高考数学一轮复习第8单元解析几何第53讲曲线与方程课件理
高考数学一轮复习第8章平面解析几何8.8曲线与方程课件
方法技巧 定义法求轨迹方程的适用条件及关键点 1．求轨迹方程时，若动点与定点、定线间的等量关 系满足圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义，则可直接根据 定义先确定轨迹类型，再写出其方程．见典例． 2．理解解析几何中有关曲线的定义是解题关键． 3．利用定义法求轨迹方程时，还要看所求轨迹是否 是完整的圆、椭圆、双曲线、抛物线，如果不是完整的曲 线，则应对其中的变量x或y进行限制．见典例．
2．教材衍化 (1)(选修A2－1P36例3)到点F(0,4)的距离比到直线y＝－ 5的距离小1的动点M的轨迹方程为( A．y＝16x2 C．x2＝16y B．y＝－16x2 D．x2＝－16y )
解析 由题意可知动点M到点F(0,4)的距离与到直线y ＝－4的距离相等，则点M的轨迹为抛物线，故选C.
题型2 直接法求轨迹方程 典例 x2 y2 (2014· 广东高考)已知椭圆C： a2 ＋ b2 ＝
5 1(a>b>0)的一个焦点为( 5，0)，离心率为 3 . (1)求椭圆C的标准方程； (2)若动点P(x0，y0)为椭圆C外一点，且点P到椭圆C的 两条切线相互垂直，求点P的轨迹方程．
解
c 5 (1)由题意知c＝ 5 ， a ＝ 3 ，所以a＝3，b2＝a2－
用定义法．
解析 如图所示，设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于 点A和点B，则有|MC1|－|AC1|＝|MA|，|MC2|－|BC2|＝|MB|. 又|MA|＝|MB|，所以|MC2|－|MC1|＝|BC2|－|AC1|＝3－1 ＝2，即动点M到两定点C2，C1的距离的差是常数2，且 2<|C1C2|＝6，|MC2|>|MC1|，故动圆圆心M的轨迹为以定点 C2，C1为焦点的双曲线的左支，则2a＝2，所以a＝1.
高考数学一轮复习第八章解析几何第53讲曲线与方程课件理
2，求点M的轨迹方程．
解析：(1)设F1(－c,0)，F2(c,0)(c＞0)．
由题意，可得|PF2|＝|F1F2|，即 a－c2＋b2＝2c，
整理得2ac2＋ac－1＝0，
得ac＝－1(舍去)或ac＝12.所以e＝12.
(2)由(1)知a＝2c，b＝ 3 c，可得椭圆方程为3x2＋4y2＝12c2，直线PF2的方程为y ＝ 3(x－c)．
解析：A→B＝2，－2y，B→C＝x，2y， 由A→B⊥B→C，得A→B·B→C＝0.
即2x＋－2y·2y＝0.∴动点C的轨迹方程为y2＝8x(x≠0)．
5．圆的方程为x2＋y2＝4，抛物线过点A(－1,0)，B(1,0)且以圆的切线为准线， 则抛物线焦点的轨迹方程是___x_42_＋__y3_2＝__ 1．曲线与方程
• 一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一个二元 方程f(x，y)＝0的实数解建立了如下的关系：
• (1)曲线上点的坐标都是____这__个__方__程__的解；
• (2)以这个方程的解为坐标的点都是___曲__线__上__的点．那么， 这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线．
A，B两点的坐标满足方程组3y＝x2＋34yx2－＝c12.c2， 消去y整理， 得5x2－8cx＝0.解得x1＝0，x2＝85c，
得方程组的解xy11＝＝0－， 3c，
x2＝85c，
y2＝35
3 c.
2x2＋2y2－2cx＋c2－c＝0
解析：设点的坐标为(x，y)，由题意知 ( x－02＋y－02)2＋( x－c2＋y－02)2＝c， 即x2＋y2＋(x－c)2＋y2＝c，即2x2＋2y2－2cx＋c2－c＝0.
• 3．MA和MB分别是动点M(x，y)，与两定点A(－1,0)
高考数学一轮复习第八章平面解析几何8.5曲线与方程课件理
【 由规题范意解得答】y 设=点ykP,即(xk,yx)2,-则y2=kkAPa2.xya，kBPxya. 所以点P的x轨 a迹x方 程a 为kx2-y2=ka2(x≠±a).(*) (1)当k=0时,(*)式即y=0,点P的轨迹是直线AB(除去 A,B两点).
(2)当k≠0时,(*)式即
椭圆.所以a= ,c=1,则b2=a2-c2= ,所以椭圆的方程
5
21
为
=12 .
4
4x2 4y2
25 21
【加固训练】
1.若动点P到定点F(1,-1)的距离与到直线l:x-1=0的距
离相等,则动点P的轨迹是 ( )
A.椭圆
B.双曲线
C.抛物线
D.直线
【解析】选D.因为定点F(1,-1)在直线l:x-1=0上,所以 轨迹为过F(1,-1)与直线l垂直的一条直线.
即x2+y2+(x-c)2+y2=c,
即2x2+2y2-2cx+c2-c=0.
答案:2x2+2y2-2cx+c2-c=0
)2=c,
xc2y02
感悟考题 试一试
3.(2016·宜昌模拟)方程x=
所表示的曲线是
1 4y2
()
A.双曲线的一部分
B.椭圆的一部分
C.圆的一部分
D.直线的一部分
9 y2 25
1.
16x2 9 y2 1 25 25
a
b
32 25 18 25
, .
2.(选修2-1P37习题2.1A组T2改编)和点O(0,0),A(c,0)
距离的平方和为常数c的点的轨
由题意知(
2024届高考一轮复习数学课件(新教材人教A版)：解析几何
当m＝－k时，直线PQ的方程为y＝kx－k＝k(x－1). 此时直线PQ过定点(1,0). 当直线PQ的斜率不存在时， 若直线PQ过定点(1,0)， P，Q 的坐标分别为1，32，1，－32. 满足 kAP·kAQ＝－14. 综上，直线PQ过定点(1,0).
1234
②求△APQ面积的最大值.
1234
则 x1·x2 ＋ 2(x1 ＋ x2) ＋ 4 ＋ 4(kx1 ＋ m)(kx2 ＋ m) ＝ (1 ＋ 4k2)x1x2 ＋ (2 ＋ 4km)(x1＋x2)＋4m2＋4＝1＋4k32＋44mk22－12＋(2＋4km)·3－＋84kmk2＋4m2＋ 4＝0， 则m2－km－2k2＝0， ∴(m－2k)(m＋k)＝0，∴m＝2k或m＝－k. 当m＝2k时，直线PQ的方程为y＝kx＋2k＝k(x＋2)， 此时直线PQ过定点(－2,0)，显然不符合题意；
1234
设l1的方程为x＝my＋1，M(x1，y1)，N(x2，y2)， x＝my＋1，
联立x42＋y32＝1， 消去 x 得(3m2＋4)y2＋6my－9＝0， 易知 Δ>0 恒成立，由根与系数的关系得 y1＋y2＝3－m26＋m4，y1y2＝3m－2＋9 4，
由直线 A1M 的斜率为kA1M＝x1y＋1 2，得直线 A1M 的方程为 y＝x1y＋1 2(x＋2)，
第八章 直线和圆、圆锥曲线
必刷大题17 解析几何
1.(2022·南通模拟)已知P为抛物线C：y2＝4x上位于第一象限的点，F为C 的焦点，PF与C交于点Q(异于点P).直线l与C相切于点P，与x轴交于点M. 过点P作l的垂线交C于另一点N. (1)证明：线段MP的中点在定直线上；
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设 P(x0，y0)，则 y20＝4x0，
2019版高考数学一轮复习第八章解析几何第53讲曲线与方程学案
第53讲曲线与方程1．曲线与方程一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立了如下关系：的解；__这个方程__曲线上点的坐标都是(1)的点．__曲线上__以这个方程的解为坐标的点都是(2)那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线．曲线可以看作是符合某条件的点的集合，也可看作是适合某种条件的点的轨迹，因此，此类问题也叫轨迹问题．2．求曲线方程的基本步骤1．思维辨析(在括号内打“√”或“×”)．(1)f (x 0，y 0)＝0是点P (x 0，y 0)在曲线f (x ，y )＝0上的充要条件．( √ )(2)方程x 2＋xy ＝x 表示的曲线是一个点和一条直线．(×)(3)到两条互相垂直的直线距离相等的点的轨迹方程是x 2＝y 2.( × )(4)方程y ＝x 与x ＝y 2表示同一曲线．(×)解析 (1)正确．由f (x 0，y 0)＝0可知点P (x 0，y 0)在曲线f (x ，y )＝0上，又P (x 0，y 0)在曲线f (x ，y )＝0上时，有f (x 0，y 0)＝0.所以f (x 0，y 0)＝0是P (x 0，y 0)在曲线f (x ，y )＝0上的充要条件．(2)错误．方程变为x (x ＋y －1)＝0，所以x ＝0或x ＋y －1＝0，故方程表示直线x ＝0或直线x ＋y －1＝0.(3)错误．当以两条互相垂直的直线为x 轴，y 轴时，是x 2＝y 2，否则不正确．(4)错误．因为方程y ＝x 表示的曲线只是方程x ＝y 2表示曲线的一部分，故其不正确．cx2－2y 2＋2x 2__的点的轨迹方程为≠0)c (c 距离的平方和为常数0)c,(A ，(0,0)O ．和点2__.0＝c －2c ＋解析 设点的坐标为(x ，y )，由题意知(错误!)2＋(错误!)2＝c ，即x 2＋y 2＋(x －c )2＋y 2＝c ，即2x 2＋2y 2－2cx ＋c 2－c ＝0.3．MA 和MB 分别是动点M (x ，y )与两定点A (－1,0)和B (1,0)的连线，则使∠AMB 为直角.__≠±1)x 1(＝2y ＋2x __是的轨迹方程M 的动点解析 点M 在以A ，B 为直径的圆上，但不能是A ，B 两点．4．平面内有三个点A (－2，y )，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，y 2，C (x ，y )，若AB →⊥BC →，则动点C 的轨迹方程为．__≠0)x (x 8＝2y __解析 AB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－y 2，BC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ，y 2，由AB →⊥BC →，得AB →·BC →＝0.即2x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－y 2·y 2＝0.∴动点C 的轨迹方程为y 2＝8x (x ≠0)．5．圆的方程为x 2＋y 2＝4，抛物线过点A (－1,0)，B (1,0)且以圆的切线为准线，则抛物.__≠0)y 1(＝y23＋x24__线焦点的轨迹方程是解析 设抛物线焦点为F ，过A ，B ，O 作准线的垂线AA 1，BB 1，OO 1，则||AA1＋||BB1＝2||OO1＝4，由抛物线定义得||AA1＋||BB1＝||FA ＋||FB ，∴||FA ＋||FB ＝4，故F 点的轨迹是以A ，B 为焦点，长轴长为4的椭圆(去掉长轴两端点)．。
最新-2021版高考数学全国、理科一轮复习课件：第53讲 曲线与方程 精品
x＝1， y＝1
或xy＝＝－－11，，表示
两个点(1，1)，(－1，－1)．
课前双基巩固
2．[教材改编] 已知△ABC 的两个顶点 A，B 的坐标 分别是(－5，0)，(5，0)，且 AC，BC 所在直线的斜 率之积等于－1，则顶点 C 的轨迹方程为________．
[答案] x2＋y2＝25(y≠0)
知识聚焦
1．曲线与方程 一般地，在平面直角坐标系中，如果某曲线 C(看作点的集合或适合某种条件的点的轨 迹)上的点与一个二元方程 f(x，y)＝0 的实数解建立了如下关系：
(1)曲线上点的坐标都是__这___个__方__程__的___解___． (2)以这个方程的解为坐标的点都是曲___线__上__的__点_．那么这个方程叫作曲线的方程，这条 曲线叫作_方__程___的__曲__线__．
[答案] x－322＋y2＝9453<x≤3
[解析] 易知圆心 C1(3，0)，且直线 l 存在斜率．设 线段 AB 的中点为 M(x0，y0)，直线 l 的方程为 y ＝mx，则 kC1M·m＝－1，y0＝mx0，所以x0y－0 3·xy00 ＝－1，所以 x20－3x0＋y20＝0，即x0－322＋y20＝94. 因为动直线 l 与圆 C1 相交，所以 m|32m＋| 1<2，所
[答案] y2－x2＝1
[解析] 设 P(x，y)，圆 P 的半径 为 r，则由题意知 y2＋2＝r2，x2 ＋3＝r2，从而 y2＋2＝x2＋3，故 点 P 的轨迹方程为 y2－x2＝1.
课前双基巩固
7．[2014·湖北卷改编] 在平面直角坐标系 xOy 中，点 M 到点 F(1，0)的距离比它到 y 轴的距离多 1，点 M 的轨迹方程为 ________．
高考数学一轮总复习 8.8曲线与方程课件
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3
备考知考情
1.求曲线的轨迹或轨迹方程是近几年高考命题的一个热点． 2.常以圆、椭圆、双曲线、抛物线为载体，有时会与向量交汇 考查．考查定义法、相关点法、参数法等求轨迹的方法． 3.题型大多数以解答题形式出现，属中高档题.
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4
J 基础回扣·自主学习
理教材 夯基础 厚积薄发
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18
问题 2 求轨迹与轨迹方程有什么不同？ (1)求轨迹方程时，要注意曲线上的点与方程的解是一一对应 关系．检验可从以下两个方面进行：一是方程的化简是否是同解 变形；二是是否符合题目的实际意义． (2)求点的轨迹与轨迹方程是不同的要求，求轨迹时，应先求 轨迹方程，然后根据方程说明轨迹的形状、位置、大小等．
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7
对点自测
知识点一
曲线与方程的概念
1.判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)f(x0，y0)＝0 是点 P(x0，y0)在曲线 f(x，y)＝0 上的充要条 件．( )
(2)方程 x2＋xy＝x 的曲线是一个点和一条直线．( )
(3)到两条互相垂直的直线距离相等的点的轨迹方程是 x2＝
解析 设 P(x，y)，由|PA|＝2|PB|， 得 x＋22＋y2＝2 x－12＋y2， ∴3x2＋3y2－12x＝0，即 x2＋y2－4x＝0. ∴P 的轨迹为以(2,0)为圆心，半径为 2 的圆． 即轨迹所包围的面积等于 4π.
答案 4π
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15
R 热点命题·深度剖析
研考点 知规律 通法悟道
答案 C
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10
知识点二
求曲线的方程
3.已知点 P 是直线 2x－y＋3＝0 上的一个动点，定点 M(－1,2)，
高考数学一轮复习 第八章 解析几何 第53讲 曲线与方程实战演练 理-人教版高三全册数学试题
2018年高考数学一轮复习 第八章 解析几何 第53讲 曲线与方程实战演练 理1．(2017·某某模拟)曲线C 是平面内与两个定点F 1(－1,0)和F 2(1,0)的距离的积等于常数a 2(a >1)的点的轨迹．给出下列三个结论：①曲线C 过坐标原点；②曲线C 关于坐标原点对称；③若点P 在曲线C 上，则△F 1PF 2的面积不大于12a 2.其中，所有正确结论的序号是②③. 解析：设动点M (x ，y )到两定点F 1 ，F 2的距离的积等于a 2，得曲线C 的方程为x ＋12＋y 2·x －12＋y 2＝a 2. ∵a ＞1，故原点坐标不满足曲线C 的方程，故①错误．以－x ，－y 分别代替曲线C 的方程中的x ，y ，其方程不变，故曲线C 关于原点对称，即②正确．S △F 1PF 2＝12|PF 1|×|PF 2|×sin ∠F 1PF 2＝12a 2·sin∠F 1PF 2≤12a 2，故③正确． 2．(2016·全国卷Ⅲ)已知抛物线C ：y 2＝2x 的焦点为F ，平行于x 轴的两条直线l 1，l 2分别交C 于A ，B 两点，交C 的准线于P ，Q 两点．(1)若F 在线段AB 上，R 是PQ 的中点，证明AR ∥FQ ；(2)若△PQF 的面积是△ABF 的面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程． 解析：由题设知F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0.设l 1：y ＝a ，l 2：y ＝b ，则ab ≠0，且A ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22，a ，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫b 22，b ，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，a ，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，b ，R ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，a ＋b 2. 记过A ，B 两点的直线为l ，则l 的方程为2x －(a ＋b )y ＋ab ＝0.(1)由于F 在线段AB 上，故1＋ab ＝0.记AR 的斜率为k 1，FQ 的斜率为k 2，则 k 1＝a －b 1＋a 2＝a －b a 2－ab ＝1a ＝－ab a＝－b ＝k 2. 所以AR ∥FQ .(2)设l 与x 轴的交点为D (x 1,0)，则S △ABF ＝12|b －a ||DF |＝12|b －a |⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 1－12，S △PQF ＝|a －b |2. 由题设可得2×12|b －a |⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 1－12＝|a －b |2，所以x 1＝0(舍去)，或x 1＝1.设满足条件的AB 的中点为E (x ，y )． 当AB 与x 轴不垂直时，由k AB ＝k DE 可得2a ＋b ＝y x －1(x ≠1)． 而a ＋b2＝y ，所以y 2＝x －1(x ≠1)．当AB 与x 轴垂直时，E 与D 重合．所以所求轨迹方程为y 2＝x －1.3．(2017·某某模拟)定长为3的线段AB 两端点A ，B 分别在x 轴，y 轴上滑动，M 在线段AB 上，且A M →＝2MB →.(1)求点M 的轨迹C 的方程；(2)设过F (0，3)且不垂直于坐标轴的动直线l 交轨迹C 于G ，H 两点，问：线段OF 上是否存在一点D ，使得以DG ，DH 为邻边的平行四边形为菱形？作出判断并证明．解析：(1)设A (x 1,0)，B (0，y 1)，M (x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 11＋2，y ＝2y 11＋2，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＝3x ，y 1＝32y .|AB |＝3＝3x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32y 2，即y 24＋x 2＝1. (2)存在满足条件的点D .设满足条件的点D (0，m )，则0≤m ≤ 3.设l 的方程为y ＝kx ＋3(k ≠0)，代入轨迹方程，得(k 2＋4)x 2＋23kx －1＝0.设G (x 1，y 1)，H (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－23k k 2＋4， ∴y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋23＝83k 2＋4. ∵以DG ，DH 为邻边的平行四边形为菱形，∴(D G →＋D H →)⊥G H →.∵D G →＋D H →＝(x 1，y 1－m )＋(x 2，y 2－m ) ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2－2m )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－23k k 2＋4，83k 2＋4－2m ， 设G H →的方向向量为(1，k )，∵(D G →＋D H →)·G H →＝0，∴－23k k 2＋4＋83k k 2＋4－2mk ＝0，即m ＝33k 2＋4. ∵k 2>0，∴m ＝33k 2＋4<334<3， ∴0<m < 3.∴存在满足条件的点D .4．(2016·全国卷Ⅰ)设圆x 2＋y 2＋2x －15＝0的圆心为A ，直线l 过点B (1,0)且与x 轴不重合，l 交圆A 于C ，D 两点，过B 作AC 的平行线交AD 于点E .(1)证明|EA |＋|EB |为定值，并写出点E 的轨迹方程；(2)设点E 的轨迹为曲线C 1，直线l 交C 1于M ，N 两点，过B 且与l 垂直的直线与圆A 交于P ，Q 两点，求四边形MPNQ 面积的取值X 围．解析：(1)因为||AD ＝||AC ，EB ∥AC ，故∠EBD ＝∠ACD ＝∠ADC ．所以||EB ＝||ED ，故||EA ＋||EB ＝||EA ＋||ED ＝||AD .又圆A 的标准方程为(x ＋1)2＋y 2＝16，从而||AD ＝4，所以||EA ＋||EB ＝4. 由题设得A (－1,0)，B (1,0)，||AB ＝2，由椭圆定义可得点E 的轨迹方程为x 24＋y 23＝1(y ≠0)．(2)当l 与x 轴不垂直时，设l 的方程为y ＝k (x －1)(k ≠0)，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －1，x 24＋y 23＝1得(4k 2＋3)x 2－8k 2x ＋4k 2－12＝0， 则x 1＋x 2＝8k 24k 2＋3，x 1x 2＝4k 2－124k 2＋3， 所以||MN ＝1＋k 2||x 1－x 2＝12k 2＋14k 2＋3. 过点B (1,0)且与l 垂直的直线m ：y ＝－1k (x －1)，点A 到直线m 的距离为2k 2＋1，所以||PQ ＝242－⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 2＋12＝44k 2＋3k 2＋1， 故四边形MPNQ 的面积S ＝12||MN ||PQ ＝121＋14k 2＋3， 当l 与x 轴不垂直时，故四边形MPNQ 面积的取值X 围为(12,83)；当l 与x 轴垂直时，其方程为x ＝1，||MN ＝3，||PQ ＝8，故四边形MPNQ 的面积为12. 综上，四边形MPNQ 面积的取值X 围为[12,83)．。
2019届高三数学一轮复习：第53讲 曲线与方程
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教学参考
考情分析
考点 直接法求轨迹方程
考查方向 由条件直接求方程
考例
2016全国卷Ⅲ20
考查热度 ★★☆
待定系数法求轨迹方程 运用定义设出方程
★☆☆
相关点法求轨迹方程 代入求解方程
2017全国卷Ⅱ20
★☆☆
2019年8月10日
遇上你是缘分，愿您生活愉快，身体健康，学业有成，金榜 题名！
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教学参考
的左支(点 M 到 C2 的距离大于到 C1 的距离),这里 a=1,c=3,则 b2=8,故点 M 的轨迹方程为 x2-������82=1(x≤-1).
2019年8月10日
遇上你是缘分，愿您生活愉快，身体健康，学业有成，金榜 题名！
13
课前双基巩固
题组二 常错题 ◆索引:混淆“求轨迹”与“求轨迹方程”;忽略轨迹上特殊点对轨迹的“完备性与纯粹 性”的影响;忽视参数的取值范围而导致自变量的取值范围错误.
知������0+12=x,������0+0=y,∴
2
2
x0=2x-12,y0=2y.又 P(x0,y0)在曲线
x2+y2=16 上,∴������02+������02=16,∴
(2x-12)2+(2y)2=16,即点 M 的轨迹
方程为(x-6)2+y2=4.
2019年8月10日
遇上你是缘分，愿您生活愉快，身体健康，学业有成，金榜 题名！
.那么这个方程叫作曲线的方程,
2.求动点轨迹方程的一般步骤
(1)建立适当的坐标系,用有序实数对(x,y)表示曲线上任意一点 M 的坐标.
2019年8月10日
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2019版高考数学一轮复习 第八章 解析几何 第53讲 曲线与方程学案
第53讲曲线与方程考纲要求考情分析命题趋势了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系.2017·全国卷Ⅱ，202016·全国卷Ⅰ，20(1)2016·全国卷Ⅲ，20(2)求满足条件的动点轨迹及轨迹方程，用直接法和定义法较为普遍.分值：3～5分1．曲线与方程一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立了如下关系：(1)曲线上点的坐标都是__这个方程__的解；(2)以这个方程的解为坐标的点都是__曲线上__的点．那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线．曲线可以看作是符合某条件的点的集合，也可看作是适合某种条件的点的轨迹，因此，此类问题也叫轨迹问题．2．求曲线方程的基本步骤1．思维辨析(在括号内打“√”或“×”)．(1)f(x0，y0)＝0是点P(x0，y0)在曲线f(x，y)＝0上的充要条件．( √)(2)方程x2＋xy＝x表示的曲线是一个点和一条直线．(×)(3)到两条互相垂直的直线距离相等的点的轨迹方程是x2＝y2.( ×)(4)方程y＝x与x＝y2表示同一曲线．(×)解析(1)正确．由f(x0，y0)＝0可知点P(x0，y0)在曲线f(x，y)＝0上，又P(x0，y0)在曲线f(x，y)＝0上时，有f(x0，y0)＝0.所以f(x0，y0)＝0是P(x0，y0)在曲线f(x，y)＝0上的充要条件．(2)错误．方程变为x (x ＋y －1)＝0，所以x ＝0或x ＋y －1＝0，故方程表示直线x ＝0或直线x ＋y －1＝0.(3)错误．当以两条互相垂直的直线为x 轴，y 轴时，是x 2＝y 2，否则不正确． (4)错误．因为方程y ＝x 表示的曲线只是方程x ＝y 2表示曲线的一部分，故其不正确． 2．和点O (0,0)，A (c,0)距离的平方和为常数c (c ≠0)的点的轨迹方程为__2x 2＋2y 2－2cx ＋c 2－c ＝0__.解析 设点的坐标为(x ，y )，由题意知((x －0)2＋(y －0)2)2＋((x －c )2＋(y －0)2)2＝c ， 即x 2＋y 2＋(x －c )2＋y 2＝c ，即2x 2＋2y 2－2cx ＋c 2－c ＝0.3．MA 和MB 分别是动点M (x ，y )与两定点A (－1,0)和B (1,0)的连线，则使∠AMB 为直角的动点M 的轨迹方程是__x 2＋y 2＝1(x ≠±1)__.解析 点M 在以A ，B 为直径的圆上，但不能是A ，B 两点．4．平面内有三个点A (－2，y )，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，y 2，C (x ，y )，若AB →⊥BC →，则动点C 的轨迹方程为__y 2＝8x (x ≠0)__．解析 AB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－y 2，BC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ，y 2，由AB →⊥BC →，得AB →·BC →＝0.即2x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－y 2·y2＝0.∴动点C 的轨迹方程为y 2＝8x (x ≠0)．5．圆的方程为x 2＋y 2＝4，抛物线过点A (－1,0)，B (1,0)且以圆的切线为准线，则抛物线焦点的轨迹方程是__x 24＋y 23＝1(y ≠0) __.解析 设抛物线焦点为F ，过A ，B ，O 作准线的垂线AA 1，BB 1，OO 1，则||AA 1＋||BB 1＝2||OO 1＝4，由抛物线定义得||AA 1＋||BB 1＝||FA ＋||FB ，∴||FA ＋||FB ＝4，故F 点的轨迹是以A ，B 为焦点，长轴长为4的椭圆(去掉长轴两端点)．一 定义法求轨迹方程应用定义法求曲线方程的关键在于由已知条件推出关于动点的等量关系式，由等量关系结合曲线定义判断是何种曲线，再设出标准方程，用待定系数法求解．【例1】 已知圆M ：(x ＋1)2＋y 2＝1，圆N ：(x －1)2＋y 2＝9，动圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，圆心P 的轨迹为曲线C ，求C 的方程．解析 由已知得圆M 的圆心为M (－1,0)，半径r 1＝1；圆N 的圆心为N (1,0)，半径r 2＝3.设圆P 的圆心为P (x ，y )，半径为R .因为圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，所以||PM ＋||PN ＝(R ＋r 1)＋(r 2－R )＝r 1＋r 2＝4＞2＝||MN .由椭圆的定义可知，曲线C 是以M ，N 为左、右焦点，长半轴长为2，短半轴长为3的椭圆(左顶点除外)，其方程为x 24＋y 23＝1(x ≠－2)．二 直接法求轨迹方程直接法求轨迹方程的常见类型及解题策略(1)题中给出等量关系，求轨迹方程．直接代入即可得出方程．(2)题中未明确给出等量关系，求轨迹方程．可利用已知条件寻找等量关系，得出方程． 【例2】 (2016·全国卷Ⅲ)已知抛物线C ：y 2＝2x 的焦点为F ，平行于x 轴的两条直线l 1，l 2分别交C 于A ，B 两点，交C 的准线于P ，Q 两点．(1)若F 在线段AB 上，R 是PQ 的中点，证明AR ∥FQ ；(2)若△PQF 的面积是△ABF 的面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程．解析 由题知F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0.设l 1：y ＝a ，l 2：y ＝b ，则ab ≠0，且A ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22，a ，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫b 22，b ，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，a ，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，b ， R ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，a ＋b 2. 记过A ，B 两点的直线为l ，则l 的方程为2x －(a ＋b )y ＋ab ＝0. (1)由于F 在线段AB 上，故1＋ab ＝0. 记AR 的斜率为k 1，FQ 的斜率为k 2，则k 1＝a －b 1＋a 2＝a －b a 2－ab ＝1a ＝－aba＝－b ＝k 2. 所以AR ∥FQ .(2)设l 与x 轴的交点为D (x 1,0)， 则S △ABF ＝12|b －a ||FD |＝12|b －a |⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 1－12，S △PQF ＝|a －b |2. 由题设可得|b －a |⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 1－12＝|a －b |2，解得x 1＝1. 设满足条件的AB 的中点为E (x ，y )． 当AB 与x 轴不垂直时，由k AB ＝k DE 可得2a ＋b ＝yx －1(x ≠1)．而a ＋b2＝y ，所以y 2＝x －1(x ≠1)．当AB 与x 轴垂直时，E 与D 重合，故所求轨迹方程为y 2＝x －1.三 相关点法求轨迹方程相关点法求轨迹方程的基本步骤(1)设点：设被动点坐标为(x ，y )，主动点坐标为(x 1，y 1)， (2)求关系式：求出两个动点坐标之间的关系式⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝f (x ，y )，y 1＝g (x ，y )，(3)代换：将上述关系式代入已知曲线方程，便可得到所求动点的轨迹方程． 【例3】 (2018·安徽合肥高三调研)已知M 为椭圆C ：x 225＋y 29＝1上的动点，过点M 作x 轴的垂线，垂足为D ，点P 满足PD →＝53MD →.(1)求动点P 的轨迹E 的方程；(2)若A ，B 两点分别为椭圆C 的左、右顶点，F 为椭圆C 的左焦点，直线PB 与椭圆C 交于点Q ，直线QF ，PA 的斜率分别为k QF ，k PA ，求k QFk PA的取值范围． 解析 (1)设P (x ，y )，M (m ，n )，依题意知D (m,0)，且y ≠0. 由PD →＝53M D →，得(m －x ，－y )＝53(0，－n )，则有⎩⎪⎨⎪⎧m －x ＝0，－y ＝－53n ⇒⎩⎪⎨⎪⎧m ＝x ，n ＝35y .又M (m ，n )为椭圆C ：x 225＋y 29＝1上的点， ∴x225＋⎝ ⎛⎭⎪⎫35y 29＝1，即x 2＋y 2＝25， 故动点P 的轨迹E 的方程为x 2＋y 2＝25(y ≠0)．(2)依题意知A (－5,0)，B (5,0)，F (－4,0)，设Q (x 0，y 0)，∵线段AB 为圆E 的直径，∴AP ⊥BP ，设直线PB 的斜率为k PB ，则k PA ＝－1k PB，k QF k PA ＝k QF －1k PB＝－k QF k PB ＝－k QF k QB ＝－y 0x 0＋4·y 0x 0－5＝－y20(x0＋4)(x0－5)＝－9⎝⎛⎭⎪⎫1－x2025(x0＋4)(x0－5)＝925(x20－25)(x0＋4)(x0－5)＝925(x0＋5)x0＋4＝925⎝⎛⎭⎪⎫1＋1x0＋4，∵点P不同于A，B两点且直线QF的斜率存在，∴－5<x0<5且x0≠－4，又y＝1x＋4在(－5，－4)和(－4,5)上都是减函数，∴925⎝⎛⎭⎪⎫1＋1x0＋4∈(－∞，0)∪⎝⎛⎭⎪⎫25，＋∞，故k QFk PA的取值范围是(－∞，0)∪⎝⎛⎭⎪⎫25，＋∞.1．已知点A(－4,4)，B(4,4)，直线AM与BM相交于点M，且直线AM的斜率与BM的斜率之差为－2，点M的轨迹为曲线C，则曲线C的轨迹方程为__x2＝4y(x≠±4)__．解析设M(x，y)，由已知得k AM－k BM＝y－4x＋4－y－4x－4＝－2，化简得x2＝4y(x≠±4)．2．已知圆C的方程为(x－3)2＋y2＝100，点A的坐标为(－3,0)，M为圆C上任一点，线段AM的垂直平分线交CM于点P，则点P的轨迹方程为x225＋y216＝1 .解析由题可知C(3,0)，r＝10，由中垂线性质知||PA＝||PM，故||PA＋||PC＝||PM ＋||PC＝||CM＝10，即P点的轨迹为以原点为中心，点A，C为焦点的椭圆，2a＝10，c＝3，b＝4，故点P的轨迹方程为x225＋y216＝1.3．已知两个定圆O1和O2，它们的半径分别是1和2，且||O1O2＝4.动圆M与圆O1内切，又与圆O2外切，建立适当的坐标系，求动圆圆心M的轨迹方程，并说明轨迹是何种曲线．解析如图所示，以O1O2的中点O为原点，O1O2所在直线为x轴建立平面直角坐标系．由||O1O2＝4，得O1(－2,0)，O2(2,0)．设动圆M的半径为r，则由动圆M与圆O1内切，有||MO1＝r－1，由动圆M与圆O2外切，有||MO2＝r＋2，∴||MO2－||MO1＝3，∴点M的轨迹是以O1，O2为焦点，实轴长为3的双曲线的左支，∴a＝32，c＝2，∴b2＝c2－a2＝74，∴点M 的轨迹方程为4x 29－4y 27＝1⎝⎛⎭⎪⎫x ≤－32. 4．如图所示，A (m ，3m )和B (n ，－3n )两点分别在射线OS ，OT (点S ，T 分别在第一、四象限)上移动，且OA →·OB →＝－12，O 为坐标原点，动点P 满足OP →＝OA →＋OB →.(1)求mn 的值；(2)求动点P 的轨迹方程，并说明它表示什么曲线？解析 (1)∵OA →·OB →＝(m ，3m )·(n ，－3n )＝－2mn ＝－12，∴mn ＝14.(2)设P (x ，y )(x ＞0)，由OP →＝OA →＋OB →，得(x ，y )＝(m ，3m )＋(n ，－3n )＝(m ＋n ，3m －3n )．∴⎩⎨⎧x ＝m ＋n ，y ＝3m －3n ，整理得x 2－y 23＝4mn ，又mn ＝14，∴P 点的轨迹方程为x 2－y 23＝1(x ＞0)．它表示以原点为中心，焦点在x 轴上，实轴长为2，焦距为4的双曲线x 2－y 23＝1的右支．易错点 轨迹方程与实际的轨迹不对应错因分析：①要注意参数的取值影响x ，y 的取值范围；②曲线的方程与方程的曲线要对应．【例1】 如图，在正方形OABC 中，O 为坐标原点，点A 的坐标为(10,0)，点C 的坐标为(0,10)，分别将线段OA 和AB 十等分，分点分别记为A 1，A 2，…，A 9和B 1，B 2，…，B 9，连接OB i ，过A i 作x 轴的垂线与OB i 交于点P i (i ∈N *，1≤i ≤9)．求证：点P i (i ∈N *,1≤i ≤9)都在同一条抛物线上，并求P 的轨迹方程．解析 依题意，过A i (i ∈N *,1≤i ≤9)且与x 轴垂直的直线方程为x ＝i ，B i 的坐标为(10，i )，所以直线OB i 的方程为y ＝i10x .设P i 的坐标为(x ，y )，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝i ，y ＝i10x ，得y ＝110x 2，即x 2＝10y .所以点P i (i ∈N *,1≤i ≤9)都在同一条抛物线上，且抛物线E 的方程为x 2＝10y . 由于i ∈[1,9]，所以x ∈[0,10]，y ∈[0,10]，从而点P 的轨迹方程为x 2＝10y (x ∈[0,10])．【跟踪训练1】 方程(x 2＋y 2－4)x ＋y ＋1＝0的曲线形状是( C )解析 由题意得x ＋y ＋1＝0或x 2＋y 2＝4(x ＋y ＋1≥0)表示直线x ＋y ＋1＝0和圆x 2＋y 2＝4在直线x ＋y ＋1＝0右上方的部分．课时达标 第53讲[解密考纲]求曲线的轨迹方程，经常通过定义法或直接法，在解答题的第(1)问中出现． 一、选择题1．已知两定点A (－2,0)，B (1,0)，如果动点P 满足|PA |＝2|PB |，则动点P 的轨迹是( B )A ．直线B ．圆C ．椭圆D ．双曲线解析 设P (x ，y )，则(x ＋2)2＋y 2＝2(x －1)2＋y 2，整理得x 2＋y 2－4x ＝0， 又D 2＋E 2－4F ＝16>0，所以动点P 的轨迹是圆．2．(2017·全国卷Ⅲ)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程为y ＝52x ，且与椭圆x 212＋y 23＝1有公共焦点，则C 的方程为( B )A ．x 28－y 210＝1B ．x 24－y 25＝1C ．x 25－y 24＝1D ．x 24－y 23＝1解析 根据双曲线C 的渐近线方程为y ＝52x ，可知b a ＝52， ①又椭圆x 212＋y23＝1的焦点坐标为(3,0)和(－3,0)，所以a 2＋b 2＝9， ②根据①②可知a 2＝4，b 2＝5，故选B ．3．已知点P 是直线2x －y ＋3＝0上的一个动点，定点M (－1,2)，Q 是线段PM 延长线上的一点，且|PM |＝|MQ |，则Q 点的轨迹方程是( D )A ．2x ＋y ＋1＝0B ．2x －y －5＝0C ．2x －y －1＝0D ．2x －y ＋5＝0解析 设Q (x ，y )，则P 为(－2－x,4－y )，代入2x －y ＋3＝0得Q 点的轨迹方程为2x －y ＋5＝0.4．设圆(x ＋1)2＋y 2＝25的圆心为C ，A (1,0)是圆内一定点，Q 为圆周上任一点，线段AQ 的垂直平分线与 CQ 的连线交于点M ，则M 的轨迹方程为( D )A ．4x 221－4y225＝1B ．4x 221＋4y225＝1C ．4x 225－4y221＝1D ．4x 225＋4y221＝1解析 ∵M 为AQ 垂直平分线上一点，则|AM |＝|MQ |，∴|MC |＋|MA |＝|MC |＋|MQ |＝|CQ |＝5， 故M 的轨迹是以定点C ，A 为焦点的椭圆， ∴a ＝52，c ＝1，则b 2＝a 2－c 2＝214，∴椭圆的标准方程为4x 225＋4y221＝1.5．设过点P (x ，y )的直线分别与x 轴的正半轴和y 轴的正半轴交于A ，B 两点，点Q 与点P 关于y 轴对称，O 为坐标原点，若BP →＝2PA →，且OQ →·AB →＝1，则点P 的轨迹方程是( A )A ．32x 2＋3y 2＝1(x >0，y >0) B ．32x 2－3y 2＝1(x >0，y >0)C ．3x 2－32y 2＝1(x >0，y >0)D ．3x 2＋32y 2＝1(x >0，y >0)解析 设A (a,0)，B (0，b )，a >0，b >0.由BP →＝2PA →，得(x ，y －b )＝2(a －x ，－y )，即a ＝32x >0，b ＝3y >0，点Q (－x ，y )，故由OQ →·AB →＝1，得(－x ，y )·(－a ，b )＝1，即ax ＋by ＝1.将a ，b 代入ax ＋by ＝1得所求的轨迹方程为32x2＋3y 2＝1(x >0，y >0)．6．已知圆锥曲线mx 2＋4y 2＝4m 的离心率e 为方程2x 2－5x ＋2＝0的根，则满足条件的圆锥曲线的个数为( B )A ．4B ．3C ．2D ．1解析 ∵e 是方程2x 2－5x ＋2＝0的根，∴e ＝2或e ＝12，mx 2＋4y 2＝4m 可化为x 24＋y 2m ＝1，当它表示焦点在x 轴上的椭圆时，有4－m 2＝12，∴m ＝3；当它表示焦点在y 轴上的椭圆时，有m －4m＝12，∴m ＝163；当它表示焦点在x 轴上的双曲线时，可化为x 24－y 2－m ＝1，有4－m2＝2，∴m ＝－12，∴满足条件的圆锥曲线有3个，故选B ．二、填空题7．已知△ABC 的顶点 A (－5,0)，B (5,0)，△ABC 的内切圆圆心在直线x ＝3上，则顶点C 的轨迹方程是__x 29－y 216＝1(x >3)__.解析 如图，|AD |＝|AE |＝8，|BF |＝|BE |＝2，|CD |＝|CF |，所以|CA |－|CB |＝8－2＝6.根据双曲线定义，所求轨迹是以A ，B 为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，方程为x 29－y 216＝1(x >3)． 8．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，A (1,0)，B (2,2)，若点C 满足O C →＝O A →＋t (O B →－O A →)，其中t ∈R ，则点C 的轨迹方程是__2x －y －2＝0__.解析 设 C (x ，y )，则OC →＝(x ，y )，OA →＋t (OB →－OA →)＝(1＋t,2t )，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝2t ，消去参数t 得点C 的轨迹方程为y ＝2x －2.9．P 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1上的任意一点，F 1，F 2是它的两个焦点，O 为坐标原点，有一动点Q 满足O Q →＝PF 1→＋PF 2→，则动点Q 的轨迹方程是 x 24a 2＋y 24b2＝1 .解析 作P 关于O 的对称点M ，连接F 1M ，F 2M ， 则四边形F 1PF 2M 为平行四边形， 所以PF 1→＋PF 2→＝PM →＝2PO →＝－2OP →. 又OQ →＝PF 1→＋PF 2→，所以OP →＝－12OQ →，设Q (x ，y )，则OP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－x2，－y 2，即点P 坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 2，－y2，又P 在椭圆上， 则有⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 22a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－y 22b 2＝1，即x 24a 2＋y 24b2＝1.三、解答题10．已知圆C 1的圆心在坐标原点O ，且恰好与直线l 1：x －y －22＝0相切． (1)求圆的标准方程；(2)设点A 为圆上一动点，AN ⊥x 轴于点N ，若动点Q 满足OQ →＝mOA →＋(1－m )ON →(其中m 为非零常数)，试求动点Q 的轨迹方程C 2.解析 (1)依题意圆的半径为圆心(0,0)到直线l 1的距离|－22|12＋12＝2，故圆C 1的方程为x 2＋y 2＝4.(2)设动点Q (x ，y )，A (x 0，y 0)． ∵AN ⊥x 轴交于点N ，∴N (x 0,0)，由题意，得(x ，y )＝m (x 0，y 0)＋(1－m )·(x 0,0)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝x 0，y ＝my 0，即⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝x ，y 0＝1m y ，将A ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ，1m y ，代入x 2＋y 2＝4， 得x 24＋y 24m 2＝1.即动点Q 的轨迹方程为x 24＋y 24m 2＝1. 11．(2018·河北唐山统考)已知动点P 到直线l ：x ＝－1的距离等于它到圆C ：x 2＋y 2－4x ＋1＝0的切线长(P 到切点的距离)．记动点P 的轨迹为曲线E .(1)求曲线E 的方程；(2)过圆心C 作直线AB ：x ＝my ＋2交曲线E 于A ，B 两点，设线段AB 的中点为D ，过圆心C 作直线CQ 垂直于直线AB 交直线l 于点Q ，求|QD ||AB |的取值范围． 解析 (1)由已知得圆的方程为(x －2)2＋y 2＝3，则圆心为C (2,0)，半径r ＝ 3.设P (x ，y )，依题意可得|x ＋1|＝(x －2)2＋y 2－3，整理得y 2＝6x .故曲线E 的方程为y 2＝6x .(2)又直线AB 的方程为my ＝x －2，则直线CQ 的方程为y ＝－m (x －2)，可得Q (－1,3m )．将my ＝x －2代入y 2＝6x 并整理可得y 2－6my －12＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝6m ，y 1y 2＝－12， AB 的中点D 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22， 即D (3m 2＋2,3m )，|QD |＝3m 2＋3. |AB |＝1＋m 2·(y 1－y 2)2＝23(1＋m )2(3m 2＋4)， 所以⎝ ⎛⎭⎪⎫|QD ||AB |2＝3m 2＋34(3m 2＋4)＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13m 2＋4∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫316，14， 故|QD ||AB |的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，12. 12．(2017·全国卷Ⅱ)设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C ：x 22＋y 2＝1上，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足NP →＝ 2 NM →.(1)求点P 的轨迹方程；(2)设点Q 在直线x ＝－3上，且OP →·PQ →＝1.证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F .解析 (1)设P (x ，y )，M (x 0，y 0)，则N (x 0,0)，NP →＝(x －x 0，y )，NM →＝(0，y 0)．由NP →＝ 2 NM →得x 0＝x ，y 0＝22y . 因为M (x 0，y 0)在椭圆C 上，所以x 22＋y 22＝1. 因此点P 的轨迹方程为x 2＋y 2＝2.(2)由题意知F (－1,0)．设Q (－3，t )，P (m ，n )，则OQ →＝(－3，t )，PF →＝(－1－m ，－n )，OQ →·PF →＝3＋3m －tn ， OP →＝(m ，n )，PQ →＝(－3－m ，t －n )．由OP →·PQ →＝1得－3m －m 2＋tn －n 2＝1，又由(1)知m 2＋n 2＝2，故3＋3m －tn ＝0.所以OQ →·PF →＝0，即OQ →⊥PF →.又过点F 存在唯一直线垂直于OQ ，所以过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F .。
2021版高考数学一轮复习第八章解析几何课时达标53曲线与方程202105072108
2021版高考数学一轮复习第八章解析几何课时达标53曲线与方程202105072108[解密考纲]求曲线的轨迹方程，经常通过定义法或直截了当法，在解答题的第(1)问中显现．一、选择题1．已知两定点A (－2,0)，B (1,0)，假如动点P 满足|PA |＝2|PB |，则动点P 的轨迹是( B )A ．直线B ．圆C ．椭圆D ．双曲线解析 设P (x ，y )，则x ＋22＋y 2＝2x －12＋y 2，整理得x 2＋y 2－4x ＝0，又D 2＋E 2－4F ＝16>0，因此动点P 的轨迹是圆．2．(2021·全国卷Ⅲ)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程为y ＝52x ，且与椭圆x 212＋y 23＝1有公共焦点，则C 的方程为( B )A ．x 28－y 210＝1B ．x 24－y 25＝1C ．x 25－y 24＝1D ．x 24－y 23＝1解析 依照双曲线C 的渐近线方程为y ＝52x ，可知b a ＝52， ①又椭圆x 212＋y23＝1的焦点坐标为(3,0)和(－3,0)，因此a 2＋b 2＝9， ②依照①②可知a 2＝4，b 2＝5，故选B ．3．已知点P 是直线2x －y ＋3＝0上的一个动点，定点M (－1,2)，Q 是线段PM 延长线上的一点，且|PM |＝|MQ |，则Q 点的轨迹方程是( D )A ．2x ＋y ＋1＝0B ．2x －y －5＝0C ．2x －y －1＝0D ．2x －y ＋5＝0解析 设Q (x ，y )，则P 为(－2－x,4－y )，代入2x －y ＋3＝0得Q 点的轨迹方程为2x －y ＋5＝0.4．设圆(x ＋1)2＋y 2＝25的圆心为C ，A (1,0)是圆内一定点，Q 为圆周上任一点，线段AQ 的垂直平分线与 CQ 的连线交于点M ，则M 的轨迹方程为( D )A ．4x 221－4y225＝1B ．4x 221＋4y225＝1C ．4x 225－4y221＝1D ．4x 225＋4y221＝1解析 ∵M 为AQ 垂直平分线上一点，则|AM |＝|MQ |，∴|MC |＋|MA |＝|MC |＋|MQ |＝|CQ |＝5， 故M 的轨迹是以定点C ，A 为焦点的椭圆， ∴a ＝52，c ＝1，则b 2＝a 2－c 2＝214，∴椭圆的标准方程为4x 225＋4y221＝1.5．设过点P (x ，y )的直线分别与x 轴的正半轴和y 轴的正半轴交于A ，B 两点，点Q 与点P 关于y 轴对称，O 为坐标原点，若BP →＝2PA →，且OQ →·AB →＝1，则点P 的轨迹方程是( A )A ．32x 2＋3y 2＝1(x >0，y >0) B ．32x 2－3y 2＝1(x >0，y >0) C ．3x 2－32y 2＝1(x >0，y >0)D ．3x 2＋32y 2＝1(x >0，y >0)解析 设A (a,0)，B (0，b )，a >0，b >0.由BP →＝2PA →，得(x ，y －b )＝2(a －x ，－y )，即a ＝32x >0，b ＝3y >0，点Q (－x ，y )，故由OQ →·AB →＝1，得(－x ，y )·(－a ，b )＝1，即ax ＋by ＝1.将a ，b 代入ax ＋by ＝1得所求的轨迹方程为32x2＋3y 2＝1(x >0，y >0)．6．已知圆锥曲线mx 2＋4y 2＝4m 的离心率e 为方程2x 2－5x ＋2＝0的根，则满足条件的圆锥曲线的个数为( B )A ．4B ．3C ．2D ．1解析 ∵e 是方程2x 2－5x ＋2＝0的根，∴e ＝2或e ＝12，mx 2＋4y 2＝4m 可化为x 24＋y 2m ＝1，当它表示焦点在x 轴上的椭圆时，有4－m 2＝12，∴m ＝3；当它表示焦点在y 轴上的椭圆时，有m －4m＝12，∴m ＝163；当它表示焦点在x 轴上的双曲线时，可化为x 24－y 2－m ＝1，有4－m2＝2，∴m ＝－12，∴满足条件的圆锥曲线有3个，故选B ．二、填空题7．已知△ABC 的顶点 A (－5,0)，B (5,0)，△ABC 的内切圆圆心在直线x ＝3上，则顶点C 的轨迹方程是__x 29－y 216＝1(x >3)__.解析 如图，|AD |＝|AE |＝8，|BF |＝|BE |＝2，|CD |＝|CF |，因此|CA |－|CB |＝8－2＝6.依照双曲线定义，所求轨迹是以A ，B 为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，方程为x 29－y 216＝1(x >3)． 8．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，A (1,0)，B (2,2)，若点C 满足O C →＝O A →＋t (O B →－O A →)，其中t ∈R ，则点C 的轨迹方程是__2x －y －2＝0__.解析 设 C (x ，y )，则OC →＝(x ，y )，OA →＋t (OB →－OA →)＝(1＋t,2t )，因此⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝2t ，消去参数t 得点C 的轨迹方程为y ＝2x －2.9．P 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1上的任意一点，F 1，F 2是它的两个焦点，O 为坐标原点，有一动点Q 满足O Q →＝PF 1→＋PF 2→，则动点Q 的轨迹方程是 x 24a 2＋y 24b2＝1 .解析 作P 关于O 的对称点M ，连接F 1M ，F 2M ， 则四边形F 1PF 2M 为平行四边形， 因此PF 1→＋PF 2→＝PM →＝2PO →＝－2OP →. 又OQ →＝PF 1→＋PF 2→，因此OP →＝－12OQ →，设Q (x ，y )，则OP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－x2，－y 2，即点P 坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 2，－y2，又P 在椭圆上，则有⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 22a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－y 22b 2＝1，即x 24a 2＋y 24b2＝1.三、解答题10．已知圆C 1的圆心在坐标原点O ，且恰好与直线l 1：x －y －22＝0相切． (1)求圆的标准方程；(2)设点A 为圆上一动点，AN ⊥x 轴于点N ，若动点Q 满足OQ →＝mOA →＋(1－m )ON →(其中m 为非零常数)，试求动点Q 的轨迹方程C 2.解析 (1)依题意圆的半径为圆心(0,0)到直线l 1的距离|－22|12＋12＝2，故圆C 1的方程为x 2＋y 2＝4.(2)设动点Q (x ，y )，A (x 0，y 0)． ∵AN ⊥x 轴交于点N ，∴N (x 0,0)，由题意，得(x ，y )＝m (x 0，y 0)＋(1－m )·(x 0,0)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0，y ＝my 0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x ，y 0＝1m y ，将A ⎝⎛⎭⎪⎫x ，1m y ，代入x 2＋y 2＝4，得x 24＋y 24m 2＝1.即动点Q 的轨迹方程为x 24＋y 24m2＝1. 11．(2020·河北唐山统考)已知动点P 到直线l ：x ＝－1的距离等于它到圆C ：x 2＋y 2－4x ＋1＝0的切线长(P 到切点的距离)．记动点P 的轨迹为曲线E .(1)求曲线E 的方程；(2)过圆心C 作直线AB ：x ＝my ＋2交曲线E 于A ，B 两点，设线段AB 的中点为D ，过圆心C 作直线CQ 垂直于直线AB 交直线l 于点Q ，求|QD ||AB |的取值范畴．解析 (1)由已知得圆的方程为(x －2)2＋y 2＝3， 则圆心为C (2,0)，半径r ＝ 3. 设P (x ，y )，依题意可得|x ＋1|＝x －22＋y 2－3，整理得y 2＝6x .故曲线E 的方程为y 2＝6x . (2)又直线AB 的方程为my ＝x －2，则直线CQ 的方程为y ＝－m (x －2)，可得Q (－1,3m )． 将my ＝x －2代入y 2＝6x 并整理可得y 2－6my －12＝0， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝6m ，y 1y 2＝－12，AB 的中点D 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22，即D (3m 2＋2,3m )，|QD |＝3m 2＋3. |AB |＝1＋m 2·y 1－y 22＝231＋m 23m 2＋4，因此⎝ ⎛⎭⎪⎫|QD ||AB |2＝3m 2＋343m 2＋4＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13m 2＋4∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫316，14， 故|QD ||AB |的取值范畴是⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，12. 12．(2021·全国卷Ⅱ)设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C ：x 22＋y 2＝1上，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足NP →＝ 2 NM →.(1)求点P 的轨迹方程；(2)设点Q 在直线x ＝－3上，且OP →·PQ →＝1.证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F .解析 (1)设P (x ，y )，M (x 0，y 0)，则N (x 0,0)， NP →＝(x －x 0，y )，NM →＝(0，y 0)．由NP →＝ 2 NM →得x 0＝x ，y 0＝22y . 因为M (x 0，y 0)在椭圆C 上，因此x 22＋y 22＝1.因此点P 的轨迹方程为x 2＋y 2＝2.(2)由题意知F (－1,0)．设Q (－3，t )，P (m ，n )，则 OQ →＝(－3，t )，PF →＝(－1－m ，－n )，OQ →·PF →＝3＋3m －tn ， OP →＝(m ，n )，PQ →＝(－3－m ，t －n )．由OP →·PQ →＝1得－3m －m 2＋tn －n 2＝1， 又由(1)知m 2＋n 2＝2， 故3＋3m －tn ＝0.因此OQ →·PF →＝0，即OQ →⊥PF →.又过点F 存在唯独直线垂直于OQ ，因此过点P 且垂直于OQ的直线l 过C 的左焦点F .。