专题直线参数方程中t的意义理解高中数学精华修订版
引领学生解读直线参数方程中t的几何意义
引领学生解读直线参数方程中t的几何意义作者：张丽娜来源：《中学生理科应试》2021年第11期教师在教学过程中不仅要给予学生知识点的灌输，还要及时了解学情，分析学生易错点，引导学生学会分析失误点，明确是知识点掌握的不清楚还是运算上的失误.直线的参数方程是高考选修题常考的知识点，利用直线参数方程中参数的几何意义求有关的弦长、面积、最值等问题是考查的重点.而学生在用直线参数方程中参数的几何意义解决有关问题时，由于对参数方程中参数的几何意义理解不透彻，出现一些常见错误.本文以直线的参数方程知识点为例，归纳学生常出错的题目，进而明确问题考查的本质.知识点重现经过点P（x0，y0）、倾斜角是α的直线的参数方程为x=x0+tcosαy=y0+tsinα（t为参数）其中点M（x，y）为直线上的任意一点，参数t的几何意义是从点P到点M的位移，可以用有向线段PM的数量来表示.一、理解参数t的几何意义教师引导学生回顾知识点的同时，要告诉学生这个知识点是怎么推导出来的，帮助学生理解与记忆知识点，让学生知其一更要知其二.对知识点的复习不能仅仅停留在知识点的本身，更要通过例题习题的练习进行巩固与思考.例1 已知直线l过点P（1，2），且它的倾斜角θ=135°.（1）写出直线l的参数方程;（2）求直线l与直线y=x的交点坐标.解（1）由直线l过点P（1，2），且它的倾斜角θ=135°，所以它的参数方程可以写成x=1+tcos135°y=2+tsin135°（t为参数），即x=1-22ty=2+22t（t为参数）;（2）把x=1-22ty=2+22t代入y=x，得1-22t=2+22t，即t=-22，把t=-22代入x=1-22ty=2+22t得到两条直线的交点为（32，32）（如图1所示）.图1学生反思第（2）问中由直线的参数方程求两条直线的交点坐标，t=-22表明P到M的位移是-22，P到M的距离为PM=22.变式如果将本题过点P（1，2）的直线l的参数方程写成如下形式x=1-ty=2+t（t为参数），直线l与直线y=x交点为M，求PM.错解把x=1-ty=2+t代入y=x，得1-t=2+t，即t=-12，所以t=PM=12.错因对于直线参数方程中t的几何意义理解不透彻，仔细观察直线l的参数方程x=x0+tcosαy=y0+tsinα（t为参数），关于x的式子中t的系数为直线倾斜角的余弦值，关于y 的式子中t的系数为直线倾斜角的正弦值（由直线倾斜角的范围可知，sinα≥0），也就是说，当直线的参数方程表示成满足此种形式的式子时，参数t表示从P（x0，y0）到直线上任一点M（x，y）的位移，也即是有向线段PM的数量，此时t=PM.即若直线l的参数方程为如下形式：x=x0+nty=y0+mt（t为参数;n，m为常数）当n，m满足n2+m2=1且m≥0时，该参数方程中的t才具备上述几何意义.正解将直线l的参数方程x=1-ty=2+t变换为x=1-22ty=2+22t，代入y=x，得1-22t=2+22t，即t=-22，t=PM=22.二、有关知识点教师应引领学生对所学的知识点做进一步力所能及的推广，培养学生应用知识分析问题的能力.解题后，教师应引导学生从题目中总结出来新的方法、技巧和结论性的东西.例2 设直线x=2+ty=4-t，与抛物线y2=4x交于相异两点M，N，A（2，4）.（1）求M，N到点A的距离之和;（2）求MN;（3）求M，N的中点K，KA.解首先将直线参数方程x=2+ty=4-t变换为x=2-22ty=4+22t，代入y2=4x得t2+122t+16=0，设M，N对应的参数为t1，t2，则有t1+t2=-122t1·t2=16，可知t1<0，t2<0.MA+NA=t1+t2=t1+t2=122MN=t1-t2=（t1-t2）2=（t1+t2）2-4t1t2=414（3）設K对应的参数为t0，则t0=t1+t22=-62，x=2-22·（-62）=8，y=4+22·（-62）=-2，所以K（8，-2），KA=t0=62.学生反思已知条件中直线的参数方程t与标准形式下的直线的参数t的含义是不一样的，需要进行转化标准形式下的直线的参数方程，注意直线的两个参数方程中参数的不同.提升经过点P（x0，y0）、倾斜角是α的直线的参数方程为x=x0+tcosαy=y0+tsinα（t为参数），若点M，N在直线上，对应的参数为t1，t2，则（1）线段MN长度MN=t1-t2.设M，N的中点为K，则K对应的参数t0=t1+t22，KP=t0.（3）若定点P（x0，y0）恰是弦MN的中点，则有t1+t2=0.三、变式巩固课堂上获得的知识是有限的，需要在多次做题中进行自我“揭短”，从新的层次、新的角度看到自己的不足，这体现了学生进行自我剖析、自我批判的勇气.我国著名心理学家林崇德教授认为，一个学习好的学生，应该是善于反思的学生.例3 （2021全国高考仿真模拟卷）在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C：x24+y2=1，直线l的参数方程为x=2+ty=2-t，（t为参数），以坐标原点为极点、x轴的非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系.（1）写出曲线C的参数方程及直线l的极坐标方程;（2）若直线l上的点A、B对应的参数分别为t，t+22，点Q在曲线C上，求△QAB面积的取值范围.解（1）略.（2）法一直线l的参数方程变形为x=2-22（-2t）y=2+22（-2t）（t为参数），令t′=-2t，直线l的参数方程为x=2-22t′y=2+22t′（t′为参数），A、B对应的参数分别为t′A=-2t，t′B=-2（t+22），AB=t′A-t′B=（-2t）-（-2（t+22））=4.法二 A（2+t，2-t），B（2+t+22，2-t-22），AB=（22）2+（-22）2=4.设Q（2cosθ，sinθ），直线l的直角坐标方程为x+y-4=0，点Q到直线l的距离d=2cosθ+sinθ-42=|4-5sin（θ+）|2，4-52≤d≤4+52，故△QAB面积的取值范围是42-10，42+10.学生反思第一问容易解决，第二问的求解中要先计算AB的长度，大部分学生是这样计算的AB=t-（t+22）=22，这是没有彻底理解t的几何意义，此时需要对参数方程进行转化.求曲线上的点到直线的距离，可将曲线方程转化为参数方程，借助三角函数求距离的最值问题.本文主要讲述直线参数方程中参数t的几何意义，通过对知识点的再现及常见误区的展示，让学生深刻理解直线参数方程中参数的几何意义.本文中的题后反思不仅是教师教学过程中对学生学习行为的反思，更要体现到学生解题后的反思，找到错误的根源，从根源上解决问题，不断对知识点本身或从数学思想方法的角度进行提升，是十分有利于学生核心素养的发展的.基金项目：本文系阜阳市教育科学规划课题“核心素养下高中数学教学中学生反思能力有效性实践的研究”（编号：FJK043的阶段性研究成果.（收稿日期：2021-09-14）。
2023届高考数学二轮复习大题专讲专练：直线参数t的几何意义
第14讲 直线参数t 的几何意义对于直线的标准参数方程,核心在于理解参数t 的几何意义.我们常利用这个几何意义计算直线上线段的长度和、差、积、商等问题,通常通过方程联立,凑出韦达定理来求解.过定点()00,P x y ,倾斜角为α的直线l 的参数方程为00cos sin x x t y y t αα=+⎧⎨=+⎩(其中t 为参数),其中t 的几何意义为:t 是直:线上任一点(),A x y 到()00,P x y 的距离,设,A B 是直线l 上任意两点,对应的参数分别为12,t t ,则有以下结论. (1)线段相关问题 线段积:12PA PB t t ⋅=⋅ 线段商:12PA t PBt =线段差:12PA PB t t -=±-线段和:12PA PB t t +=+=12121212,0,0t t t t t t t t ⎧+>⎪⎨-<⎪⎩(2)线段AB 的中点M 对应的参数122t t t +=. (3)若线段AB 的中点为P ,则120t t +=且120t t <.注意:求解时需先判断12t t 的正负,再求值,如果点A 相对于点P 在直线向上的方向,则1t 为正,否则为负.线段和【例1】在直角坐标系xOy 中,直线l的参数方程为232x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(其中t 为参数),在以原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C 的极坐标方程为4sin ρθ=-2cos θ.(1)求直线l 与曲线C 的直角坐标方程.(2)若直线l 与y 轴的交点为点P ,直线l 与曲线C 的交点为点,A B ,求PA PB +的值.【解析】((1)由直线l的参数方程232x t y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(其中t 为参数),得直线l 的直角坐标方程为30x y -+=.曲线C 的极坐标方程为4sin ρθ=-2cos θ,整理得24sin 2cos ρρθρθ=-, 将222cos ,sin ,x y x y ρθρθρ==+=代入上式得22(1)(2)5x y ++-=.∴曲线C 的直角坐标方程为22(1)(2)5x y ++-=. (2)将32x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩代入2(1)(x y ++-22)5=得221325,22t ⎛⎫⎛⎫+++-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即230t +-=.设,A B 对应的参数分别为12,t t ,则1t+21230t t t =-=-<.1212PA PB t t t t ∴+=+=-==【例2】在平面直角坐标系xOy 中,曲线C 的参数方程为3cos sin x y αα=⎧⎨=⎩(其中α为参数),在以原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中,直线l 的极坐标方程为sin 4πρθ⎛⎫-⎪⎝⎭=（1）求曲线C 的直角坐标方程和直线l 的倾斜角.(2)设点()0,2P ,直线l 和曲线C 交于,A B 两点,求PA PB +.【解析】(1)根据已知3cos sin x y αα=⎧⎨=⎩,消去参数α,整理得2219x y +=,即曲线C 的直角坐标方程为2219x y +=.根据sin 4πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭得sin cos 2ρθρθ-=.将cos x ρθ=sin y ρθ=代入上式并化简得2y x =+.∴直线l 的倾斜角为4π. (2)由(1)题知,点()0,2P 在直线l 上,设直线l 的参数方程为cos 42sin4x t y t ππ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(其中t为参数)，().22x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩整理得其中为参数 将上述参数方程代入2219x y +=,化简得25270t ++=2Δ45271080∴=-⨯⨯=>12,,A B t t 设两点对应的参数分别为1212270,55t t t t =>+=- 1212PA PB t t t t ∴+=+=+=线段差【例1】 在平面直角坐标系xOy 中,直线l的参数方程为2x ty =⎧⎪⎨=-+⎪⎩(其中t 为参数),以原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 的极坐标方程为283cos2p θ=-.(1)求直线l 和曲线C 的直角坐标方程. (2)设点)P,直线l 与曲线C 的交点为点A 和点B ,求PA PB -.【解析】 (1)由2x ty =⎧⎪⎨=-+⎪⎩得直线l20y --=.由222883cos23cos sin ρθθθ==--+,整理得222223cos sin 8ρρθρθ-+=. 222,cos ,sin ,x y x y ρρθρθ=+==又化简上式得22142x y +=, ∴由线C 的直角坐标方程为22142x y +=. (2)由(1)题知直线l过点)P,倾斜角60α=.121x t l y ⎧=⎪⎪∴⎨⎪=⎪⎩直线的参数方程为中t 为参数),将121x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩代入22142x y +=,化简得2740t ++=.设,A B 两点的参数分别为12,t t ,则1212124,0,0,7t t t t t t +==∴<<12PA PB t t -=-==12t t =±-=【例2】在平面直角坐标系xOy 中,曲线C的参数方程为12112x m m y m m ⎧⎛⎫=+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪=- ⎪⎪⎝⎭⎩(其中m 为参数),以原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线l的极坐标方程为cos 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭. (1)求曲线C 和直线l 的直角坐标方程.(2)已知点()2,0P ,若直线l 与曲线C 交于,A B 两点,求||PA PB -的值. 【解析】 曲线 C 的参数方程为12()112x m m m y m m ⎧⎛⎫=+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪=- ⎪⎪⎝⎭⎩其中为参数， 2222224112,42.3x m y m m m∴=++=-+两式相减得2213x y -=,即曲线C 的直角坐标方程为2213x y -=.直线l的极坐标方程为cos 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭,整理得cos cos sin sin 44ππρθθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭转换为直角坐标方程为20x y --=.(2)直线l 过点()2,0P ,直线l的参数方程为222x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(其中t 为参数),根据直线l 的参数方程,令点,A B 对应的参数分别为12,t t,222132x x y y ⎧=⎪⎪-=⎨⎪=⎪⎩将代入得210,t --=则12121t t t t +==-,12PA PB t t -=-=故线段积【例1】在直角坐标系xOy 中,曲线C的参数方程是)2224111k x k k y k ⎧=⎪+⎪⎨-⎪=⎪+⎩(其中k 为参数),以原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线l 的极坐标方程为2cos 13πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭(1)求曲线C 和直线l 的直角坐标方程.(2)已知点()1,0A ,若l 和C 的交点为,M N ,求AM 。
利用参数方程中t的几何意义解题
(5)若过定点P的直线交曲线C与A、B两点，
|PA||PB|=|tBtA|.
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例 1 如图 2-2-2 所示，已知直线 l 过点 P(2,0)，斜率为4，直线 l 和抛物线 3
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(2)因为中点 M 所对应的参数为 tM＝1156， 将此值代入直线 l 的参数方程的标准形式(*)， 得yx＝＝452×＋3511× 56＝115634＝ ，4116， 即 M4116，34. (3)|AB|＝|t1－t2|＝ t1＋t22－4t1t2＝58 73.
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数)， 将此代入 y2＝4x，
得 t2＋4 2t－8＝0，
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设这个方程的两个根分别为 t1，t2， 由根与系数的关系， 有 t1＋t2＝－4 2，t1·t2＝－8， ∴|AB|＝|t1－t2|＝ t1＋t22－4t1t2 ＝ －4 22＋32＝ 64＝8. ∴A，B 两点间的距离是 8.
（1）求曲线C1 与曲线C2 两交点所在直线的极坐标方程； （2）若直线l 的极坐标方程为 sin( ) 2 2 ，直线l 与 y 轴的交
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点为M ，与曲线 C1上相一交页 于 A返, B回两首页点，求下一M页A MB 的值．
【解析】（1）曲线 C1 的普通方程为：(x 5)2 y2 10 ，曲线C2 的普通方程为：x2 y2 4x ， 即 (x 2)2 y2 4 ，由两圆心的距离 d 3 ( 10 2, 10 2) ，所以两圆相交，
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直线的参数方程的几何意义
知识要点概述过定点),(000y x M 、倾斜角为α的直线l 的参数方程为⎩⎨⎧+=+=ααsin cos 00t y y t x x （t 为参数），其中t 表示直线l 上以定点0M 为起点，任意一点M （x ，y ）为终点的有向线段M M 0的数量，的几何意义是直线上点到M 的距离.此时,若t>0,则的方向向上;若t<0,则的方向向下;若t=0,则点与点M 重合.由此，易得参数t 具有如下 的性质：若直线l 上两点A 、B 所对应的参数分别为B A t t ,，则性质一：A 、B 两点之间的距离为||||B A t t AB -=，特别地，A 、B 两点到0M 的距离分别为.|||,|B A t t性质二：A 、B 两点的中点所对应的参数为2BA t t +，若0M 是线段AB 的中点，则 0=+B A t t ，反之亦然。
一、求直线上点的坐标例1．一个小虫从P （1，2）出发，已知它在 x 轴方向的分速度是−3，在y 轴方向的分速度是4，问小虫3s 后的位置Q 。
分析：考虑t 的实际意义，可用直线的参数方程⎩⎨⎧x = x 0 +at ，y = y 0 +bt(t 是参数)。
解：由题意知则直线PQ 的方程是⎩⎨⎧x = 1 − 3 t ，y = 2 + 4 t，其中时间t 是参数，将t =3s 代入得Q（−8，12）。
例2．求点A （−1，−2）关于直线l ：2x −3y +1 =0的对称点A ' 的坐标。
解：由条件，设直线AA ' 的参数方程为 ⎩⎪⎨⎪⎧x = −1 −213t ，y = −2+ 313t (t 是参数)，∵A 到直线l 的距离d =513， ∴ t = AA ' = 1013，代入直线的参数方程得A' (−3313，413)。
点评：求点关于直线的对称点的基本方法是先作垂线，求出交点，再用中点公式，而此处则是充分利用了参数t 的几何意义。
第四节 直线参数方程t 的几何意义的应用
直线参数方程t 的几何意义的应用（学案）学习目标：1、能明白并理解直线参数方程（标准形式）的几何意义的真正含义； 2、参数t 的几何意义在求距离方面的应用（如：两线段之和、之积等） 重点：能明白并理解直线参数方程（标准形式）的几何意义的真正含义并会应用 难点：能明白并理解直线参数方程（标准形式）的几何意义的真正含义并会应用 一、典例：例1、1）、已知直线l ：01=--y x 与抛物线8y 2x =交于A 、B 两点，（1）求线段AB 的长；（2）求点M （2,1）到A 、B 两点的距离之积、MBMA 11+的值。
变式1、已知直线1C 的参数方程为)(,121为参数t t y t x ⎩⎨⎧+=-=，曲线2C 的极坐标方程为θρsin 4=，设曲线相交于两点，求线段AB 的长。
变式2、经过点M （2,1）作直线l ，交椭圆141622=+y x 于A 、B 两点.如果M 恰好是线段AB 的中点，求直线l 的方程。
例2、在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝5cos α，y ＝sin α(α为参数).以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρcos )4(πθ+＝ 2.l 与C交于A ，B 两点.(1)求曲线C 的普通方程及直线l 的直角坐标方程； (2)设点P (0，－2)，求|PA |＋|PB |的值.变式、在直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ－2cos θ－6sin θ＋1ρ＝0，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋12t ，y ＝3＋32t (t 为参数).(1)求曲线C 的普通方程；(2)若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，点P 的坐标为(3，3)，求|PA |＋|PB |的值.二、巩固练习1. 已知曲线C 的极坐标方程为ρ＝21＋sin 2θ，过点P (1，0)的直线l 交曲线C 于A ，B 两点.(1)将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)求|PA |·|PB |的取值范围.2、在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝2＋2sin θ(θ为参数)，直线l 的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=t y t x 22221(t 为参数).以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(1)写出直线l 的普通方程以及曲线C 的极坐标方程；(2)若直线l 与曲线C 的两个交点分别为M ，N ，直线l 与x 轴的交点为P ，求|PM |·|PN |的值.3、 已知曲线C 1：⎩⎨⎧x ＝－4＋cos t ，y ＝3＋sin t (t 为参数)，C 2：⎩⎨⎧x ＝8cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数).(1)化C 1，C 2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；(2)若C 1上的点P 对应的参数为t ＝π2，Q 为C 2上的动点，求PQ 的中点M 到直线C 3：⎩⎨⎧x ＝3＋2t ，y ＝－2＋t(t 为参数)距离的最小值.4、已知曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 2，y ＝2＋3t(t 为参数). (1)写出直线l 与曲线C 的普通方程；(2)设曲线C 经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x ，y ′＝12y 得到曲线C ′，过点F (3，0)作倾斜角为60°的直线交曲线C ′于A ，B 两点，求|FA |·|FB |.答案例1、解：（1）因为直线l 过定点M 且l 的倾斜角为43π，所以设l 的参数方程是)(,43sin 2,43cos 1为参数t t y t x ⎪⎩⎪⎨⎧+=+-=ππ 即)(,222,221为参数t t y t x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=--= 把直线参数方程代入抛物线方程，得0222=-+t t设A 、B 两点的参数分别为21t 、t ，则2,22121-=∙=+t t t t ，由参数t 的几何意义得 1024)2(4)(221221=⨯+=∙-+=t t t t AB（2）由（1）知2221=-=∙=∙t t MB MAMB MA 11+=210212121=∙=∙+=∙+t t AB t t t t MB MA MB MA 变式1、5952 变式2、x+2y-4=0例2、解 (1)由曲线C ：⎩⎨⎧x ＝5cos α，y ＝sin α(α为参数)消去α，得普通方程x 25＋y 2＝1.因为直线l 的极坐标方程为ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝2，即ρcos θ－ρsin θ＝2，所以直线l 的直角坐标方程为x －y －2＝0.(2)点P (0，－2)在l 上，则l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝22t ，y ＝－2＋22t(t 为参数)，代入x 25＋y 2＝1整理得3t 2－102t ＋15＝0，由题意可得|P A |＋|PB |＝|t 1|＋|t 2|＝|t 1＋t 2|＝1023.变式、解 (1)曲线C 的极坐标方程为ρ－2cos θ－6sin θ＋1ρ＝0， 可得ρ2－2ρcos θ－6ρsin θ＋1＝0，可得x 2＋y 2－2x －6y ＋1＝0，曲线C 的普通方程：x 2＋y 2－2x －6y ＋1＝0. (2)由于直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋12t ，y ＝3＋32t(t 为参数).把它代入圆的方程整理得t 2＋2t －5＝0，∴t 1＋t 2＝－2，t 1t 2＝－5，则|P A |＝|t 1|，|PB |＝|t 2|，∴|P A |＋|PB |＝|t 1|＋|t 2|＝|t 1－t 2|＝（t 1＋t 2）2－4t 1t 2＝2 6. ∴|P A |＋|PB |的值为2 6. 巩固练习 1、解 (1)由ρ＝21＋sin 2θ得ρ2(1＋sin 2θ)＝2. 故曲线C 的直角坐标方程为x 22＋y 2＝1.(2)由题意知，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋t cos α，y ＝t sin α(t 为参数).将⎩⎨⎧x ＝1＋t cos α，y ＝t sin α 代入x 22＋y 2＝1. 化简得(cos 2α＋2sin 2α)t 2＋2t cos α－1＝0.设A ，B 对应的参数分别为t 1，t 2，则t 1t 2＝－1cos 2α＋2sin 2α.则|P A |·|PB |＝|t 1t 2|＝1cos 2α＋2sin 2α＝11＋sin 2α.由于12≤11＋sin 2α≤1，2、解(1)直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－22t ，y ＝22t(t 为参数)，消去参数t ，得x ＋y －1＝0.曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝2＋2sin θ(θ为参数)，利用平方关系，得x 2＋(y －2)2＝4，则x 2＋y 2－4y ＝0.令ρ2＝x 2＋y 2，y ＝ρsin θ，代入得C 的极坐标方程为ρ＝4sin θ. (2)在直线x ＋y －1＝0中，令y ＝0，得点P (1，0). 把直线l 的参数方程代入圆C 的方程得t 2－32t ＋1＝0， ∴t 1＋t 2＝32，t 1t 2＝1.由直线参数方程的几何意义，|PM |·|PN |＝|t 1·t 2|＝1。
直线的参数方程中t的几何意义总结
直线的参数方程中t的几何意义总结直线的参数方程中t的几何意义总结直线是平面几何中的基本图形之一，其参数方程是直线研究中常用的一种表达方式。
在直线的参数方程中，t代表着自变量，其具有较为重要的几何意义。
下面将从不同角度出发，对直线参数方程中t的几何意义进行总结。
一、t表示直线上某一点到起点距离所占总距离的比例在平面直角坐标系中，设直线L过点A(x1,y1)和B(x2,y2)，则L的参数方程为：x = x1 + t(x2 - x1)y = y1 + t(y2 - y1)其中0≤t≤1。
这时，我们可以将t理解为从A到B这条线段上任意一点P到A点距离与AB长度之比。
例如当t=0.5时，P点距离A点和B点的长度相等，即P点处于AB 中点M处；当t=0时，P点位于A点处；当t=1时，P点位于B点处。
因此，在L的参数方程中，t表示了从起始端点到任意一点所需走过路程与整条直线长度之比。
二、t表示向量AB与向量AP夹角余弦值在向量学中，向量的夹角是指两个向量之间的夹角，其余弦值可以用点积公式来表示。
在直线参数方程中，我们可以将t理解为从起点A到任意一点P所对应的向量AP与直线L上已知向量AB之间的夹角余弦值。
设向量AB=(x2-x1,y2-y1)，向量AP=(x-x1,y-y1)，则有：cosθ = (AB·AP) / (|AB|×|AP|)= [(x2-x1)(x-x1)+(y2-y1)(y-y1)] / [(x2-x1)²+(y2-y1)²]^(1/2) × [(x-x1)²+(y-y1)²]^(1/2)其中θ为向量AB与向量AP之间的夹角。
因此，在直线参数方程中，t也可以表示从起始点A出发到任意一点P所对应的向量与已知向量之间的夹角余弦值。
三、t表示平面上一条射线上某个点到起点距离在平面几何中，射线是由一个端点和以该端点为原点的半直线组成的。
《直线参数方程t的几何意义》专题-直线参数方程t的意义
《直线参数方程t 的几何意义》专题2019年（ ）月（ ）日 班级 姓名直线参数方程的标准式(1)过点P 0(00,y x )，倾斜角为α的直线l 的参数方程是⎩⎨⎧+=+=ααsin cos 00t y y t x x （t 为参数） t 的几何意义：t 表示有向线段P P 0的数量，P 0P =t ∣P 0P ∣=t P (y x ,)为直线上任意一点.(2)若P 1、P 2是直线上两点，所对应的参数分别为t 1、t 2， 则P 1P 2=t 2－t 1 ∣P 1P 2∣=∣t 2－t 1∣(3) 若P 1、P 2、P 3是直线上的点，所对应的参数分别为t 1、t 2、t 3 则P 1P 2中点P 3的参数为t 3＝221t t +,∣P 0P 3∣=221t t + (4)若P 0为P 1P 2的中点，则t 1＋t 2＝0，t 1·t 2<0 直线参数方程的一般式 过点P 0(00,y x )，斜率为abk =的直线的参数方程是 ⎩⎨⎧+=+=bty y atx x 00 （t 为参数）性质一：A 、B 两点之间的距离为||||21t t AB -=，特别地，A 、B 两点到0M 的距离分别为.|||,|21t t性质二：A 、B 两点的中点所对应的参数为221t t +，若0M 是线段AB 的中点，则 021=+t t ，反之亦然。
在解题时若能运用参数t 的上述性质，则可起到事半功倍的效果。
应用一：求距离之积例1：已知直线l ：01=-+y x 与抛物线2x y =交于B A ，两点，求线段AB 的长和点)2,1(-M 到B A ,两点的距离之积。
应用二：求距离例2、直线l 过点)0,4(0-P ，倾斜角为6π，且与圆722=+y x 相交于A 、B 两点。
（1）求弦长AB .（2）求A P 0和B P 0的长。
应用三：求点的坐标例3、直线l 过点)4,2(0P ，倾斜角为6π，求出直线l 上与点)4,2(0P 相距为4的点的坐标。
直线参数方程的推导与参数t的意义
直线参数方程的推导与参数t的意义
作者：陈贵军
来源：《学校教育研究》2018年第10期
笔者在从事一线教学过程中，讲授高中数学人教B版选修4-4 《极坐标与参数方程》时，发现同学们在2.2.1直线的参数方程中，应用参数的意义求解问题始终不能得心应手，不少同学只是机械的记忆与模仿例题去解题，不知其所以然。
笔者认为，其直接原因是同学对参数意义理解不透彻，而导致这种现象的根本原因是直线参数方程的推导过程中，没有突出参数的意义造成的。
本文中，介绍一下笔者认为更为合理的直线参数方程的推导过程，希望能够对各位老师或同学研究直线的参数方程略有帮助，若有不当之处欢迎各位老师和同学批评指正。
直线参数方程中参数t的几何意义及简单应用
直线参数方程中参数t的几何意义及简单应用
刘瑞美
【期刊名称】《中小学数学》
【年(卷),期】2010(000)001
【摘要】直线参数方程为我们在高中阶段解决直线与圆锥曲线问题带来了无限的生机和广阔的解题空间，特别是与根与系数的关系结合在一起使用，会使人感觉到耳目一新，起到意想不到的效果．在教学过程中我们发现，应用直线的参数方程主要可以解决以下三类问题：（1）直线截圆锥曲线距离问题；
【总页数】3页(P68-69,71)
【作者】刘瑞美
【作者单位】安徽省五河县刘集中学,233333
【正文语种】中文
【中图分类】G633.65
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参数方程中的t的几何意义
参数方程中的t的几何意义1. 嘿，你知道吗，参数方程中的 t 那可太有意思啦！就像汽车在公路上行驶，t 就是那个记录行驶时间的家伙呀！比如在一个抛体运动的参数方程里，t 不就代表着时间，随着 t 的变化，物体的位置也在不断改变呢。
2. 哇塞，参数方程中的 t 啊，它就像是一场冒险中的计时器！想想看，在一个圆周运动的参数方程里，t 每前进一点，物体就在圆周上前进一段，这多神奇呀！3. 哎呀呀，参数方程里的 t 可不简单呢！它简直就是打开几何奥秘的钥匙啊！好比在一条曲线的参数方程中，t 让我们能清晰看到曲线是怎么一点点生成的，多有意思啊！4. 嘿哟，参数方程中的 t 呀，那可是有着大作用呢！不就像一场比赛中的秒表嘛，在一个螺旋线的参数方程里，t 控制着螺旋的进程，多厉害呀！5. 哇哦，参数方程中的 t 啊，不就是指引方向的灯塔嘛！你看在一个摆线的参数方程里，t 决定着摆线的形态，这不是很神奇吗？6. 哈哈，参数方程里的 t 啊，那可是超级重要的角色呢！就像一个魔法棒，在一个椭圆的参数方程里，t 让椭圆动起来了，多酷呀！7. 哎哟喂，参数方程中的 t ，这可是个神秘的玩意儿呀！就像一个导演，在一个双曲线的参数方程里指挥着一切，这不是很有趣吗？8. 呀，参数方程中的 t 呀，可不能小瞧它哦！它就像是一个时间旅行者，在一个特殊曲线的参数方程里带着我们穿梭，真的好神奇呢！9. 哇，参数方程中的 t 啊，那绝对是个关键人物呀！好比在一个复杂图形的参数方程里，t 决定着每一个细节，多牛呀！10. 哈哈，参数方程中的 t ，真的是太有魅力啦！它就像一个无声的指挥家，在各种参数方程中发挥着独特的作用，你难道不想深入了解一下吗？我的观点结论：参数方程中的 t 有着极其丰富和多样的几何意义，它在不同的情境中扮演着重要的角色，为我们揭示了各种奇妙的几何现象，真的是非常值得我们好好去探索和研究呀！。
直线参数方程t的几何意义
直线参数方程t的几何意义
1 几何意义
直线参数方程t是一种数学表达式，描述的是一条直线上所有点的位置。
它很好地表现出空间中的直线，是一种非常实用的空间表达方式。
直线参数方程t的广义形式如下：
t（X,Y）= X * Cosα + Y * Sinα – a
其中X,Y是一个直线上的点的极坐标，a是表达直线的参数，α是一个系数。
该系数α描述的是以原点为基准，水平方向为0°时，直线与水平方向的偏角，也叫斜率角或偏角。
但凡参数t的系数a和α都一定，则t可以表达出特定一条直线，从中可以看出t“=0”这条直线本身。
当
t“>0”或者“<0”时，表示一个空间中到该直线上某一点的距离，当t“=0”时，表示在直线上某一点的位置。
因此，直线参数方程t的几何意义就是用它来描述一条直线以及距离该直线距离的具体数值。
空间中任意一点到该直线距离可由t值来确定，如果t值等于0，就表示该点在该直线上。
这样就可以将直线参数方程t用来描述空间中任意一条直线，该方法非常方便、实用。
第04讲-直线参数t的几何意义-2020届一轮复习数学套路之极坐标与参数方程(解析版)
第四讲 直线参数t 的几何意义1．直线的参数方程(1)过点M 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数为00cos (sin x x t t y y t αα=+⎧⎪⎨=+⎪⎩为参数）(2)由α为直线的倾斜角知α∈[0，π)时，sin α≥0. 2．直线参数方程中参数t 的几何意义参数t 的绝对值表示参数t 所对应的点M 到定点M 0的距离．(1)当0M M u u u u u r与e (直线的单位方向向量)同向时，t 取正数．(2)当0M M u u u u u r与e 反向时，t 取负数，(3)当M 与M 0重合时，t ＝0.3.经过点P (x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程为为参数）t t y y t x x (sin cos 00⎩⎨⎧+=+=αα若A ，B 为直线l 上两点，其对应的参数分别为t 1，t 2，线段AB 的中点为M ，点M 所对应的参数为t 0，则以下结论在解题中经常用到： (1)t 0=t 1＋t 22； (2)|PM |=|t 0|=t 1＋t 22； (3)|AB |=|t 2－t 1|； (4)|PA |·|PB |=|t 1·t 2|（5）212121212121212()4,0,0t t t t t t t t PA PB t t t t t t ⎧-=+-<⎪+=+=⎨+>⎪⎩当当（注：记住常见的形式，P 是定点，A 、B 是直线与曲线的交点，P 、A 、B 三点在直线上） 【特别提醒】(1)直线的参数方程中，参数t 的系数的平方和为1时，t 才有几何意义且其几何意义为：|t |是直线上任一点M (x ，y )到M 0(x 0，y 0)的距离，即|M 0M |=|t |.(2)直线与圆锥曲线相交，交点对应的参数分别为12,t t ，则弦长12l t t =-；知识解读考向一 参数t 的系数的平方和为1【例1】已知在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋4cos θ，y ＝2＋4sin θ(θ为参数)，直线l 经过定点P (3,5)，倾斜角为π3.(1)写出直线l 的参数方程和曲线C 的标准方程；(2)设直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求|PA |·|PB |的值．【答案】（1）见解析 （2）3【解析】(1)曲线C ：(x －1)2＋(y －2)2＝16，直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋12t ，y ＝5＋32t(t 为参数)．(2)将直线l 的参数方程代入圆C 的方程可得t 2＋(2＋33)t －3＝0，设t 1，t 2是方程的两个根，则t 1t 2＝－3，所以|PA ||PB |＝|t 1||t 2|＝|t 1t 2|＝3. 学科&网【举一反三】1.已知曲线C 1的极坐标方程为2sin 4cos ρθθ=， C 2的参数方程为32(32x t t y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩为参数）（1）将曲线C 1与C 2的方程化为直角坐标系下的普通方程； （2）若C 1与C 2相交于A 、B 两点，求AB .【答案】(1)曲线C 1的普通方程y 2=4x ,C 2的普通方程x+y-6=0 ；（2）AB 【解析】（1）曲线C 1的普通方程为y 2=4x ， 曲线C 2的普通方程为x+y-6=0（2）将C 2的参数方程代入C 1的方程y 2=4x，得23=43-+（）（）整理可得260t +-=，由韦达定理可得12126t t t t +=-=-12AB t t =-==2.已知曲线C 的极坐标方程是4sin 0ρθ-=，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l 过点M （1，0），倾斜角为34π. （Ⅰ）求曲线C 的直角坐标方程与直线l 的参数方程； （Ⅱ）设直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，求MA MB +的值. 【答案】（Ⅰ）曲线C 的直角坐标方程为：x 2+(y-2)2=4，直线l的参数方程为1(x t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数）（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）因为曲线C 的极坐标方程是4sin 0ρθ-=即曲线C 的直角坐标方程为：x 2+(y-2)2=4直线l 的参数方程31+t cos 4(3sin 4x t y t ππ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数）即1(x t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数）（Ⅱ）设点A 、B 对应的参数分别为t 1，t 2将直线l 的参数方程代入曲线C的直角坐标方程得22(1)2)4-+-=整理，得210t -+=，由韦达定理得12121t t t t +== 因为t 1t 2>0，所以1212MA MB t t t t +=+=+=考向二 t 系数平方和不等于1【例2】在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线1C 的参数方程为12{22x t y t=+=-（t 为参数），以O 为极点， x 轴的非负半轴为极轴，曲线2C 的极坐标方程为： 22cos sin θρθ=. （Ⅰ）将曲线1C 的方程化为普通方程；将曲线2C 的方程化为直角坐标方程； （Ⅱ）若点()1,2P ，曲线1C 与曲线2C 的交点为A B 、，求PA PB +的值.【答案】(Ⅰ) 12:30,:C x y C +-= 22y x =；（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ） 1:3C x y +=，即： 30x y +-=；222:sin 2cos C ρθρθ=，即： 22y x =（Ⅱ）方法一：由t 的几何意义可得C 1的参数方程为12(t 22x ty t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩为参数）代入22:2C y x =得26240t t ++=∴1262t t +=-，∴1262PA PB t t +=+=. 方法二：把1:3C x y +=代入22:2C y x =得2890x x -+=所以128x x +=， 129x x = 所以()221212*********PA PB x x x x +=+-++-=⨯-+-()()1221128262x x =⨯-+-=⨯-=【举一反三】1.在平面直角坐标系xOy 中，直线的参数方程为3(3x tt y t⎧=⎪⎨⎪=-⎩为参数）数），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为cos ρθ=. （1）求直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程；（2）设点3,0)，直线l 与曲线C 交于不同的两点A 、B ，求MA MB ⋅的值. 【答案】（1）直线l 330x y +-=，【总结套路】直线参数t 几何意义运用最终版套路 第一步--化：曲线化成普通方程，直线化成参数方程；第二步--查：检查直线参数t 的系数平方和是否为1，如果是，进行第三步；如果否，则先化1.2202200022(t a b y t a x x t x x at a b t y y bt b y y t a b ±+⎧=+⎪=+⎧+⎪⎪−−−−−→⎨⎨=+⎪⎪⎩=+⎪+⎩前的系数同时除以保证中的的系数为正数为参数） 第三步--代：将直线的参数方程代入曲线的普通方程，整理成关于t 的一元二次方程：02=++c bt at第四步--写：写出韦达定理：a c t t a b t t =-=+2121,曲线C 的直角坐标方程(x-2)2+y 2=4； （2）3MA MB ⋅=-【解析】（1）直线l30y +-= 因为曲线C 的极坐标方程为cos ρθ=. 所以曲线C 的直角坐标方程(x-2)2+y 2=4；(2)点在直线l 上，且直线l 的倾斜角为120°，可设直线的参数方程为：12(x t t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数）代入到曲线C 的方程得：30t +-=，由韦达定理得12122,t t t t +==-由参数的几何意义知123MA MB t t ⋅==。
直线参数方程t的几何意义应用
，倾斜角。
（1）写出直线的参数方程；（2）设与圆相交于两点、，求点到、两点的距离之积。
2. 在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），在以原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，圆的方程为。
（1）写出直线的普通方程和圆的直角坐标方程。
，圆与直线交于，两点，求的值。
，半径。
（2）若，直线的参数方程为（为参数），直线交圆于、两点，求弦长的取值范围。
在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）。
以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线的极坐标方程为。
（1）求直线的普通方程及曲线的直角坐标方程。
（2）若直线与曲线交于，两点，，求。
5. 在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线的极坐标方程为（），过点的直线的参数方程为（为参数），直线与曲线相交于，两点。
（1）写出曲线的直角坐标方程和直线的普通方程。
（2）若，求的值。
以直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的单位长度，已知直线经过点1. （2）若点坐标为3.在极坐标系中，已知圆的圆心（1）求圆的极坐标方程；4.在直角坐标系中，已知点，直线（为参数），以坐标原点为极点，以轴的正半轴为极轴建立极坐标系；曲线的极坐标方程为；直线与曲线的交点为，。
（1）求直线和曲线的普通方程；（2）求的值。
7. 以直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的长度单位，已知直线的参数方程为（为参数，），曲线的极坐标方程为。
的最小值。
中，直线的参数方程为（为参数），在极坐标系（与直角坐标系取相同的单位长度，以原点为极点，以轴正半轴为极轴）中，圆的方程为。
（1）求圆的直角坐标方程；（2）设圆与直线交于点，，若点的坐标为，求。
6. （1）求曲线的直角坐标方程；（2）设直线与曲线相交于，两点，当变化时，求8.在直角坐标系。
直线参数方程中参数t的几何意义及简单应用
直线参数方程中参数t的几何意义及简单应用
刘瑞美
【期刊名称】《复印报刊资料：高中数学教与学》
【年(卷),期】2010(000)007
【摘要】直线参数方程为我们在高中阶段解决直线与圆锥曲线问题带来了无限的生机和广阔的解题空间，特别是与根与系数的关系结合在一起使用，会使人感觉到耳目一新，起到意想不到的效果．在教学过程中我们发现，应用直线的参数方程主要可以解决以下三类问题：（1）直线截圆锥曲线距离问题；（2）与直线有关的最值问题；（3）与动直线有关的轨迹问题．
【总页数】3页(P54-56)
【作者】刘瑞美
【作者单位】安徽省五河县刘集中学,233333
【正文语种】中文
【中图分类】O182.2
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直线的标准参数方程中t的几何意义及灵活应用
直线的标准参数方程中t的几何意义及灵活应用
李平亨
【期刊名称】《理科考试研究（高中版）》
【年(卷),期】2015(022)011
【总页数】2页(P4-5)
【作者】李平亨
【作者单位】甘肃省甘南藏族自治州合作市第一中学 747000
【正文语种】中文
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专题直线参数方程中t 的意义理解高中数学精华修订版IBMT standardization office【IBMT5AB-IBMT08-IBMT2C-ZZT18】专题:直线参数方程中的几何意义几点分析与解析一． 知识点概述：★ 若倾斜角为α的直线过点)(00y x M ，，t 为参数，则该直线的参数方程可写为 ★ 若直线过点M ，直线与圆锥曲线交于两点P 、Q ，则|MP|、|MQ|的几何意义就是：||||||||21t MQ t MP ==，； |MP|+|MQ|的几何意义就是：=+||||MQ MP |t ||t |21+；|MP|·|MQ|的几何意义就是：||||||21t t MQ MP ⋅=⋅；|PQ|的几何意义就是：2122121214)(|||PQ ||||PQ |t t t t t t t t ⋅-+=-=-=，即.★ 若过点M )(00y x ，、倾斜角为α的直线l 与圆锥曲线交于A 、B 两点，则弦的中点坐标公式为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+++=+=+++=+=2)sin ()sin (22)cos ()cos (2201021'201021'ααααt y t y y y y t x t x x x x 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=+++=+=++=+++=+=)(22)()(2)(22)()(2212022012021'211021011021't t p y t p y t p y y y y t t p x t p x t p x x x x ，21p p ，为常数，均不为零(其中 中点M 的相应参数为t ，而221t t t +=，所以中点坐标也为：⎩⎨⎧+=+=tp y y t p x x 2010 ) ★ 若过点M )(00y x ，、倾斜角为α的直线l 与圆锥曲线交于A 、B 两点，且M 恰为弦AB 中点，则中点M 的相应参数：221t t t +==0 （因为⎩⎨⎧+=+=t p y y t p x x 200100，而21p p ，均不为0，所以t=0） 体会一：教学中一定要讲清楚直线参数方程的推导过程，并且一定要强调其中参数T 的由来。
实际上由新课程标准人教A 版数学选修课本中坐标系与参数方程的内容我们知道，平面内过定点),(000y x p 、倾斜角为α的直线l 的参数方程的标准形式为⎩⎨⎧+=+=ααsin cos 00t y y t x x （t为参数），其中t 表示直线l 上以定点0p 为起点，任意一点P （x ，y ）为终点的有向线段P 0的数量，当P 点在0p 上方时t 为正，当P 点在0p 下方时t 为负。
体会二：教学中必须要强调参数T 的几何意义及两个结论的引导应用示范。
实际上在教学中我们知道，由直线参数方程的推导过程及向量模的几何意义等知识，很容易得参数t 具有如下的两个重要结论： 如果我们假设直线l 上两点A 、B 所对应的参数分别为B A t t 和，则：第一：A 、B 两点之间的距离为B A B A B A t t t t t t AB •-+=-=4)(||||2，特别地，A 、B 两点到0p 的距离分别为.|||,|B A t t第二：A 、B 两点的中点所对应的参数为2B A t t +，若0p 是线段AB 的中点，则0=+B A t t ，反之亦然。
在解决坐标系与参数方程这一选考题，特别是直线的参数方程与曲线的参数方程或是极坐标方程有关的内容的题目，最典型的是涉及直线与圆锥曲线相交所得的弦和弦长、或是求一点到某点的距离为定值、求弦的中点等有关方面的题目时，如果我们能够充分利用参数t 的上述两个重要结论的话，我们的解题速度和解题正确率、得分率将得到的大大提高，我们的解题水准也必将得到巨大的提升。
1、例如在求解与距离有关的题目时我们可以用结论一：例1、直线l 过点)0,4(0-P ，倾斜角为6π，且与曲线C ：7=ρ相交于A 、B 两点。
（1）求弦长AB. （2）求A P 0和B P 0的长 （3）A P 0?B P 0解：（1）因为直线l 过点)0,4(0-P ，倾斜角为6π，所以直线l 的参数方程为 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+-=6sin 06cos 4ππt y t x ，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=t y t x 21234，（t 为参数），而曲线C 是圆722=+y x ，于是将直线的参数方程代入圆C 的方程，得7)21()234(22=++-t t ，整理得09342=+-t t 有参数T 的几何意义设A 、B 所对应的参数分别为21,t t ，则3421=+t t ，921=t t ， 所以||||21t t AB -=.324)(21221=-+=t t t t（2）解：由第一问解方程09342=+-t t 得，3,3321==t t ，有参数的几何意义同理可得A P 033||1==t ，B P 0.3||2==t（3）由于是由第一问的求解过程可知A P 0B P 0=921=t t2、再如在求解与点的坐标有关的题目时可以用结论二：例2、已知直线l 过点)8,4(0P ，倾斜角为3π，求出直线l 上到点0P 的距离为5的点的坐标。
解：因为直线l 过点)8,4(0P ，倾斜角为3π，所以直线l 的参数方程为 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=3sin 83cos 4ππt y t x ，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=t y t x 238214，（t 为参数）， （1） 设直线l 上与已知点)8,4(0P 相距为5的点为P 点，且P 点对应的参数为t ，则||0P P 5||==t ，所以5±=t ，将t 的值代入（1）式，当t ＝5时，M 点的坐标为)2358,213(+； 当t ＝－5时，M 点的坐标为)2358,23(-， 综上，所求P 点的坐标为)2358,213(+或)2358,23(-. 点评：若使用直线的普通方程，利用两点间的距离公式求P 点的坐标需要将直线方程代入曲线方程，消元后再用根与系数的关系，中点坐标公式来求解，相当麻烦，而我们使用直线的参数方程，充分利用参数t 的几何意义求P 点的坐标就显得比较容易。
3、解决有关弦的中点问题时也可以用性质二例3、过点)0,1(0P ，倾斜角为4π的直线l 和曲线线⎩⎨⎧==22ty t x 相交于M 、N 两点，求线段MN 的中点P 的坐标。
解：直线l 过点)0,1(0P ，倾斜角为4π，所以直线l 的参数方程为 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=t y t x 22221，（t 为参数），因为直线l 和抛物线相交，将直线的参数方程代入抛物线方程x y 22=中，得：)221(2)22(2t t +=，整理得022212=--t t ， 06)2(214)2(2>=-⨯⨯--=∆，设这个二次方程的两个根为21,t t ， 由韦达定理得2221=+t t ，由P 为线段MN 的中点，根据t 的几何意义，得2221=+=t t t p ，易知中点M 所对应的参数为2=M t ，将此值代入直线的参数方程得，M 点的坐标为（2，1）点评：对于上述直线l 的参数方程，M 、N 两点对应的参数为21,t t ，则它们的中点所对应的参数为.221t t t +=将参数值代入直线参数方程后很快就可得到答案，这将十分方便快捷。
再如例4：过双曲线116922=-y x 的右焦点F 作倾斜角为︒45的直线L 与双曲线交于A,B 两点，M 是AB 的中点，求|MF|。
如果用传统的解法则是解：方法一 依题意a =3,b =4,c =5 所以F(5，0)，又直线l 的倾斜角为45度 所以k=1 5-=∴x y l 的方程为整个解答过程将会比较繁琐，因为传统的解法必须要将直线方程与曲线方程联立，消元后用根与系数的关系及终点坐标公式才能求解。
解法2：依题意l 的参数方程为： 小结： 方法二：用参数方程求解，且灵活运用参数t 的几何意义，使求解过程变得简洁， 不容易出错，如果我们在教学中能多引导学生从这些方面思考，那么我们教起来轻松，学生学起来也将会更容易。
体会三：两个性质在用的过程中要注意参数T 取非单位向量时候的处理转化。
从上面的例子不难看出，这两个性质的确好用，但是我们在教学中一定要要注意下面例子中的问题就需要对参数T 所取的单位长度作转化： 例如：已知曲线的方程是)4cos(2πθρ+=，直线L 的方程是⎩⎨⎧+-=-=t y t x 3141若直线与曲线相交与A 、B 两点，求AB 弦长。
解法1：解：直线方程可以化简为：0143=-+y x ，而曲线的方程可化简为：022=+-+y x y x 将直线方程代入曲线方程，消去一个未知数y 后可得关于x 的一元二次方程，由点到直线的距离公式及，弦心距，半径，半弦长之间构成直角三角形可以解得57=AB 解法2：将直线的参数方程代入曲线方程，则可以得到一个关于t 的一元二次方程：07252=-t t 如果还是用以前的有参数t 的几何意义的话将会求得AB 的弦长为25702574)(||||22=-=•-+=-=BA B A B A t t t t t t AB这一结果与上述结果为何会不一样呢两种解法所得的结果是哪一种对呢当然答案是第一种解法的对，实际上这就是在推导直线的参数方程时一定要注意到直线参数方程中参数T 的几何意义的问题，实际上，在上述题目中我们的参数T 是选取了模为5的向量当作了单位向量，而非模为1的向量为单位向量，但是在解题过程中多数同学甚至是老师也不会注意到这一细节，所以在涉及到直线参数方程，曲线的极坐标方程的问题时我们一定要注意到直线参数方程中参数T 的几何意义的探究，如上题中的直线方程⎩⎨⎧+-=-=t y t x 3141中由于直线的参数方程标准形式⎩⎨⎧+=+=ααsin cos 00t y y t x x 中t 的系数无论是ααcos sin 还是，都只能在][1,1-上取值一旦t 的前面的系数超过了区间][1,1-则要考虑参数t 是多少个单位长度为单位向量。
于是在上面的解答中我们只要在257=AB 的基础上乘以直线参数方程⎩⎨⎧+-=-=ty t x 3141中t 的模5即可以得到正确答案即575257=⨯=AB 。
如果我们能在我们在教学中注意到了这样的问题，点清了问题的实质所在。
也就是强调解释清楚了参数T 的几何意义，并用适当的例子进行了纠错练习，那么学生的学习效果必然是好的。
我们的解题速度和解题正确率、得分率也将得到大大的提高，我们的解题水准也必将得到巨大的提升。