微积分下册主要知识点

第一换元积分法(凑微分法)g[ (X)]「(x)dx = g(u)du = F(U) C = FL (x)] CJ f (x)dx= J f［毋(t)］"(t)dt = F(t)+C = F［寧(X)PC ,注：以上几例所使用的均为三角代换,三角代换的目的是化掉根式，其一般规律如下当被积函数中含有a).a2-x2,可令X =as int;b)x2a2,可令x =ata nt;C).X22-a ,可令x =asect.当有理分式函数中分母的阶较高时，常采用倒代换X=1 .t四、积分表续4.3分部积分法UdV=UV- VdU(或微分)的逆运算.一般地，下列类型的被 n都是正整数).n .X SInmXnX cosmx nx ・ e SIn mxnxe cosmx分部积分公式:UVdX=UV- U VdX(3.2)n mx X enX arcsInmXX n (In x) X narccosmxX n arcta nmx 等.5.1定积分的概念 5.2定积分的性质 两点补充规定: 性质 性质 性质 性质 性质推论 推论 b⑻当 a=b 时， f(x)dx=0; (b)当 a b 时， f(x)dx - - f (x)dx .b[f (x)二g(x)]dxf (X )dxg (X )dx.a aab bkf (x)dx =k f (x)dx, (k 为常数).a IJ ab Cbf (x)dx f(x)dx 亠 I f (x)dx .a∙a∙c若在区间若在区间 bdx 二b -a.a[a,b]上有 f(x)_g(x),则 f(χ)dx g(x)dx, (a ：：：b).■a *ab[a,b]上 f(x)_0,贝 U f(x)dx_O, (a ：：b). a b I L f(X)dx 兰『I f (X)IdX (a cb).a L- 性质6 (估值定理)设M 及m 分别是函数f(x)在区间［a,b ］上的最大值及最小值，则 b m(b —a) _ f (x)dx _ M (b —a). a性质7 (定积分中值定理)如果函数f (x)在闭区间［a,b ］上连续，则在［a,b ］上至少存在 个点，使 bf(x)dx = f( )(b-a), (a _ -b).a 5.3微积分的基本公式一、引例 X二、积分上限的函数及其导数 ：：•：J (X^ f(t)dtL a定理2若函数f(x)在区间［a,b ］上连续，则函数(3.1) 分部积分法实质上就是求两函数乘积的导数 积函数常考虑应用分部积分法(其中m,XG (X)= i f(t)dtIJ a就是f (x)在［a,b ］上的一个原函数.三、牛顿一莱布尼兹公式定理3若函数F(X)是连续函数f(x)在区间［a,b ］上的一个原函数，则ba f (x)dx =F(b) — F(a).(3.6)公式(3.4)称为牛顿一莱布尼茨公式. 5.4定积分的换元法积分法和分部积分法 一、定积分换元积分法定理1设函数f (x)在闭区间［a,b ］上连续 屈数x = "t)满足条件：(1) ( ) =a, ：C)=b, 且 a 乞 It)乞b ;(2) ∙ (t)在^ ,-］(或「：，:•］)上具有连续导数，则有bBf(x)dx= f ［ :(t)b ：(t)dt . (4.1)a :■公式(4.1)称为定积分的换元公式.定积分的换元公式与不定积分的换元公式很类似 .但是,在应用定积分的换元公式时应注意以下两点：(1)用X= (t)把变量X 换成新变量t 时，积分限也要换成相应于新变量 t 的积分限，且5.5广义积分一、无穷限的广义积分⅛0f(x)dx = F(x) |a =F( ；)_F(a) ab__f (x)dx =F(X) ∣*F(b) -F(-：：)= f(x)dx =F(x)|^F( ：：)-F(」：)二、无界函数的广义积分bbf (x)dx = Iim f (x)dxa ;》0 W 亠；b b - Jf (x)dx = Iim f (x)dx.a7-∙0 a5.6定积分的几何应用 一、微元法定积分的所有应用问题， 示为定积分的形式. 一般总可按“分割、求和、取极限”三个步骤把所求的量表可以抽象出在应用学科中广泛采用的将所求量 U (总量)表示为定积分的方法一一 微元法，这个方法的主要步骤如下：上限对应于上限，下限对应于下限；(2)求出f ［ (t)^:⑴的一个原函数 t 的上、 原变量X 的函数,而只要把新变量 二、定积分的分部积分法b. ÷(t)后,不必象计算不定积分那样再把÷(t)变换成 下限分别代入÷(t)然后相减就行了.b b bUdV =[uv]aVdUab bbUVdX = [uv]a VUdXaa(1) 由分割写出微元 根据具体问题，选取一个积分变量，例如 X 为积分变量，并确定 它的变化区间［a,b ］，任取［a,b ］的一个区间微元［x,x dx ］，求出相应于这个区间微元上部 分量 U 的近似值，即求出所求总量 U 的微元dU = f (x)dx ；(2) 由微元写出积分根据dU = f(x)dx 写出表示总量U 的定积分b bU = a dU = a f(x)dx微元法在几何学、物理学、经济学、 社会学等应用领域中具有广泛的应用， 本节和下一节主要介绍微元法在几何学与经济学中的应用应用微元法解决实际问题时，应注意如下两点：(1) 所求总量U 关于区间［a,b ］应具有可加性，即如果把区间 ［a,b ］分成许多部分区间，则U 相应地分成许多部分量，而U 等于所有部分量 U 之和.这一要求是由定积分概念本身所决定的；(2) 使用微元法的关键是正确给出部分量UU 的近似表达式f(x)dx ，即使得f(x)dx =dU 、U .在通常情况下，要检验 U- f (x)dx 是否为dx 的高阶无穷小并非易事，因此，在实际应用要注意 dU = f(x)dx 的合理性.二、平面图形的面积(1) 直角坐标系下平面图形的面积 (2) 极坐标系下平面图形的面积、旋转体：由一个平面图形绕这平面内一条直线旋转一周而成的立体称为 条直线称为旋转轴.旋转体的体积微元dV =恵［f (x)］2dx,b2所求旋转体的体积 V=二［f (x)］2 dx.L a四、平行截面面积为已知的立体的体积 ：如果一个立体不是旋转体，但却知道该立体上垂直于一定轴的各个截面面积，那么，这个立体的体积也可用定积分来计算体积微元 dV = A(x)dx,b所求立体的体积 V= A(x)dx.a曲边扇形的面积微元 所求曲边扇形的面积dA = -[ r(^)]2d J2A=丄[U)]2d 丁旋转体•这5.7积分在经济分析的应用6.1空间解析几何简介空间直角坐标系在平面解析几何中，我们建立了平面直角坐标系，并通过平面直角坐标系，把平面上的点与有序数组(即点的坐标(χ, y))对应起来.同样，为了把空间的任一点与有序数组对应起来，我们来建立空间直角坐标系•过空间一定点0,作三条相互垂直的数轴，依次记为X轴(横轴)、y轴(纵轴)、Z轴(竖轴)，统称为坐标轴•它们构成一个空间直角坐标系OXyZ (图6-1-1).空间直角坐标系有右手系和左手系两种•我们通常采用右手系•二、空间两点间的距离I M1M 2 mg — x1)2(y? - yj2N - Z1)2.三曲面及其方程定义1在空间直角坐标系中，如果曲面S上任一点坐标都满足方程F(X l y l Z0,而不在曲面S上的任何点的坐标都不满足该方程，贝U方程F(x,y,z)=0称为曲面S的方程，而曲面S就称为方程F(x,y,z)=0的图形空间曲面研究的两个基本问题是：(1) 已知曲面上的点所满足的几何条件，建立曲面的方程；(2) 已知曲面方程，研究曲面的几何形状•平面平面是空间中最简单而且最重要的曲面•可以证明空间中任一平面都可以用三元一次方程AX By CZ D = 0 (1.3)来表示，反之亦然.其中A、B、C、D是不全为零常数.方程(1.3)称为平面的一般方程柱面定义2平行于某定直线并沿定曲线C移动的直线L所形成的轨迹称为柱面.这条定曲线C称为柱面的准线，动直线L称为柱面的母线.二次曲面在空间直角坐标系中，我们采用一系列平行于坐标面的平面去截割曲面，从而得到平面与曲面一系列的交线(即截痕)，通过综合分析这些截痕的形状和性质来认识曲面形状的全貌•这种研究曲面的方法称为平面截割法，简称为截痕法•2x2y2Z椭球面 2 2 2 =1 (a 0,b 0,c 0) (14)a b C2 2椭圆抛物面Z=X y( P与q同号)2p 2q H M2 2双曲抛物面-~X—= Z ( P与q同号)2p 2q6.2多元函数的基本概念一、平面区域的概念：内点、外点、边界点、开集、连通集、区域、闭区域二、 二元函数的概念定义1设D 是平面上的一个非空点集，如果对于D 内的任一点(x, y),按照某种法则f ,都有唯一确定的实数 Z 与之对应，则称f 是D 上的二元函数，它在(x,y)处的函数值 记为f (x, y),即Z= f (x, y),其中x ，y 称为自变量，Z 称为因变量•点集D 称为该函数的 定义域，数集｛z I z = f (x,y), (x, y) ∙ D ｝称为该函数的 值域•类似地，可定义三元及三元以上函数 •当n _2时,n 元函数统称为 多元函数•二元函数的几何意义三、 二元函数的极限定义2设函数z = f (x,y)在点Pod 。

』。

)的某一去心邻域内有定义，如果当点P(x, y)无限趋于点P °(x 0,y o )时，函数f (x, y)无限趋于一个常数 A ,则称A 为函数z = f(x,y)当 (x, y) —；(x o ,y o )时的极限•记为Iim f (x, y) = A .X J X Qy 割Q或 f(x , y)-； A ( (X , y }—； (X 0 ,y O ))也记作Iim f(P)=A 或f(P)—； A (PrP 0)P -R )二元函数的极限与一元函数的极限具有相同的性质和运算法则， 在此不再详述•为了区别于一元函数的极限，我们称二元函数的极限为二重极限•四、二元函数的连续性定义3设二元函数z = f (x, y)在点(X 0, y °)的某一邻域内有定义，如果Xim f(χ,y) = f(X 0,y 0)X x 0y 「y o则称z = f(x,y)在点(X 0,y °)处连续•如果函数Z = f(x, y)在点(X 0,y °)处不连续，则称函 数 Z= f(x,y)在(x 0, y 0)处间断•与一元函数类似，二元连续函数经过四则运算和复合运算后仍为二元连续函数单叶双曲面1(a 0,b 0,c ■ 0) 二次锥面I2 —abC2 22X 2—' y I2 -+ Z abC> 22+ y Z -—I > b 22 C--1 (a 0,b 0,c 0)双叶双曲面0 (a 0,b0,c . 0)2 X ~2a 2 2 2XyZy 的基本初等函数经过有限次的四则运算和复合所构成的可用一个式子表示的二元函数称为二元初等函数.一切二元初等函数在其定义区域内是连续的.这里定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域.利用这个结论，当要求某个二元初等函数在其定义区域内一点的极 限时，只要算出函数在该点的函数值即可 .特别地，在有界闭区域 D 上连续的二元函数也有类似于一元连续函数在闭区间上所满 足的定理.下面我们不加证明地列出这些定理 .定理1 （最大值和最小值定理）在有界闭区域 D 上的二元连续函数，在D 上至少取得 它的最大值和最小值各一次 •定理2 （有界性定理）在有界闭区域 D 上的二元连续函数在 D 上一定有界•定理3（介值定理）在有界闭区域 D 上的二元连续函数，若在D 上取得两个不同的函数 值，则它在D 上取得介于这两值之间的任何值至少一次 •6.3偏导数一、偏导数的定义及其计算法定义1设函数z = f （x, y ）在点（x o ,y °）的某一邻域内有定义 处有增量 X 时，相应地函数有增量f(χ°xy °) - f (χo ,y °),如果IX m Of （XO mO ）-f （X o,y o）存在,则称此极限为函数 对X 的偏导数，记为例如，有f (χo X y o ) - f (X o , y o )ΔX类似地，函数z = f （x,y ）在点（X o , y o ）处对y 的偏导数为lim f (χo ,y o勺)一 f (X o , y o )Δ-⅛O3记为CZCfI Z yXf或 f y (X o ,y o )® X =X OCyχ=xoy=y °“ y=y°“ y=y°上述定义表明，在求多元函数对某个自变量的偏导数时 ，只需把其余自变量看作常数，然后直接利用一元函数的求导公式及复合函数求导法则来计算之二、关于多元函数的偏导数，补充以下几点说明：（1） 对一元函数而言，导数dy 可看作函数的微分 dy 与自变量的微分dX 的商.但偏导dX数的记号—是一个整体.CX（2） 与一元函数类似，对于分段函数在分段点的偏导数要利用偏导数的定义来求.,当y 固定在y o 而X 在X o^f(X l y)在点(X o ,y o )处IZX=X)y boX ZX o yhoZ X猱或f X (XOI y O).f X （X o ,y 。