数列求和PPT优秀课件

2n
)
=(2+4+···+2n)

(
1 2

1 4

···

1 2n
)

n(2 2n) 2

1 [1 ( 1)n ] 22
1 1
n(n1)1(1)n 2
2
n2 n(1)n 1
2
想一想
变式2：求和
1(12)(1222)···(1222··· 2n1)
n1 n2
21
anf(1)f(
)f( n
).........f( )f( )f(0) (2)
n
nn
(1)+(2)可得， a n

n 1 4
（2）求数列前n项的和
2 4 6 2n
, 2
22
,23
,,
2n
,
分析
如果一个数列的各项是由一个等差数列与一个等比数列 对应项乘积组成，此时求和可采用错位相减法.
易先果、石俊峰
基础训练:
1． S n 为数列a n 的前n项和 an n(n1)，则
S5 __7 _0____
2. 2 4 6 ... 2 n _ _ n_ _ 2 _ _ _ n_ _
3. 11 21 4...21n___2___2_ 1n__
复习:
S5 _______
2. 2 4 6 ... 2 n _ _ _ _ _ _ _ _ _
3. 11 21 4...21n_________
公式求和
变式1
Sn
(21)(41)···
2
4
(2n

1 2n
)
1
1
1
Sn
(2 )(4 )···
2
4
(2n
错位相减法
求数列前n项的和.
2, 4, 6,,2n,
2 22 23
2n
解：由题可知，{ 2 n }的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{ 1 }的通项之积
2n
2n
设 Sn2 22 4 22 6 32 2 n n ①
1 2S n2 2 22 4 32 6 4 2 2 n n 1 ②（设制错位） ①－②得( 1 1 2 )S n 2 2 2 2 2 2 2 3 2 2 4 2 2 n 2 2 n n （1错位相减）
求和 S n21 33 144 15 (n 1 )1 n ( 2 )
解: an(n1)1 (n2)n1 1n 12
S n (1 2 1 3 ) (1 3 1 4 ) (1 4 1 5 ) (n 1 1 n 1 2 )
2.倒序相加法：如果一个数列{ a n }，与首末两项等距的ຫໍສະໝຸດ Baidu项之和等于首末两项之
和，可采用把正着写与倒着写的两个和式相加，有公因式可提，并且剩余的项 的和可求出来，这一求和的方法称为倒序相加法
3.错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列与一个 等比数列对应项乘积组成，此时求和可采用错位相减法.
(1 1 ) n 2 n2 2(n 2)
变式1
求1 1 1 1 1 ,(nN*)。 12 123 1234 123n
解：由题知 an 2
2 1
n(n 1)
n(n 1)
1
1
Sn 1 ···
12
123···n
∴
n2 221 n1 22nn1
Sn 4 2n1
例2
裂项相
消
求和
S n21 33 144 15 (n 1 )1 n ( 2 )
分析：此 数列为特殊数列，其 通项的 分母是两个因式之积，且两数 相差1
若把通项作适当变形为 1 1 1 ，
(n1)n(2) n1 n2
求前n项和关键的第一步：
分析通项
例1
(1) 函数 f (x) 对任意 x R 都有 f (x) f (1 x) 1 2
化简数列 an

f
(0)
f
(1) n
f (2) n
f (n 1) n
f
(1)
分析:
数列特点：与首末等距离的两项之和等于首末两项之和。 根据数列的特点，将其倒写后与原数列相加，以达到求和 的目的。（联系：等差数列的前n项和推导过程以及高斯小
数 列 {an}的 前 n项 和S na 1 a 2 a n
1.等差数列前n项和: Snna12 ann1 ann21d
2.等比数列前n项和:
na1
q 1
Sn



a1
1
qn
q 1
1 q
基础训练
1． S n 为数列a n 的前n项和 an n(n1)，则
解：由题知 an12···2n1 1 2 n 2n 1 1 2
Sna1a2···an
( 2 1 ) ( 2 2 1 ) ( 2 n 1 )
222···2n n
2(12n) n 2n1n2
12
分组求和
即时总结：
1222 23324···
2 n(n
1)
2[1111 ] 12 23 34 n(n1)
2(1111 ··· 1 1 )
223
n n 1
2(1 1 )
n 1
2n n 1
变式２：已知 an
1 n n1
，若
an
前n项和
时候巧解算术题）。
倒序相加法
f(0 ) f( 1 ) 1 ,f(1 ) f(n 1 ) 1 ,f(2 ) f(n 2 ) 1 2n n 2n n 2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
anf(0)f(1n)f(n2).........f(n n2)f(nn1)f(1) (1)
为10，则项数n为____1_2_0____.
即时小结
在什么情况下，用裂项求和？
点评：如果数列的通项公式可转化为 f n 1 f (n) 形式，常采用裂项求和的方法．特别地，
当数列形如

an
1 an1

，其中
an
是等差数列，可尝试采用此法．
小结:
1.公式法:直接利用等差等比数列的求和公式