线性离散系统的数学模型
线性离散系统数学模型和分析方法
线性离散系统数学模型和分析方法目录一、内容简述 (3)二、线性离散系统的数学模型 (3)2.1 离散系统的概念 (5)2.2 离散系统的描述方法 (6)2.2.1 差分方程 (7)2.2.2 马尔可夫过程 (8)2.2.3 状态空间表示 (10)2.3 线性离散系统的特性 (11)2.3.1 稳定性分析 (12)2.3.2 脉冲响应与收敛性 (13)2.3.3 系统性能评估 (14)三、分析方法 (16)3.1 拉普拉斯变换法 (17)3.1.1 基本概念 (19)3.1.2 应用分析 (20)3.1.3 收敛性与应用局限 (21)3.2 状态空间方法 (23)3.2.1 基本理论 (24)3.2.2 控制器设计 (25)3.2.3 参数估计 (26)3.3 Z变换法 (27)3.3.1 基本原理 (28)3.3.2 系统分析 (30)3.3.3 系统的性能评估 (31)3.4 时域分析方法 (33)3.4.1 序贯逼近法 (34)3.4.2 数值仿真 (34)3.4.3 基于数字模型的算法 (36)四、应用实例 (37)4.1 控制系统设计 (39)4.1.1 系统建模 (40)4.1.2 控制器设计与仿真 (42)4.2 信号处理 (43)4.2.1 离散信号处理 (45)4.2.2 滤波器设计 (46)4.3 通信系统 (47)4.3.1 调制与解调 (49)4.3.2 语音编码与加密 (51)五、结论与展望 (52)5.1 研究成果总结 (53)5.2 未来研究方向 (54)5.3 实际应用前景 (55)一、内容简述本文档旨在全面介绍线性离散系统数学模型的构建及其分析方法。
线性离散系统在现代科技、工程和经济学等领域具有广泛的应用，因此对其数学模型的理解和分析显得尤为重要。
我们将从线性离散系统的基本概念出发，详细阐述线性离散系统的定义、特点以及类型。
通过实例演示如何建立线性离散系统的数学模型，包括状态方程、传递函数等基本形式。
数学建模专题汇总-离散模型
离散模型§ 1 离散回归模型一、离散变量如果我们用0，1，2，3，4，⋯说明企业每年的专利申请数，申请数是一个离散的变量,但是它是间隔尺度变量，该变量类型不在本章的讨论的被解释变量中。
但离散变量0和1可以用来说明企业每年是否申请专利的事项，类似表示状态的变量才在本章的讨论中。
在专利申请数的问题中，离散变量0，1，2，3 和4 等数字具有具体的经济含义，不能随意更改；而在是否申请专利的两个选择对象的选择问题中，数字0和1只是用于区别两种不同的选择，是表示一种状态。
本专题讨论有序尺度变量和名义尺度变量的被解释变量。
、离散因变量在讨论家庭是否购房的问题中，可将家庭购买住房的决策用数字1 表示，而将家庭不购买住房的决策用数字0 表示。
1 yesx0 no如果x 作为说明某种具体经济问题的自变量，则应用以前介绍虚拟变量知识就足够了。
如果现在考虑某个家庭在一定的条件下是否购买住房问题时，则表示状态的虚拟变量就不再是自变量，而是作为一个被说明对象的因变量出现在经济模型中。
因此，需要对以前讨论虚拟变量的分析方法进行扩展，以便使其能够适应分析类似家庭是否购房的问题。
因为在家庭是否购房问题中,虚拟因变量的具体取值仅是为了区别不同的状态，所以将通过虚拟因变量讨论备择对象选择的回归模型称为离散选择模型。
三、线性概率模型现在约定备择对象的0 和1 两项选择模型中，下标i 表示各不同的经济主体，取值0或l的因变量 y i表示经济主体的具体选择结果，而影响经济主体进行选择的自变量 x i 。
如果选择响应YES 的概率为 p(y i 1/ x i ) ，则经济主体选择响应NO 的概率为 1 p(y i 1/ x i)，则E(y i /x i) 1 p(y i 1/x i) 0 p(y i 0/x i)＝ p(y i 1/x i)。
根据经典线性回归，我们知道其总体回归方程是条件期望建立的，这使我们想象可以构造线性概率模型p(y i 1/ x i) E(y i / x i) x iβ0 1 x i1 L k x ik u i描述两个响应水平的线性概率回归模型可推知，根据统计数据得到的回归结果并不一定能够保证回归模型的因变量拟合值界于[0，1]。
离散系统的数学模型
离散系统的数学模型
1.1 离散时间系统的数学模型
为激励信号,
为响应信号
离散时间系统 将激励序列转换为响应序列的系统，其 输入输出都是离散信号。在数学上，离 散系统的输入-输出关系可表示为
离散系统可以用差分方程来描述 差分方程 由输入序列、输出序列以及它们的差分所组
成的方程。 例如:
无反馈差分方程 某ຫໍສະໝຸດ 时刻的输出只与输入有关，而余 ，月利率为1%。写出结余 与净存款
的
关系式。
解： 当月的净存款
月末结余
月末利息
所以有
或
例5.3.2 试写出第k 节点电压 的数学模型。
解： 整理得
例5.3.3 假设离散时间系统的差分方程为 求其传输算子
解：算子方程为 即
所以
离散系统的模拟框图表示
差分方程的基本元算符号
例5.3.4 某离散系统的差分方程为
与该时刻之前的输出无关 。
有反馈差分方程 某一时刻的输出不仅与输入有关，还 与该时刻之前的输出有关。
系统的差分方程的一般形式 ：
前向差分方程
后向差分方程
差分算子 离散系统的传输算子
差分方程 算子方程
传输算子
系统的输入-输出模型
1.2离散时间系统数学模型的建立
例5.3.1 某一银行按月结余。设第 个月末的结
试用模拟框图表示此系统。 解：系统的差分方程可化为 框图来表示为
信号与系统
7-4离散系统的数学模型全篇
2. 线性常系数差分方程及其解法
c(k
)
a1c(k b1r(k
11))ba22rc((kk22))bamnrc((kk
n) m)；
n
m
c(k) aic(k i) bjr(k j)；
i 1
j 1
后向差分方程：时间概念清楚，便于编制程序。
c(kn) a1c(kn 1) a2c(kn 2) anc(k) b1r(kn 1) b2r(kn 2) bmr(kn m)；
n
m
c(k n) aic(k n i) bjr(k n j)；
i 1
j 1
前向差分方程：便于讨论系统阶次、使用Z变换 法计算初始条件不为零的解。
上述几个差分方程在书写上都很烦琐，为书 写简便可采用时间移动算子。
0.1 0.4 16k 0.3 81k
c(nT
)
0.1 0.8 16k 0.1 1.6 16k
0.9 81k 2.7 81k
0.1 3.2 16k 8.1 81k
k 0, 1, 2, 3, 4, ；
n 4k
n 4k 1 ； n 4k 2
n 4k 3
3. 脉冲传递函数(定义、意义) 使用 脉冲传递函数，便于分析和校正线性离
c(k) 0.5c(k 1) 0.5c(k 2) r(k)； r(k) 1(k)； c(k) 0, k 0；
试用递推法计算输出序列c(k)，k= 0,1,2,…。
解例7采-16用-1递续推关系 c(k) = 1+0.5c(k-1)– 0.5c(k-2)；
c(0) 1； c(1) 1 0.5 1.5；
c(2) 1 0.51.5 0.5 1.25； c(3) 1 0.51.25 0.51.5 0.875；
离散系统的数学模型
2326.4 离散系统的数学模型为研究离散系统的性能，需要建立离散系统的数学模型。
线性离散系统的数学模型有差分方程、脉冲传递函数和离散状态空间表达式三种。
本节主要介绍差分方程及其解法，脉冲传递函数的定义，以及求开环脉冲传递函数和闭环脉冲传递函数的方法。
有关离散状态空表达式及其求解，将在第8章介绍。
6.4.1 线性常系数差分方程及其解法对于线性定常离散系统，k 时刻的输出)(k c ，不但与k 时刻的输入)(k r 有关，而且与k 时刻以前的输入 ),2(),1(--k r k r 有关，同时还与k 时刻以前的输出 ),2(),1(--k c k c 有关。
这种关系一般可以用n 阶后向差分方程来描述，即∑∑==-+--=mj jni i j k r bi k c a k c 01)()()( (6-34)式中，i a ，i =1，2，…，n 和j b ，j ＝0，1，…，m 为常系数，n m ≤。
式(6-34)称为n 阶线性常系数差分方程。
线性定常离散系统也可以用n 阶前向差分方程来描述,即∑∑==-++-+-=+mj jni i j m k r bi n k c a n k c 01)()()( (6-35)工程上求解常系数差分方程通常采用迭代法和z 变换法。
1. 迭代法若已知差分方程式(6-34)或式(6-35)，并且给定输出序列的初值，则可以利用递推关系，在计算机上通过迭代一步一步地算出输出序列。
例6-10 已知二阶差分方程)2(6)1(5)()(---+=k c k c k r k c输入序列1)(=k r ，初始条件为1)1(,0)0(==c c ，试用迭代法求输出序列)(k c ， ,5,4,3,2,1,0=k 。
解 根据初始条件及递推关系，得0)0(=c 1)1(=c6)0(6)1(5)2()2(=-+=c c r c 25)1(6)2(5)3()3(=-+=c c r c 90)2(6)3(5)4()4(=-+=c c r c301)3(6)4(5)5()5(=-+=c c r c2. z 变换法233设差分方程如式(6-34)所示，对差分方程两端取z 变换，并利用z 变换的实数位移定理，得到以z 为变量的代数方程，然后对代数方程的解)(z C 取z 反变换，可求得输出序列)(k c 。
§7.3 离散时间系统的数学模型—差分方程
2n − 1 ∇ sin nω = sin nω − sin(n − 1)ω = 2 sin cos ω 2 2
ω
∑δ (i ) = u(n)
n
i =−∞ n
∑ u(i ) = (n + 1)u(n)
2
n
1 ∑ iu(i ) = 2 n(n + 1)u(n) i =−∞
i =−∞
1 ∑ i u(i ) = 6 n(n + 1)(2n + 1)u(n) i =−∞
n代表序号
注意：微分方程近似写作差分方程的条件是样值间隔T 注意：微分方程近似写作差分方程的条件是样值间隔T 要足够小， 越小，近似程度越好。实际上， 要足够小， T越小，近似程度越好。实际上，利用计算 机来求解微分方程时，就是根据这一原理完成的。 机来求解微分方程时，就是根据这一原理完成的。 返回
返回
(四）稳定系统
有界输入、产生有界输出的系统称为稳定系统。 称为稳定系统 有界输入、产生有界输出的系统称为稳定系统。 稳定系统的充要条件：∑ h (n ) < ∞ 稳定系统的充要条件：
n = −∞ ∞
即：单位脉冲响应绝对可和。 单位脉冲响应绝对可和。
lim 注意： 注意： h( n ) = 0，只是系统稳定的必要条件， 只是系统稳定的必要条件，
n→∞
而非充分条件 而非充分条件。 充分条件。
返回
二、差分方程
在连续时间系统中， 在连续时间系统中，系统内部的数学运算关系可归结 为微分（积分）、乘系数、相加的关系， ）、乘系数 微分方程。 为微分（积分）、乘系数、相加的关系，即：微分方程。 在离散时间系统中，基本运算关系是延时（移位）、 在离散时间系统中，基本运算关系是延时（移位）、 乘系数、相加的关系， 差分方程。 乘系数、相加的关系，即：差分方程。 这是由于系统的组成以及所处理的信号的性质不同， 这是由于系统的组成以及所处理的信号的性质不同， 因此描述系统的数学手段也不同。 因此描述系统的数学手段也不同。 （一）数学模型的基本单元 数学模型的基本单元 （二）差分 （三）差分方程 （四）差分方程的建立 （五）差分方程的特点
数学模型之离散模型
离散模型的应用领域
计算机科学
离散模型在计算机科学中广泛 应用于算法设计、数据结构、
网络流量分析等领域。
统计学
离散模型在统计学中用于描述 和分析离散数据，如人口普查 、市场调查等。
经济学
离散模型在经济学中用于描述 和分析离散的经济现象，如市 场交易、人口流动等。
生物学
离散模型在生物学中用于描述 和分析生物种群的增长、疾病
强化学习与离散模型
强化学习通过与环境的交互来学习最优策略。离散模型可以用于描述环境状态和行为，为 强化学习提供有效的建模工具。
离散模型在人工智能中的应用
1 2
决策支持系统
离散模型在决策支持系统中发挥着重要作用，通 过建立预测和优化模型，为决策者提供科学依据 和解决方案。
推荐系统
离散模型常用于构建推荐系统，通过分析用户行 为和偏好，为用户提供个性化的推荐服务。
03
分布式计算与并行化
为了处理大规模数据集，离散模型需要结合分布式计算和并行化技术，
以提高计算效率和可扩展性。
机器学习与离散模型的结合
集成学习与离散模型
集成学习通过结合多个基础模型来提高预测精度。离散模型可以作为集成学习的一部分， 与其他模型进行组合，以实现更准确的预测。
深度学习与离散模型
深度学习具有强大的特征学习和抽象能力。将深度学习技术与离散模型相结合，可以进一 步优化模型的性能，并提高对复杂数据的处且依赖于过去误差项的平方。
GARCH模型
定义
广义自回归条件异方差模型（Generalized AutoRegressive Conditional Heteroskedasticity Model）的简称，是ARCH模型的扩展。
特点
离散控制系统的数学模型
即
Y (z)
z2
z 3z
2
(z
z 1)( z
2)
利用反演积分法求出z反变换，得 y(k) 1 2k k 0,1, 2,
y(t) (1 2k ) (t kT ) k 0
1.2 脉冲传递函数
1.脉冲传递函数定义
在线性定常离散控制系统中，当初始条件为零时，系统离散输出信号的z
变换与离散输入信号的z变换之比，称为线性定常离散控制系统的脉冲传递函
R(z) 1 G1 (z)HG2(z)
自动控制原理
例1-13 试用z变换法求解下列二阶前向差分方程 y(k 2) 3y(k 1) 2y(k) 0
其中，初始条件为 y(0) 0, y(1) 1 。
解：对方程两端取z变换，得
z2Y (z) z2 y(0) zy(1) 3zY (z) 3zy(0) 2Y (z) 0
即 (z2 3z 2)Y (z) y(0)z2 ( y(1) 3y(0))z 代入初始条件，得 (z2 3z 2)Y (z) z
（2）串联环节之间无采样开关时
设开环离散系统如图1-18所示，在两个串联连续环节G1(s)和G2(s)之间没 有理想采样开关。此时系统的传递函数为 G(s) G1(s)G2 (s)
上式作为一个整体进行z变换，由脉冲传递函数定义得
G(z)
Y (z) R(z)
G1G2 (z)
图1-18 环节之间无理想采样开关的开环采样系统
自动控制原理
离散控制系统的数学模型
1.1 线性常系数差分方程
对于线性定常离散控制系统，一般可用n阶后向差分方程描述，即
n
m
y(k) ai y(k i) bir(k j)
i 1
j 1
《自动控制原理》离散系统的数学模型
K (t) L1[G(s)]
(7-55)
再将 K (t) 按采样周期离散化，得加权序列 K (nT ) ；最后将 K (nT ) 进
行 z 变换，按式(7-53)求出 G(z) 。这一过程比较复杂。其实，如果把 z 变
换表 7—2 中的时间函数 e(t) 看成 K (t) ，那么表中的 E(s) 就是 G(s) (见式 (７-55)，而 E(z) 则相当于 G(z) 。因此，根据 z 变换表 7—2，可以直接从 G(s) 得到 G(z) ，而不必逐步推导。
本章所研究的离散系统为线性定常离散系统。 注意 zx：离散系统有本质连续和本质离散两种情况
本质连续的离散系统：如液位 炉温采样控制系统中的被控对象 本质离散的离散系统：如计算机。系统直接进行离散计算 问题：如何建立离散系统的数学模型？ c(n) F[r(n)] F 的具体形式？ 分析：本质连续的离散系统的方框图， 能否 G(s)?G(z)=?
众所周知，利用传递函数研究线性连续系统的特性，有公认的方便 之处。对于线性连续系统，传递函数定义为在零初始条件下，输出量的 拉氏变换与输入量的拉氏变换之比。对于线性离散系统，定义类似。
设开环离散系统如图 7-22 所示，如果系统的初始条件为零，输入信号
为 r(t) ，采样后 r*(t) 的 z 变换函数为 R(z) ，系统连续部分的输出为 c(t) ，
微分方程的经典解法类似，差分方程的经典解法[EX]*也要求出齐次方程 的通解和非齐次方程的一个特解，非常不便。这里仅介绍工程上常用的 后两种解法。
(1)迭代法 又称递推法 若已知差分方程(7-49)或(7-50)，并且给定输入序列和输出序列的初 值，则可以利用递推关系可以一步一步地算出输出序列。 例 7-14 已知差分方程
信号与系统§7.3 离散时间系统的数学模型—差分方程
1 aT
1 aT
当前输出 前一个输出 输入
四．由系统框ห้องสมุดไป่ตู้写差分方程
1．基本单元
加法器：
x1 n
x1n x2 n
x2 n 乘法器：
x1n x1n x2 n
x2 n
x1 n
x1n x2 n
x2 n
系统框图
标量乘法器
xn
a
延时器
axn
x(n)
y(n)
1
系统
1
1 O 1 2 3 n
1 O 1 2 3 4 n
x(n N ) 1
系统
y(n N )
1
1 O 1 2 3
n
1 O 1 2 3
n
二．由实际问题直接得到差分方程
例如： y(n)表示一个国家在第n年的人口数 a(常数)：出生率 b(常数): 死亡率 设x(n)是国外移民的净增数 则该国在第n+1年的人口总数为：
一．用差分方程描述线性时不变离散系统
线性：均匀性、可加性均成立；
x1 (n)
离散时间系统
y1 (n)
x2(n) 离 散 时 间 系 统 y2(n)
c1 x1(n) c2 x2 (n)
离散时间系统
c1 y1(n) c2 y2 (n)
时不变性
xn yn，xn N yn N 整个序列右移 N位
N
M
通 式: ak yn k br xn r
k0
r0
差分方程的特点
(3)微分方程可以用差分方程来逼近，微分方程解是 精确解，差分方程解是近似解，两者有许多类似之 处。
(4)差分方程描述离散时间系统，输入序列与输出序 列间的运算关系与系统框图有对应关系，应该会写会 画。
线性离散系统的数学模型和分析方法
§10-2 线性离散系统的数学模型和分析方法大多数计算机控制系统可以用线性时不变离散系统的数学模型来描述。
对于单输入单输出线性离散系统，人们习惯用线性常系数差分方程或脉冲传递函数来表示。
离散系统的线性常系数差分方程和脉冲传递函数，分别和连续系统的线性常系数微分方程和传递函数在结构、性质和运算规则上相类似。
对于多变量、时变和非线性系统用状态空间方法处理比较方便。
一、线性离散系统的数学描述1. 差分方程对简单的单输入单输出线性离散系统，其输入)(kT u 和输出)(kT y 之间的关系可用下列线性常系数差分方程来表示)()()()()()(101nT kT u b T kT u b kT u b nT kT y a T kT y a kT y n n -++-+=-++-+ (10.17)(10.17)式也可以写成如下紧缩的形式∑∑==-=-+n i ni i i iT kT u b iT kT y a kT y 1)()()( (10.18)如果引入后移算子1-q ，即)()(1T kT y kT y q -=- (10.19)则(10.18)式可写成多项式的形式)()()()(11kT u q B kT y q A --= (10.20)式中n n q a q a q A ---+++= 1111)( n n q b q b b q B ---+++= 1101)(方程(10.17)、(10.18)和(10.20)中假设左右两端阶次相同，这并不失一般性，差分方程中最高和最低指数之差n 被称为差分方程的阶数。
如果(10.17)式中右端的系数项i b ，n i ,,1,0 =，不全为零，则此方程被称为非齐次方程。
方程右端又被称为驱动项。
方程的阶数和系数反映系统的结构特征。
用差分方程作为物理系统的数学模型时，方程中各变量代表一定的物理量，其系数有时具有明显的物理意义。
如果(10.17)式右端的系数全为零，则被称作齐次方程。
数学模型种类
数学模型种类常见的数学模型种类有线性模型、非线性模型、离散模型、连续模型、随机模型等。
下面将分别对这些数学模型进行介绍。
一、线性模型线性模型是一类广泛应用于各个领域的数学模型。
它的特点是模型的输出是输入变量的线性组合。
线性模型可以通过最小二乘法等方法拟合数据，求解模型的参数。
线性回归是线性模型的一个典型应用，它可以用于预测因变量和自变量之间的线性关系。
二、非线性模型与线性模型不同，非线性模型的输出不是输入变量的线性组合。
非线性模型在描述实际问题时更加准确，可以模拟更为复杂的现象。
常见的非线性模型有指数模型、幂函数模型、对数模型等。
非线性模型的求解通常需要使用数值方法，如牛顿法、拟牛顿法等。
三、离散模型离散模型是指模型中的自变量和因变量都是离散的情况。
离散模型常用于描述离散事件的发展规律，如排队论、图论等。
排队论可以分析队列长度、等待时间等指标，用于优化服务系统的设计。
图论可以描述节点和边之间的关系，用于解决网络优化问题。
四、连续模型与离散模型相反，连续模型中的自变量和因变量都是连续的情况。
连续模型常用于描述连续变量之间的关系，如物理学中的运动模型、经济学中的供需模型等。
运动模型可以描述物体在空间中的运动轨迹和速度变化规律，供需模型可以描述商品价格和需求量之间的关系。
五、随机模型随机模型是考虑随机因素的数学模型。
随机模型的输出具有一定的随机性，可以用概率分布来描述。
随机模型常用于风险评估、金融建模等领域。
蒙特卡洛方法是随机模型求解的一种常用方法，通过随机抽样来估计模型的输出。
线性模型、非线性模型、离散模型、连续模型和随机模型是常见的数学模型种类。
每种模型在不同领域和问题中都有其独特的应用价值。
在实际问题中，根据问题的特点选择合适的数学模型，可以更好地解决问题并得到准确的结果。
最新离散系统的数学模型
23
四、离散系统的数学模型 （20）
⑶ 有零阶保持器时的开环系统脉冲传递函数 设有零阶保持器的开环离散系统如下图 所示。 Y*(t) r*(t) TS 1 e r(t) G1(s) Y(t) s
由脉冲传递函数的定义有
1 eTS G( z) Z G1 ( s) s
C( z) G( z) R( z )
c(nT ) z
n 0 n 0
n
n r ( nT ) z
11
四、离散系统的数学模型 （10）
在零初始条件下，线性定常散系统的输出采样信号为 c * (t ) Z 1 C( z) Z G( z)R( z) 然而，对大多数实际系统来说，其输出往往是连续信 号 c(t ) ，而不是采样信号 c (t ) ，则在系统输出端虚设一 个理想采样开关，它与输入采样开关同步工作，虚设的采 样开关是不存在的，它只表明了脉冲传递函数所能描述的， 只是输出函数 c(t ) 在采样时刻上的离散值 。
8
四、离散系统的数学模型 （8） Z 3c(k 1) 3zC( z) 3zc(0) 3zC( z) Z 2c(k ) 2C( z )
得Z代数方程 ( z 2 3z 2)C( z) z
z z z C( z) 2 z 3z 2 z 1 z 2
r(t) r*( t )
y*( t ) y(t)
10 s ( s 10)
求脉冲传递函数。 解 由式（5-61）可知
G (z) = Z[G ( s )]
10 1 1 G( z) Z Z s ( s 10) s s 10
z z (1 e ) z 10T 10T z 1 z e ( z 1)( z e )
数学建模专题汇总离散模型
数学建模专题汇总离散模型精⼼整理离散模型§1离散回归模型⼀、离散变量如果我们⽤0，1，2，3，4，…说明企业每年的专利申请数，申请数是⼀个离散的变量,但是它是间隔尺度变量，该变量类型不在本章的讨论的被解释变量中。
但离散变量0和1可以⽤来说明企业每年是否申请专利的事项，类似表⽰状态的变量才在本章的讨论中。
在专利申请数的问题中，,虚拟因l 的因变量i y YES 则(/)1(1/)0(0/)i i i i i i E y p y p y =?=+?=x x x ＝(1/)i i p y x =。
根据经典线性回归，我们知道其总体回归⽅程是条件期望建⽴的，这使我们想象可以构造线性概率模型描述两个响应⽔平的线性概率回归模型可推知，根据统计数据得到的回归结果并不⼀定能够保证回归模型的因变量拟合值界于[0，1]。
如果通过回归模型式得到的因变量拟合值完全偏离0或l 两个数值，则描述两项选择的回归模型的实际⽤途就受到很⼤的限制。
为避免出现回归模型的因变量预测值偏离0或1的情形，需要限制因变量的取值范围并对回归模型式进⾏必要的修正。
由于要对其进⾏修正，那么其模型就会改变，模型改变会导致似然函数改变，这就是我们下⾯要讨论的。
现在我们讨论的模型与判别分析的⽬的是⼀样的，但有区别。
§2⼆元离散选择模型⼀、效⽤函数为了使得⼆元选择问题的有进⼀步研究可能，⾸先建⽴⼀个效⽤函数。
在讨论家庭是否购房的问题中，可将家庭购买住房的决策⽤数字1表⽰，⽽将家庭不购买住房的决策⽤数字0表⽰。
⽤1i U 表⽰第i 个⼈选择买房的效⽤，0i U 表⽰第i 个⼈选择不买房的效⽤。
其效⽤均为随机变量，于是有10i i U U 将故p 型。
数形式。
采⽤累积标准正态概率分布函数的模型称作Probit 模型，或概率单位模型，⽤正态分布的累积概率作为Probit 模型的预测概率。
另外logistic 函数也能满⾜这样的要求，采⽤logistic 函数的模型称作logit 模型，或对数单位模型。
离散系统的数学模型
z (1 e T ) Kz (1 e T ) Kz z K 2 T T T T z 1 z e ( z 1)(z e ) z (1 e ) z e
K 1 1 K Z s s 1 s( s 1)
Z 2c(k ) 2C( z )
2
Z 3c(k 1) 3zC( z) 3zc(0) 3zC( z)
Z c(k 2) z 2 C( z) z 2 c(0) zc(1) z 2 C( z) z
( z 3z 2)C( z) z
*
C( z)
e* (t ) (t 2) 7 (t 3) 35 (t 4)
差分方程解法II — z 变换法
k 1 k n Z e(t kT ) z E ( z ) e(nT ) z n 0
e(k 2) 6e(k 1) 8e(k ) 1(k ) 解．
0.632Kz 1 1 1.368z 1 0.368z 2
(2) 系统z平面零极点图 (3) 1 1.368z 1 0.368z 2 C ( z ) 0.632Kz 1 R( z )
c(k ) 1.368c(k 1) 0.368c(k 2) 0.632Kr (k 1)
注：加ZOH 不改变系统的阶数，不改变开环极点，只改变开环零点。
闭环系统脉冲传递函数F(z)
C(z) G( z ) F( z ) R( z ) 1 GH ( z )
例.
F( z )
C(z) G1 ( z ) R( z ) 1 G1 H1 ( z ) G1 ( z ) H 2 ( z )
第03章线性离散系统的数学模型
z ( s s ) m F ( s ) i z e sT
s si
式中： m为 重 极 点 s i的 个 数 ； n为 彼 此 不 等 的 极 点 个 。 数
例3-4-6 a a z Z[ ] [s ] sT s 0 s( s a) s( s a) z e a z z z [( s a) ] s a s( s a) z e sT z 1 z e aT 1 1 d 2 1 z Tz Z[ 2 ] [s 2 ] sT s 0 ( 2 1)! ds s s ze ( z 1) 2
r 2 4r 4 0， 有 二 重 根 2， 例 y( k 2) 4 y( k 1) 4 y( k ) 0, 求 通 解 。 解：特征方程 则通解为 y ( k ) c 1 ( 2 ) k c 2 k ( 2 ) k 。
3.3
脉冲响应与卷积和
1 , k 0 d * (t ) 0, k 0
2、部分分式法 ——已知连续信号 f(t) 的 L 氏变换 F(s)，若可分解为部分分 式，则由 Z 变换表求 F(z)。
a 例3-4-5 求F ( s) 的Z 变换。 s(s a) a Z[ ] s(s a) 1 1 Z[ ] s sa z z z 1 z e aT
y( k ) b0 u( k ) b1 u( k 1) bm u( k m ) [a1 y( k 1) a n y( k n)] bi u( k i ) a i y( k i )
i 0 i 1 m n
例3 2 2 y( k 1) ay( k ) bu( k ),设y(0)、u( k )已 知 ， 用 递 推 法 求 解 解 ：k 0 k 1 y( k ) a y(0) a k 1 i bu( i ) 通 解 特 解
自动控制原理的数学模型
自动控制原理的数学模型自动控制是一种通过控制器、执行器和传感器等组件来改变系统特性以实现预期目标的过程。
自动控制原理的数学模型是描述该过程的数学方程组，用于定量地分析和设计控制系统。
实际上，自动控制原理的数学模型可以通过一些基本的物理规律和方程来构建。
下面将介绍几种常见的自动控制原理的数学模型。
1.线性系统模型线性系统是指系统的输出与输入之间的关系是线性的。
在自动控制领域中，线性系统模型是最常见和基础的数学模型。
线性系统的数学模型可以通过常微分方程或差分方程来描述。
常见的线性系统模型有传递函数模型、差分方程模型和状态空间模型等。
传递函数模型是一种常见的线性系统模型，将系统的输入和输出之间的关系表示为一个分子多项式与一个分母多项式的比值。
传递函数模型可以通过系统的拉普拉斯变换或者离散时间系统的Z变换得到。
2.非线性系统模型除了线性系统以外，许多现实中的控制系统是非线性的。
非线性系统的数学模型可以通过非线性方程组来描述。
非线性系统的模型可能难以分析和求解，因为非线性方程组通常没有解析解。
3.离散系统模型离散系统是指系统的输入和输出是在离散时间上进行的。
离散系统的数学模型可以通过差分方程来描述。
差分方程是描述离散时间系统的常用数学工具，可以通过差分方程求解得到系统的时间响应。
4.状态空间模型状态空间模型是一种描述线性动态系统的数学模型。
状态空间模型将系统的状态用向量表示，以描述系统在不同时间点的状态和状态之间的相互关系。
状态空间模型适用于揭示系统的内部细节和进行控制系统设计。
为了应用自动控制原理的数学模型，需要进行系统的建模和参数辨识。
系统的建模是根据系统的特性和运行规律，建立数学模型的过程。
参数辨识是根据实际测量数据和实验结果，确定数学模型中的参数值的过程。
总结起来，自动控制原理的数学模型是用于描述控制系统的数学方程组，常见的数学模型包括线性系统模型、非线性系统模型、离散系统模型和状态空间模型等。
建立和辨识数学模型是应用自动控制原理的重要步骤，可以通过物理规律和系统运行数据等来完成。
线性离散系统的数学模型
有干扰信号的采样系统
R( s )
N (s)
E ( s)
*
T
G1 ( s )
G2 (s)
C (s)
C(s) G2 (s) N (s) G 1(s)G2 (s)E* (s)
* G N ( s) * 2 C ( s) * 1 G1G2 (s)
E* (s) C* (s)
G2 N ( z ) C( z) 1 G1G2 ( z )
R( z )
G1(s)
d (t )
G2(s)
c(t )
系统连续信号的拉氏变换为C(s) G1 (s)G2 (s)R* (s)
R (s) r (nT )e nsT
* n 0
注意：G1G2* (s) G1* (s)G2* (s)
* *
* * C* ( s ) G ( s ) G ( s ) R ( s ) G ( s ) G ( s ) R (s) 2 1 2 1
C( z) G1G2 ( z) R( z)
注意：G1G2 ( z) G1 ( z)G2 ( z)
没有采样开关分隔的两个线性环节串联时，其脉冲传递函数为这 两个环节的传递函数相乘之积的Z变换。 •推广：没有理想采样器隔开的n个线性连续环节串联的脉冲传递函数 等于n个环节乘积后的z变换。
3、有零阶保持器的开环系统脉冲传递函数
* *
* RG ( s) RG( z ) * C ( s) C( z) * 1 HG ( s) 1 HG( z )
*
6、Z变换的局限性及修正Z变换
Z变换的局限： •Z变换的推导建立在采样信号可以用理想脉冲序列来 近似的基础上。 •不能反映采样间隔的信息 •系统连续部分传递函数的极点要比零点多至少2个，即 G(s)的脉冲过渡函数K(t)在t=0时没有跳跃。否则用z变换 法得到的系统输出采样信号c*(t)与实际l连续输出c(t)差别 较大。
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E* (s) R* (s) G(s) H ( s) X * ( s) R* ( s) G( s) H ( s) D* ( s) E * ( s)
* R ( s) * E ( s) 1 G(s) H ( s) D* ( s) D* ( s)G* ( s) R* ( s) * C ( s) 1 D* ( s)[G( s) H ( s)]* C ( z) D( z )G( z ) ( z ) R( z ) 1 D( z )GH ( z )
1、串联各环节之间有采样器的情况
G( z)
G1 ( z)
G2 ( z)
c* (t ) C ( z)
r (t )
T
r * (t )
R( z )
G1(s)
d (t )
d * (t )
D( z )
G2(s)
c(t )
D( z) G1 ( z) R( z) C( z) G2 ( z)D( z) G1 ( z)G2 ( z)R( z)
C( z) G1G2 ( z) R( z)
注意：G1G2 ( z) G1 ( z)G2 ( z)
没有采样开关分隔的两个线性环节串联时，其脉冲传递函数为这 两个环节的传递函数相乘之积的Z变换。 •推广：没有理想采样器隔开的n个线性连续环节串联的脉冲传递函数 等于n个环节乘积后的z变换。
3、有零阶保持器的开环系统脉冲传递函数
脉冲传递函数
C ( z ) G ( z ) R( z )
采样系统的离散输出信号
c* (t ) Z 1[C( z)] Z 1[G( z)R( z)]
•零初始条件：指在t<0时，输入脉冲序列各采样值r(-T),r(-2T)…以及输出 脉冲序列各采样值c(-T),c(-2T)…均为零。
脉冲函数与差分方程的关系
求输出的采样信号 C ( z )。 解： C ( s) E ( s)G ( s) * E ( s ) R ( s ) C ( s) H ( s)
C(s) R(s) C(s)* H (s) G(s)
C (s) R(s)G(s) C (s) H (s)G(s) RG* (s) C * (s) HG* (s)
例 7－24
1 G (s) s 1
与实际的C(t)不符
1、离散系统的数学定义
c(n) F r (n)
其中，r(n)为系统在t=nT时的输入序列；c(n)为系统在 t=nT时的输出序列；T为采样周期。输出序列和输入序列 之间的变换关系称为离散系统。 若上式变换关系为线性，则称为线性离散系统；反 之，称为非线性离散系统。 （1）线性离散系统 •满足叠加性和齐次性 (2)线性定常离散系统 •输入输出不随时间而改变的线性离散系统 线性离散系统的数学模型有： 差分方程、脉冲传递函数和离散状态空间表达式。
R( z )
G1(s)
d (t )
G2(s)
c(t )
系统连续信号的拉氏变换为C(s) G1 (s)G2 (s)R* (s)
R (s) r (nT )e nsT
* n 0
注意：G1G2* (s) G1* (s)G2* (s)
* *
* * C* ( s ) G ( s ) G ( s ) R ( s ) G ( s ) G ( s ) R (s) 2 1 2 1
闭环系统脉冲传递函数
应注意在闭环的各个通道以及环节之间是否有采样开关， 因为有、无采样开关所得的闭环脉冲传递函数是不相同的。
在误差信号e(t )处没有采样开关，输入采样信号r * (t )(包括虚 设的)不能求出闭环离散系统对于输入量的脉冲传递函数，而只 能求出输出采样信号的z变换C ( z )。
* *
* RG ( s) RG( z ) * C ( s) C( z) * 1 HG ( s) 1 HG( z )
*
6、Z变换的局限性及修正Z变换
Z变换的局限： •Z变换的推导建立在采样信号可以用理想脉冲序列来 近似的基础上。 •不能反映采样间隔的信息 •系统连续部分传递函数的极点要比零点多至少2个，即 G(s)的脉冲过渡函数K(t)在t=0时没有跳跃。否则用z变换 法得到的系统输出采样信号c*(t)与实际l连续输出c(t)差别 较大。
C ( z) G( z ) ( z ) R( z ) 1 G ( z ) E( z) 1 e ( z) R( z ) 1 G ( z )
当采样系统中有数字控制器时
R( s )
E * ( s)
T
D( s)
X (s)
X * ( s)
G (s)
C (s)
H (s)
C(s) G(s) X * (s) X (s) D(s) E* (s)
闭环脉冲传递函数
C ( z) G( z ) ( z ) R( z ) 1 HG( z ) E( z) 1 e ( z) R( z ) 1 HG ( z )
1 HG( z ) 0
误差脉冲传递函数
闭环采样控制系统的特征方程 对于单位反馈系统 闭环脉冲传递函数 误差脉冲传递函数
j b z j j 0
m
1 ai z i
i 1
n
(2)脉冲传递函数求解
•由G(s)求G(z):将G(s)展开为z变换表中的部分因式进 行变换。Z变换表见表7-2。
例7－18
由c(nT ) r(n k )T , 求脉冲传递函数。
解： 取z变换得：C( z ) R( z ) z k C( z ) G( z) z k R( z )
采样函数的拉氏变换具有两个重要性质：
•周期性 •特性2
G(s)E (s) G (s)E (s)
* * * *
G (s) G (s jks )
* *
开环离散系统的脉冲传递函数求解与串联环节之间联环节之间没有采样开关的情况 •有零阶保持器的开环系统脉冲传递函数
G( z)
G1 ( z)
例7－20
X (s)
G2 ( z)
C * ( s)
R( s )
R* (s)
1 a z az 传递函数G1 ( s ) , G2 ( s ) G1 ( z ) , G2 ( z ) s sa z 1 z e aT az 2 G1 ( z )G2 ( z ) ( z 1)( z e aT ) az 3 C ( z ) G1 ( z )G2 ( z ) R ( z ) ( z 1) 2 ( z e aT ) a z (1 e aT ) G1G2 ( z ) Z 2 aT s ( s a ) ( z 1) ( z e ) z 2 (1 e aT ) C ( z ) G1G2 ( z ) R ( z ) ( z 1) 2 ( z e aT ) G1 ( z )G2 ( z ) G12 ( z )
c(nT ) ai c[(n i )T ] b j r[(n j )T ]
i 1 j 0 n m
z变换得：C ( z ) ai C ( z ) z b j R ( z ) z j
i i 1 j 0
n
m
C ( z) 整理得脉冲传递函数：G( z ) R( z )
T
G1(s)
X * ( s)
G2(s)
C (s)
•采样开关使脉冲传递函数的零点发生变化。
5、闭环系统脉冲传递函数
r* (t ) R( z)
r (t )
e(t )
e* (t )
c* (t ) C ( z)
T
E( z)
G (s)
c(t )
H (s)
E (s) R(s) H (s)C (s)
有干扰信号的采样系统
R( s )
N (s)
E ( s)
*
T
G1 ( s )
G2 (s)
C (s)
C(s) G2 (s) N (s) G 1(s)G2 (s)E* (s)
* G N ( s) * 2 C ( s) * 1 G1G2 (s)
E* (s) C* (s)
G2 N ( z ) C( z) 1 G1G2 ( z )
3、脉冲传递函数
•（1）脉冲传递函数定义 •（2）脉冲传递函数求解
（1）脉冲传递函数定义 零初始条件下，系统 输出采样信号的z变换与 系统输入采样信号的z变 换之比。
C ( z) G( z) R( z )
n c ( nT ) z n r ( nT ) z n 0 n 0
G p ( s) sT G p ( s) * C ( s) e R ( s) s s G ( z) Gp ( z) Gp ( z) 1 p 1 C ( z) Z R( z ) z Z R( z ) (1 z ) Z R( z ) s s s
第七章 线性离散采样的 分析和校正
7-1
7-2 7-3 7-4 7-5 7-6 7-7
离散系统的基本概念
信号的采样及保持 Z变换理论 离散系统的数学模型 离散系统的稳定性与稳态误差 离散系统的动态性能分析 离散系统的数字校正
7-4
离散系统的数学模型
1 离散系统的数学定义 2 线性常系数差分方程及其解法 3 脉冲传递函数 4 开环系统脉冲传递函数 5 闭环系统脉冲传递函数 6 Z变换的局限性及修正Z变换
E(s) R(s) H (s)G(s) E* (s) E* (s) R* (s) HG* (s)E* (s) C * ( s ) G* ( s ) E * ( s ) G( z) ( z ) 1 HG ( z )