Poisson过程

第三章 Poisson 过程

教学目的：（1）了解计数过程的概念； （2）掌握泊松过程两种定义的等价性；

（3）掌握泊松过程的到达时刻的分布、等待时间的分布和来到时刻的条件分布；

（4）了解泊松过程的三种推广。

教学重点：（1）泊松过程两种定义的等价性；

（2）泊松过程的到达时刻的分布、等待时间的分布和来到时刻的条件分布；

（3）泊松过程的三种推广。

教学难点：（1）泊松过程两种定义的等价性的证明； （2）泊松过程来到时刻的条件分布； （3）泊松过程的推广。

3.1 Poisson 过程

教学目的：掌握Poisson 过程的定义及等价定义；会进行Poisson 过程相关的概率的计算。

教学重点：Poisson 过程的定义与其等价定义等价性的证明；Poisson 过程相关的概率的计算。

教学难点：Poisson 过程的定义与其等价定义等价性的证明。

Poisson 过程是一类重要的计数过程，先给出计数过程的定义

定义3.1：{(),0}N t t ≥随机过程称为计数过程，如果()0N t t 表示从到时刻 某一A 特定事件发生的次数，它具备以下两个特点： (1)()N t 取值为整数；

(2)()()()-()(,]s t N s N t N t N s s t <≤时，且表示时间A 内事件发生的次数。

计数过程有着广泛的应用，如：某商店一段时间内购物的顾客数；某段时 间内电话转换台呼叫的次数；加油站一段时间内等候加油的人数等。

如果在不相交的时间区间中发生的事件个数是独立的，则称该计数过程

有独立增量。即当123,t t t <<2132()-()()-()X t X t X t X t 有与是独立的。

若在任一时间区间中的事件个数的分布只依赖于,时间区间的长度则计数 过程有平稳增量。即对一切12120(,]t t s t s t s <>++及，在中事件个数 21()()N t s N t s +-+12(,]t t 与区间中事件的个数21()()N t N t -有相同的分布。

Poission 过程是计数过程，而且是一类最重要、应用广泛的计数过程，它最早于1837年由法国数学家Poission 引入。

.独立增量和平稳增量是某些级数过程的主要性质Poisson 过程是具有独立

增量.和平稳增量的计数过程

定义3.2：{(),0}(0)N t t λλ≥>计数过程称为参数为Poisson 过程，

如果 (1)(0)0N =；

(2)过程具有独立增量； (3),0,s t ≥对任意的

(()-())P N t s N s n +=!

n

t

t e

n λλ-=（）

例3.1：3/h 设顾客到达商店依次人的平均速度到达，Poisson 且服从分布， 9:00,已知商店上午开门试求

(1)9:0010:005从到这一小时内最多有名顾客的概率？

(2)9:3011:30到时仅到一位顾客，而到时总计已达到5位顾客的概率？

(解：见板书。)

注：（1）Poisson 过程具有平稳增量。

（2）随机变量()N t 服从参数为t λ的Poisson 分布，故[()]E N t t λ=（显然，可以认为λ是单位时间内事件发生的平均次数，称λ是Poisson 过程的强度或速率或发生率。）

（3）0lim (()-()0)t P N t s N s +

→+=0

lim 1()t

t e t o t λλ+-→==-+ 0

lim (()-()1)t P N t s N s +

→+=0

lim ()t t te t o t λλλ+-→==+ 0lim (()-()2)()t P N t s N s o t +

→+≥=

（让同学们通过讨论来解释这几个极限结果的实际意义，适当引导学生结合实际并应用二项分布与Poisson 分布之间的关系来解释这3个极限。）

,根据稀有事件原理在概率论中我们已经学到：

,Bernoulli 试验中，每次试验成功的概率很小而,实验的次数很多时二项

.Poisson 分布会逼近分布.这一现象也体现在随机过程中(0,]t 首先，将划分为 n 个相等的时间小区间，则由(4)'n →∞条件可知，当时，在每个小区间内事件

220.→发生次或次以上的概率事件发生一次的概(),,t

p h p n

λλ≈⋅=率显然很小

1这恰好是次.Bernoulli 试验1,,其中发生次为成功不发生的为失败再由(2)'给出 ,()N t n 的平稳增量就相当于次独立

Bernoulli 试验中试验成功的总次数。由

()Poisson N t 分布的二项逼近可知，将服从t Poisson λ参数为的分布。

（让学生讨论如何判断一个计数过程是不是Poisson 过程，则必须验证是否满足（1）——（3），条件（1）说明计数过程从0开始，条件（2）通常可以从我么对过程的实际情况去直接验证，然而条件（3）一般完全不清楚，如何去判断？是否可以从我们所得到的Poisson 过程的这三条性质来判断定义中的条件（3）是否成立？接下来就证明计数过程满足Poisson 过程定义中的条件（1）和（2）及这里的性质的时候，该计数过程是一个Poisson 过程。于是得到Poisson 过程的等价定义）

定义3.2’: 一计数过程{(),0}N t t ≥λ称为参数为Poisson 的过程，若满足：

(1)'(0)0N =；

(2)'是独立增量及平稳增量过程，即任取120,n t t t n N <<<<∈,

1211()(0),()(),,()()n n N t N N t N t N t N t ----相互独立；