圆锥曲线中离心率取值范围的求解(典型例题讲解)

圆锥曲线中离心率取值范围的求解

范围问题是数学中的一大类问题，在高考试题中占有很大的比重，圆锥曲线中离心率取值范围问题也是高考中解析几何试题的一个倍受青睐的考查点，其求解策略的关键是建立目标的不等式，建立不等式的方法一般有：利用曲线定义，曲线的几何性质，题设指定条件等． 策略一：利用曲线的定义

例1若双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>横坐标为32

a

的点到右焦点的距离大于它到左准线

的距离，则双曲线的离心率的取值范围是（ ）

Ａ．(1,2) Ｂ．(2,)+∞ Ｃ．(1,5) Ｄ．(5,)+∞

例2双曲线22

221(0,0)x y a b a b

-=>>的右支上存在一点，它到右焦点及左准线的距离相等，

则双曲线离心率的取值范围是（ ）

Ａ．

Ｂ．)+∞

Ｃ．1]

Ｄ．1,)+∞

策略二：利用曲线的几何性质

例3已知12、F F 是椭圆的两个焦点，满足120MF MF =的点M 总在椭圆内部，则椭圆离

心率的取值范围是（ ）

Ａ．(0,1) Ｂ．1

(0,]2

Ｃ．

Ｄ． 例4已知双曲线22

221(0,0)x y a b a b

-=>>的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60的直线

与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（ ）

Ａ．(1,2] Ｂ．(1,2) Ｃ．[2,)+∞ 策略三：利用题设指定条件

例5椭圆22

221x y a b

+=的焦点为12,F F ，两条准线与x 轴的交点分别为,M N ．若

122MN F F ≤，则该椭圆离心率的取值范围是（ ）

Ａ．1(0,]2

Ｂ．(0,

2 Ｃ．1

[,1)2

Ｄ．,1)2 例6设12、F F 分别是椭圆22

221(0)x y a b a b

+=>>的左、右焦点，若在其右准线上存在点P ，

使线段1PF 的中垂线过点2F ，则椭圆离心率的取值范围是（ ）

Ａ．(0,

2

Ｂ．(0,3

Ｃ．[2

Ｄ．,1)3 例7已知双曲线22

221(0,0)x y a b a b

-=>>的左、右焦点分别为12(,0),(,0)F c F c -．若双曲

线上存在点P 使

1221sin sin PF F a

PF F c

∠=∠，则该双曲线的离心率的取值范围是

例8双曲线22

221(0,0)x y a b a b

-=>>的两个焦点为12,F F ，若P 为其上一点，且

122PF PF =，则双曲线离心率的取值范围是（ ）

Ａ．(1,3) Ｂ．(1,3] Ｃ．(3,)+∞ Ｄ．[3,)+∞

策略六：利用二次函数的性质

例9设1a >，则双曲线22

22

1(1)x y a a -

=+的离心率e 的取值范围是（ ）

Ａ．2) Ｂ． Ｃ．(2,5) Ｄ．

例10、已知12,F F 是椭圆的左右焦点，椭圆上存在一点P ，使0

1260F PF ∠=，求椭圆的离

心率e 的取值范围。

策略一：利用曲线的定义

例1若双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>横坐标为32

a

的点到右焦点的距离大于它到左准线

的距离，则双曲线的离心率的取值范围是（ ）

Ａ．(1,2) Ｂ．(2,)+∞ Ｃ．(1,5) Ｄ．(5,)

+∞

【解析】Ｂ

22033

352022a ex a e a a a e e c -=⨯->+⇒-->， 2e ∴>或1

3

e <-（舍去）

，(2,)e ∴∈+∞． 例2双曲线22221(0,0)x y

a b a b

-=>>的右支上存在一点，它到右焦点及左准线的距离相等，

则双曲线离心率的取值范围是（ ）

Ａ．

Ｂ．)+∞

Ｃ．1]

Ｄ．1,)+∞

【解析】Ｃ

222

000(1)(1),a a a ex a x e x a a e a c c c -=+⇒-=+⇒+≥-

21

11121011a e e e e c e

∴-≤+=+⇒--≤⇒-≤

而双曲线的离心率1e >

，1],e ∴∈故选Ｃ.

【点评】例1、例2均是利用第二定义及焦半径公式列出方程．例1根据题设列出不等式；

例2是根据0x 的范围将等式转化为不等式，从而求解．这种利用、x y 的范围将等

式转化为不等式求参数范围的方法是解析几何常用的方法．

策略二：利用曲线的几何性质

例已知12、F F 是椭圆的两个焦点，满足120MF MF =的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心

率的取值范围是（ ）

Ａ．(0,1) Ｂ．1

(0,]2

Ｃ．(0,

)2

Ｄ．2 【解析】Ｃ 由题，M 的轨迹为以焦距为直径的圆，由M 总在椭圆内部，知：

222221

2

c b c b a c e <⇒<=-⇒<，又(0,1)e ∈

，所以2e ∈故选Ｃ. 【点评】利用圆的几何性质判定轨迹为圆，再利用椭圆和圆的几何性质解题．

一般地，c b <时M 点总在椭圆内部；a c b >>时M 点有4个在椭圆上；c b =时M 有2个在椭圆上，就是椭圆短轴的两个端点．

例4已知双曲线22

221(0,0)x y a b a b

-=>>的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60的直线

与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率

的取值范围是（ ）

Ａ．(1,2] Ｂ．(1,2) Ｃ．[2,)+∞

Ｄ．(2,)+∞

【解析】如图1l 与2l 分别为与双曲线22

221x y a b

-=的渐近线平

行的两条直线，直线l 为过F 且倾斜角为60的直线，要使l 与双曲线的右支有且只有一个交点，则应使

tan 603b

a

≥=2e ∴=≥．

【点评】此处利用双曲线几何性质，用所给定直线和渐近线的关系确定渐近线斜率范围，从

而求出离心率范围．

策略三：利用题设指定条件