基本不等式知识点归纳
基本不等式知识点归纳
基本不等式知识点总结向量不等式：注意： a b 、同向或有0⇔||||||a b a b +=+≥||||||||a b a b -=-； a b 、反向或有0⇔||||||a b a b -=+≥||||||||a b a b -=+； a b 、不共线⇔||||||||||||a b a b a b -<±<+.这些和实数集中类似代数不等式：,a b 同号或有0||||||||||||a b a b a b a b ⇔+=+-=-≥； ,a b 异号或有0||||||||||||a b a b a b a b ⇔-=+-=+≥.绝对值不等式： 123123a a a a a a ++++≤双向不等式：a b a b a b -±+≤≤左边当0(0)ab ≤≥时取得等号,右边当0(0)ab ≥≤时取得等号.放缩不等式：①00a b a m >>>>，,则b m b b ma m a a m-+<<-+. 说明：b b m a a m+<+0,0a b m >>>,糖水的浓度问题. 拓展：，则，，000>>>>n m b a ba nb n a m a m b a b <++<<++<1. ②,,a bc R +∈,b d ac <,则b bd da a c c+<<+； ③n N +∈<< ④,1n N n +∈>,21111111n n n n n-<<-+-. ⑤ln 1x x -≤(0)x >,1xe x +≥()x R ∈.函数()(0)bf x ax a b x=+>、图象及性质1函数()0)(>+=b a xbax x f 、图象如图：2函数()0)(>+=b a xb ax x f 、性质：①值域：),2[]2,(+∞--∞ab ab ；②单调递增区间：(,-∞,)+∞；单调递减区间：(0,,[0). 基本不等式知识点总结重要不等式1、和积不等式：,a b R ∈⇒222a b ab +≥当且仅当a b =时取到“=”．变形：①222()22a b a b ab ++≤≤当a = b 时,222()22a b a b ab ++==注意：(,)2a b a b R ++∈,2()(,)2a b ab a b R +∈≤ 2、均值不等式：两个正数b a 、的调和平均数、几何平均数、算术平均数、均方根之间的关系,即“平方平均≥算术平均≥几何平均≥调和平均”.若0x >,则12x x +≥ 当且仅当1x =时取“=”; 若0x <,则12x x+≤- 当且仅当1x =-时取“=”若0x ≠,则11122-2x x x xxx+≥+≥+≤即或 当且仅当b a =时取“=”.若0>ab ,则2≥+ab ba 当且仅当b a =时取“=”若0ab ≠,则22-2a b a b a bb a b a b a+≥+≥+≤即或 当且仅当b a =时取“=” 3、含立方的几个重要不等式a 、b 、c 为正数：3333a b c abc ++≥0a b c ++>等式即可成立,时取等或0=++==c b a c b a ；不等式的变形在证明过程中或求最值时,有广泛应用,如：当0>ab 时,ab b a 222≥+同时除以ab 得2≥+b a a b 或ba ab -≥-11; ,,b a 均为正数,b a ba -≥22八种变式： ①222b a ab +≤ ； ②2)2(b a ab +≤； ③2)2(222b a b a +≤+ ④)(222b a b a +≤+；⑤若b>0,则b a b a -≥22；⑥a>0,b>0,则ba b a +≥+411；⑦若a>0,b>0,则ab b a 4)11(2≥+； ⑧ 若0≠ab ,则222)11(2111b a ba +≥+; 上述八个不等式中等号成立的条件都是“b a =”;最值定理积定和最小①,0,x y x y >+≥由若积()xy P =定值,则当x y =时和x y +有最小值和定积最大②,0,x y x y >+≥由若和()x y S +=定值,则当x y =是积xy 有最大值214s .推广：已知R y x ∈,,则有xy y x y x 2)()(22+-=+.1若积xy 是定值,则当||y x -最大时,||y x +最大；当||y x -最小时,||y x +最小.2若和||y x +是定值,则当||y x -最大时,||xy 最小；当||y x -最小时,||xy 最大.③已知,,,R a x b y +∈,若1ax by +=,则有则的最小值为：21111()()2 ()by axax by a b a b ab a b x y x y x y+=++=+++++=+≥④已知,若则和的最小值为：①.②应用基本不等式求最值的“八种变形技巧”：⑴凑系数乘、除变量系数.例1.当 04x <<时,求函的数(82)y x x =-最大值.⑵凑项加、减常数项：例2.已知54x <,求函数1()4245f x x x =-+-的最大值.⑶调整分子：例3.求函数2710()(1)1x x f x x x ++=≠-+的值域； ⑷变用公式：基本不等式2a b ab +≥有几个常用变形2222a b a b ++≥,222()22a b a b ++≥不易想到,应重视；例4.求函数152152()22y x x x =--<<的最大值；⑸连用公式：例5.已知0a b >>,求216()y a b a b =+-的最小值；⑹对数变换：例6.已知1,12x y >>,且xy e =,求ln (2)yt x =的最大值；⑺三角变换：例7.已知20y x π<<≤,且tan 3tan x y =,求t x y =-的最大值；⑻常数代换逆用条件：例8.已知0,0a b >>,且21a b +=,求11t a b=+的最小值. “单调性”补了“基本不等式”的漏洞： ⑴平方和为定值若22x y a +=a 为定值,0a ≠,可设,,x a y a αα==,其中02απ<≤.①(,)2)4f x y x y a a a πααα=+==+在15[0,],[,2)44πππ上是增函数,在15[,]44ππ上是减函数； ②1(,)sin 22g x y xy a α==在1357[0,],[,],[,2)4444πππππ上是增函数,在1357[,],[,]4444ππππ上是减函数；③11(,)x y m x y x yxy +=+==.令sin cos )4t πααα=+=+,其中[1)(1,1)(1,2]t ∈--.由212sincos t αα=+,得22sin cos 1t αα=-,从而2(,)1)m x y t t==-在[1)(1,1)(1,2]--上是减函数. ⑵和为定值若x y b +=b 为定值,0b ≠,则.y b x =-①2(,)g x y xy x bx ==-+在(,]2b -∞上是增函数,在[,)2b +∞上是减函数；②211(,)x y bm x y x y xy x bx +=+==-+.当0b >时,在(,0),(0,]2b -∞上是减函数,在[,),(,)2b b b +∞上是增函数；当0b <时,在(,),(,]2b b b -∞上是减函数,在[,0),(0,)2b+∞上是增函数. ③2222(,)22n x y x y x bx b =+=++在(,]2b -∞上是减函数,在[,)2b +∞上是增函数；⑶积为定值若xy c =c为定值,0c ≠,则.c y x= ①(,)cf x y x y x x=+=+.当0c >时,在[上是减函数,在(,)-∞+∞上是增函数；当0c <时,在(,0),(0,)-∞+∞上是增函数；②111(,)()x y cm x y x x y xy c x+=+==+.当0c >时,在[上是减函数,在(,)-∞+∞上是增函数；当0c <时,在(,0),(0,)-∞+∞上是减函数；③222222(,)()2c c n x y x y x x c x x=+=+=+-在(,-∞上是减函数,在()+∞上是增函数.⑷倒数和为定值若112x y d +=d 为定值,111,,x d y ,则.c y x=成等差数列且均不为零,可设公差为z ,其中1z d≠±,则1111,,z z x d y d =-=+得,.11d d x y dz dz ==-+. ①222()1d f x x y d z =+=-.当0d >时,在11(,),(,0]d d -∞--上是减函数,在11[0,),(,)d d+∞上是增函数；当0d <时,在11(,),(,0]d d -∞上是增函数,在11[0,),(,)d d --+∞上减函数；②222(,).1d g x y xy d z ==-.当0d >时,在11(,),(,0]d d -∞--上是减函数,在11[0,),(,)d d+∞上是增函数；当0d <时,在11(,),(,0]d d -∞上是减函数,在11[0,),(,)d d --+∞上是增函数；③222222222(1)(,).(1)d d z n x y x y d z +=+=-.令221t d z =+,其中1t ≥且2t ≠,从而22222(,)4(2)4d t d n x y t t t==-+-在[1,2)上是增函数,在(2,)+∞上是减函数.。
基本不等式知识点和基本题型
基本不等式知识点和基本题型基本不等式专题辅导一、知识点总结1、基本不等式原始形式若$a,b\in R$，则$a+b\geq 2ab$，其中$a^2+b^2$为定值。
2、基本不等式一般形式（均值不等式）若$a,b\in R$，则$\frac{a+b}{2}\geq \sqrt{ab}$。
3、基本不等式的两个重要变形若$a,b\in R$，则$a+b\geq 2\sqrt{ab}$，其中$\frac{a+b}{2}\leq \sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}$。
总结：当两个正数的积为定值时，它们的和有最小值；当两个正数的和为定值时，它们的积有最小值。
特别说明：以上不等式中，当且仅当$a=b$时取“=”。
4、求最值的条件：“一正，二定，三相等”。
5、常用结论若$x>1$，则$\frac{x+1}{2}>\sqrt{x}$（当且仅当$x=1$时取“=”）。
若$x<1$，则$\frac{x+1}{2}<-\frac{1}{x}$（当且仅当$x=-1$时取“=”）。
若$ab>0$，则$\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\geq 2$（当且仅当$a=b$时取“=”）。
若$a,b\in R$，则$a^2+b^2\geq 2ab$，$\frac{a+b}{2}\geq \frac{2ab}{a+b}$，$\frac{a+b}{2}\leq \sqrt{a^2+b^2}$。
6、柯西不等式若$a,b\in R$，则$(a^2+b^2)(1+1)\geq (a+b)^2$。
题型分析题型一：利用基本不等式证明不等式1、设$a,b$均为正数，证明不等式：$ab\geq\frac{a^2+b^2}{2}$。
2、已知$a,b,c$为两两不相等的实数，求证：$a^2+b^2+c^2\geq ab+bc+ca$。
3、已知$a+b+c=1$，求证：$a^2+b^2+c^2+\frac{9}{4}\geq 2(ab+bc+ca)$。
(完整版)高考数学-基本不等式(知识点归纳)
高中数学基本不等式的巧用一．基本不等式1.（1）若R b a ∈,，则ab b a 222≥+ (2)若R b a ∈,，则222b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”）2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2(2)若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时取“=”） (3)若*,R b a ∈，则22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0x >，则12x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”）;若0x <，则12x x+≤- (当且仅当1x =-时取“=”） 若0x ≠，则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当b a =时取“=”） 若0ab ≠，则22-2a b a b a bb a b a b a+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 4.若R b a ∈,，则2)2(222b a b a +≤+（当且仅当b a =时取“=”） 注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． （2）求最值的条件“一正，二定，三取等” (3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用． 应用一：求最值例1：求下列函数的值域 （1）y ＝3x 2＋12x 2 （2）y ＝x ＋1x解：（1）y ＝3x 2＋12x2 ≥23x 2·12x2 ＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞）（2）当x ＞0时，y ＝x ＋1x≥2x ·1x＝2； 当x ＜0时， y ＝x ＋1x = －（－ x －1x ）≤－2x ·1x=－2∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞）解题技巧： 技巧一：凑项 例1：已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值。
基本不等式知识点
基本不等式知识点基本不等式知识点1、不等式的基本性质 ①（对称性）a b b a >⇔> ②（传递性）,a b b c a c >>⇒> ③（可加性）a b a c b c >⇔+>+ （同向可加性）d b c a d c b a +>+⇒>>, （异向可减性）db c a dc b a ->-⇒<>,④（可积性）bc ac c b a >⇒>>0, bc ac c b a <⇒<>0,⑤（同向正数可乘性）0,0a b c d ac bd >>>>⇒> （异向正数可除性）0,0a b a b c d c d>><<⇒>⑥（平方法则）0(,1)nna b a b n N n >>⇒>∈>且⑦（开方法则）0,1)a b n N n >>⇒∈>且⑧（倒数法则）ba b a b a b a 110;110>⇒<<<⇒>>2、几个重要不等式①()222a b ab a b R +≥∈，,（当且仅当a b =时取""=号）. 变形公式：22.2a b ab +≤②（基本不等式）2a b+≥ ()a b R +∈，,（当且仅当a b=时取到等号）.变形公式：a b +≥2.2a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭①平均不等式：1122a b a b --+≤≤≤+，,a b R +∈（，当且仅当a b =时取""=号）.（即调和平均≤几何平均≤算术平均≤平方平均）. 变形公式： 222;22a b a b ab ++⎛⎫≤≤⎪⎝⎭222().2a b a b ++≥②幂平均不等式：222212121...(...).n n a a a a a a n+++≥+++③二维形式的三角不等式：≥1122(,,,).x y x y R ∈④二维形式的柯西不等式：22222()()()(,,,).a b c d ac bd a b c d R ++≥+∈当且仅当ad bc =时，等号成立.⑤三维形式的柯西不等式：2222222123123112233()()().a a ab b b a b a b a b ++++≥++⑥一般形式的柯西不等式：2222221212(...)(...)n n a a a b b b ++++++21122(...).n n a b a b a b ≥+++⑦向量形式的柯西不等式：设,αβ是两个向量，则,αβαβ⋅≤当且仅当β是零向量，或存在实数k ，使k αβ=时，等号成立. ⑧排序不等式（排序原理）： 设1212...,...n na aa b b b ≤≤≤≤≤≤为两组实数.12,,...,nc c c 是12,,...,nb b b的任一排列，则12111122......n n n n n a b a b a b a c a c a c -+++≤+++1122....n n a b a b a b ≤+++（反序和≤乱序和≤顺序和），当且仅当12...na a a ===或12...nb bb ===时，反序和等于顺序和.⑨琴生不等式:（特例:凸函数、凹函数） 若定义在某区间上的函数()f x ,对于定义域中任意两点1212,(),x x x x ≠有12121212()()()()()().2222x x f x f x x x f x f x f f ++++≤≥或则称f(x)为凸（或凹）函数.4、不等式证明的几种常用方法常用方法有：比较法（作差，作商法）、综合法、分析法；其它方法有：换元法、反证法、放缩法、构造法，函数单调性法，数学归纳法等. 常见不等式的放缩方法： ①舍去或加上一些项，如22131()();242a a ++>+②将分子或分母放大（缩小），如211,(1)k k k <- 211,(1)k k k >+=⇒<*,1)k N k >∈>等.5、一元二次不等式的解法求一元二次不等式20(0)ax bx c ++><或2(0,40)a b ac ≠∆=->解集的步骤：一化：化二次项前的系数为正数. 二判：判断对应方程的根. 三求：求对应方程的根. 四画：画出对应函数的图象.五解集：根据图象写出不等式的解集.规律：当二次项系数为正时，小于取中间，大于取两边.6、高次不等式的解法：穿根法.分解因式，把根标在数轴上，从右上方依次往下穿（奇穿偶切），结合原式不等号的方向，写出不等式的解集.7、分式不等式的解法：先移项通分标准化，则()0()()0()()()0()0()0()f x f x g x g x f x g x f x g x g x >⇔⋅>⋅≥⎧≥⇔⎨≠⎩ （<≤“或”时同理）规律：把分式不等式等价转化为整式不等式求解.8、无理不等式的解法：转化为有理不等式求解2()0(0)()f x a a f x a≥⎧>>⇔⎨>⎩2()0(0)()f x a a f x a≥⎧<>⇔⎨<⎩⑶2()0()0()()0()0()[()]f x f x g x g x g x f x g x >⎧≥⎧⎪>⇔≥⎨⎨<⎩⎪>⎩或⑷2()0()()0()[()]f x g x g x f x g x ≥⎧⎪<⇔>⎨⎪<⎩⑸()0()0()()f x g x f x g x ≥⎧⎪>⇔≥⎨⎪>⎩规律：把无理不等式等价转化为有理不等式，诀窍在于从“小”的一边分析求解. 9、指数不等式的解法： ⑴当1a >时,()()()()f xg x a a f x g x >⇔> ⑵当01a <<时,()()()()f xg x a a f x g x >⇔<规律：根据指数函数的性质转化. 10、对数不等式的解法 ⑴当1a >时,()0log ()log ()()0()()a a f x f x g x g x f x g x >⎧⎪>⇔>⎨⎪>⎩⑵当01a <<时, ()0log ()log ()()0.()()a a f x f x g x g x f x g x >⎧⎪>⇔>⎨⎪<⎩规律：根据对数函数的性质转化. 11、含绝对值不等式的解法： ⑴定义法：(0).(0)a a a a a ≥⎧=⎨-<⎩⑵平方法：22()()()().f xg x f x g x ≤⇔≤⑶同解变形法，其同解定理有： ①(0);x a a x a a ≤⇔-≤≤≥ ②(0);x a x a x a a ≥⇔≥≤-≥或 ③()()()()()(()0)f xg x g x f x g x g x ≤⇔-≤≤≥④()()()()()()(()0)f xg x f x g x f x g x g x ≥⇔≥≤-≥或规律：关键是去掉绝对值的符号.12、含有两个（或两个以上）绝对值的不等式的解法：规律：找零点、划区间、分段讨论去绝对值、每段中取交集，最后取各段的并集. 13、含参数的不等式的解法 解形如2axbx c ++>且含参数的不等式时，要对参数进行分类讨论，分类讨论的标准有： ⑴讨论a 与0的大小； ⑵讨论∆与0的大小； ⑶讨论两根的大小. 14、恒成立问题 ⑴不等式2ax bx c ++>的解集是全体实数（或恒成立）的条件是：①当0a =时0,0;b c ⇒=>②当0a ≠时00.a >⎧⇒⎨∆<⎩⑵不等式20ax bx c ++<的解集是全体实数（或恒成立）的条件是： ①当0a =时0,0;b c ⇒=< ②当0a ≠时00.a <⎧⇒⎨∆<⎩⑶()f x a <恒成立max();f x a ⇔< ()f x a≤恒成立max();f x a ⇔≤⑷()f x a >恒成立min();f x a ⇔>()f x a≥恒成立min().f x a ⇔≥15、线性规划问题 常见的目标函数的类型： ①“截距”型：;z Ax By =+ ②“斜率”型：y z x=或;y bz x a-=-③“距离”型：22z x y =+或z =22()()z x a y b =-+-或z =在求该“三型”的目标函数的最值时，可结合线性规划与代数式的几何意义求解，从而使问题简单化.。
高三数学知识点总结3：基本不等式
基本不等式1.基本不等式：2b a ab +≤.（一正、二定、三相等） （1）基本不等式成立的条件：0,0≥≥b a .（2）等号成立的条件：当且仅当b a =时取等号. 2.算术平均数与几何平均数设,0,0>>b a 则b a ,的算术平均数为,2b a +几何平均数为,ab 基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数大于或等于它的几何平均数.3.几个重要的不等式（1）),(222R b a ab b a ∈≥+；（2）)0,0(2≥≥≥+b a ab b a ；（3）),(4)(2R b a b a ab ∈+≤；（4）222)()(2b a b a +≥+（R b a ∈,） 4.利用基本不等式求最值问题已知,0,0>>y x 则（1）如果积xy 是定值,p 那么当且仅当y x =时，y x +有最小值是.2p （2）如果和y x +是定值,s 那么当且仅当y x =时，xy 有最大值是.4s 2注：在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正（各项均为正），二定（积或和为定值），三相等（等号能否取得）”，若忽略了某个条件，就会出现错误.解答题用基本不等式求最值一定要说明何时取等号，不说明会扣分。
如果多次用基本不等式求最值，必须保持每次取“=”的一致性.5.注意：正负要判断，等号要考虑例（1）已知,45<x 函数54124-+-=x x y 的最大值为_________答案：1. （2）函数4522++=x x y 的最小值是_________答案：.25 6.“1”的代换问题：例（3）设,32,0,0=+>>b a b a 则11a b+最小值是 答案：3223+. （4）已知P 是ABC ∆的边BC 上的任一点，且满足,,,R y x AC y AB x AP ∈+=则xy y x +4的最小值是 .答案：9.7.“y x +”与“xy ”的互相转化例（5）若正实数y x ,满足,62++=y x xy 则xy 的最小值是_________答案：18.（6）设y x ,为实数，若,1422=++xy y x 则y x +2的最大值是_________答案：.5102 8.巧妙运用换元法 例（7）设y x ,是正实数，且,1=+y x 则1222+++y y x x 的最小值是_________答案：41. （8）若,0,0>>b a 且,11121=+++b b a 则b a 2+的最小值为________答案：.321+ 9.灵活使用消元法例（9）已知正实数y x ,满足,42=++y x xy 则y x +的最小值为_____答案：62.3-（10）若ABC ∆的内角满足,sin 2sin 2sin C B A =+则C cos 的最小值是_____答案：.426-。
高中数学《基本不等式》知识点归纳
例1.已知不等式 ，（1）求该不等式中x的集合；（2）若1不是不等式的解，0是不等式的解，求k的取值范围。
解：（1）
当k>1时，解集为
当时 ，解集为
当k<1时，解集为
（2）
所以
小结：当一次项系数为0时，，不等式的解集为R（不等式成立时）或 （不等式不成立时）。
典型例题精选
题型一 对公式的简单运用
题型二：条件最值问题
【小结】条件最值的求解通常有两种方法：一是消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解；二是将条件灵活变形，利用常数“1”代换的方法构造和或积为常数的式子，然后利用基本不等式求解最值．
【小结】看好形式上的特点，分子分母同时除以自变量x，或通过其他变形出现基本不等式的可用情况，如积为定值的形式．需要注意的是等号成立的条件，如果不成立，则需转化为对勾函数的知识，运用求导并结合其图像解题．
即
∴
解得
从而
即
∴不等式的解集是
4、数形结合思想
例4.设a<0为常数，解不等式 。
解：不等式转化为
令函数 和
其图象如图所示
由
解得 （舍去）
∴两个函数图象的交点为
由图知，当 时，函数 的图象位于函数 的图象的上方
∴不等式的解集是
小结：在不等式的求解过程中，换元法和图象法是常用的技巧。
通过换元，可将较复杂的不等式化归为较简单的不等式或基本不等式，
例6. 解不等式
分析：本题若直接将左边通分采用解高次不等式的思维来做，运算较繁杂。
但注意到 ，且题中出现 ，
启示我们构造函数 去投石问路。
解：将原不等式化为
令
第7讲 基本不等式(知识点串讲)(解析版)
解得x＝1或3.又∵x>2，∴x＝3，即a等于3时，函数f(x)在x＝3处取得最小值．]
练习、(2019·山东济宁月考)已知0<x<1，则x(3－3x)取得最大值时x的值为()
A． B．
C． D．
【答案】B[∵0<x<1，∴x(3－3x)＝3x(1－x)≤3 ＝ .当且仅当x＝1－x，即x＝ 时，“＝”成立．]
练习、(2019·广东梅州月考)设a，b，c均为正数，满足a－2b＋3c＝0，则 的最小值是________.
【答案】3[∵a－2b＋3c＝0，∴b＝ ，∴ ＝ ≥ ＝3，当且仅当a＝3c时取“＝”．]
【知识梳理】
6、用基本不等式求实际应用题的三个注意点
(1)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数．
(1)求S关于x的函数关系式；
(2)求S的最大值．
解(1)由题设，得S＝(x－8) ＝－2x－ ＋916，x∈(8，450)．
(2)因为8<x<450，
所以2x＋ ≥2 ＝240，
当且仅当x＝60时等号成立，从而S≤676.
故当矩形温室的室内长为60 m时，三块种植植物的矩形区域的总面积最大，最大为676 m2.
(2)根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值．
(3)在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解．
【考点精炼】
考点四、基本不等式的实际应用
例4、(2019·山东聊城月考)某化工企业2018年年底将投入100万元，购入一套污水处理设备．该设备每年的运转费用是0.5万元，此外每年都要花费一定的维护费，第一年的维护费为2万元，由于设备老化，以后每年的维护费都比上一年增加2万元．设该企业使用该设备x年的年平均污水处理费用为y(单位：万元)．
不等式知识点总结
不等式知识点总结一、不等式的基本概念。
1. 不等式的定义。
- 用不等号（＞、≥、＜、≤、≠）表示不等关系的式子叫做不等式。
例如：3x + 2>5，x - 1≤slant2x等。
2. 不等式的解与解集。
- 不等式的解：使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解。
例如对于不等式x+1 > 0，x = 1是它的一个解，因为1 + 1>0成立。
- 不等式的解集：一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。
例如不等式x - 2>0的解集是x>2，这表示所有大于2的数都是这个不等式的解。
3. 解不等式。
- 求不等式解集的过程叫做解不等式。
例如解不等式2x+3 < 7，通过移项可得2x<7 - 3，即2x<4，再两边同时除以2得到x < 2，这个过程就是解不等式。
二、不等式的基本性质。
1. 性质1（对称性）- 如果a>b，那么b < a；如果b < a，那么a>b。
例如5>3，那么3 < 5。
2. 性质2（传递性）- 如果a>b，b>c，那么a>c。
例如7>5，5>3，那么7>3。
3. 性质3（加法法则）- 如果a>b，那么a + c>b + c。
例如3>1，那么3+2>1 + 2，即5>3。
- 推论：如果a>b，c>d，那么a + c>b + d。
例如4>2，3>1，那么4 + 3>2+1，即7>3。
4. 性质4（乘法法则）- 如果a>b，c>0，那么ac>bc；如果a>b，c < 0，那么ac < bc。
例如2>1，当c = 3时，2×3>1×3，即6>3；当c=-1时，2×(-1)<1×(-1)，即-2 < - 1。
基本不等式知识点归纳
基本不等式知识点归纳不等式是数学中重要的概念之一，其在代数中应用广泛。
基本的不等式知识点包括一元一次不等式、二元一次不等式、绝对值不等式以及高次不等式等内容。
本文将对这些基本不等式知识点进行归纳总结。
一、一元一次不等式一元一次不等式即只含有一个变量的一次方程，形如ax+b>0或ax+b<0，其中a、b均为已知常数，x为未知变量。
解一元一次不等式的关键是将其转化为等价的简单形式。
具体解法如下：1.当a>0时，将不等式转化为x>-b/a或x<-b/a，即可得到不等式的解集。
令x=-b/a，即x=b/a为关键点，将实数轴分成两个半区间，选取其中一个半区间，即可确定不等式的解集。
2.当a<0时，将不等式转化为x<-b/a或x>-b/a，即可得到不等式的解集。
同样令x=-b/a，即x=b/a为关键点，将实数轴分成两个半区间，选取其中一个半区间，即可确定不等式的解集。
二、二元一次不等式二元一次不等式即含有两个变量的一次方程，形如ax+by>c或ax+by<c，其中a、b、c均为已知常数，x、y为未知变量。
解二元一次不等式的关键是确定不等式的解集。
具体解法如下：1. 将不等式转化为等价的简单形式，即将不等式化为一个以上的不等式。
例如，对于ax+by>c，可以根据a、b的正负情况，分别得到x>c/a、x<c/a、y>c/b和y<c/b四个不等式。
2.根据得到的不等式，确定不等式的解集。
根据不等式的关系，将x、y的解集分别标在坐标平面上，其中各个解集的交集即为该二元一次不等式的解集。
三、绝对值不等式绝对值不等式是含有绝对值的不等式，形如，ax+b，>c或，ax+b，<c，其中a、b、c均为已知常数，x为未知变量。
解绝对值不等式的关键是确定绝对值不等式的情况，然后将其转化为简单的不等式。
具体解法如下：1. 当a>0时，原绝对值不等式可以转化为ax+b>c或ax+b<c的形式。
基本不等式知识点
基本不等式知识点1、不等式的基本性质①（对称性）②（传递性）③（可加性）（同向可加性）（异向可减性）④（可积性）⑤（同向正数可乘性）（异向正数可除性）⑥（平方法则）⑦（开方法则）⑧（倒数法则）2、几个重要不等式①,（当且仅当时取号）. 变形公式：②（基本不等式） ,（当且仅当时取到等号）.变形公式：用基本不等式求最值时（积定和最小，和定积最大），要注意满足三个条件“一正、二定、三相等”.③（三个正数的算术—几何平均不等式）（当且仅当时取到等号）.④（当且仅当时取到等号）.⑤（当且仅当时取到等号）.⑥（当仅当a=b时取等号）（当仅当a=b时取等号）⑦，（其中规律：小于1同加则变大，大于1同加则变小.⑧⑨绝对值三角不等式3、几个著名不等式①平均不等式：，，当且仅当时取号）.（即调和平均几何平均算术平均平方平均）.变形公式：②幂平均不等式：③二维形式的三角不等式：④二维形式的柯西不等式：当且仅当时，等号成立.⑤三维形式的柯西不等式：⑥一般形式的柯西不等式：⑦向量形式的柯西不等式：设是两个向量，则当且仅当是零向量，或存在实数，使时，等号成立.⑧排序不等式（排序原理）：设为两组实数.是的任一排列，则（反序和乱序和顺序和），当且仅当或时，反序和等于顺序和.⑨琴生不等式:（特例:凸函数、凹函数）若定义在某区间上的函数,对于定义域中任意两点有则称f(x)为凸（或凹）函数.4、不等式证明的几种常用方法常用方法有：比较法（作差，作商法）、综合法、分析法；其它方法有：换元法、反证法、放缩法、构造法，函数单调性法，数学归纳法等.常见不等式的放缩方法：①舍去或加上一些项，如②将分子或分母放大（缩小），如等.5、一元二次不等式的解法求一元二次不等式解集的步骤：一化：化二次项前的系数为正数.二判：判断对应方程的根.三求：求对应方程的根.四画：画出对应函数的图象.五解集：根据图象写出不等式的解集.规律：当二次项系数为正时，小于取中间，大于取两边.6、高次不等式的解法：穿根法.分解因式，把根标在数轴上，从右上方依次往下穿（奇穿偶切），结合原式不等号的方向，写出不等式的解集.7、分式不等式的解法：先移项通分标准化，则（时同理）规律：把分式不等式等价转化为整式不等式求解.8、无理不等式的解法：转化为有理不等式求解⑴⑵⑶⑷⑸规律：把无理不等式等价转化为有理不等式，诀窍在于从“小”的一边分析求解.9、指数不等式的解法：⑴当时,⑵当时,规律：根据指数函数的性质转化.10、对数不等式的解法⑴当时,⑵当时,规律：根据对数函数的性质转化.11、含绝对值不等式的解法：⑴定义法：⑵平方法：⑶同解变形法，其同解定理有：①②③④规律：关键是去掉绝对值的符号.12、含有两个（或两个以上）绝对值的不等式的解法：规律：找零点、划区间、分段讨论去绝对值、每段中取交集，最后取各段的并集.13、含参数的不等式的解法解形如且含参数的不等式时，要对参数进行分类讨论，分类讨论的标准有：⑴讨论与0的大小；⑵讨论与0的大小；⑶讨论两根的大小.14、恒成立问题⑴不等式的解集是全体实数（或恒成立）的条件是：①当时②当时⑵不等式的解集是全体实数（或恒成立）的条件是：①当时②当时⑶恒成立恒成立⑷恒成立恒成立15、线性规划问题常见的目标函数的类型：①“截距”型：②“斜率”型：或③“距离”型：或或在求该“三型”的目标函数的最值时，可结合线性规划与代数式的几何意义求解，从而使问题简单化.。
《基本不等式》知识点及题型总结
基本不等式 一、考点、热点回顾 1．基本不等式：ab ≤a ＋b 2 (1)基本不等式成立的条件：a >0，b >0.(2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号．2．几个重要的不等式 (1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )．(2)b a ＋a b≥2(a ，b 同号)． (3)ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22 (a ，b ∈R )．(4)a 2＋b 22≥⎝⎛⎭⎫a ＋b 22 (a ，b ∈R )．以上不等式等号成立的条件均为a ＝b .3．算术平均数与几何平均数设a >0，b >0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b 2，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．4．利用基本不等式求最值问题已知x >0，y >0，则(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值2p .(简记：积定和最小)(2)如果和x ＋y 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值p 24.(简记：和定积最大) 知识拓展不等式的恒成立、能成立、恰成立问题(1)恒成立问题：若f (x )在区间D 上存在最小值，则不等式f (x )>A 在区间D 上恒成立⇔f (x )min >A (x ∈D )； 若f (x )在区间D 上存在最大值，则不等式f (x )<B 在区间D 上恒成立⇔f (x )max <B (x ∈D )．(2)能成立问题：若f (x )在区间D 上存在最大值，则在区间D 上存在实数x 使不等式f (x )>A 成立⇔f (x )max >A (x ∈D )； 若f (x )在区间D 上存在最小值，则在区间D 上存在实数x 使不等式f (x )<B 成立⇔f (x )min <B (x ∈D )．(3)恰成立问题：不等式f (x )>A 恰在区间D 上成立⇔f (x )>A 的解集为D ；不等式f (x )<B 恰在区间D 上成立⇔f (x )<B 的解集为D .二、典型例题例1、设0a b ，则下列不等式中正确的是（ ）A ．a ＜b ＜＜ B. a ＜＜＜bC ．a ＜＜b ＜ D ．＜a ＜＜b变式训练1、已知等比数列的各项均为正数，公比0＜q ＜1，设392a a P +=，Q =，则a 3，a 9，P 与Q 的大小关系是（ ）A ．a 3＞P ＞Q ＞a 9 B. a 3＞Q ＞P ＞a 9C ．a 9＞P ＞a 3＞QD ．P ＞Q ＞a 3＞a 9考点二、利用基本不等式求最值例2、(1)已知0<x <1，则x (4－3x )取得最大值时x 的值为________．(2)函数y ＝x 2＋2x －1(x >1)的最小值为________． （3）设a ＞0，b ＞0，且21a b +=，则11a b+的最小值为 。
(完整版)基本不等式知识点
基本不等式知识点1、不等式的基本性质①（对称性）a b b a >⇔>②（传递性）,a b b c a c >>⇒>③（可加性）a b a c b c >⇔+>+（同向可加性）d b c a d c b a +>+⇒>>,（异向可减性）d b c a d c b a ->-⇒<>,④（可积性）bc ac c b a >⇒>>0,bc ac c b a <⇒<>0,⑤（同向正数可乘性）0,0a b c d ac bd >>>>⇒> （异向正数可除性）0,0a b a b c d c d >><<⇒>⑥（平方法则）0(,1)n n a b a b n N n >>⇒>∈>且⑦（开方法则）0,1)a b n N n >>∈>且 ⑧（倒数法则）b a b a b a b a 110;110>⇒<<<⇒>>2、几个重要不等式 ①()222a b ab a b R +≥∈，,（当且仅当a b =时取""=号）. 变形公式：22.2a b ab +≤②（基本不等式）2a b +≥()a b R +∈，,（当且仅当a b =时取到等号）.变形公式：a b +≥2.2a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭ 用基本不等式求最值时（积定和最小，和定积最大），要注意满足三个条件“一正、二定、三相等”.③（三个正数的算术—几何平均不等式）3a b c ++≥()a b c R +∈、、（当且仅当a b c ==时取到等号）.④()222a b c ab bc ca a b R ++≥++∈，（当且仅当a b c ==时取到等号）.⑤3333(0,0,0)a b c abc a b c ++≥>>> （当且仅当a b c ==时取到等号）. ⑥0,2b a ab a b >+≥若则（当仅当a=b 时取等号）0,2b a ab a b <+≤-若则（当仅当a=b 时取等号） ⑦b a n b n a m a m b a b <++<<++<1，（其中000)a b m n >>>>，，规律：小于1同加则变大，大于1同加则变小. ⑧220;a x a x a x a x a >>⇔>⇔<->当时，或22.x a x a a x a <⇔<⇔-<< ⑨绝对值三角不等式.a b a b a b -≤±≤+3、几个著名不等式①平均不等式：1122a b a b --+≤≤≤+，,a b R +∈（，当且仅当a b =时取""=号）.（即调和平均≤几何平均≤算术平均≤平方平均）.变形公式：222;22a b a b ab ++⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭ 222().2a b a b ++≥ ②幂平均不等式：222212121...(...).n n a a a a a a n +++≥+++③二维形式的三角不等式：≥1122(,,,).x y x y R ∈④二维形式的柯西不等式：22222()()()(,,,).a b c d ac bd a b c d R ++≥+∈当且仅当ad bc =时，等号成立.⑤三维形式的柯西不等式：2222222123123112233()()().a a ab b b a b a b a b ++++≥++⑥一般形式的柯西不等式： 2222221212(...)(...)n n a a a b b b ++++++21122(...).n n a b a b a b ≥+++ ⑦向量形式的柯西不等式：设,αβ是两个向量，则,αβαβ⋅≤当且仅当β是零向量，或存在实数k ，使k αβ=时，等号成立.⑧排序不等式（排序原理）：设1212...,...n n a a a b b b ≤≤≤≤≤≤为两组实数.12,,...,n c c c 是12,,...,n b b b 的任一排列，则12111122......n n n n n a b a b a b a c a c a c -+++≤+++1122....n n a b a b a b ≤+++（反序和≤乱序和≤顺序和），当且仅当12...n a a a ===或12...n b b b ===时，反序和等于顺序和.⑨琴生不等式:（特例:凸函数、凹函数）若定义在某区间上的函数()f x ,对于定义域中任意两点1212,(),x x x x ≠有12121212()()()()()().2222x x f x f x x x f x f x f f ++++≤≥或则称f(x)为凸（或凹）函数.4、不等式证明的几种常用方法 常用方法有：比较法（作差，作商法）、综合法、分析法；其它方法有：换元法、反证法、放缩法、构造法，函数单调性法，数学归纳法等. 常见不等式的放缩方法：①舍去或加上一些项，如22131()();242a a ++>+ ②将分子或分母放大（缩小），如211,(1)kk k <- 211,(1)k k k>+=⇒<*,1)k N k >∈>等.5、一元二次不等式的解法求一元二次不等式20(0)ax bx c ++><或 2(0,40)a b ac ≠∆=->解集的步骤：一化：化二次项前的系数为正数.二判：判断对应方程的根.三求：求对应方程的根.四画：画出对应函数的图象.五解集：根据图象写出不等式的解集.规律：当二次项系数为正时，小于取中间，大于取两边.6、高次不等式的解法：穿根法.分解因式，把根标在数轴上，从右上方依次往下穿（奇穿偶切），结合原式不等号的方向，写出不等式的解集.7、分式不等式的解法：先移项通分标准化，则()0()()0()()()0()0()0()f x f x g x g x f x g x f x g x g x >⇔⋅>⋅≥⎧≥⇔⎨≠⎩ （<≤“或”时同理）规律：把分式不等式等价转化为整式不等式求解.8、无理不等式的解法：转化为有理不等式求解⑴2()0(0)()f x a a f x a ≥⎧>>⇔⎨>⎩⑵2()0(0)()f x a a f x a ≥⎧<>⇔⎨<⎩⑶2()0()0()()0()0()[()]f x f x g x g x g x f x g x >⎧≥⎧⎪>⇔≥⎨⎨<⎩⎪>⎩或⑷2()0()()0()[()]f x g x g x f x g x ≥⎧⎪<⇔>⎨⎪<⎩⑸()0()0()()f x g x f x g x ≥⎧⎪>⇔≥⎨⎪>⎩ 规律：把无理不等式等价转化为有理不等式，诀窍在于从“小”的一边分析求解.9、指数不等式的解法：⑴当1a >时,()()()()f x g x a a f x g x >⇔>⑵当01a <<时,()()()()f x g x a a f x g x >⇔< 规律：根据指数函数的性质转化.10、对数不等式的解法⑴当1a >时, ()0log ()log ()()0()()a a f x f x g x g x f x g x >⎧⎪>⇔>⎨⎪>⎩⑵当01a <<时, ()0log ()log ()()0.()()a a f x f x g x g x f x g x >⎧⎪>⇔>⎨⎪<⎩规律：根据对数函数的性质转化.11、含绝对值不等式的解法： ⑴定义法：(0).(0)a a a a a ≥⎧=⎨-<⎩ ⑵平方法：22()()()().f x g x f x g x ≤⇔≤⑶同解变形法，其同解定理有： ①(0);x a a x a a ≤⇔-≤≤≥ ②(0);x a x a x a a ≥⇔≥≤-≥或 ③()()()()()(()0)f xg x g x f x g x g x ≤⇔-≤≤≥ ④()()()()()()(()0)f x g x f x g x f x g x g x ≥⇔≥≤-≥或规律：关键是去掉绝对值的符号.12、含有两个（或两个以上）绝对值的不等式的解法：规律：找零点、划区间、分段讨论去绝对值、每段中取交集，最后取各段的并集.13、含参数的不等式的解法解形如20ax bx c ++>且含参数的不等式时，要对参数进行分类讨论，分类讨论的标准有： ⑴讨论a 与0的大小；⑵讨论∆与0的大小；⑶讨论两根的大小.14、恒成立问题⑴不等式20ax bx c ++>的解集是全体实数（或恒成立）的条件是： ①当0a =时 0,0;b c ⇒=>②当0a ≠时00.a >⎧⇒⎨∆<⎩ ⑵不等式20ax bx c ++<的解集是全体实数（或恒成立）的条件是：①当0a =时0,0;b c ⇒=<②当0a ≠时00.a <⎧⇒⎨∆<⎩ ⑶()f x a <恒成立max ();f x a ⇔<()f x a ≤恒成立max ();f x a ⇔≤⑷()f x a >恒成立min ();f x a ⇔>()f x a ≥恒成立min ().f x a ⇔≥15、线性规划问题常见的目标函数的类型：①“截距”型：;z Ax By =+ ②“斜率”型：y z x =或;y b z x a -=-③“距离”型：22z x y =+或z = 22()()z x a y b =-+-或z =在求该“三型”的目标函数的最值时，可结合线性规划与代数式的几何意义求解，从而使问题简单化.。
基本不等式知识点梳理
基本不等式1、教学重点：应用数形结合的思想理解不等式ab b a 222≥+，并从不同角度探索不等式2a b ab +≤的证明过程； 通过简单的变形发现基本不等式在最值问题上的作用，并能够进行使用条件辨析及其简单运用。
2、教学难点：基本不等式2a b ab +≤使用限制条件 基本不等式2a b ab +≤等号成立条件 基本不等式在最值问题中的运用3、学生必须掌握的内容：1．重要不等式定理1：如果a ，b ∈R ，那么a 2＋b 2≥2ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立．2．基本不等式(1)定理2：如果a ，b >0，那么2a b ab +≥ ( a ＋b 2≥ab)，当且仅当a ＝b 时，等号成立．(2)定理2的应用：对两个正实数x ，y ，①如果它们的和S 是定值，则当且仅当x ＝y 时，它们的积P 取得最大值，最大值为S 24. ②如果它们的积P 是定值，则当且仅当x ＝y 时，它们的和S 取得最小值，最小值为2P .3．基本不等式ab ≤a ＋b 2的几何解释如图，AB 是⊙O 的直径，C 是AB 上任意一点，DE 是过C 点垂直AB 的弦．若AC ＝a ，BC ＝b ，则AB ＝a ＋b ，⊙O 的半径R ＝a ＋b 2，Rt △ACD ∽Rt △DCB ，CD 2＝AC ·BC ＝ab ，CD ＝ab ，CD ≤R ⇒ab ≤a ＋b 2，当且仅当C 点与O 点重合时，CD ＝R ＝AB 2，即ab ＝a ＋b 2.4．几个常用的重要不等式(1)如果a ∈R ，那么a 2≥0，当且仅当a ＝0时取等号；(2)如果a ，b >0，那么ab ≤（a ＋b ）24，当且仅当a ＝b 时等号成立． (3)如果a >0，那么a ＋1a ≥2，当且仅当a ＝1时等号成立．(4)如果ab >0，那么a b ＋b a ≥2，当且仅当a ＝b 时等号成立．3．三个正数的算术-几何平均不等式1．如果a 、b 、c ∈R ＋，那么a 3＋b 3＋c 3≥3abc ，当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立．2．(定理3)如果a 、b 、c ∈R ＋，那么3++≥a b c (a ＋b ＋c 3≥3abc)，当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立．即三个正数的算术平均不小于它们的几何平均．3．如果a 1，a 2，…，a n ∈R ＋，那么a 1＋a 2＋…＋a n n ≥n a 1a 2…a n ，当且仅当a 1＝a 2＝…＝a n 时，等号成立．即对于n 个正数a 1，a 2，…，a n ，它们的算术平均不小于它们的几何平均．4、容易出现的问题：学生容易忽略和混淆不等式取到等号的条件，容易遗忘不等式使用的限制条件.5、解决方法：找到具体实例，和学生一起分析存在的问题并及时纠正学生的易错之处.。
基本不等式完整版(非常全面)
基本不等式专题辅导一、知识点总结1、基本不等式原始形式（1）若R b a ∈,，则ab b a 222≥+（2）若R b a ∈,，则222b a ab +≤2、基本不等式一般形式（均值不等式）若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+3、基本不等式的两个重要变形 （1）若*,R b a ∈，则ab ba ≥+2（2）若*,R b a ∈，则22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab总结：当两个正数的积为定植时，它们的和有最小值； 当两个正数的和为定植时，它们的积有最小值；特别说明：以上不等式中，当且仅当b a =时取“=”4、求最值的条件：“一正，二定，三相等”5、常用结论 （1）若0x >，则12x x+≥ (当且仅当1x =时取“=”） （2）若0x <，则12x x+≤- (当且仅当1x =-时取“=”） （3）若0>ab ，则2≥+ab b a (当且仅当b a =时取“=”）（4）若R b a ∈,，则2)2(222b a b a ab +≤+≤ （5）若*,R b a ∈，则2211122b a b a ab b a +≤+≤≤+ 特别说明：以上不等式中，当且仅当b a =时取“=” 6、柯西不等式（1）若,,,abc d R ∈，则22222()()()a b c d a c b d ++≥+（2）若123123,,,,,a a a b b b R ∈，则有：22222221231123112233()()()a a a b b b a b a b a b ++++≥++（3）设1212,,,,,,n n a a a b b ⋅⋅⋅⋅⋅⋅与b 是两组实数，则有 222(a a a ++⋅⋅⋅+)222)b b b ++⋅⋅⋅+(2()a b a b a b ≥++⋅⋅⋅+二、题型分析题型一：利用基本不等式证明不等式1、设b a ,均为正数，证明不等式:ab ≥ba 112+2、已知cb a ,,为两两不相等的实数，求证：ca bc ab c b a ++>++2223、已知1a b c ++=，求证：22213a b c ++≥4、已知,,a b c R+∈，且1a b c ++=，求证：a b cc b a 8)1)(1)(1(≥---5、已知,,a b c R+∈，且1a b c ++=，求证：1111118a bc ⎛⎫⎛⎫⎛⎫---≥ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭6、（2013年新课标Ⅱ卷数学（理）选修4—5：不等式选讲 设,,a b c 均为正数,且1a b c ++=,证明:(Ⅰ)13ab bc ca ++≤; (Ⅱ)2221a b c b c a++≥.7、（2013年江苏卷（数学）选修4—5：不等式选讲 已知0>≥b a ，求证:b a ab b a 223322-≥- 题型二：利用不等式求函数值域1、求下列函数的值域 （1）22213x x y += （2）)4(x x y -=（3）)0(1>+=x x x y （4）)0(1<+=x xx y题型三：利用不等式求最值 （一）（凑项）1、已知2>x ，求函数42442-+-=x x y 的最小值；变式1：已知2>x ，求函数4242-+=x x y 的最小值；变式2：已知2<x ，求函数4242-+=x x y 的最大值；练习：1、已知54x >，求函数14245y x x =-+-的最小值；2、已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值；题型四：利用不等式求最值 （二）（凑系数）1、当时，求(82)y x x =-的最大值；变式1：当时，求4(82)y x x =-的最大值；变式2：设230<<x ，求函数)23(4x x y -=的最大值。
基本不等式知识点归纳
基本不等式知识点归纳基本不等式是数学中的重要概念，涉及到数值之间的大小关系。
在数学学习中，掌握基本不等式的知识点对于解决各类问题至关重要。
本文将对基本不等式的定义、性质以及常用的基本不等式进行归纳总结。
一、基本不等式的定义基本不等式是指关于变量的不等关系式，通常形式为a ≤ b 或 a < b，其中 a、b 为实数，表示 a 与 b 之间的大小关系。
二、基本不等式的性质1. 传递律：若a ≤ b 且b ≤ c，则a ≤ c。
2. 对称律：若a ≤ b，则b ≥ a。
3. 加法性：若a ≤ b，则a + c ≤ b + c。
4. 减法性：若a ≤ b，则 a - c ≤ b - c（其中 c 为正数）。
5. 乘法性：若a ≤ b 且c ≥ 0，则ac ≤ bc。
若c ≤ 0，则ac ≥ bc。
6. 除法性：若a ≤ b 且 c > 0，则a/c ≤ b/c。
若 c < 0，则a/c ≥ b/c。
三、常用的基本不等式1. 平均值不等式：对于任意非负实数 a₁、a₂、...、aₙ，有 (a₁ +a₂ + ... + aₙ)/n ≥ √(a₁a₂...aₙ)。
该不等式表明，若 n 个非负实数的算术平均值大于等于它们的几何平均值，那么这些数之间存在不等关系。
2. 柯西-施瓦茨不等式：对于任意实数 a₁、a₂、...、aₙ 和 b₁、b₂、...、bₙ，有(a₁b₁ + a₂b₂ + ... + aₙbₙ)² ≤ (a₁² + a₂² + ... + aₙ²)(b₁² + b₂²+ ... + bₙ²)。
柯西-施瓦茨不等式表明了两个向量内积的平方与两个向量长度乘积的平方之间的关系。
该不等式在数学分析、线性代数等领域有广泛应用。
3. 三角不等式：对于任意实数 a、b，有|a + b| ≤ |a| + |b|。
三角不等式表明了两个实数之和的绝对值小于等于两个实数的绝对值之和。
必修五数学基本不等式知识点总结
必修五数学基本不等式知识点总结
必修五数学基本不等式的知识点总结如下：
1. 基本不等式的定义：对于任意的实数a和b，有a≤b，即两个数的大小关系。
2. 数轴上的不等式：通过将不等式转化为数轴上的线段表示，可以直观地表示出不等式的解集。
3. 加法性质：对于任意的实数a、b和c，如果a≤b，则a+c≤b+c。
4. 减法性质：对于任意的实数a、b和c，如果a≤b，则a-c≤b-c。
5. 乘法性质：对于任意的实数a、b和c，如果a≤b且c≥0，则ac≤bc。
如果a≤b且c ≤0，则ac≥bc。
6. 除法性质：对于任意的实数a、b和c，如果a≤b且c>0，则a/c≤b/c。
如果a≤b且c<0，则a/c≥b/c。
7. 对称性：对于任意的实数a和b，如果a≤b，则b≥a，反之亦然。
8. 传递性：对于任意的实数a、b和c，如果a≤b且b≤c，则a≤c。
9. 绝对值不等式：对于任意的实数a，有|a|≥a或|a|≥-a。
10. 三角形不等式：对于任意的三角形的边a、b和c，有a+b>c、a+c>b和b+c>a。
以上就是必修五数学基本不等式的知识点总结。
基本不等式知识点
基本不等式知识点1. 算术-几何平均不等式（AM-GM不等式）- 表述：对于所有非负实数 \(a_1, a_2, ..., a_n\)，算术平均数总是大于或等于几何平均数。
- 数学表达：\(\frac{a_1 + a_2 + ... + a_n}{n} \geq\sqrt[n]{a_1 \cdot a_2 \cdot ... \cdot a_n}\)。
- 等号成立条件：当且仅当所有 \(a_i\) 相等时，等号成立。
2. 柯西-施瓦茨不等式（Cauchy-Schwarz不等式）- 表述：对于所有实数序列 \(a_1, a_2, ..., a_n\) 和 \(b_1,b_2, ..., b_n\)，两序列对应元素乘积的和的平方不超过各自平方和的乘积。
- 数学表达：\((a_1b_1 + a_2b_2 + ... + a_nb_n)^2 \leq(a_1^2 + a_2^2 + ... + a_n^2)(b_1^2 + b_2^2 + ... + b_n^2)\)。
- 等号成立条件：当且仅当 \(a_i = \lambda b_i\) 对所有 \(i\) 成立时，等号成立，其中 \(\lambda\) 是一个常数。
3. 詹森不等式（Jensen's Inequality）- 表述：如果 \(\phi\) 是一个实数上的凸函数，对于任意实数序列 \(x_1, x_2, ..., x_n\)，算术平均数的函数值总是小于或等于这些数的函数值的算术平均数。
- 数学表达：\(\phi\left(\frac{x_1 + x_2 + ... +x_n}{n}\right) \leq \frac{1}{n}\phi(x_1) +\frac{1}{n}\phi(x_2) + ... + \frac{1}{n}\phi(x_n)\)。
- 等号成立条件：当且仅当 \(x_1 = x_2 = ... = x_n\) 时，等号成立。
基本不等式知识点
基本不等式知识点1.不等式的性质：不等式具有与等式类似的运算性质，例如可以进行加减乘除运算，并且可以对不等式的两边同时进行相同的运算。
但需要注意的是，当不等式两边同时乘或除以负数时，不等号的方向会发生改变。
2.加法不等式：对于实数a、b和c，若a<b，则a+c<b+c。
即不等式两边同时加上相同的数，不等式的关系保持不变。
3.减法不等式：对于实数a、b和c，若a<b，则a-c<b-c。
即不等式两边同时减去相同的数，不等式的关系保持不变。
4.乘法不等式：对于实数a、b和正数c，若a<b且c>0，则a·c<b·c。
即不等式两边同时乘以正数，不等式的关系保持不变。
需要注意，当c为负数时，不等号的方向会发生改变。
5.除法不等式：对于实数a、b和正数c，若a<b且c>0，则a/c<b/c。
即不等式两边同时除以正数，不等式的关系保持不变。
需要注意，当c为负数时，不等号的方向会发生改变。
6.平方不等式：对于实数a和正实数b，若a>b，则a²>b²。
即不等式两边同时取平方，不等式的关系保持不变。
7.绝对值不等式：对于任意实数a和正实数b，若，a，<b，则-b<a<b。
即如果一个实数的绝对值小于一个正实数，则这个实数的取值范围在-b和b之间。
8.基本不等式的应用：基本不等式可以应用于各类数学问题的解决，例如求解方程组、解决最值问题等。
这些应用需要根据具体问题，结合基本不等式的性质，并运用合适的不等式进行推导。
以上是基本不等式的主要知识点。
通过掌握这些知识点，我们能够更好地理解不等式的性质，并有效地运用于解决实际问题。
在学习和应用过程中，我们可以通过大量的练习，加深对基本不等式的理解和掌握，提高解决问题的能力。
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向量不等式：
【注意】：同向或有；
反向或有；
不共线.(这些和实数集中类似)
代数不等式：
同号或有； 异号或有.
绝对值不等式：
双向不等式：
（左边当时取得等号，右边当时取得等号.）
放缩不等式：
①，则.
【说明】：（，糖水的浓度问题）. 【拓展】：. ②，，则； ③，； ④，. ⑤,.
函数()(0)b
f x ax a b x
=+
>、图象及性质 (1)函数()0)(>+
=b a x
b
ax x f 、图象如图：
(2)函数()0)(>+
=b a x
b ax x f 、性质：
①值域：),2[]2,(+∞--∞ab ab Y ；
②单调递增区间：(,-∞
，)+∞；
单调递减区间：(0,
，[0).
基本不等式知识点总结
重要不等式
1、和积不等式：(当且仅当时取到“”)． 【变形】：①（当a = b 时，） 【注意】： ，
2、均值不等式：
两个正数的调和平均数、几何平均数、算术平均数、均方根之间的关系，即“平方平均算术平均几何平均调和平均”
*.若0x >，则1
2x x +
≥ (当且仅当1x =时取“=”
）; 若0x <，则1
2x x
+≤- (当且仅当1x =-时取“=”）
若0x ≠，则11122-2x x x x
x
x
+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”）
*.若0>ab ，则2≥+a
b b
a (当且仅当
b a =时取“=”）
若0ab ≠，则
22-2a b a b a b
b a b a b a
+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”
） 3、含立方的几个重要不等式（a 、b 、c 为正数）：
（，）；
*不等式的变形在证明过程中或求最值时，有广泛应用，如：当0>ab 时，
ab b a 222≥+同时除以ab 得
2≥+b a a b 或b
a a
b -≥-11。
*,,b a 均为正数，b a b
a -≥22
八种变式： ①222b a ab +≤ ； ②2
)2(b a ab +≤； ③2)2(
222b a b a +≤+ ④)(22
2
b a b a +≤+；⑤若b>0,则b a b a -≥22；⑥a>0,b>0,则b
a b a +≥+4
11；⑦若a>0,b>0,则ab b a 4)11(
2≥+； ⑧ 若0≠ab ，则2
22)11(2111b a b
a +≥+。
上述八个不等式中等号成立的条件都是“
b a =”。
最值定理
（积定和最小）
①，若积，则当时和有最小值；
（和定积最大）
②，若和，则当是积有最大值.
【推广】：已知，则有.
（1）若积是定值，则当最大时，最大；当最小时，最小.
（2）若和是定值，则当最大时，最小；当最小时，最大.
③已知，若，则有则的最小值为：
④已知，若则和的最小值为：
①.
②
应用基本不等式求最值的“八种变形技巧”：
⑴凑系数（乘、除变量系数）.例1.当时，求函的数最大值.
⑵凑项（加、减常数项）：例2.已知，求函数的最大值.
⑶调整分子：例3.求函数的值域；
⑷变用公式：基本不等式有几个常用变形,，不易想到，应重视；
例4.求函数的最大值；
⑸连用公式：例5.已知，求的最小值；
⑹对数变换：例6.已知，且，求的最大值；
⑺三角变换：例7.已知，且，求的最大值；
⑻常数代换（逆用条件）：例8.已知，且，求的最小值.
“单调性”补了“基本不等式”的漏洞：
⑴平方和为定值
若（为定值，），可设，其中.
①在上是增函数，在上是减函数；
②在上是增函数，在上是减函数；
③.令，其中.由，得，从而在上是减函数.
⑵和为定值
若（为定值，），则
①在上是增函数，在上是减函数；
②.当时，在上是减函数，在上是增函数；当时，在上是减函数，在上是增函数.
③在上是减函数，在上是增函数；
⑶积为定值
若（为定值，），则
①.当时，在上是减函数，在上是增函数；当时，在上是增函数；
②.当时，在上是减函数，在上是增函数；当时，在上是减函数；
③在上是减函数，在上是增函数.
⑷倒数和为定值
若（为定值，），则成等差数列且均不为零，可设公差为，其中，则得.
①.当时，在上是减函数，在上是增函数；当时，在上是增函数，在上减函数；
②.当时，在上是减函数，在上是增函数；当时，在上是减函数，在上是增函数；
③.令，其中且，从而在上是增函数，在上是减函数.。