二重积分及三重积分的计算

第一部分 定积分的计算一、定积分的计算例1 用定积分定义求极限.)0(21lim 1>++++∞→a nn a a a a n . 解 原式=⎰∑=⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛=∞→1011lim aani n x n n i dx =a a x a +=++11111.例2 求极限 ⎰+∞→1021lim xx n n dx . 解法1 由10≤≤x ，知nn x x x ≤+≤210，于是⎰+≤1210x x n ⎰≤1n x dx dx .而⎰10nx ()∞→→+=+=+n n n x dx n 0111101，由夹逼准则得⎰+∞→1021lim xx n n dx =0.解法2 利用广义积分中值定理()()x g x f ba⎰()()⎰=bax g f dx ξdx （其中()x g 在区间[]b a ,上不变号），().101111212≤≤+=+⎰⎰n n nn dx x dx xx ξξ由于11102≤+≤nξ，即211nξ+有界，()∞→→+=⎰n n dx x n01110，故⎰+∞→1021lim x x nn dx =0. 注 （1）当被积函数为()22,x a x R +或()22,a x x R -型可作相应变换.如对积分()⎰++3122112xxdx，可设t x tan =；对积分()02202>-⎰a dx x ax x a，由于()2222a x a x ax --=-，可设t a a x sin =-.对积分dx e x ⎰--2ln 021，可设.sin t e x =-（2）()0,cos sin cos sin 2≠++=⎰d c dt td t c tb t a I π的积分一般方法如下：将被积函数的分子拆项，[分子]=A[分母]+B[分母]'，可求出22d c bdac A ++=，22dc adbc B +-=. 则积分 ()220cos sin ln 2cos sin cos sin πππtd t c B A dt td t c t d t c B A I ++=+'++=⎰.ln2dc B A +=π例3 求定积分()dx x x x ⎰-1211arcsin分析 以上积分的被积函数中都含有根式，这是求原函数的障碍.可作适当变换，去掉根式. 解法1 ()dxx x x ⎰-1211arcsin 2t x xt ==12121211212arcsin arcsin arcsin 21arcsin 2tt d t dt tt ==-⎰⎰.1632π= 解法2 ()dx x x x⎰-1211arcsin .163cos sin cos sin 2sin 2242242πππππ==⋅=⎰u du u u uu u u x 小结 （定积分的换元法）定积分与不定积分的换元原则是类似的，但在作定积分换元()t x ϕ=时还应注意：（1）()t x ϕ=应为区间[]βα,上的单值且有连续导数的函数； （2）换限要伴随换元同时进行；（3）求出新的被尽函数的原函数后，无需再回代成原来变量，只要把相应的积分限代入计算即可.例4 计算下列定积分（1）⎰+=2031cos sin sin πx x xdx I ， dx xx x I ⎰+=2032cos sin cos π； （2）.1cos 226dx e xx ⎰--+ππ解 （1）⎰+=2031cos sin sin πxx xdxI)(sin cos cos 2023du uu uu x -+-=⎰ππ=.sin cos cos 223⎰=+πI dx xx x故dx xx xx I I ⎰++==203321cos sin cos sin 21π=()41cos cos sin sin 212022-=+-⎰ππdx x x x x . （2）=I .1cos 226dx e xx ⎰--+ππ()dxe xdu e uu x x u ⎰⎰--+=-+-=2262261cos 1cos ππππ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++=⎰⎰--2222661cos 1cos 21ππππdx e x dx e x e I x xx.3252214365cos cos 21206226πππππ=⨯⨯⨯===⎰⎰-xdxxdx这里用到了偶函数在对称取间上的积分公式以及公式：dx xdx n n⎰⎰=2020cos sin ππ()()()()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⋅⨯-⨯--=⨯-⨯--=偶数奇数n n n n n n n n n n ,22421331,1322431π小结 （1）常利用线性变换把原积分化为可抵消或可合并的易于积分的形式。

积分区间为[0，a]时，设x a u =-;积分区间为[-a,a]时，设x u =-。

可使新的积分区间与原积分区间相同，以利于合并或产生原积分。

（2）利用例10.6(2)中同样的方法易得()()()()()()⎰⎰+=+2020cos sin cos cos sin sin ππdx x f x f x g dx x f x f x g例5 设()x f 在[]π,0上具有二阶连续导数，()3='πf ，且()()[]2cos 0=''+⎰xdx x f x f π，求().0f '解 ()()[]xdx x f x f cos 0⎰''+π()()()()()()()()20sin cos sin sin cos sin 00000='-'-='⋅+'+'⋅-='+=⎰⎰⎰⎰f f dx x f x x f x dx x f x x xf x f xd x d x f πππππππ故 ()().53220-=--='--='πf f小结 （1）定积分与不定积分的分部积分法有同样的选择dv u ,的原则； （2）当被积函数中含有抽象函数的导数形式时，常用分部积分法求解.例6 计算定积分xdx n ⎰π206sin （n 为自然数）.解 x 6sin 是以π为周期的偶函数..8522143654sin 4sin 2sin 220622606πππππππn xdx n xdx n xdx n =⨯⨯⨯⋅====⎰⎰⎰-原式例7 证明积分()()⎰+∞++=0211αxx dxI 与α无关，并求值. 解 ()()⎰+∞++=0211αxx dxI ()()()()⎰⎰∞+∞+++=++=020211111ααααxx dxx t t dt t x t，于是 ()()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++++=⎰⎰∞+022111121αααx x dxx x x dx I .4arctan 21121002π==+=∞++∞⎰x xdx ┃ 小结 收敛的广义积分的计算和证明依据与定积分完全类似的换元积分法和分部积分法.二、含定积分的不等式的证明例8 证明（1）222121212≤≤⎰---dx e ex ；()*20sin 2sin >⎰+tdt e x xt π.证 （1）()2x e x f -=在⎥⎦⎤⎢⎣⎡-21,21上连续，令()()022=-='-x e x f x ，得0=x .比较212121-=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-e f f 与()10=f 的大小，知在⎥⎦⎤⎢⎣⎡-21,21上的最大值为()10==f M ，最小值为2121-=⎪⎭⎫⎝⎛=e f m ，故.22121212122121212=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--≤≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎰---M dx e m ex （2）由于t e t sin sin 以π2为周期， ()tdt e tdt ex F t x xtsin sin 20sin 2sin ⎰⎰=∆+ππ.sin sin 2sin 0sin tdt e tdt e t t ⎰⎰+=πππ而 udu e t u tdt e u t sin 2sin 0sin 2sin ⎰⎰---=ππππ令tdt e t sin 0sin ⎰--=π，因为 ()0sin sin sin >--t e e t t ，().,0π∈t所以 ()()0sin 0sin sin >-=⎰-tdt e e x F t t π ┃事实上，（2）中所给变上（下）限定积分与x 无关，仅为取正值的常数. 例9 设()x f 是[]1,0上单调减少的正值连续函数，证明 ()()dx x f dx x f ⎰⎰>βαααβ0().10<<<βα证 利用积分中值定理，()()dx x f dx x f ⎰⎰-βαααβ0()()()21ηαβαηαβf f --⋅= ()1,021<≤≤≤≤βηααη()()[]()02221>+-=ηαηηαβf f f （因为()x f 递减取正值）.即 ()()dx x f dx x f ⎰⎰>βαααβ0 ().10<<<βα ┃例10 设()x f 在[]b ,0上连续且单调递增，证明：当b a ≤<0时，有 ()()().2200dx x f a dx x f b dx x xf ab ba ⎰⎰⎰-≥（10．1） 分析 将定积分不等式（10．1）视为数值不等式，可利用相应的函数不等式的证明方法证明。

将要证的不等式两端做差，并将b 换成u ，作辅助函数()u F ，即需证().0≥b F证 作()()()()dx x f a dx x f u dx x xf u F u aua ⎰⎰⎰+-=0022 ()b u a ≤≤， 则 ()()()()dx x f u uf u uf u F u⎰--='02121()()[]0210≥-=⎰udx x f u f （因为()x f 递增，()()0≥-x f u f ） 于是，由拉格朗日中值公式，有()()()()()().0≥-'=-'+=a b F a b F a F b F ζζ ().b a <<ζ即式（10．1）成立.例11 设()x f '在[]b a ,上连续，且()0=a f ，证明()()().max ,22x f M a b M dx x f b x a ba'=-≤≤≤⎰分析 利用条件，生成改变量，借助于拉格朗日中值公式估计().x f证 因为()x f '在[]b a ,上连续，故有界，即存在0>M ，使()M x f ≤'，[]b a x ,∈ ()()()()()(),a x M f a x a f x f x f -≤'-=-=ξ 故()()dx x f dx x f bab a⎰⎰≤()().22a b M dx a x M ba-⋅=-≤⎰ ┃ 例12 设()x f 在[]a ,0上二阶可导，且()0≥''x f ，证明().20⎪⎭⎫⎝⎛≥⎰a af dx x f a分析 已知()x f 二阶可导，可考虑利用()x f 的一阶泰勒公式估计()x f ；又所证的不等式中出现了点2a ，故考虑使用20ax =处的泰勒公式. 证 ()x f 在2a处的一阶泰勒公式为 ()()222222⎪⎭⎫ ⎝⎛-''+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛'+⎪⎭⎫ ⎝⎛=a x f a x a f a f x f ！ξ，其中，ξ在x 与2a之间.利用条件()0≥''x f ，可得 ()⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛'+⎪⎭⎫ ⎝⎛≥222a x a f a f x f ，两边从0到a 取积分，得().222200⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛'+⎪⎭⎫ ⎝⎛≥⎰⎰a af dx a x a f a af dx x f a a┃小结 关于含定积分的不等式的证明，常用的有两种方法： （1） 利用定积分的保序性； （2） 利用积分上限函数的单调性.三、定积分的应用例13 求由曲线()0>=a a xy 与直线a x a x 2,==及0=y 所围成的图形分别绕x 轴、y 轴及1=y 旋转一周所成的旋转体的体积.xy=a图11—8yxOF G BAC(2a,0.5)D(a,1)解 （1）绕x 轴旋转，积分变量为[]a a x x 2,,∈ .2122a dx x a V aaππ=⎪⎭⎫⎝⎛=⎰（2）绕y 轴旋转 （3）绕y ＝1旋转解法1 取y 为积分变量，[]1,0∈y ，直线a x =及a x 2=和双曲线a xy =的交点D 及C 的纵坐标分别为1=y 和21=y .设平面图形CDFG ，BCGO 及ADFO （见图11—8）绕y 轴旋转而成的立体的体积分别为21,V V 和3V ，则所求旋转体的体积为 321V V V V -+=().2222221212a a a dy y a ππππ=-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎰ 解法2 取y 为积分变量，[]1,0∈y ，将[]1,0分成两部分区间：⎥⎦⎤⎢⎣⎡21,0和⎥⎦⎤⎢⎣⎡1,21.在⎥⎦⎤⎢⎣⎡21,0上，体积元素为 ()()[].322221dy a dy a a dV ππ=-=在⎥⎦⎤⎢⎣⎡1,21上，体积元素为 .1122222dy y a dy a a dV ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-⎪⎭⎫ ⎝⎛=πππ 故所求体积为dy y a dy a V ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎰⎰11321212212ππ.22123222a a a πππ=+=解法3 选x 为积分变量，[]a a x 2,∈.将旋转体分割成以y 轴为中心的圆柱形薄壳，以薄壳的体积作为体积元素，这一方法称为柱壳法.对应于区间[]x x x ∆+,的窄曲边梯形可近似地看做高为xay =，宽为dx 的举矩形，它绕y 轴旋转而成的圆柱形薄壳的体积，即体积元素为.2dx xax dV ⋅=π因此有 .222222a adx dx xax V a a a a πππ==⋅=⎰⎰（3）绕1=y 旋转选x 为积分变量，[]a a x 2,∈.体积元素为 dx x a dV ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--=2211π所求体积为 ⎰⎰⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--=a a aadx x a x a dx x V 2222222911ππ .212ln 21ln 222⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅+=a x a x a aa π小结 （1）在直角坐标系中求旋转体体积时，被积函数总是正的，定限时要注意积分下限一定小于上限.（2）选取哪个变量作为积分变量，才能使运算更为简便，要根据具体问题，灵活选取.一般地若xOy 平面中的平面图形D 是由曲线()()x y x y 21,ϕϕ==()()()x x 12ϕϕ>与直线b x a x ==,所围成，则分别绕x 轴、y 轴旋转所得旋转体体积为()()[]()()[]⎰⎰-=-=bay bax xdx x x V dxx x V .2122122ϕϕπϕϕπ第二部分 二重（三重）积分一、重积分的计算及技巧总结计算二重积分的基本方法是化为二次积分，其关键是确定积分次序和确定积分限.所遵循的原则是：1． 直角坐标系下确定积分次序的原则（1）函数原则内层积分能够求出的原则.例如()()2,y e x g y x f =一定应先对x 积分，后对y 积分.例如()()y g xyy x f cos ,=一定应先对y 积分，后对x 积分.（2）区域原则若积分区域为Y 型（即用平行于x 轴的直线穿过区域D ，它与D 的边界曲线相交最多为两个点），应先对x 积分，后对y 积分.若积分区域为X 型（即用平行于y 轴的直线穿过区域D ，它与D 的边界曲线相交最多为两个点），应先对y 积分，后对x 积分.若积分区域既为X 型区域，又为Y 型区域，这时在函数原则满足的前提下，先对x 积分或先对y 积分均可以；在这种情况下，先对哪个变量积分简单，就先采用该积分顺序.（3）少分块原则在满足函数原则的前提下，要使分块最少，从而计算简单. 2．直角坐标系下化二重积分为二次积分时，确定积分限的原则 （1）每层积分的下限都应小于上限.（2）一般而言，内层积分限可以是外层积分变量的函数，也可以是常数. （3）外层积分限必须为常数.3．当二重积分的积分域D 为圆域、扇形域或圆环域，被积函数具有22y x +的函数形式，即()()22,y x f y x g +=时，可考虑用极坐标计算该二重积分.用极坐标计算二重积分一般均采用先r 后θ的积分次序. 4．极坐标下积分限的确定 当极点在积分域D 之外时 ()()()()⎰⎰⎰⎰=θθβαθθθσ21.sin ,cos ,r r Drdr r r f d d y x f当极点在积分域D 的边界曲线上时 ()()()⎰⎰⎰⎰=θβαθθθσr Drdr r r f d d y x f 0.sin ,cos ,当极点在积分域D 内时 ()()()⎰⎰⎰⎰=θπθθθσr Drdr r r f d d y x f 020.sin ,cos ,()()()()⎰⎰⎰⎰=θθπθθθσ21.sin ,cos ,20r r Drdr r r f d d y x f小结化二重积分为二次积分的关键在于确定二次积分的上、下限.确定积分限采用穿线法，若先对y后对x积分，则将积分区域投影在x轴上，可得x的变化范围.再过固定的x点作一平行于y轴的直线从下向上穿过区域D，则可得到y的变化范围.从而可将积分域D用不等式组表示出来，这种确定上、下限的方法比较直观.二重积分化为二次积分，一般而言，内层积分的上、下限是外层积分变量的函数或者常数，而外层积分的上、下限一定为常数.小结极坐标系下化二重积分为二次积分一般选择的积分次序是先r后θ，定限时仍采用“穿线法”。