学而思加乘原理初步

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准备学而思综合诊断6道加法乘法试题解析

准备学而思综合诊断6道加法乘法原理详解1、用6片1×2的瓷砖可以在墙上铺成一块3×4的区域。

要铺成大小为3×4的区域共有（）种不同的方法？其中1×2指的是长2宽1，区域3×4指的是长4宽3 。

分析：2、可以用几种方法将1个3×3的正方形分成一个1×1的正方形和四个2×1的矩形（长方形）？分析：3、数字0、2、4、6、8称为偶数数码。

数字1、3、5、7、9称为奇数数码。

在有些四位数的各位数字种，奇数数码的个数比偶数数码的个数多。

例如1370、3591等。

那么这样的四位数共有多少个？分析：通过题目给的四位数1370可以看出来，奇数3个偶数1个；3591奇数4个偶数0个。

所以符合奇数个数比偶数个数多的条件的四位数分成两大类：①3个奇数与1个偶数组成的四位数；②4个奇数与0个偶数组成的四位数。

①、3个奇数与1个偶数组成的四位数。

因为偶数涉及到0，0不可以在最高位，所以分为含0和不含0的两种类型。

一、含0即3个奇数和1一个0组成的四位数；分两步为乘法原理：1、先选择1个偶数，这里是0这个偶数，为1种选法；2、从1、3、5、7、9中选择3个奇数，选出来的3个奇数没有顺序，分三步选择，第一个奇数有5种选择，第二个奇数有4种选择，第三个奇数有3种选择，同时选出来的三个奇数不讲究顺序，所以要除以（3×2×1），所以有：5×4×3÷（3×2×1）=10种选法；3、选择出来的3个奇数和偶数0共4个数进行排列，对应有：4×3×2×1=24种排法；共有：1×10×24=240种。

二、1个不是0的偶数和3个奇数组成的四位数；②、4个奇数组成的四位数。

分两步为乘法原理：1、先从1、3、5、7、9中选择4个奇数：5选4即丢1，有5种丢法，即有5种选择方法；2、选出的4个奇数再进行排列，对应有：4×3×2×1=24种排列方法一共：5×24=120个。

学而思加乘原理初步课件

加乘原理的重要性
加乘原理在数学中的应用
培养逻辑思维
加乘原理是数学中基本运算之一，对于进行各种复杂的计算具有重要的实际意义。
学习加乘原理有助于培养逻辑思维，提高对数学问题的分析和解决能力。
加深对数学概念的理解
通过学习加乘原理，可以更深入地理解数学中的一些基本概念，如代数、函数等。
加乘原理的应用范围
劣势3
加乘原理的应用需要投入时间和精力，需要进行必要的准备和规划。
对加乘原理未来的展望和期待
发展方向1
深入研究加乘原理的理论和实践，探索其应用范围和领域，推动其在更广泛领域的应用和发展。
发展方向2
加强加乘原理与其他理论或技术的结合，形成新的理论或技术体系，为解决复杂问题提供更多有效的工具和方法。
到一个整体，这个整体的效果大于各个部分的效果之和。
总结2
02
加乘原理可以应用于各种领域，如数学、物理、化学等，以及
商业、管理、教育等方面。
总结3
03
加乘原理是一种思维方式和工具，可以帮助人们更好地理解和
解决复杂问题，提高效率和效果。
分析加乘原理的优势和劣势
优势1
加乘原理可以帮助人们更好地认识事物的本质和规律，从而更好地进行决策和行动。
和融合，能够产生新的工作思路和方法，从而更好地完成工作任务。
03
职业规划与发展
加乘原理可以帮助我们更好地规划职业发展，通过将不同的职业领域进
行关联和整合，能够更好地了解职业发展趋势和机会。
生活上的应用
提高生活质量
加乘原理可以帮助我们更好地管理生活，通过将不同的生活领域进行优化和整合，能够提高生活质量。
案例二：力量的加乘
总结词

第一板块：加乘原理

第一板块：加乘原理一、加法原理一般地，如果完成一件事有k类方法，第一类方法中有m1种不同做法，第二类方法中有m2种不同做法，…，第k类方法中有m k种不同的做法，则完成这件事共有N＝m1＋m2＋…＋m k种不同的方法。

这就是加法原理。

加法原理运用的范围：完成一件事的方法分成几类，每一类中的任何一种方法都能完成任务，这样的问题可以使用加法原理解决。

我们可以简记为：“加法分类，类类独立”。

二、乘法原理一般地，如果完成一件事需要n个步骤，其中，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，…，做第n步有m n种不同的方法，则完成这件事一共有N＝m1×m2×…×m n种不同的方法。

这就是乘法原理。

乘法原理运用的范围：完成一件事的方法分成几步，每一步只能完成任务的一部分，且缺一不可。

这样的问题可以使用加法原理解决。

我们可以简记为：“乘法分步，步步相关”。

在很多题目中，加法原理和乘法原理都不是单独出现的，这就需要我们能够熟练的运用好这两大原理，综合分析，正确作出分类和分步。

(★★)从1到300的所有自然数中，不含有数字2的自然数有多少个?(★★)用数码0，1，2，3，4，可以组成多少个小于1000的没有重复数字的自然数？(★★)红、黄、蓝、白四种颜色不同的小旗，各有2，2，3，3面，任意取出三面按顺序排成一行，表示一种信号，问：共可以表示多少种不同的信号？如果白旗不能打头又有多少种？计数——加乘原理与“染色”问题(★★)(走进美妙数学花园少年数学邀请赛)如图，将1，2，3，4，5分别填入图中的格子中，要求填在黑格里的数比它旁边的两个数都大。

共有种不同的填法？(★★)用0，1，2，3，7，8六个数字可以组成多少个能被9整除的没有重复数字的四位数。

(★★☆)一楼梯共12级，规定每步只能跨上一级或两级，要登上第12级，共有多少种不同走法？第二板块：“染色”问题(★★)用四种颜色对右图的五个字染色，要求相邻的区域的字染不同的颜色，但不是每种颜色都必须要用。

加乘原理知识点总结

加乘原理知识点总结
加乘原理是概率论中的两个基本原理，它们被广泛应用于各种领域，包括编程。

以下是这两个原理的总结：
加法原理，也被称为分类计数原理，它描述的是完成一件事的不同方法。

这个原理指出，如果完成一件事有n类方法，每一类方法都是独立、完整且互斥的，那么完成这件事共有m1+m2+...+mn种不同的方法。

乘法原理，也被称为分步计数原理，它描述的是完成一个独立事件所需的不同步骤。

这个原理指出，如果完成一件事需要分成n个步骤，每一步都有m种不同的方法，那么完成这件事共有m1×m2×...×mn种不同的方法。

这两个原理的关键在于分类和分步的恰当性。

加法原理中的每一种方法都是独立、完整且互斥的，只有满足这个条件，才能用加法原理。

乘法原理中的每一步都不能独立完成任务，且各步都不可缺少，需要依次完成所有步骤才能完成一个独立事件，只有满足这个条件，才能用乘法原理。

这两个原理是计算可能性的基础，在解决实际问题的过程中具有重要应用。

例如，在排列组合问题中，可以使用加法原理计算不同元素的组合数；在概率问题中，可以使用乘法原理计算多个事件的联合概率。

加乘原理详解——从概念到应用的全面解析

第 4 讲加乘原理（2）一、加乘原理概念生活中常有这样的情况：在做一件事时，有几类不同的方法，在具体做的时候，只要采用其中某一类中的一种方法就可以完成，并且这几类方法是互不影响的．那么考虑完成这件事所有可能的做法，就要用到加法原理来解决．还有这样的一种情况：就是在做一件事时，要分几步才能完成，而在完成每一步时，又有几种不同的方法．要知道完成这件事情共有多少种方法，就要用到乘法原理来解决．二、加乘原理应用应用加法原理和乘法原理时要注意下面几点：⑴加法原理是把完成一件事的方法分成几类，每一类中的任何一种方法都能完成任务，所以完成任务的不同方法数等于各类方法数之和．⑵乘法原理是把一件事分几步完成，这几步缺一不可，所以完成任务的不同方法数等于各步方法数的乘积．⑶在很多题目中，加法原理和乘法原理都不是单独出现的，这就需要我们能够熟练的运用好这两大原理，综合分析，正确作出分类和分步．加法原理运用的范围：完成一件事的方法分成几类，每一类中的任何一种方法都能完成任务，这样的问题可以使用加法原理解决．我们可以简记为：“加法分类，类类独立”．乘法原理运用的范围：这件事要分几个彼此互．不．影．响．的独．立．步．骤．来完成，这几步是完成这件任务缺．一．不．可．的．，这样的问题可以使用乘法原理解决．我们可以简记为：“乘法分步，步步相关”．1、五面五种颜色的小旗，任意取出几面排成一行表示各种信号，问：共可以表示多少种不同的信号？【解析】分 5 种情况：⑴取出一面，有 5 种信号；⑵取出两面：可以表示5⨯ 4 = 20 种信号；⑶取出三面：可以表示：5⨯ 4 ⨯ 3 = 60 种信号；（4）取出四面：可以表示：5⨯ 4⨯ 3⨯ 2 =120 种信号；（4）取出五面：可以表示：5⨯ 4⨯ 3⨯ 2⨯1 =120 种信号；由加法原理，一共可以表示： 5 + 20 + 60 +120 +120 = 325 种信号．2、五种颜色不同的信号旗，各有5 面，任意取出四面排成一行，表示一种信号，问：共可以表示多少种不同的信号？【解析】每一个位置都有 5 种颜色可选，所以共有5⨯ 5⨯ 5⨯ 5 = 625 种3、由数字4，5，7，8 可以组成多少个没有重复数字的奇数？【解析】2+6+12+12=324、由数字0，1，2，3，4，5 可以组成多少个无重复数字的偶数？解答：3+13+52+156+312+312=8485、有5 张卡，分别写有数字2，3，4，5，6．如果允许6 可以作9 用，那么从中任意取出3 张卡片，并排放在一起．问（1）可以组成多少个不同的三位数？（2）可以组成多少个不同的三位偶数？（1）96有6 4×3×3=36有9 4×3×3=36无69 4×3×2=24（2）48有6 在末尾4×3×1=12有6 不在末尾3×2×2=12有9 3×2×2=12无69 3×2×2=126、妈妈买了7 件不同的礼物，要送给亲朋好友的 4 个孩子每人一件．其中姐姐的儿子小强想从智力拼图和遥控汽车中选一个，朋友的女儿小玉想从学习机和遥控汽车中选一件．那么，妈妈送出这4 件礼物共有种方法．【解析】若将遥控汽车给小强，则学习机要给小玉，此时另外2 个孩子在剩余5 件礼物中任选2 件，有5⨯ 4 = 60 种方法；若将遥控车给小玉，则智力拼图要给小强，此时也有20 种方法；若遥控车既不给小强、也不给小玉，则智力拼图要给小强，学习机要给小玉，此时仍然有20 种方法．所以共有60 种方法．7、某件工作需要钳工 2 人和电工2 人共同完成．现有钳工 3 人、电工 3 人，另有 1 人钳工、电工都会．从7 人中挑选 4 人完成这项工作，共有多少种方法？（6 级）【解析】分两类情况讨论：⑴都会的这 1 人被挑选中，则有：①如果这人做钳工的话，则再按乘法原理，先选一名钳工有 3 种方法，再选 2 名电工也有 3 种方法；所以有3⨯ 3 = 9 种方法；②同样，这人做电工，也有9 种方法．⑵都会的这一人没有被挑选，则从 3 名钳工中选 2 人，有 3 种方法；从 3 名电工中选 2 人，也有 3种方法，一共有3⨯ 3 = 9 种方法．所以，根据加法原理，一共有9 + 9 + 9 = 27 种方法．8、玩具厂生产一种玩具棒，共4 节，用红、黄、蓝三种颜色给每节涂色．这家厂共可生产种颜色不同的玩具棒．【解析】每节有3 种涂法，共有涂法3⨯ 3⨯ 3⨯ 3 = 81 (种)．但上述81 种涂法中，有些涂法属于重复计算，这是因为有些游戏棒倒过来放时的颜色与顺着放时的颜色一样，却被我们当做两种颜色计算了两次．可以发现只有游戏棒的颜色关于中点对称时才没有被重复计算，关于中点对称的游戏棒有3⨯ 3⨯1⨯1 = 9 (种)．故玩具棒最多有(81+ 9) ÷ 2 = 45 种不同的颜色．9、从 6 名运动员中选出4 人参加4 ⨯100 接力赛，求满足下列条件的参赛方案各有多少种：⑴甲不能跑第一棒和第四棒；⑵甲不能跑第一棒，乙不能跑第二棒【解析】⑴先确定第一棒和第四棒，第一棒是除甲以外的任何人，有5 种选择，第四棒有4 种选择，剩下的四人中随意选择2 个人跑第二、第三棒，有4 ⨯3=12 种，由乘法原理，共有：5⨯4⨯12 =240 种参赛方案⑵先不考虑甲乙的特殊要求，从 6 名队员中随意选择 4 人参赛，有6⨯ 5⨯ 4⨯ 3 = 360 种选择.考虑若甲跑第一棒，其余5 人随意选择3 人参赛，对应5⨯4⨯ 3 = 60 种选择，考虑若乙跑第二棒，也对应5⨯ 4 ⨯ 3 = 60 种选择，但是从360 种中减去两个60 种的时候，重复减了一次甲跑第一棒且乙跑第二棒的情况，这种情况下，对应于第一棒第二棒已确定只需从剩下的 4 人选择 2 人参赛的4 ⨯ 3 = 12种方案，所以，一共有360 - 60⨯ 2 +12 = 252 种不同参赛方案．10、七位数的各位数字之和为60 ，这样的七位数一共有多少个？【解析】七位数数字之和最多可以为9 ⨯ 7 = 63．63 - 60 = 3 ．七位数的可能数字组合为：①9，9，9，9，9，9，6．第一种情况只需要确定 6 的位置即可．所以有 6 种情况．②9，9，9，9，9，8，7．第二种情况只需要确定8 和7 的位置，数字即确定．8 有7 个位置，7 有 6 个位置．所以第二种情况可以组成的7 位数有7 ⨯ 6 = 42 个．③9，9，9，9，8，8，8，第三种情况，3 个8 的位置确定即7 位数也确定．三个8 的位置放置共有7 ⨯ 6⨯ 5 = 210 种．三个相同的8 放置会产生3⨯ 2 ⨯1 = 6 种重复的放置方式．所以 3 个8 和 4 个9 组成的不同的七位数共有210 ÷ 6 = 35 种．所以数字和为60 的七位数共有35 + 42 + 7 = 84 ．11、从1到2006这2006个数中,共有多少个数与四位数8765相加时,至少发生一次进位？【解析】1887。

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练4
用数字0，1，2，3，4，5，6， (1)可以组成多少个两位数？（2）可以组成多少个无重复数字的三位数 • （3）可以组成多少个无重复数字的四位奇数? • 解1）6×7=42（个） • （2）6×6×5=（个） • （3）3×5×5×4=300（个）
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例5
• 牛牛有红、黄、蓝、绿四种颜色信号旗各一面。他在旗杆上挂信号旗时每次可从上到下依次挂一面、两面或三面，排成一列。则牛牛一共可以表示出多少种不同的信号？
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例1
• 乐乐老师需要从北京出发，依次到南京、上海、深圳和广州视察当地分校的发展情况。从北京到南京可乘火车或者飞机；从南京到上海可以乘火车、汽车或者飞机；从上海到深圳不仅可以乘火车、汽车和飞机，还可以坐船；从深圳到广州则可以乘火车或者汽车。请问乐乐老师这次从北京到广州的视察共有多少种不同的交通方式？
小美买水果糖有几种买法？—————3种
小美各买一种糖的买法有
（
）种
2×3=6（种）
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6
分析
如果完成一件事必须分几步，每一步有几种方法，我们将每一步的方法数乘起来就是全部的
方法数，这也叫乘法原理。
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7
加法原理乘法原理
火眼金睛
分类完成，每一类均可独立完成
任务。
分步完成，缺一步不能完成任务。
• (2)如果基肯麦为了吸引客人，决定从汉堡、饮料和小吃中各选1种组成套餐，请问基肯麦一共能提供多少种不同的套餐组合？
• （3）后来基肯麦发现像艾迪这样不喜欢小吃的顾客有很多，为了方便这些顾客，他们决定改良套餐结构；新的套餐中每款都包含一种汉堡和一种饮料，但是小吃可选可不选。改良后基肯麦一共能提供多少种不同的套餐组合？

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• 解：2×3×4×2=48（种）
练习1
如图，从A地去B地有3种方法，从B地去C 地有5种走法，那么小丁从A地经B地去C地一共有多少种不同的走法?
解：3×5=15（种）
例2
• 牛牛去基肯麦吃饭，发现让店里菜单上只有3种不同的汉堡、4种不同的饮料和 5种不同的小吃。
• （1）如果牛牛想从汉堡和饮料中各选1种作为午餐，请问他一共可以搭配出多少种不同的午餐组合？
加乘原理初步
迎新学校张老师
.
例
张老师要从上海去北京旅游，可以选择坐飞机，当天有4个班次。也可以选择坐火车，当天有7个班次，那么张老师有几种不同的方法到北京？
上海
飞机（4个班次）
北京Biblioteka 火车（7个班次）第一类：4种第二类：7种
4+7=11（种）
分析：
如果完成一项工作有N类方法：在第一类中有M(1)种不同的方法；在第二类中有M(2)种不同的方法；以此类推，在第N类中有M(N)种不同的方法；总共有： M(1)+M(2)+......+M(N)=总共的方法
• 解：先分类：挂一面：4种；挂两面：4×3=12（种）；挂三面：4×3×2=24 （种）所以共有4+12+24=40（种）信号
练习5
• 有红、黄、蓝三种颜色信号旗各一面。他牛牛在旗杆上挂信号旗时每次可从上到下依次挂一面、两面或三面，排成一列。则牛牛一共可以表示出多少种不同的信号？
• 解：挂一面有3种；挂两面有3×2=6种；挂三面有3×2×1=6（种）所以共有 3+6+6=15（种）信号
• (2)如果基肯麦为了吸引客人，决定从汉堡、饮料和小吃中各选1种组成套餐，请问基肯麦一共能提供多少种不同的套餐组合？

加乘原理最简单解释

加乘原理最简单解释
嘿，咱就说啥是加乘原理呀！比如说，你去商场买衣服，有 5 种颜色的上衣可以选，3 种款式的裤子可以挑，那你搭配衣服的方法有多少种呢？这就是加乘原理啦！就好像你有一堆不同的积木，红色积木有几块，蓝色积木有几块，你能搭出多少种不同的造型呀！这不就是加乘原理在生活中的体现嘛！
再举个例子，你去游乐场玩，有 4 个刺激项目，6 个温和项目，那你总共可以选择的项目不就是 4 加 6 等于 10 个嘛，这是加法；可要是你想知道先玩刺激项目再玩温和项目的不同顺序组合有多少种，那就是用乘法啦！你想想，是不是这么个理儿呀！
加乘原理其实没那么难理解，它就像是我们生活中的各种选择和组合，简单又有趣！我觉得呀，理解了加乘原理，能让我们更好地看待生活中的各种可能性呢！。

加乘原理ppt课件

6. 所以，加乘原理公式得证。
04
加乘原理实例分析
自然数幂运算的加乘原理体现
总结词
幂运算的加乘原理是自然数幂运算中的重要规律。
详细描述
在自然数幂运算中，对于任意正整数n，都有(a^n) * (b^n) = (a * b)^n，这就是幂运算的加乘原理。它表明当两个数相乘时，可以将它们的幂次相加，从而得到它们乘积的幂次。
加乘原理的数学证明
数学证明过程
1. 定义加乘原理公式为P。
2. 根据加乘原理公式的定义，有P = (a+b)(c+d) 。
加乘原理的数学证明
01
02
03
04
3. 根据乘法分配律，有P = ac+ad+bc+bd。
4. 根据加法的结合律和乘法的交换律，有P = a(c+d) +
b(c+d)。
5. 根据乘法的分配律，有P = (a+b)(c+d)。
02
对数的性质
对数的性质包括换底公式和log(a*b)=log(a)+log(b)等。换底公式是指
log_b(a)=log_c(a)/log_c(b)，其中c可以是任意正实数。
03
对数的应用
对数在金融、统计学、计算机科学等领域中都有广泛的应用。例如，在
金融学中，经常使用对数来描述股票价格的变化；在统计学中，对数可
加乘原理课件
目录
• 加乘原理概述 • 加乘原理基础 • 加乘原理公式及推导 • 加乘原理实例分析 • 加乘原理在生活中的应用 • 加乘原理的深入研究和探讨
01
加乘原理概述
加乘原理定义
01
加乘原理是指在进行数据分析时，将多个维度的数据按照不同的权重进行相乘，以得到一个新的数据表示。

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• 所以共有8+6+12=26（种）取法
学而思加乘原理初步
• 花店有10盆不的茉莉花，15盆不同的菊花，8盆不同的丁香花。现在人从中出出2盆，而且不能是同一品种的，一共有多少种不同的取法？
• 解：分三类情况：情况1取茉莉花和菊花有10×15=150（种）；情况2取茉莉花和丁香花有10×8=80（种）；情况3取菊花和丁香花有15×8=120（种）所以共有150+80+120=350
• 解：先分类：挂一面：4种；挂两面：4×3=12（种）；挂三面：4×3×2=24 （种）所以共有4+12+24=40（种）信号
学而思加乘原理初步
• 有红、黄、蓝三种颜色信号旗各一面。他牛牛在旗杆上挂信号旗时每次可从上到下依次挂一面、两面或三面，排成一列。则牛牛一共可以表示出多少种不同的信号？
学而思加乘原理初步
学而思加乘原理初步
上海
飞机（4个班次）
北京
火车（7个班次）
第一类：4种第二类：7种
4+7=11（种）
学而思加乘原如理果初完步成一项工作有N类方法：
在第一类中有M(1)种不同的方法；在第二类中有M(2)种不同的方法；以此类推，在第N类中有M(N)种不同的方法；总共有： M(1)+M(2)+......+M(N)=总共的方法
学而思加乘原理初步
五名同学去照相馆拍照：
甲不能站在两侧，能照出多少张不同的照片？解：3 ×4×3×2×1=72（种）
学而思加乘原理初步
用数字1，2，3，4，5，6，7， (1)可以组成多少个两位数？（2）可以组成多少个无重复数字的三位数（3）可以组成多少个无重复数字的四位偶数？（4）可以组成多少个无重复数字的四位奇数？解（1）7×7=49（个）（2）7×6×5=210（个）（3）3×6×5×4=360（个）（4）4×6×5×4=480（个）

加乘原理公式

加乘原理公式加乘原理是数学中的一个重要概念，它在许多领域都有着广泛的应用。

在代数、几何、物理等学科中，加乘原理都扮演着重要的角色。

本文将对加乘原理进行详细的介绍，并给出相应的公式和例子，以便读者更好地理解和应用这一概念。

首先，我们来了解一下加乘原理的基本概念。

加乘原理是指，如果一件事情可以分解为若干个步骤完成，那么完成这件事情的总方法数就等于各个步骤完成的方法数的乘积。

换句话说，如果事件A有m种可能，事件B有n种可能，那么事件A和事件B同时发生的总方法数就是m乘以n。

在代数中，加乘原理常常用于计算排列组合的方法数。

例如，如果从n个不同的元素中取出r个元素，那么一共有n(n-1)(n-2)...(n-r+1)种取法，这就是加乘原理的应用。

在几何学中，加乘原理可以用来计算图形的面积或体积，将图形分解为若干个简单的部分，然后分别计算它们的面积或体积，最后将它们相加或相乘，就可以得到整个图形的面积或体积。

除了在代数和几何中的应用外，加乘原理在物理学中也有着重要的作用。

例如，当两个力作用在同一物体上时，它们的合力可以通过加乘原理来计算。

如果两个力的大小分别为F1和F2，方向分别为a和b，那么它们的合力可以表示为F = F1 +F2，方向为a和b的合成。

这就是加乘原理在物理学中的应用之一。

在实际生活中，加乘原理也随处可见。

比如，一件事情可以分解为多个步骤完成，每个步骤又可以有多种选择，最终完成这件事情的总方法数就是各个步骤完成方法数的乘积。

这种思维方式可以帮助我们更好地理解和解决问题，提高我们的计算能力和逻辑思维能力。

总之，加乘原理是数学中一个非常重要的概念，它在代数、几何、物理等学科中都有着广泛的应用。

通过学习加乘原理，我们可以更好地理解和解决实际问题，提高我们的计算能力和逻辑思维能力。

希望本文对读者能有所帮助，谢谢阅读！。

加乘原理初步

加法原理
从武汉到上海,可以乘飞机、火车、轮船和汽车。一天中飞机有3班，火车有4班，轮船有3班，汽车有6班。那么一天中从武汉到上海共有多少种不同的走法？
商店有铅笔8种，钢笔7种，圆珠笔3种，水笔2种。小华要从中任选一种，有多少种不同的选法？
加法原理：
一般地，如果完成一件事有K类方法，第一类方法中有m1种不同做法，第二类方法中有m2种不同的做法，……，第K类方法中有mK种不同的做法，则完成这件事共有：N= m1+ m2+……mK种不同的方法。这就是加法原理。
答案
（1）5；（2）15；（3）9
解析
（1）3+2=5种（2）6+4+3+2=15种（3）3+2+2+1+1=9种
例题2
小优要登上12级台阶，他每一步只能登1级或2级台阶，他登上12 级台阶共有多少种不同的登法？
答案解析
233
登上第1级台阶只有1种登法。登上第2级台阶可由第1级台阶上去，或者从平地跨2级上去，故有2种登法。登上第3级台阶可从第1级台阶跨2级上去，或者从第2级台阶上去，所以登上第3级台阶的方法数是登上第1级台阶的方法数与登上第2级台阶的方法数之和，共有1+2＝3（种）……一般地，登上第n级台阶，或者从第（n—1）级台阶跨一级上去，或者从第（n—2）级台阶跨两级上去。根据加法原理，如果登上第（ n—1）级和第（n—2）级分别有a种和b种方法，则登上第n级有（a＋b）种方法。因此只要知道登上第1级和第2级台阶各有几种方法，就可以依次推算出登上以后各级的方法数。由登上第1级有1种方法，登上第2级有2种方法，可得出下面一串数：
练习3
（1）在右面每个方格中各放1枚围棋子(黑子或白子)，有（）种放法．

学而思加乘原理初步

名师指导
• • • • • • • • • 一、加法原理三部曲 1，完成一件事分K类情况 2.类类独立（每类都能单独完成该件事） 3.类类相加二、乘法原理解题三部曲 1.完成一件事分K个必要的步骤 2.步步相关（每步都不能单独完成该件事）； 3.步步相乘注意：特殊位置，特殊元素优先考虑
练习1
如图，从A地去B地有3种方法，从B地去C 地有5种走法，那么小丁从A地经B地去C地一共有多少种不同的走法?
解：3×5=15（种）
例2
• 牛牛去基肯麦吃饭，发现让店里菜单上只有3种不同的汉堡、4种不同的饮料和 5种不同的小吃。 • （1）如果牛牛想从汉堡和饮料中各选1种作为午餐，请问他一共可以搭配出多少种不同的午餐组合？ • (2)如果基肯麦为了吸引客人，决定从汉堡、饮料和小吃中各选1种组成套餐，请问基肯麦一共能提供多少种不同的套餐组合？ • （3）后来基肯麦发现像艾迪这样不喜欢小吃的顾客有很多，为了方便这些顾客，他们决定改良套餐结构；新的套餐中每款都包含一种汉堡和一种饮料，但是小吃可选可不选。改良后基肯麦一共能提供多少种不同的套餐组合？ • 解（1）3×4=12（种） • （2）3×4×5=60（种） • （3） 3×4×（5+1）=72（种）
练习2
• 1.大宽出门前要选一套衣服。他共有5种不同的上衣、3条不同的裤子，则大宽有几种不同的搭配方法？ • 2.薇儿出门前也要选择一身衣服。她共有10件不同的上衣、4条不同的裤子、6条不同的裙子（当然，裤子和裙子不同一起穿），则薇儿有多少种不同的搭配方法？ • 解：1， 3×5=15（种） • 2， 10×（4+6）=100（种）
加乘原理初步
迎新学校张老师
例
张老师要从上海去北京旅游，可以选择坐飞机，当天有4个班次。也可以选择坐火车，当天有7个班次，那么张老师有几种不同的方法到北京？

学而思加乘原理初步

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名师指导
• 一、加法原理三部曲 • 1，完成一件事分K类情况 • 2.类类独立（每类都能单独完成该件事） • 3.类类相加 • 二、乘法原理解题三部曲 • 1.完成一件事分K个必要的步骤 • 2.步步相关（每步都不能单独完成该件事）； • 3.步步相乘 • 注意：特殊位置，特殊元素优先考虑
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练习3
五名同学去照相馆拍照：
甲不能站在两侧，能照出多少张不同的照片？解：3 ×4×3×2×1=72（种）
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例4
用数字1，2，3，4，5，6，7， (1)可以组成多少个两位数？（2）可以组成多少个无重复数字的三位数（3）可以组成多少个无重复数字的四位偶数？（4）可以组成多少个无重复数字的四位奇数？解（1）7×7=49（个）（2）7×6×5=210（个）（3）3×6×5×4=360（个）（4）4×6×5×4=480（个）
14
练4
用数字0，1，2，3，4，5，6， (1)可以组成多少个两位数？（2）可以组成多少个无重复数字的三位数 • （3）可以组成多少个无重复数字的四位奇数? • 解1）6×7=42（个） • （2）6×6×5=（个） • （3）3×5×5×4=300（个）
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例5
• 牛牛有红、黄、蓝、绿四种颜色信号旗各一面。他在旗杆上挂信号旗时每次可从上到下依次挂一面、两面或三面，排成一列。则牛牛一共可以表示出多少种不同的信号？
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例6
• 书架上有2本不同的英语书，4本不同的语文书、3本不同的数学书。现在要从中取出2本，而且不能是同一科的，一共有多少种不同的取法？
• 解：先分成3类：情况1取英语和语文时有2×4=8（种）；情况2取英语和数学时有2×3=6（种）；情况3取语文和数学书时有4×3=12（种）。

学而思高中数学排列与组合.版块二.乘法原理.学生版

1．基本计数原理 ⑴加法原理分类计数原理：做一件事，完成它有n 类办法，在第一类办法中有1m 种不同的方法，在第二类办法中有2m 种方法，……，在第n 类办法中有n m 种不同的方法．那么完成这件事共有12n N m m m =+++L 种不同的方法．又称加法原理．⑵乘法原理分步计数原理：做一件事，完成它需要分成n 个子步骤，做第一个步骤有1m 种不同的方法，做第二个步骤有2m 种不同方法，……，做第n 个步骤有n m 种不同的方法．那么完成这件事共有12n N m m m =⨯⨯⨯L 种不同的方法．又称乘法原理．⑶加法原理与乘法原理的综合运用如果完成一件事的各种方法是相互独立的，那么计算完成这件事的方法数时，使用分类计数原理．如果完成一件事的各个步骤是相互联系的，即各个步骤都必须完成，这件事才告完成，那么计算完成这件事的方法数时，使用分步计数原理．分类计数原理、分步计数原理是推导排列数、组合数公式的理论基础，也是求解排列、组合问题的基本思想方法，这两个原理十分重要必须认真学好，并正确地灵活加以应用． 2．排列与组合⑴排列：一般地，从n 个不同的元素中任取()m m n ≤个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列．（其中被取的对象叫做元素）排列数：从n 个不同的元素中取出()m m n ≤个元素的所有排列的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数，用符号A m n 表示．排列数公式：A (1)(2)(1)m n n n n n m =---+L ，m n +∈N ，，并且m n ≤．全排列：一般地，n 个不同元素全部取出的一个排列，叫做n 个不同元素的一个全排列．知识内容乘法原理n 的阶乘：正整数由1到n 的连乘积，叫作n 的阶乘，用!n 表示．规定：0!1=．⑵组合：一般地，从n 个不同元素中，任意取出m ()m n ≤个元素并成一组，叫做从n 个元素中任取m 个元素的一个组合．组合数：从n 个不同元素中，任意取出m ()m n ≤个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中，任意取出m 个元素的组合数，用符号C m n 表示．组合数公式：(1)(2)(1)!C !!()!m nn n n n m n m m n m ---+==-L ，,m n +∈N ，并且m n ≤．组合数的两个性质：性质1：C C m n m n n -=；性质2：11C C C m m m n n n -+=+．（规定0C 1n =）⑶排列组合综合问题解排列组合问题，首先要用好两个计数原理和排列组合的定义，即首先弄清是分类还是分步，是排列还是组合，同时要掌握一些常见类型的排列组合问题的解法： 1．特殊元素、特殊位置优先法元素优先法：先考虑有限制条件的元素的要求，再考虑其他元素；位置优先法：先考虑有限制条件的位置的要求，再考虑其他位置；2．分类分步法：对于较复杂的排列组合问题，常需要分类讨论或分步计算，一定要做到分类明确，层次清楚，不重不漏．3．排除法，从总体中排除不符合条件的方法数，这是一种间接解题的方法． 4．捆绑法：某些元素必相邻的排列，可以先将相邻的元素“捆成一个”元素，与其它元素进行排列，然后再给那“一捆元素”内部排列．5．插空法：某些元素不相邻的排列，可以先排其它元素，再让不相邻的元素插空． 6．插板法：n 个相同元素，分成()m m n ≤组，每组至少一个的分组问题——把n 个元素排成一排，从1n -个空中选1m -个空，各插一个隔板，有11m n C --．7．分组、分配法：分组问题（分成几堆，无序）．有等分、不等分、部分等分之别．一般地平均分成n 堆（组），必须除以n ！，如果有m 堆（组）元素个数相等，必须除以m ！ 8．错位法：编号为1至n 的n 个小球放入编号为1到n 的n 个盒子里，每个盒子放一个小球，要求小球与盒子的编号都不同，这种排列称为错位排列，特别当2n =，3，4，5时的错位数各为1，2，9，44．关于5、6、7个元素的错位排列的计算，可以用剔除法转化为2个、3个、4个元素的错位排列的问题．1．排列与组合应用题，主要考查有附加条件的应用问题，解决此类问题通常有三种途径：①元素分析法：以元素为主，应先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素；②位置分析法：以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置；③间接法：先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不符合要求的排列数或组合数．求解时应注意先把具体问题转化或归结为排列或组合问题；再通过分析确定运用分类计数原理还是分步计数原理；然后分析题目条件，避免“选取”时重复和遗漏；最后列出式子计算作答．2．具体的解题策略有：①对特殊元素进行优先安排；②理解题意后进行合理和准确分类，分类后要验证是否不重不漏；③对于抽出部分元素进行排列的问题一般是先选后排，以防出现重复；④对于元素相邻的条件，采取捆绑法；对于元素间隔排列的问题，采取插空法或隔板法；⑤顺序固定的问题用除法处理；分几排的问题可以转化为直排问题处理；⑥对于正面考虑太复杂的问题，可以考虑反面．⑦对于一些排列数与组合数的问题，需要构造模型．典例分析乘法原理【例1】公园有4个门，从一个门进，一个门出，共有_____种不同的走法．【例2】将3个不同的小球放入4个盒子中，则不同放法种数有_______．【例3】如果在一周内（周一至周日）安排三所学校的学生参观某展览馆，每天最多只安排一所学校，要求甲学校连续参观两天，其余两所学校均只参观一天，那么不同的安排方法共有种．【例4】高二年级一班有女生18人，男生38人，从中选取一名男生和一名女生作代表，参加学校组织的调查团，问选取代表的方法有几种．【例5】六名同学报名参加三项体育比赛，每人限报一项，共有多少种不同的报名结果？【例6】六名同学参加三项比赛，三个项目比赛冠军的不同结果有多少种？【例7】用1，2，3，4，5，6组成六位数（没有重复数字），要求任何相邻两个数字的奇偶性不同，且1和2相邻，这样的六位数的个数是__________（用数字作答）．【例8】从集合{12311}L ，，，，中任选两个元素作为椭圆方程22221x y m n+=中的m 和n ，则能组成落在矩形区域{()|||11B x y x =<，，且||9}y <内的椭圆个数为（） A ．43 B ．72 C ．86 D ．90【例9】若一系列函数的解析式相同，值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，那么函数解析式为2y x =-，值域为{19}--，的“同族函数”共有（） A ．7个 B ．8个C ．9个D ．10个【例10】某银行储蓄卡的密码是一个4位数码，某人采用千位、百位上的数字之积作为十位和个位上的数字（如2816）的方法设计密码，当积为一位数时，十位上数字选0，并且千位、百位上都能取0．这样设计出来的密码共有（） A ．90个 B ．99个 C ．100个 D ．112个【例11】从集合{4321012345}----，，，，，，，，，中，选出5个数组成子集，使得这5个数中的任何两个数之和不等于1，则取出这样的子集的个数为（）A ．10B ．32C ．110D ．220【例12】若x 、y 是整数，且6≤x ，7≤y ，则以()，x y 为坐标的不同的点共有多少个？【例13】用0，1，2，3，4，5这6个数字：⑴可以组成______________个数字不重复的三位数．⑵可以组成______________个数字允许重复的三位数．【例14】六名同学报名参加三项体育比赛，共有多少种不同的报名结果？【例15】将3名教师分配到2所中学任教，每所中学至少一名教师，则不同的分配方案共有（）种．A．5B．6C．7D．8。

第一讲加乘原理

第一讲加乘原理知识要点加法原理：做一件事，完成它可以有n类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法……在第n类办法中有m n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m1＋m2＋m3＋…＋m n种不同方法。

乘法原理：做一件事，完成它需要分成n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法……做第n步有m n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m1×m2×m3×…×m n种不同的方法。

练习1在100-2013所有自然数中，百位数字与个位数字不相同的自然数有多少个？分析：可以把所有自然数减去百位数字与个位数字相同的自然数来计算，在百位数字与个位数字相同的自然数中可以分成千位是0，千位是1，千位是2这3类。

（2013-100+1）-（1×9×10×1+1×10×10×1+1×1×2×1）=1722(个) 答：百位数字与个位数字不相同的自然数有1722个。

练习2一层楼梯共十级，规定每次只能跨上二级或三级，要登上第十级，共有多少种不同的走法？分析：此题可以用列表法来解决问题。

答：共有7种不同的走法。

例题1小明到图书馆借书时，图书馆有不同的外语书15本，不同的科技书20本，不同的小说书10本，那么，小明要选择两本不同类的书共有多少种选法？分析：可以把选择两本不同类的书分成外语书与科技书，外语书与小说书和科技书与小说书这3类。

15×20+15×10+20×10=650（种）答：小明要选择两本不同类的书共有650种选法。

例题2小明到食堂去买饭菜，食堂里有4种荤菜，3种蔬菜，2种汤。

他要各买一样，共有多少种不同的买法？分析：可以把买饭菜分为买荤菜，蔬菜和汤这3步。

4×3×2=24（种）答：共有24种不同的买法。

学而思加乘原理初步

准备学而思综合诊断6道加法乘法试题解析

学而思加乘原理初步课件

第一板块：加乘原理

加乘原理知识点总结

加乘原理详解——从概念到应用的全面解析

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加乘原理最简单解释

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加乘原理公式

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学而思高中数学排列与组合.版块二.乘法原理.学生版

第一讲 加乘原理

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