计算理论导引23

如果一个数p能6 通,a 过 所2有关2 于(6 小1)于它25 且 与3它,2 互3 素2m 的数5 的o 费2 d 马测
试，则称这个数为伪素数，其中可能包含卡米切尔数和素数
。
ap1 1(mopd)
测试伪素数的多项式概率算法
PSEUDOPERI“ M对于输p： 入 在p中随机地选 a1, 取,ak 对于每一i，个计算 ai(p1) modp 如果所有计算出都 来等 的于 值 1，则接受；否则拒绝
A蕴P 涵rM [接 受 ]1 A蕴P 涵rM [拒 绝 ]1
BPP是多项式时间的概率图灵机以错误概率1/3识别的语言 类。
引理10.5
引理11.5：设ε是一个固定常数，且0<ε<1/2。又设M1是一台
错误概率为ε的多项式时间概率图灵机，则对于任意的多项式
poly(n)，存在与M1等价的错误概率为
X3 1
0
X3 1
X2 0
0
1
0
1
定理10.12
令EQROBP{ B1,B2 B1和B2是两个等价的只读的 一分 次支程}序 则有 EQROBPBPP
A＝ “对于输入<G>，这里G是一个无向图： 重复下述操作直至G中所有的边都与有标记的边相邻。 在G中找一条不与任何有标记的边相邻的边。 给这条边作标记。 输出所有有标记边的顶点。 ”
定理1０.1
定理11.1：A是一个多项式时间算法，它给出G的一个顶点覆盖，其大 小不超过最小顶点覆盖的大小的2倍。 证明思路:
如果p是伪素数则能通过全部测试，如果p不是伪素数则至多能通过全部测试的
一半。于是它通过全部k个随机选择的测试的概率不大于 ，因此该算法以错
误概率 识别所有伪素数组成的语言。
2k
2k
避免卡米切尔数的算法PRIME
基本原理是：对于任意素数p，1恰好有两个模p的平方根： 1和-1。而对于许多合数，包括卡米切尔数在内，1有4个或 更多的平方根。 引理11.7：如果p是一个奇素数，则
A的运行时间显然是多项式界限的。 设X是它输出的顶点集合，H是有标记的边的集合。因为G的每一 条边要么属于H，要么与H中的一条边相邻，因此X与G的所有边 关联，因此X是一个顶点覆盖。 证明X的大小不超过最小顶点覆盖Y的大小的2倍。
X的大小是H的2倍 H不大于Y
k-优算法
如果一个最小化问题的近似算法总能找到不超过最优解k 倍的可行解，则称这个算法是k-优的。
的多项式时间概
率图灵机M2。
证取明这思些路运：行M结2果用中如的下多方数式作模为拟计M2算1：结po运果l(yn行。) M错1误多概项率式将次随，M并1且的
运行次数指数下降。
素数性
定理11.6：
例子：
如p是 果素a 数 p ， ， ap则 1 且 1 (mp)。 od
p通过在a的p费马7,测a 试2 是指2(71)266,46m 4 7 o1 d
Chap 10 复杂性理论中的高级专题 (同学报告）
可根据 提供的ＰPT素材+参考以前同学的报告， 修改成为有自己见解的讨论报告
建议：
底色用浅色（象牙白， 浅黄， 白色等） 适合色盲 色弱 观众 字体颜色选择余地大 在投影机 效果差时 也还能能看见
近似算法
在最优化问题中，通常试图在可行解中寻找最好的解，即最 优解。
在实践中，可能并不一定非要最优解不可，一个接近最优的 解可能是足够好的，而且可能更容易找到。
近似算法是为了求近似最优解而设计的。
顶点覆盖问题
若G是无向图，则G的顶点覆盖是节点的一个子集，使得 G的每条边都与子集中的节点之一相关联。
1 2
5 4
3
1 2
5 4
3
最小顶点覆盖的一个近似算法
下述多项式时间算法近似地解这个最优化问题，它给出一个顶点覆 盖，其大小不超过最小顶点覆盖的大小的2倍。
引理11.8：如果p是一P个rP 奇[合R数I，接 M 则 p受 E ]1
PP r[RI接 Mp受 ]E 2k
RP类
定理11.9：
令 PRI M {nn是 ES二进 }， P 制 R素 I M B数 P EP S
单侧错误：当算法输出拒绝时，输入一定是合数，当输出接 受时，只能知道输入可能是素数。 RP是多项式时间概率图灵机识别的语言类，在这里，在语 言中的输入以不小于1/2的概率被接受；不在语言中的输入 以概率1被拒绝。
X的每个顶点的割边>=非割边。 X的所有顶点的割边数和＝ X的割边总数×2。 X的所有顶点的非割边数和＝ X的非割边总数×2。 X的割边数和>= X的非割边数和 X的割边数 >= G的所有边数/2 G的所有边数>=最大割边数
概率算法
概率算法使用随机过程的结果。典型包含一条“扔硬币” 的指令，并且扔硬币的结果可能影响算法后面的执行和输 出。
如果把一个顶点从S移到T或者从T移到S，使割的大小变大，则做这 样的移动，并且重复这一步。
如果不存在这样的顶点，则输出当前的割并且停止。”
定理1０.2
定理11.2：B是最大割集的2-优的多项式近似算法。 证明：
割的大小不超过G的边数，故B是多项式时间的。 证明B输出的割X至少包含G中的所有边的一半。
BPP类 素数性 只读一次的分支程序
概率图灵机
概率图灵机M是一种非确定型图灵机，它的每一非确定步， 称作掷硬币步，并且有两个合法的下次动作。定义分支b的 概率如下，其中k是在分支b中出现的掷硬币步的步数。
定义M接受ω的概率为
Prb[]2k
PrM [接受 ]＝P[rb] b是接受分支
BPP类
对于0<=ε<1/2，如果满足下面的条件则称M以错误概率ε识 别语言A。
对于最大化问题，一个k-优近似算法总能找到不小于最 优解大小的1/k的可行解。
最大割集的近似算法
5 1
4
把顶点集V划分成两个不相交的子集S和T，称为无向图中的割。顶点分 别在两个子集 中的边称为割边，割边的数目称为割2 的大小。
3
B＝ “对于输入<G>，这里G是顶点集为V的无向图：
令S＝Ø和T＝V。
只读一次的分支程序
分支程序是一个无圈有向图，除两个输出顶点 标记0和1外，其他顶点（询问顶点）都标记变 量，并引出两条边，一条标记0、一条标记1， 在分支程序中指定一个顶点为起始顶点。
X1
0
1
只读一次的分支程序是指在源自文库的从起始顶点到
X2
输出顶点的每一条有向路径上，每个变量只能 1 0 被询问一次。