【2019年整理】高中数学课件直线与圆的方程的应用

不改变航线时，不会受到台风的影响.
【互动探究】题1中,条件不变,试求水面上升1m后,水面的宽.
【解析】如图所示,以圆拱顶为原点建立如图所示的坐标系, 设圆心为C,水面所在弦的端点为A,B,则由已知得A(6,-2), B(-6,-2),设圆的半径为r,则C(0,-r). 即圆的方程为x2+(y+r)2=r2①, 将点A的坐标(6,-2)代入方程①得r=10, 所以圆的方程为x2+(y+10)2=100② 当水面上升1m后,可设A′的坐标为(x0,-1)(x0>0), 将A′的坐标代入方程②得x0= 1,9 故水面上升1m后,水面宽为2x0=219 (m).
③式就是直线EF的方程，设CD的中点为H′,其坐标为
(x1, y2)1,将H′代入③式，得
2x12 2y1
y1 2
1
x12
2x12 y12 1 x12 x12 y12 1 0,
即H′在直线EF上，所以EF平分CD.
2.如图，以O为原点，以直线BC为x轴，线段BC的垂直平分线
为y轴建立直角坐标系，则B(-m,0),
2.如图所示，以台风中心为原点O，
东西方向为x轴，建立如图所示的
坐标系，其中，取10 km为1个长度
单位，这样，受台风影响的圆形区
域所对应的圆的方程为x2+y2=9.轮
船航线所在直线l的方程为4x+7y-28=0，问题转化为圆O与直
线l有无公共点问题，由于d
|
0
0 65
28所| 以3.5这＞3艘，轮船
C(m,0),P(-n,0),Q(n,0).
1
设A(x,y)，因为|OA|=2 |BC|=|m|=m， 所以点A在圆x2+y2=m2(除B,C两点)上, 所以|AP|2+|AQ|2+|PQ|2=(x+n)2+y2+(x-n)2+y2+(2n)2 =2x2+2y2+6n2=2m2+6n2(定值).
【技法点拨】用坐标法解决平面几何问题的基本思想及首要 任务 (1)用坐标法解决平面几何问题的基本思想就是用代数的方法 解决几何问题,而建立它们联系的主要工具就是平面直角坐标 系. (2)首要任务是：建立适当的平面直角坐标系,用坐标和方程表 示相应的几何元素将平面几何问题转化为代数问题.
【技法点拨】求解直线与圆的方程的实际应用问题的一般解 题步骤 (1)认真审题,明确题意. (2)建立平面直角坐标系,用方程表示直线和圆,从而在实际问 题中建立直线与圆的方程. (3)利用直线与圆的方程的有关知识求解问题. (4)把代数结果还原为实际问题的解.
提醒：直线与圆的方程应用的关注点 ①建立不同的坐标系,对解决问题有直接影响. ②建系时一般将圆心放在坐标原点或坐标轴上,方程较简单.
设圆的半径为r,则C(0,-r),即圆的方程为x2+(y+r)2=r2.① 将点A的坐标(6,-2)代入方程①,解得r=10. 所以圆的方程为x2+(y+10)2=100.② 当水面下降1m后,可设点A′的坐标为(x0,-3)(x0>0),将A′的 坐标(x0,-3)代入方程②,求得x0= 5.1所以,水面下降1m后, 水面宽为2x0=2 51 (m). 答案：2 51
【解题指南】1.解答本题可先建立适当的坐标系求出圆拱桥 所在圆的标准方程,然后结合图形求出水面下降1m后的水面 宽度. 2.建立适当的坐标系,求出受台风影响的圆形区域所对应的圆 的方程及轮船航线所在直线l的方程,然后借助直线与圆的位置 关系判断轮船是否会受到台风的影响.
【解析】1.如图所示,以圆拱拱顶为坐 标原点,以过拱顶的竖直直线为y轴,建 立直角坐标系,设圆心为C,水面所在弦 的端点为A,B,则由已知得A(6,-2), B(-6,-2).
最高高度,即不得超过3.6米.
类型 二 坐标法在平面几何中的应用 试着解答下列题目,体会用坐标法解决平面几何问题的基
本思想及首要任务. 1.如图所示,在圆O上任取C点为圆心, 作一圆与圆O的直径AB相切于点D,圆C 与圆O交于点E,F,求证：EF平分CD.
2.已知Rt△ABC的斜边BC为定长2m,以斜边的中点O为圆心作直 径为定长2n(n>m)的圆,直线BC交此圆于P,Q两点,求证： |AP|2+|AQ|2+|PQ|2为定值.
【拓展延伸】建立直角坐标系应遵循的一般原则 (1)原点取在定点,坐标轴取定直线或定线段所在的直线或图形 的对称轴. (2)尽量利用图形的对称性. (3)设出所需点的坐标时,能使所用的字母尽量少.用坐标法证 题时,不能把一般情况视为特殊情况.
4.2.3 直线与圆的方程的应用
类型 一 直线与圆的方程的实际应用
尝试解答下列直线与圆的方程的应用问题,试总结解直线
与圆的方程的实际应用问题的一般步骤.
1.(2013·成都高一检测)如图所示,
一座圆拱桥,当水面在某位置时,拱
顶离水面2m,水面宽12m,当水面下
降1m后,水面宽为
m.
2.一艘轮船在沿直线返回港口的途中,接到气象台的台风预报： 台风中心位于轮船正西70km处,受影响的范围是半径为30km的 圆形区域.(假设台风中心不动)已知港口位于台风中心正北 40km处,如果这艘轮船不改变航线,那么它是否会受到台风的 影响?
【变式训练】一辆卡车宽2.7米，要经过一个半径为4.5米的
半圆形隧道(双车道，不得违章)，则这辆卡车的平顶车厢厢
顶距离地面的高度不得超过( )
A.1.4米
B.3.0米
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C.3.6米
D.4.5米
【解析】选C.如图所示,当OC=2.7米时, CD OD2 OC2 = 34.6.5(2米 2).72
即此时即为平顶车厢厢顶距离地面的
【解题指南】1.由题意建立平面直角坐标系,将平面几何问题 转化为解析几何知识求解. 2.以O为坐标原点,BC所在直线为x轴建立坐标系,由题意求出 有关点的坐标并借助两点间距离公式,证明其为定值.
【证明】1.取圆O的直径AB所在直线 为x轴,圆心O为坐标原点,建立平面 直角坐标系,如图所示,设圆O的方程 为x2+y2=1①, EF与CD相交于H，令C(x1,y1),则可得圆C的方程 (x-x1)2+(y-y1)2=y12 ，即x2 y2 2x1x =20y1②y , x12 ①-②得 2x1x 2y1y ③1，x12 0