数列求和PPT优秀课件
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高三数学最新复习课件数列求和(共42张PPT)
数列的通项的和，分别求出每个数列的和，从
而求出原数列的和．
例1
求下面数列的前 n 项和： 1 1 1 1＋1，a＋4， 2＋7，…， n－1＋3n－路点拨】
1 1 1 【解】 Sn＝ (1＋ 1)＋( ＋ 4)＋ ( 2＋ 7)＋…＋ ( n－1＋ 3n a a a － 2) 1 1 1 ＝ (1＋ ＋ 2＋…＋ n－1)＋ [1＋4＋ 7＋…＋(3n－2)]． a a a 1 1 1 令 Bn＝ 1＋ ＋ 2＋…＋ n－1， a a a an－1 ∴当 a＝ 1 时， Bn＝ n；当 a≠ 1 时， Bn＝ n n－ 1， a －a 3n－1 n Cn＝ 1＋ 4＋ 7＋…＋(3n－ 2)＝ . 2
【名师点评】
利用错位相减法求和时，转化为
等比数列求和．若公比是参数(字母)，则应先对参
数加以讨论，一般情况下分等于1和不等于1两种
情况分别进行求和．
裂项相消法求和 裂项相消是将数列的项分裂为两项之差，通过
求和相互抵消，从而达到求和的目的．
例3 (2011 年博州质检 )已知数列 {an}中， a1＝ 1，
错位相减法求和 一般地，如果数列{an}是等差数列，{bn}是等比 数列，求数列{an· bn}的前n项和时，可采用错位 相减法．
例2
知数列{an}满足a1，a2－a1，a3－a2，…，an
－an－1，…是首项为1，公比为a的等比数列． (1)求an； (2)如果a＝2，bn＝(2n－1)an，求数列{bn}的前n项 和 S n.
等比数列，再求解．
4．裂项相消法 把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩 下首尾若干项． 5．倒序相加法 把数列正着写和倒着写再相加(即等差数列求和
公式的推导过程的推广)．
数列求和PPT课件
1 2n-1
-
1 2n+1
)]
=
3n 2n+1
.
11.已知 {an} 是 首 项 为 a1, 公 比 为 q 的 等 比 数 列. (1)求和: a1C20-a2C12+a3C22, a1C03-a2C13+a3C23-a4C33 ; (2)由(1)的结果归纳概 括出关于正整数 n 的一个结论, 并加以证明; (3)设q≠1, Sn是{an} 的前 n 项和, 求 S1Cn0-S2C1n+S3C2n-S4C3n+ … +(-1)nSn+1Cnn.
n+1 项
∵lgx+lgy=a, ∴lg(xy)=a.
∴Sn=
n(n+1) 2
lg(xy)=
n(n2+1)a.
注: 本题亦可用对数的运算性质求解:
∵Sn=lg[xn+(n-1)+…+3+2+1y1+2+3+…+(n-1)+n],
∴Sn=
n(n+1) 2
lg(xy)=
n(n2+1)a.
7.求证: Cn0+3Cn1+5Cn2+…+(2n+1)Cnn=(n+1)2n.
-nn2+,1 2
,
n 为偶数时, n 为奇数时.
将数列的每一项拆(裂开)成两项之差, 使得正负项能相互
抵消, 剩下首尾若干项.
例
求和
Sn=
1×1 2+
1 2×3
+…+
1 n(n+1)
.
n n+1
第6章 第4节 数列求和 课件(共76张PPT)
1234
第四节 数列求和
1
2
3
4
走进教材·夯实基础 细研考点·突破题型 核心素养 课后限时集训
2．若数列{an}的通项公式为an＝2n＋2n－1，则数列{an}的前n项
和为( )
A．2n＋n2－1
B．2n＋1＋n2－1
C．2n＋1＋n2－2
D．2n＋n－2
1234
第四节 数列求和
1
2
3
4
走进教材·夯实基础 细研考点·突破题型 核心素养 课后限时集训
当n≥2时，b1＋b22＋b33＋…＋nb－n－11＝an，②
第四节 数列求和
1
2
3
4
走进教材·夯实基础 细研考点·突破题型 核心素养 课后限时集训
①－②得：bnn＝an＋1－an＝2，
所以bn＝2n.
所以bn＝62n
n＝1 n≥2
.
(2)当n＝1时，S1＝a11b1＝4×1 6＝214.
第四节 数列求和
(1)求{an}的通项公式； (2)设cn＝an＋bn，求数列{cn}的前n项和．
第四节 数列求和
1
2
3
4
走进教材·夯实基础 细研考点·突破题型 核心素养 课后限时集训
[解] (1)设等比数列{bn}的公比为q，则q＝bb32＝93＝3， 所以b1＝bq2＝1，b4＝b3q＝27，所以bn＝3n－1(n∈N*)．
1
2
3
4
走进教材·夯实基础 细研考点·突破题型 核心素养 课后限时集训
3．Sn＝12＋12＋38＋…＋2nn等于(
)
2n－n－1 A. 2n
B．2n＋1－2nn－2
2n－n＋1 C. 2n
数列求和(23张PPT)
n 1 n 1 n 1 n 1 (1 6n 5) (a1 an ) 2 2 4 ( 1 4 ) a ( 1 4 ) 2 2 2 2 1 4 2 1 4
2
n2
9n 3n 14 6
2
例２． （天津卷）已知数列
问题解决
a n 的通项公式如下：
0 n 1 n 2 n
n n ，
则 Sn
(n 1)C nC
n n 0 n
n1 n 1 n
3C 2C C
2 n 1 n n 2 n
0 n n n
(n 1)C nC 3C
Sn (n 2) 2
0 n n1 1 n 3 n
2C
n n
n1 n
n b a x n （2）令 n
( x R) ，求知数列
a n 的通项公式如下：
，
6n 5 an n 2
n为奇数 n为偶数
。
s 求数列的前 n 项的和 n
例
a n 1． （北京 卷） 已 知数列 是等差 数列， 且
1 Sn 3 2 k 3 k 2k 1 思考题．已知 k 1
n
，
1 Sn 4 求证：
问题解决
C 2 C 3 C （ n 1 ） C 例３．求和
0 n 1 n 2 n n n
C 2 C 3 C （ n 1 ） C S 【解析】设 n
，
6n 5 an n 2
n为奇数 n为偶数
n n (a1 an 1 ) n 3 2 2 2 9 n 15n 8 a ( 1 4 ) 2 2 Sn 6 2 1 4 n2 2 2 9n 3n 14 n为奇数 6
2
n2
9n 3n 14 6
2
例２． （天津卷）已知数列
问题解决
a n 的通项公式如下：
0 n 1 n 2 n
n n ，
则 Sn
(n 1)C nC
n n 0 n
n1 n 1 n
3C 2C C
2 n 1 n n 2 n
0 n n n
(n 1)C nC 3C
Sn (n 2) 2
0 n n1 1 n 3 n
2C
n n
n1 n
n b a x n （2）令 n
( x R) ，求知数列
a n 的通项公式如下：
，
6n 5 an n 2
n为奇数 n为偶数
。
s 求数列的前 n 项的和 n
例
a n 1． （北京 卷） 已 知数列 是等差 数列， 且
1 Sn 3 2 k 3 k 2k 1 思考题．已知 k 1
n
，
1 Sn 4 求证：
问题解决
C 2 C 3 C （ n 1 ） C 例３．求和
0 n 1 n 2 n n n
C 2 C 3 C （ n 1 ） C S 【解析】设 n
，
6n 5 an n 2
n为奇数 n为偶数
n n (a1 an 1 ) n 3 2 2 2 9 n 15n 8 a ( 1 4 ) 2 2 Sn 6 2 1 4 n2 2 2 9n 3n 14 n为奇数 6
第四节 数列求和 课件(共48张PPT)
－
1 n＋3
）＝
1 2
56－n＋1 2－n＋1 3. 答案：1256－n＋1 2－n＋1 3
考点1 分组转化法求和 [例1] （2020·焦作模拟）已知{an}为等差数列，且 a2＝3，{an}前4项的和为16，数列{bn}满足b1＝4，b4＝ 88，且数列{bn－an}为等比数列. （1）求数列{an}和{bn－an}的通项公式； （2
an＝n（n1＋k）型
[例2] （2020·中山七校联考）已知数列{an}为公差 不为0的等差数列，满足a1＝5，且a2，a9，a30成等比数列.
（1）求{an}的通项公式； （2）若数列{bn}满足bn＋1－bn＝an（n∈N*），且b1＝
3，求数列b1n的前n项和Tn.
1.裂项时常用的三种变形.
（1）n（n1＋1）＝n1－n＋1 1.
（2）n（n1＋2）＝12n1－n＋1 2.
（3）（2n－1）1（2n＋1）＝122n1－1－2n1＋1.
（4）
1 n＋
n＋1＝
n＋1－
n.
2.应用裂项相消法时，应注意消项的规律具有对称 性，即前面剩第几项则后面剩倒数第几项.
3.在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为 参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解.
） B. 2 020－1
C. 2 021－1 D. 2 021＋1
解析：由f（4）＝2，可得4α＝2，解得α＝12，
则f（x）＝ x.
所以an＝
1 f（n＋1）＋f（n）
＝
1 n＋1＋
＝ n
n＋1 －
n，
所以S2 020＝a1＋a2＋a3＋…＋a2 020＝（ 2 － 1 ）＋ （ 3－ 2）＋（ 4－ 3）＋…＋（ 2 021－ 2 020）＝
高考专题复习数学数列求和 PPT课件 图文
设 n N * ， xn 是曲线 y x2n2 1 在点 (1，2)
处的切线与 x 轴交点的横坐标.
（1）求数列 {xn} 的通项公式；
（2）记Tn x12x32
x2 2n1
，证明
Tn
1 4n
.
在数 1 和 100 之间插入 n 个实数，使得这 n 2 个数 构成递增的等比数列，将这 n 2 个数的乘积记作Tn ， 再令 an lg Tn, n≥1.
（2）求数列an 的通项公式；
（3）是否存在实数 a ，使不等式
(1 1 )(1 1 ) (1 1 ) 2a2 3
a1
a2
an 2a 2n 1
对一切正整数 n 都成立？若存在，
求出 a 的取值范围；若不存在，请说明理由．
设数列an 的前 n 项和为 Sn ,满足
2Sn an1 2n1 1 , n N* ,
则数列
1
的前10
项和为_________
an
设数列an，其前 n 项和 Sn 3n2 ，
bn为单调递增的等比数列， b1b2b3 512 ， a1 b1 a3 b3
（1）求数列an, bn的通项公式；
（2）若 cn
bn
bn
2 bn
1 n
bn
bn1
1(n
N* )
.
（1）求 an 与 bn ；（2）记数列{anbn} 的前 n 项和为Tn ，求Tn .
已知数列an ,bn , an 3n 1,bn 2n
记 Tn anb1 an1b2 a1bn , n N * ，求：Tn
数列求和专题完整ppt课件
①
1 2 S n
1 1 4 2 8 1 3 1 1 6 (n 1 ) 2 1 n n 2 1 n 1 ②
两式相减：1 2Sn1 21 48 1 21nn21n11 2(11121n)2nn1 2
S n2 (1 2 1 n2 n n 1)22 1 n 12 n n
完整版PPT课件
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9
倒序法求和
例3.若 f (x) 1
2x
，则
2
f( 5 ) f( 4 ) f( 5 ) f( 6 )
的值为 3 2。Βιβλιοθήκη 【解析】∵1 f (x)
2x 2
∴ f(1x) 1 2x
1 2 x
2
21x 2 2 22x 2 2 x
1 1 2x
∴ f(x)f(1x) 2 2
完整版PPT课件
12
裂项法求和
练习：求和 111 1
14 47 7 10(3 n2 )3 (n1 )
1
提示：
1 ( 1 1 )
(3n2)(3n1) 3 3n2 3n1
∴
1 1
1
14 47
(3n2)(3n1)
1[(1 1)(1 1)( 1 1 )]
3 4 47
3n2 3n1
11
n
(1 )
Sn1222 n2 完整16版PnPT(课n件1)(2n1)
4
知识回顾：公式法求和
例1：求和：S n a n a n 1 b a n 2 b 2 a 2 b n 2 a n 1 b n ( n N * )
解：①当a 0时，Sn bn
②当a0且 b 0时，Sn an
③当ab0时，Sn (n1)an
第七章 第四节 数列求和 课件(共42张PPT)
1．一些常见数列的前 n 项和公式 (1)1＋2＋3＋4＋…＋n＝n（n＋ 2 1） ； (2)1＋3＋5＋7＋…＋2n－1＝n2； (3)2＋4＋6＋8＋…＋2n＝n2＋n.
2．三种常见的拆项公式
1 (1)n（n＋1）
＝1n
－n＋1 1
；
1 (2)（2n－1）（2n＋1）
＝12
2n1－1－2n1＋1
答案： (1)× (2)√ (3)√
2．(必修 5P47T4 改编)数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 an＝n（n1＋1） ，
则 S5 等于( )
A．1
B．56
C．16
D．310
B [∵an＝n（n1＋1） ＝1n －n＋1 1 ，∴S5＝a1＋a2＋…＋a5＝1－12 ＋12 －13 ＋…＋15 －16 ＝56 .]
所以 an＝－2n1＋1 (n 为正奇数)， 若 n 为奇数，则 an－1＝－2an＋21n ＝(－2)－2n1＋1 ＋21n ， 所以 an＝21n (n 为正偶数)， 所以 a3＝－214 ＝－116 ， 因为 an＝－2n1＋1 (n 为正奇数)，所以－a1＝－－212 ＝212 ，
因为 an＝21n (n 为正偶数)，所以 a2＝212 ， 所以－a1＋a2＝2×212 ， 因为－a3＝－－214 ＝214 ，a4＝214 ， 所以－a3＋a4＝2×214 ， …… －a99＋a100＝2×21100 .
(2)因为 an＝2n，所以 bn＝(n＋1)log2an＝(n＋1)log22n＝n(n＋1)， 所以，2n2b＋n2 2n ＝n（n2＋1） ＝21n－n＋1 1 ， 所以 Tn＝21－12＋12－13＋…＋1n－n＋1 1 ＝21－n＋1 1 ＝n2＋n1 .
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S5 _______
2. 2 4 6 ... 2 n _ _ _ _ _ _ _ _ _
3. 11 21 4...21n_________
公式求和
变式1
Sn
(21)(41)···
2
4
(2n
1 2n
)
1
1
1
Sn
(2 )(4 )···
2
4
(2n
为10，则项数n为____1_2_0____.
即时小结
在什么情况下，用裂项求和？
点评：如果数列的通项公式可转化为 f n 1 f (n) 形式，常采用裂项求和的方法．特别地，
当数列形如
an
1 an1
，其中
an
是等差数列，可尝试采用此法．
小结:
1.公式法:直接利用等差等比数列的求和公式
(1 1 ) n 2 n2 2(n 2)
变式1
求1 1 1 1 1 ,(nN*)。 12 123 1234 123n
解：由题知 an 2
2 1
n(n 1)
n(n 1)
1
1
Sn 1 ···
12
123···n
解：由题知 an12···2n1 1 2 n 2n 1 1 2
Sna1a2···an
( 2 1 ) ( 2 2 1 ) ( 2 n 1 )
222···2n n
2(12n) n 2n1n2
12
分组求和
即时总结：
求前n项和关键的第一步：
分析通项
例1
(1) 函数 f (x) 对任意 x R 都有 f (x) Байду номын сангаасf (1 x) 1 2
化简数列 an
f
(0)
f
(1) n
f (2) n
f (n 1) n
f
(1)
分析:
数列特点：与首末等距离的两项之和等于首末两项之和。 根据数列的特点，将其倒写后与原数列相加，以达到求和 的目的。（联系：等差数列的前n项和推导过程以及高斯小
求和 S n21 33 144 15 (n 1 )1 n ( 2 )
解: an(n1)1 (n2)n1 1n 12
S n (1 2 1 3 ) (1 3 1 4 ) (1 4 1 5 ) (n 1 1 n 1 2 )
1222 23324···
2 n(n
1)
2[1111 ] 12 23 34 n(n1)
2(1111 ··· 1 1 )
223
n n 1
2(1 1 )
n 1
2n n 1
变式２：已知 an
1 n n1
，若
an
前n项和
∴
n2 221 n1 22nn1
Sn 4 2n1
例2
裂项相
消
求和
S n21 33 144 15 (n 1 )1 n ( 2 )
分析：此 数列为特殊数列，其 通项的 分母是两个因式之积，且两数 相差1
若把通项作适当变形为 1 1 1 ，
(n1)n(2) n1 n2
时候巧解算术题）。
倒序相加法
f(0 ) f( 1 ) 1 ,f(1 ) f(n 1 ) 1 ,f(2 ) f(n 2 ) 1 2n n 2n n 2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
anf(0)f(1n)f(n2).........f(n n2)f(nn1)f(1) (1)
n1 n2
21
anf(1)f(
)f( n
).........f( )f( )f(0) (2)
n
nn
(1)+(2)可得， a n
n 1 4
（2）求数列前n项的和
2 4 6 2n
, 2
22
,23
,,
2n
,
分析
如果一个数列的各项是由一个等差数列与一个等比数列 对应项乘积组成，此时求和可采用错位相减法.
数 列 {an}的 前 n项 和S na 1 a 2 a n
1.等差数列前n项和: Snna12 ann1 ann21d
2.等比数列前n项和:
na1
q 1
Sn
a1
1
qn
q 1
1 q
基础训练
1． S n 为数列a n 的前n项和 an n(n1)，则
2n
)
=(2+4+···+2n)
(
1 2
1 4
···
1 2n
)
n(2 2n) 2
1 [1 ( 1)n ] 22
1 1
n(n1)1(1)n 2
2
n2 n(1)n 1
2
想一想
变式2：求和
1(12)(1222)···(1222··· 2n1)
错位相减法
求数列前n项的和.
2, 4, 6,,2n,
2 22 23
2n
解：由题可知，{ 2 n }的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{ 1 }的通项之积
2n
2n
设 Sn2 22 4 22 6 32 2 n n ①
1 2S n2 2 22 4 32 6 4 2 2 n n 1 ②（设制错位） ①－②得( 1 1 2 )S n 2 2 2 2 2 2 2 3 2 2 4 2 2 n 2 2 n n （1错位相减）
易先果、石俊峰
基础训练:
1． S n 为数列a n 的前n项和 an n(n1)，则
S5 __7 _0____
2. 2 4 6 ... 2 n _ _ n_ _ 2 _ _ _ n_ _
3. 11 21 4...21n___2___2_ 1n__
复习:
2.倒序相加法：如果一个数列{ a n }，与首末两项等距的两项之和等于首末两项之
和，可采用把正着写与倒着写的两个和式相加，有公因式可提，并且剩余的项 的和可求出来，这一求和的方法称为倒序相加法
3.错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列与一个 等比数列对应项乘积组成，此时求和可采用错位相减法.
2. 2 4 6 ... 2 n _ _ _ _ _ _ _ _ _
3. 11 21 4...21n_________
公式求和
变式1
Sn
(21)(41)···
2
4
(2n
1 2n
)
1
1
1
Sn
(2 )(4 )···
2
4
(2n
为10，则项数n为____1_2_0____.
即时小结
在什么情况下，用裂项求和？
点评：如果数列的通项公式可转化为 f n 1 f (n) 形式，常采用裂项求和的方法．特别地，
当数列形如
an
1 an1
，其中
an
是等差数列，可尝试采用此法．
小结:
1.公式法:直接利用等差等比数列的求和公式
(1 1 ) n 2 n2 2(n 2)
变式1
求1 1 1 1 1 ,(nN*)。 12 123 1234 123n
解：由题知 an 2
2 1
n(n 1)
n(n 1)
1
1
Sn 1 ···
12
123···n
解：由题知 an12···2n1 1 2 n 2n 1 1 2
Sna1a2···an
( 2 1 ) ( 2 2 1 ) ( 2 n 1 )
222···2n n
2(12n) n 2n1n2
12
分组求和
即时总结：
求前n项和关键的第一步：
分析通项
例1
(1) 函数 f (x) 对任意 x R 都有 f (x) Байду номын сангаасf (1 x) 1 2
化简数列 an
f
(0)
f
(1) n
f (2) n
f (n 1) n
f
(1)
分析:
数列特点：与首末等距离的两项之和等于首末两项之和。 根据数列的特点，将其倒写后与原数列相加，以达到求和 的目的。（联系：等差数列的前n项和推导过程以及高斯小
求和 S n21 33 144 15 (n 1 )1 n ( 2 )
解: an(n1)1 (n2)n1 1n 12
S n (1 2 1 3 ) (1 3 1 4 ) (1 4 1 5 ) (n 1 1 n 1 2 )
1222 23324···
2 n(n
1)
2[1111 ] 12 23 34 n(n1)
2(1111 ··· 1 1 )
223
n n 1
2(1 1 )
n 1
2n n 1
变式２：已知 an
1 n n1
，若
an
前n项和
∴
n2 221 n1 22nn1
Sn 4 2n1
例2
裂项相
消
求和
S n21 33 144 15 (n 1 )1 n ( 2 )
分析：此 数列为特殊数列，其 通项的 分母是两个因式之积，且两数 相差1
若把通项作适当变形为 1 1 1 ，
(n1)n(2) n1 n2
时候巧解算术题）。
倒序相加法
f(0 ) f( 1 ) 1 ,f(1 ) f(n 1 ) 1 ,f(2 ) f(n 2 ) 1 2n n 2n n 2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
anf(0)f(1n)f(n2).........f(n n2)f(nn1)f(1) (1)
n1 n2
21
anf(1)f(
)f( n
).........f( )f( )f(0) (2)
n
nn
(1)+(2)可得， a n
n 1 4
（2）求数列前n项的和
2 4 6 2n
, 2
22
,23
,,
2n
,
分析
如果一个数列的各项是由一个等差数列与一个等比数列 对应项乘积组成，此时求和可采用错位相减法.
数 列 {an}的 前 n项 和S na 1 a 2 a n
1.等差数列前n项和: Snna12 ann1 ann21d
2.等比数列前n项和:
na1
q 1
Sn
a1
1
qn
q 1
1 q
基础训练
1． S n 为数列a n 的前n项和 an n(n1)，则
2n
)
=(2+4+···+2n)
(
1 2
1 4
···
1 2n
)
n(2 2n) 2
1 [1 ( 1)n ] 22
1 1
n(n1)1(1)n 2
2
n2 n(1)n 1
2
想一想
变式2：求和
1(12)(1222)···(1222··· 2n1)
错位相减法
求数列前n项的和.
2, 4, 6,,2n,
2 22 23
2n
解：由题可知，{ 2 n }的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{ 1 }的通项之积
2n
2n
设 Sn2 22 4 22 6 32 2 n n ①
1 2S n2 2 22 4 32 6 4 2 2 n n 1 ②（设制错位） ①－②得( 1 1 2 )S n 2 2 2 2 2 2 2 3 2 2 4 2 2 n 2 2 n n （1错位相减）
易先果、石俊峰
基础训练:
1． S n 为数列a n 的前n项和 an n(n1)，则
S5 __7 _0____
2. 2 4 6 ... 2 n _ _ n_ _ 2 _ _ _ n_ _
3. 11 21 4...21n___2___2_ 1n__
复习:
2.倒序相加法：如果一个数列{ a n }，与首末两项等距的两项之和等于首末两项之
和，可采用把正着写与倒着写的两个和式相加，有公因式可提，并且剩余的项 的和可求出来，这一求和的方法称为倒序相加法
3.错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列与一个 等比数列对应项乘积组成，此时求和可采用错位相减法.