专题直线参数方程中t的意义理解高中数学精华修订版

专题直线参数方程中t 的意义理解高中数学精

华修订版

IBMT standardization office【IBMT5AB-IBMT08-IBMT2C-ZZT18】

专题:直线参数方程中的几何意义几点分析与解析

一． 知识点概述：

★ 若倾斜角为α的直线过点)(00y x M ，，t 为参数，则该直线的参数方程可写为 ★ 若直线过点M ，直线与圆锥曲线交于两点P 、Q ，则

|MP|、|MQ|的几何意义就是：||||||||21t MQ t MP ==，

； |MP|+|MQ|的几何意义就是：=+||||MQ MP |t ||t |21+；

|MP|·|MQ|的几何意义就是：||||||21t t MQ MP ⋅=⋅；

|PQ|的几何意义就是：2122121214)(|||PQ ||||PQ |t t t t t t t t ⋅-+=-=-=，即.

★ 若过点M )(00y x ，、倾斜角为α的直线l 与圆锥曲线交于A 、B 两点，则弦的中点坐标公式为：⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧+++=+=+++=+=2)

sin ()sin (22)cos ()cos (2201021'201021'ααααt y t y y y y t x t x x x x 或⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧++=+++=+=++=+++=+=)(22)()(2)(22)()(2212022012021'211021011021't t p y t p y t p y y y y t t p x t p x t p x x x x ，21p p ，为常数，均不为零

(其中 中点M 的相应参数为t ，而221t t t +=，所以中点坐标也为：⎩⎨⎧+=+=t

p y y t p x x 2010 ) ★ 若过点M )(00y x ，、倾斜角为α的直线l 与圆锥曲线交于A 、B 两点，且M 恰为弦AB 中点，

则中点M 的相应参数：2

21t t t +==0 （因为⎩⎨⎧+=+=t p y y t p x x 200

100，而21p p ，均不为0，所以t=0） 体会一：教学中一定要讲清楚直线参数方程的推导过程，并且一定要强调其中参数T 的由来。

实际上由新课程标准人教A 版数学选修课本中坐标系与参数方程的内容我们知道，平

面内过定点),(000y x p 、倾斜角为α的直线l 的参数方程的标准形式为⎩⎨⎧+=+=α

αsin cos 00t y y t x x （t

为参数），其中t 表示直线l 上以定点0p 为起点，任意一点P （x ，y ）为终点的有向线段P 0的数量，当P 点在0p 上方时t 为正，当P 点在0p 下方时t 为负。

体会二：教学中必须要强调参数T 的几何意义及两个结论的引导应用示范。

实际上在教学中我们知道，由直线参数方程的推导过程及向量模的几何意义等知识，很容易得参数t 具有如下的两个重要结论： 如果我们假设直线l 上两点A 、B 所对应的参数分别为B A t t 和，则：

第一：A 、B 两点之间的距离为B A B A B A t t t t t t AB •-+=-=4)(||||2，特别地，A 、B 两点到0p 的距离分别为.|||,|B A t t

第二：A 、B 两点的中点所对应的参数为

2

B A t t +，若0p 是线段AB 的中点，则0=+B A t t ，反之亦然。 在解决坐标系与参数方程这一选考题，特别是直线的参数方程与曲线的参数方程或是极坐标方程有关的内容的题目，最典型的是涉及直线与圆锥曲线相交所得的弦和弦长、或

是求一点到某点的距离为定值、求弦的中点等有关方面的题目时，如果我们能够充分利用参数t 的上述两个重要结论的话，我们的解题速度和解题正确率、得分率将得到的大大提高，我们的解题水准也必将得到巨大的提升。

1、例如在求解与距离有关的题目时我们可以用结论一：

例1、直线l 过点)0,4(0-P ，倾斜角为6

π，且与曲线C ：7=ρ相交于A 、B 两点。 （1）求弦长AB. （2）求A P 0和B P 0的长 （3）A P 0?B P 0

解：（1）因为直线l 过点)0,4(0-P ，倾斜角为

6π，所以直线l 的参数方程为 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+-=6sin 06cos 4π

πt y t x ，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=t y t x 21234，（t 为参数），而曲线C 是圆722=+y x ，于是将直线的参

数方程代入圆C 的方程，得7)2

1()234(22=++-t t ，整理得09342=+-t t 有参数T 的几何意义设A 、B 所对应的参数分别为21,t t ，则3421=+t t ，921=t t ， 所以||||21t t AB -=.324)(21221=-+=t t t t

（2）解：由第一问解方程09342=+-t t 得，3,3321==t t ，有参数的几何意义同理可得A P 033||1==t ，B P 0.3||2==t

（3）由于是由第一问的求解过程可知A P 0B P 0=921=t t

2、再如在求解与点的坐标有关的题目时可以用结论二：

例2、已知直线l 过点)8,4(0P ，倾斜角为

3

π，求出直线l 上到点0P 的距离为5的点的坐标。 解：因为直线l 过点)8,4(0P ，倾斜角为3

π，所以直线l 的参数方程为 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=3sin 83cos 4ππt y t x ，即⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧+=+=t y t x 238214，（t 为参数）， （1） 设直线l 上与已知点)8,4(0P 相距为5的点为P 点，且P 点对应的参数为t ，则

||0P P 5||==t ，所以5±=t ，将t 的值代入（1）式，

当t ＝5时，M 点的坐标为)2

358,213(

+； 当t ＝－5时，M 点的坐标为)2358,23(-， 综上，所求P 点的坐标为)2358,213(+或)2

358,23(-. 点评：若使用直线的普通方程，利用两点间的距离公式求P 点的坐标需要将直线方程代入曲线方程，消元后再用根与系数的关系，中点坐标公式来求解，相当麻烦，而我们使用直线的参数方程，充分利用参数t 的几何意义求P 点的坐标就显得比较容易。

3、解决有关弦的中点问题时也可以用性质二

例3、过点)0,1(0P ，倾斜角为4π的直线l 和曲线线⎩⎨⎧==22t

y t x 相交于M 、N 两点，求线段MN 的中点P 的坐标。