
（frequencyresponse）对稳定的线性定常系统输入一谐波信号xi(t)=Xisin?t稳态输出（频率响应）:xo(t)=Xo(?)sin[ωt+?(ω)]【例】设系统的传递函数为输入谐波信号xi(t)=Xisin?t 则稳态输出（频率响应）与输入信号的幅值成正比与输入同频率，相位不同进行laplace逆变换，整理得同频率?幅值比A(?)相位差?(?)ω的非线性函数(揭示了系统的频率响应特性)输入:xi(t)=Xisinωt稳态输出（频率响应）:xo(t)=XiA(?)sin[ωt+?(ω)]幅频特性：稳态输出与输入谐波的幅值比相频特性：稳态输出与输入谐波的相位差?(?)[s]A(?)?(?)（2）频率特性：对系统频率响应特性的描述(frequencycharacteristic)频率特性定义为ω的复变函数，幅值为A(?)，相位为?(?)。
输入谐波函数xi(t)=Xisin?t，其拉式变换为2.频率特性与传递函数的关系设系统的微分方程为:则系统的传递函数为:则由数学推导可得出系统的稳态响应为根据频率特性定义，幅频特性和相频特性分别为故G(j?)=?G(j?)?ej?G(j?)就是系统的频率特性如例1，系统的传递函数为所以3.频率特性的求法(1)频率响应→频率特性稳态输出（频率响应）故系统的频率特性为或表示为(2)传递函数→频率特性将传递函数G(s)中的s换成jω，得到频率特性G(jω)。
第四章 系统的频率特性分析
61
4.2 频率特性的图示方法(典型环节的Bode图)
62
4.3 频率特性的特征量
如图4.31所示，在频域分析时要用到的一些有关频率的特征量 或频域性能指标有 A(0)、wm、wr（Mr）、wb。
1．零频幅值 A(0 ) 零频幅值A(0 )表示当频率ω 接近于零时，闭环系统稳态输出 的幅值与输入幅值之比。
解：根据回路电压定律有
系统的传递函数为：
系统的频率特性为 ：
系统的幅频特性为：
17
4.1 频率特性概述
系统的相频特性为：
根据系统频率特性的定义有 ，系统稳态输出为：
18
4.1 频率特性概述
例4.4 系统结构图如图所示。当系统的输入 时，测得 系统的输出 ，试确定该系统的参数nω,ξ。 解：系统的闭环传递函数为:
因为，如果不知道系统的传递函数或微分方程等数学模型就无法
用上面两种方法求取频率特性。在这样的情况下，只有通过实验 求得频率特性后才能求出传递函数。这正是频率特性的一个极为 重要的作用。
12
4.1 频率特性概述
三、 根据定义来求，此方法麻烦。
13
4.1 频率特性概述
四、
14
4.1 频率特性概述
五、
27
4.2 频率特性的图示方法(典型环节的Nyquist图)
所以，微分环节频率特性的nyquist图是：
28
4.2 频率特性的图示方法(典型环节的Nyquist图)
29
4.2 频率特性的图示方法(典型环节的Nyquist图)
30
4.2 频率特性的图示方法(典型环节的Nyquist图)
31
4.2 频率特性的图示方法(典型环节的Nyquist图)
第4章频率特性分析
System: sys Real: 4.17 Imag: -5.42
Frequency (rad/sec): 0.11
System: sys Real: 8.5
n
C(s) (s)R(s)
Ci
B
D
i1 s si s j s j
B
(s)R(s)(s
j
s j
(
j)R0
1 2j
1 2
(
j)
j[( j ) ]
R0e
2
D
1 2
( j)
j[( j) ]
R0e
2
拉氏反变换，可求得系统的输出为
n
c(t) Ciesit Be j t De j t i 1
d mr(t) dt m
bm1
d m1r(t) dt m1
b1
dr(t) dt
b0 r (t
)
线性定常系统 c(t) 图
与其对应的传递函数为
(s)
C(s) R(s)
bm s m an s n
bm1sm1 b1s b0 an1sn1 a1s a0
r(t) R0 sin t
R(s) R0 s2 2
4.2.2 频率特性的对数坐标图 常见的对数坐标图见P150表4.2.2。
光盘，第4章的Section1~5。
例 某最小相位系统的对数幅频特性的渐近线 如图所示，确定该系统的传递函数。
G(s)
K (1 1 s) 2 10
K (1 0.1s) 2
s(1 1 s) 2 s(1 5s) 2
0.2
例
绘制系统的开环Nyquist图。
系统的频率特性分析
例4.3 一典型质量－弹簧－阻尼系统如图所示，系统输入 力f(t)为矩形波。f(t)=f(t-2T)，试求系统的输出位移x(t)。 解：系统的传递函数为
X (s) 1 2 F ( s ) ms Bs k
幅频特性
C( )= j 1
2 ( - m 2 ) + B 2 2 k
相频特性
B G( ) - arctan j = = ( ) 2 k - m
K （ 如图所示系统，传递函数为G s）＝ Ts＋1，求系统的
解：令 s＝j 则系统的频率特性为
K G j）＝ （ jT＋1
系统的幅频特性为
K K G j） （ ＝ ＝ jT＋ 1 1＋T 2 2
系统的相频特性为：
＝G j）＝－arctanT （
系统的稳态响应为：
（t）＝ c AK 1＋T 2 2 sin t－arctanT） （
jt
* jt
t e
k s jt
xi xi jG j xi s j s j G j G j e B Gs s j s j 2j 2j
xi xi jG j B G j G j e 2j 2j
1
4 单位负反馈系统的开环传递函数为 Gs ss 2
若输入信号为
xi t 2 sin 2t
试求系统的稳态输出和稳态误差。
4 G B s 2 s 2s 4
G j
G j
4 4 2 j 2
4
4
2 2
F j） （ X1 j）＝ （ K j） （
由频率响应可知，当系统输入为正弦信号时，系统 （ 输出为同频率正弦信号。显然要使 X1 j） 0 ,则应使 K j） （ k2 2 k2－m2 ＝0 = 2 m2 即当选择吸振器参数满足上式时，可使质量 m1 的振 幅为零，施加于 m1 的干扰被 m2 和 k2 吸收了，这就 是振动控制中的吸振器。
控制工程基础第四章频率特性分析
ξ
=0.1
ξ
=0.1
-90
-180 10 -1 10 0 10 1
4.1.3
频率特性的物理意义
1．频率特性实质上是系统的单位脉冲响应函数的Fourier变换。 即 G ( jω ) = F [ w(t )] 。 2．频率特性分析通过分析不同的谐波输入时的稳态响应，揭示 系统的动态特性。 3．频率特性分析主要针对系统的稳态响应而言，应用频率特性 的概念可以非常容易求系统在谐波输入 作用下系统的稳态响应。另外，系统频 率特性在研究系统的结构与参数对系统 性能的影响时，比较容易。 4．频率特性分析在实验建模和复杂系统分 析方面的应用要比时域分析法更方便。
A(ω )e jϕ (ω )
4.1.2 频率特性的求法
1.用拉氏逆变换求取 用拉氏逆变换求取
xi (t ) = X i sin ω t
X i ( s ) = L[ xi (t )] = L[ X i sin ω t ] =
X o (s) = G (s) X iω s2 + ω 2 X iω −1 xo (t ) = L [G ( s ) 2 ] 2 s +ω
2.Bode图 2.Bode图：以ω的常用对数值为横坐标，分别以 20 lg A(ω ) 和 Bode 对数幅频特性图和对数相频特性 对数幅频特性图 ϕ (ω ) 为纵坐标画出的曲线，称为对数幅频特性图 对数相频特性 对数坐标图，又称为Bode图。 图，统称为频率特性的对数坐标图 对数坐标图
dB
A( ω ) =20 lg G( jω )
xo (t ) = X o (ω ) sin (ω t + ϕ (ω ))
第4章 频域特性分析
二、 频率特性及其求法
1.定义： 频率特性就是指线性系统或环节在正弦函数作用 下，稳态输出与输入之比对频率的关系特性。又 称正弦传递函数。频率特性是个复数，可分别用 幅值和相角来表示。 频率特性一般可通过以下三种方法得到: (1) 根据已知系统的微分方程或传递函数，把 输入以正弦函数代入，求其稳态解，取输出稳态 分量和输入正弦函数的复数之比即得。 (2) 根据传递函数来求取。 (3) 通过实验测得。
右边第一项为稳态分量，第二项为瞬态分量。 例系数A(ω)以及输入输出间的相位角φ(ω)， 两个 量都是频率 ω的函数，并与系统参数 k、c有关。 随时间 t ∞ ， 瞬态分量衰减为零，所以稳态位移 输出为 1k
x t 1 T
2 2
F sin t arctgT
AF sin T X sin T
XiK T K X i w t 有 x o (t ) sin( wt arctgTw) e T 2 2 T w 1 1 T 2 w2
稳态响应 瞬态响应
K X o ( w) A ( w ) Xi 频率特性： 1 T 2 w2 w arctgTw
幅频特性 相频特性
(2). 根据传递函数来求取。 G ( s )
s jw
G ( jw)
以jw代替s由传递函数得到的频率特性，对 线性定常系统普遍适用。
K 例：已知系统传函 G( s) 。求其频率特性。 Ts 1
K K (1 jTw) 解：由 G ( jw) G ( s ) s jw 1 jTw 1 T 2 w 2 K 虚部 G ( jw) , G jw arctg arctgTw 实部 1 T 2 w2
分析频率的特性
频率特性（又叫频率响应）
频率特性是控制系统在频域中的一种数学 模型，是研究自动控制系统的一种工程方法。
系统频率特性能间接地揭示系统的动态特 性和稳态特性，可简单迅速地判断某些环节或 参数对系统性能的影响，指出系统改进方向。
频率特性可以由实验确定，这对于难以建 立动态模型的系统来说，很有用处。
3、系统的稳态输出量与输入量具有相同的频率。 这是由于系统中的储能元件引起的。
4
4、实际系统的输出量都随频率的升高而 现失真，幅值衰减。 所以，可以将它们看成为一个“低通”滤波器。
5、频率特性可应用到某些非线性系统的分析中去。
三、频率特性的求取： 1、根据定义求取。 即对已知系统的微分方程，把正弦输入函数代入，求出其 稳态解，取输出稳态分量与输入正弦量的复数比即可得到。
Gjω 1 1 j ωT
1 jωT 1 ω2T2 1 ω2T2
Gjω 1
1ω2T2 G( j) tg 1
0
我们取三个特殊点，显然
G(j0) 1 0
G j 1 1 45 T 2
G(j) 0 - 90
不难看出，随着频率ω=0→∞变化，惯性环节的幅值逐步衰 减，最终趋于0。相位移的绝对值越来越大，但最终不会大于 90°，其极坐标图为一个半圆。
( )
0
U ( ) U
7
四、频率特性的三种图示法
1、极坐标 图 —— Nyquist图（又叫幅相频率特性、 或奈奎斯特图简称奈氏图）
2、对数坐标图——Bode图（又叫伯德图，简称伯 氏图）
3、复合坐标图——Nichocls图（又叫尼柯尔斯 图，简称尼氏图）；及一般用 于闭环系统频率特性分析的。
8
0
Im
第四章 频率特性分析解析
以R-C电路为例，说明频率特性的物理
R
意义。如右图所示电路的传递函数为：
Uo (s) G(s) 1
ui
Ui (s)
1 RCs
C uo
设输入电压 ui (t) Asin t
U o ( j) G( j) 1 1
U i ( j)
1 RCj 1 Tj
图5-3 R-C电路
式中 T=RC G(jω) 称为电 路的频率特性。
— 稳态输出信号的相位
频率特性
线性定常系统在谐波输入信号作用下的频率 响应与输入信号频率的关系称为频率特性，它包 括幅频特性和相频特性。
系统的频率响应幅值与谐波输入信号幅值之 比随输入信号频率变化的关系称为幅频特性，即
A X o G j
Xi
G j
系统的频率响应相位与谐波输入信号相位之 差 (ω)随输入信号频率变化的关系称为相频特性。
❖ 频率响应与输入谐波信号之间存在相位差 (ω)，其相 位差 (ω)随输入信号的频率ω的变化而改变。
❖ 即输出信号与输入信号的幅值比和相位差都是频率ω的 非线性函数。
频率响应演示
6 4 2 幅值 0 -2 -4 -6 -8
0
红 —输 入 ， 蓝 —全 响 应 ， 黑 —稳 态 响 应 yss(t)
频率特性记作 A(ω)·∠ (ω)
频率特性的求法
1. 根据系统的频率响应来求取；
2. 将系统传递函数G(s)中的s换为jω来求取； 3. 用试验方法求取。
当输入信号xi t
Xi
sin
t时，X i s
X i s2 2
则输出为：xos t
AX i
sin t
，X o s
AX i s sin cos
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实验三 频率特性分析一·实验目的1.掌握频率特性的基本概念，尤其是频率特性的几种表示方法。
2.能熟练绘制极坐标频率特性曲线（奈奎斯特曲线）和对数频率特性曲线，尤其要注意的是在非最小相位系统时曲线的绘制。
3.正确应用频率稳定判别方法，包括奈奎斯特稳定判据和对数稳定判据。
4.熟练正确计算相位裕量和幅值裕量。
5.掌握闭环频率特性的基本知识以及有关指标的近似估算方法。
二·实验内容1增加开环传递函数零极点个数对奈奎斯特图的影响 1）改变有限极点个数n ，使n=0,1,2,3Nyquist DiagramReal AxisI m a g i n a r y A x i s-2-101234-3.5-3-2.5-2-1.5-1-0.500.511.52n=0n=1n=2n=32）改变原点处极点个数v ，当v=1,2,3,4,Nyquist DiagramReal AxisI m a g i n a r y A x i s-2-1.5-1-0.500.511.52-2-1.5-1-0.500.511.52System: sysP hase Margin (deg): -32.9Delay Margin (sec): 4.41At frequency (rad/sec): 1.3Closed Loop Stable? No System: sysP hase Margin (deg): -121Delay Margin (sec): 3.49At frequency (rad/sec): 1.2Closed Loop Stable? NoSystem: sysP hase Margin (deg): 150Delay Margin (sec): 2.28At frequency (rad/sec): 1.15Closed Loop Stable? NoSystem: sysP hase Margin (deg): 51.8Delay Margin (sec): 0.575At frequency (rad/sec): 1.57Closed Loop Stable? Yesv=1v=2v=3v=43）改变有限零点个数m ，使m=1,2,3,4Nyquist DiagramReal AxisI m a g i n a r y A x i s-2-1.5-1-0.500.51 1.52-2-1.5-1-0.50.51System: sysP hase Margin (deg): 103Delay Margin (sec): 3.25At frequency (rad/sec): 0.55Closed Loop Stable? YesSystem: sysP hase Margin (deg): 20.6Delay Margin (sec): 0.499At frequency (rad/sec): 0.721Closed Loop Stable? Yesm=1m=2m=3m=42奈奎斯特判据与对数频率稳定判据 )1)(1()1()()(321s T s T s s T K s H s G v+++=1） 根据传递函数，由根轨迹图设定参数，使该系统成为条件稳定系统。
（K=1，v=1，T1=0.1，T2=0.2，T3=0.5）。
2） K 的取值范围。
3） 分别使K1小于，K2等于，K3大于临界稳定值，观察奈氏图与伯德图的变化，总结频率响应的稳定判别方法。
4） 在奈氏图和伯德图上分别读出幅值裕度和相角裕度，指明他们的对应关系。
K=1Root LocusReal AxisI m a g i n a r y A x i s-10-8-6-4-202-20-15-10-55101520System: sys Gain: 24.2P ole: 0.00586 + 5.87i Damping: -0.000998Overshoot (%): 100Frequency (rad/sec): 5.87奈氏图Nyquist DiagramReal AxisI m a g i n a r y A x i s-2-1.5-1-0.500.511.52-2-1.5-1-0.50.511.52System: sys2P hase Margin (deg): -2.2Delay Margin (sec): 0.966At frequency (rad/sec): 6.46Closed Loop Stable? NoSystem: sys1P hase Margin (deg): 60.7Delay Margin (sec): 1.18At frequency (rad/sec): 0.901Closed Loop Stable? YesSystem: sys3P hase Margin (deg): 178Delay Margin (sec): 0.48At frequency (rad/sec): 6.46Closed Loop Stable? NoK1=1K2=30K3=-30伯德图Bode DiagramFrequency (rad/sec)-100-5050System: sys2Gain Margin (dB): -2.18At frequency (rad/sec): 5.77Closed Loop Stable? NoSystem: sys1Gain Margin (dB): 27.4At frequency (rad/sec): 5.77Closed Loop Stable? YesM a g n i t u d e (d B )10-1100101102-270-180-9090System: sys3P hase Margin (deg): 178Delay Margin (sec): 0.48At frequency (rad/sec): 6.46Closed Loop Stable? NoSystem: sys2P hase Margin (deg): -2.2Delay Margin (sec): 0.966At frequency (rad/sec): 6.46Closed Loop Stable? NoP h a s e (d e g )System: sys1P hase Margin (deg): 60.7Delay Margin (sec): 1.18At frequency (rad/sec): 0.901Closed Loop Stable? Yes3非最小相位系统的奈奎斯特图 )4)(3)(2)(1()5(25)()(11s s s s s s H s G +++++=)4)(3)(2)(1()5(25)()(22s s s s s s H s G ++++--=Nyquist DiagramReal AxisI m a g i n a r y A x i s-6-4-20246-5-4-3-2-1012345System: sys2Phase Margin (deg): 150Delay Margin (sec): 1.12At frequency (rad/sec): 2.34Closed Loop Stable? NoSystem: sys1Phase Margin (deg): 20.5Delay Margin (sec): 0.153At frequency (rad/sec): 2.34Closed Loop Stable? YesBode DiagramFrequency (rad/sec)-150-100-5050System: sys1Gain Margin (dB): 4.71At frequency (rad/sec): 3.05Closed Loop Stable? YesM a g n i t u d e (d B )10-210-1100101102103-270-180-90090180System: sys2P hase Margin (deg): 150Delay Margin (sec): 1.12At frequency (rad/sec): 2.34Closed Loop Stable? NoP h a s e (d e g )System: sys1P hase Margin (deg): 20.5Delay Margin (sec): 0.153At frequency (rad/sec): 2.34Closed Loop Stable? Yes4闭环频率特性曲线与系统动态性能的关系系统如下：1)(,)4(4)(=+=s H s s s G ζ444)()(2++=s s s R s C ζ 观察当)1,0(∈ζ取不同值时系统的闭环频率响应与时域响应之间的关系。
当ζ=0.2时-100-5050100M a g n i t u d e (d B )系统开环伯德曲线的变化Frequency (rad/sec)10-210-110101102-180-135-90P h a s e (d e g )System: sysP hase Margin (deg): 22.6Delay Margin (sec): 0.205At frequency (rad/sec): 1.92Closed Loop Stable? Yes-80-60-40-20020M a g n i t u d e (d B )系统闭环伯德曲线的变化Frequency (rad/sec)10-110101102-180-135-90-450P h a s e (d e g )System: sys1P hase Margin (deg): 32.8Delay Margin (sec): 0.211At frequency (rad/sec): 2.71Closed Loop Stable? Yes系统阶跃响应的变化Time (sec)A m p l i t u d e0510150.20.40.60.811.21.41.6System: sys1P eak amplitude: 1.53Overshoot (%): 52.7At time (sec): 1.6System: sys1Settling Time (sec): 9.8当ζ=0.5时-80-60-40-2002040M a g n i t u d e (d B )系统开环伯德曲线的变化Frequency (rad/sec)10-110101102-180-135-90P h a s e (d e g )System: sysP hase Margin (deg): 51.8Delay Margin (sec): 0.575At frequency (rad/sec): 1.57Closed Loop Stable? Yes-80-60-40-20020M a g n i t u d e (d B )系统闭环伯德曲线的变化Frequency (rad/sec)10-110101102-180-135-90-450P h a s e (d e g )System: sys1P hase Margin (deg): 90Delay Margin (sec): 0.785At frequency (rad/sec): 2Closed Loop Stable? Yes系统阶跃响应的变化Time (sec)A m p l i t u d e01234560.20.40.60.811.21.4System: sys1P eak amplitude: 1.16Overshoot (%): 16.3At time (sec): 1.82System: sys1Settling Time (sec): 4.04当ζ=0.7时-80-60-40-2002040M a g n i t u d e (d B )系统开环伯德曲线的变化Frequency (rad/sec)10-110101102-180-135-90P h a s e (d e g )System: sysP hase Margin (deg): 65.2Delay Margin (sec): 0.877At frequency (rad/sec): 1.3Closed Loop Stable? Yes-80-60-40-20020M a g n i t u d e (d B )系统闭环伯德曲线的变化Frequency (rad/sec)10-110101102-180-135-90-450P h a s e (d e g )System: sys1P hase Margin (deg): 164Delay Margin (sec): 7.15At frequency (rad/sec): 0.4Closed Loop Stable? Yes系统阶跃响应的变化Time (sec)A m p l i t u d e00.51 1.52 2.53 3.540.20.40.60.811.21.4System: sys1P eak amplitude: 1.05Overshoot (%): 4.6At time (sec): 2.21System: sys1Settling Time (sec): 2.995开环频率特性与时域性能指标之间的关系 （1）低频段 vj Kj G )()(ωω≈当K=20，v=0时-60-40-2002040M a g n i t u d e (d B )Bode DiagramFrequency (rad/sec)10-110101102103-180-135-90-450P h a s e (d e g )System: sys1P hase Margin (deg): 27.4Delay Margin (sec): 0.0156At frequency (rad/sec): 30.6Closed Loop Stable? Yes当K=20，v=1时Bode DiagramFrequency (rad/sec)10-110101102103-270-225-180-135-90System: sys2P hase Margin (deg): 90Delay Margin (sec): 0.0785At frequency (rad/sec): 20Closed Loop Stable? YesP h a s e (d e g )System: sys1P hase Margin (deg): -7.52Delay Margin (sec): 0.757At frequency (rad/sec): 8.13Closed Loop Stable? No -150-100-5050M a g n i t u d e (d B )System: sys1Gain Margin (dB): -2.5At frequency (rad/sec): 7.07Closed Loop Stable? No当K=20，v=2时Bode DiagramFrequency (rad/sec)10-1100101102103-360-315-270-225-180System: sys1P hase Margin (deg): -58.6Delay Margin (sec): 1.37At frequency (rad/sec): 3.85Closed Loop Stable? NoSystem: sys2P hase Margin (deg): 0Delay Margin (sec): 0At frequency (rad/sec): 4.47Closed Loop Stable? No P h a s e (d e g )-200-150-100-50050100System: sys2Gain Margin (dB): 0At frequency (rad/sec): 4.47Closed Loop Stable? NoM a g n i t u d e (d B )（2）中频段)12)(1()()(22+++=n nssTs Ks H s G ωζω已知系统如上，设定参数K ，)1,0(∈ζ，要求改变交接频率1/T 和Wn 观察系统的相对稳定性与伯德图幅频特性在穿越频率处斜率的关系。