数列解题技巧

数列解题技巧 Revised by Liu Jing on January 12, 2021第四讲数列与探索性新题型的解题技巧【命题趋向】从2007年高考题可见数列题命题有如下趋势：1.等差（比）数列的基本知识是必考内容，这类问题既有选择题、填空题，也有解答题；难度易、中、难三类皆有.2.数列中a n与S n之间的互化关系也是高考的一个热点.3.函数思想、方程思想、分类讨论思想等数学思想方法在解决问题中常常用到，解答试题时要注意灵活应用.4.解答题的难度有逐年增大的趋势,还有一些新颖题型,如与导数和极限相结合等.因此复习中应注意：1.数列是一种特殊的函数，学习时要善于利用函数的思想来解决.如通项公式、前n项和公式等.2.运用方程的思想解等差（比）数列，是常见题型，解决此类问题需要抓住基本量a1、d（或q），掌握好设未知数、列出方程、解方程三个环节，常通过“设而不求，整体代入”来简化运算.3.分类讨论的思想在本章尤为突出.学习时考虑问题要全面，如等比数列求和要注意q=1和q≠1两种情况等等.4.等价转化是数学复习中常常运用的，数列也不例外.如a n与S n的转化；将一些数列转化成等差（比）数列来解决等.复习时，要及时总结归纳.5.深刻理解等差（比）数列的定义，能正确使用定义和等差（比）数列的性质是学好本章的关键.6.解题要善于总结基本数学方法.如观察法、类比法、错位相减法、待定系数法、归纳法、数形结合法，养成良好的学习习惯，定能达到事半功倍的效果. 7．数列应用题将是命题的热点，这类题关键在于建模及数列的一些相关知识的应用.【考点透视】1．理解数列的概念，了解数列通项公式的意义，了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项.2．理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前n项和公式，并能运用公式解答简单的问题.3．理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n项和公式，并能运用公式解决简单的问题.4．数列是高中数学的重要内容，又是学习高等数学的基础，所以在高考中占有重要的地位.高考对本章的考查比较全面，等差数列，等比数列的考查每年都不会遗漏.解答题多为中等以上难度的试题，突出考查考生的思维能力，解决问题的能力，试题大多有较好的区分度.有关数列的试题经常是综合题，经常把数列知识和指数函数、对数函数和不等式的知识综合起来，试题也常把等差数列、等比数列，求极限和数学归纳法综合在一起。

探索性问题是高考的热点，常在数列解答题中出现。

本章中还蕴含着丰富的数学思想，在主观题中着重考查函数与方程、转化与化归、分类讨论等重要思想，以及配方法、换元法、待定系数法等基本数学方法.应用问题考查的重点是现实客观事物的数学化，常需构造数列模型，将现实问题转化为数学问题来解决.【例题解析】考点1 正确理解和运用数列的概念与通项公式理解数列的概念,正确应用数列的定义，能够根据数列的前几项写出数列的通项公式. 典型例题例1．（2006年广东卷）在德国不来梅举行的第48届世乒赛期间，某商店橱窗里用同样的乒乓球堆成若干堆“正三棱锥”形的展品，其中第1堆只有1层，就一个球；第2，3，4，…堆最底层（第一层）分别按图4所示方式固定摆放，从第二层开始，每层的小球自然垒放在下一层之上，第n 堆第n 层就放一个乒乓球，以f (n)表示第n 堆的乒乓球总数，则()f 3_____=；()_____f n =（答案用n 表示）.思路启迪：从图中观察各堆最低层的兵乓球数分别是12,3,4, …推测出第n 层的球数。

解答过程：显然()f 310=.第n 堆最低层（第一层）的乒乓球数，()n12n n n 1aa a a 2+=+++=，第n 堆的乒乓球数总数相当于n 堆乒乓球的低层数之和，即()()22212n n n 111f n aa a (12n ).222+=+++=++++⋅ 所以：()()n n 1n 2f (n)6++=例2．（2007年湖南卷理）将杨辉三角中的奇数换成1，偶数换成0，得到如图所示的0-1三角数表．从上往下数，第1次全行的数都为1的是第1行，第2次全行的数都为1的是第3行，…，第n 次全行的数都为1的是第 行；第61行中1的个数是 ． 第1行 1 1…第2行 1 0 1 第3行 1 1 1 1 第4行 1 0 0 0 1 第5行 1 1 0 0 1 1 …… ………………………………………思路启迪：计算图形中相应1的数量的特征，然后寻找它们之间的规律。

解：第1次全行的数都为1的是第21-=1行，第2次全行的数都为1的是第221-=3行，第3次全行的数都为1的是第321-=7行，······，第n 次全行的数都为1的是第21n -行；第61行中1的个数是521- =32． 应填21n -，32考点2 数列的递推关系式的理解与应用在解答给出的递推关系式的数列问题时，要对其关系式进行适当的变形 ，转化为常见的类型进行解题。

如“逐差法”若n n 1a a n,--=且1a 1=；我们可把各个差列出来进行求和，可得到数列{}n a 的通项.再看“逐商法”即n 1na n 1a +=+且1a 1=，可把各个商列出来求积。

另外可以变形转化为等差数列与等比数列，利用等差数列与等比数列的性质解决问题。

例3．（2007年北京卷理）数列{}n a 中，12a =，1n n a a cn +=+（c 是常数，123n =，，，），且123a a a ，，成公比不为1的等比数列．（I ）求c 的值；（II ）求{}n a 的通项公式．思路启迪：（1）由123a a a ，，成公比不为1的等比数列列方程求c ；（2）可根据递推公式写出数列的前几项，然后分析每一项与该项的序号之间的关系，归纳概括出an 与n 之间的一般规律，从而作出猜想，写出满足前4项的该数列的一个通项公式.解：（I ）12a =，22a c =+，323a c =+，因为123a a a ，，成等比数列，所以2(2)2(23)c c +=+，解得0c =或2c =． 当0c =时，123a a a ==，不符合题意舍去，故2c =． （II ）当2n ≥时，由于21a a c -=， 322a a c -=，，1(1)n n a a n c --=-，所以1(1)[12(1)]2n n n a a n c c --=+++-=．又12a =，2c =，故22(1)2(23)n a n n n n n =+-=-+=，，． 当1n =时，上式也成立， 所以22(12)n a n n n =-+=，，．小结：从特殊的事例，通过分析、归纳、抽象总结出一般规律，再进行科学地证明，这是创新意识的具体体现，这种探索问题的方法，在解数列的有关问题中经常用到，应引起足够的重视.例4．（2006年广东卷）已知数列{}n x 满足122x x =，()1212n n n x x x --=+，3,4,n =…．若lim 2n n x →∞=， 则 ( B )（Ａ） 32（Ｂ） ３ （Ｃ） ４ （Ｄ） ５思路启迪：对递推关系变形，运用叠加法求得，特别注意的是对两边同时运用. 解答过程：n n 1n 12x x x --=+， n n 1n 2n x x x x --∴-=-.32134324n 1n 2n 3n 1n n 1n 2n x x x x x x x x x x x x x x x x -------=-⎫⎪-=-⎪⎪⎬⎪-=-⎪-=-⎪⎭相叠加n 212n n 1x x x x x x --=+--. 12x x 2=， n n 112x x 2x -∴+=.()n n 11n n lim 2x x lim 2x -→∞→∞+=， n n lim x 2→∞=，12x 6∴= ，1x 3=.解答过程2：由()1212n n n x x x --=+得：n n 1n 1n 2211111x +x x x x x x 222---=+==+=，n n 11n 1lim x x x 2-→∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭，因为n n lim x 2→∞=. 所以：1x 3=.解答过程3：由()1212n n n x x x --=+得：()()2n n 1n 1n 2n 2n 311x x x x x x 22-----⎛⎫⎛⎫-=--=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭…………()n 2n 121111x x x 22--⎛⎫⎛⎫==--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，从而 23211x x x 2⎛⎫-=- ⎪⎝⎭；34311x x x 2⎛⎫-=- ⎪⎝⎭；……；n 1n n 111x x x 2--⎛⎫-=- ⎪⎝⎭.叠加得：23n 1n 21111x x x 222-⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+-++-⎢⎥ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦. n 2n 2111x x x 162-⎡⎤⎛⎫=+--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦， n 2n 21n n 11lim x lim x x 162-→∞→∞⎧⎫⎡⎤⎪⎪⎛⎫=+--⎢⎥⎨⎬ ⎪⎝⎭⎢⎥⎪⎪⎣⎦⎩⎭. 11x 12x 26=+ ， 从而1x 3=. 小结：数列递推关系是近几年高高数学的热点，主要是一些能转化为等差等比数列的递推关系式。

对连续两项递推()n n-1a ka d n 2,k 1=+≥≠，可转化为n n 1d d a k a 1k 1k -⎛⎫-=- ⎪--⎝⎭；对连续三项递推的关系()n 1n n-1a ka da n 2+=+≥如果方程2x kx d=0--有两个根αβ、，则上递推关系式可化为()n 1n n n 1a a a a αβ+--=-或()n 1n n n 1a a a a βα+--=-.考点3 数列的通项n a 与前n 项和n S 之间的关系与应用n a 与n S 的关系：1n n n 1S n=1a S S n 2-⎧=⎨-≥⎩，数列前n 项和n S 和通项n a 是数列中两个重要的量，在运用它们的关系式n n n 1a S S -=-时，一定要注意条件n 2≥，求通项时一定要验证1a 是否适合。

解决含n a 与n S 的式子问题时，通常转化为只含n a 或者转化为只n S 的式子.例5．（2006年辽宁卷） 在等比数列{}n a 中,12a =,前n 项和为n S ,若数列{}1n a +也是等比数列,则n S 等于（ ）(A)122n +- (B) 3n (C) 2n (D)31n - 命题目的：本题考查了等比数列的定义和求和公式，着重考查了运算能力。

过程指引因数列{}n a 为等比，则12n n a q -=，因数列{}1n a +也是等比数列，则 即2n a =，所以2n S n =，故选择答案C.例6.已知在正项数列{a n }中，S n 表示前n项和且n a 1=+，求a n .思路启迪：转化为只含n a 或者只含n S 的递推关系式. 解答过程1：由已知n a 1=+，得当n=1时，a 1=1；当n ≥2时，a n = S n －S n －1，代入已知有n n 1S S 1-=-+，n 1n S S 1-=-.)2n 1S 1-=，又nn n 1a0,S S ->>1.1=，是以1为首项，1为公差的等差数列，n 故n a 2n 1=-.解答过程2：由已知n a 1+，得当n=1时，a 1=1；当n ≥2时因为2n n a 1S 2+⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以22n n 1n a 1a 1a 22-++⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.22n n n n 1n 14a a 2a a 2a --=+--，22n n n 1n 1a 2a a 2a 0-----= ()()n n 1n n 1a a a a 20--+--=，因为n a 0>， 所以n n 1a a 2--=，所以n a 2n 1=-.考点4. 数列中与n 有关的等式的理解与应用对数列中的含n 的式子，注意可以把式子中的n 换为n 1-得到另外的式子。