概率论与数理统计第七章习题答案

2.设总体ξ有分布密度
f
(x)
=
⎪⎧ 2 ⎨θ 2
(θ
−
x),0
<
x
<θ
⎪⎩
0, 其他
其中θ > 0为待估参数，求θ的矩估计。
∫ ∫ 解：Eξ
=
∞ −∞
xf
( x)dx
θ
=
0
x
2 θ2
(θ
−
x)dx
=
θ 3
.令ξ
= θˆ ,则θˆ = 3ξ . 3
4.设总体ξ在[a − b,3a + b]上服从均匀分布，其中a > 0,b > 0为待估参数， 求a, b的矩估计。
（1）µˆ1
=
2 3
ξ1
+
1 3
ξ
2；（2）µˆ2
=
1 4
ξ1
+
3 4
ξ2；（3）µˆ3
=
1 2
ξ1
+
1 2
ξ2
都是µ的无偏估计，并求出每个估计量的方差，问哪一个最好？
解：由ξ1 ,ξ 2独立，则（1）Dµˆ1
=
D(
2 3
ξ1
+
1 3
ξ
2
)
=
4 9
Dξ1
+
1 9
Dξ 2
=
5. 9
(2)Dµˆ 2
=
D(
假定重复测量所得温度ξ ~ N (µ,σ 2 )，求总体温度真值µ的95%的置信区间： （1）根据以往长期经验，已知测量精度σ = 11； （2）当σ 未知时。
解：(1)已知ξ ～N (µ, σ 2 ),取统计量U = ξ − µ ,则有U ~ N (0,1),于给定的置信概率1−α ,
n
σ/ n
可求出uα
ξ = 1（1458 +1395 +1562 +1614 +1351+1490 +1478 +1382 +1536 +1496） 10
解得µˆ = 1476.2；
S2 = 1 [(1458 −1476.2)2 + (1395 −1476.2)2 +……+（1496 −1476.2）2 ]， 10
解得σˆ 2 = 6198.56.
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1.设总体ξ 有分布律
第七章 参数估计部分习题答案
ξ
−1
0
2
p
2θ
θ
1-3θ
其中 0 < θ < 1 为待估参数，求θ 的矩估计。 3
解：总体一阶矩为Eξ = (−1) × 2θ + 0×θ + 2× (1− 3θ ) = −8θ + 2.
用样本一阶矩代替总体一阶矩得ξ = -8θˆ + 2，则θˆ = 1 (2 − ξ ). 8
6.设ξ1,ξ2,……，ξn是取自总体ξ的一个样本，ξ～B(1, p),其中p为未知，0 < p < 1, 求总体参数p的矩估计与最大似然估计。
n
∏ 解：由Eξ = p ≈ ξ , 得pˆ矩估计 = ξ ，似然函数为L(ξi , p) = pξi (1− p)(n−ξi ). i =1
令 d ln L(ξi , p) = 0, dp
< tα /2 ) = 1− α ,
即P(ξ − tα /2
S n
<
µ
<ξ
+ tα /2
S ) =1−α, n
即µ的置信概率为1−α的置信区间为（ξ − tα /2
S n
<
µ
<ξ
+ tα /2
S ） （*）, n
将ξ = 1（1250 +1265 +1245 +1260 +1275）= 1259，1-α = 0.95,α = 0.05,查表得 5
tα /2 (4) = 2.78, S = 11.937, n = 5代入(*),求得µ的置信区间为（1244.185，1273.815）.
20.假定到某地旅游的一个游客的消费额ξ～N (µ,σ 2 ),且σ = 500元，今要对 该地每一个游客的平均消费额µ进行估计，为了能以不小于95%的置信概率 确信这估计的绝对误差小于50元，问至少需要随机调查多少个游客？
95%,
因而只需 50 σ/ n
≥
uα /2 ,
即 50 ≥ 1.96 500/ n
求得n ≥ 384.16,即随机调查人数不少于385人。
4
求θ的最大似然估计。
解：似然函数为
10
∏ ∏ L(xi ,θ ) =
10 i =1
f (xi ) =
10
1 e− xi /θ θ i=1
=
1
∑ − xi /θ e , i=1
θ 10
10
∑ 两边取对数得 ln L(xi ,θ ) = ln1−10 lnθ − xi / θ i =1
10
∑ 令 d ln L(xi ,θ )
2
2
5.有一批灯泡寿命（小时）的抽取样本：
1458， 1395， 1562， 1614， 1351
1490， 1478， 1382， 1536， 1496
试用矩估计法对这批灯泡的平均使用寿命µ及寿命方差σ 2作出矩估计。
1
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解：灯泡的寿命服从正态分布，其总体的数学期望µ，方差为σ 2 由正态分布的矩估计知，µˆ =ξ ，σˆ 2 =S2
n
∑ξi
得pˆ 最大似然函数
=
i =1
n
=ξ.
9.已知某电子设备的使用寿命ξ 服从指数分布，其分布密度函数为
f (x) = ⎧⎪⎨θ1 e−x/θ , x > 0, ⎪⎩ 0, x ≤ 0
其中θ > 0，现随机抽取10台，测得寿命的数据（小时）如下： 1050， 1100， 1080， 1120， 1200 1250， 1040， 1130， 1300， 1200
+ (4 − 0.8)2 ×1] = 0.831.
14.设ξ1,ξ2,……,ξn是取自总体ξ的一个样本，n ≥ 2,ξ ~ B(1, p),其中p为未知，0 < p < 1, 求证：
（1）ξ12是p的无偏估计； （2）ξ12不是p2的无偏估计;
(3) ξ1ξ2是p2的无偏估计。
证明：（1）Eξ
2 1
= 0.95,α
= 0.05,查表得uα /2
= 1.96,
σ = 11, n = 5代入(*),求得µ的置信区间为（1249.375，1268.625）；
(2)取统计量t
=
ξ S
− /
µ n
, 则有t
~
t(n
−1), 对于给定的置信概率1−α ,可求出tα /2 (n
−1)
使得
P( ξ − µ S/ n
1 4
ξ
1
+
3 4
ξ
2
)
=
1 16
Dξ1
+
9 16
Dξ 2
=
7. 16
(3)Dµˆ 3
=
D(
1 2
ξ1
+
1 2
ξ
2
)
=
1 4
Dξ1
+
1 4
Dξ 2
=
1 2
最小，也即最好。
3
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18.用某仪器间接测量温度，重复测量5次，得（单位：℃）: 1250, 1265, 1245, 1260, 1275
∫ ∫ ∞
3a+b
解：Eξ = xf (x)dx = x
1 dx = 2a ≈ ξ
−∞
a−b 2a + 2b
(1) ,
∞
∫ Dξ = Eξ 2 − (Eξ )2 = x2 f (x)dx − (2a)2 ≈ S2 −∞
(2)；
由（1），（2）得，aˆ = 1 ξ ,bˆ = − 1 ξ + 3S.
解：ξ 服从泊松分布
Eξ的无偏估计ξ = 1 (0× 92 +1× 68 + 2× 28 + 3×11+ 4×1) = 161 = 0.805.
200
200
Dξ的无偏估计S 2 = 1 [(0 − 0.8)2 × 92 + (1− 0.8)2 × 68 + (2 − 0.8)2 × 28 + (3 − 0.8)2 ×11 199
/
使得
2
P( ξ − µ σ/ n
< uα /2 ) = 1− α ,
即P(ξ
− uα /2
σ n
<µ <ξ
+ uα /2
σ ) =1−α, n
即µ的置信概率为1 − α的置信区间为（ξ
− uα /2
σ n
<µ <ξ
+ uα /2
σ） n
（*）,
将ξ
= 1（1250 +1265 +1245 +1260 +1275）= 1259，1-α 5
=
Eξ
2
=
Dξ
+
(Eξ ) 2
=
p(1 −
p)
+
p2
=
p，即ξ12是p的无偏估计。
（2）Eξ12 ≠ p 2，所以ξ12不是p 2的无偏估计。
(3)因为ξ1 ,ξ 2独立，所以Eξ1ξ 2 = Eξ1Eξ 2 = EξEξ = p 2 ,即ξ1ξ 2是p 2的无偏估计。
15.设总体ξ服从正态分布N (µ,1),ξ1,ξ2是从总体ξ中抽取的一个样本，验证下面三 个估计量：
dθ
= 0,即：- 10 + θ
xi
i =1
θ2
=0
∑ 源自文库ˆ
=1 10
10 i =1
xi
解得θˆ = x = 114（7 小时）.
2
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10.在某道口观察每15秒内通过汽车辆数，得数据如下：
汽车辆数
i
0
1
2
3
4
频数
µi
92
68
28
11
1
根据以上数据求每 15 秒钟内通过该道口的汽车辆数ξ 的 Eξ 和 Dξ 的无偏估计。
解：已知σ = 500，1− α = 0.95,α = 0.05,uα /2 = u0.025 = 1.96. 为确保P(| ξ − µ |< 50) ≥ 95%,
即P
⎛ ⎜
⎝
|ξ σ
− /
µ| n
<
σ
50 /
n
⎞ ⎟ ⎠
≥
95%,
又知P
⎛ ⎜
⎝
|ξ σ
− /
µ| n
<
uα /2
⎞ ⎟ ⎠
=
1−α
=