(名师整理)最新中考数学专题复习《弧、弦、圆心角、圆周角之间的关系》精品教案
九年级下册数学沪科版24.2.3圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系优秀教学案例
1.情感目标:培养学生对数学的兴趣,使学生能够积极主动地参与数学学习,提高学生的数学学习积极性。
在教学过程中,我会运用人性化的语言,生动有趣的例子,激发学生的学习兴趣,使学生能够积极主动地参与数学学习,提高学生的数学学习积极性。
2.价值观目标:培养学生严谨治学的态度,使学生能够认真对待数学学习,提高学生的数学学习效果。
九年级下册数学沪科版24.2.3圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系优秀教学案例
一、案例背景
本节内容为九年级下册数学沪科版24.2.3圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系。在之前的学习中,学生已经掌握了圆的基本概念和性质,如圆的周长、直径、半径等。本节内容旨在引导学生探究圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系,帮助学生进一步理解圆的性质,提高解决问题的能力。
(三)小组合作
1.小组合作的目的是:通过小组合作,培养学生的团队合作精神,提高学生的数学学习效果。
在教学过程中,我会组织学生进行小组合作,让学生在合作中发现问题、解决问题,共同完成学习任务。例如,在讲解圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系时,我可以让学生以小组为单位,进行探究和实践,发现和理解圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系。
根据课程标准,本节课的教学目标为:1.理解圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系;2.学会运用圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系解决实际问题;3.培养学生的观察能力、动手操作能力和推理能力。
为了实现以上目标,我设计了以下教学活动:1.通过观察和操作,让学生发现圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系;2.运用几何画板软件,动态展示圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系,增强学生的直观感受;3.创设有趣的问题情境,让学生运用圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系解决实际问题。
1.反思与评价的目的:通过反思与评价,让学生总结经验,提高数学学习效果。
弧、弦、圆心角教案
弧、弦、圆心角教案教学目标:1. 理解弧、弦、圆心角的定义及它们之间的关系。
2. 学会使用圆规和量角器画弧、弦和圆心角。
3. 能够运用弧、弦、圆心角解决实际问题。
教学重点:1. 弧、弦、圆心角的定义及它们之间的关系。
2. 画弧、弦和圆心角的方法。
教学难点:1. 弧、弦、圆心角在实际问题中的应用。
教学准备:1. 圆规、量角器、直尺、铅笔。
2. 教学PPT。
教学过程:一、导入(5分钟)1. 引导学生观察圆,提问:圆上有什么特殊的部分?2. 学生回答:弧、弦。
3. 教师讲解弧、弦的定义,并展示PPT中的图片和实例。
二、探究弧、弦、圆心角的关系(10分钟)三、画弧、弦和圆心角(10分钟)1. 教师示范如何使用圆规和量角器画弧、弦和圆心角。
2. 学生动手实践,画出给定半径的圆的弧、弦和圆心角。
3. 学生互相检查,教师巡回指导。
四、解决问题(10分钟)1. 出示实际问题,如:在一个半径为5cm的圆中,求弧长为10πcm的弧对应的圆心角大小。
2. 学生独立思考,解答问题。
3. 学生分享解题过程和答案,教师点评。
2. 出示拓展问题,如:在同一个圆中,如果两个圆心角的度数相等,它们对应的弧和弦是否相等?3. 学生思考拓展问题,下节课讨论。
教学反思:六、深化理解:圆心角、弧、弦的定量关系教学目标:1. 掌握圆心角、弧、弦的定量关系。
2. 能够运用定量关系解决相关问题。
教学重点:1. 圆心角、弧、弦的定量关系。
教学难点:1. 定量关系在实际问题中的应用。
教学准备:1. 圆规、量角器、直尺、铅笔。
2. 教学PPT。
教学过程:1. 复习上节课所学的弧、弦、圆心角的定义及它们之间的关系。
2. 引导学生探究圆心角、弧、弦的定量关系。
七、实际应用:解决圆相关问题教学目标:1. 能够运用圆心角、弧、弦的定量关系解决实际问题。
2. 提高解决实际问题的能力。
教学重点:1. 运用圆心角、弧、弦的定量关系解决实际问题。
教学难点:1. 实际问题中的数据处理和运用。
九年级数学下册《圆心角弧弦弦心距的关系》教案、教学设计
(2)弧长相等的两条弧所对的圆心角相等;
(3)弦长相等的两条弦所对的圆心角相等;
(4)弦心距相等的两条弦所对的圆心角相等。
2.教学方法:
运用直观的图形、实例和动画演示,让学生直观地感受圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系。同时,结合几何画板,让学生动手操作,加深对几何性质的理解。
(3)鼓励学生参与评价,让学生在评价中反思自己的学习过程,不断提高。
4.教学拓展:
(1)引导学生关注生活中的圆,发现圆心角、弧、弦、弦心距在生活中的应用,增强学生的应用意识。
(2)鼓励学生参加数学竞赛、课外活动等,拓宽知识面,提高数学素养。
四、教学内容与过程
(一)导入新课
1.教学活动设计:
在导入新课环节,我将利用多媒体展示生活中常见的圆形物体,如车轮、风扇、时钟等,引导学生观察这些物体,并思考它们与圆的关系。通过这种方式,让学生感知圆在生活中的广泛应用,为新课的学习营造情境。
三、教学重难点和教学设想
(一)教学重点
1.理解并掌握圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系,能运用这些关系解决实际问题。
2.培养学生的观察能力、逻辑思维能力和空间想象能力。
3.学会运用几何画板等信息技术手段辅助解题,提高学生的信息素养。
(二)教学难点
1.弧、弦、圆心距之间相互关系的理解和应用,特别是弦心距的计算。
(二)过程与方法
1.引导学生通过观察、实践、探索,发现圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系,培养学生的观察能力和动手操作能力。
2.运用问题驱动法,激发学生的思考,引导学生通过自主探究、小组合作交流,形成解决问题的策略。
3.教师通过典型例题的讲解,帮助学生总结解题规律,提高学生的解题能力。
《弧、弦、圆心角》参考教案
24.1.3 弧、弦、圆心角教学目标:1、理解圆的旋转不变性.2、掌握圆心角的概念和圆心角定理.3、通过观察、比较、操作、推理、归纳等活动,发展空间观念、推理能力以及概括问题的能力;4、学生在探索圆周角与圆心角的关系的过程中,学会运用分类讨论的数学思想,转化的数学思想解决问题.教学重点:探索圆心角、弧、弦之间关系定理并利用其解决相关问题.教学难点:圆心角、弧、弦之间关系定理中的“在同圆或等圆”条件的理解及定理的证明.教学过程:一、情境创设:1、按下面的步骤做一做:(1)在两张透明纸上,作两个半径相等的⊙O和⊙O′,沿圆周分别将两圆剪下;(2)在⊙O和⊙O′上分别作相等的角∠AOB和∠A′O′B′,如图1所示,圆心固定.注意:在画∠AOB与∠A′O′B′时,要使OB相对于OA的方向与O′B′相对于O′A′的方向一致,否则当OA与OA′重合时,OB与O′B′不能重合.图1(3)将其中的一个圆旋转一个角度.使得OA与O′A′重合.通过上面的做一做,你能发现哪些等量关系?同学们互相交流一下,说一说你的理由.二、新课讲授1.定点在圆心的角叫做圆心角。
如:∠AOB2.如图1,由已知条件可知∠AOB=∠A′O′B′;由两圆的半径相等,可以得到∠OAB=∠OBA=∠O′A′B′=∠O′B′A′;由△AOB≌△A′O′B′,可得到AB=A′B′;由旋转法可知弧AB=弧A’B’.定理:在同圆和等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦也相等.根据对上述定理的理解,你能证明下列命题是正确的吗?推论:(1)在同圆或等圆中,如果两条弧相等,那么它们所对的圆心角相等,所对的弦相等;(2)在同圆或等圆中,如果两条弦相等,那么它们所对的圆心角相等,所对的优(劣)弧相等.注意:(1)“同圆或等圆”的条件不能少;若去掉这个前提,如图所示的是两个同心圆,弦AB与弦CD相等吗?弧AB与弧CD相等吗? (显然不相等)(2)定理的作用:在同圆或等圆中证:圆心角、弧、弦相等;(3)“等弧对等弦”是假命题;※(4)在同圆或等圆中,等弦的弦心距也相等;(记住结论,但解答题不可直接使用)※(5)弧的度数等于它所对的圆心角的度数。
中学数学《弧线与圆心角》教案设计
中学数学《弧线与圆心角》教案设计第一章:导入1.1 教学目标让学生了解弧线和圆心角的基本概念。
引导学生通过观察和思考,发现弧线和圆心角之间的关系。
1.2 教学内容介绍弧线的定义和特点。
介绍圆心角的定义和特点。
通过实例让学生理解弧线和圆心角之间的关系。
1.3 教学方法使用多媒体演示和实物模型,帮助学生直观地理解弧线和圆心角的概念。
引导学生进行观察和思考,发现弧线和圆心角之间的关系。
1.4 教学评估通过学生对弧线和圆心角概念的理解程度,评估学生对这部分知识的学习情况。
第二章:弧线的长度2.1 教学目标让学生掌握弧长公式,并能够运用到实际问题中。
2.2 教学内容介绍弧长公式的推导过程。
通过实例让学生运用弧长公式解决实际问题。
2.3 教学方法使用多媒体演示和实物模型,帮助学生理解弧长公式的推导过程。
引导学生进行实际问题的解决,巩固弧长公式的运用。
2.4 教学评估通过学生对弧长公式的理解和运用情况,评估学生对这部分知识的学习情况。
第三章:圆心角的大小3.1 教学目标让学生了解圆心角的大小与所对弧长的关系。
3.2 教学内容介绍圆心角的大小与所对弧长的关系。
通过实例让学生观察和理解圆心角大小与所对弧长的关系。
3.3 教学方法使用多媒体演示和实物模型,帮助学生直观地理解圆心角大小与所对弧长的关系。
引导学生进行观察和思考,发现圆心角大小与所对弧长的关系。
3.4 教学评估通过学生对圆心角大小与所对弧长的关系的理解和运用情况,评估学生对这部分知识的学习情况。
第四章:圆周角定理4.1 教学目标让学生掌握圆周角定理,并能够运用到实际问题中。
4.2 教学内容介绍圆周角定理的定义和证明过程。
通过实例让学生运用圆周角定理解决实际问题。
使用多媒体演示和实物模型,帮助学生理解圆周角定理的证明过程。
引导学生进行实际问题的解决,巩固圆周角定理的运用。
4.4 教学评估通过学生对圆周角定理的理解和运用情况,评估学生对这部分知识的学习情况。
24.1.3弧,弦,圆心角(教案)
举例:讲解圆心角与所对弧的关系时,可通过实际操作或动画演示,让学生直观地观察到当圆心角变化时,所对弧的长度也随之变化,强化这一重点知识。
2.教学难点
-弧、弦、圆心角的定义理解:学生对这些几何概念的理解可能存在困难,需要通过具体实例和直观演示来加深理解。
此外,学生在解决与弧、弦、圆心角相关的问题时,往往容易忽视圆心角与所对弧的关系。这说明我在讲解这个重点时,可能没有让学生充分理解和消化。为了帮助学生更好地掌握这个关系,我计划在接下来的课程中,设计更多具有针对性的练习题,并适时给予指导和反馈。
在课堂总结环节,我发现部分学生对今天的知识点仍然存在疑问。这提示我在今后的教学中,要更加重视课堂总结,及时解答学生的疑问,确保他们能够扎实掌握所学知识。
-圆心角与所对弧关系的应用:学生在运用这一性质解决实际问题时可能会感到困惑,需要通过大量练习和案例分析来提高应用能力。
-弧和弦的分类判定:学生在判断优弧、劣弧、半圆和弦时可能会混淆,需要通过对比分析和具体练习来突破。
举例:针对教学难点,教师可以通过以下方式帮助学生突破:
-设计互动环节,让学生动手操作圆规和直尺,在纸上画出不同类型的弧和弦,通过直观感受加深对概念的理解。
3.重点难点解析:在讲授过程中,我会特别强调圆心角与所对弧的关系以及弧和弦的分类这两个重点。对于难点部分,我会通过举例和比较来帮助大家理解。
(三)实践活动(用时10分钟)
1.分组讨论:学生们将分成若干小组,每组讨论一个与弧、弦、圆心角相关的实际问题。
2.实验操作:为了加深理解,我们将进行一个简单的实验操作,如使用圆规和直尺画出不同类型的弧和弦,演示圆心角与所对弧的关系。
九年级数学上册《圆心角和圆周角的关系》教案、教学设计
4.应用举例:通过具体例题,展示圆心角和圆周角关系在实际问题中的应用,使学生认识到数学知识在实际生活中的价值。
(三)学生小组讨论
1.分组:将学生分成若干小组,确保每个小组内成员的数学水平相对均衡。
2.讨论主题:以圆心角和圆周角的关系为主题,让学生在小组内分享自己的发现,互相交流,共同完善圆心角和圆周角的关系。
二、学情分析
九年级的学生已经具备了一定的数学基础和逻辑思维能力,他们在之前的课程中学习了角度、三角形等基本概念,为本章节的学习奠定了基础。但在圆的相关知识方面,学生们的认识可能还不够深入,对圆心角和圆周角的关系理解可能存在困难。因此,在教学过程中,要注意以下几点:
1.充分发挥学生已有的知识经验,引导他们主动发现圆心角和圆周角的关系。
五、作业布置
为了巩固学生对圆心角和圆周角知识的掌握,提高他们的实际应用能力,特布置以下作业:
1.基础巩固题:根据课堂所学,完成课本相关练习题,加深对圆心角和圆周角概念的理解。
(1)画出一个圆,并在圆内画出两个圆心角相等、圆周角相等的两组角,比较它们之间的关系。
(2)画出一个圆,并在圆内画出两个圆心角相等、圆周角不相等的两组角,分析原因。
2.提高拓展题:结合圆心角和圆周角的关系,解决以下实际问题。
(1)一块圆形的披萨,被切成八等份,每份的圆心角是多少度?如果切成十二等份呢?
(2)一个圆形的花坛,要将其分割成若干个扇形区域,每个区域圆心角相等,且总面积为花坛面积的一半。请问需要分割成几个区域?
3.创新研究题:以小组为单位,选择以下课题进行研究,并将研究结果以报告形式提交。
c.组织小组讨论,让学生分享自己的发现,互相交流,共同完善圆心角和圆周角的关系。
中学数学《弧线与圆心角》教案设计
一、教案设计概述1. 教学目标:(1)让学生理解弧线、圆心角的概念及它们之间的关系。
(2)培养学生运用几何知识解决实际问题的能力。
(3)提高学生对数学美的欣赏能力,培养学生的空间想象能力。
2. 教学内容:(1)弧线的基本概念。
(2)圆心角的基本概念。
(3)弧线与圆心角的关系。
(4)弧长及圆心角的应用。
3. 教学方法:(1)采用问题驱动法,引导学生主动探究弧线与圆心角的关系。
(2)利用多媒体手段,展示弧线与圆心角的动态关系,提高学生的空间想象能力。
(3)开展小组合作活动,培养学生的团队协作能力。
4. 教学手段:(1)多媒体课件。
(2)几何模型。
(3)练习题。
二、教学过程1. 导入:(1)利用多媒体展示各种圆弧形状的物体,引导学生关注弧线的美感。
(2)提问:这些物体有什么共同特点?它们与数学中的弧线有什么关系?2. 新课导入:(1)介绍弧线的定义及特点。
(2)介绍圆心角的定义及特点。
(3)引导学生探究弧线与圆心角的关系。
3. 案例分析:(1)分析实际问题,引入弧长及圆心角的概念。
(2)讲解弧长及圆心角的计算方法。
4. 实践操作:(1)让学生利用几何模型测量弧长及圆心角。
(2)引导学生运用所学知识解决实际问题。
5. 巩固练习:(1)发放练习题,让学生巩固所学知识。
(2)解答学生疑问,给予个别指导。
三、教学评价1. 课堂表现:(1)观察学生在课堂上的参与程度、思维活跃度。
(2)评价学生在小组合作中的表现。
2. 练习反馈:(1)分析学生练习题的完成情况。
(2)针对学生错误较多的题目,进行讲解和辅导。
3. 课后总结:(1)让学生总结本节课所学内容。
(2)教师进行点评,指出优点和不足,提出改进措施。
四、教学反思1. 反思教学设计:(1)是否符合学生的认知规律。
(2)是否激发学生的学习兴趣。
(3)是否注重培养学生的动手操作能力。
2. 反思教学过程:(1)是否充分调动学生的积极性。
(2)是否关注学生的个体差异。
(3)是否达到预期的教学目标。
弧弦圆心角教案
弧弦圆心角教案教案内容:一、教学内容本节课的教学内容来自人教版初中数学九年级上册第17章“圆”,具体是第1节“弧、弦、圆心角”。
本节课主要讲解弧、弦、圆心角的定义及它们之间的关系。
二、教学目标1. 理解弧、弦、圆心角的定义,掌握它们之间的关系。
2. 能够运用弧、弦、圆心角的知识解决实际问题。
3. 培养学生的观察能力、思考能力和动手操作能力。
三、教学难点与重点重点:弧、弦、圆心角的定义及它们之间的关系。
难点:如何运用弧、弦、圆心角的知识解决实际问题。
四、教具与学具准备教具:黑板、粉笔、圆规、直尺、量角器。
学具:每人一份弧、弦、圆心角的模型,一份练习题。
五、教学过程1. 情景引入:教师展示一个圆形,引导学生观察并思考:圆上有哪些特殊的点?特殊的线段?特殊的角?2. 讲解弧、弦、圆心角的定义:教师用粉笔在黑板上画出弧、弦、圆心角的模型,并讲解它们的定义。
3. 实践操作:学生分组讨论,用量角器、圆规等工具测量弧、弦、圆心角的大小,并记录下来。
4. 例题讲解:教师选择一道关于弧、弦、圆心角的例题,引导学生思考解题思路,并讲解解题步骤。
5. 随堂练习:学生独立完成练习题,教师巡回指导。
7. 作业布置:教师布置一道关于弧、弦、圆心角的作业,要求学生独立完成,并提交答案。
六、板书设计板书内容:弧、弦、圆心角的定义弧:圆上任意两点间的部分。
弦:圆上任意两点间的线段。
圆心角:以圆心为顶点的角。
七、作业设计作业题目:1. 请根据下列图形,计算圆心角∠ACB的大小。
答案:圆心角∠ACB的大小为90°。
八、课后反思及拓展延伸课后反思:1. 本节课学生对弧、弦、圆心角的定义及它们之间的关系有了初步的了解。
2. 学生在实践操作中掌握了测量弧、弦、圆心角的方法。
3. 学生在例题讲解和随堂练习中能够运用弧、弦、圆心角的知识解决问题。
拓展延伸:1. 研究弧、弦、圆心角在圆周角定理中的作用。
2. 探索弧、弦、圆心角在圆的内接四边形中的性质。
24.1.3 弧、弦、圆心角 人教版数学九年级上册教案
24.1 圆的有关性质24.1.3 弧、弦、圆心角教学目标:1.理解圆心角的概念,掌握圆的中心对称性和旋转不变性.2.探索圆心角、弧、弦之间关系定理并利用其解决相关问题.3.理解圆心角、弧、弦之间关系定理中的“在同圆或等圆”条件的意义.教学重点:探索圆心角、弧、弦之间关系定理并利用其解决相关问题.教学难点:理解圆心角、弧、弦之间关系定理中的“在同圆或等圆”条件的意义.教学导入一、知识链接1.已知△AOB,作出绕O点旋转45°,60°的图形.2.想一想圆是中心对称图形吗?它的对称中心在哪里?教学过程二、要点探究探究点1:圆心角的定义问题1 观察在⊙O中,这些角有什么共同特点?概念学习.顶点在圆心的角,叫做圆心角,如∠AOB.判一判判别下列各图中的角是不是圆心角,并说明理由.如图,圆心角∠AOB所对的弧为«Skip Record If...».圆心角∠AOB所对的弦为AB.想一想:圆心角、弧、弦之间有什么关系?探究点2:圆心角、弧、弦之间的关系观察1.将圆绕圆心旋转180°后,得到的图形与原图形重合吗?由此你得到什么结论呢?2.把圆绕圆心旋转任意一个角度呢?仍与原来的圆重合吗?问题1在⊙O中,如果∠AOB= ∠COD,那么,«Skip Record If...»与«Skip Record If...»,弦AB与弦CD有怎样的数量关系?问题2如图,在等圆中,如果∠AOB=∠CO′D,你发现的等量关系是否依然成立?要点归纳:在同圆或等圆中,如果圆心角相等,那么它们所对的弧相等,所对的弦也相等;在同圆或等圆中,如果两条弧相等,那么它们所对的圆心角相等,所对的弦也相等;在同圆或等圆中,如果两条弦相等,那么它们所对的圆心角相等,所对的弧也相等.想一想:定理“在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦也相等.”中,可否把条件“在同圆或等圆中”去掉?为什么?辨一辨1.等弦所对的弧相等. ( )2.等弧所对的弦相等. ( )3.圆心角相等,所对的弦相等. ( )探究点3:圆心角、弧、弦关系定理及推论的运用典例精析例1 如图,AB是⊙O的直径,«Skip Record If...»,∠COD=35°,求∠AOE的度数.例2 (教材P84例3)如图,在⊙O中,«Skip Record If...»,∠ACB=60°,求证:∠AOB=∠BOC=∠AOC.例3 如图,已知AB、CD为⊙O的两条弦,«Skip Record If...».求证:AB=CD.变式1 如图,在⊙O 中,AD =BC ,求证:DC =AB .变式2 如图,在⊙O 中,DC =AB ,求证:AD =BC .三、课堂小结1.如果两个圆心角相等,那么( )A.这两个圆心角所对的弦相等B.这两个圆心角所对的弧相等C.这两个圆心角所对的弦的弦心距相等D.以上说法都不对2.弦长等于半径的弦所对的圆心角等于.3.如图,AB、CD是⊙O的两条弦.(1) 如果AB=CD,那么,.(2) 如果«Skip Record If...»,那么_________,.(3) 如果∠AOB=∠COD,那么,.(4) 如果AB=CD,OE⊥AB于E,OF⊥CD于F,OE与OF相等吗?为什么?4.已知:如图,A、B、C、D在⊙O上,AB=CD.求证:∠AOC=∠DOB.5.如图,AB为⊙O的直径,C、D是⊙O上的两点,且BD∥OC,求证:«Skip Record If...».如图,在⊙O中,2∠AOB=∠COD,那么«Skip Record If...»成立吗?CD=2AB也成立吗?请说明理由;如不成立,那它们之间的关系又是什么?参考答案自主学习一、知识链接1.解:图略;2.解:是,对称中心为圆心.课堂探究二、要点探究探究点1:圆心角的定义问题1:顶点在圆心上判一判①②③不是圆心角,因为三个角的顶点均不在圆心上;④是圆心角,探究点2:圆心角、弧、弦之间的关系观察:1. 重合,圆是中心对称图形.2.重合,圆是旋转对称图形,具有旋转不变性问题1 在⊙O中,如果∠AOB= ∠COD,那么«Skip Record If...»=«Skip Record If...»,弦AB=弦CD.问题2 成立.想一想不能去掉;如图,显然,«Skip Record If...»>«Skip Record If...»,弦AB>弦CD.辨一辨:1.× 2.√ 3.×探究点3:圆心角、弧、弦关系定理及推论的运用例 1 解:∵«Skip Record If...»,∴∠BOC =∠COD =∠DOE =35°,∴∠AOE =180°-3×35°=75°.例2:证明:«Skip Record If...»,∴ AB =AC .△ABC 是等腰三角形.又∠ACB =60°,∴△ABC 是等边三角形,AB =BC =CA .∴∠AOB =∠BOC =∠AOC .例3:证明:∵«Skip Record If...»,∴«Skip Record If...»∴«Skip Record If...»∴AB =CD .变式1:证明:∵AD =BC ,∴«Skip Record If...».∴«Skip Record If...»∴«Skip Record If...»∴DC =AB .变式2:证明:∵DC =AB ,∴«Skip Record If...»∴«Skip Record If...»∴«Skip Record If...»∴AD =BC .当堂检测1.D2.60°3.(1)«Skip Record If...» ∠AOB =∠COD(2)AB =CD ∠AOB =∠COD(3)«Skip Record If...» AB =CD(4)解:OE =OF .理由如下:∵OE ⊥AB ,OF ⊥CD ,AE =«Skip Record If...»AB ,CF =«Skip RecordIf...»CD .∵AB =CD ,∴AE =CF .∵OA =OC ,∴Rt △AOE =Rt △COF .∴OE =OF .4.证明:∵AB =CD (已知),∴«Skip Record If...».∴∠AOB =∠COD ,∴∠AOB -∠BOC =∠COD -∠BOC ,即∠AOC =∠BOD .5.证明:∵OB =OD ,∴∠D =∠B ,∵BD ∥OC ,∴∠D =∠COD ,∠AOC =∠B ,∴∠AOC =∠COD ,∴«Skip Record If...»能力提升答:«Skip Record If...»成立,CD =2AB 不成立.如图:取«Skip Record If...»的中点E ,连接OE .那么∠AOB =∠COE =∠DOE ,所以«Skip Record If...» ∴«Skip Record If...»,弦AB =CE =DE ,在△CDE 中,CE +DE >CD ,即CD <2AB .。
中学数学《弧线与圆心角》教案设计
一、教案设计概述1. 教学目标:(1)理解弧线、圆心角的概念及它们之间的关系;(2)掌握弧长、圆心角大小与半径的关系;(3)能够运用弧线、圆心角的知识解决实际问题。
2. 教学内容:(1)弧线的基本概念;(2)圆心角的概念及测量;(3)弧长、圆心角大小与半径的关系;(4)弧线、圆心角在实际问题中的应用。
3. 教学方法:(1)采用直观演示、讲解、讨论、实践等教学方法;(2)利用多媒体课件辅助教学,增强学生的直观感受;(3)设置适量练习,巩固所学知识。
4. 教学重点与难点:(1)重点:弧线、圆心角的概念及它们之间的关系;(2)难点:弧长、圆心角大小与半径的关系的推导与应用。
二、第一课时:弧线的基本概念1. 教学目标:(1)了解弧线的定义及特点;(2)掌握弧长的计算方法。
2. 教学内容:(1)弧线的定义及特点;(2)弧长的计算方法。
3. 教学过程:(1)导入:通过展示生活中的弧线实例,引导学生关注弧线;(2)讲解弧线的定义及特点;(3)讲解弧长的计算方法;(4)练习:计算给定弧长的弧线对应的圆的半径。
4. 课后作业:(1)复习本节课的内容;(2)完成课后练习题。
三、第二课时:圆心角的概念及测量1. 教学目标:(1)了解圆心角的定义及特点;(2)掌握圆心角的测量方法。
2. 教学内容:(1)圆心角的定义及特点;(2)圆心角的测量方法。
3. 教学过程:(1)导入:通过展示生活中的圆心角实例,引导学生关注圆心角;(2)讲解圆心角的定义及特点;(3)讲解圆心角的测量方法;(4)练习:测量给定圆心角的度数。
4. 课后作业:(1)复习本节课的内容;(2)完成课后练习题。
四、第三课时:弧长、圆心角大小与半径的关系1. 教学目标:(1)掌握弧长、圆心角大小与半径的关系;(2)能够运用关系式计算弧长和圆心角。
2. 教学内容:(1)弧长、圆心角大小与半径的关系式;(2)运用关系式计算弧长和圆心角。
3. 教学过程:(1)导入:回顾上一节课的内容,引导学生思考弧长、圆心角与半径的关系;(2)讲解弧长、圆心角大小与半径的关系式;(3)讲解如何运用关系式计算弧长和圆心角;(4)练习:运用关系式计算给定弧长或圆心角的半径。
九年级上册数学教案《弧、弦、圆心角》
九年级上册数学教案《弧、弦、圆心角》教材分析《弧、弦、圆心角》主要是研究圆心角、弧、弦之间的关系,并利用其解决数学问题,是在学生了解了圆和学习了垂径定理以及旋转的关联知识的基础上进行的,它是前面所学知识的应用,也是本章证明同圆或等圆中,弧相等、角相等以及线段相等的重要依据,是下一节课的理论基础。
因此,本节课的学习将对今后的学习和培养学生能力有重要的作用。
学情分析在前面学习旋转后,学生已经掌握了圆的对称性,知道圆旋转任意角度能与自身重合。
另外,学生对圆的基本元素以及垂径定理的学习有了进一步地认识,具备了观察、归纳、猜想、验证能力,为本节课的学习打好了基础。
学生结合教师适当的引导,能够顺利完成学习。
教学目标1、理解圆心角的概念,掌握圆的中心对称性和旋转不变性。
2、探索圆心角、弧、弦之间的关系定理,利用其解决问题。
3、理解圆心角、弧、弦之间关系定理中的“在同圆或等圆”条件的意义。
教学重点1、圆心角、弧、弦、弦心距的关系定理。
2、在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦相等,所对的弦心距相等及其推论和应用。
教学难点正确识别圆心角,圆心角所对的弧,所对的弦,所对的弦心距,探索定理及其推论和应用。
讲授法、演示法、讨论法、练习法教学过程一、知识链接1、已知△AOB,作出绕O点顺时针旋转45°,60°的图形。
2、想一想:圆是中心对称图形吗?圆的对称中心在哪里?圆是中心对称图形,圆的对称中心在圆心。
二、探究新知1、观察在⊙O中,这些角有什么共同特点?这些角的顶点都在圆心。
顶点在圆心的角,叫做圆心角,如∠AOB 。
3、判别下列各图中的角是不是圆心角。
不是 不是 不是 是4、如图,在⊙O 中,当圆心角∠AOB = ∠A ’O ’B ’时,他们所对的弧AB ̂和A ′B ′̂、弦AB 和弦A ’B ’相等吗?为什么?我们把∠AOB 连同AB̂绕圆心O 旋转,使射线OA 与OA ’重合。
∵∠AOB = ∠A ’OB ’,∴射线OB 与OB ’重合。
中学数学《弧线与圆心角》教案设计
中学数学《弧线与圆心角》教案设计第一章:引入弧线与圆心角的概念1.1 教学目标让学生了解弧线和圆心角的基本概念。
让学生理解弧线和圆心角之间的关系。
培养学生观察和描述几何图形的能力。
1.2 教学内容引入弧线的概念,解释弧线是圆上任意两点间的部分。
引入圆心角的概念,解释圆心角是由圆心所夹的两条弧线之间的角。
引导学生通过观察和描述来理解弧线和圆心角之间的关系。
1.3 教学活动通过展示实物或图片,引导学生观察和描述弧线和圆心角的特点。
利用几何模型或绘图工具,引导学生直观地理解弧线和圆心角之间的关系。
让学生进行实际操作,测量和记录不同弧线和圆心角的大小。
1.4 教学评估通过观察学生的实际操作和描述,评估学生对弧线和圆心角概念的理解程度。
通过学生的测验或作业,评估学生对弧线和圆心角之间关系的掌握程度。
第二章:弧线的长度与圆心角的大小2.1 教学目标让学生理解弧线的长度与圆心角的大小之间的关系。
培养学生运用比例和计算方法求解弧线长度和圆心角大小的能力。
2.2 教学内容引入弧线的长度概念,解释弧线的长度是圆心角所对的圆周的一部分。
引导学生通过观察和实验,发现弧线的长度与圆心角的大小之间的关系。
教授比例和计算方法,让学生能够求解弧线长度和圆心角大小。
2.3 教学活动通过实际操作和观察,引导学生发现弧线的长度与圆心角的大小之间的关系。
利用比例和计算方法,引导学生求解不同弧线长度和圆心角大小。
进行小组讨论和合作,让学生分享和交流解题方法和经验。
2.4 教学评估通过观察学生的实际操作和计算,评估学生对弧线长度和圆心角大小之间关系的理解程度。
通过学生的测验或作业,评估学生运用比例和计算方法求解弧线长度和圆心角大小的能力。
第三章:圆心角与所对弧线的关系3.1 教学目标让学生理解圆心角与所对弧线的关系。
培养学生运用几何性质和定理证明圆心角与所对弧线的关系的能力。
3.2 教学内容引入圆心角与所对弧线的关系,解释圆心角等于其所对弧线的两倍弧度。
弧、弦、圆心角教案
弧、弦、圆心角教案教学目标:1. 理解弧、弦、圆心角的定义及它们之间的关系。
2. 学会使用圆规和量角器测量弧、弦、圆心角的大小。
3. 能够应用弧、弦、圆心角的知识解决实际问题。
教学重点:1. 弧、弦、圆心角的定义及它们之间的关系。
2. 测量弧、弦、圆心角的方法。
教学难点:1. 弧、弦、圆心角之间的关系的理解与应用。
教学准备:1. 圆规、量角器、直尺、橡皮擦。
2. 白色board笔、彩色粉笔。
3. PPT课件。
教学过程:一、导入(5分钟)1. 利用PPT课件展示一些生活中的弧、弦、圆心角的图片,引导学生观察并思考它们之间的关系。
2. 学生分享观察结果,教师总结并板书:弧、弦、圆心角的定义及它们之间的关系。
二、新课讲解(15分钟)1. 讲解弧、弦、圆心角的定义,引导学生通过观察图形加深理解。
2. 演示如何使用圆规和量角器测量弧、弦、圆心角的大小,并讲解测量方法。
3. 举例说明弧、弦、圆心角在实际问题中的应用。
三、课堂练习(10分钟)1. 学生自主完成PPT课件中的练习题,巩固所学知识。
2. 教师选取部分学生的作业进行点评,指出优点和不足。
四、拓展与应用(10分钟)1. 学生分组讨论,思考如何利用弧、弦、圆心角的知识解决实际问题。
2. 各小组汇报讨论成果,教师点评并给予鼓励。
五、总结与反思(5分钟)1. 教师引导学生总结本节课所学内容,巩固知识点。
2. 学生分享学习心得,提出疑问。
3. 教师解答学生疑问,给予鼓励和建议。
教学反思:本节课通过展示生活中的弧、弦、圆心角图片,引导学生观察和思考,激发学生的学习兴趣。
在讲解过程中,注重让学生通过观察图形加深对弧、弦、圆心角的理解。
课堂练习环节,学生能够自主完成练习题,巩固所学知识。
在拓展与应用环节,学生分组讨论,积极参与,充分发挥了团队合作精神。
总体来说,本节课达到了预期的教学目标。
但在今后的教学中,还需注意加强对弧、弦、圆心角之间关系的讲解,提高学生的理解能力。
九年级数学上册《弧弦圆心角》教案、教学设计
b.已知圆的半径和弧长,求对应的圆心角。
3.提高拓展:
(1)解决以下问题:
a.证明圆周角定理:圆周角等于其所对圆心角的一半。
b.证明弦切角定理:弦切角的度数等于其所夹弧的一半。
(2)探讨以下问题:
a.如何判断一个圆心角是锐角、直角还是钝角?
b.在一个圆中,如何判断两个圆心角的大小关系?
1.培养学生对数学学习的兴趣,激发学生的学习热情,使学生积极参与课堂讨论和实践活动;
2.培养学生的自信心,让学生在解决问题的过程中,体验成功的喜悦,增强克服困难的勇气;
3.培养学生严谨的学习态度,使学生养成认真思考、仔细检查的好习惯;
4.培养学生的集体荣誉感,让学生在小组合作中,学会相互尊重、关心和帮助;
1.基础知识巩固:
(1)复习圆的基本概念,如半径、直径、弧、弦、圆心角等,并用自己的语言进行简要解释。
(2)画出一个圆,并在圆中标注出弧、弦和圆心角,测量并计算它们之间的关系。
2.实践应用:
(1)结合生活实际,找出一个圆形物体(如车轮、风扇等),观察并描述其运动过程中形成的圆心角、弧和弦。
(2)运用所学知识,计算以下问题:
5.变式练习:设计不同类型的题目,让学生进行练习,巩固所学知识,提高解题能力。同时,注重题目的拓展和延伸,培养学生的数学思维。
6.适时反馈:在教学过程中,及时了解学生的学习情况,对学生的疑问和困惑进行解答,调整教学进度和方法,确保教学效果。
7.课堂小结:在每个知识点讲解结束后,组织学生进行课堂小结,总结所学内容,加深记忆。
(二)教学难点
1.弧和弦与圆心角之间关系的理解,尤其是对应圆周角和圆心角的关系;
2.在解决实际问题时,如何将所学的理论知识与具体问题相结合,进行有效解答;
九年级数学《圆心角,弦心距,弧,弦的关系》教案
24.2.3等对等定理一、学习目标1、理解圆的旋转对称性关系,掌握圆心角、弧、弦、弦心距之间关系定理及应用;2、学会通过操作、观察实验发现新问题,并提升探究和解决问题的能力;二、教学过程尝试教学六环模式教师活动学生活动设计意图复习导入学生聆听情境引入,让学生明白学习本节课程的目的目标展示:1、理解圆的旋转对称性关系,掌握圆心角、弧、弦、弦心距之间关系定理及应用;2、学会通过操作、观察实验发现新问题,并提升探究和解决问题的能力;学生熟悉学习目标指明方向,为学生学习做好铺垫学教新课自学指导:根据自学指导的思考题,自学课本,做好标记出示思考题,学生学习带有目标性,有利于学生学习本节内容议探交流议探交流:组内相互交流,先对议,再互议。
教师适时巡堂,深入小组,进行个别指导。
学生相互交流,师徒互教,组内互教动态演示,学生直观感受学生相互学习,相互促进尝试练习独立完成练习题加强对新知识的理解授课人:OBA DC E 小组展示2例题精选(例4、5及其变式)各组指派代表,师友共同回答,依次展示各自的结论,其他同学适时补充纠正 学生自主展示,发挥学生主观能动性,有利于及时发现学生存在的问题,有利于及时进行纠正小组展示学会自测,检查效果变式训练,加深认识变式训练,在课本的基础上进一步让学生认识正切,灵活运用正切来解决问题当堂检测1、已知如图1,AB 和CD 为⊙O 的两条直径,弦EC//AB,弧EC 的度数为40°,求∠BOD 的度数。
学生自主完成检测学生学习效果,进一步发现学生存在的问题OAB D CE 2、如图2,O 中,AB 、CD 是弦,点E.F 是AB 、CD 的中点,并且AB=CD.求证:∠AEF=∠CFE ;1。
最新人教版九年级数学上册《弧、弦、圆心角》精品教案
24.1.3 弧、弦、圆心角1.在实际操作中发现圆的旋转不变性.2.结合图形了解圆心角的概念,学会辨别圆心角.3.能发现圆心角、弦、弧之间的关系,并会初步运用这些关系解决有关的问题.一、情境导入人类为了获得健康和长寿,经过不断的实践探索,到十九世纪末才提出“生命在于运动”的口号.要健康长寿,更重要的是每天要摄取均衡的营养包括蛋白质、糖类、脂肪、维生素、矿物质、纤维和水.根据中国营养学会公布的“中国居民平衡膳食指南”,每人每日摄取量如图.你能求出各扇形的圆心角吗?二、合作探究探究点一:圆心角【类型一】圆心角的识别如图所示的圆中,下列各角是圆心角的是( )A.∠ABCB.∠AOBC.∠OABD.∠OCB解析:根据圆心角的概念,∠ABC、∠OAB、∠OCB的顶点分别是B、A、C,都不是圆心O,因此都不是圆心角.只有B中的∠AOB的顶点在圆心,是圆心角.故选B.方法总结:确定一个角是否是圆心角,只要看这个角的顶点是否在圆心上,顶点在圆心上的角就是圆心角,否则不是.探究点二:圆心角的性质 【类型一】利用圆心角的性质求角如图,已知:AB 是⊙O 的直径,C 、D 是BE ︵的三等分点,∠AOE =60°,则∠COE 的大小是( )A .40°B .60°C .80°D .120°解析:∵C 、D 是BE ︵的三等分点,∴BC ︵=CD ︵=DE ︵,∴∠BOC =∠COD =∠DOE.∵∠AOE =60°,∴∠BOC =∠COD =∠DOE =13×(180°-60°)=40°,∴∠COE =80°.故选C. 方法总结:在同圆或等圆中,如果两个圆心角,两条弧,两条弦中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等.探究点三:圆心角、弦、弧之间的关系 【类型一】结合三角形内角和求角如图所示,在⊙O 中,AB ︵=AC ︵,∠B =70°,则∠A =________.解析:由AB ︵=AC ︵,得这两条弧所对的弦AB =AC ,所以∠B =∠C.因为∠B =70°,所以∠C =70°.由三角形的内角和定理可得∠A 的度数为40°.故答案为40°.方法总结:在应用弧、弦、圆心角之间的关系定理时,注意根据具体的需要选择有关部分,本题只需由两弧相等,得到两弦相等就可以了. 【类型二】弧相等的简单证明如图所示,已知AB 是⊙O 的直径,M ,N 分别是OA ,OB 的中点,CM ⊥AB ,DN ⊥AB ,垂足分别为M ,N.求证:AC ︵=BD ︵.解析:根据圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系,可先证明它们所对的圆心角相等或它们所对的弦相等.证法1:如图所示,连接OC ,OD ,则OC =OD.∵OA =OB.又M ,N 分别是OA ,OB 的中点,∴OM =ON.又∵CM ⊥AB ,DN ⊥AB ,∴∠CMO =∠DNO =90°.∴Rt △CMO ≌Rt △DNO.∴∠1=∠2.∴AC ︵=BD ︵.证法2:如图①所示,分别延长CM ,DN 交⊙O 于点E ,F.∵OM =12OA ,ON =12OB ,OA =OB ,∴OM =ON.又∵OM ⊥CE ,ON ⊥DF ,∴CE =DF ,∴CE ︵=DF ︵.又∵AC ︵=12CE ︵,BD ︵=12DF ︵.∴AC ︵=BD ︵. 图①图②证法3:如图②所示,连接AC ,BD.由证法1,知CM =DN.又∵AM =BN ,∠AMC =∠BND =90°,∴△AMC ≌△BND.∴AC =BD ,∴AC ︵=BD ︵.方法归纳:在同圆或等圆中,要证明圆心角、弧、弦、弦心距这四组量中的某一组量相等,通常是转化成证明另外三组量中的某一组量相等.三、板书设计教学过程中,强调弧、弦、圆心角及弦心距之间的关系,只要确定一组等量关系,其他三组也随之确定了.教师寄语同学们,生活让人快乐,学习让人更快乐。
初三数学圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系教案
初三数学圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系授课设计【】圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系授课设计经过学习理解圆的旋转不变性,掌握圆心角、弧、弦、弦心距之间关系定理推论及应用,培养学生实验、观察、发现新问题,探究和解决问题的能力;授课目的:(1)理解圆的旋转不变性,掌握圆心角、弧、弦、弦心距之间关系定理推论及应用;(2)培养学生实验、观察、发现新问题,研究和解决问题的能力;(3)经过授课内容向学生浸透事物之间可相互转变的辩证唯物主义教育,浸透圆的内在美(圆心角、弧、弦、弦心距之间关系 ),激发学生的求知欲.授课重点、难点:重点:圆心角、弧、弦、弦心距之间关系定理的推论.难点:从感性到理性的认识,发现、归纳能力的培养.授课活动设计授课内容设计(一 )圆的对称性和旋转不变性学生着手画圆,对折、观察得出:圆是轴对称图形和中心对称图形 ;圆的旋转不变性.第1页/共5页引出圆心角和弦心距的看法:圆心角定义:极点在圆心的角叫圆心角.弦心距定义:从圆心到弦的距离叫做弦心距.(二 )圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系应用电脑动画 (实验 )观察,在同圆等圆中,圆心角变化时,圆心角所对应的弧、弦、弦心距之间的关系,得出定理的内容.这样既培养学生观察、比较、分析和归纳知识的能力,又能够充分调动学生的学习的积极性 .定理:在同圆等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦相等,所对弦的弦心距也相等.(三 )分析定理得出推论问题 1:定理中去掉在同圆或等圆中这个前提,否则也不一定有所对的弧、弦、弦心距相等这样的结论.(学生分小组讨论、交流 )举出反例: AOB=COD ,但 AB CD , .(增强对定理的理解,培养学生的思想责备性.)问题 2、在同圆等圆中,若圆心角所对的弧相等,将又怎样呢?(学生分小组谈论、交流,老师与学生交流对话),归纳出推论 .推论:在同圆或等圆中,若是两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等.(推论包含了定理,它是定理的拓展)(四 )应用、牢固和反思例 1、点 O 是 EPF 的均分线上一点,以 O 为圆心的圆和角的两边所在的直线分别交于点 A 、B 和 C、D ,求证: AB=CD.解(略,教材 87 页)例题拓展:当P 点在圆上或圆内可否还有AB=CD 呢?(让学生自主思虑,并使图形运动起来,让学生在运动中学习和研究几何问题)练习: (教材 88 页练习 )1、已知: AB 、CD 是⊙ O 的两条弦, OE、 OF 为 AB 、CD 的弦心距,依照本节定理及推论填空:.(1)若是 AB=CD ,那么 ______,______,______;(2)若是 OE=OG ,那么 ______,______,______;(3)若是= ,那么 ______, ______, ______;(4)若是 AOB=COD ,那么 ______, ______, ______.(目的:牢固基础知识)2、 (教材 88 页练习 3 题,略 .定理的简单应用)(五 )小结:学生自己归纳,老师指导.知识:①圆的对称性和旋转不变性;②圆心角、弧、弦、弦心距之间关系,它反响出在圆中相等量的灵便变换.我国古代的读书人,从上学之日起 ,就日诵不辍 ,一般在几年内就能识记几千个汉字,熟记几百篇文章,写出的诗文也是字斟句酌 ,琅琅上口 ,成为博览群书的文人。
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中考数学人教版专题复习:弧、弦、圆心角、圆周角之间的关系一、教学内容弧、弦、圆心角、圆周角之间的关系1.圆心角、圆周角的概念.2.弧、弦、圆心角之间的关系.3.圆周角定理及推论.二、知识要点1.弧、弦、圆心角(1)我们把顶点在圆心的角叫做圆心角.(2)弧、弦、圆心角之间的关系:在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦也相等.在同圆或等圆中,如果两条弧相等,那么它们所对的圆心角相等,所对的弦相等.在同圆或等圆中,如果两条弦相等,那么它们所对的圆心角相等,所对的弧相等.︵︵︵︵如图所示,(1)若∠AOB=∠COD,则AB=CD,AB=CD;(2)若AB=CD,︵︵则∠AOB=∠COD,AB=CD;(3)若AB=CD,则∠AOB=∠COD,AB=CD.190ABOCD2. 圆周角(1 )顶点在圆上,并且两边与圆都相交的角叫做圆周角.(2)圆周角定理:在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半.CC CO1 2 OOA①BA②DBEA③B(3)推论:半圆(或直径)所对的圆周角是直角, °的圆周角所对的弦是直径.三、重点难点本节重点是圆心角、弦、弧之间的相等关系及圆周角定理. 难点是从圆的旋转不变性出发,得到圆心角、弦、弧之间的相等关系以及圆周角定理的证明.【典型例题】例 1. 在⊙O 中,如图所示,∠AOB =∠DOC ,试说明:︵ ︵(1)DB =AC ;(2)BD =AC .2AO BCD︵︵︵︵︵︵分析:(1)∵∠DOC=∠AOB,∴DC+BC=AB+BC,∴BD=AC.(2)∵在同圆或等圆中,相等的弧所对的弦相等,∴BD=AC.︵︵解:(1)∵∠DOC=∠AOB,∴DC=AB,︵︵︵︵︵︵∴DC+BC=AB+BC,即BD=AC.︵︵(2)由(1)得BD=AC,∴BD=AC.︵例2.如图所示,C是AB的中点,与∠ADC相等的角的个数是()A.7个B.3个C.2个D.1个BCA OD分析:由同弧或等弧所对的圆周角相等知,∠ADC=∠ABC=∠CAB=∠CDB,故与∠ADC相等的角共有3个.解:B评析:同弧或等弧所对的圆周角相等常用来证明两角相等;或进行角的转换,将一个圆周角转换为同弧所对的其他圆周角,从而达到题目中的要求.3︵例3.如图所示,BC为半圆O的直径,G是半圆上异于B、C的点,A是BG的中点,AD⊥BC于点D,BG交AD于点E,请说明AE=BE.分析:在圆中,有关直径的问题常常需要添加辅助线,以便利用直径所对的圆周角是直角的性质,因此,欲说明AE与BE相等,可转化为说明∠BAD=∠ABE,︵圆周角∠ABE所对的弧为AG,连结AB、AC即可解决问题.A GECBD O︵︵解:连结AB、AC.∵AB=AG,∴∠ABE=∠ACB.又∵AD⊥BC,∴∠ABD+∠BAE=90°.∵BC为直径,∴∠BAC=90°,∴∠ABD+∠BCA=90°,∴∠BCA=∠BAE.∴∠BAE=∠ABG,∴AE=BE.例4.如图所示,在⊙O中,∠AOC=150°,求∠ABC、∠ADC、∠EBC的度数,并判断∠A BC和∠ADC、∠EBC和∠ADC的度数关系.EBOα150°A CD分析:解题的关键是分清同弧所对的圆心角和圆周角,如劣弧AC所对的圆心4角是∠AOC,所对的圆周角是∠ABC,优弧ABC所对的圆心角是大于平角的∠α,所对的圆周角是∠ADC.解:∵∠AOC=150°,1∠AOC=75°.∴∠ABC=2∵∠α=360°-∠AOC=360°-150°=210°,1∴∠ADC=∠α=105°,2∠EBC=180°-∠ABC=180°-75°=105°.∵∠ABC+∠ADC=75°+105°=180°,∠EBC=∠ADC=105°,∴∠ABC和∠ADC互补,∠EBC和∠ADC相等.评析:理解圆周角的概念,分清同弧所对的圆心角和圆周角是熟练运用圆周角性质解题的前提.例5.如图所示,AB、CD是⊙O的弦,∠A=∠C.求证:AB=CD.D BA CO分析:此题的证明方法很多,由于AB和CD在圆中,且为弦,可证明A B和CD 所对的圆心角相等或弧相等,也可直接或间接利用全等证明AB和CD相等.等等.解法一:如图(1)所示,过点O作OE⊥AB,OF⊥CD,垂足分别为E、F.∴AB=2AE,CD=2CF,∠AEO=∠CFO=90°.514又∵∠A =∠C ,OA =OC ,∴△AOE ≌△COF ,∴AE =CF . ∴AB =CD .D BAEFCO(1)解法二:如图(2)所示,连结 OB 、OD .∵OA =OB =OC =OD ,∴∠A =∠B ,∠C =∠D .∵∠A =∠C ,∴∠B =∠D . ∴△OAB ≌△OCD ,∴AB =CD .D BD BACA2OO(2) (3)解法三:如图(3)所示,连结 AC .∵OA =OC ,∴∠1=∠3.又∵∠BAO =∠DCO ,∴∠2=∠4.︵ ︵ ∴BC =AD .︵ ︵ ︵ ︵ ︵ ︵∴BC +BD =AD +BD ,即AB =CD ,∴AB =CD .3C61例 6. AB 、BC 、CA 是⊙O 的三条弦,O 到 AB 的距离 OE 等于2AB ,求∠C的度数.分析:∠C 可能为一个钝角,也可能为一个锐角,要分类画图、分析和解答.AAECEB OBOCm(1)(2)解:如图(1)所示,连结 AO 、BO .1因为 OE ⊥AB ,所以 EB =AE =2AB .1又 OE =2AB ,所以 EB =OE =AE .所以∠EBO =∠EOB =∠EOA =∠EAO =45°.1 1 1所以∠C =2∠AOB =2(∠AOE +∠EOB )=2×90°=45°.如图(2)所示,由(1 )得∠AOB =90°,所以优弧 A m B 所对的圆心角是270°,所以∠C =135°.即∠C 的度数为 45°或 135°.评析:图(△1)中, ABC 为锐角三角形,圆心在△ABC 内部;图(△2)中, ABC 为钝角三角形,圆心 O 在△ABC 外部,两种情形都符合题意,所以本题应有两解.【方法总结】7A.5cm 51.圆不仅是轴对称图形和中心对称图形,实际上,圆绕圆心旋转任意一个角度α,都能与原来的图形重合,这样就把圆和其他的中心对称图形区别开来,即圆不仅是中心对称图形,而且还突破了中心对称图形旋转180°后才能与原来图形重合的局限性,得出圆所特有的性质:圆绕圆心旋转任意一个角度,都能与原来的图形重合,这叫做圆的旋转不变性.利用这一性质可以推出圆的一些其他性质.2.在利用圆心角、弧、弦的关系定理解题时,我们应注意:①作圆心到弦的垂线是圆中一种常见的作辅助线的方法;②由圆心到弦的垂线、弧、圆心角的相等来证明弦相等是证明线段相等的一条重要途径.3.圆周角定理及其推论在证明和计算中应用非常广泛,它是证明角相等、线(弦)相等、弧相等的重要依据,尤其是其推论为在圆中确定直角、构成垂直关系创造了条件,它是圆中的一个很重要的性质,要熟练掌握.同时它也是证明弦为直径的常用方法,若图中有直径,往往构造直径所对的圆周角形成直角,这也是圆中重要的辅助线.【模拟试题】(答题时间:50分钟)一、选择题1.一条弦分圆周为5∶7,这条弦所对的两个圆周角分别为()A.150°,210°B.75°,105°C.60°,120°D.120°,240°2.已知AC为⊙O的直径,弦AB=10cm,∠BAC=30°,那么⊙O的半径为()B.2cm103C.3cm203D.3cm3.如图所示,⊙O的弦AB、CD相交于点E,已知∠ECB=60°,∠AED=65°,那么,ADE的度数为()8A.40°B.45°C.55°DD.65°BOEA C︵*4.如图所示,劣弧AE所对的圆心角为40°,则∠B+∠D等于()A.320°B.160°C.300°CBOD.260°DA E5.如图所示,AB为⊙O的直径,∠ACD=15°,则∠BAD的度数为()A.75°B.72°C.70°D.65°CO A DB6.如图所示,已知圆心角∠AOB的度数为100°,则圆周角∠ACB的度数为()A.80°B.100°C.120°D.130°O BAC**7.已知⊙O的半径为6cm,⊙O的一条弦AB的长为63cm,则弦AB9所对的圆周角是()A.30°B.60°C.30°或150°D.60°或120°二、填空题1.如图所示,D、E分别是⊙O的半径OA、OB上的点,CD⊥OA,CE⊥OB,CD=CE,则AC与CB弧长的大小关系是__________.C BA EDO2.如图所示,点A、B、C、E都在圆周上,AE平分∠BAC交BC于点D,则图中相等的圆周角是__________.AODB CE︵︵3.如图所示,AB是⊙O的直径,BC=B D,∠A=30°,则∠BOD=__________.CAO BD4.如图所示,已知⊙O的半径为2,圆周角∠ABC=30°,则弦AC的长是__________.10BOCA︵5.如图所示,AB是半圆O的直径,∠BAC=40°,D是AC上任意一点,那么∠D的度数是__________.CDA O B**6.如图所示,A、B、C、D、E是⊙O上顺次五点,且AB=BC=CD,如果∠BAD=50°,那么∠AED=__________.DCBOEA三、解答题1.如图,在⊙O中,AB、CD是两条弦,OE⊥AB,OF⊥CD,垂足分别为E、F.(1)如果∠AOB=∠COD,那么OE与OF的大小有什么关系?为什么?︵︵(2)如果OE=OF,那么AB与CD的大小有什么关系?AB与CD的大小关系?为什么?∠AOB与∠COD呢?11A CE FB DO2.如图所示,AB、DE是⊙O的直径,C是⊙O上的一点,且AD=CE,BE 与CE的大小有什么关系?为什么?B ECOD A*3.如图所示,AB为⊙O的直径,AC为弦,P为AC延长线上一点,且AC =PC.PB的延长线交⊙O于D.求证:AC=DC.DBOA C P*4.如图所示,已知A、B、C、F、G是⊙O上的五点,AF交BC于点D,AG交BC于点E,且BD=CE,∠1=∠2.求证:AB=AC.A12OBD ECF G12【试题答案】一、选择题1. B2. C3. C4. B5. A6. D7. D二、填空题1. 相等2. ∠ABC =∠AEC ,∠ACB =∠AEB ,∠BAE =∠CAE =∠BCE =∠CBE3. 60°4. 25. 130°6. 75°三、解答题1.(1)如果∠AOB =∠COD ,那么 OE =OF ,理由是:因为∠AOB =∠COD ,1 1所以 AB =CD . 因为 OE ⊥AB ,OF ⊥CD ,所以 AE =2AB ,CF =2CD ,所以 AE =CF .又因为 OA =OC ,所以 R △t OAE ≌R △t OCF . 所以 OE =OF . (2)如果 OE =OF ,︵ ︵那么 AB =CD ,AB =CD ,∠AOB =∠COD ,理由是:因为 OA =OC ,OE =OF ,所1以 R △t OAE ≌R △t OCF . 所以 AE =CF ,又因为 OE ⊥AB ,OF ⊥CD ,所以 AE =2AB ,1 ︵ ︵CF =2CD . 所以 AB =2AE ,CD =2CF . 所以 AB =CD . 所以AB =CD ,∠AOB =∠ COD .2. BE =CE . 理由:∵AB 、DE 为⊙O 的两条相交的直径,∴∠AOD =∠BOE ,∴BE =AD ,又∵AD =CE ,∴BE =CE .13. 连结 AD ,∵AB 是⊙O 的直径,∴∠ADP =90°,∵AC =CP ,∴CD =2AP .134. ∵∠1=∠2,∴⌒=CG ,∴BF =CG ,BG =⌒,∴∠FBC =∠GCE . 又 BD BF CF = ,∴△CE BFD ≌△CGE (SAS ),∴∠F =∠G . ∴AB =AC ,∴AB =AC .1∴CD =AC =2AP . ∴AC =DC .⌒ ⌒⌒ ⌒14。