小学奥数同余问题

同余问题（一）
在平时解题中，我们经常会遇到把着眼点放在余数上的问题。

如：现在时刻是7时30分，再过52小时是几时几分？我们知道一天是24小时，
，也就是说52小时里包含两个整天再加上4小时，这样就在7
时30分的基础上加上4小时，就是11时30分。

很明显这个问题的着眼点是放在余数上了。

1. 同余的表达式和特殊符号
37和44同除以7，余数都是2，把除数7称作“模7”，37、44对于模7同余。

记作：（mod7）“”读作同余。

一般地，两个整数a和b，除以大于1的自然数m所得的余数相同，就称a、b对于模m同余，记作：
2. 同余的性质
（1）（每个整数都与自身同余，称为同余的反身性。

）
（2）若，那么（这称作同余的对称性）
（3）若，，则（这称为同余的传递性）
（4）若，，则（）（这称为同余的可加性、可减性）
（称为同余的可乘性）
（5）若，则，n为正整数，同余还有一个非常有趣的现象：
如果
那么（的差一定能被k整除）
这是为什么呢？
k也就是的公约数，所以有
下面我们应用同余的这些性质解题。

【例题分析】
例1. 用412、133和257除以一个相同的自然数，所得的余数相同，这个自然数最大是几？
分析与解答：
假设这个自然数是a，因为412、133和257除以a所得的余数相同，所以，，说明a是以上三个数中任意两数差的约数，要求最大是几，就是求这三个差的最大公约数。

所以a最大是31。

例2. 除以19，余数是几？
分析与解答：
如果把三个数相乘的积求出来再除以19，就太麻烦了，利用同余思想解决就容易了。

所以
此题应用了同余的可乘性，同余的传递性。

例3. 有一个1997位数，它的每个数位都是2，这个数除以13，商的第100位是几？最后余数是几？
分析与解答：
这个数除以13，商是有规律的。

商是170940六个数循环，那么，即，
我们从左向右数“170940”的第4个数就是我们找的那个数“9”，所以商的第100位是9。

余数是几呢？
则
所以商的个位数字应是“170940”中的第4个，商应是9，相应的余数是5。

【模拟试题】（答题时间：20分钟）
1. 求下列算式中的余数。

（1）（2）
（3）（4）
2. 6254与37的积除以7，余数是几？
3. 如果某数除482，992，1094都余74，这个数是几？
同余问题（二）
【例题分析】
例1. 除以7，余数是几？
分析与解答：
例2. 一个自然数除以3余2，除以5余3，除以7余1，这个自然数最小是几？
分析：假设这个自然数为a
那么
这道题考虑的困难是它们的余数不相同。

如果把这道题改一下，使它们的余数相同，利用整除的知识，便容易考虑了，先看下面一道题：
一个自然数除以3余2，除以5余2，除以7余2，那么，这个自然数若减去2，便同时是3，5，7的倍数，这样的自然数有：
105，210，315，……
分别被3，5，7除余2的数是
2，107，212，317，……
最小的自然数是2。

回过头来看刚才的题，能不能把它也变为余数相同的数呢？
稍加变式，可以写成：
这样同时是3，5，7倍数的数有105，210，315，……
那么同时被3，5，7余8的数有：
8，113，218，323，……
其中最小的自然数为8。

例3.在求被7除的余数时，小明这样做：
所以余数是5
刘老师说，小明的算法不仅正确，而且巧妙迅速，你知道其中的道理吗？
分析与解答：
看了下面的算式，你就会明白的。

小明用的这种方法，有比较广泛的应用，常称之为“拼凑法”在解关于用几除的余数的问题时，常常“拼凑”出显然是几的倍数的部分，对于这部分，简直可以“置之不理”，这样可以使解答过程简化。

例4. 除以3的余数是几？为什么？
分析与解答：
在上式的加项中，显然可以被3整除，因此只须计算
被3除余数是几。

由于
因此
由此可知，只须计算被3除的余数，它又等于
被3除的余数。

由于，所以
所以余数是1
【模拟试题】
1. 今天是星期日，再过天又是星期几？
2. 求除以3所得的余数。

3. 某数除680，970和1521，余数相同，这个数最大是几？
4. 有一列数排成一行，其中第一个数是3，第二个数是7，从第三个数开始，每个数恰好是前两个数的和，那么，第1997个数被3除，余数是几？
5. 若将一批货物共千克装入纸箱，每箱装10千克，最后余多少千克？若每箱装17千克，最后还余多少千克？
6、1309被一个质数相除，余数是21，求这个质数。

7、1796被一个质数相除，余数是24，求这个质数。

8、求2001×2000除以7的余数。

9、求123×345+234×456除以11的余数。

10、有一个大于1的整数，它除1000、1975、2001都得到相同的余数，那么这个整数是多少？
11、有三个数1989、901和306被同一个自然数除，得到相同的余数，求这个自然数。

12、两个自然数相除，商15，余3，被除数、除数、商、余数的和是853，求被除数。

8、两数相除商40余7，被除数、除数、余数和商的和是710，求被除数。

13、有一个数除以3余1，除以4余2，问这个数除以12，余数是几？
14、一个数除以5余1，除以6余3，除以7余4，这个数最小是几？
15、3867×4253＝1644□351，求□里的数。

4937×6845＝3379□765，求□里的数。

16、两个自然数相除，商8余16，被除数、除数、商与余数的和为265，求除数是多少？
17、写出除以8所得的商和余数（不为0）相同的所有的数。

18、2002×2002-2001除以9的余数是多少？
19、当2002和1781除以某一个自然数，余数分别是2和1，那么这个数最大是多少？
20、一个数除以17的余数是5，被除数扩大2倍，余数是多少？
21、有一个数，除以3余数是1，除以4余数是3 。

这个数除以12，余数是多少。

22、570被一个两位数除，余数是15，这个两位数是多少？
23、有一个数加上22的和被9除余3，这个数加上35的和被9被余几？
B组
24、有一个整数，用它去除45，53，143得到的3个伤痕的和是20，这个数是多少？
25、有一个数用它去除100，余数是1，用它去除50，余数是6，求这个数。

26、把几十个苹果平均分成若干份，每份9个余8个，每份8个余7个每份4个余3个。

这堆苹果共有多少个？
27、有一个数被5和11整除均余4，被3正好整除，这个数最小是几？
28、求被4除余2，被6除余2，被9除余5的两位数。

29、一个数能被3、5、7整除，若用11去除则余7，这个数最小是几？
30、小红收数学学习小组买奥数练习本的钱，她只记下四组各交的钱，第一组元，第二组元，第三组元，第四组元，又知道每本练习本价格都超过1角，求数学学习小组共有多少人？（提示：练习本单价是总价的公约数。

）
31、五年级两个班的学生一起排队出操，如果8人排一行，多出一个人；如果11人排一行，同样多出一个人。

这两个班最小共有多少人？（提示：如果减去一人那么人数就能被8和11整除了。

）
32、一个数被4除余3，被5除余4，被6除余5，这样的数中最小的是几？（提示：余数
与除数有什么关系？）
33、一筐苹果，如果按5个一堆放，最后多出3个；如果按6个一堆放，最后多出4个；如果按7个一堆放，还多出1个；这筐苹果至少有多少个？（提示：先满足被7除余1，再从中找出被6除余4……）
竞赛题精选
1、若2836，4582，5164，6522四个自然数都被同一个自然数相除，所得余数相同且为两位数，除数和余数的和为（）。

（2001小学数学奥林匹克试题决赛B卷）
2、一个自然数除以3余2，除以5余2，除以7余5，除以9余5，除以11余4，则满足这些条件的最小自然数是（）。

（1996年我爱数学少年冬令营试题）
3、某数除以11余8，除以13余10，除以17余12，那么这个数的最小可能值是（）。

（1998年小学数学奥林匹克试题预赛A卷）
4、一个小于200的数，它除以11余8，除以13余10，那么这个数是（）。

（1998年小学数学奥林匹克试题预赛B卷）
5、在一道有余数的除法算式中，被除数、除数，商和余数的和是599，已知商是15，余数是12，请问，题目中的除数是多少？（厦门实小2000-2001学年第二学期数学科竞赛卷B 组）。