曲率与挠率
空间曲线的曲率、挠率和Frenet公式
空间曲线的曲率、挠率和Frenet 公式前言空间曲线的曲率、挠率和Frenet 公式是空间曲线基本理论的一部分,它是以空间曲线的密切平面和基本三棱形的知识作为基础的.空间曲线的曲率、挠率和Frenet 公式在空间曲线的基本理论中占有重要位置,是空间曲线的一些基本性质和基本公式.曲线的曲率和挠率完全决定了曲线的形状.当曲线的曲率和挠率之间满足多种不同的关系时,就会得到不同类型的曲线.例如:0k >时为直线,0τ=时为平面曲线.本文将从定义、公式推导和具体举例三方面逐步解析空间曲线的曲率、挠率和Frenet 公式.本文第一部分讲述曲率和挠率的定义,第二部分讲述Frenet 公式和曲率、挠率的一般参数表示的推导,第三部分具体举例有关曲率、挠率的计算和证明.1. 空间曲线的曲率和挠率的定义1.1准备知识—空间曲线的伏雷内标架给出2c 类空间曲线()c 和()c 上一点p .设曲线()c 的自然参数表示是(),r r s =其中s 是自然参数，得drdsr ==α 是一单位向量.α 称为曲线()c 上p 点的单位切向量.由于1=α，则⊥αα，即r r ⊥.在α上取单位向量==αr βαr， (1)β称为曲线()c 上p 点的主法向量.再作单位向量=⨯γαβ，γ称为曲线()c 上p 点的副法向量.我们把两两正交的单位向量,,αβγ称为曲线上p 点的伏雷内(Frenet)标架. 1.2 空间曲线的曲率我们首先研究空间曲线的曲率的概念.在不同的曲线或者同一条曲线的不同 点处，曲线弯曲的程度可能不同.例如半径较大的圆弯曲程度较小，而半径较小的圆弯曲程度较大.为了准确的刻画曲线的弯曲程度，我们引进曲率的概念.要从直观的基础上引出曲率的确切定义，我们首先注意到，曲线弯曲的程度越大，则从点到点变动时，其切向量的方向改变的越快.所以作为曲线在已知一曲线段PQ 的平均弯曲程度可取为曲线在P 、Q 间切向量关于弧长的平均旋转角.设空间中3c 类曲线()c 的方程为().r r s =曲线()c 上一点p ，其自然参数为s ，另一邻近点1p ，其自然参数为s s +∆.在p 、1p 两点各作曲线()c 的单位切向量()s α和()s s +∆α.两个切向量的夹角是ϕ∆，也就是把点1p 的切向量()s s +∆α平移到点p 后，两个向量()s α和()s s +∆α的夹角为ϕ∆.我们把空间曲线在p处的切向量对弧长的旋转速度来定义曲线在点p的曲率.定义[]1空间曲线()c 在p 点的曲率为()lims k s sϕ∆→∆=∆， 其中s ∆为p 点及其邻近点1p 间的弧长，ϕ∆为曲线在点p 和1p 的切向量的夹角. 再利用命题“一个单位变向量()t r （即()1t =r ）的微商的模,()r t 的几何意义是()t r 对于t 的旋转速度”.把这个结果应用到曲线()c 的切向量α上去，则有()k s =α.由于r =α，所以曲率也可表示为()k s r =.由上述空间曲线的曲率的定义可以看出，它的几何意义是曲线的切向量对于弧长的旋转速度.当曲线在一点的弯曲程度越大，切向量对于弧长的旋转速度就越大，因此曲率刻画了曲线的弯曲程度.对于空间曲线，曲线不仅弯曲而且还要扭转（离开密切平面），所以研究空间曲线只有曲率的概念是不够的，还要有刻画曲线扭转的程度的量—挠率. 1.3 空间曲线的挠率当曲线扭转时，副法向量（或密切平面）位置随着改变（如图一），所以我 们用副法向量（或密切平面）的转动速度来刻画曲线的扭转程度（在一点离开密切平面的程度）.现在设曲线()c 上一点p 的自然参数为s ，另一邻近点1p 的参数为s s +∆，在p 、1p 两点各作曲线()c 的副法向量()s γ和()s s +∆γ.此两个副法向量的夹角是ϕ∆(如图一).()s s γ+∆（图一）再利用命题“一个单位变向量()t r （即()1t =r ）的微商的模,()r t 的几何意义是()t r 对于t 的旋转速度” .把这个结果应用到曲线()c 的副法向量向量γ上去， 得到lims sϕ∆→∆=∆γ， 此式的几何意义是它的数值为曲线的副法向量（或密切平面）对于弧长的旋转速度.当曲线在一点的扭曲程度越大（离开所讨论点的密切平面的程度越大），副法向量（或密切平面）对于弧长的旋转速度就越大.因此，我们可以用它来刻画曲线的扭转程度.根据（1）和曲率的定义，我们有()k s ===r ααβrα， 即()k s =αβ. (2) 对=⨯γαβ求微商，有()()k s =⨯=⨯+⨯=⨯+⨯=⨯αβαβαβββαβαβγ，因而⊥αγ.又因为γ是单位向量，所以⊥γγ.由以上两个关系可以推出//γβ. (3) 现在我们给出挠率的定义如下： 定义[]1曲线()c 在p 点的挠率为：().s τ⎧+⎪⎪=⎨⎪-⎪⎩γγβγγβ，当和异向，，当和同向 挠率的绝对值是曲线的副法向量（或密切平面）对于弧长的旋转速度. 介绍了曲率、挠率的定义之后，为了更好的应用曲率和挠率,下面我们来看Frenet 公式和曲率、挠率的一般参数表示式的推导过程.2. Frenet 公式和曲率、挠率的一般参数表示式的推导2.1 Frenet 公式的推导 根据（3）及挠率的定义有τ=-γβ（s) （4） 另外，对=⨯βγα求微商，并利用（4）和（2），可以推导出()()()()()s k s k s s ττ=⨯=⨯+⨯=-⨯+⨯=-+βγαγαγαβαγβαγ（5）公式（2），（5），（4）称为空间曲线的伏雷内（Frenet ）公式，即()()()()k s k s s s ττ⎧=⎪⎪=-+⎨⎪=-⎪⎩αββαγγβ， 这组公式是空间曲线的基本公式.它的特点是基本向量α、β、γ关于弧长s 的微商可以用α、β、γ的线性组合来表示.它的系数组成反称的方阵()0()0()0()0k s k s s s ττ⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭2.2 曲率的一般参数表示式的推导 若给出3c 类的空间曲线()c().r r s =，则有,dr ds dsr r ds dt dt==，22,222,,222ds d s d r ds d s ds d s r r r r r r dt dt ds dt dt dt dt ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以232,,,2ds ds d s ds r r r r r r r dt dt dt dt ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⨯=⨯+=⨯⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，由上式得3,,,sin ds r r r r dt θ⎛⎫⨯= ⎪⎝⎭.注意上式中,1,,dsr r r r dt=⊥=， 因而有3,,,,r r k r ⨯=.由此得到曲率的一般参数表示式,,,3,r r k r⨯=.2.3挠率的一般参数表示式的推导 再由伏雷内公式的（4）式τ=-γβ（s)，两边点乘β得r τ=-βββ，因而()()26,2,,,1111111,,,,kk k k k k k k r r r τ⎛⎫=-==⨯ ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎪⎝⎭=⎛⎫ ⎪⎝⎭=⨯γβγβαβαααααγγγγγγγγγγ再把,ds r rdt= 22,,2ds d s r r r dt dt ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭323,,,233ds ds d s d s r dt dt dt dt ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭γγγ 代入(),,,,,,r r r ⨯⨯中得()66,,,,,,,,,,,ds r r r r dt ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯⨯==⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭γγγγγγ， 所以得到()(),,,,,,2,,,r r r r r τ⨯⨯=⨯. 这是一般参数表示的挠率计算公式.另外说一下密切圆，曲率中心，曲率半径的定义.空间曲线()c 在一点的密切圆（曲率圆）是过曲线()c 上一点()P s 的主法线的正侧取线段PC ，使PC 的长为1k ，以C 为圆心，以1k为半径在密切平面上确定一个圆，这个圆称为曲线()c 在()P s 点的密切圆（曲率圆），曲率圆的中心称为曲率中心，曲率圆的半径称为曲率半径（如图二）.（图二）3. 有关曲率、挠率的计算和证明例 1[]1求圆柱螺线{}cos ,sin ,a a b θθθ=r ()θ-∞<<+∞的曲率和挠率.解 由圆柱螺线方程{}cos ,sin ,a a b θθθ=r ，先计算{},sin ,cos ,a a b θθ=-r ,{},,cos ,sin ,0a a θθ=--r ,{},,,sin ,cos ,0a a θθ=-r ,于是有,=r{},,,2sin cos sin ,cos ,,cos sin 0a ab ab ab a a a θθθθθθ⨯=-=---123e e e r r ,,,⨯=r r代入曲率和挠率的公式得,,,322,,ak a b ⨯===+r r r β()(),,,,,,2222422,,,,,.,ba ba b aa b τ===++r r r r r 由以上可以看出，圆柱螺线的曲率和挠率都是常数.例 2[]1 证明曲率恒等于零的曲线是直线. 证明 已知0,k =≡r 因而,=r 0由此得到 =r a （常向量）. 再积分即得 ,s =+r a b 其中b 也是常向量.这是一条直线的参数方程.例 3[]1证明挠率恒等于零的曲线是平面曲线.证明 若0,τ≡则γ是固定向量，但是我们已知0,=αγ因而有0,=r γ积分后得a =r γ（常数），所以曲线在一个平面上，即曲线是平面曲线.以上即为有关曲率、挠率的计算和证明，充分说明了研究空间曲线的曲率、挠率对空间曲线的研究有重要意义.结语:空间曲线的曲率、挠率和Frenet 公式是空间曲线基本理论的重要部分.其中Frenet 公式是微分几何空间曲线论的基本公式，是研究空间曲线论的基础，在经典微分几何中占有重要地位，可以由它导出曲线的诸多重要性质和定理.参考文献：[1] 梅向明，黄敬之.微分几何（第四版）[M]. 北京：高等教育出版社，2008.。
空间曲线的曲率挠率
. 故曲率中心的半径向量为 可以求出密切平面为
于是曲率圆为
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设曲线方程为
曲率半径及曲率中心 设点M 处的曲率圆方程为
且
求曲线上点M 处的
的坐标公式 .
y
D( , )
故曲率半径公式为
R
1
(1
y2
)
3 2
y
, 满足方程组
密切平面： 法平面： 从切平面：
r(s)
v (R
rv)
v
0
v (R
rv,v,
v
)
0
密切平面
v (R
rv)
v
0
α(s)
而由三个基本向量(R和v上面rv)三 个v平面0所构成的图形叫做曲线的基本三从棱切形平面。
C β(s)
O
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曲线。
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1.曲线的自然参数
自然参数：我们知道曲线有不同的参数表示，能 否找一种参数使研究曲线很方便呢？回答是肯定
的这就对是于以光弧滑长曲s线为参r(t数) （(x自(t然), y参(t数), z）(t)), t A R
若曲线方程为
x ( y), 若曲线由参数方程
x x(t)
y
y(t)
x
则 (1 x 2 )32
xy xy
给出, 则 ( x2 y2 )32
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课件二：曲率、挠率、伏雷内公式
，所以挠率的绝对值刻画了曲线
扭转的程度；其符号实际上规定了：右旋曲线 τ ( s ) > 0 左旋曲线τ ( s ) < 0 。（将在下节给出解释， 同学们预习时 注意一下看是怎样说明的）。
r r γ& = τ ( s ) β ；（由定义即得） ②
③ 曲面是平面曲线，则τ ( s ) = 0
④ 挠率不恒等于零的曲线叫做挠曲线 挠曲线。 挠曲线
伏雷内(Frenet) (Frenet)公式 3 伏雷内(Frenet)公式 r r 简单地说，Frenet公式是由基本向量表示其导 & = κ (s)β ②应用伏雷内(Frenet)时应 α r 矢的式子。它是： r 注意:公式中等号左边是基本向 r r & r
说明 ①伏雷内(Frenet) 曲率和挠率也是伏雷内公式的 r r r r & = k ( s ) β，γ& ( s ) = τ ( s ) β 已经知道，只须证 公式又叫曲线论基本公式. r r r r & 证明： α & β = α β 一个应用： κ = α r r r 它沟通了曲率、挠率、基 r r r & 第二式。 β = γ ×α 两边求微商并将上两式带入得： & β = γr β （为什么？） 在 τ = γ 本向量及其导矢之间的关 r r r & β = k ( s )α + τ ( s ) γ ( s ) ④ 伏雷内公式的另一形式: 系.遇到问题就微分,遇到 r r r r & 0 αr = ωrκ×(s) 0 α &，&，& 就用伏雷内公式, α β γ 该式其系数构成反对称矩阵： r r r & β ) kr(s= ωr ×0 β ，τ (s) 这是微分几何中解决问题 & γ0 = ωτ (γr) 0 × s r 的重要技巧和方法; r r 其中 ω = τα + κγ
曲率和挠率对空间曲线形状的影响要点
曲率和挠率对空间曲线形状的影响摘 要：曲率和挠率是空间曲线的特性，不同的曲率和挠率函数决定不同形状的 曲线，研究常曲率和挠率的空间曲线有特别重要的意义。
本文对曲率和挠率的形成及意义进行了探讨，并对常曲率和挠率的空间曲线进行了一定的研究. 给出了常曲率和挠率的空间曲线特性• 关键词：曲率 挠率 空间曲线形状我们知道，空间曲线的形状完全由曲率和挠率决定 •而当一个空间曲线的曲 率或挠率为常数时，这种曲线具有很强的特性，对这种曲线的特性的研究有利于 对空间曲线这部分内容的掌握和理解•一曲率的概念和几何意义1曲率的概念我们首先研究空间曲线的曲率的概念。
在不同的曲线或者同一条曲线的不同 点处，曲线弯曲的程度可能不同。
例如半径较大的圆弯曲程度较小， 而半径较小 的圆弯曲程度较大（图1-1）又如图1-2中所示，当沿着曲线从左向右移动时， 曲线弯曲的程度变大。
为了准确地刻画曲线的弯曲程度，我们引进曲率的概念。
要从直观的基础上引出曲率的确切的定义， 我们首先注意到，曲线弯曲的程 度越大，则从点到点变动时，其切向量的方向改变得越快。
所以作为曲线在已知 线段PQ 的平均弯曲程度可取为曲线在 P,Q间切向量关于弧长的平均旋转角。
图1-1设空间中c3类曲线（c）的方程为曲线（C）上一点P,其自然参数为S,另一邻近点p i,其自然参数为S + A S。
在P, P1两点各作曲线（c）的单位切向量*is和〉s •厶s。
两个切向量间的夹角是丄（图1-3），也就是把点p的切向量〉s平移到点P后，两个向量〉s 和:：i is： =s的夹角为「。
图1-3定义空间曲线（C）在P点的曲率为3豐忑，其中厶S为P点及其邻近点p间的弧长，二!'为曲线在点P和p」勺的切向量的夹角。
2曲率的几何意义利用“一个单位变向量"（（即卩（t）| = 1）的微商的模A '（t）的几何意义是丫（t）对于t的旋转速度”。
把这个结果应用到空间曲线（C）的切向量〉上去，则有'■ s 八。
空间曲线曲率和挠率的介绍 ppt课件
1
微分几何的应用
▪ 理论物理
➢ 广义相对论将物理量解释为几何量。具体的说， 空间和时间结合在一起由一个流形描述：不同的 参照系给出不同的局部坐标；不同参照系之间的 关系即是坐标变换。时空流形的度量由所谓 Lorentz度量给出，象Riemann几何一样计算出 曲率等几何量。
➢ Einstein方程说：
时空的物理量（能量动量张量）
等于时空的几何量（Ricci曲率张量）。
PPT课件
2
1.空间曲线的基本三棱形、伏雷内标架
1)
给出C
称
2
r
类 曲dr线为r曲线r（(sC)）得上一单P 位点向的量单位切 r向 量dd。rs
，
ds
称
r r
为曲线在 P 点的主法向量,
它垂直于单位切向量。
称
为曲线在 P
解: 如图所示 ,
s R
lim 1
s0 s
R
M
s
R M
可见: R 愈小, 则K 愈大 , 圆弧弯曲得愈厉害 ;
R 愈大, 则K 愈小 , 圆弧弯曲得愈小 .
7
PPT课件
(s) lim r
s0 s
(s)
P
M
P1
M
(s
s)
lim
lim
1
lim
MM
MM
s0 s s0 s
a 0
反之, 于是
若
r
sa(s)
b
0
,则
(s)
r
0
所以该曲线是直线.
PPT课件 9
2)挠率
rr与 曲 率类 似有k(s)
lim s0 s
(s s) (s)
曲率与挠率
曲率与挠率摘要:三维欧氏空间中的曲线中的曲率与挠率是空间曲线理论中最基本、最重要的两个概念,分别刻画空间曲线在一点邻近的弯曲程度和离开密切平面的程度,本文中给出了曲率与挠率的定义及其计算公式,并根椐公式 实例进行计算,以及曲率和挠率关于刚性运动及参数变换的不变性.关键词：曲率与挠率 平面特征 刚性运动1. 曲率与挠率的定义及其几何意义1.1曲率的解析定义设曲线C 的自然参数方程为()s r r =,且()s r 有二阶连续的导矢量r,称()s r 为曲线C 在弧长为s 的点处的曲率,记为()()s r s k=,并称()s r 为C 的曲率向量,当()0≠s k 时,称()()s k s p 1=为曲线在该点处的曲率半径. 1.2 挠率的解析定义空间曲线不但要弯曲,而且还要扭曲,即要离开它的密切平面,为了能刻画这一扭曲程度,等价于去研究密切平面的法矢量（即曲线的副法矢量）关于弧长的变化率,为此我们先给出如下引理.引理:设自然参数曲线C :()s r r =本向量为βα ,和γ ,则0=⋅α r,即r r 垂直于α.另一方面由于1=r,两边关于弧于s 求导便得0=⋅r r ,即r 垂直于r ,这两方面说明r 与γα ⨯共线,即r 与β 共线.由()βτ s r -=（负号是为了以后运算方便而引进的）所确定的函数()s r 称为曲线C的挠率.当()0≠s τ时,它的倒数()1s τ称为挠率半径. 1.3曲率与挠率的几何意义 1.3.1 曲率的几何意义任取曲线C :()s r r=上的一点()p s 及其邻近点()Q s s +∆,P 和Q 点处的单位切向量分别为()()s rs =α和()()s s r s s ∆+=∆+ α,它们的夹角设为θ∆,将()s s ∆+α 的起点移到()p s 点,则()()2sin2θαα∆=-∆+s s s,于是 ()()s s ss s s ∆∆⋅∆∆=∆∆=∆-∆+θθθθαα22sin 2sin 2故 ()()s r s k= ()()ss s s s s s s ∆∆=∆∆⋅∆∆=∆-∆+=→∆→∆→∆→∆θθθθααθθ000limlim 22sinlimlim这表明曲线在一点处的曲率等于此点与邻近点的切线向量之间的夹角关于弧长的变化率,也就是曲线在该点附近切线方向改弯的程度,它反映了曲线的弯曲程度.如果曲线在某点处的曲率愈大,表示曲线在该点附近切线方向改变的愈快,因此曲线在该点的弯曲程度愈大.1.3.2挠率的几何意义由挠率的定义和()γτ =s ,因此挠率的绝对值表示曲线的副法向量关于弧长的变化率,换句话说,挠率的绝对值刻画了曲线的密切平面的变化程度.所以曲线的挠率就绝对值而言其几何意义是反映了曲线离开密切平面的快慢,即曲线的扭曲程度.1.4 直线与平面曲线的特征1.4.1直线的特征定量3.1 曲线为直线的充分必要条件是曲率0k =证明()⇒若曲线C :()s r r =为直线,则其方程为s r r α +=0,其中0r为常矢量,α为直线的单位方向矢量,s 为弧长参数.于是0==r k()⇐若有0k ≡,则α α为常矢量,对r =α两边关于弧长s 积分得 ⎰+==0r s ds rαα这正是直线的方程. 1.4.2平面曲线的特征定理3.3曲线为平面曲线的充分必要条件是挠率()0s τ≡. 证明()⇒若曲线C :()s r r =为平面曲线,则γ为常矢量,于是()0≡⋅-=βγτ s()⇐由于()0s τ≡,即0=⋅βγ ,而γ 共线于β ,所以()0≡s γ 或()s γ 为常矢量,于是可直接验证()0=⋅dsr d γ ,即 p r =⋅γ(常数)这说明曲线C 上的点满足一平面的方程,即C 为平面曲线.2. 曲率和挠率的计算公式2.1曲率的计算公式①给出曲线C 的自然参数方程()s r r=时:()()()s r s s k ==α②给出曲线C 的一般参数方程()t r r=时:()()()()3t r t r t r t k '''⨯'=1.2挠率的计算公式①给出曲线C 的自然参数方程()s r r=时:()()()()()()()2,,s r s rs r s r s =τ ②给出曲线C 的一般参数方程()t r r=时:()()()()()()()()2,,t r t r t r t r t r t ''⨯'''''''=τ3.曲率和挠率的计算实例例1分别求椭圆C :(){}()00,sin ,cos >>=b a t b t a t r长轴上顶点(),0,0A a 及短轴上顶点()0,,0B b 处的曲率和挠率.解 注意到点A 和点B 对应的参数值分别为0,/2t t π==,直接计算得到()a r b r =⎪⎭⎫⎝⎛'='2,0πab r r =''⨯'于是A 点处的曲率3A ab k b =,B 点处的曲率3B abk a=,显然A B k k >,这正说明椭圆C 在长轴顶点处的弯曲程度比C 在短轴顶点处的弯曲程度高,换句话说,椭圆C 在短轴顶点邻近比长轴顶点邻近平坦.至于挠率,因为曲线C 是平面曲线,其挠率处处为0.特别地,若a b =,即C 是圆,这时,容易验证圆上每一点处的曲率都相待,且等于半径的倒数,这一方面表明圆在其上每一点处的弯曲程度都相同,同时也表明半径愈大,弯曲程度愈小,这些事实的几何直观是不言而语的.例2求圆柱螺线(){}bt t b t a t r ,sin ,cos =()0>>b a 的曲率和挠率.解 直接计算到22b a r +=' ,22b a a r r +=''⨯' ()b a r r r 2,,=''''''代入曲率和挠率的计算公式立即得2222,a bk a b a b τ==++ 由此可见圆柱螺线的曲率和挠率均为常数,其逆命题也成立,即曲率和挠率均为非零常数的曲线一定是圆柱螺线.例3 求曲线(){}t t t t r 233cos ,sin ,cos =的曲率和挠率，这里02t π<<.解 直接计算得到()t t r 2sin 25=',可见t 不是弧长参数,所以将()t r ' 单位化后得到 ()()⎭⎬⎫⎩⎨⎧--=''=54,sin 53,cos 53t t t r t rα而{}0,cos ,sin t t dsdt dtda ds dtdtdar r ====ααβ 所以⎭⎬⎫⎩⎨⎧--=⨯=53sin,54,cos 54t βαγ于是曲线的曲率625sin 2dada da dt dt k dr ds dt ds t dt ==⋅==为了计算挠率,由定义βλτ ⋅-=ds d ，而dsdt ds r d ds r d ⋅=,故 dtr d dt r d βτ-=简单计算得曲线的挠率825sin 2tτ=-说明:本题可像例2直接利用公式求曲率和挠率,但有一定的计算量,如果曲线的赂量式比较复杂,这里介绍的方法比较稳妥.4. 曲率和挠率关于刚性运动及参数变换的不变性4.1 曲率和挠率关于刚性运动的不变性所谓刚性运动是指3R 中的平移,或旋转,或平移与旋转的合成,祥言之,设33:f R R →是一个刚性运动（简称运动）,意指存在一个向量()321,,b b b b =和一个正交矩阵A （即t A A ⋅=单位矩阵,这里tA 表示A 的转置矩阵）,使得对任意3(,,)A x y z R ⋅∈,有(,,)(,,)f x y z x y z A b =+曲率和挠率关于刚性运动的不变性是指当曲线C 经过3R 中的一个运动变为C 时,C 和C 上对应点的曲率和挠率皆相等.设曲线C 的自然参数表示是()r s ,并设曲线C 经过运动f 变为典线C ,那么C 有参赞数表示()r s ,使得()(())()r s f r s r s A b ==⋅+于是()()dr drs s A ds ds=⋅ 从而2()()d r drs s A ds ds=⋅()()tdr dr s A s A ds ds ⎛⎫⎛⎫=⋅⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()()()ttt dr dr dr dr s A A s s s ds ds ds ds ⎛⎫⎛⎫=⋅⋅⋅=⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 2()1dr s A ds=⋅= 故s 也是曲线()r s 的弧长参数.C 与C 的上述参数表达式()r s 和()r s 有一个特点,那就是()(())r s r s =这表明:若0P 是C 上的点,它经过f 变为C 上的点0P ,则0P 与0P 有相同的参数值,即00()()s P d P =设曲线()r rs 的曲率和挠率分别为k 和τ,曲线()r r s =上相应的曲率和挠率分别为k 和τ,则因22332233,,,dr drd r d rd r d rA A A ds dsds ds ds ds=⋅=⋅=⋅同时注意一det 1A =,我们有22332233,,dr drd r d rd r d rds dsds ds ds ds===从而由曲率的计算公式,我们有2222()d r d rk s A ds ds ==⋅22()d rk s ds == 这表明曲率在运动f 下不变.再由挠率的确良计算公式,结合上述讨论及解析几何中关于混合积的几何意义,我们得到:23232,,()()d r d r d r ds ds ds s k s τ⎛⎫ ⎪⎝⎭=⎡⎤⎣⎦[]23232,,()dr d r d r A A A ds ds ds k s ⎛⎫⋅⋅⋅ ⎪⎝⎭=[]23232,,()()dr d r d r ds ds ds s k s τ⎛⎫ ⎪⎝⎭== 这表明挠率在运动f 下不变,至此我们证明了曲率和挠率皆是运动不变量.4.2 曲率和挠率关于参数变换的不变性设曲线C 的一般参数议程为(),()r r t t t t ==是任一容许的参数变换,由复合函数的链式求异法则,容易验验证2222222,,dr dr dt d rd r dt dr d r dt dt dt dt dt dt dt dt⎛⎫==+ ⎪⎝⎭ 333223323323,d rd r dt d r dt d t dt d tdt dt dt dt dt dtdt dt ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭ 将以上三式代入曲率和挠率的计算公式,就可得到()(()),()(())k t k t t t t t ττ==这表明曲线在容许的参数变换下,对应点的曲率和挠率都不变,即曲率和挠率都是参数变换下的不变量.结束语以上所述即是根据曲率与挠率的计算公式进行实例分析.参考文献：[1] 梅向明，黄敬之。
曲率挠率Frenet公式与标架
密切平面 T(t)
C N(t)
从切平面 O
图 2-7
率 (s) 与 *(s) 总相等．
证明 与上一节定理2的证明相同，对曲线 C* 各相应量 的记号总打星号表示，并设矩阵 ASO(3) 和位置向量 OP = (b1 , b2 , b3) ，使
一．挠率
❖ 定理2 设无逗留点的弧长 s 参数化曲线 C: r = r(s) 与 C*: r* = r*(s) 合同，则两条曲线在对应点 r(s) 与 r*(s)
(
dr dt
,
d2r dt2 ,
d3r dt3
)
=
dr dt
d2r 2
dt2
．
例1 对常数 a > 0 和常数 b ，计算曲线
r(t) = (a cos t , a sin t , b t)
的挠率.
注意解法有多种：
可先作弧长参数化，再用定 义式计算；
或先确定参数与弧长参数的 关系，再利用复合求导以及
处的挠率 (s) 与 *(s) 总相等．
❖ 证明 与上一节定理2的证明相同，对曲线 C* 各相应 量的记号总打星号表示，并设矩阵 ASO(3) 和位置向 量 OP = (b1 , b2 , b3) ，使
r = OP r*A ，T = T*A ，T = T*A ， =* ．
将曲率向量用主法向量表示出来，则进一步有 N = N*A ，N = N*A ．
(4.1) B (s) = N ，
(4.2) = (TN)•N = (TN ) •N = (T , N , N )
= (r(s) , r(s) , r(s) r(s) r(s)
+ r(s)
d ds
1) r(s)
圆柱螺线的曲率和挠率
圆柱螺线的曲率和挠率1. 引言圆柱螺线是一种广泛应用于机械、建筑、电子等领域的曲线形式，其具有较好的稳定性和可靠性。
在圆柱螺线的实际应用中，需要考虑其曲率和挠率等数学特性，以便更好地掌握其几何特征和工程性能。
本文将从数学角度出发，对圆柱螺线的曲率和挠率进行深入探讨。
2. 圆柱螺线的定义圆柱螺线是一种螺旋在圆柱面上的曲线形式，其方程可以表示为：x = a cos(t)y = a sin(t)z = b t其中a和b为常数，t为参数。
圆柱螺线可以描述为一个从圆柱面上水平向上升的螺线，其形状和大小由a和b确定。
在实际应用中，圆柱螺线可以用于制造螺母、螺栓、齿轮等零部件，也可以用于设计直线导轨、滚珠丝杠等机械结构。
3. 圆柱螺线的曲率曲率是描述曲线弯曲程度的一个数学概念，其大小与曲线的弧长、切线角度等因素有关。
对于圆柱螺线来说，其曲率可用一阶导数求得，即：k = |r'(t) x r''(t)| / |r'(t)|^3其中r(t) = (x(t), y(t), z(t))为圆柱螺线的参数方程，r'(t)和r''(t)为其一阶和二阶导数。
由于圆柱螺线是旋转体，其导数和法向量均处于同一平面内，因此公式可化简为：k = |r''(t)| / |r'(t)|^2代入圆柱螺线的参数方程可以得到：k = b / (a^2 + b^2)这意味着圆柱螺线的曲率只与螺旋升高度b和横截面半径a有关，与螺旋线圈数和角度无关。
圆柱螺线的曲率呈现出圆柱形状，即其在任意一点上的曲率相等，曲率半径为R = 1/k = (a^2 + b^2) / b。
4. 圆柱螺线的挠率挠率是描述曲线弯曲变形的一个数学概念，其大小与曲线的弧长、曲率等因素有关。
对于圆柱螺线来说，其挠率可用二阶导数求得，即：κ = [r'(t) x r''(t)] • r'''(t) / |r'(t) x r''(t)|^2代入圆柱螺线的参数方程可以得到：κ = -a^2 / (a^2 + b^2)这意味着圆柱螺线的挠率与螺旋升高度b和横截面半径a有关，且其大小与曲线弯曲程度成反比关系。
空间曲线的曲率、挠率和Frenet公式
空间曲线的曲率、挠率和Frenet 公式前言空间曲线的曲率、挠率和Frenet 公式是空间曲线基本理论的一部分,它是以空间曲线的密切平面和基本三棱形的知识作为基础的.空间曲线的曲率、挠率和Frenet 公式在空间曲线的基本理论中占有重要位置,是空间曲线的一些基本性质和基本公式.曲线的曲率和挠率完全决定了曲线的形状.当曲线的曲率和挠率之间满足多种不同的关系时,就会得到不同类型的曲线.例如:0k >时为直线,0τ=时为平面曲线.本文将从定义、公式推导和具体举例三方面逐步解析空间曲线的曲率、挠率和Frenet 公式.本文第一部分讲述曲率和挠率的定义,第二部分讲述Frenet 公式和曲率、挠率的一般参数表示的推导,第三部分具体举例有关曲率、挠率的计算和证明.1. 空间曲线的曲率和挠率的定义1.1准备知识—空间曲线的伏雷内标架给出2c 类空间曲线()c 和()c 上一点p .设曲线()c 的自然参数表示是(),r r s =其中s 是自然参数，得drdsr ==α 是一单位向量.α 称为曲线()c 上p 点的单位切向量.由于1=α，则⊥αα，即r r ⊥.在α上取单位向量==αr βαr， (1)β称为曲线()c 上p 点的主法向量.再作单位向量=⨯γαβ，γ称为曲线()c 上p 点的副法向量.我们把两两正交的单位向量,,αβγ称为曲线上p 点的伏雷内(Frenet)标架. 1.2 空间曲线的曲率我们首先研究空间曲线的曲率的概念.在不同的曲线或者同一条曲线的不同 点处，曲线弯曲的程度可能不同.例如半径较大的圆弯曲程度较小，而半径较小的圆弯曲程度较大.为了准确的刻画曲线的弯曲程度，我们引进曲率的概念.要从直观的基础上引出曲率的确切定义，我们首先注意到，曲线弯曲的程度越大，则从点到点变动时，其切向量的方向改变的越快.所以作为曲线在已知一曲线段PQ 的平均弯曲程度可取为曲线在P 、Q 间切向量关于弧长的平均旋转角.设空间中3c 类曲线()c 的方程为().r r s =曲线()c 上一点p ，其自然参数为s ，另一邻近点1p ，其自然参数为s s +∆.在p 、1p 两点各作曲线()c 的单位切向量()s α和()s s +∆α.两个切向量的夹角是ϕ∆，也就是把点1p 的切向量()s s +∆α平移到点p 后，两个向量()s α和()s s +∆α的夹角为ϕ∆.我们把空间曲线在p 处的切向量对弧长的旋转速度来定义曲线在点p 的曲率.定义[]1空间曲线()c 在p 点的曲率为()lims k s sϕ∆→∆=∆， 其中s ∆为p 点及其邻近点1p 间的弧长，ϕ∆为曲线在点p 和1p 的切向量的夹角. 再利用命题“一个单位变向量()t r （即()1t =r ）的微商的模,()r t 的几何意义是()t r 对于t 的旋转速度”.把这个结果应用到曲线()c 的切向量α上去，则有()k s =α.由于r =α，所以曲率也可表示为()k s r =.由上述空间曲线的曲率的定义可以看出，它的几何意义是曲线的切向量对于弧长的旋转速度.当曲线在一点的弯曲程度越大，切向量对于弧长的旋转速度就越大，因此曲率刻画了曲线的弯曲程度.对于空间曲线，曲线不仅弯曲而且还要扭转（离开密切平面），所以研究空间曲线只有曲率的概念是不够的，还要有刻画曲线扭转的程度的量—挠率. 1.3 空间曲线的挠率当曲线扭转时，副法向量（或密切平面）位置随着改变（如图一），所以我 们用副法向量（或密切平面）的转动速度来刻画曲线的扭转程度（在一点离开密切平面的程度）.现在设曲线()c 上一点p 的自然参数为s ，另一邻近点1p 的参数为s s +∆，在p 、1p 两点各作曲线()c 的副法向量()s γ和()s s +∆γ.此两个副法向量的夹角是ϕ∆(如图一).()s s γ+∆（图一）再利用命题“一个单位变向量()t r （即()1t =r ）的微商的模,()r t 的几何意义是()t r 对于t 的旋转速度” .把这个结果应用到曲线()c 的副法向量向量γ上去， 得到lims sϕ∆→∆=∆γ， 此式的几何意义是它的数值为曲线的副法向量（或密切平面）对于弧长的旋转速度.当曲线在一点的扭曲程度越大（离开所讨论点的密切平面的程度越大），副法向量（或密切平面）对于弧长的旋转速度就越大.因此，我们可以用它来刻画曲线的扭转程度.根据（1）和曲率的定义，我们有()k s ===r ααβr α， 即()k s =αβ. (2) 对=⨯γαβ求微商，有()()k s =⨯=⨯+⨯=⨯+⨯=⨯αβαβαβββαβαβγ，因而⊥αγ.又因为γ是单位向量，所以⊥γγ.由以上两个关系可以推出//γβ. (3) 现在我们给出挠率的定义如下： 定义[]1曲线()c 在p 点的挠率为：().s τ⎧+⎪⎪=⎨⎪-⎪⎩γγβγγβ，当和异向，，当和同向 挠率的绝对值是曲线的副法向量（或密切平面）对于弧长的旋转速度. 介绍了曲率、挠率的定义之后，为了更好的应用曲率和挠率,下面我们来看Frenet 公式和曲率、挠率的一般参数表示式的推导过程.2. Frenet 公式和曲率、挠率的一般参数表示式的推导2.1 Frenet 公式的推导 根据（3）及挠率的定义有τ=-γβ（s) （4） 另外，对=⨯βγα求微商，并利用（4）和（2），可以推导出()()()()()s k s k s s ττ=⨯=⨯+⨯=-⨯+⨯=-+βγαγαγαβαγβαγ（5）公式（2），（5），（4）称为空间曲线的伏雷内（Frenet ）公式，即()()()()k s k s s s ττ⎧=⎪⎪=-+⎨⎪=-⎪⎩αββαγγβ， 这组公式是空间曲线的基本公式.它的特点是基本向量α、β、γ关于弧长s 的微商可以用α、β、γ的线性组合来表示.它的系数组成反称的方阵()0()0()0()0k s k s s s ττ⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭2.2 曲率的一般参数表示式的推导 若给出3c 类的空间曲线()c().r r s =，则有,dr ds dsr r ds dt dt==，22,222,,222ds d s d r ds d s ds d s r r r r r r dt dt ds dt dt dt dt ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以232,,,2ds ds d s ds r r r r r r r dt dt dt dt ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⨯=⨯+=⨯⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，由上式得3,,,sin ds r r r r dt θ⎛⎫⨯= ⎪⎝⎭.注意上式中,1,,dsr r r r dt=⊥=， 因而有3,,,,r r k r ⨯=.由此得到曲率的一般参数表示式,,,3,r r k r⨯=.2.3挠率的一般参数表示式的推导 再由伏雷内公式的（4）式τ=-γβ（s)，两边点乘β得r τ=-βββ，因而()()26,2,,,1111111,,,,kk k k k k k k r r r τ⎛⎫=-==⨯ ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫ ⎪⎝⎭=⎛⎫ ⎪⎝⎭=⨯γβγβαβαααααγγγγγγγγγγ 再把,ds r rdt= 22,,2ds d s r r r dt dt ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭323,,,233ds ds d s d s r dt dt dt dt ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭γγγ 代入(),,,,,,r r r ⨯⨯中得()66,,,,,,,,,,,ds r r r r dt ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯⨯==⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭γγγγγγ， 所以得到()(),,,,,,2,,,r r r r r τ⨯⨯=⨯. 这是一般参数表示的挠率计算公式.另外说一下密切圆，曲率中心，曲率半径的定义.空间曲线()c 在一点的密切圆（曲率圆）是过曲线()c 上一点()P s 的主法线的正侧取线段PC ，使PC 的长为1k ，以C 为圆心，以1k为半径在密切平面上确定一个圆，这个圆称为曲线()c 在()P s 点的密切圆（曲率圆），曲率圆的中心称为曲率中心，曲率圆的半径称为曲率半径（如图二）.（图二）3. 有关曲率、挠率的计算和证明例 1[]1 求圆柱螺线{}cos ,sin ,a a b θθθ=r ()θ-∞<<+∞的曲率和挠率. 解 由圆柱螺线方程{}cos ,sin ,a a b θθθ=r ，先计算{},sin ,cos ,a a b θθ=-r ,{},,cos ,sin ,0a a θθ=--r ,{},,,sin ,cos ,0a a θθ=-r ,于是有,=r{},,,2sin cos sin ,cos ,,cos sin 0a ab ab ab a a a θθθθθθ⨯=-=---123e e e r r,,,⨯=r r代入曲率和挠率的公式得(),,,3322,,ak a b ⨯===+r r r β()(),,,,,,2222422,,,,,.,ba ba b aa b τ===++r r r r r 由以上可以看出，圆柱螺线的曲率和挠率都是常数.例 2[]1 证明曲率恒等于零的曲线是直线. 证明 已知0,k =≡r 因而,=r 0由此得到 =r a （常向量）. 再积分即得 ,s =+r a b 其中b 也是常向量.这是一条直线的参数方程.例 3[]1 证明挠率恒等于零的曲线是平面曲线. 证明 若0,τ≡则γ是固定向量，但是我们已知0,=αγ因而有0,=r γ积分后得a =r γ（常数）， 所以曲线在一个平面上，即曲线是平面曲线.以上即为有关曲率、挠率的计算和证明，充分说明了研究空间曲线的曲率、挠率对空间曲线的研究有重要意义.结语:空间曲线的曲率、挠率和Frenet 公式是空间曲线基本理论的重要部分.其中Frenet 公式是微分几何空间曲线论的基本公式，是研究空间曲线论的基础，在经典微分几何中占有重要地位，可以由它导出曲线的诸多重要性质和定理.参考文献：[1] 梅向明，黄敬之.微分几何（第四版）[M]. 北京：高等教育出版社，2008.。
空间曲线曲率挠率和Frenet公式讲解
的自然参数为
s
s
，在
P,
P
两点作曲线
1
(C
)
的副法向
量 (s)和 (s s),此两个副法向量的夹角是
由第一节命题知扭转程度大小为 lim
s0 s
几何意义是它的数值为曲线的副法向量对于弧长的旋转
速度
下面考虑扭转方向,因
r r
k（s）
所以
k(s）
r , r ,,
于是 k r, 3 = ＝（(rr,,,r,r,,,r,),2,,）=
所以圆柱螺线的曲率和挠率都是常数.
. 故曲率中心的半径向量为
可以求出密切平面为 于是曲率圆为
3.3空间曲线曲率挠率和Frenet公式
定义： 空间曲线 (C) 在 p 点的曲率为
k(s) lim
s0 s
其中 s 为 p 点及其邻近点 p1间的弧长， 为 曲线在点 p 和 p1 的切向量的夹角。
曲率刻画了曲线的弯曲程度，刻画了曲线偏离切线 程度。
空间曲线曲率计算公式（自然参数）
,当
和 异向，
，当 和同向。
挠率的绝对值是曲线的副法向量（或密切平面）对于 弧长的旋转速度。
由定义 （ ） (s） k(s） k(s） + (s）
则有基本向量导向量与基本向量的关系，即 微分几何的的重要公式
s
|
1|
s
|
MM s
，|
|
MM s
，
|
| |
MM MM
课件二：曲率、挠率、伏雷内公式
1 曲率 3 曲率是刻画曲线在一点弯曲程度的，不同的 定义 设P(S)是 C 类曲线 r r (s) 上一点,S为自 在曲线上取等长的曲线段，可以看出，曲线 曲线一般弯曲程度不一样。例如半径较大的圆弯曲 Q ( s s ) 然参数， 为其附近一点， 弯曲得越厉害，切线的方向改变得越快。如图中弧 (s), ( s s) 为在 程度就小，半径较小的圆弯曲程度就大。 PQ 和弧 P Q 上。 两点处的单位切向量，设 1 1 (s), (s s) 间的夹角为 同一条曲线在不 P、Q两点的 lim ,在 我们称 为曲线在P点的曲率,记为k(s) s 0 s 同点处弯曲程度 单位切向量分别为 lim ( s s ) 也不一样。如右 ( s1 ) 即 k(s)= s 0 ( s) (s s) s ( s) P1(s1) 图曲线。 则 反映了曲线 s Q1 (s1 s) 在弧PQ上的平 Q(s s) (s1 s) 均弯曲程度。
| | r r 1 3 3 | r | ds dt
r |r |
的曲率与挠率. 解
例3 求圆柱螺线 r {a cos , a sin , b },( )
r ⑤ r | r | k ( s) |r |
2 挠率 空间曲线在一点的扭曲与曲线在这点的密切平 面密切相关。如果曲线不扭曲,即为平面曲线,则其 所有点的密切平面是同一个,即曲线所在平面,其副 法向量是常矢；如果曲线不是平面曲线，则曲线扭 曲得越厉害，则曲线离开它的密切平面越快，从一 个点到另一个点的副法向量 的方向改变得越快。
| r r | a (r , r , r ) b , 2 2 3 2 ……. | r 2 | a b (r r ) a b2
空间曲线曲率和挠率的介绍
1.空间曲线的基本三棱形、伏雷内标架
dr 2 r r ( s ) r 1) 给出C 类曲线 得一单位向量 ， ds dr 称 r 为 曲线（C）上 P 点的单位切向量。 ds r 称 为曲线在 P 点的主法向量, r 它垂直于单位切向量。 γ(s) 称 为曲线在 P 点的次法向量。
可见: R 愈小, 则K 愈大 , 圆弧弯曲得愈厉害 ;
R 愈大, 则K 愈小 , 圆弧弯曲得愈小 .
( s) lim r s 0 s
P ( s) M P1 (s s) M
MM MM 1 lim lim lim s 0 s s 0 s 0 s s MM ( s s ) ( s ) MM ( s s ) ( s ) lim lim s 0 s s MM s 0 ( s ) ( s ) ( s ) r r r
3)由任意两个基本向量所确定的平面
分别叫做: 密切平面： ( R r ) 0 ( R r , , ) 0 法平面：
γ(s) 法平面 C r(s) β(s) 密切平面 α(s) 从切平面 O
( R r ) 0
从切平面： ( R r ) 0
而由三个基本向量和上面三个平面所构成的图形叫做曲线的 基本三棱形。
k (s) (s) (s)
这个公式称为空间曲线的伏雷内（Frenet)公式。它的系
于是有
k ( s)
k (s) 0 0 0 (s) 数组成一反称方阵 k ( s ) 0 (s) 0
7 空间曲线的曲率和挠率——【多元函数微分学】
在凹的一侧取一点D, 使 DM
o
1 .以 D 为圆心, 为半径
k
M
x
作圆(如图),称此圆为曲线在点M 处的曲率圆.
D 曲率中心, 曲率半径.
2007年8月
南京航空航天大学 理学院 数学系
11
注:
1.曲线上一点处的曲率半径与曲线在该点处的 曲率互为倒数.
即 1,k 1 .
k
2.曲线上一点处的曲率半径越大,曲线在该点 处的曲率越小(曲线越平坦);曲率半径越小,曲 率越大(曲线越弯曲).
y 3.
(1 y2 )2
2007年8月 南京航空航天大学 理学院 数学系
7
设曲线方程为
x (t),
y
(t
),
(t)， (t)二阶可导,
dy (t) , dx (t)
d2y dx2
(t )
(t) (t) 3(t)
(t) .
k
(t )
(t )
(t) (t)
3
.
[ 2(t ) 2(t )]2
弧长元素(弧微分)
:
ds (dx)2 (dy)2
2 (t) 2 (t) dt
注:可将上述公式推广到空间的情形.(p.107)
2007年8月 南京航空航天大学 理学院 数学系
3
二、曲率概念及其计算公式 1. 曲率的定义 曲率是描述曲线局部性质（弯曲程度）的量。
1
2
M2 S2 M3
S1
M1
S1
y
a1
cost
一拱的弧长。
0 t 2
解 由公式得
l 2 [a(1 cost)]2 (a sin t)2 dt 0
o
2a
空间曲线曲率和挠率的介绍ppt课件
.
说明: 设曲线弧 yf(x) 二阶可导,
y
则曲率计算公式为
(1
y 2
)3 2
d
ds
当y 1时 ,有曲率近似计算公式 y
若曲线由参数方程
x x(t)
y
y(t)
给出, 则
xy xy
( x2 y2)32
若曲线方程为 x(y),
x
则
(1
x
2
)
3 2
若曲线由参数方程
x x(t)
.
微分几何的应用
▪ 理论物理
➢ 广义相对论将物理量解释为几何量。具体的说， 空间和时间结合在一起由一个流形描述：不同的 参照系给出不同的局部坐标；不同参照系之间的 关系即是坐标变换。时空流形的度量由所谓 Lorentz度量给出，象Riemann几何一样计算出 曲率等几何量。
➢ Einstein方程说： 时空的物理量（能量动量张量） 等于时空的几何量（Ricci曲率张量）。
由 0
(
)
(
1
)
(
1
)
((
1
)
1
)
( r 1 r ) [( 1 ) r 1 r ]
( r , r , r )
2
r 6 ( r , r , r )
( r r) 2
r rrrds3
可得 r 挠率(r 公式d d为st2rd d22 st()(• rr, rdr,trd d )2) st3r
.
1.空间曲线的基本三棱形、伏雷内标架
1) 给称出C2r类 曲dr线为r曲线r（(sC)）得上一单P 位点向的量单位切r向 量dd。rs ，
ds
称
r r
曲率与挠率的关系及其应用
2 (- κ β) = - κ β, 于是 β( s) = - β( s) , 进而 对该式两边关于 s 求导 , 得κ( s)β = ε
_
_
_
_
_
_
_ γ( s) = α( s) × β( s) = ε γ ×( - β( s) ) = ε α ( s) . _ _ _ τ ( ) κ _ κ β( s) d s = ε s d s β( s) = 1 κ β( s) . 于 再对该式两边关于 s 求导 , 可得 - τ( s)β( s) = ε κ λ τ ( ) λ τ ( ) d s ds s s 1 1 κ ( s) = φ( s)κ, 是τ( s) = . 由于 s 是 s 的函数 , 故τ( s) = τ( s ( s) ) = τ( s) , 令 φ( s) = , 则τ λ τ( s) λ τ( s) 1 因此对于 Γ , 满足τ( t) = φ( t)κ( t) 的 φ( s) = , 其中τ是 Γ 的侣线 Γ 的挠率 , 而λ是常数 . λ τ( s) 3 公式τ( t) = φ( t)κ( t) 的应用 命题 2 一条非直线的曲线Γ ∶_ r = _ r ( t) 成为平面曲线的充要条件是Γ 的曲率和挠率所满足 的关系式τ( t) = φ( t)κ( t) 中的函数 φ( t) = 0 . 证明 必要性 :因Γ是非直线的平面曲线 , 故τ( t) = 0 ,κ( t) ≠0 , 于是由关系式可知φ( t) = 0 . 充分性 :因关系式中的 φ( t) = 0 , 故τ( t) = 0 , 这说明曲线Γ 是平面曲线 . 命题 3 一条曲线Γ ∶_ r = _ r ( s) ( 其中 s 为自然参数) 成为圆的充要条件是Γ 的曲率和挠率所 满足的关系式τ( t) = φ( t)κ( t) 中的函数 φ( s) = 0 且κ = C ( 其中 C 为非零常数) . 证明 必要性 :设曲线Γ为圆 , 于是Γ 的方程可写为 _ r ( s) = { aco s s , asin s , 0} ( 其中 a > 0 为常 1 数且 s 为自然参数) . 经计算圆的曲率和挠率分别为κ( s) = = C 和τ( s) = 0 , 于是满足相应关系
正则曲线的曲率和挠率公式
正则曲线的曲率和挠率公式
令C 为弧长s 和单位切线向量t 参数化的空间曲线。
如果在某一点的C 的曲率k 不为零，那么该主点法线向量和该二次正交向量是单向定量。
测量给定点上的双向正矢量的旋转速度。
从等式可以看出
这意味着
备注：二次向量的导数与二次正交和正切相垂直，因此必须与主法向量成正比。
负号只是一个惯例：它是这个主题的历史发展的产物。
通常由
表示的扭转半径定义为:
几何相关性：
测量二次正交向量的周转。
扭转越大，双正则向量围绕由切线向量给出的轴旋转越快。
在动画图中，双向正矢量的旋转在扭转函数的峰值处是清晰可见的。
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曲率与挠率摘要:三维欧氏空间中的曲线中的曲率与挠率是空间曲线理论中最基本、最重要的两个概念,分别刻画空间曲线在一点邻近的弯曲程度和离开密切平面的程度,本文中给出了曲率与挠率的定义及其计算公式,并根椐公式 实例进行计算,以及曲率和挠率关于刚性运动及参数变换的不变性.关键词：曲率与挠率 平面特征 刚性运动1. 曲率与挠率的定义及其几何意义1.1曲率的解析定义设曲线C 的自然参数方程为()s r r =,且()s r 有二阶连续的导矢量r,称()s r 为曲线C 在弧长为s 的点处的曲率,记为()()s r s k=,并称()s r 为C 的曲率向量,当()0≠s k 时,称()()s k s p 1=为曲线在该点处的曲率半径. 1.2 挠率的解析定义空间曲线不但要弯曲,而且还要扭曲,即要离开它的密切平面,为了能刻画这一扭曲程度,等价于去研究密切平面的法矢量（即曲线的副法矢量）关于弧长的变化率,为此我们先给出如下引理.引理:设自然参数曲线C :()s r r =本向量为βα ,和γ ,则0=⋅α r,即r r 垂直于α.另一方面由于1=r,两边关于弧于s 求导便得0=⋅r r ,即r 垂直于r ,这两方面说明r 与γα ⨯共线,即r 与β 共线.由()βτ s r -=（负号是为了以后运算方便而引进的）所确定的函数()s r 称为曲线C的挠率.当()0≠s τ时,它的倒数()1s τ称为挠率半径. 1.3曲率与挠率的几何意义 1.3.1 曲率的几何意义任取曲线C :()s r r=上的一点()p s 及其邻近点()Q s s +∆,P 和Q 点处的单位切向量分别为()()s rs =α和()()s s r s s ∆+=∆+ α,它们的夹角设为θ∆,将()s s ∆+α 的起点移到()p s 点,则()()2sin2θαα∆=-∆+s s s,于是 ()()s s ss s s ∆∆⋅∆∆=∆∆=∆-∆+θθθθαα22sin 2sin 2故 ()()s r s k= ()()ss s s s s s s ∆∆=∆∆⋅∆∆=∆-∆+=→∆→∆→∆→∆θθθθααθθ000limlim 22sinlimlim这表明曲线在一点处的曲率等于此点与邻近点的切线向量之间的夹角关于弧长的变化率,也就是曲线在该点附近切线方向改弯的程度,它反映了曲线的弯曲程度.如果曲线在某点处的曲率愈大,表示曲线在该点附近切线方向改变的愈快,因此曲线在该点的弯曲程度愈大.1.3.2挠率的几何意义由挠率的定义和()γτ =s ,因此挠率的绝对值表示曲线的副法向量关于弧长的变化率,换句话说,挠率的绝对值刻画了曲线的密切平面的变化程度.所以曲线的挠率就绝对值而言其几何意义是反映了曲线离开密切平面的快慢,即曲线的扭曲程度.1.4 直线与平面曲线的特征1.4.1直线的特征定量3.1 曲线为直线的充分必要条件是曲率0k =证明()⇒若曲线C :()s r r =为直线,则其方程为s r r α +=0,其中0r为常矢量,α为直线的单位方向矢量,s 为弧长参数.于是0==r k()⇐若有0k ≡,则α α为常矢量,对r =α两边关于弧长s 积分得 ⎰+==0r s ds rαα这正是直线的方程. 1.4.2平面曲线的特征定理3.3曲线为平面曲线的充分必要条件是挠率()0s τ≡. 证明()⇒若曲线C :()s r r =为平面曲线,则γ为常矢量,于是()0≡⋅-=βγτ s()⇐由于()0s τ≡,即0=⋅βγ ,而γ 共线于β ,所以()0≡s γ 或()s γ 为常矢量,于是可直接验证()0=⋅dsr d γ ,即 p r =⋅γ(常数)这说明曲线C 上的点满足一平面的方程,即C 为平面曲线.2. 曲率和挠率的计算公式2.1曲率的计算公式①给出曲线C 的自然参数方程()s r r=时:()()()s r s s k ==α②给出曲线C 的一般参数方程()t r r=时:()()()()3t r t r t r t k '''⨯'=1.2挠率的计算公式①给出曲线C 的自然参数方程()s r r=时:()()()()()()()2,,s r s rs r s r s =τ ②给出曲线C 的一般参数方程()t r r=时:()()()()()()()()2,,t r t r t r t r t r t ''⨯'''''''=τ3.曲率和挠率的计算实例例1分别求椭圆C :(){}()00,sin ,cos >>=b a t b t a t r长轴上顶点(),0,0A a 及短轴上顶点()0,,0B b 处的曲率和挠率.解 注意到点A 和点B 对应的参数值分别为0,/2t t π==,直接计算得到()a r b r =⎪⎭⎫⎝⎛'='2,0πab r r =''⨯'于是A 点处的曲率3A ab k b =,B 点处的曲率3B abk a=,显然A B k k >,这正说明椭圆C 在长轴顶点处的弯曲程度比C 在短轴顶点处的弯曲程度高,换句话说,椭圆C 在短轴顶点邻近比长轴顶点邻近平坦.至于挠率,因为曲线C 是平面曲线,其挠率处处为0.特别地,若a b =,即C 是圆,这时,容易验证圆上每一点处的曲率都相待,且等于半径的倒数,这一方面表明圆在其上每一点处的弯曲程度都相同,同时也表明半径愈大,弯曲程度愈小,这些事实的几何直观是不言而语的.例2求圆柱螺线(){}bt t b t a t r ,sin ,cos =()0>>b a 的曲率和挠率.解 直接计算到22b a r +=' ,22b a a r r +=''⨯' ()b a r r r 2,,=''''''代入曲率和挠率的计算公式立即得2222,a bk a b a b τ==++ 由此可见圆柱螺线的曲率和挠率均为常数,其逆命题也成立,即曲率和挠率均为非零常数的曲线一定是圆柱螺线.例3 求曲线(){}t t t t r 233cos ,sin ,cos =的曲率和挠率，这里02t π<<.解 直接计算得到()t t r 2sin 25=',可见t 不是弧长参数,所以将()t r ' 单位化后得到 ()()⎭⎬⎫⎩⎨⎧--=''=54,sin 53,cos 53t t t r t rα而{}0,cos ,sin t t dsdt dtda ds dtdtdar r ====ααβ 所以⎭⎬⎫⎩⎨⎧--=⨯=53sin,54,cos 54t βαγ于是曲线的曲率625sin 2dada da dt dt k dr ds dt ds t dt ==⋅==为了计算挠率,由定义βλτ ⋅-=ds d ，而dsdt ds r d ds r d ⋅=,故 dtr d dt r d βτ-=简单计算得曲线的挠率825sin 2tτ=-说明:本题可像例2直接利用公式求曲率和挠率,但有一定的计算量,如果曲线的赂量式比较复杂,这里介绍的方法比较稳妥.4. 曲率和挠率关于刚性运动及参数变换的不变性4.1 曲率和挠率关于刚性运动的不变性所谓刚性运动是指3R 中的平移,或旋转,或平移与旋转的合成,祥言之,设33:f R R →是一个刚性运动（简称运动）,意指存在一个向量()321,,b b b b =和一个正交矩阵A （即t A A ⋅=单位矩阵,这里tA 表示A 的转置矩阵）,使得对任意3(,,)A x y z R ⋅∈,有(,,)(,,)f x y z x y z A b =+曲率和挠率关于刚性运动的不变性是指当曲线C 经过3R 中的一个运动变为C 时,C 和C 上对应点的曲率和挠率皆相等.设曲线C 的自然参数表示是()r s ,并设曲线C 经过运动f 变为典线C ,那么C 有参赞数表示()r s ,使得()(())()r s f r s r s A b ==⋅+于是()()dr drs s A ds ds=⋅ 从而2()()d r drs s A ds ds=⋅()()tdr dr s A s A ds ds ⎛⎫⎛⎫=⋅⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()()()ttt dr dr dr dr s A A s s s ds ds ds ds ⎛⎫⎛⎫=⋅⋅⋅=⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 2()1dr s A ds=⋅= 故s 也是曲线()r s 的弧长参数.C 与C 的上述参数表达式()r s 和()r s 有一个特点,那就是()(())r s r s =这表明:若0P 是C 上的点,它经过f 变为C 上的点0P ,则0P 与0P 有相同的参数值,即00()()s P d P =设曲线()r rs 的曲率和挠率分别为k 和τ,曲线()r r s =上相应的曲率和挠率分别为k 和τ,则因22332233,,,dr drd r d rd r d rA A A ds dsds ds ds ds=⋅=⋅=⋅同时注意一det 1A =,我们有22332233,,dr drd r d rd r d rds dsds ds ds ds===从而由曲率的计算公式,我们有2222()d r d rk s A ds ds ==⋅22()d rk s ds == 这表明曲率在运动f 下不变.再由挠率的确良计算公式,结合上述讨论及解析几何中关于混合积的几何意义,我们得到:23232,,()()d r d r d r ds ds ds s k s τ⎛⎫ ⎪⎝⎭=⎡⎤⎣⎦[]23232,,()dr d r d r A A A ds ds ds k s ⎛⎫⋅⋅⋅ ⎪⎝⎭=[]23232,,()()dr d r d r ds ds ds s k s τ⎛⎫ ⎪⎝⎭== 这表明挠率在运动f 下不变,至此我们证明了曲率和挠率皆是运动不变量.4.2 曲率和挠率关于参数变换的不变性设曲线C 的一般参数议程为(),()r r t t t t ==是任一容许的参数变换,由复合函数的链式求异法则,容易验验证2222222,,dr dr dt d rd r dt dr d r dt dt dt dt dt dt dt dt⎛⎫==+ ⎪⎝⎭ 333223323323,d rd r dt d r dt d t dt d tdt dt dt dt dt dtdt dt ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭ 将以上三式代入曲率和挠率的计算公式,就可得到()(()),()(())k t k t t t t t ττ==这表明曲线在容许的参数变换下,对应点的曲率和挠率都不变,即曲率和挠率都是参数变换下的不变量.结束语以上所述即是根据曲率与挠率的计算公式进行实例分析.参考文献：[1] 梅向明，黄敬之。