含绝对值的一元二次方程
求解含有绝对值的一元二次方程综合练习题
求解含有绝对值的一元二次方程综合练习题一、综合练习题1. 解方程 |x - 3| - 2 = 5。
解答：我们可以将绝对值转化为两个方程，分别求解。
当 x - 3 ≥ 0 时，即x ≥ 3 时，方程简化为 x - 3 - 2 = 5，解得 x = 10。
当 x - 3 < 0 时，即 x < 3 时，方程简化为 -(x - 3) - 2 = 5，解得 x = -4。
综上所述，方程 |x - 3| - 2 = 5 的解为 x = -4 和 x = 10。
2. 解方程 |2x + 1| = 7。
解答：同样地，我们将绝对值转化为两个方程，分别求解。
当2x + 1 ≥ 0 时，即2x + 1 ≥ 0 时，方程简化为 2x + 1 = 7，解得 x = 3。
当 2x + 1 < 0 时，即 2x + 1 < 0 时，方程简化为 -(2x + 1) = 7，解得x = -4。
综上所述，方程 |2x + 1| = 7 的解为 x = -4 和 x = 3。
3. 解方程 |3x - 4| + 5 = 13。
解答：同样地，我们将绝对值转化为两个方程，分别求解。
当 3x - 4 ≥ 0 时，即 3x - 4 ≥ 0 时，方程简化为 3x - 4 + 5 = 13，解得x = 4。
当 3x - 4 < 0 时，即 3x - 4 < 0 时，方程简化为 -(3x - 4) + 5 = 13，解得 x = 6。
综上所述，方程 |3x - 4| + 5 = 13 的解为 x = 4 和 x = 6。
4. 解方程 |5 - 2x| = 2。
解答：同样地，我们将绝对值转化为两个方程，分别求解。
当 5 - 2x ≥ 0 时，即 5 - 2x ≥ 0 时，方程简化为 5 - 2x = 2，解得 x = 1.5。
当 5 - 2x < 0 时，即 5 - 2x < 0 时，方程简化为 -(5 - 2x) = 2，解得 x = 3.5。
一元二次方程(考题猜想,15种题常考题型)解析版—2024-2025学年九年级数学上学期期中考点串讲
一元二次方程（考题猜想，15种题常考题型）➢直接开平方➢配方法➢因式分解法➢公式法➢用适当的方法解方程➢含绝对值的一元一次方程➢换元法➢判断一元二次方程根的情况➢确定字母的取值或范围➢根与系数关系的综合应用➢与几何图形的综合应用➢储蓄问题➢行程问题➢工程问题➢进制问题一．直接开平方（共3小题）1.（23-24九年级上·吉林长春·期中）方程260x -=的解是（ ）A．12x x ==B．1x =2x =C ．126x x ==D ．16x =，26x =-2.（23-24九年级上·广东韶关·期中）一元二次方程260x -=的根为 .3．（23-24九年级上·江苏常州·期中）解方程：()22910x x --=．二．配方法（共3小题）4.（20-21九年级上·四川成都·期中）一元二次方程2610x x --=配方后可变形为（ ）A ．2(3)8x -=B ． ()2310x -=C ．2(3)8x +=D ．2(3)10x +=【答案】B【分析】本题考查解一元二次方程—配方法．根据配方法可以将题目中的方程写成完全平方的形式．【详解】解：2610x x --=Q ，261x x \-=，26919x x \-+=+，()2310x \-=，故选：B ．5.（22-23九年级上·湖南永州·期中）用配方法解方程2810x x ++=时，则方程需变形为()24x += ．【分析】本题考查解一元二次方程—配方法，将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后，即可得出答案．解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法．【详解】解：∵2810++=，x x∴281+=-，x x∴2816116++=．x xx x++=-+，即281615故答案为：156．（23-24九年级上·福建福州·期中）解方程：(1)()224x-=(2)213-=x x三．因式分解法（共3小题）7.（22-23九年级上·安徽芜湖·期中）若实数x 满足()()222616=0x x x x +-+-，则2x x +的值为（ ）A ．8B ．2-C ．8或2-D ．8-或2【答案】A【分析】本题考查解一元二次方程，把2x x +看成一个整体，利用因式分解法解方程即可．【详解】解：()()2226160x x x x +-+-=，因式分解得，()()22820x x x x +-++=，∴280x x +-=，220x x ++=，∴28x x +=，22x x +=-（满足此式实数不存在，舍去），故选：A ．8.（23-24九年级上·湖北武汉·期中）一元二次方程232x x =的根为 ．9．（22-23九年级上·海南省直辖县级单位·期中）解下列方程(1)2350x x -=(2)2314x x+=四．公式法（共3小题）10．（23-24九年级上·福建厦门·期中）x）A．2x x2310-+=2310x x++=B．2C．22310x x+-=+-=D．22310x x-的值互为相反数，那么x的值为．2x12．（23-24九年级上·广东东莞·期中）解方程．(1)2--=；2510x x2五．用适当的方法解方程（共3小题）13．（22-23九年级上·辽宁锦州·期中）按指定的方法解方程：(1)22410x x -+=（公式法）(2)2926x x -=+（因式分解法）14．（22-23九年级上·江苏无锡·期中）选择合适的方法解方程：(1)2540x x -+=；(2)2(1)40x +-=．【答案】(1)11x =，24x =(2)11x =，23x =-【分析】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．（1）利用因式分解法求解可得；（2）利用直接开平方法求解可得．【详解】（1）2540x x -+=，(1)(4)0x x --=，10x \-=或40x -=，解得：11x =，24x =；（2）2(1)40x +-=，2(1)4x +=，12x +=或12x +=-，解得：11x =，23x =-．15.（22-23九年级上·山东济宁·期中）（1）解方程：()24190x --=；（2）解方程：2420x x --=．六．含绝对值的一元二次方程（共2小题）16.（22-23九年级上·湖南永州·期中）阅读下面的材料，并完成相应的任务．材料：解含绝对值的方程：2560x x --=．解：分两种情况：（1）当0x ³时，原方程可化为：2560x x --=，解得16x =，21x =-（舍去）；（2）当0x <时，原方程可化为：2560x x +-=，解得16x =-，21x =（舍去）．综上所述：原方程的解是16x =，26x =-．任务：请参照上述方法解方程：220x x --=．【答案】12x =，22x =-【分析】分两种情况讨论∶ 当0x ³时，当0x <时，即可求解．【详解】解：分两种情况讨论（1）当0x ³时，原方程可化为220x x --=解得：12x =，21x =-（舍去）；（2）当0x <时，原方程可化为220x x +-=解得：12x =-，21x =（舍去）；∴综上所述，原方程的根是12x =，22x =-．【点睛】此题考查了解含绝对值的一元二次方程，解题的关键是根据题意分两种情况讨论．17．（23-24九年级上·河南洛阳·期中）有人说“数学是思维的体操”，运用和掌握必要的“数学思想”和“数学方法”是学好数学的重要法宝．阅读下列例题及其解答过程：例：解方程22||30x x --=．解：①当0x ³时，原方程为2230x x --=，解得11x =-（与0x ³矛盾，舍去），23x =．②当0x <时，原方程为2230x x +-=，解得11x =（与0x <矛盾，舍去），23x =-．所以原方程的根是13x =，23x =-．在上面的解答过程中，我们对x 进行讨论，从而化简绝对值．这是解决数学问题的一种重要思想——分类讨论．请仿照上述例题的解答过程，解方程：2||10x x --=．七．换元法（共3小题）18.（23-24九年级上·内蒙古呼和浩特·期中）关于x 的方程()20a x m b ++=的解是12x =-，21x =（a ，m ，b 均为常数，0a ¹），则方程()220a x m b +++=的解是（ ）A ．10x =，21x =-B ．10x =，23x =C ．14x =-，21x =-D ．14x =，23x =19.（23-24九年级上·江苏苏州·期中）若()()2222260x y x y +-+-=，则22x y +的值为．【答案】3【分析】本题主要考查换元法解一元二次方程，将22x y +看成一个整体计算即可．【详解】解：设22z x y =+，原方程为：260z z --=，解得123,2z z ==-，Q 220³+x y ，223x y \+=．故答案为：3．20．（23-24九年级上·辽宁锦州·期中）阅读材料：为了解方程()()22215140x x ---+=，我们可以将21x -看作一个整体，设21x y -=…①，那么原方程可化为2540y y -+=，解得11y =，24y =，当1y =时，211x -=，∴22x =，∴x =当4y =时，214x -=，∴25x =，∴x =，故原方程的解为1x =，2x =3x =4x =以上解题方法叫做换元法，在由原方程得到方程①的过程中，利用换元法达到了解方程的目的，体现了转化的数学思想；请利用以上知识解方程：()()22260x x x x +++-=八．判断一元二次方程根的情况（共3小题）21．（22-23九年级上·重庆綦江·期中）关于x 的一元二次方程2810x x +-=的根的情况是（ ）A ．有两个不相等实数根B ．没有实数根C ．有两个相等的实数根D ．不能确定【答案】A【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式的运用，熟练掌握相关方法是解题关键．根据根的判别式即可求出答案．【详解】解：2810x x +-=∵()2248411680b ac --D ==´´-=>，∴方程有两个不相等的实数根．故选：A ．22.（23-24九年级上·辽宁沈阳·期中）一元二次方程26100x x +=-根的情况是 实数根（填“有”或“没有”）．【答案】没有【分析】此题考查了一元二次方程的根，利用一元二次方程根的判别式24b ac D =-判断方程的根的情况即可，熟练掌握方程的判别式24b ac D =-，当0D >时方程有两个不相等的实数根，当0D =时方程有两个相等的实数根，当0D <时方程无实数根．【详解】解：()2246411040b ac D =-=--´´=-<，∴方程没有实数根，故答案为：没有23.（23-24九年级上·广东河源·期中）证明：无论k 取何值，关于x 的方程()2310k x kx -++=恒有实数根所以方程有两个不相等的实数根，所以不论k 取何值，方程总有实数根九．确定字母的取值或范围（共3小题）24.（22-23九年级上·福建莆田·期中）若关于x 的一元二次方程240x x k -+=有两个相等实数根，则k 的值是（ ）A ．1-B ．1C ．4-D ．4【答案】D【分析】本题考查的是根的判别式，即一元二次方程20ax bx c ++=（0a ¹）的根与24b ac -有如下关系：①当240b ac ->时，方程有两个不相等的两个实数根；②当240b ac -=时，方程有两个相等的两个实数根；③当240b ac -<时，方程无实数根．根据关于x 的一元二次方程240x x k -+=有两个相等的实数根可知240b ac -=，求出k 即可．【详解】解：Q 关于x 的一元二次方程240x x k -+=有两个相等实数根，\2(4)40k D =--=，解得：4k =．故选：D ．25.（21-22九年级上·天津滨海新·期中）若关于x 的一元二次方程230x x c -+=有两个实数根，则c 的取值范围为 ．26.（23-24九年级上·新疆伊犁·期中）已知关于x 的方程()221210m x m x +-+=有两个不相等的实数根．求实数m 的取值范围．十．根与系数关系的综合应用（共3小题）27.（23-24九年级上·湖北武汉·期中）已知实数a ，b 满足 23510a a +-=，2530b b --=，且1ab ¹，则ab的值为（ ）A ．53-B ．1-C ．3-D ．13-28.（22-23九年级上·四川内江·期中）如果m n 、是两个不相等的实数，23m m -=，23n n -=，那么代数式2222021n mn m -++ ．【答案】2032【分析】此题考查一元二次方程根与系数的关系，代数式求值．熟练运用一元二次方程根的定义和根与系数的关系，把代数式化成已知式子形式及两根和、积的形式，是解此题的关键．由题意得m ，n 是230x x --=的两个不相等的实数根，则根据根的定义和根与系数的关系可知：2226n n -=，1m n +=，3=-mn ，变形2222021n mn m -++，为222222021n n mn m n --+++，代入求解即可．【详解】mn Q 是两个不相等的实数，且满足2233m m n n -=-=，，mn \是方程230x x --=的两根，2226n n \-=，1m n +=，3=-mn ，2222021n mn m \-++222222021n n mn m n =--+++6322021=+++2032=．故答案为：2032．29.（23-24九年级上·山西临汾·期中）已知关于x 的一元二次方程()2931104kx k x k -+++=有两个不相等的实数根．(1)求k 的取值范围．(2)是否存在k 的值，使得两根互为相反数．若存在，求出此时k 的值，若不存在，请说明理由．十一．与几何图形的综合应用（共4小题）30.（23-24九年级上·云南昆明·期中）若一个三角形不是等边三角形且边长均满足方程21090-+=，则x x此三角形的周长是()A．11B．19C．20D．11或1931.（20-21九年级上·四川凉山·期中）已知等腰三角形（不是等边三角形）的三边长均满足方程22860x x -+=，则这个等腰三角形的周长为，【答案】7【分析】根据题意由等腰三角形的底和腰是方程22860x x -+=的两根，解此一元二次方程即可求得等腰三角形的腰与底边的长，注意需要分当1是等腰三角形的腰时与当3是等腰三角形的腰时讨论，然后根据三角形周长的求解方法求解即可．【详解】解：22860x x -+=Q ，(1)(3)0,x x \--=解得：1x =或3x =，∵等腰三角形的底和腰是方程22860x x -+=的两根，∴当1是等腰三角形的腰时，113+<，不能组成三角形，舍去；当3是等腰三角形的腰时，133+＞，则这个三角形的周长为1337++=．故答案为：7.【点睛】本题考查等腰三角形的性质和三边关系以及解一元二次方程．解题的关键是注意分类讨论思想的应用32．（23-24九年级上·山西长治·期中）已知等腰ABC V 的两边长是关于x 的一元二次方程()()21210x k x k -++-=的两个实数根．(1)当5k =时，求ABC V 的周长．(2)若ABC V 为等边三角形，求k 的值．【答案】(1)10(2)3k =【分析】（1）将5k =代入方程，求出方程的两个根，根据等腰三角形的定义，分两种情况讨论求解；（2）根据题意，得到方程有两个相等的实数根，进而得到240b ac D =-=，求解即可．【详解】（1）解：当5k =时，一元二次方程为2680x x -+=，解得2x =或4x =．∴ABC V 是等腰三角形，∴三边长为4，4，2或2，2，4（舍去），∴ABC V 的周长44210=++=．（2）∵ABC V 为等边三角形，∴方程有两个相等的实数根，∴()()()22222418121886930b ac k k k k k k k k -=-+--=++-+=-+=-=éùëû，解得3k =．【点睛】本题考查解一元二次方程，根的判别式．熟练掌握解一元二次方程的方法，以及根的判别式与根的个数的关系，是解题的关键．33．（23-24九年级上·山东济宁·期中）已知关于x 的一元二次方程()()220b c x ax b c +-+-=，其中a ，b ，c分别为ABC V 三边的长．(1)已知1x =是方程的根，求证：ABC V 是等腰三角形；(2)如果ABC V 是直角三角形，其中90B Ð=°，请你判断方程的根的情况，并说明理由．十二．储蓄问题（共2小题）34.（21-22九年级上·广西河池·期中）王洪存银行5000元，定期两年后取出共6050元，如果每年的年利率不变，则年利率为（ ）A ．5%B ．20%C ．15%D ．10%【答案】D【分析】设年利率为x ，根据“两年后的定期本息=本金´（1+年利率）2”建立方程，解方程即可得．【详解】解：设年利率为x ，由题意得：()2500016050x +=，解得120.110%, 2.10x x ===-<（不符题意，舍去），即年利率为10%，故选：D ．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，正确建立方程是解题关键．35.（22-23九年级上·广东佛山·期中）某人在银行存了400元钱，两年后连本带息一共取款484元，设年利率为x ，则列方程为 ．【答案】24001484x +=（）【分析】本题为复利问题，一般形式为21a x b +（）＝，如果设年利率为x ，那么根据题意可得出方程．【详解】解：设年利率为x ，则根据公式可得：24001484x +=（）；故答案为：24001484x +=（）．【点睛】本题考查一元二次方程的应用，解决此类两次变化问题，可利用公式21a x b +（）＝，其中a 是变化前的原始量，b 是两次变化后的量，x 表示平均每次的增长率十三．行程问题（共3小题）36.（23-24九年级上·山西临汾·期中）飞机起飞前，先要在跑道上滑行一段路程，滑行时是匀加速运动，其公式为212s at =，如 果飞机起飞前滑行距离750m ，其中215m/s a =，则飞机起飞的时间t = s ．故答案为：10．37．（23-24九年级上·湖南岳阳·期中）在京珠高速公路上行驶着一辆时速为108千米的汽车，突然发现前面有情况，紧急刹车后又滑行30米才停车．刹车后汽车滑行10米时用了 秒．的算术平均数）与路程s ，时间t 的关系为s v t =×．现有一个小球以5m/s 的速度开始向前滚动，并且均匀减速，4s 后小球停止运动．(1)小球的滚动速度平均每秒减少多少？(2)小球滚动5m 1.41»）【答案】(1)小球的滚动速度平均每秒减少1.25m/s (2)小球滚动5m 约用了1.2秒【分析】（1）根据以5m/s 的速度开始向前滚动，并且均匀减速，4s 后小球停止运动列式计算即可；（2）设小球滚动5m 约用了x 秒，由时间´速度=路程，列出一元二次方程，解方程即可．【详解】（1）解：小球的滚动速度平均每秒减少()54 1.25m/s ¸=，十四．工程问题（共1小题）39.（22-23九年级上·四川成都·期中）由于疫情反弹，某地区开展了连续全员核酸检测，9月7日，医院派出13名医护人员到一个大型小区设置了A 、B 两个采样点进行核酸采样，当天共采样9220份，已知A 点平均每人采样720份，B 点平均每人采样700份．(1)求A 、B 两点各有多少名医护人员？(2)9月8日，医院继续派出这13名医护人员前往这个小区进行核酸采样，这天，社区组织者将附近数个商户也纳入这个小区采样范围，同时重新规划，决定从B 点抽调部分医护人员到A 点经调查发现，B 点每减少1名医护人员，人均采样量增加份，A 点人均采样量不变，最后当天共采样9360份，求从B 点抽调了多少名医护人员到A 点？【答案】(1)A 检测队有6人，B 检测队有7人(2)从B 检测队中抽调了2人到A 检测队【分析】（1）设A 点有x 名医护人员，B 点有y 名医护人员，根据“A 、B 两个采样点共13名医护人员，且当天共采样9220份”，即可得出关于x ，y 的且当天共采样9220份，即可得出关于x ，y 的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设从B 点抽调了m 名医护人员到A 点，则B 点平均每人采样()70010m +份,根据重新规划后当天共采样9360份，即可得出关于m 的一元_二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．【详解】（1）解：设A 检测队有x 人，B 检测队有y 人，依题意得：137207009200x y x y +=ìí+=î，分解得：67x y =ìí=î答：A 检测队有6人，B 检测队有7人；（2）解：设从B 检测队中抽调了m 人到A 检测队，则B 检测队人均采样()70010m +人，依题意得：()()()72067001079360m m m +++-=，解得：29140m m -+=，解得：12m =，27m =，由于从B 对抽调部分人到A 检测队，则7m <故2m =，答：从B 检测队中抽调了2人到A 检测队．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程十五．进制问题（共1小题）40（22-23九年级上·河北保定·期中）第十四届国际数学教育大会（-14ICME ）会徽的主题图案（如图）有着丰富的数学元素，展现了我国古代数学的文化魅力，其下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数3745．八进制是以8作为进位基数的数字系统，有0~7共8个基本数字．八进制数3745换算成十进制数是3210387848582021´+´+´+´=，表示-14ICME 的举办年份．（1）八进制数3746换算成十进制数是 ；（2）小华设计了一个n 进制数120，则n 的值为．【答案】 2022 9【分析】（1）根据已知，从个位数字起，将八进制的每一位数分别乘以08，18，28，38，再把所得结果相加即可得解；（2）根据n 进制数和十进制数的计算方法得到关于n 的方程，解方程即可求解．【详解】解：（1）3210374638784868=´+´+´+´1536448326=+++2022=．故八进制数字3746换算成十进制是2022．故答案为：2022；（2）依题意有：21043120n n n +´+´=，解得19n =，213n =-（舍去）．故n的值是9．【点睛】本题主要考查因式分解的应用，有理数的混合运算，解题的关键是弄清各个进制数转化为十进制数的计算方法．。
高三数学一元二次不等式试题答案及解析
高三数学一元二次不等式试题答案及解析1.如果命题“关于的不等式的解集是空集”是假命题，则实数的取值范围是_______.【答案】【解析】由已知，有解，所以，解得实数的取值范围是.【考点】命题，一元二次不等式的解法.2.已知函数则满足的实数的取值范围是 .【答案】【解析】或，∴或，∴.【考点】不等式的解法.3.不等式≤x－2的解集是()A．(－∞，0]∪(2,4]B．[0,2)∪[4，＋∞)C．[2,4)D．(－∞，2]∪(4，＋∞)【答案】B【解析】①当x－2>0，即x>2时，不等式可化为(x－2)2≥4，∴x≥4；②当x－2<0，即x<2时，不等式可化为(x－2)2≤4，∴0≤x<2.4.已知二次函数f(x)＝ax2－(a＋2)x＋1(a∈Z)，且函数f(x)在(－2，－1)上恰有一个零点，则不等式f(x)>1的解集为()A．(－∞，－1)∪(0，＋∞)B．(－∞，0)∪(1，＋∞)C．(－1,0)D．(0,1)【答案】C【解析】∵f(x)＝ax2－(a＋2)x＋1，Δ＝(a＋2)2－4a＝a2＋4>0，∴函数f(x)＝ax2－(a＋2)x＋1必有两个不同的零点．因此f(－2)f(－1)<0，∴(6a＋5)(2a＋3)<0.∵－<a<－.又a∈Z，∴a＝－1，不等式f(x)>1即为－x2－x>0，解得－1<x<0.故选C.5.设二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c，函数F(x)＝f(x)－x的两个零点为m，n(m<n)．(1)若m＝－1，n＝2，求不等式F(x)>0的解集；(2)若a>0，且0<x<m<n<，比较f(x)与m的大小．【答案】（1）当a>0时，不等式F(x)>0的解集为{x|x<－1或x>2}；当a<0时，不等式F(x)>0的解集为{x|－1<x<2}．（2）f(x)<m.【解析】解：(1)由题意知，F(x)＝f(x)－x＝a(x－m)(x－n)，当m＝－1，n＝2时，不等式F(x)>0，即a(x＋1)(x－2)>0.当a>0时，不等式F(x)>0的解集为{x|x<－1或x>2}；当a<0时，不等式F(x)>0的解集为{x|－1<x<2}．(2)f(x)－m＝F(x)＋x－m＝a(x－m)(x－n)＋x－m＝(x－m)(ax－an＋1)，∵a>0，且0<x<m<n<，∴x－m<0,1－an＋ax>0.∴f(x)－m<0，即f(x)<m.6.对于满足0≤a≤4的实数a，使x2＋ax>4x＋a－3恒成立的x取值范围是________．【答案】(－∞，－1)∪(3，＋∞)【解析】原不等式等价于x2＋ax－4x－a＋3>0，∴a(x－1)＋x2－4x＋3>0，令f(a)＝a(x－1)＋x2－4x＋3，则函数f(a)＝a(x－1)＋x2－4x＋3表示直线，∴要使f(a)＝a(x－1)＋x2－4x＋3>0，则有f(0)>0，f(4)>0，即x2－4x＋3>0且x2－1>0，解得x>3或x<－1，即不等式的解集为(－∞，－1)∪(3，＋∞)．7.（2013•重庆）设0≤α≤π，不等式8x2﹣（8sinα）x+cos2α≥0对x∈R恒成立，则α的取值范围为_________．【答案】[0，]∪[，π]【解析】由题意可得，△=64sin2α﹣32cos2α≤0，得2sin2α﹣（1﹣2sin2α）≤0∴sin2α≤，﹣≤sinα≤，∵0≤α≤π∴α∈[0，]∪[，π]8.若不等式|8x＋9|<7和不等式ax2＋bx>2的解集相等，则实数a、b的值分别为()A．a＝－8，b＝－10B．a＝－4，b＝－9C．a＝－1，b＝9D．a＝－1，b＝2【答案】B【解析】根据题意可得|8x＋9|<7⇒－2<x<，故由{x|－2<x<}是不等式ax2＋bx>2的解集可知x1＝－2，x2＝是一元二次方程ax2＋bx－2＝0的两根，根据根与系数的关系可知x1x2＝＝⇒a＝－4，x1＋x2＝＝⇒b＝－9，故选B.9.不等式3x2－x－4≤0的解集是__________.【答案】【解析】由3x2－x－4≤0，得(3x－4)(x＋1)≤0，解得－1≤x≤.10.已知f(x)是定义域为R的偶函数，当x≥0时，f(x)＝x2－4x，那么不等式f(x＋2)<5的解集是________．【答案】(－7，3)【解析】解f(x)＝x2－4x<5(x≥0)，得0≤x<5.由f(x)是定义域为R的偶函数得不等式f(x)<5的解集是(－5，5)，所以不等式f(x＋2)<5转化为－5<x＋2<5，故所求的解集是(－7，3)．11.不等式x2-5x+6≤0的解集为.【答案】{x|2≤x≤3}【解析】x2-5x+6≤0,即(x-2)(x-3)≤0,故2≤x≤3.12.设f(x)=x2-bx+c,不等式f(x)<0的解集是(-1,3),若f(7+|t|)>f(1+t2),求实数t的取值范围.【答案】-3<t<3【解析】∵x2-bx+c<0的解集是(-1,3),∴>0且-1,3是x2-bx+c=0的两根,∴得∵函数f(x)=x2-bx+c图象的对称轴方程为x==1,且f(x)在[1,+∞)上是增函数,又∵7+|t|≥7>1,1+t2≥1,则由f(7+|t|)>f(1+t2),得7+|t|>1+t2,即|t|2-|t|-6<0,亦即(|t|+2)(|t|-3)<0,∴|t|<3,即-3<t<3.13.不等式(x－1)·≥0的解集为________．【答案】{x|x≥2或x＝－1}【解析】原不等式等价于(x－1)>0①或(x－1)·＝0②，解①，由得x>2；解②，由x2－x－2＝0或x－1＝0且有意义，得x＝－1或x＝2.综上可知，原不等式的解集是{x|x≥2或x＝－1}．14.已知x＞0，y＞0，若恒成立，则实数m的取值范围是（）A．m≥4或m≤－2B．m≥2或m≤－4C．－2＜m＜4D．－4＜m＜2【答案】D【解析】因为，要使恒成立，则，解得－4＜m＜2，选D.【考点】基本不等式、一元二次不等式的解法.15.己知函数.(I)若关于的不等式的解集不是空集，求实数的取值范围；(II)若关于的一元二次方程有实根，求实数的取值范围.【答案】(I)；(II)【解析】(I)由题意知，只需，解出即可，根据绝对值不等式的性质知，故，解得或；(II)由题意方程有实根，则，即，化简得，提出得，，根据绝对值的几何意义知，此式表示的是到的距离与到的距离之和小于，从数轴上易知.试题解析：(I)由题意，，，解得或，所以的取值范围为.(II)由题意，，化简得，即，所以，故的取值范围为.【考点】1.绝对值不等式的解法；2.一元二次方程根的判断.16.已知不等式的解集为，则不等式的解集为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由已知得且2，4为一元二次方程两根，由韦达定理得①，②．①除以②，得由②得注意到不等式或．故选D．【考点】一元二次不等式的解法．17.设与是定义在同一区间上的两个函数，若对任意的，都有，则称和在上是“密切函数”，称为“密切区间”，设与在上是“密切函数”，则它的“密切区间”可以是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由题意由，得，解之得，故选D.【考点】1.含绝对值的一元二次不等式的解法；2.函数新定义题18.设集合，，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】.【考点】1.指数不等式的解法；2.一元二次不等式的解法；3.集合的运算.19.已知关于的一元二次不等式的解集中有且仅有3个整数，则所有符合条件的的值之和是（）A．13B．18C．21D．26【答案】C【解析】设，其图象是开口向上，对称轴是x=3的抛物线，如图所示．若关于的一元二次不等式的解集中有且仅有3个整数，则，即，解得，又则所有符合条件的的值之和是6+7+8=21．故选C．【考点】一元二次不等式解法，二次函数的图象和性质.20.已知不等式>0的解集为(-1，2)，是和的等比中项，那么=A．3B．-3C．-1D．1【答案】D【解析】根据题意，由于不等式>0的解集为(-1，2)，那么可知-1是因式ax+b=0的根，所以a=b,又因为是和的等比中项，则有，可知，故答案为1，选D.【考点】一元二次不等式的解集点评:解决的关键是对于等比中项以及二次不等式的解集的准确表示，属于基础题。
2024-2025学年湖北省部分学校九年级(上)第一次月考数学试卷(含解析)
2024-2025学年湖北省部分学校九年级（上）第一次月考数学试卷一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.一元二次方程4x2+x−3=0中一次项系数、常数项分别是( )A. 2，−3B. 0，−3C. 1，−3D. 1，02.解方程(x+1)2=3(1+x)的最佳方法是( )A. 直接开平方法B. 配方法C. 公式法D. 因式分解法3.抛物线y=−3x2+2x−1与y轴的交点为( )A. (0,1)B. (0,−1)C. (−1,0)D. (1,0)4.若关于x的一元二次方程(k−1)x2+x+1=0有实数根，则k的取值范围是( )A. k≥54B. k>54C. k>54且k≠1 D. k≤54且k≠15.若关于x的方程x2−kx−3=0的一个根是x=3，则k的值是( )A. −2B. 2C. −12D. 126.关于x的方程|x2−2x−3|=a有且仅有两个实数根，则实数a的取值范围是( )A. a=0B. a=0或a=4C. a>4D. a=0或a>47.在手拉手学校联谊活动中，参加活动的每个同学都要给其他同学发一条励志短信，总共发了110条，设参加活动的同学有x个，根据题意，下面列出的方程正确的是( )A. 12x(x+1)=110 B. 12x(x−1)=110 C. x(x+1)=110 D. x(x−1)=1108.已知函数y=ax2+bx+c的图象如图，那么关于x的方程ax2+bx+c+2=0的根的情况是( )A. 无实数根B. 有两个相等实数根C. 有两个同号不等实数根D. 有两个异号实数根9.二次函数y=ax2+bx+c，若ab<0，a−b2>0，点A(x1,y1)，B(x2,y2)在该二次函数的图象上，其中x1<x2，x1+x2=0，则( )A. y1=−y2B. y1>y2C. y1<y2D. y1、y2的大小无法确定10.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，有下列4个结论：①abc<0；②b>a+c；③2a−b=0；④b2−4ac<0．其中正确的结论个数是( )A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
(必考题)初中数学九年级数学上册第二单元《一元二次方程》测试(包含答案解析)(4)
一、选择题1．如果关于x 的一元二次方程k 2x 2﹣（2k +1）x +1＝0有两个实数根，那么k 的取值范围是（ ）A ．k ≥﹣14B ．k ≥﹣14且k ≠0C ．k ＜﹣14D ．k ＞－14且k ≠0 2．一个菱形两条对角线的长是方程28120x x -+=的两个根，则该菱形的面积为（ ） A ．12 B ．6或12C ．8D ．6 3．关于x 的一元二次方程()21210k x x +-+=有实数根，则k 满足（ ）A ．0k ≥B ．0k ≤且1k ≠-C ．0k <且1k ≠-D ．0k ≤ 4．1x =是关于x 的一元二次方程220x ax b ++=的解，则24a b +=（ ） A ．2- B ．3- C ．4-D ．6- 5．一元二次方程20x x +=的根的情况为（ ）A ．没有实数根B ．只有一个实数根C ．有两个相等的实数根D ．有两个不相等的实数根6．下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A ．12x += B ．21x y += C ．243x x -=D ．35-=xy 7．下列一元二次方程中，有两个不相等实数根的是（ ） A ．2690x x ++= B ．2230x x -+=C ．22x x -=D ．23420x x -+= 8．若关于x 的一元二次方程2(2)20a x x --+=有实数根，则整数a 的最大值为（ ） A ．−2 B ．−1 C ．1 D ．29．请你判断，320x x x -+=的实根的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．410．如果方程220x x --=的两个根为α，β，那么22αβαβ+-的值为（ ） A ．7 B ．6 C ．2- D ．011．新冠肺炎传染性很强，曾有2人同时患上新冠肺炎，在一天内一人平均能传染x 人，经过两天传染后128人患上新冠肺炎，则x 的值为（ ）A ．10B ．9C ．8D ．7 12．关于x 的方程()()223x x a -+=（a 为常数）的根的情况，下列结论中正确的是（ ）A ．两个正根B ．两个负根C ．一个正根一个负根D ．无实数根二、填空题13．已知a ，b 是方程230x x --=的两个实数根，则2+1a b +的值为__________． 14．将23220x x --=配方成2()x m n +=的形式，则n =__________．15．某种植基地2018年蔬菜产量为100吨，预计2020年蔬菜产量达到150吨，求蔬菜产量的年平均增长率，设蔬菜产量的年平均增长率为x ，则可列方程为_________________． 16．等腰ABC 中，4AB AC ==，30BAC ∠=︒，以AC 为边作等边ACD △，则点B 到CD 的距离为________．17．用换元法解方程221x x -﹣21x x -＝1，设y ＝21x x-，那么原方程可以化为关于y 的整式方程为_____．18．若关于x 的一元二次方程2(1)20x m x +++=的一个根是1-，则另一个根是_________．19．在设计人体雕像时，使雕像的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度比，等于下部与全部（全身）的高度比，可以增加视觉美感．按此比例，如果雕像的高为2m ，设雕像下部高为m x ，则可得到方程______．20．如果关于x 的一元二次方程220k x kx +=的一个根是2-，那么k =_______．三、解答题21．夏天到来，气温升高，小风扇的需求量越来越大．6月初某超市购进A 、B 两款小风扇共450个进行销售，其中A 款每个售价10元，B 款每个售价20元．6月底全部售完这批风扇，销售总额为7000元．（1）6月初A 款风扇与B 款风扇各购进多少个？（2）7月份该超市进行促销活动，A 款风扇比6月的价格优惠%a ，B 款风扇比6月的价格优惠2%a ．活动期间，小风扇的销量明显增加，结果7月售出的A 款风扇数量比6月售出的A 款数量增加了8%5a ，售出的B 款风扇数量比6月售出的B 款数量增加了9%2a ．结果7月的总销售额比6月的销售总额增加了29%50a ，求a 的值． 22．按要求解下列方程：用配方法解：（1）x 2﹣4x +1＝0．用公式法解：（2）2104x -=． 23．解方程：（1）22150x x --=；（2）()()421321x x x +=+24．已知关于x 的一元二次方程（m ﹣3）x 2﹣6x +m 2﹣9＝0的常数项为0，求m 的值及此方程的解．25．某住宅小区在住宅建设时留下一块1248平方米的空地，准备建一个矩形的露天游泳池，设计如图所示，游泳池的长是宽的2倍，在游泳池的前侧留一块5米宽的空地，其它三侧各保留2米宽的道路及1米宽的绿化带．请你计算出游泳池的长和宽．26．解方程：（1）（x +2）2﹣25＝0；（2）x 2+4x ﹣5＝0．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B解析：B【分析】根据一元二次方程的定义以及根的判别式的意义得出k 2≠0，且△=b 2-4ac ≥0，建立关于k 的不等式组，求出k 的取值范围．【详解】解：由题意知，k 2≠0，且△=b 2-4ac =（2k +1）2-4k 2=4k +1≥0．解得k ≥-14且k ≠0． 故选：B ．【点睛】 本题考查了一元二次方程ax 2+bx +c =0（a ≠0）的根的判别式△=b 2-4ac ：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义．2．D解析：D【分析】利用因式分解法求得方程的两根，进而根据菱形面积=12对角线的积求解即可． 【详解】解：28120x x -+=，（x-6）（x-2）=0，∴x 1=6，x 2=2，∵菱形的两条对角线长分别为6，2，∴菱形面积为162=62⨯⨯， 故选：D ．【点睛】综合考查了菱形的性质及解一元二次方程；得到菱形的对角线长是解决本题的突破点；用到的知识点为：因式分解法解一元二次方程；菱形面积=12对角线的积． 3．B解析：B【分析】根据根的判别式计算即可．【详解】解：∵关于x 的一元二次方程()21210k x x +-+=有实数根， ∴()244410b ac k ∆=-=-+≥，10k +≠，∴4440k --≥，1k ≠-，解得：0k ≤，1k ≠-；故答案选B ．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，准确计算是解题的关键．4．A解析：A【分析】把1x =代入方程，得到a 与b 的式子，整体代入即可．【详解】解：把1x =代入220x ax b ++=得，120a b ++=，∴21a b +=-，∴242a b +=-，故选：A ．【点睛】本题考查了一元二次方程的解和求代数式的值，解题关键是明确方程解的意义，树立整体代入思想．5．D解析：D【分析】确定a 、b 、c 计算根的判别式，利用根的判别式直接得出结论；【详解】∵20+=，x x∴△=1-0=1＞0，∴原方程有两个不相等的实数根；故选：D．【点睛】本题考查了根的判别式、一元二次方程实数根的情况取决于根的判别式△，正确掌握△的值与根的个数的关系是解题的关键．6．C解析：C【分析】只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的方程是一元二次方程，根据定义解答即可．【详解】A、是一元一次方程，不符合题意；B、是二元一次方程，不符合题意；C、是一元二次方程，符合题意；D、是二元二次方程，不符合题意；故选：C．【点睛】此题考查一元二次方程，熟记定义是解题的关键．7．C解析：C【分析】根据一元二次方程根的判别式判断即可．【详解】解：A.x2+6x+9=0，则△=62-4×9=36-36=0，即该方程有两个相等实数根，故本选项不合题意；B.2230-+=，则△=(-2)2-4×3=4-12=-8<0，即该方程无实数根，故本选项不合题意；x xC.22-=，则△=(-1)2-4×(-2)=1+8=9>0，即该方程有两个不相等实数根，故本选项合题x x意；D.2-+=，则△=(-４)2-4×3×2=16-24=-8<0，即该方程无实数根，故本选项不合题x x3420意．故选C．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac 有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；③当△＜0时，方程无实数根．8．C解析：C【分析】根据一元二次方程有实数根，得到根的判别式大于等于0，求出a 的范围，确定出所求即可．【详解】解：∵关于x 的一元二次方程2(2)20a x x --+=有实数根，∴△＝1−8（a−2）≥0，且a−2≠0，解得：a≤178且a≠2， 则整数a 的最大值为1．故选C ．【点睛】此题考查了一元二次方程根的判别式，以及一元二次方程的定义，掌握一元二次方程根与判别式的关系是解本题的关键．9．C解析：C【分析】利用绝对值的几何意义，假设x ＞0或x ＜0，分别分析得出即可．【详解】解：当x ＞0时，2320x x -+=，解得：x 1＝1；x 2＝2；当x ＜0时，2320x x --=，解得：x 1（不合题意舍去），x 2＝32， ∴方程的实数解的个数有3个．故选：C ．【点睛】此题主要考查的是含有绝对值符号的一元二次方程的一般计算题，理解绝对值的意义是关键．10．A解析：A【分析】将α代入方程220x x --=，即可得22αα=+，即可推出22()22αβαβαβαβ+-=+-+，再由韦达定理即可求出结果．【详解】将α代入方程220x x --=得：220αα--=，即22αα=+∴2222()22αβαβαβαβαβαβ+-=++-=+-+．∵α、β是方程的两个根， ∴111αβ-+=-=，221αβ-==-． ∴()2212(2)27αβαβ+--=-⨯-+=． 故选：A ．【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系以及代数式求值．熟知韦达定理公式是解答本题的关键．11．D解析：D【分析】根据两天后共有128人患上流感，列出方程求解即可．【详解】解：依题意得2+2x +x （2+2x ）=128，解得x 1=7，x 2=-9（不合题意，舍去）．故x 值为7．故选：D ．【点睛】考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．12．C解析：C【分析】先将方程整理为一般形式，计算0∆＞，得到方程有两个不相等的实数根，再根据两根之积为负数即可求解．【详解】解：整理关于x 的方程()()223x x a -+=得 2260x x a +--=，∴()22214162540a a ∆=-⨯⨯--=+＞， ∴方程有两个不相等的实数根， ∴212601a x x --=＜， ∴方程了两个根一正一负．故选：C【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，熟知两个知识点是解题关键，注意在讨论一元二次方程根与系数的关系时首先要注意确保方程有实根．二、填空题13．5【分析】先根据根与系数的关系写出两根的和与积代入所求代数式计算即可【详解】解：∵是方程的两个实数根∴∴∴；故答案为：5【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系掌握根与系数的关系是解决本题的关 解析：5【分析】先根据根与系数的关系，写出两根的和与积，代入所求代数式计算即可．【详解】解：∵a ，b 是方程230x x --=的两个实数根，∴230a a --=，111a b -+=-=， ∴23a a =+，∴2131()4145a b a b a b ++=+++=++=+=；故答案为：5．【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系．掌握根与系数的关系是解决本题的关键．一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系为：x 1+x 2=b a -，x 1•x 2=c a． 14．【分析】先将二次项系数化为1再利用配方法变形即可得出答案【详解】解：∵3x2-2x-2=0∴∴∴故答案为：【点睛】本题考查了配方法在一元二次方程变形中的应用熟练掌握配方法是解题的关键 解析：79【分析】先将二次项系数化为1，再利用配方法变形即可得出答案．【详解】解：∵3x 2-2x-2=0， ∴222033x x --=， ∴221213939x x -+=+， ∴217()39x -=， 故答案为：79． 【点睛】 本题考查了配方法在一元二次方程变形中的应用，熟练掌握配方法是解题的关键．15．【分析】利用两次增长后的产量=增长前的产量×（1+增长率）2设平均每次增长的百分率为x 根据从100吨增加到150吨即可得出方程【详解】解：设蔬菜产量的年平均增长率为x 则可列方程为100（1+x ）2=解析：()21001150x +=【分析】利用两次增长后的产量=增长前的产量×（1+增长率）2，设平均每次增长的百分率为x ，根据“从100吨增加到150吨”，即可得出方程．【详解】解：设蔬菜产量的年平均增长率为x ，则可列方程为100（1+x ）2=150，故答案为：()21001150x +=．【点睛】此题考查了一元二次方程的应用（增长率问题）．解题的关键在于熟知两次增长后的产量=增长前的产量×（1+增长率）2，根据条件列出方程． 16．或【分析】分两种情况讨论利用等边三角形的性质和勾股定理可求解【详解】解：当点D 在AC 的左侧时设AB 与CD 交于点E ∵△ACD 是等边三角形∴AC=AD=CD=4∠DAC=60°又∵∠BAC=30°∴∠D 解析：232-或423-【分析】分两种情况讨论，利用等边三角形的性质和勾股定理可求解．【详解】解：当点D 在AC 的左侧时，设AB 与CD 交于点E ，∵△ACD 是等边三角形， ∴AC=AD=CD=4，∠DAC=60°，又∵∠BAC=30°，∴∠DAE=∠BAC=30°， ∴AB ⊥CD ，∵∠BAC=30°，∴CE=12AC=2，22224223AC EC -=-=∴BE=AB-AE=423-；当点D 在AC 的右侧时，过点B 作BE ⊥CD ，交DC 的延长线于点E ，连接BD ，∵△ACD 是等边三角形， ∴AC=AD=CD=AB=4，∠DAC=60°，∴∠BAD=90°，∴22161642AB AD =+=+∵AB=AC ，∠BAC=30°，∴∠ACB=75°，∴∠BCE=180°-∠ACD-∠ACB=45°，∵BE ⊥CE ，∴∠BCE=∠CBE=45°，∴BE=CE ，∵BD 2=BE 2+DE 2，∴32=BE 2+（CE+4）2，∴BE=232-，综上所述：点B 到CD 的距离为32或423-．故答案为：32-或423-【点睛】本题考查了勾股定理，等边三角形的性质，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键． 17．y2+y ﹣2＝0【分析】可根据方程特点设y ＝则原方程可化为﹣y ＝1化成整式方程即可【详解】解：方程﹣＝1若设y ＝把设y ＝代入方程得：﹣y ＝1方程两边同乘y 整理得y2+y ﹣2＝0故答案为：y2+y ﹣2解析：y 2+y ﹣2＝0【分析】可根据方程特点设y ＝21x x-，则原方程可化为2y ﹣y ＝1，化成整式方程即可． 【详解】解：方程221x x -﹣21x x-＝1， 若设y ＝21x x-， 把设y ＝21x x-代入方程得：2y ﹣y ＝1， 方程两边同乘y ，整理得y 2+y ﹣2＝0．故答案为：y 2+y ﹣2＝0．【点睛】本题主要考查用换元法解分式方程，它能够把一些分式方程化繁为简，化难为易，对此应注意总结能用换元法解的分式方程的特点，寻找解题技巧．18．-2【分析】把-1代入方程求m 再把m 代回方程解方程即可；或用根与系数关系可求【详解】解：方法一把-1代入方程得解得m=2代入原方程得解得故答案为：-2；方法二设另一个根是a 根据根与系数关系a×（-1解析：-2【分析】把-1代入方程求m ，再把m 代回方程，解方程即可；或用根与系数关系可求．【详解】解：方法一，把-1代入方程2(1)20x m x +++=，得，1(1)20m -++=，解得，m=2，代入原方程得，2320x x ++=，解得，121,2x x =-=-，故答案为：-2；方法二，设另一个根是a ，根据根与系数关系，a ×（-1）=2，a =-2，故答案为：-2【点睛】本题考查了一元二次方程的根和一元二次方程根与系数关系，选择不同方法解题，体现思维的灵活性，准确把握知识是解题关键．19．【分析】根据雕像的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度比等于下部与全部（全身）的高度比列方程整理为整式方程即可【详解】设雕像下部高为则可得到方程：整理得：故答案为：【点睛】此题考查一元二次方程的实际 解析：2240x x +-=【分析】根据雕像的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度比，等于下部与全部（全身）的高度比，列方程22x x x -=，整理为整式方程即可． 【详解】 设雕像下部高为m x ，则可得到方程：22x x x -=， 整理得：2240x x +-=，故答案为：2240x x +-=．【点睛】 此题考查一元二次方程的实际应用，正确理解题意是解题的关键．20．【分析】把x=-2代入一元二次方程得到k 的一元二次方程解出k 的值即可【详解】一元二次方程的一个根是x=-2解得k=0或k≠0故答案为【点睛】本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义逆用一元二次方 解析：12【分析】把x=-2代入一元二次方程220k x kx +=，得到k 的一元二次方程解出k 的值即可【详解】一元二次方程220k x kx +=的一个根是x=-2，∴ 2420k k -=解得k=0或12k = ， k≠0 ∴12k = 故答案为12k =． 【点睛】本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义，逆用一元二次方程解的定义易得出k 的值．三、解答题21．（1）6月初A 款风扇购进200个，B 款风扇购进250个；（2）a 的值为20．【分析】（1）设6月初A 款风扇购进x 个，B 款风扇购进y 个，根据“6月初该超市共售出450个小风扇，且销售总额为7000元”，即可得出关于x ，y 的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）根据总价=单价×数量结合7月的总销售额比6月的销售总额增加了2950a%，即可得出关于a 的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．【详解】解：（1）设6月初A 款风扇购进x 个，B 款风扇购进y 个，依题意，得：45010207000x y x y +⎧⎨+⎩＝＝， 解得：200250x y ⎧⎨⎩＝＝． 答：6月初A 款风扇购进200个，B 款风扇购进250个．（2）依题意，得：10（1-a%）×200（1+85a%）+20（1-2a%）×250（1+92a%）=7000（1+ 2950a%）， 整理，得：2a -20a=0，解得：12200a a ==，（不合题意，舍去）．答：a 的值为20．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程． 22．(1) x 1＝x 2＝2；(2) x 1，x 2． 【分析】（1）利用配方法解一元二次方程，即可求出答案；（2）利用公式法解一元二次方程，即可求出答案．【详解】解：（1）2410x x -+=，∵x 2﹣4x ＝﹣1，∴x 2﹣4x +4＝﹣1+4，即（x ﹣2）2＝3，则x ﹣2＝∴x 1＝x 2＝2（2）2104x --=， ∵a ＝1，b，c ＝﹣14， ∴△2﹣4×1×（﹣14）＝3＞0， 则x即x 1＝2，x 2＝2． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握配方法和公式法解一元二次方程． 23．（1）13x =-，25x =；（2）112x =-，234x = 【分析】（1）运用因式分解法分解成两个一元一次方程，求出方程的解即可；（2）移项后运用因式分解法分解成两个一元一次方程，求出方程的解即可．【详解】解：（1）22150x x --=， ()()530-+=x x ，30x +=，50x -=，∴13x =-，25x =．（2）()()421321x x x +=+()()4213210x x x +-+=，()()21430x x +-=，210x +=或430x -=， 所以112x =-，234x =． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解一元二次方程是解此题的关键． 24．m ＝－3；x 1＝0，x 2＝−1．【分析】直接利用常数项为0，进而得出关于m 的等式，计算后可求出m 的值，利用所求m 的值则求出方程的解．【详解】解：由题意，得m 2−9＝0，且m−3≠0，解得m ＝－3．当m ＝－3时，代入（m ﹣3）x 2﹣6x+m 2﹣9＝0，得－6x 2－6x ＝0，－6x （x ＋1）＝0解得x 1＝0，x 2＝−1．【点睛】此题主要考查了一元二次方程的一般形式以及一元二次方程的解法，掌握一元二次方程的定义及解法是解题的关键．25．游泳池的长为40米，宽为20米．【分析】设游泳池的宽为x米，而游泳池的长是宽的2倍，那么原来的空地的长为（2x+8），宽为（x+6），根据空地面积为1248平方米即可列出方程解题．【详解】解：设游泳池的宽为x米，依题意得（x+6）（2x+8）＝1248整理得x2+10x﹣600＝0，解得x1＝20，x2＝﹣30（负数不合题意，舍去），∴x＝20，2x＝40．答：游泳池的长为40米，宽为20米．【点睛】找到关键描述语，找到等量关系准确的列出方程是解决问题的关键．此题要注意判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解．26．（1）x1=3，x2=-7；（2）x1=1，x2=-5．【分析】（1）用直接开方法解方程即可；（2）用配方法解方程即可．【详解】解：（1）（x+2）2﹣25＝0；移项得，（x+2）2＝25，两边开方得，x+2=±5，解得，x1=3，x2=-7；（2）x2+4x﹣5＝0．移项得，x2+4x＝5．两边加4得，x2+4x+4＝9．配方得，（x+2）2＝9．开方得，x+2=±3，解得，x1=1，x2=-5．【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，解题关键是选择适当的方法解一元二次方程．。
高中数学e是什么意思
高中数学e是什么意思高中数学 e 是指一个常用的数学符号，代表的意思为负整数。
它是一种含有绝对值的运算符号。
高中数学的一些重要公式：（1）一元二次方程： y= ax2+ bx+ c；（2）指数函数： y= a（ x2- x+1）；（3）幂函数： f（ x）= x^2-2x；（4）反比例函数： k（ x）=- x^2/ x-2。
（5）二次函数的图像与性质定理及综合应用：二次函数的图像与性质定理及综合应用包括以下几条结论：①二次函数在开区间上单调性定理： f（ x）＝a（ x- h）的图像关于 x 轴对称，当 x＝h 时， f（ x）＞0；②二次函数的周期性：如果 a、 b 都是整数，且2a-1=0，那么 f（ x）的图像关于x 轴对称，其周期为 T（ a、 b）=2π；③二次函数的最大值与最小值问题：在二次函数的图像上，当 f（ x）＞0时，二次函数取得最大值 f（ max）；④二次函数的奇偶性与周期性：如果 a、 b 都是偶数，即2a-1=0，则函数 f（ x）的图像关于原点对称，周期为 T（ a、b）=2π；⑤二次函数的对称轴与顶点坐标：（6）三角函数：（7）向量：（8）三角恒等变换公式：（9）解析几何：（10）导数：导数就是求函数 f (x)在点 x 处的切线斜率的正切值 f'(x)= tanθ。
它可以看作是用来研究函数的变化率的工具。
导数又分为两类：一类是微分形式的导数；另一类是积分形式的导数。
导数还有许多应用。
平面曲线的切线方程可由导数确定；函数图像可用导数来画；用导数解决最值问题；对于含参数的复杂函数，也往往可利用导数的几何意义来分析。
这些都是通过导数加以证明或讨论的。
可见，导数与微分、积分及函数的连续性、可导性和偏导数等概念是紧密相联的。
一元二次绝对值不等式
一元二次绝对值不等式哎，说起这“一元二次绝对值不等式”，听起来挺高大上的，但其实咱们用大白话聊聊，它也没那么神秘。
想象一下，你手里拿着一根绳子，这根绳子代表了一个数学里的“绝对值”，它不管你怎么摆弄，长度都是正的，对吧？那“一元二次”呢，就像是咱们玩的抛物线游戏，一个球扔出去，它飞啊飞，最后要么落在地上，要么飞到天上去，但总有个最高点或者最低点，这就是一元二次方程的那个“顶点”。
现在，咱们把这两样东西放在一起——一元二次和绝对值不等式，就像是给那根绳子加了个规则：你不能随便乱摆，得按照抛物线的形状来，而且呢，你还得保证绳子的长度（也就是绝对值）在某个范围内。
这听起来是不是有点像解谜游戏？咱们分几步来搞定它：**第一步：理解绝对值**绝对值嘛，简单说，就是不管你是正数还是负数，我都只看你离0有多远。
比如，|-3|和|3|都是3，它们到0的距离都是3。
所以，在处理绝对值不等式时，咱们要分情况讨论：一种是里面的表达式大于等于0，另一种是小于0。
因为一旦小于0，绝对值就会让它变成正的。
**第二步：拆分一元二次不等式**咱们把一元二次方程想象成那个抛物线，然后看看它跟x轴交在哪两个点（这就是方程的根）。
这两个点把数轴分成了三段，每段上抛物线的表现都不一样。
咱们要做的，就是根据题目给的不等式，判断x应该落在哪一段上。
**第三步：结合绝对值和一元二次**好，现在咱们有了绝对值的处理方法和一元二次不等式的分段，接下来就是把它们合起来。
比如，题目说“|x^2 - 4x + 3| < 2”，咱们先找出x^2 - 4x + 3 = 0的根，假设是x1和x2（这里不具体算了哈）。
然后，咱们分三种情况讨论：1. 当x在x1和x2之间时，x^2 - 4x + 3是负的，但咱们要绝对值，所以它就变成了-(x^2 - 4x + 3)。
这时候，咱们就解这个不等式，看看x的范围是多少。
2. 当x小于x1或大于x2时，x^2 - 4x + 3是正的，绝对值就是它本身。
九年级数学一元二次方程的解法及应用人教实验版知识精讲
初三数学一元二次方程的解法及应用人教实验版【本讲教育信息】一. 教学内容：一元二次方程的解法及应用［教学目的］使学生进一步熟练掌握利用求根公式解一元二次方程的方法；掌握一元二次方程因式分解解法的步骤；明确这个解法的方程一边必须是零；理解由高次转化为低次是解方程的思路之一。
［教学重点、难点］重点：用求根公式求一元二次方程的根的方法。
用因式分解法解一元二次方程。
难点：含有字母参数的一元二次方程的公式解法。
［教学过程］一、公式法一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)中，b 2－4ac ，叫做根的判别式，通常用记号△表示，∆∆=-=-b ac b ac 2244()注意不是定理1 ax bx c a 2000++=>⇒()≠中，∆方程有两个不等实数根。
定理2 ax bx c a 2000++==⇒()≠中，∆方程有两个相等实数根。
定理3 ax bx c a 2000++=<⇒()≠中，∆方程没有实数根。
正用的作用是用已知方程的系数，来判断根的情况。
反用的作用是已知方程根的情况，来确定系数之间的关系，进而求出系数中某些字母的值。
例1. 解方程：x(x ＋1)＋7(x －1)＝2(x ＋2)。
解：（1）先把方程化为一元二次方程的一般形式x 2＋6x －11＝0。
（2）确认a ，b ，c 的值a ＝1，b ＝6，c ＝－11（3）判断b 2－4ac 的值b 2－4ac ＝62－4×1×(－11)＝80＞0，（4）代入求根公式 因为x b b ac a =----±±2426452所以x x 12325325=-+=--，例2. 解关于x 的方程x 2＋mx ＋2＝mx 2＋3x 。
解：把原方程整理，化为(1－m)x 2＋(m －3)x ＋2＝0 ①因为二次项系数1－m 是含字母m 的式子，应该分类讨论：（1）当1－m ≠0，m ≠1时，①式是一元二次方程，可代入求根公式。
思维特训(六) 与一元二次方程有关的阅读理解
思维特训(六)与一元二次方程有关的阅读理解阅读材料型题是近年来中考试题中出现的新题型，它以内容丰富、构思新颖别致、题型多样为特点，由阅读材料和解决问题两局部组成，让考生在阅读的根底上，理解其中的内容、方法和思想，进而解决问题．解答阅读理解题，要读懂材料，正确理解题意，弄清题目要求，理清问题与材料之间的关系．把问题带到题目中，认真理解材料所提供的思路，多角度去考虑，或直接运用阅读中得到的方法、思想解决问题，或在材料中所提供的信息的根底上加以类比、变式、拓展得到类似的方法进展求解．类型一十字相乘法解一元二次方程1．阅读以下材料：(1)将多项式x2＋2x－35分解因式，我们可以按下面的方法解答：解：①竖分二次项与常数项：xx－57，x2＝x·x，－35＝(－5)×(＋7)．②穿插相乘，验中项：7x＋(－5x)＝2x←x×7＝7x，x×(－5)＝－5x且7x＋(－5x)＝2x.③横向写出两因式：x2＋2x－35＝(x＋7)(x－5)．我们将这种用十字穿插相乘分解因式的方法叫做十字相乘法．(2)根据乘法原理：假设ab＝0，那么a＝0或b＝0.试用上述方法和原理解以下方程：(1)x2－10x＋21＝0；(2)x2＋2x＝8；(3)x2－5x－6＝0.类型二换元法解一元二次方程2．请你先认真阅读以下材料，再参照例子解答问题：(x＋y－3)(x＋y＋4)＝－10，求x＋y的值．解：设t＝x＋y，那么原方程变形为(t－3)(t＋4)＝－10，即t2＋t－2＝0，∴(t＋2)(t－1)＝0，∴t1＝－2，t2＝1，∴x＋y＝－2或x＋y＝1.解答问题：(x 2＋y 2－4)(x 2＋y 2＋2)＝7，求x 2＋y 2的值．类型三 含绝对值的一元二次方程的解法3．阅读例题，解答问题．例：解方程：x 2＋||x ＋1－1＝0.解：(1)当x ＋1≥0，即x ≥－1时，原方程化为x 2＋x ＋1－1＝0，即x 2＋x ＝0，解得x 1＝0，x 2＝－1.(2)当x ＋1＜0，即x ＜－1时，原方程化为x 2－(x ＋1)－1＝0，即x 2－x －2＝0，解得x 1＝－1，x 2＝2.∵x ＜－1，∴x 1＝－1，x 2＝2都舍去．综上所述，原方程的解是x 1＝0，x 2＝－1.按照上述解法，解方程：x 2－2||x －2－4＝0.类型四 与一元二次方程有关的几何问题的解法4．发现考虑：等腰三角形ABC 的两边长分别是方程x 2－7x ＋10＝0的两个根，求等腰三角形ABC 三条边的长各是多少．下边是小明同学的作业，教师说他的做法有错误，请你找出错误之处并说明错误原因．小明的作业解：x 2－7x ＋10＝0，∵a ＝1，b ＝－7，c ＝10，∴b 2－4ac ＝9＞0，∴x ＝－b ±b 2－4ac 2a ＝7±32， ∴x 1＝5，x 2＝2.当腰为5，底为2时，等腰三角形的三条边长分别为5，5，2；当腰为2，底为5时，等腰三角形的三条边长分别为2，2，5.探究应用：请解答以下问题：等腰三角形ABC 的两边长分别是关于x 的方程x 2－mx ＋m 2－14＝0的两个实数根． (1)当m ＝2时，求△ABC 的周长；(2)当△ABC 为等边三角形时，求m 的值．5．阅读以下内容，并解题：我们知道，计算n 边形的对角线条数公式为：12n (n －3)． 假如一个n 边形共有20条对角线，那么可以得到方程12n (n －3)＝20. 整理得n 2－3n －40＝0，解得n ＝8或n ＝－5.∵n 为大于或等于3的整数，∴n ＝－5不合题意，舍去，∴n ＝8，即多边形是八边形．根据以上内容，解答以下问题：(1)假设一个多边形共有14条对角线，求这个多边形的边数；(2)A 同学说：“我求得一个多边形共有10条对角线〞，你认为A 同学的说法正确吗？为什么？类型五 构造一元二次方程6．问题：方程x 2＋x －1＝0，求一个一元二次方程，使它的根分别是方程根的2倍．解：设所求方程的根为y ，那么y ＝2x ，所以x ＝y 2. 把x ＝y 2代入方程，得(y 2)2＋y 2－1＝0. 化简，得y 2＋2y －4＝0.故所求方程为y 2＋2y －4＝0.这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法〞．请用阅读材料提供的“换根法〞求新方程(要求：把所求方程化成一般形式)：(1)方程x2＋x－2＝0，求一个一元二次方程，使它的根分别是方程根的相反数；(2)关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个不等于零的实数根，求一个一元二次方程，使它的根分别是方程根的倒数．详解详析1．解：(1)x2－10x＋21＝0.因式分解，得(x－3)(x－7)＝0，∴x－3＝0或x－7＝0，∴x1＝3，x2＝7.(2)x2＋2x＝8.整理，得x2＋2x－8＝0，因式分解，得(x－2)(x＋4)＝0，∴x－2＝0或x＋4＝0，∴x1＝2，x2＝－4.(3)x2－5x－6＝0.因式分解，得(x－6)(x＋1)＝0，∴x－6＝0或x＋1＝0，∴x1＝6，x2＝－1.2．解：设t＝x2＋y2，那么原方程变形为(t－4)(t＋2)＝7，即t2－2t－15＝0，解得t1＝5，t2＝－3(不合题意，舍去)，∴x2＋y2＝5.3．解：x2－2|x－2|－4＝0.(1)当x－2≥0，即x≥2时，原方程化为x2－2(x－2)－4＝0，即x2－2x＝0，解得x1＝0，x2＝2.∵x≥2，∴x＝0舍去．(2)当x－2＜0，即x＜2时，原方程化为x2＋2(x－2)－4＝0，即x2＋2x－8＝0，解得x1＝－4，x2＝2.∵x ＜2，∴x ＝2舍去．综上所述，原方程的解是x 1＝2，x 2＝－4.4．解：发现考虑：错误之处：当腰为2，底为5时，等腰三角形的三条边长分别为2，2，5. 错误原因：此时不能构成三角形．探究应用：(1)当m ＝2时，方程为x 2－2x ＋34＝0，∴x 1＝12，x 2＝32. 当腰为12时，12＋12＜32，∴12，12，32不能构成三角形； 当腰为32时，等腰三角形的三边长分别为32，32，12，此时周长为32＋32＋12＝72. 故当m ＝2时，△ABC 的周长为72. (2)假设△ABC 为等边三角形，那么原方程有两个相等的实数根，∴Δ＝(－m )2－4(m 2－14)＝m 2－2m ＋1＝0， ∴m 1＝m 2＝1.故当△ABC 为等边三角形时，m 的值为1.5．解：(1)设多边形的边数为n ，根据题意得12n (n －3)＝14， 整理得n 2－3n －28＝0，解得n ＝7或n ＝－4.∵n 为大于或等于3的整数，∴n ＝－4不合题意，舍去，∴n ＝7，即多边形的边数是7.(2)A 同学的说法不正确．理由如下：当12n (n －3)＝10时，整理得n 2－3n －20＝0， 解得n ＝3±892，∴符合方程n 2－3n －20＝0的正整数n 不存在，∴多边形的对角线不可能有10条．6．解：(1)设所求方程的根为y ，那么y ＝－x ，所以x ＝－y .把x ＝－y 代入方程x 2＋x －2＝0，得(－y )2＋(－y )－2＝0.化简，得y 2－y －2＝0.故所求方程为y 2－y －2＝0.(2)设所求方程的根为y ，那么y ＝1x ，所以x ＝1y. 把x ＝1y代入方程ax 2＋bx ＋c ＝0，得 a (1y )2＋b ·1y＋c ＝0， 去分母，得a ＋by ＋cy 2＝0.假设c ＝0，有ax 2＋bx ＝0，于是方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一个根为0，不符合题意． ∴c ≠0，故所求方程为cy 2＋by ＋a ＝0(c ≠0)．。
含绝对值符号的一元二次方程-初中数学知识点
含绝对值符号的一元二次方程
1．含绝对值符号的一元二次方程
含绝对值符号的一元二次方程．
方法一;分类讨论,即找出分段点考虑当绝对值符号内数式等于0时,x取值,由此分划,x取值范围.例如处理x+将x范围分为x小于-4,等于-4及x大于-4,这样消去了绝对值，将原方程转化为普通方程，进而求解。
4
又如解243
-=时分别考虑x大于0,等于0及小于0三种情况.但需要检验结果. (如给定方程考虑当x大x x
x=-,矛盾! )关于划分范围的方法若不是很熟练可参看百科"零点分段法”.
于0时解得6
方法二:整体换元.例如解246
-= ,如果分类讨论,虽然可行但较为繁琐.这里，我们可以将2x看成2x，
x x
则有24=6
-,把x视为未知数求解，解得x再分情况讨论(.上一题也可以) ,运算量就明显降低从这里就x x
可看出换元法的一一个优点形象的说，就是“过河拆桥”.
当然有些含绝对值的一元二次方程并非一定要使用此两种方法 (但这两种方法一般而言适用性很强)对于有些解法较为巧妙的试题(例如求含绝对值的二元二次方程组解的个数) ,可以通过观察,分析问题本质，设而不求,有时也是一种思路总之试题千变万化,因此解法也不必拘泥于以上两种方法.
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122 一元二次方程的解法-2021-2022学年九年级数学上(苏科版)(解析版)
1.2.2 一元二次方程的解法-公式法与因式分解法【基础知识】一、公式法解一元二次方程 1.一元二次方程的求根公式 一元二次方程，当时，.2.一元二次方程根的判别式 一元二次方程根的判别式：． ①当时，原方程有两个不等的实数根；②当时，原方程有两个相等的实数根；③当时，原方程没有实数根.3.用公式法解一元二次方程的步骤 用公式法解关于x 的一元二次方程的步骤：①把一元二次方程化为一般形式； ②确定a 、b 、c 的值（要注意符号）； ③求出的值；④若，则利用公式求出原方程的解；若，则原方程无实根.要点：（1）虽然所有的一元二次方程都可以用公式法来求解，但它往往并非最简单的，一定要注意方法的选择.（2）一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠，用配方法将其变形为：2224()24b b ac x a a -+=.①当240b ac ∆=->时，右端是正数．因此，方程有两个不相等的实根：21,24b b acx -±-=.② 当240b ac ∆=-=时，右端是零．因此，方程有两个相等的实根：1,22bx a =-.③ 当240b ac ∆=-<时，右端是负数．因此，方程没有实根.二、因式分解法解一元二次方程1.用因式分解法解一元二次方程的步骤 （1）将方程右边化为0；（2）将方程左边分解为两个一次式的积；（3）令这两个一次式分别为0，得到两个一元一次方程； （4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解. 2.常用的因式分解法提取公因式法，公式法（平方差公式、完全平方公式），十字相乘法等. 要点：（1）能用分解因式法来解一元二次方程的结构特点：方程的一边是0，另一边可以分解成两个一次因式的积；（2）用分解因式法解一元二次方程的理论依据：两个因式的积为0，那么这两个因式中至少有一个等于0；（3）用分解因式法解一元二次方程的注意点：①必须将方程的右边化为0；②方程两边不能同时除以含有未知数的代数式.【典例剖析】考点一：公式法【典例1】．小丽同学想用公式法解方程231x x -+=，你认为a ，b ，c 的值应分别为（ ） A ．1-，3，1- B ．1-，3，1 C ．1-，1-，1 D ．1，3-，1-【答案】A 【解析】∵231x x -+=，∴2310x x -+-=．∴1,3,1a b c =-==-．【典例2】．用公式法解方程23412x x +=，下列代入公式正确的是（ ）A ．x =B ．x =C ．x =D ．x =【答案】D 【解析】231240,3,12,4x x a b c -+===-=，代入求根公式得x =．【典例3】．当20,40a b ac ≠-≥的是（ ）A ．20ax bx c ++=B ．20ax bx c -+=C ．2ax bx c +=D ．2ax bx c =+【答案】A 【分析】根据公式法，判断选项中的一元二次方程的实数根是否是题目中给出的那个． 【解析】一元二次方程20ax bx c ++=，当0a ≠，240b ac -≥的时候，它有两个实数根242b b c aa -±-．故选：A ． 【点睛】本题考查一元二次方程的解法——公式法，解题的关键是掌握求根公式．【典例4】．方程2x 2-6x+3=0较小的根为p ，方程2x 2-2x-1=0较大的根为q ，则p+q 等于( ) A ．3 B ．2C ．1D ．23【答案】B 【解析】试题分析：2x 2－6x ＋3＝0， 这里a ＝2，b ＝－6，c ＝3， ∵△＝36－24＝12， ∴x 623±33±，即p 33- x 2－2x －1＝0，这里a ＝2，b ＝－2，c ＝－1， ∵△＝4＋8＝12， ∴x 223±13±， 即q ＝132+则p ＋q 2． 故选B ．点睛：此题考查了解一元二次方程－公式法，利用此方法解方程时，首先找出a ，b ，c ，计算出根的判别式的值，当根的判别式的值大于等于0时，代入求根公式求出解．考点二：因式分解法【典例5】．方程23x x =的根是（ ） A ．3x = B ．0x =C ．123,0x x =-=D ．123,0x x ==【答案】D 【分析】先把方程化为一般式，再把方程左边因式分解得x （x ﹣3）＝0，方程就可转化为两个一元一次方程x ＝0或x ﹣3＝0，然后解一元一次方程即可． 【解析】 解：∵x 2＝3x ， ∴x 2﹣3x ＝0， ∴x （x ﹣3）＝0， ∴x ＝0或x ＝3， 故选：D ． 【点睛】本题考查了利用因式分解法解一元二次方程ax 2+bx +c ＝0的方法：先把方程化为一般式，再把方程左边因式分解，然后把方程转化为两个一元一次方程，最后解一元一次方程即可． 【典例6】．方程2(3)5(3)x x x +=+的根是（ ） A ．52x =B ．3x =-或52x =C ．3x =-D ．3x =或52x =-【答案】B 【分析】利用因式分解法解一元二次方程即可． 【解析】解：2(3)5(3)x x x +=+ 移项，得2(3)5(3)0x x x +-+=()(3)250x x +-=解得：3x =-或52x = 故选B ． 【点睛】此题考查的是解一元二次方程，掌握利用因式分解法解一元二次方程是解决此题的关键． 【典例7】．下列方程中适合用因式分解法解的是（ ）A ．210x x -+=B ．2(10x x +=C ．22350x x ++=D ．2650x x --=【答案】B 【分析】根据因式分解法即可得． 【解析】观察四个选项可知，只有选项B 适合用因式分解法解，即2(10x x +=可因式分解为(1)(0x x +=， 故选：B ． 【点睛】本题考查了利用因式分解法解方程，掌握因式分解法是解题关键． 【典例8】．用因式分解法解方程，下列方法正确的是（ ） A ．∵()()22340x x --=，∴220x -=或340x -= B ．∵()()311x x +-=，∴30x +=或11x -= C ．∵()()2323x x --=⨯，∴22x -=或33x -= D ．∵()20x x +=，∴20x += 【答案】A 【解析】∵()()22340x x --=，∴220x -=或340x -=，A 选项正确，符合题意；由于使用因式分解法解方程时方程右边须为0，故B ，C 选项错误；∵()20x x +=，∴20x +=或0x =，故D 选项错误．考点三：综合题（换元法、含绝对值问题、设值（参）与代换问题）【典例9】．解方程① 9(x -3)2 = 25，② 6x2 -x = 1，③ x2 +4x -3596 = 0，④ x(x -1) = 1.较简便的方法依次是（）；A．开平方法、因式分解法、公式法、配方法B．因式分解法、公式法、公式法、配方法C．配方法、因式分解法、配方法、公式法D．开平方法、因式分解法、配方法、公式法【答案】D对于第①个方程，由于左右两边是某个数或式子的平方，据此选择开平方法解方程；对于方程②可结合因式分解中的基本方法分析即可得解; 对于方程③二次项系数为1可考虑配方法; 对于方程④利用公式法求解比较简便.【解析】解：方程①符合直接开方法的形式，因此选择开平方法比较简便；方程②等号左边含有公因式x，则可利用因式分解法比较简便；方程③等号左边二次项系数为1，则可利用配方法比较简便；方程④等号左边展开，移项，然后利用公式法求解比较简便.故选D.【点睛】本题是解一元二次方程的题目，关键是知道如何合理的选择解一元二次方程的方法.【典例10】0．已知(x+y)(x+y +2) = 15, 则x+y的值为（）.A．3或5 B．3或-5 C．-3或5 D．-3或-5【答案】B【分析】首先把x+y看做一个整体,然后利用因式分解法解此方程即可.【解析】解：方程整理，得：(x+y) ²+2(x+y)−15=0，因式分解，得： [(x+y)+5][(x+y)−3]=0，得：x＋y＝－5或x＋y＝3.故答案为B.【点睛】此题考查了解一元二次方程-因式分解法，熟练掌握此解法是解本题的关键．【典例11】．方程x|x|-3|x|+2=0的实数根的个数是（）．A．1；B．2；C．3；D．4．【答案】C【分析】利用绝对值的几何意义，假设x＞0或x＜0，分别分析得出即可．【解析】解：当x＞0时，原式=x2-3x+2=0，解得：x1=1；x2=2；当x＜0时，原式=-x2+3x+2=0，解得：x1（不合题意舍去），x2∴方程的实数解的个数有3个解．故选C．【点睛】此题主要考查的是含有绝对值符号的一元二次方程的一般计算题，充分考查的是绝对值的意义．【典例12】．在解方程（x+2）（x﹣2）=5时，甲同学说：由于5=1×5，可令x+2=1，x﹣2=5，得方程的根x1=﹣1，x2=7；乙同学说：应把方程右边化为0，得x2﹣9=0，再分解因式，即（x+3）（x﹣3）=0，得方程的根x1=﹣3，x2=3．对于甲、乙两名同学的说法，下列判断正确的是..（）A．甲错误，乙正确B．甲正确，乙错误C．甲、乙都正确D．甲、乙都错误【答案】A【解析】（x+2）（x﹣2）=5，x2-4=5，x2-9=0，（x+3）（x-3）=0，x+3=0或x-3=0，x1=-3，x2=3，所以甲错误，乙正确，故选A.【典例13】．已知一元二次方程（a+1）x2﹣ax+a2﹣a﹣2＝0的一个根与方程（a+1）x2+ax﹣a2+a+2＝0的一个根互为相反数，那么（a+1）x2+ax﹣a2+a+2＝0的根是（）A．0，﹣23B．0，23C．﹣1，2 D．1，﹣2【答案】A【解析】【分析】将x0、﹣x0分别代入已知的两个方程，求出a的值，再将a的值代入要求解的方程，解方程即可. 【解析】设x0为方程（a+1）x2﹣ax+a2﹣a﹣2=0的一个根，则﹣x0为方程（a+1）x2+ax﹣a2+a+2=0的一个根，∴（a+1）x02﹣a x0+a2﹣a﹣2=0①，（a+1）x02﹣a x0﹣a2+a+2=0②，∴①﹣②得：2a2﹣2a﹣4=0，即a2﹣a﹣2=0，解得a=2或﹣1，当a=2时，3x2+2x=0，解得x=0或﹣23；②当a=﹣1时，﹣x﹣1﹣1+2=0，解得x=0.∴方程的解是0或﹣2 3 .故选A.【点睛】本题主要考查一元二次方程的解的定义.【过关检测】一、单选题1．方程210x x+-=的根是（）A．1B C．1-D 【答案】D【分析】观察原方程，可用公式法求解. 【解析】解：∵1a =，1b =，1c =-， ∴241450b ac -=+=>，∴x =； 故选：D . 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，正确理解运用一元二次方程的求根公式是解题的关键.2．一元二次方程260x +-=的根是( )A ．12x x ==B ．120x x ==-，C ．12x x ==-D ．12x x ==-【答案】C找出方程中二次项系数a ，一次项系数b 及常数项c ，再根据x=2b a-± ，将a ，b 及c 的值代入计算，即可求出原方程的解． 【解析】解：∵a=1，c=-6∴ =2- =，∴x 1，x 2 故选：C ． 【点睛】本题考查利用公式法求一元二次方程的解，利用公式法解一元二次方程时，首先将方程化为一般形式，找出二次项系数，一次项系数及常数项，计算出根的判别式，当根的判别式≥0时，将a ，b 及c 的值代入求根公式即可求出原方程的解．3．一元二次方程x 2﹣px+q=0的两个根是（4q ＜p 2）（ ）A ．x =B ．x =C ．x =D ．x =【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次方程的求根公式x=(240b ac -≥)可直接得到答案．【解析】∵a=1，b=-p ，c=q ， ∴b 2-4ac=p 2-4q ， ∵4q ＜p 2， ∴b 2-4ac=p 2-4q ＞0，∴x= 2b a -故选A ． 【点睛】此题主要考查了公式法解一元二次方程，关键是掌握求根公式．4．若在实数范围内定义一种运算“*”,使a*b =(a +1)2-ab ,则方程(x +2)*5=0的解为( )A ．-2B ．-2,3C D【答案】D 【分析】根据题目所给的运算方法，列出一元二次方程，解方程求解即可. 【解析】∵a*b =(a +1)2-ab ,，∴(x +2)*5=(x +2+1)2-5(x +2)= x 2+x -1， ∵(x +2)*5=0， ∴x 2+x -1=0，解得x 1,x 2故选D. 【点睛】本题是阅读理解题，根据新运算的规则列出方程是解答此题的关键． 5．方程()()451x x +-=的根为（ ） A ．x=-4B ．x=5C ．14x =-，25x =D ．以上结论都不对【答案】D 【分析】把原方程化为一元二次方程的一般形式，利用公式法解方程即可. 【解析】原方程化为2210x x --=，利用求根公式有x =A 、B 、C 中都没有方程的根，故选D. 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，利用公式法解方程时，一定把方程化为一般形式.6．用公式法求一元二次方程的根时，首先要确定a 、b 、c 的值．对于方程-4x 2+3=5x ，下列叙述正确的是（ ） A ．a 4=-，b 5=，c 3= B ．a 4=-，b 5=-，c 3= C ．a 4=，b 5=，c 3= D ．a 4=，b 5=-，c 3=- 【答案】B 【分析】用公式法求一元二次方程时，首先要把方程化为一般形式． 【解析】 ∵-4x 2+3=5x∴-4x 2-5x+3=0，或4x 2+5x-3=0∴a=-4，b=-5，c=3或a=4，b=5，c=-3．故选B ． 【点睛】此题考查了公式法解一元二次方程的应用条件，首先要把方程化为一般形式． 7．一元二次方程2234x x x -+=-+ 的根是（ ）A ．11x =-2x 1=-B ．1x =， 212x =C ．112x+=,212x -=D ．1211x x =-+=--【答案】D 【解析】试题解析：方程整理得：2220.x x +-=()224242120.b ac ∆=-=-⨯-=>1x ===-±故选D.点睛：一元二次方程：()200.ax bx c a ++=≠公式法的求根公式为：x =8．方程ax 2+bx+c=0（a ＜0）有两个实根，则这两个实根的大小关系是（ ）ABC ．2b a -≤2b a-D 【答案】A 【解析】因为b b -≤-且 a ＜0,,故选A.9．已知实数x 满足()()2224120x x x x ----=，则代数式21x x -+的值是( )A ．7B ．-1C ．7或-1D ．-5或3【答案】A 【分析】将x 2-x 看作一个整体，然后利用因式分解法解方程求出x 2-x 的值，再整体代入进行求解即可. 【解析】∵(x 2﹣x)2﹣4(x 2﹣x)﹣12＝0， ∴(x 2﹣x+2)(x 2﹣x ﹣6)＝0， ∴x 2﹣x+2＝0或x 2﹣x ﹣6＝0， ∴x 2﹣x ＝﹣2或x 2﹣x ＝6； 当x 2﹣x ＝﹣2时，x 2﹣x+2＝0， ∵b 2﹣4ac ＝1﹣4×1×2＝﹣7＜0， ∴此方程无实数解；当x 2﹣x ＝6时，x 2﹣x+1＝7， 故选A ． 【点睛】本题考查了用因式分解法解一元二次方程，解本题的关键是把x 2-x 看成一个整体． 10．若方程()()x 23x 10-+=，则3x 1+的值为( )? A ．7 B ．2C ．0D ．7或0【答案】D 【分析】根据两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程，求出一次方程的解得到x 的值，将x 的值代入31x +中，即可求出值．方程2310x x -+=（）（），可得20x -=或310x +=，解得：12123x x ==-，，当2x =时，313217x +=⨯+=；当13x =-时，1313103x +=⨯-+=（）． 故选D ． 【点睛】本题考查了解一元二次方程-因式分解法，利用此方法解方程时首先将方程右边化为0，左边的多项式分解因式，然后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解． 11．方程2430x x -+=的解是（ ） A ．1x =±或3x =± B ．1x =或3x = C ．1x =-或3x =- D ．无实数根【答案】A 【解析】 【解析】（1）当x ＞0时，原方程可变形为2430x x -+=， 即()()310x x --=， 解得1x =或3x =；（2）当x ＜0时，原方程可变形为2430x x ++=， 即()()310x x ++=， 解得1x =-或3x =-，则方程2430x x -+=的解是1x =±或3x =±. 故选A. 【点睛】解本题的关键在于对方程去绝对值，再通过因式分解法来解方程即可. 12．若1x ，2x ，3x ，4x ，5x 为互不相等的正奇数，满足()()()()()2123452005200520052005200524x x x x x -----=，则2222212345x x x x x ++++的末位数字是（ ） A ．1B ．3C ．5D ．7【分析】因为1x ，2x ，3x ，4x ，5x 为互不相等的正奇数，所以()12005x -，()22005x -，()32005x -，()42005x -，()52005x -为互不相等的非零偶数（有偶数个负数），又因为26224=23 ，所以这5个偶数只能是2，-2，4，6，-6（否则就会有相同的偶数），所以1x ，2x ，3x ，4x ，5x 分别等于2007，2003，2001，1999，2011，所以2222212345x x x x x ++++的末位数字是1 【解析】解：∵1x ，2x ，3x ，4x ，5x 为互不相等的正奇数∴()12005x -，()22005x -，()32005x -，()42005x -，()52005x -为互不相等的偶数，且负数个数为偶数个而将224分解为5个互不相等的偶数之积，只有唯一的形式：2242(2)46(6)=⋅-⋅⋅-∴()12005x -，()22005x -，()32005x -，()42005x -，()52005x -分别等于2、()2-、4、6、()6- ∴1x ，2x ，3x ，4x ，5x 分别等于2007，2003，2001，1999，2011又∵20072尾数是9，20032尾数是9，20012尾数是1，19992尾数是1，20112尾数是1∴2222212345x x x x x ++++的末位数字是1．故选A ． 【点睛】本题主要考查了数字变化类的一些简单的问题，能够掌握七内在规律并熟练求解是解题关键．二、填空题13．方程()()1312x x -+=的解为________． 【答案】3或5- 【分析】首先把方程转化为一般形式，再利用公式法求解． 【解析】（x-1）（x+3）=12 x 2+3x-x-3-12=0 x 2+2x-15=0282-±==, ∴x 1=3，x 2=-5 故答案是:3或-5． 【点睛】考查了学生解一元二次方程的能力，解决本题的关键是正确理解运用求根公式． 14．把方程2511333x x +=-化为一般形式是______，其中a =______，b =______，c =______，24b ac -=______，方程的根是1x =______，2x =______.【答案】23520x x --= 3 －5 －2 49 13- 2 【分析】方程整理为一般形式，找出一般形式中a ，b ，c 的值，计算出根的判别式的值大于0，代入求根公式即可求出解． 【解析】 解：方程2511333x x +=-化为一般形式是：23520x x --=， ∴a ＝3，b ＝−5，c ＝−2， ∵b 2−4ac ＝25＋24＝49， ∴x ＝54957236， 则方程的解为x 1＝13-，x 2＝2． 故答案为23520x x --=；3，−5，−2，49；13-，2． 【点睛】此题考查了公式法解一元二次方程，熟练掌握求根公式是解题关键．15．方程20.250x x +-=中，24b ac -的值为__________，根是___________．【答案】5 12x x ==【分析】根据公式法解一元二次方程即可． 【解析】解：20.250x x +-= a=0.2，b=1，c=-5∴24b ac -=()2140.2550-⨯⨯-=<∴x=120.2-±⨯=52-±∴125522x x -+--==故答案为：5；12x x ==【点睛】此题考查的是解一元二次方程，掌握利用公式法解一元二次方程是解决此题的关键． 16．方程()()2232x x -=-用________法求解较宜，解得方程的根是____________ 【答案】因式分解 122 5.x x ==， 【分析】先移项，然后利用因式分解法进行解方程，即可求出方程的根． 【解析】解：∵()()2232x x -=-， ∴()()22320x x ---=， 利用因式分解法，得()()2230x x ---=，∴()()250x x --=， ∴20x -=或50x -=，∴122, 5.x x ==∴原方程的根是122, 5.x x == 故答案为：因式分解；122, 5.x x == 【点睛】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握因式分解法解方程． 17．一元二次方程x(x ﹣5)=x ﹣5的解为___________． 【答案】x 1=5，x 2=1 【分析】先移项得到x （x ﹣5）﹣（x ﹣5）=0，然后利用因式分解法解方程． 【解析】解：x （x ﹣5）﹣（x ﹣5）=0， （x ﹣5）（x ﹣1）=0， x ﹣5=0或x ﹣1=0， 所以x 1=5，x 2=1． 故填x 1=5，x 2=1． 【点睛】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．18．已知2－4c>0)，则x 2＋bx ＋c 的值为_______________________.【答案】0 【分析】把x 的值代入代数式，再进行计算即可． 【解析】∵2(40)2b x bc -=->，∴2,x bx c ++2,22b b b c ⎛⎫--=+⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭,c =,c =2222422,4b bc b c ---+=+,c c =-+ 0.=故答案为0. 【点睛】考查解一元二次方程-公式法，把x 的值代入是解题的关键.19．设A 是方程x 2的所有根的绝对值之和,则A 2=________. 【答案】4083 【分析】根据公式法得到，再根据题意得到，计算即可得到答案.【解析】由公式法得x=2，则=A 2=4083.【点睛】本题考查公式法求一元二次方程，解题的关键是掌握公式法求一元二次方程.20．定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们就称这两个方程为“友好方程”．已知关于x 的一元二次方程2455x x m mx -+=+和2210x x m ++-=互为“友好方程”，则m 的值为_______．【答案】34-或1或2- 【分析】先利用因式分解法解方程2455x x m mx -+=+，得到x 1=5，x 2=m-1．再分别将x=5，x=m-1代入x 2+2x+m-1=0，求出m 的值即可． 【解析】2455x x m mx -+=+，整理得2(4)5(1)0x m x m -++-=，分解因式，得(5)[(1)]=0x x m ---， 解得1251x x m ==-，．当5x =时，221x x m ++-=251010m ++-=， 解得34m =-；当1x m =-时，221x x m ++-=21)11)0(2(m m m -+-+=-， 解得1m =或2m =-． 所以m 的值为34-或1或2-． 故答案为：34-或1或2-． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．也考查了利用因式分解法解方程，求出方程2455x x m mx -+=+的两个解是解题的关键． 21．已知c 为实数，并且方程x 2﹣3x +c =0的一个根的相反数是方程x 2+3x ﹣c =0的一个根，则方程x 2+3x ﹣c =0的解是______． 【答案】x 1=0，x 2=﹣3． 【解析】解：设方程x 2﹣3x +c =0一个根为t ，则t 2﹣3t +c =0①，因为﹣t 为方程x 2+3x ﹣c =0的一个根，所以t 2﹣3t ﹣c =0②，由①②得：c =0，解方程x 2+3x =0得：x 1=0，x 2=﹣3．故答案为x 1=0，x 2=﹣3．22．对于实数a ，b ，定义运算“*”，a *b ＝22()()a ab a b ab b a b ⎧->⎨-≤⎩例如4*2．因为4＞2，所以4*2＝42－4×2＝8，若x 1、x 2是一元二次方程x 2－9x ＋20＝0的两个根，则x 1*x 2＝__． 【答案】4【解析】试题分析：先求出方程的两个根，再利用新定义的运算法则计算,计算时需要分类讨论.试题解析：x 2－7x ＋12＝0，(x －4)(x －3)＝0，x －4＝0或x －3＝0，∴x 1＝4，x 2＝3或x 1＝3，x 2＝4.当x 1＝4，x 2＝3时，x 1*x 2＝42－4×3＝4， 当x 1＝3，x 2＝4时，x 1*x 2＝3×4－42＝－4，∴x 1*x 2的值为4或－4. 点睛：定义新运算是一种人为的、临时性的运算形式，是可以深刻理解数学本源的题型，它使用的是一些特殊的运算符号，如：*、△、⊙，#等，解答定义新运算，关键是要正确地理解新定义的算式含义，然后严格按照新定义的计算程序，将数值代入，转化为常规的四则运算算式进行计算.三、解答题23．公式法解方程：（1）2220x x +-=；（2）2(2)3x x x +=-；（3）228817x x x -+=．【答案】（1）1211x x =-=-2）121,32x x ==-；（3）1211,2x x =-=． 【分析】（1）直接利用公式法求解即可；（2）方程整理成一般式后，直接利用公式法求解即可；（3）方程整理成一般式后，直接利用公式法求解即可．【解析】（1）122a b c ===-，，，224241(2)120b ac ∴∆=-=-⨯⨯-=>，1x ∴===-即1211x x =-=-（2）2(2)3x x x +=-，22530x x ∴+-=，253a b c ∴===-，，，224542(3)49b ac ∴∆=-=-⨯⨯-=，557244b x a ---±∴===，12132x x ∴==-，；（3）228817x x x -+=，整理，得2210x x +-=，211a b c ∴===-，，，224142(1)9b ac ∴∆=-=-⨯⨯-=，134x -±∴===，12112x x ∴=-=，．【点睛】本题考查了解一元二次方程-公式法，熟练掌握求根公式是解本题的关键．24．用因式分解法解下列关于x 的方程（1）()()2234410x x --+= （2）23(5)2(5)x x -=-（3）(1)(2)24x x x ++=+ （4）2(2)3(2)40x x +++-= 【答案】（1）137x =，25x =-；（2）15=x ，2133x =；（3）12x =-，21x =；（4）16x =-，21x =-【分析】（1）利用因式分解法解一元二次方程即可；（2）移项，然后利用因式分解法解一元二次方程即可；（3）移项，然后利用因式分解法解一元二次方程即可；（4）利用因式分解法解一元二次方程即可．【解析】解：（1）()()22344+1=0x x --()()()()344+1344+1=0x x x x ⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦-+-- ()()735=0x x --- 解得：137x =，25x =- （2）23(5)2(5)x x -=-23(5)2(5)0x x -+-=[](5)3(5)20x x --+=()(5)3130x x --=解得：15=x ，2133x = （3）(1)(2)24x x x ++=+()(1)(2)220x x x ++-+=()2(1)0x x +-=解得：12x =-，21x =（4）2(2)3(2)40x x +++-=(24)(21)0x x +++-=(6)(1)0x x ++=解得：16x =-，21x =-【点睛】此题考查的是解一元二次方程，掌握利用因式分解法解一元二次方程是解决此题的关键．25．按指定的方法解方程：（1）9（x ﹣1）2﹣5=0（直接开平方法）（2）2x 2﹣4x ﹣8=0（配方法）（3）6x 2﹣5x ﹣2=0（公式法）（4）（x+1）2=2x+2（因式分解法）【答案】（1）x 1，x 22）x 1x 2=13）x 1，x 2（4）x 1=﹣1，x 2=1．【分析】（1）移项后，利用直接开平方法解方程；（2）利用配方法，先把二次项的系数化为1，再确定一次项的系数，然后配方即可；（3）先确定a 、b 、c 的值，然后求出△=b 2-4ac ，判断后利用公式法解方程即可；（4）把方程右边提公因式2，再移项，提公因式x+1即可解方程.【解析】（1）移项得：9（x ﹣1）2=5，（x ﹣1）2=59，开方得：x ﹣x 1，x 2； （2）2x 2﹣4x ﹣8=0，2x 2﹣4x=8，x 2﹣2x=4，配方得：x 2﹣2x+1=4+1，（x ﹣1）2=5，开方得：x ﹣x 1x 2=1（3）6x 2﹣5x ﹣2=0，b 2﹣4ac=（﹣5）2﹣4×6×（﹣2）=73，x 1=12，x 2=512； （4）（x+1）2=2x+2，（x+1）2﹣2（x+1）=0，（x+1）（x+1﹣2）=0，x+1=0，x+1﹣2=0，x 1=﹣1，x 2=1．【点睛】此题主要考查了一元一次方程的解法，关键是熟练掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法.26．用因式分解法解下列关于x 的方程：（1）2152x x -=；（2）224(3)(2)0+--=x x ；（3）222(3)9x x -=-；（4）22204a x ax b -+-=．【答案】（1）10x =，210x =-；（2）18x =-，243x =-；（3）13x =，29x =；（4）112x a b =-，212x a b =+．【分析】（1）移项后提取公因式；（2）使用平方差公式；（3）等式右边用平方差公式分解，然后移项提取公因式；（4）前面三项可以用完全平方公式分解，然后用平方差公式．【解析】解：（1）2152x x -=，21502x x +=，1502x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则有0x =或1502x +=， 解得：10x =，210x =-；（2）224(3)(2)0+--=x x ，[][]2(3)(2)2(3)(2)0x x x x +--++-=，(8)(34)0x x ++=，则有80+=x 或340+=x ，解得：18x =-，243x =-； （3）222(3)9x x -=-，22(3)(3)(3)x x x -=+-，[](3)2(3)(3)0x x x ---+=，(3)(9)0x x --=，则有30x -=或90x -=，解得：13x =，29x =；（4）22204a x ax b -+-=， 2202⎛⎫--= ⎪⎝⎭a x b ， 022a a x b x b ⎛⎫⎛⎫-+--= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 则有02a x b -+=或02--=a x b ， 解得：112x a b =-，212x a b =+． 【点睛】本题考查用因式分解法解一元二次方程，需要先将等式右边变成0，然后观察等式左边，采用适当的方法进行因式分解，最后由每个因式等于0求出方程的根．27．选用适当的方法解下列方程：（1）（3﹣x ）2+x 2＝9；（2）（2x ﹣1）2+（1﹣2x ）﹣6＝0；（3）（3x ﹣1）2＝4（1﹣x ）2；（4x ﹣1）2＝（1﹣x ）【答案】（1）x 1＝0，x 2＝3；（2）x 1＝2，x 2＝﹣12；（3）x 1＝﹣1，x 2＝35；（4）x 1＝1，x 2＝22 ． 【分析】（1）用完全平方式变形后，提出公因式求解即可；（2）整理后分解因式得出两个一元一次方程，求解即可；（3）先开平方，可得出两个一元一次方程，求解即可；（4）移项后整理分解因式即可求解．【解析】解：（1）（3﹣x ）2+x 2＝9，2x 2﹣6x ＝0，x 2﹣3x ＝0，x （x ﹣3）＝0，x 1＝0，x 2＝3；（2）（2x ﹣1）2+（1﹣2x ）﹣6＝0，（2x ﹣1）2﹣（2x ﹣1）﹣6＝0，（2x ﹣1﹣3）（2x ﹣1+2）＝0，x 1＝2，x 2＝﹣12； （3）（3x ﹣1）2＝4（1﹣x ）2；3x ﹣1＝±2（x ﹣1），3x ﹣1＝2x ﹣2或3x ﹣1＝﹣2x +2，x 1＝﹣1，x 2＝35；（4x ﹣1）2＝（1﹣x ），x ﹣1）2+（x ﹣1）＝0，（x ﹣1）＝0，x 1＝1，x 2＝22-．【点睛】本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解一元二次方程是解此题的关键．28．选择合适的方法解方程：（1）(1)x x x -=；（2）(1)(1)2(3)8x x x +-++=；（326x =（4）2210x x --=．【答案】（1）120,2x x ==；（2）123,1x x =-=；（3）1x 2x =（4）11x =21x =【分析】（1）移项后利用分解因式法求解；（2）先化为一般形式，再利用分解因式法求解；（3）二次项系数化为1后利用配方法求解；（4）利用公式法解答即可．【解析】解：（1）移项，得(1)0x x x --=，提取公因式，得(11)0x x --=．∴0x =或110x --=，解得：120,2x x ==；（2）整理，得212680x x -++-=，即2230x x +-=，因式分解，得(3)(1)0x x +-=．即30x +=或10x -=，解得：123,1x x =-=；（326x -=二次项系数化为1，得21x -=-．配方，得2221x -+=-+，即2(2x =，∴x -=解得：1x =2x =（4）方程中，1,2,1a b c ==-=-，2(2)41(1)80∴∆=--⨯⨯-=>．∴212x ==即11x =21x =【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，属于基本题型，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题关键． 29．解方程：(x －2 013)(x －2 014)＝2 015×2 016．【答案】原方程的解为x 1＝4 029，x 2＝－2．【分析】根据题意结合等式的性质可分情况讨论，将方程转化为两个方程组，方程组2013201620142015x x -=⎧⎨-=⎩或2013201520142016x x -=-⎧⎨-=-⎩，然后分别解方程组即可求解． 【解析】解：由题意得：方程组2013201620142015x x -=⎧⎨-=⎩的解一定是原方程的解，解得x ＝4 029， 方程组2013201520142016x x -=-⎧⎨-=-⎩的解也一定是原方程的解，解得x ＝－2， ∵原方程最多有两个实数解，∴原方程的解为x 1＝4 029，x 2＝－2．30．小明在解方程x 2﹣5x ＝1时出现了错误，解答过程如下：∵a ＝1，b ＝﹣5，c ＝1，（第一步）∴b 2﹣4ac ＝（﹣5）2﹣4×1×1＝21（第二步）∴x =∴152x =，252x =（第四步） （1）小明解答过程是从第 步开始出错的，其错误原因是 ．（2）写出此题正确的解答过程．【答案】（1）一，原方程没有化简为一般形式；（2）见解析【分析】（1）根据一元二次方程的解法步骤即可求出答案．（2）根据一元二次方程的解法即可求出答案．【解析】解：（1）确定一元二次方程的系数时，应该先化简为一般形式，所以小明解答过程是从第一步开始出错的，其错误原因是原方程没有化简为一般形式．故答案为：一，原方程没有化简为一般形式．（2）∵a ＝1，b ＝﹣5，c ＝﹣1，∴b 2﹣4ac ＝（﹣5）2﹣4×1×（﹣1）＝29．∴x =∴1x ，2x = 【点睛】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法．31．阅读理解：方程()200++=≠ax bx c a 的根是x =.方程20y by ac ++=的根是y =因此，要求()200++=≠ax bx c a 的根，只要求出方程20y by ac ++=的根，再除以a 就可以了. 举例：解方程2172806x x ++=. 解：先解方程：2187206y y ++⨯=，得12y =-，26y =-. 所以方程2172806x x ++=的两根是1272x -=，2672x -=. 即1136x =-，2112x =-. 请按上述阅读理解中所提供的方法解方程2149607x x +-=. 【答案】1149x =，217x =- 【分析】 根据材料中方法先求出方程2164907y y +-⨯=的根，然后再除以49即可. 【解析】 先解方程2164907y y +-⨯=，即2670y y +-=， 分解因式得()()170y y -+=，解得11y =，27y =-，∴方程2149607x x +-=的解为1149x =，217x =-. 【点睛】此题考查了解一元二次方程−公式法与因式分解法，理解题中的方法是解本题的关键．32．阅读下面的材料：解方程2||20x x --=．解：当0x >时，原方程化为220x x --=，解得122,1x x ==-（不合题意，舍去）；当0x =时，20-=，矛盾，舍去；当0x <时，原方程化为220x x +-=解得122,1x x =-=（不合题意，舍去）．综上所述，原方程的根是122,2x x ==-．请参照上面材料解方程．（1）2|1|10x x ---=；（2）2|21|4x x =-+．【答案】（1）121,2x x ==-；（2）123,1x x ==-【分析】（1）分三种情况去掉绝对值，化成一元二次方程，解一元二次方程即可．（2）分三种情况去掉绝对值，化成一元二次方程，解一元二次方程即可．【解析】（1）2|1|10x x ---=，当1x >时，原方程化为20x x -=，解得1210x x ==（舍去），（不合题意，舍去）； 当1x =时，原方程化为1010--=，∴1x =是原方程的解；当1x <时，原方程化为220x x +-=，解得1221x x =-=，（不合题意，舍去）．综上所述，原方程的根是1212x x ==-，； （2）2|21|4x x =-+， 当12x >时，原方程化为2230x x --=， 解得1231x x ==-，（不合题意，舍去）； 当12x =时，144=，矛盾，舍去； 当12x <时，原方程化为2250x x +-=，解得11x =-21x =-（不合题意，舍去）．综上所述，原方程的根是1231x x ==-，【点睛】本题考查了解一元二次方程的应用，解此题的关键是能把含绝对值的一元二次方程转化成一元一次方程． 33．已知a 是一元二次方程2410x x -+=的两个实数根中较小的根.（1）求242012a a -+的值；（2）化简求值21211a a a a-+-.【答案】（1）2011；（2）a-1，1【分析】（1）因为a 是一元二次方程的根，可得到2410a a -+=，进而可得到结果；（2）先解出方程，方程两个解中较小的为a ，然后利用二次根式与分式的化简法则对代数式进行化简，最后代入a 即可.【解析】（1）a 是一元二次方程2410x x -+=的两个实数根中最小的根，2410a a ∴-+=.2420122011a a ∴-+=.（2）解方程可得12x =22x =a 是一元二次方程2410x x -+=的两个实数根中最小的根，2a ∴=110a ∴-=<.21211a a a a-+--()2111a a a -=- ()21(1)(1)=(1)a a a a a a ------ ()21(1)a a a a -=- 1a =-∴原式1=【点睛】本题考查一元二次方程的解以及二次根式的混合运算，解题关键在于能够得到a 的值.34．观察下列方程：①2227910x x -+=；②2223660x x -+=；③2219450x x -+=；④2215280x x -+=；⑤2211150x x -+=；…上面每一个方程的二次项系数都是2，各个方程的解都不同，但每个方程24b ac -的值均为1．（1）请你写出两个方程，使每个方程的二次项系数都是2，且每个方程的24b ac -的值也都是1，但每个方程的解与已知的5个方程的解都不相同．（2）对于一般形式的一元二次方程20ax bx c ++=（a≠0，24b ac -≥0），能否作出一个新方程20ax b x c '+'+=，使24b ac -与24b ac '-'相等？若能，请写出所作的新的方程（b '，c '需用a ，b ，c 表示），并说明理由；若不能，也请说明理由．【答案】（1）答案不惟一，如2227602310x x x x -+=-+=，；（2）能，见解析.【解析】【分析】（1）先根据已知条件每个方程的二次项系数都是2，且每个方程的24b ac -的值也都是1，但每个方程的解与已知的5个方程的解都不相同这个条件，再根据根的判别式即可求出答案.（2）根据（1）可得出一个新方程20ax b x c '+'+＝，使24b ac -与24b ac '-'相等.【解析】（1）答案不惟一，如2227602310x x x x -+=-+=，；（2）能，所作的新方程为2(2)()0ax b a x a b c +++++=．通过观察可以发现2b b a c a b c ''=+=++，．【点睛】本题主要考查了根的判别式，解题时要找出规律，得出新的方程是此题的关键.35．阅读下列材料：解方程：x 4﹣6x 2+5＝0．这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：设x 2＝y ，那么x 4＝y 2，于是原方程可变为y 2﹣6y +5＝0…①，解这个方程得：y 1＝1，y 2＝5．当y ＝1时，x 2＝1，∴x ＝±1；当y ＝5时，x 2＝5，∴x ＝所以原方程有四个根：x 1＝1，x 2＝﹣1，x 3x 4在这个过程中，我们利用换元法达到降次的目的，体现了转化的数学思想．（1）解方程（x 2﹣x ）2﹣4（x 2﹣x ）﹣12＝0时，若设y ＝x 2﹣x ，则原方程可转化为 ；求出x（2）利用换元法解方程：224224x x x x -+-＝2．【答案】（1）y 2﹣4y ﹣12＝0，x 1＝-2，x 2＝3；（2）x 1＝x 2＝1【分析】（1）直接代入得关于y 的方程，然后进行计算，即可得到结果；（2）设y=224x x -把分式方程变形后求解，把解代入设中求出x 的值． 【解析】解：（1）设y ＝x 2﹣x ，原方程可变形为：y 2﹣4y ﹣12＝0故答案为：y 2﹣4y ﹣12＝0 ，∴(6)(2)0y y -+=，∴6y =或2y =-，∴26x x -=或22x x -=-解得：x 1＝-2，x 2＝3． （2）设y ＝224x x -，则2412x x y-=， 原方程变形为：120y y+-=， 去分母，得y 2﹣2y +1＝0，即（y ﹣1）2＝0解得，y 1＝y 2＝1经检验，y ＝1是分式方程的根． ∴224x x -＝1， 即x 2﹣2x ﹣4＝0解得：x 1＝x 2＝1经检验，∴原分式方程的解为：x 1＝x 2＝1【点睛】本题考查了一元二次方程、分式方程的解法．看懂题例理解换元法是关键．换元法的一般步骤有：设元、换元、解元、还原几步．注意应用换元法解分式方程，注意验根．36．阅读下面材料：材料一：分解因式是将一个多项式化为若干个整式积的形式的变形，“十字相乘法”可把某些二次三项式分解为两个一次式的乘积，具体做法如下：对关于x ，y 的二次三项式22ax bxy cy ++，如图1，将2x 项系数12a a a =⋅，作为第一列，2y 项系数12c c c =⋅，作为第二列，若1221a c a c +恰好等于xy 项的系数b ，那么22ax bxy cy ++可直接分解因式为：()()221122ax bxy cy a x c y a x c y ++=++示例1：分解因式：2256x xy y ++解：如图2，其中111=⨯，623=⨯，而51312=⨯+⨯；∴2256(2)(3)x xy y x y x y ++=++；示例2：分解因式：22412x xy y --．解：如图3，其中111=⨯，1262-=-⨯，而4121(6)-=⨯+⨯-；∴22412(6)(2)x xy y x y x y --=-+；材料二：关于x ，y 的二次多项式22ax bxy cy dx ey f +++++也可以用“十字相乘法”分解为两个一次式的乘积．如图4，将12a a a =作为一列，12c c c =作为第二列，12f f f =作为第三列，若1221a c a c b +=，1221a f a f d +=，1221c f c f e +=，即第1、2列，第1、3列和第2、3列都满足十字相乘规则，则原式分解因式的结果为：()()22111222ax bxy cy dx ey f a x c y f a x c y f +++++=++++；示例3：分解因式：2243283x xy y x y -+-+-．解：如图5，其中111=⨯，3(1)(3)=-⨯-，3(3)1-=-⨯；满足41(3)1(1)-=⨯-+⨯-，21(3)11,8(3)(3)(1)1-=⨯-+⨯=-⨯-+-⨯；∴2243283(3)(31)x xy y x y x y x y -+-+-=---+请根据上述材料，完成下列问题：（1）分解因式：232x x ++= ；2256220x xy y x y -+++-= ；（2）若x ，y ，m 均为整数，且关于x ，y 的二次多项式2262120x xy y x my +--+-可用“十字相乘法”分解为两个一次式的乘积，求出m 的值，并求出关于x ，y 的方程22621201x xy y x my +--+-=-的整数解．【答案】（1）(1)(2)x x ++，(35)(24)x y x y -+--；（2）5456m m ==-，14x y =-⎧⎨=⎩和24x y =⎧⎨=-⎩【分析】（1）①直接用十字相乘法分解因式；②把某个字母看成常数用十字相乘法分解即可；。
初中数学《一元二次方程的解法》十大题型含解析
一元二次方程的解法【十大题型】【题型1直接开平方法解一元二次方程】【题型2配方法解一元二次方程】【题型3公式法解一元二次方程】【题型4因式分解法解一元二次方程】【题型5十字相乘法解一元二次方程】【题型6用适当方法解一元二次方程】【题型7用指定方法解一元二次方程】【题型8用换元法解一元二次方程】【题型9解含绝对值的一元二次方程】【题型10配方法的应用】知识点1：直接开平方法解一元二次方程根据平方根的意义直接开平方来解一元二次方程的方法，叫做直接开平方法.直接降次解一元二次方程的步骤:①将方程化为x2=p(p≥0)或(mx+n)2=p(p≥0,m≠0)的形式；②直接开平方化为两个一元一次方程；③解两个一元一次方程得到原方程的解.【题型1直接开平方法解一元二次方程】1(23-24九年级上·广东深圳·期中)将方程(2x-1)2=9的两边同时开平方，得2x-1=，即2x-1=或2x-1=，所以x1=，x2=．【答案】±33-32-1【分析】依照直接开平方法解一元二次方程的方法及步骤,一步步解出方程即可【详解】∵(2x-1)2=9∴2x-1=±3∴2x-1=3，2x-1=-3∴x1=2，x2=-1【点睛】此题考查解一元二次方程直接开平方法，掌握运算法则是解题关键2(23-24九年级上·贵州遵义·阶段练习)用直接开平方解下列一元二次方程，其中无解的方程为()A.x2+9=0B.-2x2=0C.x2-3=0D.(x-2)2=0【答案】A【分析】根据负数没有平方根即可求出答案．【详解】解：(A )移项可得x 2=-9，故选项A 无解；(B )-2x 2=0，即x 2=0，故选项B 有解；(C )移项可得x 2=3，故选项C 有解；(D )x -2 2=0，故选项D 有解；故选A ．【点睛】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法．3(23-24九年级上·陕西渭南·阶段练习)如果关于x 的一元二次方程x -5 2=m -7可以用直接开平方求解，则m 的取值范围是．【答案】m ≥7【分析】根据平方的非负性得出不等式，求出不等式的解集即可．【详解】解：∵方程x -5 2=m -7可以用直接开平方求解，∴m -7≥0，解得：m ≥7，故答案为：m ≥7．【点睛】本题考查了解一元二次方程和解一元一次不等式，能得出关于m 的不程是解此题的关键．4(23-24九年级上·河南南阳·阶段练习)小明在解一元二次方程时，发现有这样一种解法：如：解方程x x +4 =6．解：原方程可变形，得：x +2 -2 x +2 +2 =6．x +2 2-22=6，x +2 2=10．直接开平方并整理，得．x 1=-2+10，x 2=-2-10．我们称小明这种解法为“平均数法”(1)下面是小明用“平均数法”解方程x +5 x +9 =5时写的解题过程．解：原方程可变形，得：x +a -b x +a +b =5．x +a 2-b 2=5，∴x +a 2=5+b 2．直接开平方并整理，得．x 1=c ，x 2=d ．上述过程中的a 、b 、c 、d 表示的数分别为______，______，______，______．(2)请用“平均数法”解方程：x -5 x +7 =12．【答案】(1)7，2，-4，-10．(2)x 1=-1+43，x 2=-1-43．【分析】(1)仿照平均数法可把原方程化为x +7 -2 x +7 +2 =5，可得x +7 2=9，再解方程即可；(2)仿照平均数法可把原方程化为x +1 -6 x +1 +6 =12，可得x +1 2=48，再解方程即可；【详解】(1)解：∵x +5 x +9 =5，∴x +7 -2 x +7 +2 =5，∴x +7 2-4=5，∴x +7 2=9，∴x +7=3或x +7=-3，解得：x 1=-4，x 2=-10．∴上述过程中的a 、b 、c 、d 表示的数分别为7，2，-4，-10．(2)∵x -5 x +7 =12，∴x +1 -6 x +1 +6 =12，∴x +1 2-36=12，∴x +1 2=48，∴x +1=43，x +1=-43，解得：x 1=-1+43，x 2=-1-43．【点睛】本题考查的是一元二次方程的解法，新定义运算的含义，理解平均数法结合直接开平方法解一元二次方程是解本题的关键．知识点2配方法解一元二次方程将一元二次方程配成(x +m )2=n 的形式，再用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．用配方法解一元二次方程的步骤：①把原方程化为ax 2+bx +c =0(a ≠0)的形式；②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解．【题型2配方法解一元二次方程】1(23-24九年级上·广东深圳·期中)用配方法解方程，补全解答过程．3x 2-52=12x ．解：两边同除以3，得______________________________．移项，得x 2-16x =56．配方，得_________________________________，即x -112 2=121144．两边开平方，得__________________，即x -112=1112，或x -112=-1112．所以x 1=1，x 2=-56．【答案】x 2-56=16x x 2-16x +112 2=56+112 2 x -112=±1112【分析】方程两边除以3把二次项系数化为1，常数项移到右边，两边加上一次项系数一半的平方，利用完全平方公式变形后，开方即可求出解．【详解】3x 2-52=12x ．解：两边同除以3，得x 2-56=16x ．移项，得x 2-16x =56．配方，得x2-16x+1122=56+112 2，即x-1 122=121144．两边开平方，得x-112=±1112，即x-112=1112，或x-112=-1112．所以x1=1，x2=-5 6．【点睛】此题考查了解一元二次方程-配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．2(23-24九年级下·广西百色·期中)用配方法解方程x2-6x-1=0时，配方结果正确的是()A.x-32=9 B.x-32=10 C.x+32=8 D.x-32=8【答案】B【分析】此题考查了配方法求解一元二次方程，解题的关键是掌握配方法求解一元二次方程的步骤．根据配方法的步骤，求解即可．【详解】解：x2-6x-1=0移项得：x2-6x=1配方得：x2-6x+9=1+9即x-32=10故选：B3(24-25九年级上·全国·假期作业)用配方法解方程：x2+2mx-m2=0．【答案】x1=-m+2m，x2=-m-2m【分析】本题考查了解一元二次方程--配方法．先移项，再进行配方，最后开方即可得．【详解】解：移项得x2+2mx=m2，配方得x2+2mx+m2=m2+m2，即x+m2=2m2，所以原方程的解为：x1=-m+2m，x2=-m-2m．4(2024·贵州黔东南·一模)下面是小明用配方法解一元二次方程2x2+4x-8=0的过程，请认真阅读并完成相应的任务．解：移项，得2x2+4x=8第一步二次项系数化为1，得x2+2x=4第二步配方，得x+22=8第三步由此可得x+2=±22第四步所以，x1=-2+22，x2=-2-22第五步①小明同学的解答过程，从第步开始出现错误；②请写出你认为正确的解答过程．【答案】①第三步；②详见解析【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握配方法，先将方程2x2+4x-8=0变为x2+2x=4，然后配方为x+12=8，再开平方即可．【详解】解：①小明同学的解答过程，从第三步开始出现错误；②2x2+4x-8=0，移项，得2x2+4x=8，二次项系数化为1，得x2+2x=4，配方，得x+12=5，由此可得x+1=±5，所以，x1=-1+5，x2=-1-5．知识点3公式法解一元二次方程当b2-4ac≥0时，方程ax2+bx+c=0(a≠0)通过配方，其实数根可写为x=-b±b2-4ac2a的形式，这个式子叫做一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式，把各项系数的值直接代入这个公式，这种解一元二次方程的方法叫做公式法.【题型3公式法解一元二次方程】1(23-24九年级上·山西大同·阶段练习)用公式法解关于x的一元二次方程，得x= -6±62-4×4×12×4，则该一元二次方程是．【答案】4x2+6x+1=0【分析】根据公式法的公式x=-b±b2-4ac2a，可得方程的各项系数，即可解答．【详解】解：∵x=-b±b2-4ac2a=-6±62-4×4×12×4，∴a=4，b=6，c=1，从而得到一元二次方程为4x2+6x+1=0，故答案为：4x2+6x+1=0．【点睛】本题考查了用公式法解一元二次方程，熟记公式是解题的关键．2(23-24九年级上·广东深圳·期中)用公式法解一元二次方程：x-23x-5=0．解：方程化为3x2-11x+10=0．a=3,b=，c=10．Δ=b 2-4ac =-4×3×10=1>0．方程实数根．x ==，即x 1=，x 2=53．【答案】-11(-11)2有两个不相等的--11 ±12×311±162【分析】根据公式法解一元二次方程的解法步骤求解即．【详解】解：方程化为3x 2-11x +10=0．a =3，b =-11，c =10．Δ=b 2-4ac =-11 2-4×3×10=1>0．方程有两个不相等的实数根．x =--11 ±12×3=11±16，即x 1=2，x 2=53．故答案为：-11；(-11)2；有两个不相等的；--11 ±12×3；11±16；2．【点睛】本题考查公式法解一元二次方程，熟练掌握公式法解一元二次方程的解法步骤是解答的关键．3(23-24九年级上·河南三门峡·期中)用公式法解方程-ax 2+bx -c =0 (a ≠0)，下列代入公式正确的是()A.x =-b ±b 2-4a ×(-c )2×(-a ) B.x =b ±b 2-4ac2a C.x =b ±b 2-4a ×(-c )2×(-a ) D.x =-b ±b 2-4ac2a【答案】B【分析】先将方程进行化简，然后根据一元二次方程的求根公式，即可做出判断．【详解】解：方程-ax 2+bx -c =0 (a ≠0)可化为ax 2-bx +c =0由求根公式可得：x =-(-b )±(-b )2-4ac 2a =b ±b 2-4ac 2a 故选：B【点睛】本题主要考查了一元二次方程的求根公式，准确的识记求根公式是解答本题的关键．4(23-24九年级上·广东深圳·期中)用求根公式法解得某方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)的两个根互为相反数，则()A.b =0B.c =0C.b 2-4ac =0D.b +c =0【答案】A【分析】根据求根公式法求得一元二次方程的两个根x 1、x 2，由题意得x 1+x 2=0，可求出b =0．【详解】∵方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两根，∴Δ=b2-4ac≥0且a≠0．求根公式得到方程的根为x=-b±b2-4ac2a，两根互为相反数，所以x1+x2=0，即-b+b2-4ac2a+-b-b2-4ac2a=0，解得b=0．故选：A．【点睛】本题考查了解一元二次方程-公式法，相反数的意义，熟练掌握用公式法解一元二次方程是解题的关键．知识点4因式分解法解一元二次方程当一个一元二次方程的一边是0，另一边能分解为两个一次因式的乘积时，就可以把解这样的一元二次方程转化为解两个一元一次方程，这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法.【题型4因式分解法解一元二次方程】1(23-24九年级下·安徽亳州·期中)关于x的一元二次方程x x-2=2-x的根是()A.-1B.0C.1和2D.-1和2【答案】D【分析】本题主要考查了解一元二次方程，先移项，然后利用因式分解法解方程即可得到答案．【详解】解：∵x x-2=2-x，∴x x-2+x-2=0，∴x+1x-2=0，∴x+1=0或x-2=0，解得x=-1或x=2，故选：D．2(23-24九年级上·陕西榆林·阶段练习)以下是某同学解方程x2-3x=-2x+6的过程：解：方程两边因式分解，得x x-3=-2x-3，①方程两边同除以x-3，得x=-2，②∴原方程的解为x=-2．③(1)上面的运算过程第______步出现了错误．(2)请你写出正确的解答过程．【答案】(1)②(2)过程见解析【分析】(1)根据等式的性质作答即可；(2)先移项，然后用因式分解法求解．【详解】(1)解：∵x-3可能为0，∴不能除以x-3，∴第②步出现了错误故答案为②．(2)解：方程两边因式分解，得x x-3=-2x-3，移项，得x x-3+2x-3=0，∴x-3x+2=0，∴x1=3，x2=-2．【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，熟练掌握各种方法是解答本题的关键．3(23-24九年级下·安徽安庆·期中)对于实数m，n，定义运算“※”：m※n=m2-2n，例如：2※3=22 -2×3=-2．若x※5x=0，则方程的根为()A.都为10B.都为0C.0或10D.5或-5【答案】C【分析】本题考查的知识点是新定义运算、解一元二次方程，解题关键是理解题意．现根据新定义运算得出一元二次方程，再求解即可．【详解】解：根据定义运算m※n=m2-2n可得，x※5x=0即为x2-5x·2=0，即x x-10=0，∴x1=0，x2=10，则方程的根为0或10．故选：C．4(13-14九年级·浙江·课后作业)利用因式分解求解方程(1)4y2=3y；(2)(2x+3)(2x-3)-x(2x+3)=0．【答案】(1)y1=0,y2=34；(2)x1=-32,x2=3【分析】(1)利用移项、提公因式法因式分解求出方程的根；(2)利用提公因式法分解因式求出方程的根.【详解】(1)4y2=3y；4y2-3y=0y(4y-3)=0y=0或4y-3=0∴y1=0,y2=34，故答案为：y1=0,y2=3 4；(2)(2x+3)(2x-3)-x(2x+3)=0(2x+3)(x-3)=02x+3=0或x-3=0 x1=-32,x2=3，故答案为：x1=-32,x2=3．【点睛】本题考查利用因式分解解方程，关键是防止丢掉方程的根．例如：解方程4y2=3y时，给方程两边同除以y，解得y=34，而丢掉y=0的情况．【题型5十字相乘法解一元二次方程】1(23-24九年级下·广西百色·期中)以下是解一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的一种方法：二次项的系数a分解成a1a2，常数项c分解成c1c2，并且把a1，a2，c1，c2排列为：然后按斜线交叉相乘，再相加，得到a1c2+a2c1，若此时满足a1c2+a2c1=b，那么ax2+bx+c=0(a≠0)就可以因式分解为(a1x +c1)(a2x+c2)=0，这种方法叫做“十字相乘法”．那么6x2-11x-10=0按照“十字相乘法”可因式分解为()A.(x-2)(6x+5)=0B.(2x+2)(3x-5)=0C.(x-5)(6x+2)=0D.(2x-5)(3x+2)=0【答案】D【分析】根据“十字相乘法”分解因式得出6x2-11x-10=(2x-5)(3x+2)即可．【详解】∵∴6x2-11x-10=2x-53x+2=0．故选：D．【点睛】本题主要考查了利用因式分解法解一元二次方程以及十字相乘法分解因式，正确分解常数项是解题关键．2(23-24九年级上·江西上饶·期末)试用十字相乘法解下列方程(1)x2+5x+4=0；(2)x2+3x-10=0．【答案】(1)x1=-4，x2=-1；(2)x1=2，x2=-5．【分析】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．(1)利用十字相乘法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于x的一元一次方程，进一步求解可得答案；(2)利用十字相乘法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于x的一元一次方程，进一步求解可得答案．【详解】(1)解：x2+5x+4=0x+4=0x+1x+4=0或x+1=0∴x1=-4，x2=-1；(2)解：x2+3x-10=0x+5=0x-2x+5=0或x-2=0∴x1=2，x2=-5．3(23-24九年级下·广西梧州·期中)解关于x的方程x2-7mx+12m2=0得()A.x1=-3m，x2=4mB.x1=3m，x2=4mC.x1=-3m，x2=-4mD.x1=3m，x2=-4m【答案】B【分析】本题主要考查了解一元二次方程，掌握运用十字相乘法求解即可．直接运用十字相乘法解一元二次方程即可．【详解】解：x2-7mx+12m2=0，x-3mx-4m=0，x-3m=0或x-4m=0，x1=3m，x2=4m．故选B．4(23-24九年级下·重庆·期中)阅读下面材料：材料一：分解因式是将一个多项式化为若干个整式积的形式的变形，“十字相乘法”可把某些二次三项式分解为两个一次式的乘积，具体做法如下：对关于x，y的二次三项式ax2+bxy+cy2，如图1，将x2项系数a=a1⋅a2，作为第一列，y2项系数c=c1⋅c2，作为第二列，若a1c2+a2c1恰好等于xy项的系数b，那么ax2+bxy+cy2可直接分解因式为：ax2+bxy+cy2=a1x+c1ya2x+c2y示例1：分解因式：x2+5xy+6y2解：如图2，其中1=1×1，6=2×3，而5=1×3+1×2；∴x2+5xy+6y2=(x+2y)(x+3y)；示例2：分解因式：x2-4xy-12y2．解：如图3，其中1=1×1，-12=-6×2，而-4=1×2+1×(-6)；∴x2-4xy-12y2=(x-6y)(x+2y)；材料二：关于x，y的二次多项式ax2+bxy+cy2+d x+ey+f也可以用“十字相乘法”分解为两个一次式的乘积．如图4，将a=a1a2作为一列，c=c1c2作为第二列，f=f1f2作为第三列，若a1c2+a2c1=b，a1f2+a2f1=d，c1f2+c2f1=e，即第1、2列，第1、3列和第2、3列都满足十字相乘规则，则原式分解因式的结果为：ax2+bxy+cy2+d x+ey+f=a1x+c1y+f1a2x+c2y+f2；示例3：分解因式：x2-4xy+3y2-2x+8y-3．解：如图5，其中1=1×1，3=(-1)×(-3)，-3=(-3)×1；满足-4=1×(-3)+1×(-1)，-2=1×(-3)+1×1,8=(-3)×(-3)+(-1)×1；∴x2-4xy+3y2-2x+8y-3=(x-y-3)(x-3y+1)请根据上述材料，完成下列问题：(1)分解因式：x2+3x+2=；x2-5xy+6y2+x+2y-20=；(2)若x，y，m均为整数，且关于x，y的二次多项式x2+xy-6y2-2x+my-120可用“十字相乘法”分解为两个一次式的乘积，求出m的值，并求出关于x，y的方程x2+xy-6y2-2x+my-120=-1的整数解．【答案】(1)(x+1)(x+2)，(x-3y+5)(x-2y-4)；(2)m=54m=-56，x=-1y=4和x=2y=-4【分析】(1)①直接用十字相乘法分解因式；②把某个字母看成常数用十字相乘法分解即可；(2)用十字相乘法把能分解的集中情况全部列出求出m值．【详解】解：(1)①1=1×1，2=1×2，3=1×1+1×2，∴原式=(x+1)(x+2)；②1=1×1，6=(-2)×(-3)，-20=5×(-4)满足(-5)=1×(-2)+1×(-3)，1=1×5+1×(-4)，2=(-2)×5+(-3)×(-4)∴原式=(x-3y+5)(x-2y-4)；(2)①1-35a1c1f11-2-4a2c2f2{a1c2+a2c1=-5a1f22+a2f1=1c1f2+c2f1=2②1-21013-12{a1c2+a2c1=1a1f2+a2f1=-2c1f2+c2f1=m1-2-121310(x-2y+10)(x+3y-12)=x2+xy-6y2-2x+my-120∴m=54(x-2y-12)(x+3y+10)=x2+xy-6y2-2x+my-120∴m=-56当m=54时，(x-2y+10)(x+3y-12)=-1{x-2y+10=1x+3y-12=-1或{x-2y+10=-1x+3y-12=1，x=-75y=245(舍)，{x=-1y=4当m=-56时，(x-2y-12)(x+3y+10)=-1{x-2y-12=1x+3y+10=-1或{x-2y=12=1x+3y+10=1，{x=2y=-4或x=695y=25(舍)综上所述，方程x2+xy-6y2-2x+my-120=-1的整数解有{x=-1y=4和{x=2y=-4；方法二：x2+xy+(-6y2)-2x+my-120=(x+3y)(x-2y)-2x+my-12y =(x+3y+a)(x-2y+b)=(x+3y)(x-2y)+(a+b)x+(3b-2a)y+ab {a+b=-2⇒{a=-123b-2a=m ab=-120 b=10或{a=10⇒m=54b=-12m=-56．【点睛】本题考查了因式分解的方法--十字相乘法，弄清题目中的十字相乘的方法是解题关键．【题型6用适当方法解一元二次方程】1(23-24九年级上·江苏宿迁·期末)用适当的方法解下列方程：(1)x2=4x；(2)x-32-4=0；(3)2x2-4x-5=0；(4)x-1x+2=2x+2．【答案】(1)x1=4，x2=0(2)x1=5，x2=1(3)x1=2+142，x2=2-142(4)x1=-2，x2=3【分析】本题考查了一元二次方程的解法，解一元二次方程-因式分解法，公式法，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．(1)利用解一元二次方程-因式分解法进行计算，即可解答；(2)利用解一元二次方程-因式分解法进行计算，即可解答；(3)利用解一元二次方程-公式法进行计算，即可解答；(4)利用解一元二次方程-因式分解法进行计算，即可解答．【详解】(1)解：x2-4x=0x x-4=0，解得x1=4，x2=0(2)解：x-3-2x-3+2=0x-5x-1=0，解得x1=5，x2=1(3)解：∵a=2，b=-4，c=-5∴b2-4ac=-42-4×2×-5=16--40=56∴x=4±562×2=2±142解得x1=2+142，x2=2-142(4)解：x-1x+2-2x+2=0x+2x-1-2=0，x+2x-3=0，∴x+2=0,x-3=0，解得x1=-2，x2=32(23-24九年级上·山西太原·期中)用适当的方法解下列一元二次方程：(1)x2+4x-2=0；(2)x x+3=5x+15.【答案】(1)x1=6-2，x2=-6-2(2)x1=-3，x2=5【分析】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握配方法、因式分解法解一元二次方程的一般步骤是解题的关键．(1)利用配方法解方程；(2)先移项，再利用提公因式法解方程．【详解】(1)解：移项，得x2+4x=2，配方，得x2+4x+4=2+4，x+22=6，两边开平方，得x+2=±6，所以，x1=6-2，x2=-6-2；(2)解：原方程可变形为：x x+3=5x+3，x x+3-5x+3=0，x+3x-5=0，x+3=0或x-5=0，所以，x1=-3，x2=53(23-24九年级下·山东泰安·期末)用适当的方法解下列方程(1)3x2=54；(2)x+13x-1=1；(3)4x2x+1=32x+1；(4)x2+6x=10．【答案】(1)x1=32，x2=-32(2)x1=-1+73，x2=-1-73(3)x1=-12，x2=34(4)x1=-3+19，x2=-3-19【分析】(1)方程整理后，利用直接开平方法求解即可；(2)方程整理后，利用求根公式法求解即可；(3)方程利用因式分解法求解即可；(4)方程利用配方法求解即可．【详解】(1)解：方程整理得：x2=18，开方得：x=±32，解得：x1=32，x2=-32；(2)解：方程整理得：3x2+2x-2=0，这里a=3，b=2，c=-2，∵△=22-4×3×(-2)=4+24=28>0，∴x=-2±276=-1±73，解得：x1=-1+73，x2=-1-73；(3)解：方程移项得：4x(2x+1)-3(2x+1)=0，分解因式得：(2x+1)(4x-3)=0，所以2x+1=0或4x-3=0，解得：x1=-12，x2=34；(4)解：配方得：x2+6x+9=19，即(x+3)2=19，开方得：x+3=±19，解得：x1=-3+19，x2=-3-19．【点睛】此题考查了解一元二次方程-因式分解法，公式法，直接开平方法，配方法，熟练掌握根据方程的特征选择恰当的解法是解本题的关键．4(23-24九年级上·海南省直辖县级单位·期末)用适当的方法解下列方程．(1)(x+2)2-25=0；(2)x2+4x-5=0；(3)2x2-3x+1=0．【答案】(1)x1=3，x2=-7(2)x1=1，x2=-5(3)x1=12，x2=1【分析】(1)利用平方差公式，可以解答此方程；(2)利用因式分解法解方程即可；(3)利用因式分解法解方程即可．【详解】(1)解：(x+2)2-25=0，(x+2-5)(x+2+5)=0，∴x-3=0或x+7=0，解得x1=3，x2=-7；(2)解：x2+4x-5=0，x-1x+5=0，∴x-1=0或x+5=0，解得x1=1，x2=-5；(3)解：2x2-3x+1=0，2x-1x-1=0，∴2x-1=0或x-1=0，解得x1=12，x2=1．【点睛】本题考查了解一元二次方程-因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了(数学转化思想)．【题型7用指定方法解一元二次方程】1(23-24九年级下·山东日照·期末)用指定的方法解下列方程：(1)4(x-1)2-36=0(直接开方法)(2)x2+2x-3=0(配方法)(3)(x+1)(x-2)=4(公式法)(4)2(x+1)-x(x+1)=0(因式分解法)【答案】(1)x1=4，x2=-2；(2)x1=1，x2=-3；(3)x1=3，x2=-2；(4)x1=-1，x2=2．【分析】(1)直接利用开方法进行求解即可得到答案；(2)直接利用配方法进行求解即可得到答案；(3)直接利用公式法进行求解即可得到答案；(4)直接利用因式分解法进行求解即可得到答案；【详解】解：(1)∵4x-12-36=0∴(x-1)2=9，∴x-1=±3，∴x1=4，x2=-2；(2)∵x2+2x=3，∴x2+2x+1=4，∴(x+1)2=4，∴x+1=±2，∴x1=1，x2=-3；(3)∵x2-x-6=0，∴△=1-4×1×(-6)=25，∴x=1±252=1±52，∴x1=3，x2=-2；(4)∵2x+1-x x+1=0∴(x+1)(2-x)=0，∴x+1=0或2-x=0，∴x1=-1，x2=2．【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，解题的关键在于能够熟练掌握解一元二次方程的方法.2(23-24九年级下·山东烟台·期中)用指定的方法解方程：(1)x2-4x-1=0(用配方法)(2)3x2-11x=-9(用公式法)(3)5x-32=x2-9(用因式分解法)(4)2y2+4y=y+2(用适当的方法)【答案】(1)x1=5+2，x2=-5+2(2)x1=11+136，x2=11-136(3)x1=3，x2=92(4)y1=12，y2=-2【分析】本题考查了解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键．(1)运用配方法解方程，先移项再配方，然后开方即可作答．(2)先化为一般式，再根据Δ=b2-4ac算出，以及代入x=-b±Δ2a进行化简，即可作答．(3)先移项，再提取公因式，令每个因式为0，进行解出x的值，即可作答．(4)先移项，再提取公因式，令每个因式为0，进行解出x的值，即可作答．【详解】(1)解：x2-4x-1=0移项，得x2-4x=1配方，得x 2-4x +4=1+4，即x -2 2=5∴x -2=±5解得x 1=5+2，x 2=-5+2；(2)解：3x 2-11x =-93x 2-11x +9=0Δ=b 2-4ac =121-4×3×9=121-108=13∴x =11±136解得x 1=11+136，x 2=11-136；(3)解：5x -3 2=x 2-95x -3 2-x 2-9 =05x -3 2-x -3 x +3 =0x -3 5x -3 -x +3 =x -3 4x -18 =0则x -3=0，4x -18=0解得x 1=3，x 2=92；(4)解：2y 2+4y =y +22y 2+4y -y +2 =02y y +2 -y +2 =02y -1 y +2 =0∴2y -1=0，y +2=0解得y 1=12，y 2=-2．3(23-24九年级上·新疆乌鲁木齐·期中)用指定的方法解方程：(1)12x 2-2x -5=0(用配方法)(2)x 2=8x +20(用公式法)(3)x -3 2+4x x -3 =0(用因式分解法)(4)x +2 3x -1 =10(用适当的方法)【答案】(1)x 1=2+14,x 2=2-14(2)x 1=10,x 2=-2(3)x 1=3,x 2=0.6(4)x 1=-3,x 2=43【分析】(1)利用配方法解方程即可；(2)利用公式法解方程即可；(3)利用因式分解法解方程即可；(4)先将给出的方程进行变形，然后利用因式分解法解方程即可．【详解】(1)移项，得：12x 2-2x =5，系数化1，得：x 2-4x =10，配方，得：x 2-4x +4=14，(x -2)2=14，x -2=±14，∴x 1=2+14，x 2=2-14；(2)原方程可变形为x 2-8x -20=0，a =1，b =-8，c =-20，Δ=(-8)2-4×1×-20 =64+80=144>0，原方程有两个不相等的实数根，∴x =-b ±b 2-4ac 2a =8±1442=8±122，∴x 1=10，x 2=-2；(3)原方程可变形为：x -3 x -3+4x =0，整理得：x -3 5x -3 =0，解得x 1=3，x 2=0.6；(4)原方程可变形为：3x 2+5x -2-10=0，整理得：3x 2+5x -12=0，3x -4 x +3 =0，∴x 1=-3，x 2=43【点睛】本题主要考查的是配方法，公式法，因式分解法解一元二次方程的有关知识，掌握配方法的基本步骤，一元二次方程的求根公式是解题关键．4(23-24九年级上·河北邯郸·期中)按指定的方法解下列方程：(1)x 2=8x +9(配方法)；(2)2y 2+7y +3=0(公式法)；(3)x +2 2=3x +6(因式分解法)．【答案】(1)x 1=9，x 2=-1．(2)x 1=-3，x 2=-12．(3)x 1=-2，x 2=1．【分析】(1)先把方程化为x 2-8x +16=25，可得x -4 2=25，再利用直接开平方法解方程即可；(2)先计算△=72-4×2×3=49-24=25>0，再利用求根公式解方程即可；(3)先移项，再把方程左边分解因式可得x +2 x -1 =0，再化为两个一次方程，再解一次方程即可．【详解】(1)解：x 2=8x +9，移项得：x 2-8x =9，∴x 2-8x +16=25，配方得：x-42=25，∴x-4=5或x-4=-5，解得：x1=9，x2=-1．(2)解：2y2+7y+3=0，∴△=72-4×2×3=49-24=25>0，∴x=-7±254=-7±54，∴x1=-3，x2=-12．(3)解：x+22=3x+6，移项得：x+22-3x+2=0，∴x+2x-1=0，∴x+2=0或x-1=0，解得：x1=-2，x2=1．【点睛】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握“配方法，公式法，因式分解法解一元二次方程”是解本题的关键．【题型8用换元法解一元二次方程】1(23-24九年级下·浙江杭州·期中)已知a2+b2a2+b2+2-15=0，求a2+b2的值．【答案】3【分析】先用换元法令a2+b2=x(x>0)，再解关于x的一元二次方程即可．【详解】解：令a2+b2=x(x>0)，则原等式可化为：x(x+2)-15=0，解得：x1=3,x2=-5，∵x>0，∴x=3，即a2+b2=3．a2+b2的值为3．【点睛】本题考查了换元法、一元二次方程的解法，注意a2+b2为非负数是本题的关键．2(23-24九年级下·安徽合肥·期中)关于x的方程x2+x2+2x2+2x-3=0，则x2+x的值是()A.-3B.1C.-3或1D.3或-1【答案】B【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握用换元法解方程是解题的关键．设x2+x=t，则此方程可化为t2+2t-3=0，然后用因式分解法求解即可．【详解】解：设x2+x=t，则此方程可化为t2+2t-3=0，∴t-1t+3=0，∴t-1=0或t+3=0，解得t1=1，t2=-3，∴x2+x的值是1或-3．∵x2+x=-3，即x2+x+3=0，Δ=12-4×1×3=-11<0方程无解，故x2+x=-3舍去，∴x2+x的值是1，故选：B．3(23-24九年级上·广东江门·期中)若a+5ba+5b+6=7，则a+5b=．【答案】1或-7【分析】本题主要考查解一元二次方程，设a+5b=x，则原方程可变形为x x+6=7，方程变形后运用因式分解法求出x的值即可得到结论．【详解】解：设a+5b=x，则原方程可变形为x x+6=7，整理得，x2+6x-7=0，x-1x+7=0，x-1=0，x+7=0，∴x=1，x=-7，即a+5b=1或-7，故答案为：1或-7．4(23-24九年级上·山东临沂·期中)利用换元法解下列方程：(1)2x4-3x2-2=0；(2)(x2-x)2-5(x2-x)+4=0．【答案】(1)x1=2，x2=-2(2)x1=1+172，x2=1-172，x3=1+52，x4=1-52【分析】(1)根据换元思想，设y=x2，则y=2或y=-12，由此即可求解；(2)设y=x2-x，则y=4或y=1，由此即可求解．【详解】(1)解：(1)设y=x2，则原方程化为2y2-3y-2=0，∴y=2或y=-12，当y=2时，x2=2，∴x1=2，x2=-2，当y=-12时，x2=-12，此时方程无解，∴原方程的解是x1=2，x2=-2．(2)解：设y=x2-x，则原方程化为y2-5y+4=0，∴y=4或y=1，当y=4时，x2-x=4，∴x1=1+172，x2=1-172，当y=1时，x2-x=1，∴x3=1+52，x4=1-52．∴原方程的解是x1=1+172，x2=1-172，x3=1+52，x4=1-52．【点睛】本题主要考查换元思想解高次方程，掌握我一元二次方程的解法是解题的关键．【题型9解含绝对值的一元二次方程】1(23-24九年级上·陕西榆林·阶段练习)阅读下面的材料，解答问题．材料：解含绝对值的方程：x2-3|x|-10=0．解：分两种情况：①当x≥0时，原方程化为x2-3x-10=0解得x1=5,x2=-2(舍去)；②当x<0时，原方程化为x2+3x-10=0，解得x3=-5,x4=2(舍去)．综上所述，原方程的解是x1=5,x2=-5．请参照上述方法解方程x2-|x+1|-1=0．【答案】x1=2,x2=-1【分析】根据题意分两种情况讨论，化简绝对值，然后解一元二次方程即可求解．【详解】解：分两种情况：①当x+1≥0，即x≥-1时，原方程化为x2-x+1-1=0，解得x1=2,x2=-1；②当x+1<0，即x<-1时，原方程化为x2+x+1-1=0，解得x3=0(舍去)，x4=-1(舍去)．综上所述，原方程的解是x1=2,x2=-1．【点睛】本题考查了解一元二次方程，分类讨论是解题的关键．2(23-24九年级上·内蒙古赤峰·期中)解方程x2+2|x+2|-4=0．【答案】x1=0，x2=-2【分析】对x+2进行分类讨论，先把绝对值号化简后方程变形为一般的一元二次方程，再利用因式分解法解出方程的解，最后结合x的取值范围最终确定答案即可．【详解】解：①当x+2≥0，即x≥-2时，方程变形得：x2+2(x+2)-4=0∴x2+2x=0∴x(x+2)=0∴x1=0，x2=-2；②当x+2<0，即x<-2时，方程变形得：x2-2(x+2)-4=0∴x2-2x-8=0∴(x+2)(x-4)=0∴x1=-2(舍去)，x2=4(舍去)∴综上所述，原方程的解是x1=0或x2=-2．【点睛】本题考查了含绝对值的方程、一元二次方程的解法等知识，渗透了分类讨论的思想．3(23-24九年级下·安徽滁州·阶段练习)解方程x2-22x+3+9=0．【答案】x1=1,x2=3【分析】分x≥-32与x<-32，化简绝对值得到一元二次方程，解一元二次方程即可求解．【详解】当2x+1≥0，即x≥-32时，原方程可化为：x2-2(2x+3)+9=0整理得：x2-4x+3=0解得：x1=1,x2=3当2x+1<0，即x<-32时，原方程可化为：x2+2(2x+3)+9=0整理得x2+4x+15=0∵Δ=42-4×1×15=-44<0,∴此方程无实数解，综上所述，原方程的解为：x1=1,x2=3【点睛】本题考查了解一元二次方程，分类讨论化简绝对值是解题的关键．4(23-24九年级上·山西太原·阶段练习)解方程x2-|x-5|-2=0【答案】x1=-1+292，x2=-1-292【分析】根据题意分x-5≥0和x-5<0两种情况，分别解方程即可．【详解】解：①当x-5≥0时，即x≥5时，原方程化为x2-x+5-2=0，即x2-x+3=0，a=1,b=-1,c=3，∴Δ=b2-4ac=-12-4×1×3=-11<0，∴原方程无解，②当x-5<0时，即x<5时，原方程化为x2+x-5-2=0，即x2+x-7=0，a=1,b=1,c=-7，∴Δ=b2-4ac=12-4×1×-7=29>0x=-1±292×1解得：x1=-1+292，x2=-1-292．【点睛】此题考查了解含绝对值的一元二次方程，解题的关键是根据题意分两种情况讨论．【题型10配方法的应用】1(23-24九年级上·河北沧州·期中)【项目学习】配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，这种方法常被用到代数式的变形中，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等．例：求代数式y2+4y+8的最小值．解：y2+4y+8=y2+4y+4+4=(y+2)2+4，∵y+22≥0，∴y+22+4≥4∴当y =-2时，y 2+4y +8的最小值是4．(1)【类比探究】求代数式x 2-6x +12的最小值；(2)【举一反三】若y =-x 2-2x 当x =________时，y 有最________值(填“大”或“小”)，这个值是________；(3)【灵活运用】已知x 2-4x +y 2+2y +5=0，则x +y =________；(4)【拓展应用】如图某农场计划建造一个矩形养殖场，为充分利用现有资源，该矩形养殖场一面靠墙(墙的长度为15m )，另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏把它分成两个面积为1:2的矩形，栅栏的总长度为24m ．当BF 为多少时，矩形养殖场的总面积最大？最大值为多少？【答案】(1)3(2)-1；大；1(3)1(4)当BF =4m ，矩形养殖场的总面积最大，最大值为48m 2．【分析】本题主要考查了配方法的应用，熟练掌握配方法是解题的关键：(1)把原式利用配方法变形为x -3 2+3，再仿照题意求解即可；(2)把原式利用配方法变形为-x +1 2+1，再仿照题意求解即可；(3)把原式利用配方法变形为x -2 2+y +1 2=0，再利用非负数的性质求解即可；(4)设BF =xm ，则CF =2BF =2xm ，则BC =3xm ，进而求出AB =24-3x 3m ，则S 矩形ABCD =3x ⋅24-3x 3=-3x -4 2+48，据此可得答案．【详解】(1)解：x 2-6x +12=x 2-6x +9 +3=x -3 2+3，∵x -3 2≥0，∴x -3 2+3≥3，∴当x =3时，x 2-6x +12的最小值为3；(2)解：y =-x 2-2x=-x 2-2x -1+1=-x+12+1，∵x+12≥0，∴-x+12≤0，∴-x+12+1≤1，∴当x=-1时，y=-x2-2x有最大值，最大值为1，故答案为：-1；大；1；(3)解：∵x2-4x+y2+2y+5=0，∴x2-4x+4+y2+2y+1=0，∴x-22+y+12=0，∵x-22≥0，y+12≥0，∴x-22=y+12=0，∴x-2=0，y+1=0，∴x=2，y=-1，∴x+y=2-1=1；(4)解：设BF=xm，则CF=2BF=2xm，∴BC=3xm，∴AB=24-3x3m，∴S矩形ABCD =3x⋅24-3x3=-3x2+24x=-3x-42+48，∵x-42≥0，∴-3x-42≤0，∴-3x-42+48≤48，∵AD=BC=3x≤15，∴0<x≤5，∴当x=4时，S矩形ABCD最大，最大值为48，∴当BF=4m，矩形养殖场的总面积最大，最大值为48m2．2(2023·河北石家庄·一模)已知A=x2+6x+n2，B=2x2+4x+n2，下列结论正确的是()A.B-A的最大值是0B.B-A的最小值是-1C.当B=2A时，x为正数D.当B=2A时，x为负数【答案】B【分析】利用配方法表示出B-A，以及B=2A时，用含n的式子表示出x，确定x的符号，进行判断即可．【详解】解：∵A=x2+6x+n2，B=2x2+4x+n2，∴B-A=2x2+4x+n2-x2+6x+n2=2x2+4x+n2-x2-6x-n2=x2-2x=x-12-1；∴当x=1时，B-A有最小值-1；当B=2A时，即：2x2+4x+n2=2x2+6x+n2，∴2x2+4x+n2=2x2+12x+2n2，∴-8x=n2≥0，∴x≤0，即x是非正数；故选项A,C,D错误，选项B正确；故选B．【点睛】本题考查整式加减运算，配方法的应用．熟练掌握合并同类项，以及配方法，是解题的关键．3(23-24九年级上·四川攀枝花·期中)已知三角形的三条边为a,b,c，且满足a2-10a+b2-16b+89= 0，则这个三角形的最大边c的取值范围是()A.c>8B.5<c<8C.8<c<13D.5<c<13【答案】C【分析】先利用配方法对含a的式子和含有b的式子配方，再根据偶次方的非负性可得出a和b的值，然后根据三角形的三边关系可得答案．【详解】解：∵a2-10a+b2-16b+89=0，∴(a2-10a+25)+(b2-16b+64)=0，∴(a-5)2+(b-8)2=0，∵(a-5)2≥0，(b-8)2≥0，∴a-5=0，b-8=0，∴a=5，b=8．∵三角形的三条边为a，b，c，∴b-a<c<b+a，∴3<c<13．又∵这个三角形的最大边为c，∴8<c<13．故选：C．【点睛】本题考查了配方法在三角形的三边关系中的应用，熟练掌握配方法、偶次方的非负性及三角形的三边关系是解题的关键．4(23-24九年级下·浙江宁波·期中)我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用.例如：已知x可取任何实数，试求二次三项式x2+2x+3的最小值．解：x2+2x+3=x2+2x+1+2=(x+1)2+2；∵无论x取何实数，都有(x+1)2≥0，∴(x+1)2+2≥2，即x2+2x+3的最小值为2．【尝试应用】(1)请直接写出2x2+4x+10的最小值______；【拓展应用】(2)试说明：无论x取何实数，二次根式x2+x+2都有意义；【创新应用】(3)如图，在四边形ABCD中，AC⊥BD，若AC+BD=10，求四边形ABCD的面积最大值．【答案】(1)8；(2)见解析；(3)25 2【分析】(1)利用配方法把2x2+4x+10变形为2(x+1)2+8，然后根据非负数的性质可确定代数式的最小值；(2)利用配方法得到x2+x+2=x+122+74，则可判断x2+x+2>0，然后根据二次根式有意义的条件可判断无论x取何实数，二次根式x2+x+2都有意义；(3)利用三角形面积公式得到四边形ABCD的面积=12⋅AC⋅BD，由于BD=10-AC，则四边形ABCD的面积=12⋅AC⋅10-AC，利用配方法得到四边形ABCD的面积=-12(AC-5)2+252，然后根据非负数的性质解决问题．【详解】解：(1)2x2+4x+10=2x2+2x+10=2x2+2x+1-1+10=2(x+1)2+8，∵无论x取何实数，都有2(x+1)2≥0，∴(x+1)2+8≥8，即x2+2x+3的最小值为8；故答案为：8；(2)x2+x+2=x+122+74，∵x+122≥0，∴x2+x+2>0，∴无论x取何实数，二次根式x2+x+2都有意义；(3)∵AC⊥BD，。
专题1.1一元二次方程九大考点精讲精练
2022-2023学年九年级数学上学期复习备考高分秘籍专题1.1一元二次方程九大考点精讲精练（知识梳理+典例剖析+变式训练）【知识梳理】1．一元二次方程的有关概念：（1）一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．一元二次方程必须同时满足三个条件：①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数是2．判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．（2）一元二次方程的一般形式：一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a≠0）．这种形式叫一元二次方程的一般形式．其中ax²叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项；c叫做常数项．一次项系数b和常数项c可取任意实数，二次项系数a是不等于0的实数，这是因为当a=0时，方程中就没有二次项了，所以，此方程就不是一元二次方程了．（3）一元二次方程的根：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．2.一元二次方程的解法：（1）直接开平方法：形如x2=p或（nx+m）²=p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．（2）配方法解一元二次方程的步骤：①把原方程化为20++=（a≠0）的形式；ax bx c②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解．（3）公式法：把x b2-4ac≥0）叫做一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式．用公式法解一元二次方程的一般步骤为：①把方程化成一般形式，进而确定a，b，c的值（注意符号）；②求出b2-4ac的值（若b2-4ac＜0，方程无实数根）；③在b2-4ac≥0的前提下，把a、b、c的值代入公式进行计算求出方程的根．注意：用公式法解一元二次方程的前提条件有两个：①a≠0；②b2-4ac≥0．（4）因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．因式分解法解一元二次方程的一般步骤：①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解．3.一元二次方程根的判别式：利用一元二次方程根的判别式（△=b2-4ac）判断方程的根的情况．一元二次方程a x2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；③当△＜0时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立．4.一元二次方程根与系数的关系：（1）若二次项系数为1，常用以下关系：x1，x2是方程x2+px+q=0的两根时，x1+ x2=-p，x1x2=q反过来可得p=-（x1+ x2），q=x1x2，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数．（2）若二次项系数不为1，则常用以下关系：x1，x2是一元二次方程a x2+bx+c=0（a≠0）的两根时，，反过来也成立，x1+ x2=—ba ，x1x2=ca（3）常用根与系数的关系解决以下问题：①不解方程，判断两个数是不是一元二次方程的两个根．②已知方程及方程的一个根，求另一个根及未知数．③不解方程求关于根的式子的值，如求，x12+x22等等．④判断两根的符号．⑤求作新方程．⑥由给出的两根满足的条件，确定字母的取值．这类问题比较综合，解题时除了利用根与系数的关系，同时还要考虑a≠0，△≥0这两个前提条件．【典例剖析】【考点1】一元二次方程的定义【例1】（2022·安徽·滁州市第六中学八年级阶段练习）若（m+3）x|m|−1−(m−3）x−5=0是关于x的一元二次方程，则m的值为（ ）A．3B．﹣3C．±3D．±2【变式1.1】（2021·天津市晟楷中学九年级阶段练习）下列关于x的方程中，一定是一元二次方程的为（）A．a x2+bx+c=0B．x2−4=(x+3)2C．x2+3x−5=0D．3x(x−4)=0【变式1.2】（2022·新疆·和硕县第二中学九年级期末）关于x的方程(a+2)x a2−2−3x−1=0是一元二次方程，则a的值是（ ）A．a=±2B．a=−2C．a=2D．a为任意实数【变式1.3】（2022·江苏南通·八年级期末）若关于x的方程(a−1)x2+x=0是一元二次方程，则a的范围是（）A．a=1B．a>1C．a≠1D．a<1【考点2】一元二次方程的一般形式【例2】（2022·浙江温州·八年级期末）把一元二次方程x(2x−1)=x−3化为一般形式，正确的是（）A．2x2+3=0B．2x2−2x−3=0C．2x2−x+2=0D．2x2−2x+3=0【变式2.1】（2022·全国·九年级单元测试）将一元二次方程（x+1）（x+2）＝0化成一般形式后的常数项是___．【变式2.2】（2022·全国·九年级单元测试）一元二次方程(2+x)(3x−4)=5化为一般形式为______，它的二次项是_______，一次项是_______，常数项是_______．【变式2.3】（2022·山东淄博·八年级期末）关于x的一元二次方程(m−3)x2+m2x=9x+5化为一般形式后不含一次项，则m的值为__．【考点3】一元二次方程的根【例3】（2022·河北保定师范附属学校九年级期末）若x＝﹣1是关于x的一元二次方程ax2+bx﹣1＝0的一个根，则2022﹣2a+2b的值为_____．【变式3.1】（2022·广西崇左·八年级期末）已知x=1是一元二次方程x2+ax−2=0的一个根，则a的值为_________．【变式3.2】（2022·浙江绍兴·八年级期末）若a是方程2x2−x−5=0的一个根，则代数式2a−4a2+1的值是_________．【变式3.3】（2022·福建·莆田哲理中学九年级期末）关于x的方程x2+bx+2a＝0（a、b为实数且a≠0），a恰好是该方程的根，则a+b的值为_____．【考点4】一元二次方程的解法—配方法选填题【例4】（2022·西藏·江达县第二初级中学校九年级期末）将一元二次方程x2−6x−6=0配方后可写为________．【变式4.1】（2022·山东烟台·八年级期末）把一元二次方程x2−4x−8=0化成(x−m)2=n的形式，则m+n的值为________．【变式4.2】（2022·四川宜宾·九年级期末）将方程x2−mx+8=0用配方法化为（x−3)2=n，则m+n的值是_______．【变式4.3】（2022·山东威海·八年级期中）对于二次三项式x2+6x+3，若x取值为m，则二次三项式的最小值为n，那么m+n的值为_________．【考点5】一元二次方程的解法—因式分解法选填题【例5】（2022·甘肃·张掖育才中学九年级期末）一元二次方程(2x−3)2＝9(x+1)2的根为x1＝_____，x2＝_____．【变式5.1】（2021·四川·荣县一中九年级阶段练习）x2=2x的根为_____．【变式5.2】（2021·黑龙江哈尔滨·八年级期末）若一个一元二次方程x2−5x+6=0的两个根分别是Rt△ABC的两条直角边长，则Rt△ABC斜边长为___．【变式5.3】（2021·河南·邓州市城区第五初级中学校.九年级阶段练习）对于实数a，b，定义运算“◎”如下：a◎b=(a+b)2−(a−b)2．若（m+2）◎（m﹣3）=24，则m=_____．【考点6】一元二次方程的解法—解答题【例6】（2022·山东省泰安南关中学八年级期中）解下列方程(1)2x2−4x+1=0（用配方法）；(2)3x2−4x−1=0（公式法）；【变式6.1】（2022·山东·泰安市泰山区树人外国语学校八年级期中）按照指定方法解下列方程：(1)x2＋4x＋1＝13（配方法）；(2)3x2﹣4x﹣1＝0（公式法）；(3)（x＋1）2＝3（x＋1）(4)（x﹣3）（x＋2）＝6【变式6.2】（2022·浙江·吴宁第三中学八年级期中）解方程：(1)2x2+2x=1(2)2x2−3x−5=0【变式6.3】（2022·安徽·滁州市第六中学八年级阶段练习）阅读下面的材料，解答问题．材料：解含绝对值的方程：x2−3|x|−10=0．解：分两种情况：（1）当x≥0时，原方程化为x2−3x−10=0，解得x1=5，x2=﹣2（舍去）；（2）当x＜0时，原方程化为x2+3x−10=0，解得x1=﹣5，x2=2（舍去）；综上所述，原方程的解是x1=5，x2=﹣5．问题：仿照上面的方法，解方程：x2−2|2x+3|+9=0．【考点7】根的判别式【例7】（2022·江苏扬州·八年级期末）已知关于x的一元二次方程x(x−2)=k．(1)若k=3，求此方程的解；(2)当k≥−1时，试判断方程的根的情况．【变式7.1】（2022·江苏南通·八年级期末）已知关于x的一元二次方程(a−1)x2+(2a+1) x+2=0．(1)求证：此方程一定有两个不相等的实数根；(2)如果这个方程根的判别式的值等于9，求a的值．【变式7.2】（2022·全国·九年级单元测试）已知关于x的方程p x2+(2p+1)x+(p−1)=0有两个不相等的实根，判断关于x的方程x2−3x−2p=0的根的情况．【变式7.3】（2022·江苏扬州·八年级期末）已知关于x的一元二次方程k x2+(3k+1)x+2k+2=0(k≠0)．(1)求证：无论x取何值，此方程总有两个实数根；(2)若该方程的两根都是整数，求整数k的值．【考点8】根与系数的关系【例8】（2022·广西玉林·二模）关于x的一元二次方程x2−(k−3)x−2k+2=0．(1)求证：方程总有两个实数根；(2)若方程的两根分为x1、x2，且x2+x22+x1x2=19，求k的值．1【变式8.1】（2022·陕西·西安铁一中分校九年级期末）已知关于x的一元二次方程kx2﹣6x＋9＝0有两个不相等的实数根．(1)求k的取值范围；(2)若方程的两根x1，x2满足x1＋x2＝12，请求出方程的两根．【变式8.2】（2022·山东淄博·八年级期末）已知关于x的一元二次方程x2−2kx+k−12=0．(1)判断该方程根的情况，并说明理由；(2)若方程的两个实数根之和等于两根之积，求k的值．【变式8.3】（2022·全国·九年级单元测试）已知关于x的一元二次方程x2+(m+2)x+m=0，(1)求证：无论m取何值，原方程总有两个不相等的实数根．(2)若x1，x2是原方程的两根，且1x1+1x2=−2，求m的值．【考点9】配方法的综合应用【例9】（2022·福建·福州十八中八年级期末）请阅读下列材料：我们可以通过以下方法求代数式x2+6x+5的最小值．x2+6x+5＝x2+2•x•3+32﹣32+5＝(x+3)2﹣4∵(x+3)2≥0∴当x＝﹣3时，x2+6x+5有最小值﹣4．请根据上述方法，解答下列问题：(1)x2+5x﹣1＝(x+a)2+b，则ab的值是_______．(2)求证：无论x取何值，代数式x2+7的值都是正数；(3)若代数式2x2+kx+7的最小值为2，求k的值．【变式9.1】（2022·广西北海·七年级期中）阅读材料：把代数式x2−6x−7因式分解，可以分解如下：x2−6x−7=x2−6x+9−9−7=(x−3)2−16=(x−3+4)(x−3−4)=(x+1)(x−7)(1)探究：请你仿照上面的方法，把代数式x2−8x+7因式分解．(2)拓展：当代数式x2+2xy−3y2=0时，求xy的值．【变式9.2】（2022·广西贺州·八年级期中）请阅读下列材料：我们可以通过以下方法求代数式的x2+2x−3最小值．x2+2x−3=x2+2x⋅1+12−12−3=(x+1)2−4∵(x+1)2≥0∴当x=－1时，x2+2x−3有最小值－4请根据上述方法，解答下列问题：(1)x2+5=x2+2+2+2=(x+a)2+b，则a＝__________，b＝__________；(2)若代数式x2−2kx+7的最小值为3，求k的值．【变式9.3】（2022·全国·九年级课时练习）先阅读，后解题．已知m2+2m+n2−6n+10=0，求m和n的值．解：将左边分组配方：(m2+2m+1)+(n2−6n+9)=0．即(m+1)2+(n−3)2=0．∵(m+1)2≥0，(n−3)2≥0，且和为0，∴(m+1)2=0且(n−3)2=0，∴m＝－1，n＝－3．利用以上解法，解下列问题：(1)已知：x2+4x+y2−2y+5=0，求x和y的值．(2)已知a，b，c是△ABC的三边长，满足a2+b2=8a+6b−25且△ABC为直角三角形，求c．。
一元二次不等式及绝对值不等式的解法
解析（1）若a=0时，解为x>0.
（2）若a>0时，Δ=4-4a2.
①当Δ>0时，即0<a<1时，
方程ax2-2x+a=0的两根为 1 1 a，2
所以不等式的解集为
a
{1x| 1 a2 <x<1 1 a2 };
a
a
②当Δ=0，即a=1时，x∈ ；
③当Δ<0，即a>1时，x∈ .
（3）若a<0时，
为(ax-1)(x+1)<0，然后根据a的 不同取值进行分类讨论，与不 等式的解集进行比较，确定a 的值.
解析
axx又11其<解 0集为(a(-x∞-1,-)1(x)∪+1()<01. ,+∞)，
2
可知a<0，
故(ax-1)(x+1)<0 (x1- )(x+1)>0.
a
结合原不等式的解集，有 故填-2.
故填{x|0<x<2}.
题型二 含绝对值不等式
例2 (2009·重庆卷）不等式|x+3|-|x-
1|≤a2-3a对任意实数x恒成立，则实数 a的取值范围为（ ） A A.（-∞，-1］∪［4，+∞) B.（-∞，-2］∪［5，+∞) C.［1，2］ D.（-∞，1］∪［2，+∞）
（方法二）求|x+3|-|x-1|的最值时，还可以 利用绝对值不等式求解.绝对值不等式是 |a|-|b|≤||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|,只要利用其中
⑧.. 或{xx|x＞＜xx2}1
等实根 无实根
x1=x2= b
⑨
{.x|x≠
带有绝对值符号的方程解法(1)
若a≤b，则|a|≤|b|。
绝对值函数图像
01
绝对值函数y=|x|的图像是一条折线，顶点在原点，两边分别 与x轴正半轴和y轴正半轴重合。
02
当x≥0时，y=x；当x<0时，y=-x。
03
绝对值函数图像关于y轴对称。
02
一元一次绝对值方程解法
方程类型及解法思路
类型一
01
$|ax+b|=c$，其中$aneq0$，$cgeq0$
实例分析与求解过程
• 实例二：解方程组$\left{ \begin{array}{l} |x + y - 3| + |x - y + 1| = 6 \ x + 2y = 4 \end{array} \right.$。
• 分析：这是一个多元绝对值方程组，可以将其化为四个分段函数进行求 解。
• 求解过程：根据绝对值的性质，将方程组化为四个分段函数组，然后分 别求解每个分段函数组。解得$\left{ \begin{array}{l} x = \frac{8}{3} \ y = \frac{2}{3} \end{array} \right.$或$\left{ \begin{array}{l} x = 0 \ y = 2 \end{array} \right.$或$\left{ \begin{array}{l} x = \frac{4}{3} \ y = \frac{8}{3} \end{array} \right.$。经检验，所有解均符合原方程组 。
高次绝对值方程类型及解法
类型一
形如$|x^n| = a$（$n geq 2$，$a > 0$）的高 次绝对值方程。
类型二
形如$|x^n - b| = c$（$n geq 2$，$b, c in R$ ）的高次绝对值方程。
含绝对值的一元二次方程
含绝对值的一元二次方程提高练习：一．解答题（共6小题）1．（2015•鄂州）关于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2+1=0有两个不等实根x1，x2．（1）求实数k的取值范围．（2）若方程两实根x1，x2满足|x1|+|x2|=x1•x2，求k的值．2、（2015•昆山市）已知关于x的一元二次方程x2+（m+3）x+m+1=0．（1）求证：无论m取何值，原方程总有两个不相等的实数根；（2）若x1、x2是原方程的两根，且|x1﹣x2|=2，求m的值．3、（2013•南充）关于x的一元二次方程为（m﹣1）x2﹣2mx+m+1=0．（1）求出方程的根；（2）m为何整数时，此方程的两个根都为正整数？4．（2015•十堰）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m+3）x+m2+2=0．（1）若方程有实数根，求实数m的取值范围；（2）若方程两实数根分别为x1、x2，且满足x12+x22=31+|x1x2|，求实数m的值．作业详解（供同学们参考）一．解答题（共5小题）1．（2015•鄂州）关于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2+1=0有两个不等实根x1，x2．（1）求实数k的取值范围．（2）若方程两实根x1，x2满足|x1|+|x2|=x1•x2，求k的值．考点：根的判别式；根与系数的关系．分析：（1）根据方程有两个不相等的实数根可得△=（2k+1）2﹣4（k2+1）=4k2+4k+1﹣4k2﹣4=4k﹣3＞0，求出k的取值范围；（2）首先判断出两根均小于0，然后去掉绝对值，进而得到2k+1=k2+1，结合k的取值范围解方程即可．解答：解：（1）∵原方程有两个不相等的实数根，∴△=（2k+1）2﹣4（k2+1）=4k2+4k+1﹣4k2﹣4=4k﹣3＞0，解得：k＞；（2）∵k＞，∴x1+x2=﹣（2k+1）＜0，又∵x1•x2=k2+1＞0，∴x1＜0，x2＜0，∴|x1|+|x2|=﹣x1﹣x2=﹣（x1+x2）=2k+1，∵|x1|+|x2|=x1•x2，∴2k+1=k2+1，∴k1=0，k2=2，又∵k＞，∴k=2．点评：本题主要考查了根的判别式以及根与系数关系的知识，解答本题的关键是利用根的判别式△=b2﹣4ac ＞0求出k的取值范围，此题难度不大．2．（2015•昆山市一模）已知关于x的一元二次方程x2+（m+3）x+m+1=0．（1）求证：无论m取何值，原方程总有两个不相等的实数根；（2）若x1、x2是原方程的两根，且|x1﹣x2|=2，求m的值．考点：根的判别式；根与系数的关系．分析：（1）先求出△的值，再通过配方得出△＞0，即可得出结论；（2）根据x1、x2是原方程的两根，得出x1+x2=﹣m﹣3，x1x2=m+1，再根据|x1﹣x2|=2，得出（x1﹣x2）2=8，再根据（x1﹣x2）2=（x1+x2）2﹣4x1x2，代入计算即可．解答：解：（1）∵△=（m+3）2﹣4（m+1）=m2+2m+5=（m+1）2+4＞0，∴无论m取何值，原方程总有两个不相等的实数根；（2）∵x1、x2是原方程的两根，∴x1+x2=﹣m﹣3，x1x2=m+1，∵|x1﹣x2|=2，∴（x1﹣x2）2=8，∴（x1+x2）2﹣4x1x2=8，∴（﹣m﹣3）2﹣4（m+1）=8，∴m1=1，m2=﹣3．点评：此题考查了一元二次方程根的判别式，掌握一元二次方程根的情况与判别式△的关系：△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；△=0⇔方程有两个相等的实数根；△＜0⇔方程没有实数根．3．（2015•十堰）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m+3）x+m2+2=0．（1）若方程有实数根，求实数m的取值范围；（2）若方程两实数根分别为x1、x2，且满足x12+x22=31+|x1x2|，求实数m的值．考点：根的判别式；根与系数的关系．分析：（1）根据根的判别式的意义得到△≥0，即（2m+3）2﹣4（m2+2）≥0，解不等式即可；（2）根据根与系数的关系得到x1+x2=2m+3，x1x2=m2+2，再变形已知条件得到（x1+x2）2﹣4x1x2=31+|x1x2|，代入即可得到结果．解答：解：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣（2m+3）x+m2+2=0有实数根，∴△≥0，即（2m+3）2﹣4（m2+2）≥0，∴m≥﹣；（2）根据题意得x1+x2=2m+3，x1x2=m2+2，∵x12+x22=31+|x1x2|，∴（x1+x2）2﹣2x1x2=31+|x1x2|，即（2m+3）2﹣2（m2+2）=31+m2+2，解得m=2，m=﹣14（舍去），∴m=2．点评：本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程根与系数的关系．4．（2015•咸宁）已知关于x的一元二次方程mx2﹣（m+2）x+2=0．（1）证明：不论m为何值时，方程总有实数根；（2）m为何整数时，方程有两个不相等的正整数根．考点：根的判别式；解一元二次方程-公式法．分析：（1）求出方程根的判别式，利用配方法进行变形，根据平方的非负性证明即可；（2）利用一元二次方程求根公式求出方程的两个根，根据题意求出m的值．解答：解：（1）△=（m+2）2﹣8m=m2﹣4m+4=（m﹣2）2，∵不论m为何值时，（m﹣2）2≥0，∴△≥0，∴方程总有实数根；（2）解方程得，x=，x1=，x2=1，∵方程有两个不相等的正整数根，∴m=1或2，m=2不合题意，∴m=1．点评：本题考查的是一元二次方程根的判别式和求根公式的应用，掌握一元二次方程根的情况与判别式△的关系：△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；△=0⇔方程有两个相等的实数根；△＜0⇔方程没有实数根是解题的关键．。
x1-x2的绝对值等于什么
x1-x2的绝对值等于什么x1减x2的绝对值=[√(b²-4ac)]/|a|
|x1-x2|=√(x1-x2)²
=√[(x1+x2)²-4x1x2]
=√(b²/a²-4c/a)
=[√(b²-4ac)]/|a|
根据一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0)
x1+x2=-b/a
x1*x2=c/a
所以
|x1-x2|=√(x1-x2)²
=√[(x1+x2)²-4x1x2]
=√(b²/a²-4c/a)
=[√(b²-4ac)]/|a|
无符号数计算
如果把三个女性记为-3，把四个男性记为+4，问有几个人，计算方法是两个数的绝对值相加，也就是7个人。
如果问男女差是多少，计算方法是相对数相加，是+1。
如果把向南走1公里记为+1，把向北走2公里记为-2，问走了多少公里，计算方法是两个数的绝对值相加，也就是3公里。
如果问相对走了多少公里，计算方法是相对数相加，是-1。
如果把向零上的10度记为+10，把零下5度记为-5，上下差多少度，计算方法是两个数的绝对值相加，也就是15度。
如果问温的和是多少度，计算方法就是相对数相加，是+5。
(必考题)初中数学九年级数学上册第二单元《一元二次方程》测试题(有答案解析)(3)
一、选择题1．若关于x 的一元二次方程（k ﹣1）x 2﹣2kx +k ﹣3＝0有实数根，则k 的取值范围为（ ）A ．k ≥0B ．k ≥0且k ≠1C ．k ≥34D ．k ≥34且k ≠1 2．已知关于x 的方程220x bx c ++=的根为12x =-，23x =，则+b c 的值是（ ） A ．-10 B ．-7 C ．-14 D ．-23．关于x 的一元二次方程()22120x m x m +--=的根的情况是（ ）A ．无法确定B ．有两个不相等的实数根C ．有两个相等的实数根D ．无实数根4．我国古代数学家赵爽（公元3~4世纪）在其所著的《勾股圆方图注》中记载过一元二次方程（正根）的几何解法．以方程22350x x +-=即(2)35x x +=为例说明，记载的方法是：构造如图，大正方形的面积是2(2)x x ++．同时它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即24352⨯+，因此5x =．则在下面四个构图中，能正确说明方程23100x x --=解法的构图是（ ）A ．B ．C ．D ．5．请你判断，320x x x -+=的实根的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．46．新冠肺炎传染性很强，曾有2人同时患上新冠肺炎，在一天内一人平均能传染x 人，经过两天传染后128人患上新冠肺炎，则x 的值为（ ）A ．10B ．9C ．8D ．77．一元二次方程22410x x ++=的两根为1x 、2x ，则12x x +的值是（ ）A ．4B ．4-C ．2-D ．28．用配方法解方程28110x x -+=的过程中，配方正确的是（ ）A ．228(4)5x x -+-=B ．228(4)31x x -+-=C ．2(4)5x +=D ．2(4)11x -=-9．在某种病毒的传播过程中，每轮传染平均1人会传染x 个人，若最初2个人感染该病毒，经过两轮传染，共有y 人感染．则y 与x 的函数关系式为（ ）A ．()221y x =+B ．()22y x =+C ．222y x =+D ．()212y x =+ 10．在“文博会”期间，某公司展销如图所示的长方形工艺品，该工艺品长60cm ，宽40cm ．中间镶有宽度相同的三条丝绸花边．若丝绸花边的面积为650cm ，设丝绸花边的宽为xcm ，根据题意，可列方程为（ ）A ．()()60240650x x -⋅-=B ．()()60402650x x -⋅-=C ．2402650x x x ⋅+⋅=D ．()240602650x x x ⋅+⋅-=11．已知a 是方程2210x x --=的一个根，则代数式2245a a -+的值应在（ ） A ．4和5之间 B ．3和4之间 C ．2和3之间 D ．1和2之间 12．当3b c -=时，关于x 的一元二次方程220x bx c -+=的根的情况为（ ） A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．没有实数根D ．无法确定二、填空题13．若关于x 的方程20x mx n +-=有一个根是3，则3m n -的值是________． 14．若关于x 的一元二次方程22(2)40m x x m ++-+=有一个根是0，则m =____． 15．一个等腰三角形的腰和底边长分别是方程28120x x -+=的两根，则该等腰三角形的周长是________．16．一元二次方程260x x --=的两根分别是1x ，2x ，则1212x x x x +-的值为__________．17．某兴趣班的同学在元旦节期间每个同学用手机给班级其他同学各发一条短信问候节日快乐．如果全班同学共发出短信90条，那么该兴趣班共有____人．18．已知﹣2是关于x 的方程x 2﹣4x ﹣m 2＝0的一个根，则m ＝______．19．已知方程240x x k -+=的一个根是11x =-，则方程的另一根2x =____． 20．经过两年的连续治理，某城市的大气环境有了明显改善，其每月每平方公里的降尘量从50吨下降到40.5吨，则平均每年下降的百分率是 _________%．三、解答题21．解方程（1）23(23)2(23)0x x ---=（2）229(2)16(25)x x +=-22．已知关于x 的一元二次方程为210mx nx -+=．（1）当2n m =+时，不解方程，判断方程根的情况；（2）在（1）的条件下，若2m =，求解这个方程．23．2019年年底以来，“新冠疫情在全球肆虐，由于我国政府措施得当，疫情得到控制．而某些国家不够重视，导致疫情持续蔓延．若某国一社区开始有2人感染发病，未加控制，结果两天后发现共有50人感染发病．（1）求每位发病者平均每天传染多少人？（2）若疫情得不到有效控制，按照这样的传染速度，再过一天发病人数会超过200人吗？24．已知关于x 的一元二次方程22230x x m ++-=有两个不相等的实数根． （1）求m 的取值范围；（2）若m 为正整数，求此时方程的根．25．解一元二次方程（1）22(1)3(1)x x +=+； （2）22980x x -+=．26．某商家将进货单价40元的商品，按50元出售能卖出500件，已知这种商品每涨价0.4元，就会少销售4件，商家为了赚得8000元的利润，每件售价应定为多少？【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【分析】根据二次项系数不为0和△≥0列不等式组即可．【详解】解：根据关于x 的一元二次方程（k ﹣1）x 2﹣2kx +k ﹣3＝0有实数根，列不等式组得，210(2)4(1)(3)0k k k k -≠⎧⎨----≥⎩， 解得，k ≥34且k ≠1， 故选：D ．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，解题关键是熟练运用根的判别式列不等式，注意：一元二次方程二次项系数不为0．2．C解析：C【分析】根据一元二次方程根与系数的关系分别求出b ，c 的值即可得到结论．【详解】解：∵关于x 的方程220x bx c ++=的根为12x =-，23x =， ∴121222b c x x x x +=-=， ∴232322b c -+=--⨯=，，即b=-2，c=-12 ∴21214b c +=--=-．故选：C ．【点睛】本题考查了一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程两个为x 1，x 2，则x 1+x 2=-b a ，x 1•x 2=c a． 3．B解析：B【分析】判断上述方程的根的情况，只要看根的判别式△=b 2-4ac 的值的符号就可以了．【详解】解：∵关于x 的一元二次方程()22120x m x m +--=的二次项系数a=1，一次项系数b=2m-2，常数项c=-2m ，∴△=（2m-2）2-4（-2m ）=4m 2+1＞0，∴原方程有两个不相等的实数根；故选：B ．【点睛】本题考查了根的判别式，解题的关键是掌握一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．4．C解析：C【分析】根据题意，画出方程x 2-3x-10=0，即x （x-3）=10的拼图过程，由面积之间的关系可得出答案．【详解】解：方程x 2-3x-10=0，即x （x-3）=10的拼图如图所示；中间小正方形的边长为x-（x-3）=3，其面积为9，大正方形的面积：（x+x-3）2=4x （x-3）+9=4×10+9=49，其边长为7，因此，C 选项所表示的图形符合题意，故选：C ．【点睛】本题考查完全平方公式的几何背景，通过图形直观，得出面积之间的关系，并用代数式表示出来是解决问题的关键．5．C解析：C【分析】利用绝对值的几何意义，假设x ＞0或x ＜0，分别分析得出即可．【详解】解：当x ＞0时，2320x x -+=，解得：x 1＝1；x 2＝2；当x ＜0时，2320x x --=，解得：x 13+17（不合题意舍去），x 2＝3172， ∴方程的实数解的个数有3个．故选：C ．【点睛】此题主要考查的是含有绝对值符号的一元二次方程的一般计算题，理解绝对值的意义是关键．6．D解析：D【分析】根据两天后共有128人患上流感，列出方程求解即可．【详解】解：依题意得2+2x +x （2+2x ）=128，解得x 1=7，x 2=-9（不合题意，舍去）．故x 值为7．故选：D ．【点睛】考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．7．C解析：C【分析】根据一元二次方程根与系数的关系求解即可．【详解】解：由一元二次方程根与系数的关系得：12x x +=-b a =4-2=-2． 故选：C ．【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是熟记12x x +=-b a ，12c x x a⋅=． 8．A解析：A【分析】用配方法解方程即可．【详解】解：28110x x -+=，移项得，2811-=-x x ，配方得，228(4)1116x x -+-=-+，即228(4)5x x -+-=，故选：A ．【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，能够熟练按照配方法的步骤进行解题是关键． 9．A解析：A【分析】用含有x 的代数式分别表示出每轮传染的人数和总人数即可得解.【详解】∵每轮传染平均1人会传染x 个人，∴2人感染时，一轮可传染2x 人，∴一轮感染的总人数为2x+2=2(1+x)人；∵每轮传染平均1人会传染x 个人，∴2(1+x)人感染时，二轮可传染2(1+x)x 人，∴二轮感染的总人数为[2(1+x)+ 2(1+x)x]= ()221x +人； ∴()221y x =+， 故选A.【点睛】本题考查了平均增长问题，准确表示每一轮传染的人数是解题的关键.10．D解析：D【分析】找出丝绸花边的总面积与丝绸花边的宽之间的关系式即可列出方程．【详解】解：由题意知：三条丝绸花边的面积和-两个重叠部分的面积=丝绸花边的总面积， ∴设丝绸花边的宽为 xcm ，根据题意，可列方程为：2×40x+60x-2x×x=650,即2x ⋅40+x ⋅(60−2x)=650，故选D ．【点睛】本题考查方程的列法，仔细分析题中含有未知数所表示的量之间的数量关系并把各数量正确地表示出来是解题关键．11．A解析：A【分析】先依据一元二次方程的定义得到a 式的取值范围．【详解】解：∵a 是方程2210x x --=的一个根，∴2210a a --=，即221a a -=，∴原式=22(2)2a a -=+∵459， ∴23<<， ∴425<+<，即224a a -+的值在4和5之间，故选：A ．【点睛】本题考查一元二次方程的解得定义，估算．掌握整体代入法是解题关键．12．A解析：A【分析】首先将已知等式转换形式，然后代入判别式，判断其正负，即可得解．解：3b c -=，3c b ∴=-， 220x bx c -+=，∴∆22()428b c b c =--⨯⨯=-28(3)b b =--2824b b =-+2(4)80b =-+>，∴方程有两个不相等的实数根，故选：A ．【点睛】此题主要考查根据参数的值判定一元二次方程根的情况，熟练掌握，即可解题．二、填空题13．-9【分析】把3代入方程求解即可；【详解】∵3是方程的一个根∴∴；故答案是-9【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解准确计算是解题的关键 解析：-9【分析】把3代入方程求解即可；【详解】∵3是方程20x mx n +-=的一个根，∴930m n +-=， ∴39m n -=-；故答案是-9．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解，准确计算是解题的关键．14．2【分析】先把x ＝0代入方程得m2﹣4＝0然后解关于m 的方程后利用一元二次方程的定义确定满足条件的m 的值【详解】解：把x ＝0代入方程得m2﹣4＝0解得m1＝2m2＝﹣2因为m+2≠0所以m≠-2所以解析：2【分析】先把x ＝0代入方程22(2)40m x x m ++-+=得m 2﹣4＝0，然后解关于m 的方程后利用一元二次方程的定义确定满足条件的m 的值．【详解】解：把x ＝0代入方程22(2)40m x x m ++-+=得m 2﹣4＝0，解得m 1＝2，m 2＝﹣2，因为m +2≠0，所以m 的值为2．故答案为2．【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．15．14【分析】运用因式分解法解一元二次方程求出两根因为三角形是等腰三角形分情况讨论：腰为2时和腰为6时再利用三角形三边关系验证是否符合题意即可求出周长；【详解】解：（x-2）（x-6）=0x1=2x2解析：14【分析】运用因式分解法解一元二次方程，求出两根，因为三角形是等腰三角形，分情况讨论：腰为2时和腰为6时，再利用三角形三边关系验证是否符合题意，即可求出周长；【详解】解：28120x x -+=，（x-2）（x-6）=0，x 1=2，x 2=6，当腰长为2时，三角形的三边为2，2，6，不符合三角形的三角关系，舍去；当腰长为6时，三角形的三边关系为6，6，2，符合三角形的三角关系，则周长为：6+6+2=14，故答案为：14．【点睛】本题考查因式分解解一元二次方程和三角形的三边关系，求解后验三角形的三边关系是解题的关键．16．【分析】根据一元二次方程根与系数关系即可求解【详解】解：一元二次方程的两根分别是则故答案为：7【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数关系解题关键是知道：如果一元二次方程的两根分别是则解析：7【分析】根据一元二次方程根与系数关系即可求解．【详解】解：一元二次方程260x x --=的两根分别是1x ，2x ，则126x x =-，121x x =+，12121(6)7x x x x +-=--=，故答案为：7．【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数关系，解题关键是知道：如果一元二次方程20ax bx c ++=的两根分别是1x ，2x ，则12b x x a +=-，12c x x a=． 17．10【分析】设该班级共有同学名互相发短信每两个人之间产生2条短信根据共发出90条短信可得方程然后求解即可【详解】解：设该班级共有同学名根据题意得：解之得：故答案为：10【点睛】本题考查了由实际问题抽 解析：10【分析】设该班级共有同学n 名，互相发短信，每两个人之间产生2条短信，根据共发出90条短信可得方程，然后求解即可．【详解】解：设该班级共有同学n 名，根据题意，得：(1)90n n ，解之得：10n =故答案为：10．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列出方程． 18．【分析】利用方程的根的性质把x=-2代入方程得到关于m 的方程解这个方程即可【详解】解：∵是方程的一个根∴有解得：故答案为：【点睛】本题考查一元二次方程的根问题掌握方程的根的性质会用方程的解代入构造参解析：±【分析】利用方程的根的性质把x=-2代入方程得到关于m 的方程，解这个方程即可．【详解】解：∵2x =-是方程2240x x m --=的一个根，∴有()()222420m --⨯--=，解得：m =±故答案为：±【点睛】本题考查一元二次方程的根问题，掌握方程的根的性质，会用方程的解代入构造参数方程是解题关键．19．5【分析】利用根与系数的关系解答【详解】∵方程的根是x1x2∴∵∴5故答案为：5【点睛】此题考查一元二次方程根与系数的关系熟记根与系数的两个关系式并应用是解题的关键解析：5【分析】利用根与系数的关系解答．【详解】∵方程240x x k -+=的根是x 1、x 2，∴124x x +=，∵11x =-，∴2x =5，故答案为：5．【点睛】此题考查一元二次方程根与系数的关系，熟记根与系数的两个关系式并应用是解题的关键．20．10％【分析】设平均每年下降的百分率是x 利用原有降尘量乘以（1-平均每年下降的百分率）2=现在降尘量列出方程解答即可【详解】设平均每年下降的百分率是x 解得x1=01=10x2=19（舍去）答：平均每解析：10％【分析】设平均每年下降的百分率是x ，利用原有降尘量乘以（1-平均每年下降的百分率）2=现在降尘量，列出方程解答即可．【详解】设平均每年下降的百分率是x ，250(1)40.5x -=，解得x 1=0.1=10%，x 2=1.9（舍去），答：平均每年下降的百分率是10%，故答案为：10%．【点睛】此题考查一元二次方程的实际应用—增长率问题，正确理解题意并掌握增长率问题计算公式是解题的关键．三、解答题21．（1）x 1=32，x 2=116；（2）11411x =，2265x = 【分析】（1）先提公因式法因式分解，再根据ab=0方式解一元二次方程即可；（2）先移项，再利用平方差公式因式分解，再根据ab=0方式解一元二次方程即可．【详解】解：（1）23(23)2(23)0x x ---=， （2x ﹣3）（6x ﹣11）=0，2x ﹣3=0,或6x ﹣11=0，∴x 1=32，x 2=116； （2）229(2)16(25)x x +=-，229(2)160(25)x x +--=，[][]3(2)4(25)3(2)4(25)0x x x x ++-+--=(1114)(526)0x x --+=,11140x -=或5260x -+=， ∴11411x =，2265x =． 【点睛】本题考查因式分解法解一元二次方程、解一元一次方程、因式分解，根据方程特点，选择适当方法解一元二次方程是解答的关键．22．（1）有两个不相等的实数根；（2）1x =2x =【分析】（1）根据关于x 的一元二次方程210mx nx -+=的根的判别式△=b 2-4ac 的符号来判定该方程的根的情况；（2）由已知条件列出关于m 的方程，通过解该方程即可求得m 的值．【详解】解：（1）把2n m =+代入方程，得2(2)10mx m x -++=．∵根的判别式为[]222(2)444440m m m m m m -+-=++-=+>， ∴方程有两个不相等的实数根．（2）当2m =时，方程为22410x x -+=．∴224248m +=+=．x ==．∴122x +=，222x =． 【点睛】本题考查了根与系数的关系、根的判别式．一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0，a ，b ，c 为常数）的根的判别式△=b 2-4ac ．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．23．（1）4人；（2）会【分析】（1）设每位发病者平均每天传染x 人，然后根据一开始有两人，经过两天后变为50人列出方程，即可求解；（2）利用（1）结果，结合第二天总人数计算即可求解．【详解】（1）设每位发病者平均每天传染x 人，由题意得，22(1)50x +=．解得：14x =，26x =-（不合题意，舍去）答：每位发病者平均每天传染4个人；（2）50(1)505250x ⨯+=⨯=．答：若疫情得不到有效控制，再过一天发病人数会超过200人．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，属于传播类问题，关键是根据等量关系列出方程．24．（1）2m <；（2）11x =-21x =-【分析】（1）根据两个不相等的实数根列不等式即可；（2）根据m 为正整数，确定m 的值，解方程即可．【详解】解：（1）∵原方程有两个不相等的实数根，∴2241(23)1680m m ∆=-⨯⨯-=->，∴2m <．（2）∵m 为正整数，又2m <，∴1m =．当1m =时，原方程为2210x x +-=，解得212x -+==-±．因此，原方程的根为11x =-21x =-．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式和一元二次方程的解法，解题关键是熟记一元二次方程根的判别式与根的关系，列出不等式；熟练解一元二次方程．25．（1）11x =-，212x =；（2）194x =，294x -=． 【分析】（1）根据解一元二次方程的方法计算即可；（2）根据解一元二次方程的方法计算即可．【详解】解：（1）22(1)3(1)x x +=+ 22(1)3(1)0x x =-++（x+1）[2(x+1)-3]=0(x+1) [2x+2-3]=0(x+1) (2x-1)=0∴x+1=0或2x-1=0解得：11x =-，212x =； （2）22980x x -+=a=2，b=-9，c=8Δ=24b ac -=81-4×2×8=17＞0x=992224b a -±==⨯∴1x =2x =【点睛】本题主要考察了解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的解法，选择适当的方法求解．26．60元/件或80元/件．【分析】设售价应定为x 元/件，则每件的销售利润为（x-40）元，能卖出4500(50)0.4x ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦件，根据总利润=每件的销售利润×销售数量，即可得出关于x 的一元二次方程，解之即可得出结论．【详解】解：设售价为每件x 元，则每件的销售利润为（x-40）元，依题意，得：4405005080000.()[()]4x x ---=， 整理得214048000x x -+=，解得：160x =，280x =，且符合题意，答：售价应定为60元/件或80元/件．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．。
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含绝对值的一元二次方程
提高练习：
一．解答题（共6小题）
1．（2015•鄂州）关于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2+1=0有两个不等实根x1，x2．（1）求实数k的取值范围．
（2）若方程两实根x1，x2满足|x1|+|x2|=x1•x2，求k的值．
2、（2015•昆山市）已知关于x的一元二次方程x2+（m+3）x+m+1=0．
（1）求证：无论m取何值，原方程总有两个不相等的实数根；
（2）若x1、x2是原方程的两根，且|x1﹣x2|=2，求m的值．
3、（2013•南充）关于x的一元二次方程为（m﹣1）x2﹣2mx+m+1=0．
（1）求出方程的根；
（2）m为何整数时，此方程的两个根都为正整数？
4．（2015•十堰）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m+3）x+m2+2=0．
（1）若方程有实数根，求实数m的取值范围；
（2）若方程两实数根分别为x1、x2，且满足x12+x22=31+|x1x2|，求实数m的值．
作业详解（供同学们参考）
一．解答题（共5小题）
1．（2015•鄂州）关于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2+1=0有两个不等实根x1，x2．
（1）求实数k的取值范围．
（2）若方程两实根x1，x2满足|x1|+|x2|=x1•x2，求k的值．
考点：根的判别式；根与系数的关系．
分析：（1）根据方程有两个不相等的实数根可得△=（2k+1）2﹣4（k2+1）=4k2+4k+1﹣4k2﹣4=4k﹣3＞0，求出k的取值范围；
（2）首先判断出两根均小于0，然后去掉绝对值，进而得到2k+1=k2+1，结合k的取值范围解方程即
可．
解答：解：（1）∵原方程有两个不相等的实数根，
∴△=（2k+1）2﹣4（k2+1）=4k2+4k+1﹣4k2﹣4=4k﹣3＞0，
解得：k＞；
（2）∵k＞，
∴x1+x2=﹣（2k+1）＜0，
又∵x1•x2=k2+1＞0，
∴x1＜0，x2＜0，
∴|x1|+|x2|=﹣x1﹣x2=﹣（x1+x2）=2k+1，
∵|x1|+|x2|=x1•x2，
∴2k+1=k2+1，
∴k1=0，k2=2，
又∵k＞，
∴k=2．
点评：本题主要考查了根的判别式以及根与系数关系的知识，解答本题的关键是利用根的判别式△=b2﹣4ac ＞0求出k的取值范围，此题难度不大．
2．（2015•昆山市一模）已知关于x的一元二次方程x2+（m+3）x+m+1=0．
（1）求证：无论m取何值，原方程总有两个不相等的实数根；
（2）若x1、x2是原方程的两根，且|x1﹣x2|=2，求m的值．
考点：根的判别式；根与系数的关系．
分析：（1）先求出△的值，再通过配方得出△＞0，即可得出结论；
（2）根据x1、x2是原方程的两根，得出x1+x2=﹣m﹣3，x1x2=m+1，再根据|x1﹣x2|=2，得出
（x1﹣x2）2=8，再根据（x1﹣x2）2=（x1+x2）2﹣4x1x2，代入计算即可．
解答：解：（1）∵△=（m+3）2﹣4（m+1）=m2+2m+5=（m+1）2+4＞0，
∴无论m取何值，原方程总有两个不相等的实数根；
（2）∵x1、x2是原方程的两根，
∴x1+x2=﹣m﹣3，x1x2=m+1，
∵|x1﹣x2|=2，
∴（x1﹣x2）2=8，
∴（x1+x2）2﹣4x1x2=8，
∴（﹣m﹣3）2﹣4（m+1）=8，
∴m1=1，m2=﹣3．
点评：此题考查了一元二次方程根的判别式，掌握一元二次方程根的情况与判别式△的关系：△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；△=0⇔方程有两个相等的实数根；△＜0⇔方程没有实数根．3．（2015•十堰）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m+3）x+m2+2=0．
（1）若方程有实数根，求实数m的取值范围；
（2）若方程两实数根分别为x1、x2，且满足x12+x22=31+|x1x2|，求实数m的值．
考
点：
根的判别式；根与系数的关系．
分析：（1）根据根的判别式的意义得到△≥0，即（2m+3）2﹣4（m2+2）≥0，解不等式即可；
（2）根据根与系数的关系得到x1+x2=2m+3，x1x2=m2+2，再变形已知条件得到（x1+x2）2﹣4x1x2=31+|x1x2|，代入即可得到结果．
解答：解：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣（2m+3）x+m2+2=0有实数根，∴△≥0，即（2m+3）2﹣4（m2+2）≥0，
∴m≥﹣；
（2）根据题意得x1+x2=2m+3，x1x2=m2+2，
∵x12+x22=31+|x1x2|，
∴（x1+x2）2﹣2x1x2=31+|x1x2|，
即（2m+3）2﹣2（m2+2）=31+m2+2，
解得m=2，m=﹣14（舍去），
∴m=2．
点评：本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程根与系数的关系．
4．（2015•咸宁）已知关于x的一元二次方程mx2﹣（m+2）x+2=0．
（1）证明：不论m为何值时，方程总有实数根；
（2）m为何整数时，方程有两个不相等的正整数根．
考点：根的判别式；解一元二次方程-公式法．
分析：（1）求出方程根的判别式，利用配方法进行变形，根据平方的非负性证明即可；
（2）利用一元二次方程求根公式求出方程的两个根，根据题意求出m的值．
解答：解：（1）△=（m+2）2﹣8m
=m2﹣4m+4
=（m﹣2）2，
∵不论m为何值时，（m﹣2）2≥0，
∴△≥0，
∴方程总有实数根；
（2）解方程得，x=，
x1=，x2=1，
∵方程有两个不相等的正整数根，
∴m=1或2，m=2不合题意，
∴m=1．
点评：本题考查的是一元二次方程根的判别式和求根公式的应用，掌握一元二次方程根的情况与判别式△的关系：△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；△=0⇔方程有两个相等的实数根；△＜0⇔方程没有实数根是解题的关键．。