二重积分及三重积分的计算

第一部分 定积分的计算

一、定积分的计算

例1 用定积分定义求极限.

)0(21lim 1>++++∞→a n

n a a a a n . 解 原式=⎰∑=⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛=∞→1011lim a

a

n

i n x n n i dx =a a x a +=++1111

1.

例2 求极限 ⎰

+∞→10

2

1lim x

x n n dx . 解法1 由10≤≤x ，知n

n x x x ≤+≤

2

10，于是⎰

+≤1

2

10x x n ⎰≤1

n x dx dx .

而⎰1

0n

x ()∞→→+=+=+n n n x dx n 01111

01，由夹逼准则得⎰+∞→1021lim x

x n n dx =0.

解法2 利用广义积分中值定理

()()x g x f b

a

⎰

()()⎰=b

a

x g f dx ξdx （其中()x g 在区间[]b a ,上不变号），

().101111

2

1

2

≤≤+=

+⎰

⎰

n n n

n dx x dx x

x ξξ

由于11102≤+≤

n

ξ

，即

211n

ξ

+有界，

()∞→→+=⎰n n dx x n

0111

0，故⎰+∞→1021lim x x n

n dx =0. 注 （1）当被积函数为(

)22,x a x R +或()

22,a x x R -型可作相应变换.

如对积分()

⎰++3

1

2

2

112x

x

dx

，可设t x tan =；

对积分

()0220

2>-⎰

a dx x ax x a

，由于()

2

222a x a x ax --=-，可设

t a a x sin =-.

对积分dx e x ⎰

--2ln 0

21，可设.sin t e x =-

（2）()0,cos sin cos sin 2

≠++=⎰d c dt t

d t c t

b t a I π

的积分一般方法如下：

将被积函数的分子拆项，[分子]=A[分母]+B[分母]'，可求出2

2d c bd

ac A ++=

，

2

2d

c ad

bc B +-=

. 则积分 ()2

20

cos sin ln 2

cos sin cos sin π

π

πt

d t c B A dt t

d t c t d t c B A I ++=

+'

++=⎰

.ln

2

d

c B A +=

π

例3 求定积分()

dx x x x ⎰-1

2

1

1arcsin

分析 以上积分的被积函数中都含有根式，这是求原函数的障碍.可作适当变换，去掉根式. 解法1 ()

dx

x x x ⎰-1

2

1

1arcsin 2

t x x

t ==12

1212

11

2

1

2

arcsin arcsin arcsin 21arcsin 2t

t d t dt t

t ==-⎰⎰

.16

32

π= 解法2 ()dx x x x

⎰-1

2

1

1arcsin .16

3cos sin cos sin 2sin 2

24

22

4

2

πππ

ππ==⋅=⎰u du u u u

u u u x 小结 （定积分的换元法）定积分与不定积分的换元原则是类似的，但在作定积分换元()t x ϕ=时还应注意：

（1）()t x ϕ=应为区间[]βα,上的单值且有连续导数的函数； （2）换限要伴随换元同时进行；

（3）求出新的被尽函数的原函数后，无需再回代成原来变量，只要把相应的积分限代入计算即可.

例4 计算下列定积分

（1）⎰+=2031cos sin sin πx x xdx I ， dx x

x x I ⎰+=2032cos sin cos π

； （2）.

1cos 22

6

dx e x

x ⎰--+π

π

解 （1）⎰

+=20

31cos sin sin π

x

x xdx

I

)(sin cos cos 20

23du u

u u

u x -+-=⎰ππ

=.sin cos cos 2

23⎰=+π

I dx x

x x

故dx x

x x

x I I ⎰++==203321cos sin cos sin 21π

=()

4

1cos cos sin sin 21202

2-=+-⎰ππ

dx x x x x . （2）=I .1cos 22

6

dx e x

x ⎰--+π

π

()dx

e x

du e u

u x x u ⎰⎰--+=-+-=22

6

22

61cos 1cos π

π

π

π

⎥⎦

⎤⎢⎣⎡+++=⎰⎰--2222661cos 1cos 21ππππdx e x dx e x e I x x

x

.32

5

2214365cos cos 21

206226πππ

ππ=⨯⨯⨯=

==⎰⎰-xdx

xdx

这里用到了偶函数在对称取间上的积分公式以及公式：

dx xdx n n

⎰

⎰=20

20

cos sin π

π

()()()()()()⎪⎪⎩⎪

⎪⎨⎧=⋅⨯-⨯--=⨯-⨯--=偶数奇数n n n n n n n n n n ,22

421331,

1322

431π

小结 （1）常利用线性变换把原积分化为可抵消或可合并的易于积分的形式。积分区间为[0，a]时，设x a u =-;积分区间为[-a,a]时，设x u =-。可使新的积分区间与原积分区间相同，以利于合并或产生原积分。 （2）利用例10.6(2)中同样的方法易得