1基变换与坐标变换

x1
x1
1 , 2 ,
, n
x2 xn
1 , 2 ,
, n
x2 xn
1 , 2 , , n 1 , 2 , , n A x1
1 , 2 ,
,
n
A
x2 xn
,
由基向量的线性无关性，得坐标变换公式
x1 , x2 , , xn T A x1 , x2 , , xn T , x1 , x2 , , xn T A1 x1 , x2 , , xn T .
为V的 一 组 基 ．
定 理8（ 维 数 公 式 ） 若W1、W2是V的 两 个 子 空 间 ， 那么
dim W1 dim W2 dim W1 W2 dim W1 W2 .
定义9 W1、W2是V的两个子空间，如果W1 W2
B
1 0 1
1 2 2
1 1 2
123 ,
所以
( 1 , 2 , 3 , 4 ) (1 , 2 , 3 , 4 ) A1 B,
故坐标变换公式为
x1'
x1
x2'
x3 x4
' '
B1 A
x2 x3 x4
.
用初等变换计算 B1 A.
2 0 2 1 1 1 1 1
B
A
1 0
求 坐 标 变 换 公 式.
解题思路 先求基变换公式，再求坐标变换公式
解设
(1, 2 ,3 , 4 ) ( x3 , x2 , x,1) A, (1, 2 , 3 , 4 ) ( x3 , x2 , x,1)B,
1 1 1 1 2 0 2 1
其中
A
2 1 0
1 1 1
2 1 1
101,
(2) W1 W2 W1 W2 W1;
(3) W1 W2 W1 W1 W2; (4) W1 W2 W1 W2 W1 W2或W2 W1 .
定义7 1 , 2 , , r是V中的一组向量，
L1 , 2 , , r
11 2 2 r r 1 , , r F
称为1 , 2 , , r 生成（张成）的子空间.
F=C ，定义与C m 中相同的运算， V 构成一个复线 性空间，叫做矩阵Ａ的列空间，或A的值域，记为 R(A)．
例６ 正实数的全体，记作 R ，在其中定义加法
及乘数运算为
a b ab, a a , R,a,b R .
对上述运算 R 构成实数域R上的线性空间．
二、基与维数
定义３ 设V是线性空间，1 , 2 , , s为V中一组
问题：同一个向量在不同的基下的坐标有什么关 系呢？换句话说，随着基的改变，向量的坐标如何改 变呢？
设 1 , 2 , , n及 1 , 2 , , n 是n维线性空间V的两组
基，且
1 a11 1 a21 2 an1 n
2
a12 1
a22 2
源自文库
an2
n
,
n a1n 1 a2n 2 ann n 基
变
即
1 , 2 , , n 1 , 2 , , n A,
换 公
其中
a11 a12 a1n
A
a 21 an1
a 22 an2
a2n a nn
.
式
过渡矩阵 （可逆）
设V中 的 元 素在 基 两 组 下 的 坐 标 分 别为
x1 , x2 , , xn T , x1 , x2 , , xn T ,
定义6 设W1、W2是线性空间V的两个子空间，定义
S x x W1 ,且x W2 W1 W2 ,
（交空间）
U z x W1 , y W2 , z x y W1 W2 .（和空间）
定理5 S、U是V的两个子空间．
定理6 W1、W2是V的两个子空间，则有
(1) W1 W2 W1(W2 ) W1 W2 V;W1 W2 ,
例8 在P[x]3中取两组基
1 x 3 2x 2 x, 2 x 3 x 2 x 1,
3 x 3 2x 2 x 1, 4 x 3 x 2 1,
及 1 2x 3 x 2 1,
2 x 2 2x 2,
3 2x 3 x 2 x 2, 4 x 3 3x 2 x 2,
0 0
0 1
E
B1 A
0 0 0 1 1 1 1 1
所以
x1' 0 1 1 1 x1
x2 x3 x4
' ' '
1 0 1
1 0 1
0 0 1
0 1 1
x x x
2 3 4
.
四、子空间和维数定理
1、子空间 定义5 设V 是域F上的线性空间，W是V 的一个非空 子集，若W 中的向量对于V 中所定义的加法和数乘运 算也构成F上的一个线性空间，则称W为V的子空间． 定理4 设V 是域F上的线性空间，W是V 的一个非空 子集，则W 是V 的一个子空间的充分必要条件为W对 于V中的线性运算封闭．
定 义8
向量组1 , 2 ,
,
的
r
最
大
无
关
组
中
所
含
向
量的个数称为向量组1 ,2 ,
,
的
r
秩.
定理7 (1) 两个向量组生成相同子空间的充分必要
条 件 是 这 两 个 向 量 组 等价 ；
(2) L1 , 2 , , r 的维数等于向量组1 , 2 ,
,
的
r
秩.
2、维数定理
引理 设W是V的一个m维子空间，dimV n，1 , 2 , , m是W的一组基，那么这组向量必定可扩充
向量，如果存在不全为零的一组数k1 , k2 , , ks使
k11 k2 2 ks s 0, 则称1 , 2 , , s线性相关；否则称为线性无关．
向量组线性无关等价于 k11 k2 2 ks s 0
当且仅当 k1 k2 ks 0 时成立．
定理1 设V是 线 性 空 间，1 , , r 和1 , , s 是 V中 的 两 组 向 量 ， 如 果1 , , r 线 性 无 关 ， 且 可 被1 , , s 线 性 表 示 ， 则r s;且1 , , s 中 存 在r个 向 量 ， 不 妨 设 为1 , , r ， 用1 , , r 代 换 所 得 到 的1 , , r , r1 , , s 可 将1 , , s
(1) ;
(2) ;
(3) 在V中存在零元素 0, 对任何 V ,都有 0 0 ;
(4)对任何 V ,都有的负元素 V ,使 0;
数量乘法满足下面两条规则：
(5) 1 ;
(6) ;
数量乘法与加法满足下面两条规则：
(7) ;
(8) .
（4）若向量组
1 ,2 ,
,
是线性空间
r
V
的一个
基，则 V 可表示为
V x 11 2 2 r r 1 , , r F
V :基所生成的线性空间 1 , 2 , , r :向量x在基1 , 2 , , r下的坐标
例7 在线性空间P[ x]3中，p1 1，p2 x，p3 x 2，
p4 x 3是一组基，而q1 1，q2 x 2，q3 x 22， q4 x 23也是一组基．
若将上例中的 C 全换成 R ，则可得到 n 维实坐
标向量空间，记作 Rn ． C n 和 Rn是最常用的两个线性空间．
例2 V A A aij mn ,aij C , F=C，又设
B
bij
,
mn
C ,
对于通常的矩阵加法和数乘运算，
V 构成一个复线性空间，一般记为 C mn．
当F 为实数域时，V 称为实空间；当F 为复数域 时，V 称为复空间．
说明
(1) 线性空间不能离开某一数域来定义．实际 上，对于不同数域，同一个集合构成的线性空间会 不同，甚至一种能成为线性空间而另一种不能成为 线性空间．
(2) 凡满足八条规律的加法及数乘运算，称为 线性运算．
(3) 判别线性空间的方法：一个集合，对于定义 的加法和数乘运算不封闭，或者运算不满足八条性质 的任一条，则不能构成线性空间．
次数不超过n 的多项式全体构成n +1维线性空间．
定理3 n 维线性空间中任何n 个线性无关的向量都 是线性空间的一组基．
说明
（1）只含有零向量的线性空间称为0维线性空间， 因此它没有基．
（2）若把线性空间V 看作向量组，那末V 的基就 是向量组的最大无关组，维数就是向量组的秩.
（3）线性空间的基不惟一.
和，记为 ；在数域F 与集合V 的元素之间还
定义了一种运算，叫做数量乘法，对于F中任一个数k
与V 中任一元素 ，在V 中都有惟一的一个元素 与
它们对应，称为k与 的数量乘积，记为 k．若加
法与数量乘法满足下述八条规则，那么V 称为数域F上 的线性空间．
设, , V;, F
加法满足下面四条规则：
例8 如果将复数集合C 看作数域C 上的线性空间， 那么数1就是它的一组基，所以它是一维线性空间； 如果将复数集合C 看作实数域上的线性空间，那么 数1和i 就是它的一组基，这时空间是二维的．
空间的维数与所考虑的数域有很大的关系．
三、基变换与坐标变换
在n维线性空间V中，任意n个线性无关的向量都 可以作为V的一组基．对于不同的基，同一个向量的 坐标是不同的．
第一章 预备知识
第一节 线性空间
➢ 定义、性质及例子 ➢ 基与维数 ➢ 基变换与坐标变换 ➢ 子空间和维数定理
一、线性空间的定义、性质及例子
定义１ 设V 是一个非空集合，F 是一个数域（实数 域或复数域），在集合V 的元素之间定义了一种代数
运算，叫做加法，即对于任意两个元素 与 ，在V 中都有惟一的一个元素 与它们对应，称为 与 的
对于通常的多项式的加法和数乘运算不能构成线性 空间．
例4 A Amn C mn , V x C n Ax 0 , F=C，
定义与 C n中相同的运算， V 构成一个复线性空间，
叫做矩阵Ａ的零空间（或核），也叫做方程 Ax 0
的解空间，记为N(A)．
例5 A Amn C mn , V y C m y Ax , x C n ,
也是V中的向量，称y 是向量组 x(1) , x(2) , , x(k) 的一
k
个线性组合， i x(i) 叫做y 的一个线性表出． i 1
例１ V x x 1,2 , ,n T ,i C , F=C，又设
y 1,2 , ,n T V , C , 对于通常的加法和数乘
运算，V 构成线性空间，是一个复线性空间，称为 n 维复坐标向量空间，记作 C n ．
任一次数不超过3次的多项式
gx ax3 bx2 cx d,
在第一组基下的坐标为d , c, b, aT ,
在第二组基下的坐标为
g( 2)
,
g
(2)
,
1 2!
g
(
2),
1 3!
g
(2)
T
.
注意 线性空间V 的任一元素在不同的基下所对应 的坐标一般不同，但一个元素在一组基下对应的坐 标是唯一的．
线性表示．
定义4 设S 是线性空间V 上的子集，如果S 的任意 有限子集都线性无关，且V 的任何向量均可被S 表 出，则称S 是V 的基．
定理2 如果线性空间V 的基S 恰含n 个向量，则V 的任何基都恰含n 个向量．
有上述性质的线性空间为有限维线性空间，n 为空间的维数，即作dimV=n ．
C n、Rn是 n维空间，C mn、Rmn是 m×n维空间，
线性空间的性质
(1) 零元素是唯一的． (2) 负元素是唯一的．
(3) 0 0; 1 ; 0 0.
(4) 如果 0，则 0或 0.
定义2 设 x(1) , x(2) , , x(k) 是线性空间V 中的任一组
向量，1, 2 , , k 是F 中任一组数，
k
y 1 x(1) 2 x(2) k x(k ) i x(i ) i 1
1 2
1 1
3 2 1 1 1 1
2 1
1 0
1 2 2 2 0 1 1 1
1 0 0 0 0 1 1 1
~ 初等行变换
0 0
1 0
0 1
0 0
1 0
1 0
0 0
0 1
0 0 0 1 1 1 1 1
1 0 0 0 0 1 1 1
0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0
同样， Rmn为一个实线性空间．
例3 次数不超过n 的多项式的全体记作P[x]n ，即
n
P[ x]n { p( x) p( x) i x ni , i R}, 对于通常的多项 i0
式的加法和数乘运算，P[ x]n 为一个实线性空间．
注意 n 次多项式的全体
n
Q[ x]n { p( x) p( x) i x ni , i R,且 n 0}, i0