简单几何体、组合体专题训练

简单几何体、组合体专题训练1.圆柱的侧面展开图是长为12cm ，宽为8cm 的矩形，则这个圆柱的体积为 （ ）A.288πcm 3 B.192πcm 3 C.288πcm 3或192πcm 3 D.192π cm 32.把直径分别为6cm ，8cm ，10cm 的三个铜球先熔成一个大球，再将其削成一个最大的正方体，则这一正方体的体积为 .3.轴截面是正方形的圆柱有一内接正四棱柱，已知圆柱的轴截面对角线长为22cm ，则四棱柱的体积为（ ）A.4cm 3B.8 cm 3C.2πcm 3D.4πcm 34.棱长为a 的正方体中，连接相邻面的中心，以这些线段为棱的八面体的体积为（ ）A.33aB.34aC.36aD.312a5.已知一个直棱柱底面是菱形，面积为S ，两对角面的面积分别为m ，n ，求直棱柱的体积.6.如图，一个三棱柱形容器中盛有水，且侧棱18AA =.若侧面11AA B B 水平放置时，液面恰好过AC 、BC 、11AC 、11B C 的中点，当底面ABC 水平放置时，液面高为多少？7.（全国1理16）一个等腰直角三角形的三个顶点分别在正三棱柱的三条侧棱上，已知正三棱柱的底面边长为2，则该三角形的斜边长为__________。

8.一个容器形如倒置的等边圆锥，如图所示，当所盛水深是容器高的一半时，将容器倒转，那么水深是容器高的（ ）A.31172+B.3172C.31172-D.31173-9.在全面积为2a π的圆锥中，当底面半径为何值时圆锥体积最大，最大体积是多少？10.半径为r 的球放置于倒置的等边圆锥容器内，再将水注入容器内到水与球面相切为止，取出球后水面的高度是 .11.直三棱柱111ABC A B C -的体积为V ，已知点P ，Q 分别为1AA ，1CC 上的点，而且满足1AP C Q =，则四棱锥B APQC -的体积是（ ）A.12V B.13V C.14V D.23V 12.一个正三棱锥的底面边长为a ，且三条侧棱两两垂直，求棱锥的体积.13.四面体ABCD 中，5AB CD ==，41BC AD ==，34BD AC ==，求这个四面体的体积.14.正三棱锥S ABC -的侧面是边长为a 的正三角形，D 、E 分别是SA 、BC 的中点，求SDE ∆绕直线SE 旋转一周所得到的旋转体的体积.15.若棱锥的顶点为P ，P 在底面上的射影为O ，PO a =，现用平行于底面的平面去截这个棱锥，截面交PO 于点M ，并使截得的两部分侧面积相等，设OM b =，则a 、b 的关系是（ ）A.(21)b a =-B. (21)b a =+C. 212b a -=D. 212b a +=16.三棱台111ABC A B C -中，11:1:2AB A B =，则三棱锥1A ABC -，11B A B C -，111C A B C -的体积之比（ ）A.1：1：1B. 1：1：2C. 1：2：4D. 1：4：417.如果一个空间几何体的主视图与左视图均为全等的等边三角形，俯视图为一个半径为1的圆和圆心，那么这个几何体的体积为（ ）A.33π B. 233π C. 3π D.3π18.圆台上、下底面面积分别是π，4π，侧面积是6π，则这个圆台的体积是（ ）A.233π B.23π C.736π D.733π19.降水量是值水平地面上单位面积所降雨水的深度，用上口直径为38cm ，底面直径为24cm ，深度为35cm 的圆台形容器（轴截面如图）来测量降水量，如果在一次降水中，此桶盛得的雨水正好是桶深的17，则本次降雨的降水量是多少？20.三棱台111ABC A B C -中，11:1:2A B AB =，D 是1C C 的中点，求截面1A BD 把棱台分成上、下两部分的体积比.21.有一块扇形铁皮OAB ，60AOB ∠=︒，72OA cm =，要剪下来一个圆环ABCD ，作圆台形容器的侧面，并且余下的扇形OCD 内剪下一块与其相切的圆形使它恰好作为圆台形容器的下底面（大底面）.试求： （1）AD 应去多长？（2）容器的容积.22.已知高与直径之比为2：1的圆柱内接于球，且圆柱的体积为500π，则球的体积为（）A.5003π B. 25003π C. 250033π D. 125003π23.（06北京卷）已知,,A B C三点在球心为O，半径为R的球面上，AC BC⊥，且AB R=那么,A B两点的球面距离为__________，球心到平面ABC的距离为_________.24.已知过球面上三点A、B、C的截面到球心的距离等于球半径的一半，且6AC BC==，4AB=，求球面面积与球的体积.25.在棱长为1的正方体内，有两球相外切，并且又分别与正方体相内切. （1）求两球半径之和；（2）球的半径是多少是，两球体积之和最小.答 案简单几何体的相关计算1.【答案】C【解析】分两种情况：①12为底面周长，则2366288212,,()8()r r V cm πππππ=∴==⨯=②8为底面周长，则234419228,,()12(r r V cm πππππ=∴==⨯=）2.【答案】1923【解析】大球的体积3333444434563333V ππππ=⨯+⨯+⨯=⨯，则大球半径为6，因此当正方体内接于球时，其体积最大，由球半径为6，则正方体的棱长a 应满足23R a =，则43a =，故33431923cm ).V ==正方体（）（3.【答案】D【解析】由已知，圆柱的高为2，底面半径为1；正四棱柱的高为2，地卖弄对角线为2，底面边长为2，3V 2224cm ∴=⋅⋅=四棱柱4.【答案】C【解析】此八面体可以分成上、下两个全等的正四棱柱，下底边长为22a ，高为2a ，所以231212()3226a V a a =⨯⨯⨯= 5.【答案与解析】设直棱柱的底面对角线长为x 和y，高为h ，则有：122xy smn xh m h syh n ⎧=⎪⎪=∴=⎨⎪=⎪⎩；1222mn V sh s mns s ==⋅=柱 6.【答案与解析】解：设原三棱柱111ABC A B C -的底面积为S ，高为h21,()4CDE ABCS CE DE AB SAC ∴==， 14CDESS ∴=.∴当侧面11AA BB 水平放置时，无水的空间即111CDE C D E -为一小三棱柱. 此时水的体积为1344V Sh S h Sh =-⋅=水.当底面ABC 水平放置时。

水占有的空间为一个三棱柱，此时水的体积为'''333,,86444V Sh Sh Sh h h =∴=∴==⨯=水∴液面高为67.略 8.【答案】C【解析】311812V V ==3容器水：：（）：，则倒置后，容器内空气所占部分为圆锥体，体积占容积的78.高为容器高的337782=，故水深是容器的3712-.9【答案与解析】设全面积为2a π的圆锥的底面半径为r ，高为h ，则2222r r r h a πππ++=，即42212h a a r r=-,圆锥的体积213V r h π=24224224111()22.33r a a r a r a r r ππ=-=-当422244a a r a ==时，V 取到最大值2122a π，即当2a r =时。

取到最大值3212a π 10.【答案】315r【解析】设球为取出时PC b =，球取出后，水面高PH x =，如图所示，因为3,3AC r PC r ==，所以以AB 为底面直径的圆锥形容器的容积为22311AC PC 3)3333V r r r πππ=⋅=⋅=圆锥（，343V r π=球球取出后水面下降到EF ，水的体积为211EH PH PH 33V ππ=⋅=水（⋅tan 30°）而.V V V =-水圆锥球319PH x π=， 即33314393x r r πππ=-.所以315x r =，故球取出后水面的高为315r .11.【答案】B 【解析】由1AP C Q =，知四边形ACQP 与11PQC A 全等，故11123B APQC B ACA CVV V --==12.【答案与解析】解法一：如图，O 是ABC 的中心，则PO 是正三棱锥的高3,3AB a AO a =∴=在Rt APO中，2222236()()236PO PA AO a a a =-=-=2311362334624ABCV SPO a a a ∴=⋅=⨯⨯=锥 解法二：三棱锥的三条侧棱两两垂直，AP ∴⊥平面PBCAP ∴是三棱锥A PBC -的高.2,2AB a AP BP CP a=∴===31122223222224A PBC V a a a a -=⨯⨯⨯⨯=3224V a ∴=锥 13.【答案】如图将四面体ABCD 中补成长方体，设长宽高为x 、y 、z ，则有：22222241 (1)25 (2)34 (3)x y y z z x ⎧+=⎪+=⎨⎪+=⎩（1）+（2）+（3）得2222()100x y z ++=即22250x y z ++= （4）（4）分别减去（1）(2) (3)可得 5,4,3x y z ===1114()20323ABVD V V xyz xyz =-⨯⨯==四面体长方体故这个四面体的体积是2014.【答案与解析】解：如图，连接AE ，在正四面体中，AE SE =.DE SA ∴⊥ 又3,2AE SE a AS a ===222()22AS DE AE a ∴=-= 过点D 作DF SE ⊥于点F 在RtSDE 中，66DS DE DF aSE ⋅== 当SDE 绕直线SE 旋转一周时得到两个圆锥，其体积22211DF ()333V SF DF FE DF SF EF πππ=⋅⋅+⋅⋅=+旋转体223633()336236DF SE a a a πππ=⋅=⋅=即得到旋转体的体积是3336a π 15.【答案】C 【解析】由平行椎体底面的截面性质知22PM PO=，所以222OM PO -=,所以222b a-=，所以222b a-=. 16.【答案】C【解析】如图，设棱台的高为h ，S ABC S =，则1114A B CS S =11133A ABC V S ABC h Sh -∴=⋅= 1111111433C A B C A B C V Sh Sh-=⋅=；17(42)33V h S S S Sh =++=台. 111111174333B A BC A ABC C A B C Sh V V V V Sh Sh ---∴=--=--台∴体积比为1:2:4 17.【答案】A 【解析】由题知，该几何体是底面半径为1，高为3的圆锥，故2131333V ππ=⨯⨯= 18.【答案】D【解析】由题知，两半径为1,2r R ==，由6S π=侧，126,l ππ∴+⋅=（）则22() 3.h l R r =--=1733(11222)33V ππ∴=⨯⨯+⨯+⨯=.19.【答案与解析】作BE CE⊥于点E ，交MN于点G，则17BG BE =.11355()77BG BE cm ∴=⋅=⨯= 作AH CD ⊥于点H ，交MN 于点P ，则四边形EHPG 为矩形24EH PG AB cm ∴=== 又四边形ABCD 为等腰梯形，∴MN=PG+2GN 又11()(3824)7()22PG CD AB cm =-=-=，11()7GN EC cm ∴==224226()PG GN cm ∴+=+=∴此次降水中雨水的体积为221[()()()]32222MN AB MN AB V BG π=++⋅⋅2215(13121312)3π=⨯⨯++⨯32345()3cm =降雨面的面积22()361()2CD S cm ππ==.此次降雨的降水量为23453 2.2()22()361v h cm mm s π==≈≈答：本次降雨的降水量22mm 20.【答案】2:5 21.【答案与解析】（1）如图，设圆台上、下底面半径分别为r 、R ，AD=x ，则OD 72x =-由题意得：60272180602(72)180723R r x x R ππππ⋅⎧=⋅⎪⎪⋅⎪=-⎨⎪-=⎪⎪⎩12,6,36.R r x ∴===36AD cm ∴= （2）圆台的高为2222()36(126)635h x R r =--=--=221()3V h R Rr r π∴=++=221635(121266)3π⨯⨯+⨯+350435()cm π=，即容器的容积是350435cm π22.【答案】C【解析】设圆柱的底面半径为r ，则高为4r ，球的直径为25r ，半径为5R r =2344500V r r r πππ=⋅==圆柱，5,55r R ∴==，则334425005(55)333V R πππ==⨯=球23.【答案】3R π；32R 24.【答案】由题意知，截面圆的圆心O ，一定在等腰ABC 边的中线CD ，设球半径为R ，则1OO2R =.设截面圆半径为r ，则11O C O A r ==，6,4AC BC AB ===，22226242CD AC AD ∴=-=-=.222114O D O A AD r =-=-.2442r r ∴+-=，解之得924r =，在1Rt COO 中，2224R R r -=即238148R =227,2R ∴=即362R = 22744542S R πππ∴==⨯=球，34427362763322V R πππ==⨯⨯=球25.【答案与解析】解：（1）如图，ABCD 为过球心的对角面，3AC =.设两半径分别为R 、r .则有3(3R r R r +++=）332R r -∴+=（2）设两球的体积之和为V ，则332244()()(33V R r r R R Rr r ππ=+=+-+）24)[()3)]3R r R r Rr π=++-（224333(33)33[3()]3222R R π---=⋅-+334R -∴=时，V有最小值.。