估算的技巧

一、知识点概述

一般人总认为有的量总是越精确越好，尤其是小学生，数学题的演算总喜欢用等号，认为只有那些用等号的题才是可信的。其实在日常生活和生产实际中，往往只需要对某些量作一个大概的统计。如某省的人口只能是个大概数，某市某年的工农业总产值也只是个大概数，很难也没有必要精确到几元几角几分。

随着新课程标准的实施和新教材的改革，数学越来越接近生活实际，数学中的估算也越来越起着重要的作用。今天我们一起来学习估算的技巧。

二、重点知识归纳及讲解

估算就是对某些量的粗略运算，不仅现在，即使今后科学技术相当发达了，估算仍然是十分必要的。

估算也有一些原则，估算常用的方法有：

（1）省略尾数取近似值法。用位数较少的近似值代替位数较多的数时，要有一定的取舍法则。要保留的数位右边的所有数叫做尾数，取舍尾数的主要方法有：

四舍五入法四舍，就是当尾数最高位上的数字是不大于4的数时，就把尾数舍去；五入，就是当尾数最高位上的数字是不小于5的数时，把尾数舍去后，在它的前一位加1。例如：9.8966…，截取到千分位的近似值是9.897，截取到百分位的近似值是9.90；

去尾法把尾数全部舍去。例如：9.8966…，截取到千分位的近似值是9.896，截取到百分位的近似值是9.89；

收尾法（进一法）把尾数舍去后，在它的前一位加上1。例如：9.8964…，截取到千分位的近似值是9.897，截取到百分位的近似值是9.90。

在上面的三种方法中，最常用的是四舍五入法。一般地，用四舍五入法截得的近似数，截到哪一位，就说精确到哪一位。

（2）前后夹攻法。要求某个式子的结果的整数部分，可将原算式各数适当放大或缩小，使它介于某两个连续整数之间，从而取那个整数。

三、难点知识剖析

例1、老师在黑板上写了13个自然数，让小明计算平均数（保留两位小数），小明计算的答案是12.43，老师说最后一位数字错了，其他的数字都对，正确的答案应该是什么？

解析：

13个自然数之和必然是整数，由于此和不是13的整数倍，因而平均数是小数。又由于平均数精确到小数点后最后一位数字错了，其它的数字都对，所以13个自然数之

和必大于12.40的13倍，而小于12.49的13倍。因而可以推算出精确的13个自然数的和。

解答：

由12.40×13=161.20，12.49×13=162.37。得13个自然数的和是小于162.37且大于161.20的整数，所以13个自然数的和应是162。

正确的答案应是162÷13≈12.46。

答：正确的答案是12.46。

例2、求出算式的结果精确到小数点后3位数的近似值。

解析：

分数的分子、分母的小数位数很多，但位数相同，我们可以取适当的位数求它的近似值。

解答：

分子、分母各取3位小数，有=0.2383…<原式<=0.2407…。

上式无法确定，应使范围缩小。分子、分母各取4位小数，有0.2395…<原式<=0.2398…。

由上式知，原式小数点后3位肯定是239，第4位在5和8之间。按四舍五入法则，精确到小数点后3位数的近似值是0.240。

例3、有一个四位数被7除或被6除，余数都是1，符合这一条件的最大的四位数和最小的四位数各是多少？

解析：

既然一个四位数被7除或被6除都余1，则这个数被(6×7=)42除也余1，求符合条件的最大四位数和最小四位数，我们可以分别从最大的四位数9999和最小的四位数来试除，得到答案。

解答：

最大的四位数是9999，9999÷42=238……3，非常清楚，要使它的余数为1，只要把9999减少2就行了。由此可知，被7除或被6除，余数都是1的最大的四位数是9997。

同样，求最小的四位数，我们瞄准1000，用它去试除：1000÷42=23……34，42－34=8，把1000加上8就可以被7或6整除了。若想使余数为1，这个数最小为1000＋8＋1=1009。

答：符合要求的最大的四位数是9997，最小的四位数是1009。

例4、有一算式，左边方框里都是整数，右边答案只写出了四舍五入的近似值。

≈1.16

那么算式左边3个方框里的整数从左至右依次分别是多少？

解析：

本例先用估算思维确定左边算式的精确范围。由于1.16是这个精确值四舍五入后得到的，所以它一定介于1.155与 1.164之间。

解答：

设算式左边3个方框中的整数从左至右依次分别为A、B、C，则1.155≤

≤1.164。

然后通过通分和计算得1.155≤≤1.164。

上式去分母得121.275≤35A＋21B＋15C≤122.22，由于每个方框里的数都是整数，所以中间算式35A＋21B＋15C的结果也一定是整数，即35A＋21B＋15C=122。

由奇偶性可以看出A、B、C 3个数中一定是两奇一偶，同时根据题意，3个分数值

都小于。这样可得出A、B、C分别是1、2、3。经验算符合题意。

答：算式左边3个方框里的整数从左至右分别是1、2、3.

例5、已知x=，求x的整数部分。

解析：

由于题目只要求x的整数部分，注意到如果x介于两个连续自然数n与n+1之间，也就是n＜x＜n＋1。此时，x的整数部分即为n。因此，确定x的整数部分实际上就是去估计它介于哪两个连续自然数之间。

解答：

一方面，采用放大法把，，，…，放大到1，则x<1＋1＋…＋1=1×10=10。

另一方面，采用缩小法把，，，…，缩小到，则x>

＋＋＋…＋=×10=9。

9

也就是说x介于9与10之间，所以，x的整数部分是9。

演练检测

1、求数a=的整数部分。

2、试用估算的方法说明以下各题计算结果是否正确。

（1）8057×1=8034