中考数学综合题专题复习[几何中的动点问题]专题解析

中考数学综合题专题复习【几何中的动点问题】专题解析

【真题精讲】

【例1】如图，在梯形ABCD 中，AD II BC , AD 3 , DC 5 , BC 10，梯形的高为4 •动 点M 从

B 点出发沿线段B

C 以每秒2个单位长度的速度向终点 C 运动；动点N 同时从C 点 出发沿线段C

D 以

每秒1个单位长度的速度向终点 D 运动•设运动的时间为t （秒）•

（1）当MN I AB 时，求t 的值；

2）试探究：t 为何值时，△ MNC 为等腰三角形.

【思路分析1】本题作为密云卷压轴题，自然有一定难度，题目中出现了两个动点，很多同 学看到可能就会无从下手。但是解决动点问题，首先就是要找谁在动，谁没在动，通过分 析动态条件和静态条件之间的关系求解。对于大多数题目来说，都有一个由动转静的瞬间， 就本题而言，M N 是在动，意味着 BM,MC 以及DN,NC 都是变化的。但是我们发现，和这些 动态的条件密切相关的条件 DC,BC 长度都是给定的，而且动态条件之间也是有关系的。所

以当题中设定 MN//AB 时，就变成了一个静止问题。由此，从这些条件出发，列出方程，自 然得出结果。

【解析】

解：（1 ）由题意知，当 M 、N 运动到t 秒时，如图①，过 D 作DE II AB 交BC 于E 点，则 四边形ABED 是平行四边形.

••• AB II DE , AB II MN . ••• DE II MN . （根据第一讲我们说梯形内辅助线的常用做法，成功将

内，将动态问题转化成平行时候的静态问题） MN 放在三角形

• MC NC

EC CD

（这个比例关系就是将静态与动态联系起来的关键）

即可，于是就漏掉了 MN=MC,MC=C ^两种情况。在中考中如果在动态问题当中碰见等腰三

（2）分三种情况讨论：

①当MN NC 时，如图②作 NF BC 交BC 于F ,则有MC 2FC 即.（利用等腰三角形 底边高也是底边中线的性质） .4丄•解得t 50 .

10 3 5 17

【思路分析2】第二问失分也是最严重的， 很多同学看到等腰三角形，

理所当然以为是 MN=NC

角形，一定不要忘记分类讨论的思想，两腰一底一个都不能少。具体分类以后，就成为了 较为简单的解三角形问题，于是可以轻松求解 【解析】

…cos C -

5 3t 二 10 2t 2 3-, 5

解得t 25 .

8

②当MN MC 时，如图③，过M 作MH CD 于H 贝U CN 2CH ,

3

二 t 2 10 2t

5

••• t 60.

17

③当MC CN 时, 则 10 2t t .

10 3

综上所述，当t 25、60或10时，△ MNC 为等腰三角形.

8 17 3

【例2】在厶ABC 中，/ ACB=45o .点D (与点B C 不重合)为射线 BC 上一动点，连接 AD, 以AD 为一边且在AD 的右侧作正方形 ADEF

(1) 如果AB=AC 如图①，且点D 在线段BC 上运动.试判断线段CF 与BD 之间的位置关系, 并证

明你的结论.

(2) 如果AB^ AC,如图②，且点 D 在线段BC 上运动.(1)中结论是否成立，为什么？ (3)若正方形ADEF 的边DE 所在直线与线段 CF 所在直线相交于点 P,设AC = 4 2 , BC 3 , CD=x ，求线段CP 的长.(用含x 的式子表示)

sin C

DF 4 CD

5

zb

A

Ed)

B

&

歌哥

【思路分析1】本题和上题有所不同，上一题会给出一个条件使得动点静止，而本题并未给 出那个“静止点”，所以需要我们去分析由 D 运动产生的变化图形当中， 什么条件是不动的。

由题我们发现，正方形中四条边的垂直关系是不动的，于是利用角度的互余关系进行传递， 就可以得

解。 【解析】：

（1）结论：CF 与BD 位置关系是垂直； 证明如下：

AB=AC ,/ ACB=450 ,二/ ABC=450 .

由正方形 ADEF 得 AD=AF , v/ DAF=/ BAC =90o ,

•••/ DAB / FAC 二△ DAB^A FAC , /•/ ACF=Z ABD •••/ BCF 玄 ACB+/ ACF= 90o .即 CF 丄 BD. 【思路分析2】这一问是典型的从特殊到一般的问法，那么思路很简单，就是从一般中构筑 一个特殊的条件就行，于是我们和上题一样找 AC 的垂线，就可以变成第一问的条件，然后

一样求解。

(2) CF 丄BD. (1)中结论成立.

理由是：过点 A 作AGLAC 交BC 于点G • AC=AG 可证：△ GAD^A CAF

ACF 玄 AGD=45

/ BCF=/ ACB / ACF= 90o . 即 CF L BD

【思路分析3】这一问有点棘手，D 在BC 之间运动和它在BC 延长线上运动时的位置是不一

【例3】已知如图，在梯形ABCD 中，AD // BC , AD

样的，所以已给的线段长度就需要分情况去考虑到底是 4+X 还是4-X 。分类讨论之后利用相 （3）过点A 作AQL BC 交CB 的延长线于点 Q ①点D 在线段BC 上运动时，

v/ BCA=45），可求出 AQ= CQ=4

DQ=4-x ， 易证△ AQD^A DCP • CP CD

----- ------ 5

• CP x

DQ AQ

4x4

2

CP

— x .

4

②点D 在线段BC 延长线上运动时，

v/ BCA=45），可求出 AQ= CQ=4 DQ=4+x .

ACF .

CF 丄 BD,

△ AQD^A DCP

CP CD DQ AQ

CP X

4x4

2

X CP x .

4

2, BC 4,点M 是AD 的中点,

F C

似三角形的比例关系即可求出

CP.

过A 作AG AC 交CB 延长线于点G,则 AGD