OLS估计量的性质的推导证明(一些补充)

OLS 估计量的性质的推导证明（一些补充）1、 线性：222222(()()0)iiiiiiii i i i iiiiii ii iix y x Y Y x Y Y x x x x x x Y x kY k x X X X n X x xββΛΛ-===-==-=-===∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑ｉ由于（１）证明斜率系数估计量是Ｙ的线性函数。

　，　其中＝222222(0)(1,0)01,1·0,0()1()101,1i i ii i i i i i i ii i i i i i i i i i i i ii iii i i i x k x x k x x x k x x x x k X k x X k x X k k X x x k x k k X k X =========+=+=+====∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑注意：　（由于对确定量而＝（）=故又故言是定值)前已证前已证记得与对后面的故证明会有用。

211),i i i i i i Y Y X k X Y wY w k Xn nααβΛΛΛ=-=-==-∑∑（）　证明截距系数估计量是的线性函数。

（其中11)111):(0)10(1;)1,i i i ii i i i i i i i i i i i i i w k X n k X X kn n w X k X X X X k X n n X k k X w w X X n=-=-=-===-=-====-=∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑注意　（ 前已证前已证注意　０，对后面的 １；（证明有用。

2、无偏：112211221122)()(...)()()...()()()...(1,0)()i i i i i iii n n n n n n kY k X k k X k k E k E k k k E k E k E k k E k E k E k X k E βββαβεαβεβεεεεεεεεεεεΛΛ==++=++=+==+++=+++=++=+∑∑∑∑∑∑∑∑∑ｉｉｉｉｉ ｉ　ｉｉｉ(1) 是的无偏估计量。

（ 由于 （前已证注 意假设　0())((0)i i i k E E k ββεεεβββΛΛ==+=+=∑∑ｉｉ 所以对等式　＝两边取期望有，）(1,ii i i i w w E w X k ααεαααααεαΛΛΛΛ==+=+∑∑∑∑ｉｉ课件上有错误：(2) 是的无偏估计量,即） 证明方法同上，参考课＝应改为＝注意利用 件０。

3、有效性：*****(),,((()()i i Var cY E Var Var βββββββββαβαβαβΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛ==≥∑证明思路：先计算的方差再证明对任一线性无偏估计量即满足且）　），均满足。

对的有效性证明思路同。

对，的最小方差性证明上课件已经说的比较清楚，也没有错误。

这里仅仅对，的计算作一些说明。

112222112211()()()(...)()()()...()().(()..())i i n n i n n n i n i k Var k Var k k k Var k Var k Var k k Va Var Var k r k Var ββεβεβεεεβαβεεεεεεεεΛΛΛΛ=+=+==+++=++=+∑∑∑ｉｉｉ注意前面证明无偏性的时候已证 注意到为常数注意到随机变量独立（1)　计算与的方差。

(注意到随机变量 22222222222222222222()1()()()1)1,,()()2(,)12()()(i i i i i i ii i iii i i i i i Var x Var w k X nk x x x k k k x x x x k X n n X k X k n n k X nσβσσασσσσΛΛ=======-=-+=-+=∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑ｉ2222222所以 前几步思路同上这里课件方上有错误请差相同,为 注意到＝故，见课　件注意 注意前22222222222222210,)()211()i i iii i ii i i i ii i X X n x n x k k x X x X n x n x x X x nX X n x n x σσ==+==++=+=+=∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑22已证 最后一个等号处，用逆推比较清楚：,,,,,,cov ,)cov(,),cov(,)cov(,)cov(,)cov(,)cov(,)cov()0;cov(j j X Y Z W a b c d X a Y b X Y aX bY cW dZ ac X W ad X Z bc Y W bd Y Z αβεεεεεΛΛ++=++=+++≠==i i i ４、关于,的协方差计算：课本的证明方法略显复杂：在证明前先注意两个公式：若是随机变量,是常数,则有( 并注意两个对随机变量的假设:对i j,有,对i j,,112211221111211(,cov[(.)..),(...)]cov()0,c cov()()cov()cov(,)cov(,)ov(,)cov(n n n n i i i i j j j nni j w w w k Var w k w k k k w k εεεσαβαεβεεαβεεεεεεεεεεεΛΛ====++++≠===+=++==∑∑∑∑i i i i ｉｉ注意到为常数) (由于对i j,有,所以只需考虑i=j 的情况) ,故 ,2222111122222222211221111,)...cov(,)cov(,)cov(,)....cov(,)cov()()11,)0i i n n n n n n n n i i i innnni i i i nni i w k w k w k w k w k Var k k wk Xk k k X k nn εεεεεεεεεεεεσσσσσε======+=+++=====-==-∑∑∑∑∑∑i i i ｉｉ （注意到有同方差假设，,） (注意到前面已证（22121)iini ni x x Xσ===-∑∑ 2222,()()()[()]cov(,){[()][()]}[()]·Var()(Var())ii Y X E Y E X E X E E E E X E E X xX x αβαβααββαβααββββσβββσΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛ=-=--=--=--=--=-=-=-∑∑２一种比较简单的算法如下：由于所以，故 在证明的有效性时已求得 222222222()()()()2()()()2222(),()()((),()i i i i ii i i i i i i i iiii i se Y Y X e X X w k E Va e r E e n n X σααββεααββεααββεααεβααεββεαααβββΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛ===-=-+-+=-+-++------=---==-=--∑∑∑∑２课件上误作课件上此处有误,请注意)５、证明 由于前面已算得： 又因为 21122222222(),()()()cov(,),()()()0[()][(......)()[()]()()(i i j i j i j i i i i n n i i i i i i i Var E E i j E E E E E w w w w w E w E k E e Var X Var βεσααββαβεεεεεεεααεεεεεεσεββσαβΛΛΛΛΛΛΛΛ=--=≠==-=++++==-==+， 当独立 故 所以 同理可算得: 故 22222222222222222222222)2cov(,)2[()]2[()]2222()22i i i i iiii i i iiiii i iii iii i i i i X E X E X XX X w X k n x xxX XE e nX n X w k Xn x x x X X xσαβεααεββσσσσσσσσσσσσσσΛΛΛΛΛ++----=++---=++---=+∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑222222 两边求和得 22222222222222222222222222(4)()2(4)22(4)2(4)(2)(2i i i iiiiiii iiiiiiXn X xx XX Xn xX x X X n x n X X x x X Xn xn X x X n Xn n x e E n σσσσσσσσσσσσσ+----=+-+-=+-++-=+-+-=+-=--∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑2222 故 2222),.2ie s n σσσΛ===-∑２即为的无偏估计。