AHP(层次分析法)方法、步骤

0.105 W 0.637
0.258
max
n i1
( AW )i nWi
0.318 1.196 0.785 3.307 30.105 3 0.637 3 0.258
2009.11
•问题
AHP方法计算原理
为什么两两比较判断矩阵A的最大特征值的向量
W (w1, w2 ,...wn )T
可以作为评价单元A1, A2, …,An的权重向量？
9
表示两个元素相比，一个元素比另一个元素极端重要
2009.11
（3）计算步骤
判断矩阵中的元素具有下述性质
(i)aij 0
(ii)aij
1 a ji
(iii)aii 1
例：决策者认为Ai比Aj明显重要，则aij＝5 这样由决策者的定性判断转换为定量表示，这
是AHP的特点之一。
2009.11
（3）计算步骤
C3-D d1
d2
d3
d4
d1
1
1
3
3
d2
1
1
3
3
d3 1/3 1/3 1
1
d4 1/3 1/3 1
1
W=(0.055,0.564,0.118,0.265)
max 4.117
C.I=0.039
C1
C2
C3
C.R.=0.042<0.1
d1 d2 w21 W22
W=(0.406,0.406,0.094,0.094)
在单层次判断矩阵A中，当
aij
aik a jk
时，称判断矩阵为一致性矩阵。
进行一致性检验的步骤如下：
（a）计算一致性指标C.I.：C.I. max n ，式中n为判断矩阵阶数。
n 1 （b）计算平均随机一致性指标R.I.
R.I.是多次重复进行随机判断矩阵特征值的计算后取算术平均数得到的 ，下表给出1～15维矩阵重复计算1000次的平均随机一致性指标：
M
An
A1
A2
……
An
a11
a12
……
a1n
a21
a22
……
a2n
M
M
M
M
an1
an2
……
ann
标度（aij）的含义：Ai比Aj 时由决策者回答下列问题所得
1
表示两个元素相比，具有同样重要性
3
表示两个元素相比，一个元素比另一个元素稍微重要
5
表示两个元素相比，一个元素比另一个元素明显重要
7
表示两个元素相比，一个元素比另一个元素强烈重要
RI
当 CR 0.10 ，认为层次总排序的结果具有满意的一致性。
2009.11
4、应用案例
某厂有一笔企业留成利润要决定如何使 用，根据各方意见提出的决策方案有：发奖 金；扩建集体福利设施；办技校；建图书馆 ；购买新设备。在决策时要考虑调动职工劳 动积极性、提高职工技术文化水平、改善职 工物质文化生活三方面，据此构造各因素之 间相互联结的层次结构模型如下图所示。
似的比值aij aij～wi/wj
得到的判断矩阵是近似的判断矩阵A. A～A
精确判断矩阵A 的最大特征值的向量 W= (w1, w2, …,wn) T
是完全精确的权重向量 近似判断矩阵A最大特征值的向量
W= (w1, w2, …,wn) T 可以作为近似的权重向量
2009.11
（3）计算步骤
•iii. 单层次判断矩阵A的一致性检验
max 4
d3 W23
d4 w24
d5 w25
C.R.=0
C1
C2
C3
d1 d2 d3 d4 d5
2009.11
（3）计算各元素的总权重
准则 权重 方案 d1 d2 d3 d4 d5
C1
0.105
0.491 0.232 0.092 0.136 0.046
C2
0.637
0 0.055 0.564 0.118 0.265
C3
0.258
0.406 0.406 0.094 0.094 0
总权重
0．157 0．164 0．393 0．113 0．172
2009.11
（4）结论
发奖金，福利设施，办技校，建图书馆，新 设备
W=(0.157, 0.164, 0.393, 0.113, 0.172) C.I.=0.028 R.I.=0.923 CR=0.03<0.10 计算结果表明，对于合理使用企业留成利润 来说，办技校是首选的方案。
科学评估有三要素：评估者、评估指标
体系和评估方法。实际上队员选拔问题也应
该按照这三个准则进行：一是确定科学的确
定评估者（教练组），二是要建立一套合理
的评价指标体系，三是选用 科学有效的评估方法进 行。
Oh, My God！
2009.11
二．模拟算例
基于本届奥运会的教训和实际情况，我们通过 一个模拟的算例，来看如何运用此方法进行队员选 拔。确定本届奥运会1-2名留队的副攻队员。 ➢ 评估对象：我们选择四位现役国家队副攻队员，薛 明、赵蕊蕊、徐云丽、马蕴雯。 ➢ 模拟评估小组――研究生球迷小组。 ➢ 评价指标――讨论提出下列四个指 ➢ 标：身体条件、大赛经验 力、训练水平、场上作风。 具体评价模型和评价过程如下：
max 5 .126
C.I =0.032 C.R. =0.028<0.1
C1
C2
C3
2009.11
d1
d2
d3
d4
d5
w11
W12
W13
w14
w15
（2）计算单一准则下元素的相对重要性
C2-D d2
d2
1
d3
7
d4
3
d5
5
d3
d4
d5
1/7 1/3 1/5
152
1/5 1 1/3
1/2 3 1
•定性判断
定量表示（通过标量）
•通过数学公式（特征值）确定各元素评价权重
2009.11
2、基本模型—单层次模型 （3）计算步骤
i. 构造两两比较判断矩阵 ii. 计算单一准则下元素的相对重要性（层
次单排序） iii. 单层次判断矩阵A的一致性检验
2009.11
（3）计算步骤
i. 判断矩阵
CK A1 A2
维数 1 R.I. 0
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 0 0.52 0.89 1.12 1.26 1.36 1.41 1.46 1.49 1.52 1.54 1.56 1.58 1.59
（c）计算一致性比例C.R.： C.R.＝ C.I./ R.I. 当C.R.<0.1时，一般认为判断矩阵的一致性是可以接受的。
ii. 层次单排序 计算判断矩阵A的最大特征根λmax和其对应的经
归一化后的特征向量W= (w1, w2, …,wn) T
AW= λ W max
由此得到的特征向量W= (w1, w2, …,wn) T 就作 为对应评价单元的权重向量。 λmax和W的计算一般采用幂法、和法和方根法
2009.11
方根法
……
…… ……
方案层
2009.11
方案1
方案2
……
方案n
（3）计算各元素的总权重
权重 层次 B
B1
B2
层次 A
A1
A2
a1
a2
b11
b12
b21
b22
…… Am …… am
…… b1m
…… b2m
Bn
bn1
bn2
…… bnm
B 层次元素组合权重
m
b1 aib1i i 1 m
b2 aib2i i 1
1 1/ 5 1/ 3
A 5 1
3
3 1/ 3 1
计算Mi 的n次方根
M1
1
1 5
1 3
1 15
0.067
M 2 15, M 3 1
W1 3 M1 0.405, W2 2.466 W3 1
2009.11
归一化
3
Wi 3.871
i1
W1 0.105 W2 0.637 W3 0.258
2009.11
五．问题提出
中国女排在2007年一系列热身赛中成绩不 佳，透露出这么一个重要信息：我们应该怎 样科学地选拔上场队员。
是否应该认真的反 思一下历年来选拔队员 的程序和方法，它们是 否是在科学原则的指导 下进行的。
2009.11
一．问题提出
选择上场队员应该有一套科学的方法， 不即然使再出一个郎平， 也不一定能够再登世界 之巅。
2009.11
AHP方法计算原理
•解释
假设事先已知这n个评价单元的权重向量为W (w1, w2 ,...wn )T 比较Ai与Aj重要性时，标量aij=wi/wj 是一精确比值 所构成的两两比较判断矩阵
A
w1 w2
w1 w1
wn w1
w1 w2
w1 w2
wn wn
wn wn
是完全精确的判断矩阵
2009.11
2、基本模型—单层次模型
（1） 单层次模型结构
C
A1 C—目标
A2
…… An
Ai—隶属C的n个评价元素
决策者：由决策者在这个目标意义下对这n 个元素进行评 价，对他们进行优劣排序并作出相对重要性的权量。
2009.11
2、基本模型—单层次模型
（2） 思想：
•整体判断
n个元素的两两比较。
2009.11
（1）层次结构 图
目标层A
A 合理使用企业留利 ××万元
准则层C
C1
调动职工劳动 积极性
C2
提高企业 技术水平
C3
改善职工物质 文化生活状况
方案层D
d1 发奖金
d2
扩建集体 福利设施
d3 办技校
d4
建图 书馆
d5
购买新 设施
2009.11
（2）计算单一准则下元 素的相对重要性
i. 第二层相对于第一层的判断矩阵
2009.11
1.构造各因素之间的层次结构模 型
目标层A
上场队员
指标层B 身体条件B1
大赛经验B2
训练水平B3
场上作风B4
方案层C 徐云丽C1
赵蕊蕊C2
薛明C3
马蕴雯C4
2009.11
2.构造第二层相对于第一层的判断矩阵
下面是某位排球专家给各层次上对象的打分情况 ：
2009.11
（2）计算单一准则下元 素的相对重要性
ii. 第三层元素相对于第二层元素判断矩阵
C1-D d1
d2
d3
d1
1
2
3
d2 1/2 1
3
d3 1/3 1/3 1
d4 1/4 1/2 2
d5 1/7 1/5 1
d4
d5
47
25
1/2 1
13
1/3 1
W =(0.491,0.232,0.092,0.138,0.046)
2009.11
一．问题提出
中国女排在2004年雅典奥运会获得金 牌后，在备战北京奥运会时仍然沿袭了 雅典奥运会的原班人马，结果由于多名 队员受伤，在占尽天时，地理人和之时 成绩却不尽人意。无论是教练还是对原 对此成绩均不满意。赛后主教练陈忠和 泪洒赛场。
陈忠和泪洒赛场视频
2009.11
一．问题提出
m
bn aibni i 1
2009.11
（4）评价层次总排序计 算结果的一致性
设：CI为层次总排序一致性指标： RI为层次总排序随机一致性指标。
其计算公式为：CI m aiCIi i 1
CIi为Ai相应的B层次中判断矩阵的一致性指标。 m RI ai RIi i 1
RIi为Ai相对应的B层次中判断矩阵随机一致性指标 并取 CR CI
A
A-C
C1
C1
1
C2
5
C3
3
C2
C3
1/5
1/3
1
3
1/3
1
C1
C2
C3
w1=0.105 W2=0.637 W3=0.258
W=(0.105,0.637,0.258) λmax=3.308 对判断矩阵进行一致性检验，即计算C.I.和C.R. C.I.=0.019 C.R.=0.033<0.1 说明判断矩阵的一致性可以接受。
但赛后的痛苦流涕病必能解决问题，我 们是否应该反思队员选拔与训练机制，为什 么主力队员都是浑身伤病。我们认为，主教 练在进行队员选拔的时一定要按科 学的原则进行，而非靠个 人偏好决定取舍。这样 才能把最优秀的队员 选拔到国家队。
2009.11
一．问题提出
从管理的角度来看，选择上场队员的问 题实质是一个综合评估问题。
2009.11
3、多层次分析法基本步骤
1 建立递阶层次结构 2 计算单一准则下元素相对重要性（单层次模型） 3 计算各层次上元素的组合权重（层次总排序） 4 评价层次总排序计算结果的一致性
2009.11
（1）递阶层次 结构
目标层
决策目标
准则层
准则1
准则2
……
准则k
子准则层 子准则1 子准则2 …… 子准则m
2009.11
AHP方法计算原理
满足
AW
w1
w2
w1 w1
wn w1
w1 w2
w1 wn
w2 wn
wn
wn
w1 w2 wn
n
w1 w2 wn
AW nW
W是 A 的最大特征值的向量
2009.11
AHP方法计算原理
实际评价时，并不知道这权重向量 比较Ai与Aj重要性时，通过询问决策者只能得到近
多目标评估方法
AHP方法及其应用
2Leabharlann Baidu06.8
1
层次分析法 (Analytics Hierarchy Process, AHP)
1 2 3 4 5
2009.11
简介 基本模型 基本步骤 应用案例 应用软件
1、简介
层次分析法是由美国匹兹堡大学教授 T.L.Saaty在70年代中期提出的。它的基本思想是 把一个复杂的问题分解为各个组成因素，并将这些 因素按支配关系分组，从而形成一个有序的递阶层 次结构。通过两两比较的方式确定层次中诸因素的 相对重要性，然后综合人的判断以确定决策诸因素 相对重要性的总排序。层次分析法的出现给决策者 解决那些难以定量描述的决策问题带来了极大的方 便，从而使它的应用几乎涉及任何科学领域。