分析化学中的有效数字及其运算
2.2分析化学中的有效数字及其运算
2.2分析化学中的有效数字及其运算、分析结果的有效数字及其处理1. 有效数字的概念既然真值表示分析对象客观存在的数量特征，那么分析结果作为真值的估计值，就应正确反映分析对象的量的多少。
由于随机误差不可避免，测定值都是些近似值，都有一定的不确定度，因此测定值包含确定的数字（重复测定时不会发生变化的准确数字）和它后面的不定数字（重复测定时会发生变化的数字），但是只有确定的数字和它后面第一位具有一定不确定度的不定数字才能正确反映分析对象的量的多少。
能够正确反映分析对象的量的多少的数字称为有效数字（si g n i fi ca nt fig u re）,由确定的数字和它后面第一位具有一定不确定度的不定数字构成，决定于单位的数字和多余的不定数字不能正确反映分析对象的量的多少因而不是有效数字。
如用示值变动性为土0.0001 g的分析天平称得样品0.203 16g，则末位数字6是多余的不定数字而首位数字0是决定于单位大小的数字，都不是有效数字；但数字2、中间的0、3和1能够正确反映对象的量的多少，都是有效数字，因此该数据只有四位有效数字。
可见，实际能够测量到的数字就是有效数字的观点是错误的，但可以说准确测定的数字都是有效数字。
有效数字最后一位的不确定度常写在它后面的括号里，最后一位的不确定度为土0.02，最末一位不定数字9的不确定度为2。
再如标称值为100mL的A级容量瓶量取溶液的体积为100.0 mL ,其不确定度为± 0.1 mL ,最末一位不定数字0的不确定度为1，省略不写。
2. 有效数字的确定有效数字不但表明了分析对象的量的多少，还反映了分析结果的准确度或不确定度。
例如，称得样品的质量为（0.200 0± 0.000 2）g，可见其不确定度为土0.0002 g,相对不确定度土1 %°。
又如，氯的相对原子质量为35.452 7（9），可见其不确定度为土0.000 9,相对不确定度为土0.03%°。
有效数字及处理原则
0不是有效数字，定位作用
0.0158 (三)
0.0005 (一)
.
4、注意点
(1) 科学计量式中，只看前面部分
3.4 104
(二)
(2) PH值，小数点后的数字位数为有效数字位数 pH = 4.34 (二)
(3) 其它：
a. 容量器皿:滴定管（如：25.32mL）、移液管 （25.00mL）； 取小数点后2位有效数字 容量瓶（如：100.0mL 、250.0mL）？？？ 量筒(量至1mL或0.1mL)如. ：25mL、 4.0mL
可疑数字：有效数字的最后一位数字 通常为估计值，不准确。
有效数字的最后一位数字有±1个单位的误差。
.
2、有效数字意义
（1）表示实验结果的大小
（2）表示实验结果所包含的误差—正确地反映测量的准
确程度。
结果
绝对偏差
0.51800 ±0.00001
0.5180 ±0.0001
相对偏差 有效数字位数
±0.002%
(3) lg( 1.75 ×10-5)
(4) [H+] = 0. 50 mol·L-1， pH=？
答案（1）16.4 （2）1.4 （3）－4.76 .
（4）0.30
.
5
±0.02%
4
0.518
±0.001
±0.2%
3
.
3、数据中零的作用
(1) “0” 在两个非0数字的中间
0为有效数字
1056 (四位) 3. 02 (三位) 10. 0504 (六位)
(2) “0” 在数字的末位
0为有效数字
12.50 (四) 1250. 0 (五) 1500 (四)
(3) “0” 在小数点前后
分析化学有效数字及其运算规则
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可疑数值的取舍
• Q检验法： 例：
37.24%，37.28%，37.34%，37.64%
分析结果的报告
• 1、在例行分析和生产中间控制分析中， 做2次平行测定，两次分析结果只差不 超过允差的2倍
• 2、多次测定结果。用算术平均值或中 位值报告结果，并报告平均偏差和相 对平均偏差
1、下列数据均保留两位有效数字，修约结果 错误的是（ ）
练习巩固
1、1.057 3、5.24×10-10 5、0.0230 7、1.502 9、0.00300 11、8.7×10-6 13、114.0 15、0.50%
2、1500 4、0.0037 6、pH=5.30 8、0.0234 10、10.030 12、pH=2.0 14、40.02%
常见仪器的有效数字记录
• 滴定管 • 量筒 • 移液管 • 容量瓶 • 托盘天平 • 分析天平
二、数字的修约规则
a.四舍六入五留双 b.“5”后有值,全进位 c.“5”后无值,奇进偶不 进. 注：数字修约需一步到位.
例:修约下列数到四位有效数字
0.123649 0.1236
1.2055
1.206
11.165
11.16
如
36.78 0.02 5.6756
结果为1位有 效数字
0.0121 25.64 1.05782
3位
修约后: 0.0121×25.6×1.06 = 0.328
在乘除法运算过程中,首位数 为9的数字如9.23,9.76等按4位有 效数字报出.
9.23×0.1245×3.0451
高等教育出版社 分析化学 第三版04 有效数字及其运算规则 提高分析结果准确度的方法
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加减法: 结果的绝对误差应不小于各项中绝对误 差最大的数. (与小数点后位数最少的数一致)
50.1 ±0.1 ±0.01 1.46 + 0.5812 ±0.001 52.1412 52.1
50.1 1.5 + 0.6 52.2
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乘除法: 结果的相对误差应与各因数中相对误差 最大的数相适应 (即与有效数字位数最少的一致)
位数越多准确度越高。
1
例1：若称取某样品的质量为1.5184 g 分析天平(精度为 0.0001g)： so,实际质量1.5183~1.5185g
托盘天平(精度为0.1g)：应记为: ?
1.5g
2
例2：滴定管读数为24.31 mL 24.3是准确的，最后一位是估计值 记作24.314 记作24.3
若后面数为0, 舍5成双:
8
10.2350----10.24, 250.650----250.6 若5后面还有不是0的任何数皆入: 18.0850001----18.09
运算规则
笔算：先修约，后运算 计算器：最后修约结果。 1. 加减法：尾数取齐（绝对误差） 2. 乘除法：位数取齐（相对误差） 3. 其它 (1)测量值和常数相乘、除时，以测量值为准 (2)测量值的平方、开方、对数等，与测量值 相同
精 密 度
随机误差
误差和偏差的计算
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3、有效数字的概念、记录和运算规则 4、对有限测定数据进行统计处理的初步方法 （1） 随机误差的分布规律：
t分布 正态分布 区别和联系
（2）描述 测定值
集中趋势： 平均值和中位数
偏差、平均偏差、相对 分散性： 平均偏差、标准偏差、 相对标准偏差和极差
计算
（3）置信度与置信区间的含义，μ的置信区间的计算； （4）显著性检验的含义和方法(t检验法、F检验法) （5）可疑值的取舍
分析化学有效数字(精)
则为：0.0121×25.64×1.058=0.328
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七、有效数字的应用：
1.正确的记录测量数据 2.正确的选用测量的仪器 例：移取盐酸溶液25.00ml 移取盐酸溶液25ml
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3.正确的表示分析结果 例：七叶神安片 本品每片含三七叶总皂苷以人参皂苷Rb3 （C53H90O22）计不得少于5.0mg。
0.07kg ±0.01kg
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2.表示测量的误差大小，反映测量的准确度。
例：A称得某物质量为0.5180g， B称得此物质量为0.518g。 绝对误差： A ±0.0002g 相对误差：
0.0002 100% 0.04% 0.5180
B ±0.002g
0.002 100% 0.4% 0.518
大量数据运算，可先多保留一位有效数字
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第1题：计算下组数据的偏差、平均偏差、 相对平均偏差、标准偏差、相对标准偏差
4.1261 4.1256
4.1265
4.1258
第2题：将下列测量值修约为三位有效数字。 4.135 4.105 4.1249 4.1351
第3题：读出下列有效数字的位数 2.3000 0.05060 pH=6.85 2.000×10-5
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五、数字修约规则
四舍六入五成双： 12.21500→12.22 ，12.22500→12.22 12.21510→12.22，12.22501→12.23 对原测量值一次修约： 2.2349：2.24（×），2.23 （√）
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修约标准偏差 ：取二位。有余数即进位
RSD 1.213%修约为RSD 1.3%
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四、有效数字位数计算
1、“0”即可是有效数字，也可是用于定位的 无效数字。
分析化学有效数字的规定复习过程
分析化学有效数字的规定分析化学有效数字的规定1.有效数字及其运算规则1. 1有效数字1. 定义有效数字就是实际能测到的数字。
有效数字的位数和分析过程所用的分析方法、测量方法、测量仪器的准确度有关。
我们可以把有效数字这样表示。
有效数字＝所有的可靠的数字+ 一位可疑数字表示含义：如果有一个结果表示有效数字的位数不同，说明用的称量仪器的准确度不同。
例：7.5克用的是粗天平7.52克用的是扭力天平7.5187克用的是分析天平2. “0”的双重意义作为普通数字使用或作为定位的标志。
例：滴定管读数为20.30毫升。
两个0都是测量出的值，算做普通数字，都是有效数字，这个数据有效数字位数是四位。
改用“升”为单位，数据表示为0.02030升，前两个0是起定位作用的，不是有效数字，此数据是四位有效数字。
3. 规定(1)．自然数可看成具有无限多位数(如倍数关系、分数关系)；常数亦可看成具有无限多位数，如℮、π。
(2). pH、pM、lgc、lgK等对数值，有效数字由尾数决定例： pM＝5.00 （二位） [M]=1.0×10-5 ；PH＝10.34（二位）；pH＝0.03（二位）(3). 不能因为变换单位而改变有效数字的位数注意：首位数字是8，9时，有效数字可多计一位, 如9.83―四位。
1. 2数字修约规则（“四舍六入五成双”规则）规定：当尾数≤4时则舍，尾数≥6时则入；尾数等于5而后面的数都为0时，5前面为偶数则舍，5前面为奇数则入；尾数等于5而后面还有不为0的任何数字，无论5前面是奇或是偶都入。
例：将下列数字修约为4位有效数字。
修约前修约后0.526647--------0.52660.36266112------0.362710.23500--------10.24250.65000-------250.618.085002--------18.093517．46--------3517注意：修约数字时只允许一次修约，不能分次修约。
分析化学中的有效数字
有效数字############################确定有效数字位数原则#############################1.一个量值只保留一位不确定的数字.如米尺的最小刻度为1mm，则应读到0.1mm2.数字0~9都是有效数字，当0只是作为定小数点位置时不是有效数字.如0.035是2位有效数字；而1.0080则有5位有效数字. 3.不能因为变换单位而改变有效数字的位数.如0.0345g是3位有效数字，用毫克表示应为34.5mg，用微克表示则为3.45×104μg，而不能写成34500μg.4.在分析化学计算中，常遇到倍数、分数关系。
这些数据是自然数而不是测量所得到，顾他们的有效数字位数可以认为没有限制.5.在分析化学中常遇到pH、pM、lgK等对数值，其有效数字位数取决于小数部分数字的位数（整数部分只代表该数的方次）如：pH=10.28，换算为H+浓度时，应为[H+]=5.2×10-11mol·L-1 （2位、不是4位）#######################有效数字的修约规则##############################原则：既不因保留过多的位数使计算复杂，也不因舍掉任何位数使准确度受损四舍六入五成双规则：1.当测量值中被修约的数字等于或小于4，该数字舍去如0.24574→0.24572.当测量值中被修约的数字等于或大于6，则进位如0.24576→0.24583.等于5时，若5前面的数字是奇数则进位，为偶数则舍掉；若5后还有不为0的任何数，无论5前面的数字是奇数还是偶数，都要进位。
如0.24575→0.2458 0.24585→0.2458 0.245851→0.2459注：修约数字时，只允许对原测量值一次修约到所要求的位数，不能分几次修约.###########################运算规则###########################1.加减法：有效数字位数的保留，应以小数点后位数最少的数据为准，其他数据均修约到这一位（因为小数点后的位数越少，绝对误差最大，顾在加合的结果中总的绝对误差取决于该数，有效数字的位数应以他为准，先修约后计算）如0.0121+25.64+1.05782=0.01+25.64+1.06=26.712.乘除法：有效数字的位数应以几个数中有效数字位数最少的那个数据为准。
分析化学中的有效数字及其运算
分析化学中的有效数字及其运算公司标准化编码 [QQX96QT-XQQB89Q8-NQQJ6Q8-MQM9N]分析化学中的有效数字及其运算一、分析结果的有效数字及其处理1. 有效数字的概念既然真值表示分析对象客观存在的数量特征，那么分析结果作为真值的估计值，就应正确反映分析对象的量的多少。
由于随机误差不可避免，测定值都是些近似值，都有一定的不确定度，因此测定值包含确定的数字(重复测定时不会发生变化的准确数字)和它后面的不定数字(重复测定时会发生变化的数字)，但是只有确定的数字和它后面第一位具有一定不确定．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．度的不定数字才能正确反映分析对象的量的多少．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．。
能够正确反映分析对象的量的多少的数字称为有效数字．．．．．．．．．．．，由确定．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．(significant．．．．．．．．．．．．figure)的数字和它后面第一位具有一定不确定度的不定数字构成，决定于单位的数字和多余的不定．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．数字不能正确反映分析对象的量的多少因而不是有效数字。
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．如用示值变动性为±0.0001 g的分析天平称得样品 16g，则末位数字6是多余的不定数字而首位数字0是决定于单位大小的数字，都不是有效数字；但数字2、中间的0、3和1能够正确反映对象的量的多少，都是有效数字，因此该数据只有四位有效数字。
可见，实际能够测量到的数字就是有效数字的观点是错误的，但可以说准确测定的数字都是有效数字。
有效数字最后一位的不确定度常写在它后面的括号里，最后一位的不确定度为±，最末一位不定数字9的不确定度为2。
再如标称值为100mL的A级容量瓶量取溶液的体积为mL，其不确定度为± mL，最末一位不定数字0的不确定度为1，省略不写。
分析化学有效数字的规定
分析化学有效数字的规定1.有效数字及其运算规则1. 1有效数字1. 定义有效数字就是实际能测到的数字。
有效数字的位数和分析过程所用的分析方法、测量方法、测量仪器的准确度有关。
我们可以把有效数字这样表示。
有效数字＝所有的可靠的数字+ 一位可疑数字表示含义：如果有一个结果表示有效数字的位数不同，说明用的称量仪器的准确度不同。
例：7.5克用的是粗天平7.52克用的是扭力天平7.5187克用的是分析天平2. “0”的双重意义作为普通数字使用或作为定位的标志。
例：滴定管读数为20.30毫升。
两个0都是测量出的值，算做普通数字，都是有效数字，这个数据有效数字位数是四位。
改用“升”为单位，数据表示为0.02030升，前两个0是起定位作用的，不是有效数字，此数据是四位有效数字。
3. 规定(1)．自然数可看成具有无限多位数(如倍数关系、分数关系)；常数亦可看成具有无限多位数，如℮、π。
(2). pH、pM、lgc、lgK等对数值，有效数字由尾数决定例： pM＝5.00 （二位） [M]=1.0×10-5 ；PH＝10.34（二位）；pH＝0.03（二位）(3). 不能因为变换单位而改变有效数字的位数注意：首位数字是8，9时，有效数字可多计一位, 如9.83―四位。
1. 2数字修约规则（“四舍六入五成双”规则）规定：当尾数≤4时则舍，尾数≥6时则入；尾数等于5而后面的数都为0时，5前面为偶数则舍，5前面为奇数则入；尾数等于5而后面还有不为0的任何数字，无论5前面是奇或是偶都入。
例：将下列数字修约为4位有效数字。
修约前修约后0.526647--------0.52660.36266112------0.362710.23500--------10.24250.65000-------250.618.085002--------18.093517．46--------3517注意：修约数字时只允许一次修约，不能分次修约。
有效数字运算规则
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(２)分析天平（万分之一）称取样品，质量小数点后取 45 位有效数字。
(３)原则溶液旳浓度，用 4 位有效数字表达。
12/28/2023
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四.有效数字规则在分析化学中旳应用
2．按有效数字旳运算规则正确地计算数据—报出合理旳 测试成果。 注意：算式中旳相对分子质量取 4 位有效数字。
12/28/2023
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有效数字及其运算规则
二、有效数字修约原则： 在取舍有效数字位数时，应注意下列几点） （1）在分析化学计算中，经常会遇到某些分数、整数、倍 数等，这些数可视为足够有效。
（2）若某一数据第一位有效数字等于或不小于8，则有效 数字旳位数可多算一位。如：9.98，按4位算。
（3）在计算成果中，采用“四舍六入五成双” 原则进行修约。
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有效数字及其运算规则
三. 有效数字旳运算规则 2. 乘除运算
几种数据旳乘除运算中，所得成果旳有效数字旳位数 取决于有效数字位数至少旳那个数，即相对误差最大 旳那个数。
例：（ 0.0325 5.103 ）/ 139.8 = 0.00119
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有效数字及其运算规则
一般化学
有效数字及其运算规则
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有效数字及其运算规则
一.有效数字: 指实际上能测量到旳数字。 各位拟定数字+最终一位可疑数字
1．试验过程中常遇到两类数字：
（1）表达数目旳非测量值:如测定次数，倍数,系数,分数 （2）测量值或计算值。数据旳位数与测定旳精确度有关。 统计旳数字不但表达数量旳大小，还要正确地反应测量旳 精确程度。
（5）表达误差时，取一位有效数字已足够，最多取二位。
知识总结——有效数字及其在分析化学中的应用
第一节 有效数字及其在分析化学中的应用一．知识储备1．有效数字的位数有效数字是指在分析工作中实际上能测量到的数字。
其位数由全部准确数字和最后一位可疑数字组成，作用是既能表示数值的大小，又能反映测量的精度。
例如，利用万分之一的分析天平称取某样品的质量 1.3526 g ,其中前四位数字是准确数字，最后一位数字“6”是可疑数字，有效数字的位数是5位。
又如滴定管的读数为25.32 mL ，其中前三位数字是准确数字，最后一位数字“2”是可疑数字，有效数字的位数是4位。
超出仪器准确度而纪录下来的数字是无意义的数字，即不是有效数字。
确定有效数字的位数是可以遵循以下几条原则：1 有效数字的位数与测定方法有关。
在纪录测量数字时只纪录一位可疑数字。
2 数字1-9都是有效数字.3 “0”要视在记录测量数字的位置而定.(1)当“0”在数字前,只是作为定小数点位置时不是有效数字，如0.01232 mol · L -1,数字1前面的两个“0”不是有效数字,仅起定位作用.所以, 该数字是四位有效数字，而不是五位有效数字; (2)“0”在数字中间和数字后,是有效数字,如 0.1020 mol · L-1是四位有效数字;(3)以“0”结尾的正整数,有效数字的位数不确定.如3600，其有效数字的位数不确定.这种情况应根据实际表示成3.6×103,它是两位有效数字;表示成3.60×103,它是三位有效数字;表示成3.600×103,它是四位有效数字。
3 在分析化学中经常遇到指数和对数，在相互转换过程中要保持有效数字位数一致。
例如 [H +] =0.000018 mol · L -1，可表示成 [H +] =1.8×10-5 mol · L -1 或pH=4.74，都是两位有效数字。
4 非测定所得数字位数可以认为没有限制，例如 反应方程式的系数。
5 不能因为改变单位的表示方法而改变有效数字的位数。
有效数字的修约规则(分析化学有效数字的修约与运算规则)
分析化学有效数字的修约与运算规则无机及分析化学是我校化工、制药、应化、环境、海洋、食品、环工、生物、高分子及材料类等专业大一学生必修的重要基础课程之一.它是一门实践性很强的学科.在国民经济的许多部门如资源勘探、生产控制、产品检验、环境监测等方面应用非常广泛.在分析工作的理论研究和实验测定中,如何正确地运用有效数字对分析数据作正确记录、处理、计算及结果表示等具有十分重要的意义.1有效数字定义在科学实验中,需要记录很多测量数据,一般允许最后一位是估计的,虽不太准确,但不是随意的,它们全是有效的,所以称为有效数字.有效数字即指实际工作中能够测量到的数字,包括最后一位估计的不确定的数字[1-2].记录数据和计算结果时,究竟应该保留几位数字,应根据所用的测定方法和所用仪器的准确程度来决定,并且在记录数据和计算实验结果时,所保留的有效数字中,只允许最后一位是可疑的数字.有效数字保留几位是根据测量仪器的准确度来确定的,因此对于各种分析仪器的准确度应十分清楚,比如滴定分析中消耗滴定剂的体积由终读数减初读数得到:24.05-0.02=24.03（mL）为4位有效数字.又如台秤称量某称量瓶为20.8g,因为台秤只能准确地称到0.1g,所以该称量瓶质量可表示为20.8g,它的有效数字是3位.如果将该称量瓶在分析天平上称量,得到结果是20.8126g,由于分析天平能准确地称量到0.0001g,所以它的有效数字是6位. 100 mL容量瓶表示为100.0mL;250mL容量瓶表示为250.0mL;25 mL移液管表示为25.00mL.对于数字"0"来说,可以是有效数字,也可以不是有效数字.当用其表示与测量精度有关的数值大小时,为有效数据,而仅仅用来指示小数点位置时,则是非有效数字.在一个数中,确定数字"0"是否是有效数字的方法是,左边第一个非零数字之前的所有"0"都是非有效数字,仅仅作为标定小数点位置而已;而位于右边的最后一个非零数字之后的那些"0"都是有效数字.有效数字末尾的"0"表示可疑数字的位置,随意增减会人为地夸大测量的准确度或测量误差!不得在测量数据的末尾随意添加或删减数字.2有效数字的修约规则记录和表示计算结果时要按照确定了的有效数字将多余的数字予以修约.弃去多余的或无意义的数字一律按"四舍六入五考虑"原则取舍.其取舍方法是:凡末位有效数字的后面第一位数字（即尾数）大于等于"6"（指6、7、8或9）以及"5"后面还有任何非零数字时,则在末位有效数字上增加1.尾数小于等于"4"（指4、3、2、1或0）时,则舍去不计.尾数恰为"5"时（"5"后没有数字或全为0时），这时要看"5"之前的数字即末位有效数字是奇数还是偶数而定,若为奇数,则在末位有效数字位上增加1;是偶数,则舍去不计.尾数为"5"（"5"后面还有任何非零数字时），则在末位有效数字上增加1.不论舍去多少位,必须一次修完毕.例如,将下列测量数据修约为四位有效数字时:尾数≤4时舍:0.726535- - - - - - - 0.7265尾数≥6时入:12.1585- - - - - - - 12.16尾数=5时,若后面数为0或没数时,舍5成偶:15.51500- -15.52,415.45- -415.4若尾数5后面还有不为0的任何数全进:512.0500100- - - - -- - 512.13有效数字的运算规则实验中不仅要正确记录数据,而且还要进行数据的计算.由于任何测量都存在误差,只能是近似值,所以数据记录和计算结果反映了近似值的大小,这在某种程度上表明了误差.因此,数据处理运算也是重要环节.3.1加减运算结果的绝对误差应不小于各项中绝对误差最大的数（计算结果的小数点后面的位数与各数中小数点后面位数最少者一致）。
分析化学有效数字及其运算规则
• 计算各10g 下列物质的物质的 量。
• ⑴ NaOH ⑶SO3
⑵H2
22
课后练习
• 在100 mL 0.1 mol / L NaOH的溶液中，所 含NaOH的质量是多少？
• 配制500ml 0.1mol/L的Na2CO3 溶液需要无 水碳酸钠多少克？
23
2、下列四个数据修约为四位有效数字后为 0.7314的是（ ）
A.0.73146 D.0.731451
B.0.731349 C.0.73145
18
3、用分析天平准确称量某试样重，下列记录 正确的是（ ）
A.1.45g B. 1.450g C. 1.4500g
D. 1.45000g 4、下列数据中具有三位有效数字的是（ ） A.0.030 B.1.020 C.8.00×103 D.pH=4.74 5、下列数据修约为两位有效数字，修约结果 错误的是（ ）
1、误差的分类 2、误差和偏差的表示方法
准确度与误差 精密度与偏差
1
计算下列分析结果的绝对平均偏差和 相对平均偏差
分析结果： 37.40% 、37.20%、37.32%、37.52%、 37.34%
2
§分析结果既表示量 的大小，又反映准确度的高低。
差最大的数为标准）
如:32.2 + 2.45 + 4.5782
(0.1 0.01 0.0001)
32.2
修约后:
2.4
+ 4.6
39.2
13
乘除法:
以有效数字位数最少 (即以相对误差最大的数）
的有效位数为准
如
36.78 0.02 5.6756
结果为1位有 效数字
0.0121 25.64 1.05782
分析化学中的有效数字
分析化学中的有效数字1. 分析化学中的有效数字分析化学中的有效数字是指在实验中所取样本的数值的精确度。
它是用来表示实验数据的有效性的一种方法，可以用来比较实验结果的可靠性。
有效数字可以帮助实验室科学家准确地表示实验结果，以便在实验中取得准确的结果。
有效数字可以用来表示实验结果的精确度，以及实验结果的可靠性。
它们可以用来比较实验结果，以便确定实验结果的可信度。
有效数字也可以用来表示实验结果的准确性，以及实验结果的可靠性。
有效数字的计算方法是在实验中取得的最大和最小值之间取一个中间值，然后以该值为基准，计算出实验结果的有效数字。
有效数字的计算方法可以帮助实验室科学家准确表示实验结果，以便在实验中取得准确的结果。
2. 有效数字的定义在分析化学中，有效数字是指实际测量值的有效位数，它是指能够反映测量结果的有效位数。
有效数字反映了测量结果的精确度，它可以帮助科学家们更好地理解和分析测量结果。
有效数字是由几个因素决定的，包括测量仪器的精度、测量结果的准确度和测量结果的可靠性。
在分析化学中，有效数字的定义是：有效数字是指实际测量值的有效位数，它可以反映测量结果的精确度。
3. 有效数字的计算方法在分析化学中，有效数字是指在计算过程中，能够提供有意义的结果的数字的有效位数。
它是由精确值中最不可靠的位数决定的，也就是说，有效数字是指在计算结果中，可以信任的数字的有效位数。
3. 有效数字的计算方法计算有效数字的方法是：首先，计算结果中的最不可靠的位数，然后，减去该位数，就可以得到有效数字的数量。
例如，如果计算结果为12.345，则最不可靠的位数是百位，因此有效数字的数量是3。
此外，有效数字也可以通过计算机程序来计算。
在这种情况下，计算机程序会自动检测计算结果中的最不可靠的位数，并自动计算出有效数字的数量。
4. 有效数字的应用在分析化学中，有效数字的应用可以减少实验结果中的误差，提高实验结果的准确性。
有效数字是指实验结果中有意义的数字，它可以用来衡量实验结果的准确性。
分析化学1—5有效数字及其运算规则
注意: 先修约,后计算.
§1—5 有效数字及其运算规则
在定量分析中，实验数据和分析结果既表示 量的大小，又反映准确度的高低。
例如 测量硅酸盐中SiO2含量：
ms = 0.4538g mSiO2 = 0.1374g
0.1374
w=
100% = 30.2776553%
SiO2 0.4538
一、有效数字的意义和位数
有效数字：实际可测得到的数字。
例:修约下列数到四位有效数字
0.123649 0.1236
1.2055
1.206
11.165
11.16
100.3456 100.3
三、计算规则
加减法: 以小数点后位数最少的 数字为根据(即以绝对误
差最大的数为标准）
如:32.2 + 2.45 + 4.5782
(0.1 0.01 0.0001)
32.2
修约后:
2.4
+ 4.6
39.2
乘除法:
以有效数字位数最少 (即以相对误差最大的数）
的有效位数为准
如
36.78 0.02 5.6756
结果为1位有 效数字
0.0121 25.64 1.05782
3位
修约后: 0.0121×25.6×1.06 = 0.328
在乘除法运算过程中,首位数 为9的数字如9.23,9.76等按4位有 效数字报出.
它由仪器本身精确度来决定，由 全部准确数字和最后一位不确定 反映测量的准确度
1.005 四位
0.0075 二位
0.0056000 五位 230
pＨ=2.0 一位
2105 一位
分析化学 第二章
( x )2
i 1
n
μ为总体平均值，在校正了系统误差情况下， n 为测定次数无限 多时，μ即代表真值。 有限次测定时，标准偏差称为样本标准偏差，以 s 表示：
s ( xi x ) 2
i 1 n
n -1
(n-1)称为自由度，表示 n 个测定值中具有独立偏差的数目。
相对标准偏差：s与平均值之比称为相对标准偏差，以 sr 表示:
5位有效数字 2位有效数字
（2）常数如：ln5、π……，以及分数、倍数等非测量数 据其有效数字为无限多位,计算时可不与考虑。 （3）pH、pKa、pKb、lgK、pM等对数值，其小数部分 为有效数字。 例如： pH = 2.38，C=4.210-3 mol/L （4）改变单位并不改变有效数字的位数。
di xi x
b. 相对偏差d r：绝对偏差占平均值的百分比
dr
xi x x
100%
在实际工作中（如分析化学实验），对于分析结果 的精密度经常用平均偏差和相对平均偏差来表示。 c. 平均偏差又称算术平均偏差，各测量值绝对偏差的算术 平均值，用来表示一组数据的精密度。
d
i 1
例如，甲、乙、丙、丁四人同时测定铜合金中Cu的百分 含量，各分析6次。设真值=10.00%，结果如下：
真值 x
•精密度好，准确 度不好，系统误 差大
• • • •
甲 乙 丙 丁
•准确度、精密度都 好，系统误差、偶然 误差小
•精密度较差，接近 真值是因为正负误 差彼此抵销 •精密度、准确度差。 系统误差、偶然误差大
二、有效数字的修约规则 1.修约规则： 用“四舍六入五成双”对数字进行修约。其作法是， （1）当数据中被修约的数字小于或等于4时则舍去； 当数据中被修约的数字大于或等于6时则进入。 （2）当数据中被修约的数字等于5时，分两种情况： a. 5后面的数字为“0”时， 若“5”前面为偶数则舍去，为奇数则进入。
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2.2 分析化学中的有效数字及其运算一、分析结果的有效数字及其处理1. 有效数字的概念既然真值表示分析对象客观存在的数量特征，那么分析结果作为真值的估计值，就应正确反映分析对象的量的多少。
由于随机误差不可避免，测定值都是些近似值，都有一定的不确定度，因此测定值包含确定的数字(重复测定时不会发生变化的准确数字)和它后面的不定数字(重复测定时会发生变化的数字)，但是只有确定的数字和它后面第一位具有一定不确定度的不定数字才能正确反映分析对象的量的多少．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．。
能够正确反映分析对象的量的多少的数字称为有效数字．．．．．．．．．．．．．．．．．．．，由确定的数字和它后面第．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．(significant figure)一位具有一定不确定度的不定数字构成，决定于单位的数字和多余的不定数字不能正确反映分析对象的量．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．的多少因而不是有效数字。
．．．．．．．．．．．．如用示值变动性为±0.0001 g的分析天平称得样品0.203 16g，则末位数字6是多余的不定数字而首位数字0是决定于单位大小的数字，都不是有效数字；但数字2、中间的0、3和1能够正确反映对象的量的多少，都是有效数字，因此该数据只有四位有效数字。
可见，实际能够测量到的数字就是有效数字的观点是错误的，但可以说准确测定的数字都是有效数字。
有效数字最后一位的不确定度常写在它后面的括号里，最后一位的不确定度为±0.02，最末一位不定数字9的不确定度为2。
再如标称值为100mL的A级容量瓶量取溶液的体积为100.0 mL，其不确定度为±0.1 mL，最末一位不定数字0的不确定度为1，省略不写。
2. 有效数字的确定有效数字不但表明了分析对象的量的多少，还反映了分析结果的准确度或不确定度．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．。
例如，称得样品的质量为(0.200 0±0.000 2)g，可见其不确定度为±0.0002 g，相对不确定度±1‰。
又如，氯的相对原子质量为35.452 7(9)，可见其不确定度为±0.000 9，相对不确定度为±0.03‰。
所以，根据分析结果的准确度或不确定度可确定分析结果的有效数字．．．．．．．．．．．)．，或．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．(．准确数字和末位不定数字者说分析结果的有效数字可根据分析结果的准确度或不确定度来确定，有效数字最后一位数字必须是不定．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．数字并且只有最后一位数字是不定数字．．．．．．．．．．．．．．．．．。
[例2-8] 有效数字的确定举例如下：①(0.305 0±0.000 2)g(样品质量)，78.96(3)(Se的相对原子质量)和20.43 mL(标准溶液体积)均为四位有效数字；31.05%(百分含量，计算结果)也为四位有效敷字。
②0.095 7(3)mol/L(标准溶液浓度，其中0为与单位有关的数字即不是有效数字)，20.0 mL(试剂体积)和1.75×10-5 g/mol(HAc的酸度常数)，均为三位有效数字。
③0.50 g(试剂质量)，7.8 mL(试剂体积)，2.0 mol/L(试剂浓度)和pH=8.35(溶液酸度，其中8是与单位有关的数字；即8不是有效数字，[H+]＝0.45×10-8 mol/L)，均为两位有效数字。
④0.000 3 mol/L(标准偏差)和一0.3%(相对误差)，±2‰。
(相对不确定度)，都只有一位有效数字。
由于误差、偏差、标准偏差和不确定度等衡量的是分析结果的最后—位不定数字的差异程度，因而分．析结果的误差、偏差、标准偏差和不确定度等参数都只有一位有效数字，允许保留一位参考数字的做法是．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．错误的．．．。
3. 数字修约规则舍弃多余数字的过程称为数字修约，它所遵循的规则称为数字修约规则。
过去人们习惯采用“四舍五入”规则，其缺点是见五就进，必然会导致修约后的测量值系统偏高；现在则通行“大五入小五舍五成双一次修约”规则，逢五时有舍有入，由五的舍入所引起的误差本身可自相抵消。
“大五入小五舍五成双一次修约”规则规定，把多余的不定数字看成一个整体(一次修约)，与5(添零补齐位数)比较，前者大于后者就入(大5入)，前者小于后者就舍(小5舍)，前者等于后者就使修约后其前一位为偶数即前一位为奇数时进、为偶数时舍(5成双)。
[例2-9] 下列数字只有四位是有效数字，请将其修约为有效数字。
18.73501，20.434 9，0.608 350，1.072 50[解2-9] 修约方法和修约结果如下表所示：原有数字18.735 01 20.434 9 0.608 350 1.072 50 修约方法501>500，入1 49<50，舍49 50=50，3为奇数，入1 50=50，2为偶数，舍50 修约结果 18.74 20.43 0.608 4 1.072应该指出，计算过程中可以多保留一位“安全数字”或全部保留，以免累积修约误差。
4. 准确计算方法间接测定结果的有效数字也应与其准确度相适应。
根据误差传递规律计算出间接测定结果的不确定度，即可确定间接测定结果的有效数字。
[例2-10] 计算Na 2CO 3的摩尔质量。
[解2-10] 由于 o 3232M M M M c Na CO Na ++=M Na ＝22.989 68(6) g/mol ，M C = 12.011(1)g/mol ，M O ＝l 5.999 4(3)g/mol因此 22222231232O C Na CO Na M M M M U U U U ⨯+⨯+⨯±= = 22222)0003.0(3)001.0()00006.0(2±⨯+±+±⨯± g/mol= ±0.002 g/mol这表明Na 2CO 3的摩尔质量的千分位(小数点后的第三位数字)有±2的不确定度，因此其有效数字应保留到千分位(小数点后第三位)，即＝[2×22 989 68(6) + 12.011(1) + 3×15 9994(3)]g/mol＝(105.989 ± 0.002)g/mol[例2-11] 配制EDTA 标准溶液，若称取0.961 8(2)g EDTA 基准试剂，溶解后转入250.0(3)mL 容量瓶中定容，则EDTA 标准溶液的浓度是多少[解2-11] 由于定容V M m c EDTAEDTA EDTA =，M EDTA = 372.237(9) g/mol因此 222定容V M m c RU RU RU RU EDTA EDTA EDTA ++±= =)0.2503.0()237.372009.0()9618.00002.0(22±+±+±±=±0.1%%)1.0(100.250237.3729618.03±⨯⨯==-EDTA EDTA c EDTA c RU c U mol/L = ±0.00001mol/L 这表明EDTA 标液浓度的十万分位(小数点后的第五位数字)有±1的不确定度，因此其有效数字应保留到十万分位(小数点后第五位)，即5. 近似运算规则讨论分析条件的有关计算，往往只需要进行近似估算，而不必准确计算不确定度和有效数字，这时用误差传递的近似规则进行有关计算可大大简化运算过程。
(1)加减运算若间接测定结果是通过加减运算得到的，则因加减运算结果的不确定度主要决定于不确定度最大的加数或减数[如式(2-30)]，所以加减运算结果的不定数字的位数应与不确定度最大的加数或减数的不定数字的．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．位数近似相同．．．．．．。
[例2-12] 计算23.18 - 15.615 2 ＝[解2-12]23018 ±0.01-) 15.61 5 2 ±0.00017.564 8 ±0.01前一加数的不定数字为百分位，后一加数的不定数字为万分位，其和7.564 8的百分位、千分位和万分位数字都是不定数字，所以其和应保留到百分位，划掉的数字是应舍弃的数字。
即23.18 - 15.615 2=7.56注意：减法运算可使运算结果有效数字减少，加法运算反之．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．。
(2) 乘除运算若间接测定结果是通过乘除运算得到的，则因乘除运算结果的相对不确定度主要决定于相对不确定度最大(有效数字位数最少)的乘数或除数[如式(2-32)]，所以乘除运算的有效数字位数应与相对不确定度最大．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．(．有效数字位数最少．．．．．．．．)．的乘数或除数的有效数字位数近似相同，并且为减小近似运算造成的误差，有效数字．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．首位为．．．9．或．8．这样大的数字时，该有效数字位数应该多认一位．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．。
[例2-13] 计算0.0121×91.6/246.3 =[解2-13] 各乘数或除数的相对误差分别为0121.00001.0±×1000‰ = ±8‰ 6.911.0±×1000‰ = ±1‰ 3.2461.0±×1000‰ = ±0.4‰ 其中，0.0121的相对误差量大，只有3位有效数字，它是本例乘除运算结果的主要误差来源，所以其乘除运算结果也只应保留3位有效数字。
即0.0121×91.6/246.3=4.50×10-3本例中，91.6本为3位有效数字，但其首位有效数字为9，在乘除运算中应该认为有3+1位有效数字，因为其相对不确定度与100.0这样首位有效数字较小的4位有效数字的相对不确定度近似相等。
(3)幂函运算幂函运算误差传递如式(2-34)，因此幂函运算结果的有效数字位数与原有效数字位数近似相同。