信号与系统第7章(陈后金)1

x[k ] X ( z ), z Rx
z
x1[k ] X1 ( z), z Rx1
z
x2 [k ] X 2 ( z), z Rx 2
z
1.线性特性
ax [k ] bx2[k ] aX1( z) bX2 ( z) 1
z
z max(Rx1 , Rx 2 )
解：
1 u[k ] , -1 1- z
Z
z 1
利用因果序列的位移特性和线性特性，可得
-N 1 z-N 1- z X ( z) -1 -1 1- z 1- z 1 - z -1
由于RN[k]为有限长序列，故其收敛域为
|z|>0
ROC扩大
线性加权后序列z变换的ROC可能比原序列z变换的ROC大
利用z变换的指数加权特性，可得
a k sin( 0 k )u[k ]
sin 0 ( z / a ) -1 1 - 2( z / a ) -1 cos 0 ( z / a ) -2
a sin 0 z -1 za 2 -1 -2 a - 2a z cos 0 z
k 0
N -1
1- z -N 1 - z -1
Fra Baidu bibliotek
ROC: z 0
有限长序列z变换的收敛域为|z|>0
三、常用单边序列的z变换
1) Z{[k]}1, z 0
1 2) Z{a u[k ]} 1 - a z -1
k
za
1 3) Z{u[k ]} 1 - z -1
z 1
四、单边z变换的主要性质
x[k ] z X ( z)
二、单边z变换及其收敛域
单边z变换 收敛域(ROC)
X ( z ) x[k ]z
k 0

-k
使上式级数收敛的所有z的范围称为X(z)的收敛域 一般右边序列的收敛域为z平面中的一圆外区域
z Rx
Im z
ROC
Im z
|z|=1 单位圆
Re z 1
R
x
例：求以下周期序列的单边z变换。
k
n 0, 1, 2, 1, k 2n, (1) x[ k ] 0, k 2n 1, n 0, 1, 2,
(2) y[k ] (-1)i x[k - i]
i 0
解： x[k]可表示为 x[k ] [k ] [k - 2] [k - 4] (1)
x[k]=2ku[k]的离散时间Fourier变换(DTFT)? 不存在! 将 x[k] 乘以衰减因子r-k
DTFT{2 u[k ] r }
k -k

k 0
k 0

2 r e
k
- k - j k


k 0

2 k (re j ) - k
令z re
j
2k z - k
若|z| 2
az -1 ,za -1 2 (1 - az )
利用z变换的线性特性，可得
1 ,za (k 1)a u[k ] -1 2 (1 - az )
k Z
四、单边z变换的主要性质
5. 序列卷积
x1[k ] x2 [k ] X1 ( z) X 2 ( z) ROC 包含Rx1∩Rx2
6.初值与终值定理
x[0] limX ( z)
z
若(z-1)X(z)的收敛域包含单位圆，则
x[] lim z -1) X (z) (
z1
例： 已知X(z) = 1/(1-a z-1) |z| |a|
求x[0]， x[1]和 x[] 。
解：
1 1 x[0] limX ( z) lim -1 z 1 - az z 根据位移特性有 x[k 1]u[k] z z{X (z) - x[0]}
Re z
-1
z平面
例：求以下序列的z变换及收敛域。
(1) x[k ] a u[k ]
k
(2)
1 0 k N - 1 x[k ] 0 其它
Im z
解：
(1)
X ( z) a z
k k 0

-k
1 -1 1 - az
|a|
Re z
ROC : z a
(2)
X ( z ) z -k
四、单边z变换的主要性质
4. z域微分特性
dX ( z ) kx[k ] - z dz
ROC Rx
例：求x[k]=(k+1)aku[k]的z变换及收敛域
1 a u[k ] , -1 1 - az
k Z
解：
z a
利用z域微分特性，可得
1 d 1 - az -1 k Z{ka u[k ]} - z dz

为什么进行信号与系统的复频域分析？ 如何进行信号的复频域分析?


如何从复频域分析系统的响应？
系统函数的地位和作用是什么?
离散时间信号的复频域分析
由离散时间Fourier变换到z变换
单边z变换及其收敛域 常用单边序列的z变换 单边z变换的性质 单边z反变换
一、由离散时间Fourier变换到z变换
对上式应用初值定理，即得
a x[1] limz{X ( z) - x[0]} lim a -1 z z 1 - az 当|a|<1时，(z-1)X(z)的收敛域包含单位圆，由终 值定理，有 z -1 0 x[] lim z -1) X (z) lim ( -1 z 1 1 - az z1
例：求sin(0k)u[k] 和cos(0k)u[k] 的z变换及 收敛域
解：利用
Z {e
j 0 k
u[k ]}
1 1- e
j 0
z
-1
|z|>1
将上式改写，可得
1 - cos0 z -1 jsin 0 z -1 Z{[cos( 0 k ) jsin(0 k )]u[k ]} 1 - 2 z -1 cos 0 z -2 利用线性特性，可得 -1 1 - cos 0 z |z|>1 cos( 0 k )u[k ] 1 - 2 z -1 cos 0 z -2 sin 0 z -1 sin( 0 k )u[k ] |z|>1 1 - 2 z -1 cos 0 z -2
i 0 k n

0
n
k
z X (z)
-n
|z|> Rx
四、单边z变换的主要性质
2. 位移特性
证明
x[k ]
Z x[k - n]u[k ] z -n [ X ( z )
k - n
x[k ]z -k ]
x[k - 2]
-1
X (z )
z
k
0
x[k - 1]
0
k
0

1 1 - 2z -1
一、由离散时间Fourier变换到z变换
推广到一般情况
DTFT{x[k ]r }
-k k -


x[k ]r -k e- jk
z=rej
k -


x[k ]z -k X (z)

定义 z反变换
X ( z)
k -

x[k ]z -k
双边z变换
四、单边z变换的主要性质
3. 指数加权特性
z a x[ k ] X ( ) a
k Z
ROC a Rx
例：求aksin(0k) u[k] 的z变换及收敛域
解：
sin( 0 k )u[k ]
z
sin 0 z -1 1 - 2 z cos 0 z
-1 -2
z 1
利用[k]的z变换及因果序列的位移特性，可得
(2) 将y[k]改写为 y[k ]
1 X ( z) 1 z z 1 - z -2 k
-2 -4
i 0
z 1
(-1)i x[k - i] (-1) k u[k ] * x[k ]
z 1
1 由(1)题的结果及卷积特性，可得 Y ( z) (1 z -1 )(1 - z -2 )
xN [k ]u[k ] x1[k - lN ]
l 0

若计算出x1[k]的z变换X1(z)，利用因果序列的位移特性
和线性特性，则可求得其单边周期序列的z变换为
Z xN [k ]u[k ] X 1 ( z ) z
l 0

- Nl
X1 ( z) 1- z -N
z 1
四、单边z变换的主要性质
2. 位移特性
因果序列的位移 x[k - n] u[k - n] z-nX(z) 非因果序列的位移
n -1
|z|> Rx |z|> Rx |z|> Rx
Z x[k n]u[k ] z n [ X ( z ) - x[k ]z -k ]
x[k - n]u[k ] z -n [ X ( z) x[k ]z -k ] Z
k
Z{x[k -1]u[k ]} z X ( z) x[-1] Z{x[k - 2]u[k ]} z -1Z{x[k -1]u[k ]} x[-2] z -2 X ( z) z -1x[-1] x[-2]
依此类推 可证上式成立
-1
例：求RN[k]=u[k]-u[k-N]的z变换及收敛域
证：Z{x1[k ] x2 [k ]} Z{ x1[n]x2 [k - n]}
x1[n]Z{x2 [k - n]}
n
X 2 ( z ) x1[n]z
n
n
-n
X1 ( z ) X 2 ( z )
例：求 Z{
x[n]}
n 0
k
解：
设
x[n] x[k ]* u[k ]
例：求以下单边周期序列的单边z变换。
k
n 0, 1, 2, 1, k 2n, (1) x[ k ] 0, k 2n 1, n 0, 1, 2,
(2) y[k ] (-1)i x[k - i]
i 0
一般情况：周期为N的单边周期序列xN[k]u[k]可以表示为第一 个周期序列x1[k]及其位移x1[k-lN]的线性组合，即
k - n
k 0 -1
四、单边z变换的主要性质
2. 位移特性
证明
x[k ]
Zx[k - n]u[k - n] z -n X ( z)
x[k - n]
z X (z )
0 k
Z{x[k - n]u[k - n]} x[k - n]z -k k - n i x[i]z -(i n )
1 x[k ] X ( z ) z k -1dz 2 πj c
C为X(z) 的收敛域(ROC )中的一闭合曲线
一、由离散时间Fourier变换到z变换
1 k -1 x[k ] c X ( z ) z dz 2 πj
物理意义： 离散信号可分解为不同频率复指数zk的线性组合
符号表示 正变换：X(z)=Z{x[k]} 或 反变换： x[k] =Z-1{X(z)}
n 0
k
x[k ] X ( z ), z Rx
z
利用z变换的卷积特性，以及 1 z u[k ] , z 1 -1 1- z 可得
X ( z) Z{ x[n]} Z{x[k ]} Z{u[k ]} 1 - z -1 n 0 z max(1, Rx )
k
四、单边z变换的主要性质
信号与系统
Signals and Systems
普通高等教育“十一五”国家级规划教材 《信号与系统》
陈后金，胡健，薛健
高等教育出版社， 2007年
离散时间信号与系统的复频域分析
离散时间信号的复频域分析 离散时间LTI系统的复频域分析 离散时间系统函数与系统特性 离散时间系统的模拟
离散时间信号与系统的复频域分析