3空间一般力系

3、空间一般力系

内容提要

力在轴上的投影

力在轴上的投影祥见表3-1

表3-1 力在轴上的投影

力对点的矩和力对轴的矩

有关力矩的概念祥见表3-2

空间一般力系的简化

1、空间任意力系向任一点简化

空间一般力系向简化中心简化，可得主矢和主矩，其结果见表3-3。

2、空间一般力系简化的最后结果

空间一般力系简化的最后结果见表3-4

空间一般力系的平衡

空间一般力系是力系的最一般形式，其平衡的充要条件是，力系的主矢和对任一点O 的主矩都等于零，即

0='R F ，00=M

空间力系的平衡方程见表3-5。 解题要点

1、 空间一般力系的题型可分为空间力系的简化问题和平衡问题两大类。 物体在空间力系作用下的平衡问题的解题方法和步骤与平面问题基本相同。但求解空间问题时，要有清晰的空间概念，熟练掌握力在轴上的投影和力对轴之矩。

3、为了简化计算，在选取投影抽与力拒轴时，投影轴要与尽可能多的未知力或其所 在的平面相垂直，力矩轴应与尽可能多的未知力相交或平行．投影轴不一定要彼此垂直， 也不一定要与力矩轴相重合。在列平衡方程时，可用适当的力矩方程取代投影方程，即 可采用四矩式、五矩式或六矩式的平衡方程，只要所建立的平衡方程是彼此独立的，就能 解出全部未知量。

4.解空间力系平衡问题时，有时采用将该力系向三个相互垂直的坐标平面投影的方 法，将空间力系化为三个平面力系分别求解。采用此法时，必须注意各力在投影面上投 影的大小、方向及作用点的位置。

范例分析

例3-1 图3-1(a)为直角三棱柱。其上作用力系：:F 1=200 N,22F F '==100N ，试求该力系在各轴上的投影及对轴之矩。

图3-1

解

解题思路： F 1在轴上的投影可按直接投影法计算，对轴之矩可用力对轴之矩的解析式计算；22F F '与组成一个空间力偶矩矢M 1=F 2×=20N ·m ，如图（b ）所示，对轴之矩直接投影即可。

)N ( 28.7429

22004

.03.02.02.02

2

2

1

=⨯

=++=F F x

)N ( 56.1482942002941

=⨯

==F F y

)N ( 41.11129

320029

31

-=⨯-=-=F F z

)m N ( 56.44041.1114.0)(⋅-=-⨯-=-=y z x zF yF M

)m N ( 28.341241.1112.053

)(1⋅=+⨯=+

-=M xF zF M z x y 154

)(M yF xF M x y z +-=

)m N ( 161628.44.056.1482.0⋅=+⨯-⨯=7

例3-2均质矩形板ABCD 重P=200 N ，作用在其对角线交点上，矩形板用球形铰链A 和蝶形

铰链B 固定在墙上，并用绳子CE 维持在水平位置如图3-2（a ）所示，若α=30°，试求绳子的拉力以及铰链A,B 的反力。

图3-2

解

解题思路：取矩形板为研究对象，空间球形铰链A 的约束反力可用三个互相垂直的分力来表示。而蝶形铰链轴向的约束反力和垂直于轴向的约束力偶可以忽略，故约束反力的作用线在垂直于铰链轴的平面内。作用在板上的力组成一个空间任意力系，它有六个平衡方程，可求解六个未知力。

（1）取矩形板为研究对象，受力图如图（b ）所示。为便于计算绳子拉力F 对x ，y 轴之矩，可将力F 分解成平行于z 轴的分力F z =F sin30°，与在板平面内的分力F xy =F cos30°。 （2）建立空间任意力系的平衡方程：

0)(=∑F m z ， 0=Bx F （1） 0)(=∑F m y ，030sin 2

1

=⋅︒-⨯

BC F BC P （2） N F 200=

0)(=∑F m x ，030sin 2

1

=⋅︒+⨯-⋅CD F AB P AB F Bz （3）

0=Bz F

0=∑X ，060cos 30cos =︒⋅︒-+F F F Bx Ax （4）

N 6.86=Ax F

0=∑Y ， 030cos 30cos =︒⋅︒-F F Ay （5）

N 150=Ay F

0=∑Z ， 030sin =︒+-+F P F F Bz Az （6）

N 100=Az F

[讨论]

空间力系的平衡方程建立次序可以随意，一般，首先建立的是不用解联立方程的力矩平衡方程。应尽可能使一个方程包含一个未知量，使未知量从方程中直接解出。最后还可以用非独立的平衡方程来校核所得约束力。如对DB 线用0=∑DB M 平衡方程来校核力F ，F Az 的

例3-3 图3-3（a ）所示电杆OD 高7m ，D 处受水平力F =10kN 作用。O 处视为球铰支座，A 处以钢索AB 、AC 与地面相连，略去电杆自重。试求钢索拉力及支座反力。

解：

解题思路：电杆OD 受已知力F 、钢索的拉力F 1与F 2以及球铰支座O 处的反力F Ox 、F Oy 、F Oz 作用，计有5个未知量，可由空间一般力系平衡方程的基本形式求解。

OD 杆的受力如图（b ）所示。对图示坐标系，列平衡方程

图3-3

0=∑X ， 0sin 45cos sin 45cos 21=+︒-︒Ox F a F a F （1）

0=∑Y ， 0cos 45cos cos 45cos 21=+︒+︒+-Oy F a F a F F （2）

0=∑Z ， 045cos 45cos 21=︒-︒-F F F Oz （3） 0)(=∑F m x ， 0445sin 445sin 721=⋅︒-⋅︒-⋅F F F （4）

0)(=∑F m y 0345sin 345sin 21=⋅︒-⋅︒F F （5）

由图示几何关系知：53sin =

a ，5

4

cos =a 联立求解上述5个平衡方程，可得

kN 37.1221==F F ，F Ox =0，F Oy =–4 kN ，F Oz = kN

其中，负号表示约束反力的实际方向与假设的方向相反。

讨论 为了避免解联立方程组，如何合理选取力矩轴理论依据是当力与轴相交或平行时，力对该轴之矩等于零。

首先，欲使力矩平衡方程中不出现F 1及F 2 ，可过F 1、F 2交点A 作x '及y '轴（图b ），此时力F 、F Oy 、F Oz 与y '轴共面，则这些力对y '轴之矩为零。故应以y '轴为矩轴。