数学分析习题课1.1

第一章 实数集与函数

习题课 实数集、确界原理与函数

一、基本要求：

1、掌握有关实数的性质与运算。

2、正确理解确界概念与确界原理，并运用于有关命题的运算与证明。

3、在中学已掌握函数概念的基础上，以两个数集之间映射的观点来加深对函数概念的理解。

4、进一步掌握函数的运算性质（四则运算、复合运算、和反函数等）及其表示方法。

5、加深对某些特性函数（有界函数、单调函数、奇（偶）函数和周期函数）的认识。并能依次对所给函数是否具有上述性质做出判断。

二、内容复习：

1、实数的定义：实数是有理数和无理数的统称。有理数可用分数形式q

p

（q p ,为整数，0≠q ）表示也可用有限十进小数或无限十进循环小数来表示；而无限十进不循环小数则称为无理数。

2、实数的性质：

(1) 封闭性：实数集R 对加、减、乘、除（除数不为０）四则运算是封闭的.

(2) 有序性：任意两实数b a ,必满足下述三个关系之一：b a <，b a =，b a >.

(3) 传递性：若b a >，c b >，则c a >.

(4) 阿基米德性：对任何R b a ∈,，若0>>a b ，则存在正整数n ，使得b na >.

(5) 稠密性：任何两个实数之间必有另一个实数，且既有有理数，也有无理数.

(6) 实数集与数轴上的点有着一一对应关系.

3、绝对值的定义：

⎩⎨⎧<-≥=.

0,,0,||a a a a a 从数轴上看，数a 的绝对值||a 就是a 到原点的绝对值.

4、绝对值的性质：

(1) 0||||≥-=a a ;当且仅当时0=a 有0||=a .

第一章 实数集与函数

(2) ||||a a a ≤≤-.

(3) )0(||;||>≤≤-⇔≤<<-⇔

(4)对任何R b a ∈,有如下的三角不等式：

||||||||||b a b a b a +≤±≤-.

(5) ||||||b a ab =. (6) )0(|

|||≠=b b a b a . 5、区间与邻域的概念：

有限区间：设a 、R b ∈，且b a <

开区间：}|{),(b x a x b a <<=.

闭区间：}|{],[b x a x b a ≤≤=.

半开半闭区间：}|{),[b x a x b a <≤=或}|{],(b x a x b a ≤<=.

无限区间：}|{],(a x x a ≤=-∞，}|{),(a x x a <=-∞

}|{],(a x x a ≥=+∞，}|{),(a x x a >=+∞

R =+∞-∞),(

邻域：设0,>∈δR a

点a 的δ邻域：),(}|||{);(δδδδ+-=<-=a a a x x a U .

点a 的空心δ邻域：}||0|{);(δδ<-<=a x x a U .

点a 的左δ邻域：],();(a a a U δδ-=-.

点a 的右δ邻域：),[);(δδ+=+a a a U .

∞邻域：}|||{)(M x x U >=∞，其中为充分大的正数（下同）.

∞+邻域：}|{)(M x x U >=+∞；∞-邻域：}|{)(M x x U -<=-∞.

6、确界的定义：

确界是上确界与下确界的统称。

上确界的定义：设S 是R 中的一个数集。若η满足：

第一次习题课 实数集、确界原理与函数

(i)对一切s x ∈，有η≤x ，即η是S 的上界；

(ii)对任何ηα<，存在S x ∈0，使得α>0x ，即η又是S 的最小上界，

则称数η为数集S 的上确界，记作 S sup =η.

下确界的定义：设S 是R 中的一个数集。若ξ满足：

(i)对一切s x ∈，有ξ≥x ，即ξ是S 的下界；

(ii)对任何ξβ>，存在S x ∈0，使得β<0x ，即ξ又是S 的最大下界，

则称数ξ为数集S 的下确界，记作 S inf =ξ.

7、确界原理：设S 为非空数集。若S 有上界，则S 必有上确解；若S 有下界，则S 必有下确界。

8、函数的定义：给定两个实数集D 和M ，若有对应法则f ，使对D 内每一个数x ，都有唯一的一个数M y ∈与它对应，则称f 是定义在数集D 上的函数，记作

.

,:y x M D f → 数集D 称为f 的定义域，x 所对应的数y ，称为f 在点x 的函数值，常记作)(x f ，全体函数值的集合

)}(),(|{)(M D x x f y y D f ⊂∈==

称为函数的值域。

9、函数的表示方法：解析法（或公式法）、列表法和图像法。

10、复合函数

设有两个函数

.),(,

),(E x x g u D u u f y ∈=∈=

记.})(|{*E D x g x E ∈=若∅≠*E ，则对每一个，*E x ∈，可通过函数g 对应D 内唯一的一个值u 。而u 又通过函数f 对应唯一的一个值y 。这就确定了一个定义在*E 上的函数，它以x 为自变量，y 为因变量，记作

*)),((E x x g f y ∈=或*),)((E x x g f y ∈= ，

第一章 实数集与函数

称为函数f 和g 的复合函数，并称f 为外函数，g 为内函数，u 为中间变量。函数f 和g 的复合运算也可简单的写作g f 。

11、反函数

设函数 D x x f y ∈=),(，满足：对于值域)(D f 中的每一个值y ，D 中有且只有一个值x 使得 y x f =)(.则按此对应法则得到一个定义在)(D f 上的函数，称这个函数为f 的反函数，记作 x y D

D f f →-)(:1 或 )(),(1D f y y f x ∈=-.

12、初等函数

由基本初等函数经过有限次四则运算与复合运算所得到的函数，统称为初等函数。

13、有界函数

设f 为定义在D 上的函数。若存在正数M ，使得对每一个D x ∈有

M x f ≤|)(|，

则称f 为D 上的有界函数。

14、单调函数

设f 为定义在D 上的函数。若对任何D x x ∈21,，当21x x <时，总有

(i) )()(21x f x f ≤,则称f 为D 上的增函数，特别当成立严格不等式)()(21x f x f <时，称f 为D 上的严格增函数；

(ii) )()(21x f x f ≥,则称f 为D 上的减函数，特别当成立严格不等式)()(21x f x f >时，称f 为D 上的严格减函数；

增函数和减函数统称为单调函数，严格增函数和严格减函数统称为严格单调函数。

15、奇函数和偶函数

设D 为对称于原点的数集，f 为定义在D 上的函数。若对每一个D x ∈有

)()(x f x f -=- ))()((x f x f =-，

则称f 为D 上的奇（偶）函数。

16、周期函数