关于固定股利增长率公式推导

股票估价中的股利固定增长模型数学推导问题2009-10-25 15:47

提问者：

星河不思议|浏览次数：2529次

书本上是这样写：

假设如果股利以一个固定的比率增长,那么我们就已经把预测无限期未来股利的问题,转化为单一增长率的问题。如果D0是刚刚派发的股利，g是稳定增长率，那么股价可以写成：

P0=D1/（1+R）+ D2/（1+R）^2+D3/(1+R)^3 + ……

=D0(1+g)/(1+R)+ D0(1+ g)^2/(1+R)^2+ D0(1+ g)^3/(1+R)^3……

只要增长率g

P0=D0（1+g）/ (R-g )=D1/(R-g)。那么，我想请问，如果增长率g>R时，那R-g岂不是成了负数?

我来帮他解答

2009-10-26 16:37

满意回答

可以用两种解释来解答你的问题：

第一种是结合实际的情况来解释，在解释过程中只针对最后的结论所得的式子P0=D0(1+g)/(R-g)=D1/(R-g)来进行讨论，但理论依据上会有点牵强；第二种是从式子的推导过程来进行相关的论述，结合相关数学理论来解释，最后解释的结果表明g>R时，P0取值应为正无穷且结果推导。

第一种解释如下：

这个数学推导模型中若出现g>=R的情况在现实中基本不会出现的。要理解这两个数值在式子中成立时必有g

若股利以一个固定的比率增长g，市场要求的收益率是R，当R大于g且相当接近于g的时候，也就是数学理论上的极值为接近于g的数值，那么上述的式子所计算出来的数值会为正无穷，这样的情况不会在现实出现的，由于R这一个是市场的预期收益率，当g每年能取得这样的股息时，R由于上述的式子的关系导致现实中R不能太接近于g，所以导致市场的预期收益率R大于g时且也不会太接近g才切合实际。

根据上述的分析就不难理解g>=R在上述式子中是不成立的，由于g=R是一个式子中有意义与无意义的数学临界点。

第二种解释如下：

从基本式子进行推导的过程为：

P0=D1/(1+R)+ D2/(1+R)^2+D3/(1+R)^3 + ……

=D0(1+g)/(1+R)+D0(1+g)^2/(1+R)^2+D0(1+g)^3/(1+R)^3……

=[D0(1+g)/(1+R)]*[1+(1+g)/(1+R)+(1+g)^2/(1+R)^2+(1+g)^3/(1+R)^3+……]这一步实际上是提取公因式，应该不难理解，现在你也可以用g>=R时代入这个上述式子共扼部分(1+g)/(1+R)式子你就会发现(1+g)/(1+R)>=1，这样就会导致整个式子计算出来的数值会出现一个正无穷；用g

(1+g)/(1+R)式子你就会发现0<(1+g)/(1+R)<1，这个暂不继续进行讨论，现在继续进行式子的进一步推导。

=[D0(1+g)/(1+R)]*[1-(1+g)^N/(1+R)^N]/[1-(1+g)/(1+R)](注：

N依题意是正无穷的整数)

这一步实际上是上一步的一个数学简化，现在的关键是要注意式子的后半部分。

若g=R，则(1+g)/(1+R)=1，导致1-(1+g)/(1+R)这个式子即分母为零，即无意义，从上一步来看，原式的最终值并不是无意义的，故此到这一步为止g=R不适合这式子的使用；若g>R，仍然有(1+g)/(1+R)>1，故此

[1-(1+g)^N/(1+R)^N]/[1-(1+g)/(1+R)]>0，把这个结果代入原式中还是正无穷；g

=[D0(1+g)/(1+R)]*[1-(1+g)/(1+R)]

这一步是十分关键的一步，是这样推导出来的，若g

0<(1+g)/(1+R)<1，得(1+g)^N/(1+R)^N其极值为零，即1-(1+g)^N/(1+R)^N极值为1，即上一步中的分子1-(1+g)^N/(1+R)^N为1；若g>R是无法推导这一步出来的，原因是(1+g)/(1+R)>1，导致(1+g)^N/(1+R)^N仍然是正无穷，即1-

(1+g)^N/(1+R)^N极值为负无穷，导致这个式子无法化简到这一步来，此外虽然无法简化到这一步，但上一步中的式子的后半部分，当g>R时，仍然有

[1-(1+g)^N/(1+R)^N]/[1-(1+g)/(1+R)]这一个式子为正无穷，注意这个式子中的分子部分为负无穷，分母部分也为负值，导致这个式子仍为正无穷。

P0=D0(1+g)/(R-g)=D1/(R-g)

(注：

从上一步到这里为止只是一个数学上的一个简单简化过程，这里不作讨论)经过上述的分析你就会明白为什么书中会说只要增长率g

P0=D0(1+g)/(R-g)=D1/(R-g)。如果增长率g>R时，原式所计算出来的数值并不会为负，只会取值是一个正无穷，且g=R时，原式所计算出来的数值也是一个正无穷。